Tải bản đầy đủ

Luận văn thế vị lớp kép và bài toán dirichlet đối với hàm điều hòa

Đ I H C QU C GIA HÀ N I
TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T

NHIÊN

TR N VĂN TOÀN

TH V L P KÉP
VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET
Đ I V I HÀM ĐI U HÒA

Chuyên nghành: TOÁN GI
Mã s : 60.46.01.02

LU N VĂN TH C S

TOÁN H C

Ngư i hư ng d n khoa h c
PGS. TS HÀ TI N NGO N


HÀ N I - NĂM 2015

I TÍCH


M cl c
M đu

2

1 Ki n th c chu n b
1.1

5

Góc kh i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51.2
M t Lyaponov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3

8

Phương trình tích phân Fredholm lo i II . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4
Phương trình Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5 Tính

duy nh t nghi m c a bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . 23
2 Th v l p kép và bài toán Dirichlet đ i v i hàm đi u hòa

26

2.1

Th v l p đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Th v l p kép . . .

2.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3


Đưa bài toán Dirichlet c a phương trình Laplace v phương trình
tích phân trên biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4
2.5

S t n t i nghi m c a các bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . 39 Th v kh i
và bài toán Dirichlet trong cho phương trình Poisson. . 45

K t lu n

48

Tài li u tham kh o

49

1


M đu
Nghi m c a phương trình Laplace r t quan tr ng trong toán h c, đ c bi t là trong
các bài toán v t lý, sinh h c. Vi c kh o sát nghi m c a phương trình Laplace là c n
thi t. Lu n văn '' Th v l p kép và bài toán Dirichlet đ i v i hàm đi u hòa" là bài toán
biên th nh t c a phương trình Laplace. Trư c đó ngư i ta đã ch ng minh đư c tính t
n t i và duy nh t nghi m c a bài toán Dirichlet trong mi n hình c u trong b ng nhi u
phương pháp khác nhau, như phương pháp tách bi n, phương pháp bi n thiên
tham s , phương pháp hàm Green. Tuy nhiên, vi c kh o sát nghi m c a bài toán
đó khi m r ng mi n ( không nh t thi t là mi n hình c u), v i nh ng phương pháp trên
g p khó khăn. Vì v y lu n văn '' Th v l p kép và bài toán Dirichlet đ i v i hàm đi u
hòa" trình b y m t phương pháp m i đ kh o sát nghi m c a bài toán đó, đó là
phương pháp Th v . Đó là phương pháp tìm nghi m c a phương trình dư i d ng m
t th v c a hàm đi u hòa cơ
b n. C u trúc lu n văn g m 2 chương:
Chương 1. Ki n th c chu n b . Chương này trình b y m t s khái ni m và
các tính ch t bao g m: Đ nh nghĩa v góc kh i, đ nh nghĩa v m t Lyapunov và các
tính ch t c a m t Lyapunov cùng v i các đánh giá có liên quan đ nh nghĩa v
phương trình tích phân Fredhlom lo i II, các đ nh lý Fredhlom và cu i cùng là trình
b y v các bài toán Dirchlet trong và ngoài, tính duy nh t nghi m c a bài toán đó.
Chương 2. Th v l p kép và bài toán Dirchlet cho hàm đi u hòa. N i
dung c a chương này là ch ng minh s t n t i nghi m c a bài toán Dirchlet cho hàm
đi u hòa, g m 3 bư c. Đ u tiên ta đưa ra khái ni m th v l p kép và tính ch t c a nó.
Bư c th 2 ta chuy n bài toán Dirchlet c a phương trình Laplace v phương trình tích
phân Fredholm lo i II. Bư c th 3 ta đi ch ng minh s t n t i nghi m c a bài toán đó.
Lu n văn đư c tham kh o chính trong các tài li u [1],
2


[2] và [3].

3


L i c m ơn
Lu n văn này đư c hoàn thành dư i s hư ng d n t n tình c a PGS. TS Hà Ti n
Ngo n. Th y đã dành nhi u th i gian quý báu c a mình đ kiên trì hư ng d n cũng
như gi i đáp các th c m c c a tôi trong su t c quá trình làm lu n văn. Tôi mu n bày
t lòng bi t ơn chân thành và sâu s c nh t t i ngư i th y c a mình.
Tôi cũng mu n g i t i toàn th các th y cô Khoa Toán Cơ Tin h c trư ng Đ i h c
Khoa h c T nhiên, Đ i h c Qu c gia Hà N i, các th y cô đã đ m nh n gi ng d y khóa
Cao h c 2012 - 2014, đ c bi t là các th y cô tham gia gi ng d y nhóm gi i tích
2012-214 l i c m ơn chân thành đ i v i công lao d y d trong su t th i gian c a khóa
h c.
Tôi xin c m ơn gia đình, b n bè, đ ng nghi p, các anh ch em trong nhóm Cao h c
Toán 2012-2014, đ c bi t là các anh ch em nhóm Gi i tích đã quan tâm, giúp đ , t o
đi u ki n cũng như đ ng viên tinh th n đ tôi có th hoàn thành khóa h c này.
Hà N i, tháng 4 năm 2015.
Tác gi

Tr n Văn Toàn

4


Chương 1
Ki n th c chu n b
1.1

Góc kh i

Cho S là m t trơn, nói chung không kín,đ nh hư ng, xét m t phía xác đ nh
c a S và vecto pháp tuy n − hư ng v phía y, mà ta quy ư c là pháp tuy n

dương.
n
Gi s P là m t đi m b t kỳ n m trong không gian sao cho v i đi m Q ∈ S
π
thì − = P Q h p v i −Q m t góc nh hơn ho c b ng t c là:
→ −→
n
cos(− ; −Q) ≥ 0.
r


2

→n
r→

(1.1)

−→
T P, xét t t c các bán kính vecto P Q, Q ∈ S. Các bán kính vecto đó l p
đ y kh i nón, đ nh là P và các đư ng sinh c a m t bên t a trên biên c a m t S.
T P, xét m t c u đơn v tâm P, kí hi u 1. M t c u y c t kh i nón trên theo
m nh c u σ1, có di n tích là |σ1| khi đó ph n không gian chi m b i kh i nón nói
trên đư c g i là góc kh i mà t P nhìn m t S. Di n tích |σ1| đư c g i là s đo
c a góc kh i, và đư c kí hi u là:

ωP (S) = |σ1|.
Chú ý. N u xét m t c u tâm P bán kính R , R và c t kh i nón theo m nh σR
|
có di n tích |σR| thì do tính đ ng d ng c a δR và δ1 ta có : |σ11 = |σR2| R
Do đó ta có th vi t:

ωP (S) = |σR|.
R2

(1.2)

5


(1.3)


N u pháp tuy n dương −Q h p v i bán kính vecto − m t góc tù cos(−; nQ) ≤ 0

→−→
n
r

r
thì ta quy ư c s đo c a góc kh i mà t P nhìn S có giá tr âm và

ωP (S) = −|σR|.
R2

(1.4)

Gi s S là m t trơn t ng m nh và trên m i m nh, đ i lư ng cos(−; nQ) đ i

→−→

d u, khi đó ta chia S thành nhi u m nh nh Sj sao cho cos( r

r
Khi đó

ωP (S) =

→nQ) −; −→ không đ i

ωP (Sj)

d u.

j

(1.5)
Đ nh lý 1.1(Đ nh lý 5.3.1,[1]). Gi s P ∈ S. Góc kh i mà t đi m P nhìn m t /
S có giá tr b ng

ωP (S) = −
S

∂ ( 1 )dS Q
n
∂ Q rPQ

trong đó r = P Q, là kho ng cách gi a hai đi m P và Q, −Q là pháp tuy n dương
n→
t i Q ∈ S, ∂∂Q nlà đ o hàm theo hư ng −Q
n→
Ch ng minh. Ta ch xét trư ng h p m t S mà cos(−; nQ) không đ i d u, trong
→−→

r
trư ng h p ngư c l i, ta chia S thành các m nh nh Sj sao cho cos(−; nQ) không
→−→
đ i d u. Khi đó P Q −→ ch c t S t i Q duy nh t.

r
Gi s cos(−; nQ) ≥ 0. Xét m t c u
→−→

R

tâm P v i bán kính R đ nh sao cho

r
σR không c t S. Xét mi n D gi i h n b i m t S, m t σR và ph n không gian n m
gi a S và σR. Kí hi u ph n m t nón này là S0.


Ta chú ý r ng hàm 1 là hàm đi u hòa trong D ∪ S ∪ S0 ∪ σR do đó theo tính r
ch t c a hàm đi u hòa ta có:

S∪σR∪S0

∂ (1)dS = 0 Q
∂ νQ r

(1.6)

trong đó −Q là pháp tuy n trong đ i v i mi n D t i đi m Q. (Đ đơn gi n cách ν→
vi t ta thay ∂νQ ≡ ∂ν).
Trên m t nón S0 thì − th ng góc v i− nên ta có

→ →
r
ν

∂ (1) = − cos(− ; ν) = 0.
∂ν r
→−
r
6
r2

(1.7)


Trên m t S, ta có

− = −−Q
n

n






(

Q

(1)d (1)dS

S
n
= − Qr
Q

∂ν r

S
S

T
r
ê
n

σ
R

t
a
c
ó
:



∂ (1)dS

(

=−1Q

1
)

dSQ
= −|

σ2R|

d
S
=
Q

nQ r
R2

∂ν r



(
1
.
9
)


7), (1.8) và

R
σ

(1.9) ta có

R

σ



R

σ

(

R

1

T

)
d

c

S

ô
n

+

g

ω
t

(

h

S
)

c

=
(

0

1
.
6
)
,

h


ν
r

Q

P



ω
=S
(

(
1
.

1
)
d
S

Q



(

ta có:
→−→

N


n

r

u



c
o
s
(

;
n

=

Q



v



Q



)

(1)dS



= Q (1
∂ν r
)d

0

S

t
h

.Q

n

ì

r

Q

S

t
r
ê
n


ng th
c

S

ω
P

m

s
u
y

(

t

r
a

S
)

S

(


ta v n có

=






(1.10). Đ nh lý
đư c ch ng

(

minh.

1
)
d

7

S
=


|

σ
R

|
=

ω
(
S
)



S

V

y



(


1.2

M t Lyaponov

1.2.1 Khái ni m m t Lyapunov
Đ nh nghĩa 1.1
Dư i đây ta đ nh nghĩa m t Lyapunov trong không gian ba chi u.
M t S đư c g i là m t Lyapunov n u nó th a mãn
1, T i m i đi m c a m t S đ u t n t i m t pháp tuy n xác đ nh
2, G i Q và Q' là 2 đi m b t kỳ n m trên m t S và − ; n là hai vecto pháp
→−

n



tuy n tương ng t i Q và Q', ϕ là góc h p b i 2 vecto pháp tuy n đó (ϕ = (− ; n ))
→−
r là kho ng cách gi a hai đi m Q,Q'
n

r = QQ
.
Khi đó t n t i 2 h ng s dương A và α sao cho:

ϕ ≤ Arα.

(1.13)

nh n xét N u m t S có phương trình

z = f (x, y)
trong đó f (x, y) là hàm có đ o hàm c p 2 liên t c thi S là m t Lyapunov.
Do đó m t cong có đ cong liên t c là m t Lyapunov. Hơn n a đ nh nghĩa và
các đ nh lý trong ph n này cũng đúng trong không gian n chi u t ng quát.
Đ nh lý 1.2(Đ nh lý 5.4.2, [1]) Gi s S là m t Lyapunov kín. Khi y t n t i
m t h ng s dương d > 0 sao cho n u l y m t đi m Q b t kỳ trên S làm tâm bán
kính d thì m i đư ng th ng song song v i pháp tuy n − t i Q c t m t S phía

trong hình c u không quá m t đi m.
n
M t c u v i tâm Q ∈ S nói trên đư c g i là m t c u Lyapunov, kí hi u

(Q).

Ch ng minh. Ch n d đ nh sao cho:

Adα ≤ 1

(1.14)


8


ta ch ng minh b ng ph n ch ng. Gi s ngư c l i, t n t i hình c u bán kính d
tâm Q0 ∈ S c t m t S theo m nh S (Q0) sao cho có m t tia đi qua Q0 sao cho


có m t tia n0 nào đó song song v i pháp tuy n −0 tài Q0 c a S c t S (Q0) t i hai
n→
đi m Q và Q'. Gi s các−pháp tuy n c a m t S là các pháp tuy n trong, g i Q




là đi m c a m t S t i đó n0 hư ng ra phía ngoài, còn Q' là đi m t i đó n0 hư ng
vào phía trong c a S. Xét m t ph ng ti p xúc t i Q v i S. Khi đó, − và −0 n m


v 2 phía c a m t ph ng ti p xúc do đó:
n
n
(− ; −0) = (− ; n0) > π > 1
→→
→−
nn

n
2
Đi u này không th s y ra vì theo (1.13) và (1.14) ta ph i có:
(− ; −0) ≤ Arα ≤ Adα ≤ 1
→→

nn

Trư ng h p n0 ti p xúc v i s (Q0) cũng không th x y ra vì khi đó
(− ; −0) = (− ; n0) = π > 1
→→
→−
nn

n
V y đ nh lý đư c ch ng minh.

2

1.2.2 M t vài đánh giá
Gi s Q0 là m t đi m c đ nh b t kỳ n m trên m t S và S (Q0) là m t ph n
m t n m trong m t c u Lyapunov tâm Q0. Xét h t a đ đ a phương (ξ, η, ζ) v i
g c là Q0 , tr c Q0ζ = −→ còn 2 tr c Q0ξ và Q0η n m trong m t ph ng ti p xúc n0Q
v i S t i Q0 .
Theo Đ nh lý 1.1 thì ph n m t S (Q0) có th bi u di n trong h t a đ Q0ξηζ
b i phương trình


ζ = f (ξ, η)
G i Q(ξ, η, ζ) là đi m ch y trên m t S (Q0) ; − là pháp tuy n t i Q và r = Q0Q.

n
Ta đi đánh giá cosin ch phương c a − , đ i lư ng f (ξ, η) trong (1.15) và

n

cos(− ; − ) theo r khi Q ch y trên m t S (Q0).
→→
rn
1, Đ i lư ng cos(− ; ζ )

→− n


9

(1.15)


Đ t:

ϕ = (− ; − ) = (− ; −0)
→→
→→
nn


Ta có:

ϕ2 + ϕ4 − ... =
4!
cos ϕ = 1 − 2!

n=0

(1.16)

ϕ2n
(−1)n. (2n)!

(1.17)

là chu i đan d u có các s h ng đơn đi u gi m, nên n u trong chu i ta ch gi
m t s h u h n các h ng th c, thì ph n dư s có d u c a h ng th c đ u tiên c a ph n dư
đó.
T đó

cos ϕ ≥ 1 − ϕ . 2
2
Theo công th c (1.13) ta có:

cos ϕ ≥ 1 − 1A2r2α
2
M t khác do (1.14) nên trong các m t c u Lyapunov đã ch n.

(1.18)

A2r2ϕ ≤ A2d2ϕ ≤ 1
và t (1.18) ta suy ra đánh giá sau:

cos(− ; − ) ≥ 1
2
→→

2, Đ i lư ng cos(− ; ξ ) và cos(− ; − )

→→
→− n



G i n là hình chi u c a − xu ng m t ph ng Q0ξη. Khi đó cos(− ; ξ ) là

n
thành ph n c a − xu ng tr c ξ . G i α và β là góc h p b i n v i các tr c Q0ξ



và Q0η ta có


n

cos(− ; − ) = sin ϕ. cos α

(1.19)

→− n



tương t

→→

cos(− ; − ) = sin ϕ. cos β
→→

10

(1.20)

(1.21)


Chú ý :

sin ϕ < ϕ ≤ Arα
t đó ta có các đánh giá sau:

| cos(− ; − )| ≤ Arα

(1.22)

→→


| cos(− ; − )| ≤ Arα
→→


3, Đ i lư ng f (ξ, η)

(1.23)

Ta có phương trình c a m t S (Q0) là:

ζ = f (ξ, η)
Do đó cosin ch phương c a − bi u th b i công th c

n

cos(−; ξ) =
n

−f

ξ

(1.24)




cos(−; η) =
n

1 + (f )2 + (f )2
ξ
η
−f

η






1 + ( fξ )2 + ( fη )2

(1.25)


cos(−; ζ) =
n


(1.26)

1
1 + (f )2 + (f )2
ξ
η



T (1.19),(1.22 → 1.26), ta có

|fξ| =


1 + (fξ)2 + (fη)2.| cos(−; ξ)| ≤ 2Arα
n→

và tương t đ i fη, như v y


|fη| ≤ 2Arα

(1.27)

|fζ| ≤ 2Arα

(1.28)

Trong m t ph ng Q0ξη thì v trí c a Q0ξ là b t kỳ. Do đó trong đánh giá (1.27) và (1.28) là
đúng v i m i phương Q0ρ b t kỳ trong m t ph ng Q0ξη. G i ρ là
11


kho ng cách c a nh ng đi m n m trên tia đó t i Q0. Khi đó

|∂f | ≤ 2Arα
∂ρ

(1.29)

Trong m t ph ng Lyapunov, r là đ i lư ng gi i n i nên:

| ∂f | ≤ M
∂ρ
T đó
ρ

|ζ| = |f (ξ, η)| =
0

ρ

∂f dρ ≤
∂ρ

0

∂f dρ ≤ M ρ.
∂ρ

(1.30)

G i Q(ξ, η, ζ) là đi m n m trên m t S (Q0) và P (ξ, η) là hình chi u c a Q lên
m t ph ng Q0ξη và đ t
ρ = Q0 P
khi đó trong tam giác vuông Q0P Q ta có

r2 = Q0Q2 = ρ2 + ζ2,
t đó v i chú ý (1.30) ta suy ra

|ζ2| ≤ M 2ρ2 ⇒ r2 ≤ M 2ρ2 + ρ2
do đó

r ≤ Kρ,

K = const

(1.31)

Như v y, (1.29) cho ta

|∂f | ≤ K ρα K = const
∂ρ
hay
ρ

|ζ| = |f (ξ; η)| ≤
0

|∂f |dρ ≤ C.ρα+1 C = const
∂ρ

(1.32)

M t khác, ta có ρ ≤ r nên ta có đánh giá sau:

|ζ| ≤ Crα+1
12

(1.33)


4, Đ i lư ng cos(− ; − )
→→
rn
Ta có cosin ch phương c a − là

r ξ,
r
ta có:

η
,
r

ζ
r

cos(− ; − ) = ξ . cos(− ; − ) + η . cos(− ; − ) + ζ . cos(− ; − )
r
r
r
→→
→→
→→
rn



→→


(1.34)

Vì |ξr |, |η |, | cos(− ; ζ )| đ u bé thua 1 nên t (1.22),(1.23),(1.33) và (1.34) ta
r

có đánh giá sau:

→− n


| cos(− ; − )| ≤ C1rα.
→→
rn

(1.35)

Đ nh lý 1.3 (Đ nh lý 5.4.3, [1]) N u S là m t Lyapunov gi i n i thì t n t i m t
h ng s C sao cho:

S

∂ ( 1 ) dS ≤ C Q
n
∂ Q rPQ

đ i v i m i P n m trong không gian.
Ý nghĩa hình h c c a (1.36) là đ i v i góc kh i mà P nhìn m t S trong (1.5)
như sau: Gi s S = Sj, khi đó t ng các giá tr tuy t đ i c a góc kh i b ch n
j

đ u, t c là

|ωP (Sj)| ≤ C
j

Ch ng minh. Đ ch ng minh đ nh lý trên ta chia làm 2 trư ng h p sau: đi m P
n m trong m t S và đi m P n m ngoài m t S
a, Đi m P ∈ S
L y g c t a đ đ a phương là P và như v y coi

P ≡ Q0 ∈ S
Chú ý:

∂nQ ( rQ0Q )

1

−− →


(1.36)


= −cos(rr2; n )

13


Khi đó

∂ ( 1 ) ds =

cos(− ; − ) dS =
∂nQ

Q

Q


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×