Tải bản đầy đủ

Luận văn thế vị lớp đơn và bài toán newmann đối với hàm điều hòa

Đ I H C QU C GIA HÀ N I
TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T

NHIÊN

HOÀNG VĂN LU N

TH V L P ĐƠN
VÀ BÀI TOÁN NEUMANN Đ I V I
HÀM ĐI U HÒA

Chuyên ngành: TOÁN GI
Mã s : 60.46.01.02

LU N VĂN TH C S

KHOA H C

Ngư i hư ng d n khoa h c
PGS.TS. HÀ TI N NGO N


HÀ N I - NĂM 2015

I TÍCH


M cl c
M đu

2

1 Ki n th c chu n b
1.1

4

Góc kh i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41.2
M t Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3

7

Phương trình tích phân Fredholm lo i II . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4
Phương trình Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5 Tính

duy nh t nghi m c a bài toán Neumann . . . . . . . . . . . . 23
2 Th v l p đơn và bài toán Neumann đ i v i hàm đi u hòa

28

2.1

Th v l p kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Th v l p đơn . . .

2.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3


Đưa bài toán Neumann c a phương trình Laplace v phương trình
tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.4

S t n t i nghi m c a các bài toán Neumann . . . . . . . . . . . . 44

K t lu n

51

Tài li u tham kh o

52

1


M đu
Nghi m c a phương trình Laplace r t quan tr ng trong toán h c mà đ c bi t là
trong các bài toán v t lý, sinh h c. Vi c tìm nghi m c a bài toán Laplace là c n thi t,
có nhi u phương pháp đ ch ra s t n t i nghi m c a nó. M t trong nh ng phương
pháp đó là phương pháp th v . Đó là phương pháp tìm nghi m c a phương trình
dư i d ng m t th v c a hàm đi u hòa cơ b n. C u trúc lu n
văn g m 2 chương:
Chương 1. Ki n th c chu n b . Chương này trình b y m t s khái ni m và
các tính ch t bao g m: đ nh nghĩa v góc kh i; đ nh nghĩa v m t Lyapunov và các
tính ch t c a m t Lyapunov cùng v i các đánh giá có liên quan; đ nh nghĩa v
phương trình tích phân Fredholm lo i II, các đ nh lý Fredholm và cu i cùng là trình
bày v các bài toán Neumann trong và ngoài, tính duy nh t nghi m c a bài toán đó.
Chương 2: Th v l p đơn và bài toán Neumann cho hàm đi u hòa. N i
dung c a chương này là ch ng minh s t n t i nghi m c a bài toán Neumann cho
hàm đi u hòa, g m 3 bư c: Đ u tiên ta đưa ra khái ni m th v l p đơn và tính ch t c a
nó. Bư c th 2 ta chuy n bài toán Neumann c a phương trình Laplace v phương
trình tích phân Fredholm lo i II. Bư c th 3 ta đi kh o sát s t n t i nghi m c a bài
toán đó.
Các k t qu chính trong lu n văn đư c trình bày d a trên tài li u tham kh o
[1],[2], [3].
Hà N i, tháng 4 năm 2015.
H c viên
Hoàng Văn Lu n
2


L i c m ơn
Lu n văn này đư c hoàn thành dư i s hư ng d n t n tình c a PGS.TS. Hà Ti n
Ngo n. Th y đã dành nhi u th i gian quý báu c a mình đ kiên trì hư ng d n cũng
như gi i đáp các th c m c c a tôi trong su t c quá trình làm lu n văn. Tôi mu n bày
t lòng bi t ơn chân thành và sâu s c nh t t i ngư i th y c a mình.
Tôi cũng mu n g i t i toàn th các th y cô Khoa Toán-Cơ-Tin h c trư ng Đ i h c
Khoa h c T nhiên, Đ i h c Qu c gia Hà N i, các th y cô đã đ m nh n gi ng d y
khóa Cao h c 2012 - 2014, đ c bi t là các th y cô tham gia tham gia gi ng d y
nhóm Gi i tích 2012-214 l i c m ơn chân thành đ i v i công lao d y d trong su t th i
gian c a khóa h c.
Tôi xin c m ơn gia đình, b n bè, đ ng nghi p, các anh ch em trong nhóm Cao h c
Toán 2012-2014, đ c bi t là các anh ch em nhóm Gi i tích đã quan tâm, giúp đ , t o
đi u ki n cũng như đ ng viên tinh th n đ tôi có th hoàn thành khóa h c này.

3


Chương 1
Ki n th c chu n b
1.1

Góc kh i

Cho S là m t trơn, nói chung là không kín, đ nh hư ng, xét m t phía xác đ nh
c a S và vectơ pháp tuy −
ng v phía y, mà ta quy ư c là pháp tuy n
n hư

dương.
n
Gi s P là m t đi m b t kỳ n m trong không gian sao cho v i đi m b t kỳ

Q ∈S

π

− = −→ p v −Q m t góc nh hơn ho c b ng t c là:
thì
h
i
→ PQ r
n cos(− , − ) ≥ 0
Q


2

(1.1)

→n
r→
−→
T P, xét t t c các bán kính vectơ P Q , Q ∈ S. Các bán kính vectơ đó l p
đ y kh i nón, đ nh là P và các đư ng sinh c a m t bên t a trên biên c a m t S.

T P, xét m t c u đơn v tâm P, kí hi u σ1. M t c u y c t kh i nón trên theo
m nh c u σ1, có di n tích là |σ1|. Khi đó ph n không gian chi m b i kh i nón nói trên đư c g i
là góc kh i mà t P nhìn m t S. Di n tích |σ1| đư c g i là s đo
c a góc kh i, và đư c kí hi u là

ωP (S) = |σ1|
Chú ý 1.1. N u xét m t c u tâm P bán kính R : R và c t kh i nón theo m nh
σR có di n tích |σR| thì do tính đ ng d ng c a σR và σ1 ta có : |σ11| = |σR2| R
Do đó ta có th vi t:

ωP (S) = |σR|

(1.2)

R2
4


(1.3)


−Q h p v i bán kính vectơ − t góc tù cos(−, nQ) ≤ 0
m →
→−→
n
r
r

thì ta quy ư c s đo c a góc kh i mà t P nhìn S có giá tr âm và
N u pháp tuy n

dương

ωP (S) = −|σR| 2
R

(1.4)

Gi s S là m t trơn t ng m nh và trên m i m nh đ i lư ng cos(−, nQ) đ i

→−→
r

d u, khi đó ta chia S thành nhi u m nh nh Sj sao cho cos(−, nQ) không đ i d u.
→ −→
Khi đó ta đ t
r
ωP (Sj)
ω (S) ≡
P

j

Đ nh lí 1.1 (Đ nh lý 5.3.1, [1]). Gi s P ∈ S. Góc kh i mà t đi m P nhìn m t /
S có giá tr b ng

ωP (S) = −

∂ (1)dS Q
∂ nQ r
trong đó r=PQ là kho ng cách gi a hai đi m P và
− là pháp tuy n dương t i
Q, Q
n→
Q ∈ S, ∂ là đ o hàm theo hư ng − .


Q

n

Q

S

n→

Ch ng minh. Ta ch xét trư ng h p m t S mà cos(−, nQ) không đ i d u,trong
→−→

r
trư ng h p ngư c l i, ta chia S thành các m nh nh Sj sao cho cos(− , nQ) không
→ −→
đ i d u. Khi đó P Q −→ c t S t i Q duy nh t.
ch
r
Gi s cos(− , nQ) ≥ 0
→ −→
r
Xét m t c u R tâm P v i bán kính R đ nh sao cho σR không c t S. Xét
mi n D gi i h n b i m t S, m t σR và ph n không gian n m gi a S và σR. Kí
hi u là S0

(1.5)


Ta chú ý r ng hàm 1 là hàm đi u hòa trong D ∪ S ∪ σR ∪ S0 do đó theo tính r
ch t c a hàm đi u hòa ta có:

S∪σR∪S0

trong

đó

∂ (1)dS = 0 Q
∂ νQ r

−Q là pháp tuy n trong đ i v i mi n D t i đi m Q. ν→
5

(1.6)


Trên m t nón S0 thì véctơ −Q th ng góc v −
ta có →
i
nên
ν


r

∂ (1) = − cos(− , − ) = 0
∂ν r
→→

2
r
Trên m t S, ta có


−Q = −−Q
ν
n→

nên

∂ (1)dS . Q
∂ nQ r

∂ (1)dS = − Q
∂ νQ r
S

∂ (1)dS = − 1 Q

∂ (1)dS = Q
σR

(1.8)

S

Trên σR ta có:

∂ νQ r

(1.7)

σR

dSQ = −|σ2R|.
R2

∂ nQ r

(1.9)

R
σR

T công th c (1.6), (1.7), (1.8) và (1.9) ta có

S

∂ (1)dS + ω (S) = 0
Q
P
∂ nQ r

hay

ωP (S) = −
N u cos(−, nQ) ≤ 0 thì trên m t S ta có:
→−→

S

∂ (1)dS . Q
∂ nQ r

(1.10)

→n ν

r


−Q = −Q →

∂ (1)dS = Q

∂ νQ r




∂ nQ r

(1)dS . Q
S

S

T đ ng th c

ωP (S) = −|σ2R|
R
6

(1.11)


suy ra

∂ (1)dS = Q


S

∂ νQ r

∂ (1)dS = −−|σR| = ω (S)
S

∂ nQ r

R2

Q

P

(1.12)

V y ta v n có (1.10).

1.2

M t Lyapunov

Dư i đây là đ nh nghĩa m t Lyapunov trong không gian ba chi u.
1.2.1 Đ nh nghĩa
Đ nh nghĩa 1.1. M t S đư c g i là m t Lyapunov n u nó th a mãn các đi u
ki n sau:
1) T i m i đi m c a m t S đ u t n t i m t pháp tuy n xác đ nh



− , n là hai vectơ −
→−
n
tuy n tương ng t i Q và Q', ϕ là góc h p b i 2 vectơ pháp tuy n đó (ϕ = ( n
r là kho ng cách gi a hai đi m Q,Q'
2) G i Q và Q' là 2 đi m b t kỳ n m trên m t S



pháp

→n
− , →)),

r = QQ
Khi đó t n t i 2 h ng s dương A và α sao cho:
α

ϕ ≤ Ar .

(1.13)

Nh n xét 1.1. N u m t S có phương trình

z = f (x, y)
trong đó f (x, y) là hàm có đ o hàm c p hai liên t c thì S là m t Lyapunov.
Do đó m t cong có đ cong liên t c là m t Lyapunov. Hơn n a đ nh nghĩa và
các đ nh lý trong ph n này cũng đúng trong không gian n chi u t ng quát.


7


Đ nh lí 1.2 (Đ nh lý 5.4.2, [1]). Gi s S là m t Lyapunov kín. Khi y t n t i
m t h ng s dương d > 0 sao cho n u l y m t đi m Q b t kỳ trên S làm tâm bán
kính d thì m i đư ng th ng song song v i pháp tuy − i Q c t m t S phía
n t →
trong hình c u không quá m t đi m.
n
M t c u v i tâm t i đi m Q ∈ S nói trên đư c g i là m t c u Lyapunov, kí
hi u (Q).
Ch ng minh. Ch n d đ nh sao cho:
α

Ad ≤ 1

(1.14)

Ta ch ng minh b ng ph n ch ng. Gi s ngư c l i, t n t i hình c u

bán


→−

kính
tâm Q0 ∈ S c t m t S theo m nh S (Q0) sao cho có m t tia đi qua Q0 ; n0//→ n0
c a S c t S (Q0) t i 2 đi m là Q và Q'. Gi s các pháp tuy n c a m t S là các


pháp tuy n trong, g i Q là đi m c a m t S t i đó n0 hư ng ra phía ngoài, còn Q'


là đi m t i đó n0 hư ng vào phía trong c a S. Xét m t ph ng ti p xúc t i Q v i
S. Khi
− − n m v 2 phía c a m t ph ng ti p xúc do đó:
đó, →và 0 →
n
n
(− , − ) = (− , n ) > π > 1
0

→→
nn

0

→−

n

2

Đi u này không th s y ra vì theo (1.13) và (1.14) ta ph i có:
α

α

(− , −0) ≤ Ar ≤ Ad ≤ 1
→→
nn



Trư ng h p n0 ti p xúc v i s (Q0) cũng không th x y ra vì khi đó
(− , −0) = (− , n0) = π > 1
→→

nn

d




−→
n

V y đ nh lý đư c ch ng minh.
1.2.2 M t vài đánh giá
8

2


Gi s Q0 là m t đi m c đ nh b t kỳ n m trong m t S và S (Q0) là m t ph n
m t n m trong m t c u Lyapunov tâm Q0. Xét h t a đ đ a phương (ξ, η, ζ) v i
g c là Q0 , tr c Q0ζ trùng v i pháp tuy −0 t i Q0 còn 2 tr c Q0ξ và Q0η n m
n
n→

trong m t ph ng ti p xúc v i S t i Q0. Theo Đ nh lý 1.1 thì ph n m t S (Q0) có
th bi u di n trong h t a đ Q0ξηζ b i phương trình

ζ = f (ξ, η)

(1.15)

G i Q(ζ, ξ, η) là đi m ch y trên m t S (Q0) − pháp tuy n t i Q và r =
; là


n
Q0Q. Ta đi đánh giá cosin ch phương c − đ i lư ng f (ξ, η) trong (1.15) và
a , →
n
cos(− , − ) theo r khi Q ch y trên m t S (Q0)
→→
rn
a) Đ i lư ng cos(− , ζ )
Đ t:

→− n


Ta có:

ϕ = (− , − ) = (− , −0).
→→
→→
nn


cos ϕ = 1 − ϕ + ϕ − ... =
2

4

2!

4!

n=0

(1.16)

ϕ2n
(−1)n (2n)!

(1.17)

là chu i đan d u có các s h ng đơn đi u gi m, nên n u trong chu i ta ch gi
m t s h u h n các h ng th c, thì ph n dư s có d u c a h ng th c đ u tiên c a ph n dư
đó.
T đó

cos ϕ ≥ 1 − ϕ

2

2

Theo công th c (1.13) ta có:
α

cos ϕ ≥ 1 − 1A2r2 .

2


(1.18)
M t khác do (1.14) nên trong các m t c u Lyapunov đã ch n:
9


A2r2ϕ ≤ A2d2ϕ ≤ 1.
và t (1.18) ta suy ra đánh giá sau:

cos(− , − ) ≥ 1
2
→→

b) Đ i lư ng cos(− , ξ ) và cos(− , − )
→→

→− n



G i n là hình chi u c − ng m t ph ng Q0ξη. Khi đó cos(− , ξ ) là
a xu →


n
thành ph n c − ng tr c ξ . G i α và β là góc h p b i n v i các tr c Q0ξ
a →
xu

và Q0η ta có

n

(1.19)

→− n


cos(− , − ) = sin ϕ cos α .
→→


(1.20)

cos(− , − ) = sin ϕ cos β .
→→


(1.21)

Tương t

Chú ý 1.2.
t đó ta có các đánh giá sau:

c) Đ i lư ng f (ξ, η)

α

sin ϕ < ϕ ≤ Ar

| cos(− , − )| ≤ Ar
→→


α

| cos(− , − )| ≤ Ar
→→


α

Ta có phương trình c a m t S (Q0) là:

ζ = f (ξ, η)

(1.22)

(1.23)


Do đó cosin ch phương c

− u th b i công th c
a →
bi
n

10



cos(− , ξ) =
→−
n

−f

ξ

(1.24)

1 + (f )2 + (f )2
ξ
η
−f


cos(− , η) =
→−
n

1+(f


cos(− , ζ) =
→−
n

η
+
ξ 2

)

2
(f )

η

(1.25)

(1.26)

1
1 + (f )2 + (f )2
ξ

η

T (1.19),(1.22 → 1.26), ta có

|f | =
ξ


α

1 + (f )2 + (f )2| cos(− ξ)| ≤ 2Ar
ξ

η

n,

và tương t đ i f , như v y
η

α



(1.27)

α



(1.28)

|f | ≤ 2Ar
η

|f | ≤ 2Ar .
ζ

Trong m t ph ng Q0ξη thì v trí c a Q0ξ là b t kỳ. Do đó trong đánh giá (1.27) và (1.28) là
đúng v i m i phương Q0ρ b t kỳ trong m t ph ng Q0ξη. G i ρ là
kho ng cách c a nh ng đi m n m trên tia đó t i Q0. Khi đó

|∂f | ≤ 2Ar
∂ρ

(1.29)

α

Trong m t ph ng Lyapunov, r là đ i lư ng gi i n i nên:

|



T đó

f
|ζ| = |f (ξ, η)| =

|≤ M
∂ρ

ρ

∂f dρ ≤
∂ρ


∂f dρ ≤ M

(1.30)

ρ.

ρ
ρ
0

0

11


G i Q(ξ, η, ζ) là đi m n m trên m t S (Q0) và P (ξ, η) là hình chi u c a Q lên
m t ph ng Q0ξη và đ t
ρ = Q0 P .
Khi đó trong tam giác vuông Q0P Q ta có

r2 = Q0Q2 = ρ2 + ζ2.
T đó v i chú ý (1.30) ta suy ra

|ζ2| ≤ M 2ρ2 ⇒ r2 ≤ M 2ρ2 + ρ2
và do đó

r ≤ Kρ,

K = const

(1.31)

Như v y, (1.29) cho ta
α

| ∂ f |≤ K ρ ,
∂ρ
hay

K = const

ρ

|ζ| = |f (ξ, η)| ≤
0

|∂f |dρ ≤ Cρ
∂ρ

α+1

,

C = const

(1.32)

M t khác ta có ρ ≤ r nên ta có đánh giá sau:
α

|ζ| ≤ Cr

(1.33)

+1

d) Đ i lư ng cos(− , − )
→→
rn
Chú ý r ng cosin ch phương c

a





r

ξ,
r

η,
r

ζ
r

ta có:

cos(− , − ) = ξ cos(− , − ) + η cos(− , − ) + ζ cos(− , − ).
r
r
r
→→
→→
→→
12
rn



→→


(1.34)


ξ

η

Vì | r |, | |, | cos(− , ζ )| đ u bé thua 1 nên t (1.22),(1.23),(1.33) và (1.34) ta có
r

→− n

đánh giá sau:

α

| cos(− , − )| ≤ C1r .



→→
rn

(1.35)

Đ nh lí 1.3 (Đ nh lý 5.4.3, [1]). N u S là m t Lyapunov gi i n i thì t n t i m t
h ng s C sao cho:
(1.36)

∂ ( 1 ) dS ≤ C Q
∂nQ rPQ
S

đ i v i m i P n m trong không gian.
Ý nghĩa hình h c c a (1.36) đ i v i góc kh i mà P nhìn m t S trong (1.5) như
sau: Gi s S = Sj, khi đó t ng tr tuy t đ i s đo các góc kh i là b ch n đ u
j

j

|ωP (Sj)| ≤ C.

Ch ng minh. Đ ch ng minh đ nh lý trên ta chia làm 2 trư ng h p sau: đi m P
n m trong m t S và đi m P n m ngoài m t S
a. Đi m P ∈ S
L y g c t a đ đ a phương là P và như v y coi

Chú ý:

∂nQ (

Khi đó



r

Q0

→→

)
Q

P ≡ Q0 ∈ S

−−

1

=−

cos(

rr2, n )

cos(− ; − ) dS =

∂ ( 1 ) ds =
∂nQ rQ0Q
S

=

Q

cos(− , − ) dS +
→→
rn
r2

S

Q

→→
rn
r2

Q

cos(− , − ) dS .
→→

rn


Q

r2
S (Q0)

N u Q ∈ S∴S (Q0) thì

S∴S (Q0)

Q 0Q = r ≥ d
13


v i d bán kính m t c u Lyapunov và

cos(− , − ) dS ≤ 1
Q
→→
rn
r2
S∴S (Q0)

d2

dSQ ≤ |d2| S

S∴S (Q0)

v i |S| là di n tích c a m t S.
Đ tính tích phân đ i v i S (Q0) ta g i G (Q0) là hình chi u c a S (Q0) lên

m t Q0ξη. Chú ý đánh giá (1.19) ta có

| cos(− , − )|dS =
→→
rn

| cos(− , − )| dξdη ≤
→→
rn

Q

r2
S (Q0)

G (Q0)

r2 cos(− , − )
→→


| cos(− , − )|dξdη
→→
rn
r2

≤2

(1.37)

G (Q0)

G i P (ξ, η) là hình chi u c a Q(ξ, η, ζ) lên m t ph ng Q0ξη và ρ = Q0P ta có:

r 2 = ρ2 + ζ 2
t c là

r ≥ ρ.

(1.38)

M t khác ta có đánh giá (1.31) thì khi đó (1.35) cho ta

cos(− , − ) ≤ C1ρ
→→
rn
T (1.37), (1.38), (1.39) ta có

| cos(− , − )|dS ≤ C
→→

α

(1.39)


S (Q0)

rn
r2

Q

G (Q0)

dξ2dη ≤
ρ −α

ρ ≤d

C dξd2η = C .
ρ −α

Chú ý r ng G (Q0) n m trong hình tròn ρ ≤ d. V y v i P ≡ Q0 ∈ S ta có

S

∂ ( 1 ) dS ≤ |S| + C . Q
∂nQ rQ0Q
d2
14

(1.40)


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×