Tải bản đầy đủ

Luận văn thạc sĩ: Về toán tử bao đóng và một số bài toán tổ hợp.




▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥
❚æ✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ✤➙② ❧➔ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ r✐➯♥❣ tæ✐✳ ❈→❝ sè ❧✐➺✉✱
❦➳t q✉↔ ♥➯✉ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ tr✉♥❣ t❤ü❝ ✈➔ ❝❤÷❛ tø♥❣ ✤÷ñ❝ ❝æ♥❣ ❜è tr♦♥❣
❜➜t ❦ý ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥➔♦ ❦❤→❝✳ ❈→❝ sè ❧✐➺✉ tr➼❝❤ ❞➝♥ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥
❝ù✉ ✤➲✉ ✤÷ñ❝ ❣❤✐ rã ♥❣✉ç♥ ❣è❝✳
❚→❝ ❣✐↔ ❧✉➟♥ ✈➠♥

❚r➛♥ ❳✉➙♥ ▼✐➵♥

✐✐


ớ ỡ
ữợ sỹ ữợ ồ ừ t
ỡ ữủ tổ tỹ t tr tớ ồ t
ự t rữớ ồ ồ tổ
tr trồ ỷ ớ ỡ qỵ t ổ tr rữớ
ồ ồ ụ ữ qỵ t ổ ú ù tổ

tr q tr ồ t ự t trữớ ồ ồ
t tổ ữủ tọ ỏ t ỡ s s tợ
ỡ ữớ t t t ữợ ú ù tổ t t

ổ t ỡ rữớ ồ ồ
ỏ ự ừ rữớ t ồ t ủ
tổ t õ ồ
ỡ s ử t
trữớ P ỗ P ờ t ồ
tổ ữủ ồ t t
ỷ ớ ỡ t ỗ
ổ ở tổ tr q tr ồ t t

t ỡ

t


r



▼ö❝ ❧ö❝
❚r❛♥❣ ♣❤ö ❜➻❛
▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥
▲í✐ ❝↔♠ ì♥
▼ö❝ ❧ö❝
❉❛♥❤ ♠ö❝ ❝→❝ ❦þ ❤✐➺✉
❉❛♥❤ s→❝❤ ❜↔♥❣
❉❛♥❤ s→❝❤ ❤➻♥❤ ✈➩
▼ð ✤➛✉
❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❚ê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣
✶✳✶


✐✐
✐✐✐
✐✈
✈✐
✈✐✐

✈✐✐✐



❑❤→✐ ♥✐➺♠ t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✶
✶✳✶✳✷

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
▼ët sè t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣ q✉❡♥ t❤✉ë❝ ✳



✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳



✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳



✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳



✶✳✷

▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t

✶✳✸

✣✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✵

✶✳✹

▼❛ tr➟♥ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✷

✶✳✺

❍➺ ❙♣❡r♥❡r

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✹

✶✳✻

❍➺ ❜❛♦ ✤â♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✺

✷✳✶

❍↕♥ ❝❤➳ ❝õ❛ t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✽

✷✳✷

❍ë✐ ✈➔ t✉②➸♥ ❝õ❛ t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✾

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✾

❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ❈→❝ ♣❤➨♣ t♦→♥ ✤↕✐ sè tr➯♥ t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣
✷✳✷✳✶

❍ë✐ ❝→❝ t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣
✐✈

✶✽


✷✳✷✳✷
✷✳✸

❚✉②➸♥ ❝→❝ t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣

❍ñ♣ t❤➔♥❤ ❝õ❛ t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣
✷✳✸✳✶

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✵

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✷

❍ñ♣ t❤➔♥❤ ❝→❝ t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣
❚❤ù tü tr➯♥ M ap(U ) ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
▼ët sè ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ✳ ✳

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✷

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✸

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✺

✷✳✹

❚➼❝❤ trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✼

✸✳✶

❑❤â❛ ❝õ❛ t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣

✷✳✸✳✷
✷✳✸✳✸

❈❤÷ì♥❣ ✸✳ ▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ tê ❤ñ♣ tr➯♥ t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣
✸✳✶✳✶
✸✳✶✳✷
✸✳✷

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✳ ✳ ✳
▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✶

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✶

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✶

P❤↔♥ ❦❤â❛ ❝õ❛ t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣
✸✳✷✳✶
✸✳✷✳✷
✸✳✷✳✸

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❚❤✉➟t t♦→♥ t➻♠ ♣❤↔♥ ❦❤â❛ tø t➟♣ ❦❤â❛ tè✐ t✐➸✉

✸✻

✳ ✳ ✳ ✳

✸✼

✳ ✳ ✳ ✳

✹✶

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✻

❍➺ s✐♥❤ ❝õ❛ t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣

✸✳✹

✣è✐ ♥❣✉②➯♥ tû ❝õ❛ t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣

✸✳✹✳✷

✸✳✹✳✸

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
▼è✐ t÷ì♥❣ q✉❛♥ ❣✐ú❛ t➟♣ ♣❤↔♥ ❦❤â❛✱ ❤➺ s✐♥❤ ✈➔ ✤è✐
♥❣✉②➯♥ tû ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❚❤✉➙t t♦→♥ t➻♠ ❦❤â❛ tè✐ t✐➸✉✱ ♣❤↔♥ ❦❤â❛✱ ❤➺ s✐♥❤ ✈➔
✤è✐ ♥❣✉②➯♥ tû ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❑➳t ❧✉➟♥

✸✻

✳ ✳ ✳ ✳

✸✳✸

✸✳✹✳✶

✸✵

✹✽



✹✽



✹✾



✺✸

✻✹

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✻✻




ử ỵ
r sỷ ử q ữợ ỵ s


U

t ỳ rộ

2U

t ỗ t ừ

|M |

ỹ ữủ ừ t

X \Y

trứ t ủ

Antikey(f )

t õ ừ t tỷ õ

Close(U )

t t tỷ õ tr t

Coatom(f )

ố tỷ ừ t tỷ õ

F ix(f )

t t ở ừ t tỷ õ

Gen(f )

s ừ t tỷ õ

Key(f )

t õ tố t ừ t tỷ õ

M ap(U )

t tr

M AX(M )


X


k

tỷ tố ừ t s tự tỹ

ồ t

k

U ợ

tự tỹ ở

M
X Y
f

U
f

f

2U

tỷ ừ t



X

M

f

f


❉❛♥❤ s→❝❤ ❜↔♥❣
✸✳✶

❈→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛

X

✈➔ ❜❛♦ ✤â♥❣

✸✳✷

❈→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛

X

✈➔ q✉② t➢❝

✈✐✐

f (X)

f (X)

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

t÷ì♥❣ ù♥❣

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✷
✺✷


❉❛♥❤ s→❝❤ ❤➻♥❤ ✈➩
✸✳✶

✣ç t❤à ❝â ❤÷î♥❣ ❝õ❛

{∅, {a} , {b} , {a, b}}

✸✳✷

✣ç t❤à ❝â ❤÷î♥❣ ❝õ❛

{∅, {a} , {b} , {c} , {a, b} , {a, c} , {b, c}}

✸✳✸

✣ç t❤à ❝â ❤÷î♥❣ ❝õ❛

{∅, {a} , {b} , {d} , {a, d} , {b, d}}

✸✳✹

✣ç t❤à ❝â ❤÷î♥❣ ❝õ❛

F ix(g) \ {U }

✈✐✐✐

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✺



✺✻

✳ ✳ ✳ ✳

✺✽

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✾


▼ð ✤➛✉
❚r♦♥❣ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✱ ♠æ t↔ ✈➔ ❣✐↔✐ q✉②➳t ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ ❝õ❛ t❤➳ ❣✐î✐
t❤ü❝✱ t♦→♥ ❤å❝ ❧✉æ♥ ✤â♥❣ ♠ët ✈❛✐ trá r➜t q✉❛♥ trå♥❣✳ ◆❤✐➲✉ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛
t♦→♥ ❤å❝ ✤÷ñ❝ ❝→❝ ♥❤➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ sû ❞ö♥❣ ♥❤÷ ♥❤ú♥❣ ❝æ♥❣ ❝ö ❣✐ó♣ t➻♠ r❛
♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ q✉②➳t tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ tr♦♥❣ t❤➳ ❣✐î✐ t❤ü❝✳ ❚♦→♥ tû
❜❛♦ ✤â♥❣ ✭❈❧♦s✉r❡ ♦♣❡r❛t♦r✮ ❧➔ ♠ët ❝æ♥❣ ❝ö q✉❛♥ trå♥❣ ♥❤÷ ✈➟②✳ ❚♦→♥ tû
❜❛♦ ✤â♥❣ ð ✤➙② ✤÷ñ❝ ❤✐➸✉ ❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕ tr➯♥ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ ♠ët t➟♣ ❤ú✉
❤↕♥ ❜➜t ❦ý ✭✤÷ñ❝ s➢♣ t❤ù tü ✈î✐ q✉❛♥ ❤➺ t❤ù tü ❜❛♦ ❤➔♠✮ t❤ä❛ ❝→❝ t➼♥❤
❝❤➜t ♣❤↔♥ ①↕✱ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈➔ ❧ô② ✤➥♥❣✳ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣ ✤÷ñ❝
❝→❝ ♥❤â♠ t→❝ ❣✐↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tr♦♥❣ ✈➔ ♥❣♦➔✐ ♥÷î❝ sû ❞ö♥❣ ♥❤÷ ♠ët ❝æ♥❣
❝ö t♦→♥ ❤å❝ ✤➸ trñ ❣✐ó♣ ✈✐➺❝ ♠æ t↔ ❝→❝ ❦❤➼❛ ❝↕♥❤ ✈➲ ♠➦t ❧þ t❤✉②➳t ❝ô♥❣
♥❤÷ ù♥❣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ♠ët sè ❧➽♥❤ ✈ü❝ t❤✉ë❝ ❦❤♦❛ ❤å❝ ♠→② t➼♥❤ ♥❤÷ ❝ì sð
❞ú ❧✐➺✉✱ ❦❤❛✐ ♣❤→ ❞ú ❧✐➺✉✱ tr➼ t✉➺ ♥❤➙♥ t↕♦ ✳✳✳ ●➛♥ ✤➙② ❝â ♥❤✐➲✉ ❝æ♥❣ tr➻♥❤
♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ❧þ t❤✉②➳t t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣✱ ❤➺ s✐♥❤ t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣✱ ✳✳✳
✈î✐ ♠ö❝ ✤➼❝❤ ♥➙♥❣ ❝❛♦ ❤✐➺✉ q✉↔ t➼♥❤ t♦→♥ tr➯♥ ❝→❝ ✤è✐ t÷ñ♥❣ t♦→♥ tû ❜❛♦
✤â♥❣✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥➔② ✤➣ ❝❤♦ t❤➜② ❝â t❤➸ ✈➟♥ ❞ö♥❣ ❦❤→✐ ♥✐➺♠
t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣ ✤➸ ♣❤→t tr✐➸♥ s➙✉ s➢❝ ❤ì♥ ♥ú❛ ♥❤ú♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧✐➯♥
q✉❛♥ ✈➲ ✈➜♥ ✤➲ ❞ú ❧✐➺✉✳
❚r♦♥❣ ❧➽♥❤ ✈ü❝ t♦→♥ ❤å❝ ✈➔ ❦❤♦❛ ❤å❝ ♠→② t➼♥❤✱ ❝â t❤➸ t➻♠ t❤➜② r➜t
♥❤✐➲✉ t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣ ♥❤÷ ♣❤➨♣ ❧➜② ❜❛♦ ✤â♥❣ ❝õ❛ ♠ët t➟♣ ❤ñ♣ tr♦♥❣
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ✱ ❜❛♦ ✤â♥❣ ❝õ❛ t➟♣ t❤✉ë❝ t➼♥❤✱ ❜❛♦ ✤â♥❣ t➟♣ ♣❤ö t❤✉ë❝
❤➔♠ tr♦♥❣ ❝ì sð ❞ú ❧✐➺✉✱ ✳✳✳ ❙ü ①✉➜t ❤✐➺♥ ✤❛ ❞↕♥❣ ✈➔ ♣❤♦♥❣ ♣❤ó ❝õ❛ ❝→❝




t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣ ✤➣ t❤ó❝ ✤➞② ♥❤✐➲✉ ♥❤➔ ❦❤♦❛ ❤å❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ❝❤ó♥❣
✈➔ ✤➣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ♥❤✐➲✉ ❦➳t q✉↔ t❤ó ✈à✳ ❉♦ ✤â ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝→❝
t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣ ♥❤÷ ♠ët ❝æ♥❣ ❝ö t♦→♥ ❤å❝ ❝❤♦ ♣❤➨♣ t❤✐➳t ❧➟♣ ♠è✐ t÷ì♥❣
q✉❛♥ ❝ô♥❣ ♥❤÷ ♥➙♥❣ ❝❛♦ ❤✐➺✉ q✉↔ t➼♥❤ t♦→♥ tr♦♥❣ ♥❤✐➲✉ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ♥❤÷ ❝ì sð
❞ú ❧✐➺✉✱ ❦❤❛✐ ♣❤→ ❞ú ❧✐➺✉✱ t➟♣ t❤æ✱ t➟♣ ♠í✱ ✳✳✳ ✤➣ ✤÷ñ❝ ♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔ ❝æ♥❣
❜è tr♦♥❣ ♥❤✐➲✉ ❝æ♥❣ tr➻♥❤✳
P❤→t tr✐➸♥ ✈➔ ✈➟♥ ❞ö♥❣ ❧þ t❤✉②➳t t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣ ✈➔♦ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ tê ❤ñ♣ ♥❤÷ ❦❤â❛ tè✐ t✐➸✉✱ ♣❤↔♥ ❦❤â❛ ❝õ❛ t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣
♥❤➡♠ ♥➙♥❣ ❝❛♦ ❤✐➺✉ q✉↔ t➼♥❤ t♦→♥ ❝ô♥❣ ✤÷ñ❝ ♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔ q✉❛♥ t➙♠✳
❚r♦♥❣ ♥❤✐➲✉ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ✤➣ ❝❤➾ r❛ tø t➟♣ ❝→❝ ❦❤â❛ tè✐ t✐➸✉ ❝â
t❤➸ ❞➵ ❞➔♥❣ t❤✉ ✤÷ñ❝ t➟♣ ❝→❝ ♣❤↔♥ ❦❤â❛ ✈î✐ t❤✉➟t t♦→♥ ❝â ✤ë ♣❤ù❝ t↕♣
t➼♥❤ t♦→♥ ❧➔ ✤❛ t❤ù❝ ✈➔ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐✱ tø t➟♣ ❝→❝ ♣❤↔♥ ❦❤â❛ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ❝â t❤➸
①→❝ ✤à♥❤ t➟♣ ❝→❝ ❦❤â❛ tè✐ t✐➸✉ ✈î✐ ✤ë ♣❤ù❝ t↕♣ t➼♥❤ t♦→♥ ✤❛ t❤ù❝✳ ✣✐➲✉
♥➔② ❝❤♦ t❤➜② ❦❤â❛ tè✐ t✐➸✉ ✈➔ ♣❤↔♥ ❦❤â❛ ❝â ✈❛✐ trá ✈➔ þ ♥❣❤➽❛ q✉❛♥ trå♥❣
♥❤÷ ♥❤❛✉ tr♦♥❣ ❧þ t❤✉②➳t t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣✳
❇➯♥ ❝↕♥❤ ✤â ❤➺ ❜❛♦ ✤â♥❣ ❝ô♥❣ ✤÷ñ❝ ♥❤✐➲✉ ♥❤➔ ❦❤♦❛ ❤å❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✱
♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔ ✤➣ ✈➟♥ ❞ö♥❣ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❤➺ ❜❛♦ ✤â♥❣ ✤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✱ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥
❝→❝ ✤è✐ t÷ñ♥❣ tr♦♥❣ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ tê ❤ñ♣ ❝ô♥❣ ♥❤÷ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❧þ t❤✉②➳t
❤➺ ❜❛♦ ✤â♥❣ ✈➔♦ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❦❤♦❛ ❤å❝ ♠→② t➼♥❤✳ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ ❤➺ ❜❛♦ ✤â♥❣ ✈➔
❞↕♥❣ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❤➺ s✐♥❤ ❝õ❛ ❤➺ ❜❛♦ ✤â♥❣✱ sü t÷ì♥❣ q✉❛♥ ❣✐ú❛ ❝→❝ t➟♣ tè✐ ✤↕✐
tr♦♥❣ ❤➺ ❜❛♦ ✤â♥❣ ✈➔ ❤➺ s✐♥❤ ❝õ❛ ❤➺ ❜❛♦ ✤â♥❣✱ ✤➦❝ tr÷♥❣ t➟♣ ✤è✐ ♥❣✉②➯♥
tû ❝õ❛ ❤➺ ❜❛♦ ✤â♥❣ ✤÷ñ❝ tr➻♥❤ ❜➔②✱ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ q✉❛ ♥❣æ♥ ♥❣ú t♦→♥ tû ❜❛♦
✤â♥❣ ❝ô♥❣ ✤÷ñ❝ ♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ❱✐➺❝ t✐➳♣ tö❝ t➻♠ ❤✐➸✉ ❧þ t❤✉②➳t
t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣ ✤➸ ♣❤→t tr✐➸♥✱ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝→❝ ✤è✐ t÷ñ♥❣ tr♦♥❣ ♠ët sè ❜➔✐
t♦→♥ tê ❤ñ♣ ❝ô♥❣ ♥❤÷ ù♥❣ ❞ö♥❣ ✈➔♦ tr♦♥❣ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❦❤♦❛ ❤å❝ ♠→② t➼♥❤
❝ô♥❣ ❧➔ ♠ët ✈➜♥ ✤➲ r➜t ✤→♥❣ q✉❛♥ t➙♠✳ ❱➻ ✈➟② ❣➛♥ ✤➙② ❦❤→✐ ♥✐➺♠ t♦→♥ tû
❜❛♦ ✤â♥❣ ①✉➜t ❤✐➺♥ ♥❤÷ ♠ët ❦❤→✐ ♥✐➺♠ q✉❛♥ trå♥❣ tr♦♥❣ ❦❤♦❛ ❤å❝ ♠→②




t tú sỹ ự ừ ồ tr
ữợ t tỷ õ ự ử ừ õ
t t t ỗ
ữỡ ợ trú ữ s ữỡ tờ q t tỷ õ
ữỡ tr ởt số t t ỡ ừ t tỷ
õ r ữỡ ụ tr rr ởt số
t q rr ởt ừ t tỷ õ
tr õ t õ sỹ tữỡ q ỳ
t õ õ tữỡ ự ởtởt ỳ ợ t tỷ
õ ợ õ ữỡ ự t số
tr t tỷ õ ữỡ ợ t ởt số t
số ỡ ữ ở t ủ t t trỹ t ừ
t tỷ õ ự t õ ừ ở
t trỹ t tr t tỷ õ õ ỏ r
ởt số ủ t t õ ợ ợ t tỷ
õ ữỡ ự ởt số t tờ ủ tr t tỷ
õ r ữỡ ừ t q t tr
ử t tỷ õ qt t tờ ủ ữ õ
õ s ố tỷ t tt t t t õ
tố t tứ t õ ữủ tứ t õ tố t t
t õ t t t t õ s ố
tỷ ừ õ ụ ữủ t tr õ tr
ữỡ ụ tr ố tữỡ q ỳ ố tữủ ỡ ữ
õ õ s ố tỷ ừ t tỷ õ
ũ õ ố ữ s ổ tr ọ sỹ t sõt
rt ữủ ỳ ỵ õ õ tứ qỵ t ổ
ồ t ỡ




ữỡ
ờ q t tỷ õ
ữỡ tr tr ỵ tt ởt số
t t ỡ ừ ú P t tự ừ ữỡ tr
ởt số tr ỹ q tở ởt số
t t ỡ ừ P tự ừ ữỡ tr
t ở ởt t t q trồ ừ t ở P
t t tr rr ởt số t q rr
tr ố ũ tr
õ ỗ tớ ự õ tữỡ ự ởtởt ỳ
õ

t tỷ õ







U

ởt t ỳ t ý

tọ t t s

t X f (X)
t ỡ X Y t f (X) f (Y )
t ụ f (f (X)) = f (X)


f 2U 2U


ợ ồ

X, Y U

Close(U )





ữủ ồ

t tỷ õ tr U

t tt tr

U

ởt số t tỷ õ ỡ

tố (X) = U ợ ồ X U
ỗ t i(X) = X ợ ồ X U
t t hT (X) = T X ợ ồ X U T t



ố tũ ỵ trữợ ừ

t



U

ố q ỳ t t ợ tố

ỗ t

õ

T =U

t t t t

hT (X) = (X) = U


t õ

T =

ợ ồ

T

X U

t t t t

hT (X) = i(X) = X

tr t tố

ợ ồ

T

tr t ỗ

X U

ứ t ú t t õ t ũ t t
ỡ s t ồ



hT



{, i, hT }

ởt số t tỷ õ q tở

tỷ õ tr ỡ s ỳ

tở t A = {a1, a2, . . . , an}
ữ ồ t s ởt ử tở tr A ởt
ởt t ỳ rộ

õ
tở tr
tr

A

XY

A

ọ t ự

tr õ

X, Y A



F

ởt t ử

õ ừ F ỵ F + t ử tở

F

tọ t t s

t Y X t X Y F +
t t X Y F + t X Z Y Z F +
t X Y F + Y Z F + t X Z F +



✈î✐ ♠å✐

X, Y, Z ⊆ A✳

❇❛♦ ✤â♥❣
a∈A

s❛♦ ❝❤♦

❝õ❛ t➟♣ t❤✉ë❝ t➼♥❤

X✱

❦þ ❤✐➺✉

X +✱

❧➔ t➟♣ ❝→❝ t❤✉ë❝ t➼♥❤

X → {a} ∈ F + ✳

▼ët ❝→❝❤ ❤➻♥❤ t❤ù❝

X + = {a ∈ A|X → {a} ∈ F + }.
❉➵ ❦✐➸♠ ❝❤ù♥❣ ✤÷ñ❝ ❝→❝ ❜❛♦ ✤â♥❣

F+

✈➔

X+

❧➔ ❝→❝ ❚❚❇✣✳

✶✳✶✳✷✳✷✳ ❚♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣ tr♦♥❣ t➟♣ t❤æ

❍➺ t❤è♥❣ t❤æ♥❣ t✐♥ ❧➔ ♠ët ❝➦♣ I = (U, A)✱ tr♦♥❣ ✤â U ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤ú✉
❤↕♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝→❝ ✤è✐ t÷ñ♥❣ ✭♥❤÷ s✐♥❤ ✈✐➯♥✱ q✉②➸♥ s→❝❤✱ ✳✳✳✮ ✈➔ A ❧➔ ♠ët t➟♣
❤ú✉ ❤↕♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝→❝ t❤✉ë❝ t➼♥❤ s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ♠å✐

ð ✤➙②

dom(a)

●✐→ trà t❤✉ë❝ t➼♥❤
❳➨t t➟♣

a

❧➔ t➟♣ ❝→❝ ❣✐→ trà ❝õ❛

a

❝õ❛ ✤è✐ t÷ñ♥❣

B ⊆ A✳

u

a ∈ A, a : U → dom(a)✱

❝á♥ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠✐➲♥ ❣✐→ trà ❝õ❛

✤÷ñ❝ ✈✐➳t ❧➔

a(u)

❤♦➦❝

a✳

u(a)✳

◗✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐ s❛✉

IN D(B) = {(u, v) ∈ U 2 |∀a ∈ B, u(a) = v(a)}
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ q✉❛♥ ❤➺
t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ tr➯♥

B ✲❦❤æ♥❣

♣❤➙♥ ❜✐➺t✳ ❉➵ t❤➜② IN D(B) ❧➔ ♠ët q✉❛♥ ❤➺

B✳

❳➨t t➟♣ ❝→❝ ✤è✐ t÷ñ♥❣

X ⊆ U✳

●å✐

BX = {u ∈ U |[u] ⊆ X}
✈➔

BX = {u ∈ U |[u] ∩ X = ∅}
❧➛♥ ❧÷ñt t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧➔

B ✲①➜♣

❉➵ ❦✐➸♠ ❝❤ù♥❣ ✤÷ñ❝

①➾ ❞÷î✐ ✈➔ B ✲①➜♣ ①➾ tr➯♥ ❝õ❛ X ✳

B ✲①➜♣

①➾ tr➯♥ ❧➔ ♠ët ❚❚❇✣✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥

B ✲①➜♣

①➾ ❞÷î✐ ❧↕✐ ❦❤æ♥❣ ♣❤↔✐ ❚❚❇✣✱ ♥â ❝❤➾ t❤ä❛ ❤❛✐ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈➔ ❧ô②
✤➥♥❣✳




✶✳✶✳✷✳✸✳ ❚♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳
X=∅
❈❤♦ ♠ët t➟♣ ❤ñ♣

X

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët tæ♣æ tr➯♥

X

✳ ▼ët ❤å

T

♥➳✉✿

✭✶✮ ∅ ∈ T ✱ X ∈ T ✱
✭✷✮ {Gi}i∈I ⊆ T ⇒ Gi ∈ T ✱
i∈I
✭✸✮ ∀G1, G2 ∈ T ⇒ G1 ∩ G2 ∈ T ✳
❚➟♣ ❤ñ♣
❤✐➺✉
❝õ❛

(X, T )✳

X

X

❝ò♥❣ ✈î✐ tæ♣æ tr➯♥

▼é✐ t➟♣

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

A

❝õ❛

❧➔

F ⊇A:F

f (A) =

X

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

t➟♣ ✤â♥❣ ♥➳✉ X \ F

❳➨t ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ
❜ð✐

X

❝→❝ t➟♣ ❤ñ♣ ❝♦♥ ❝õ❛

T = (X, T )✳

t➟♣ ♠ð

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ✱ ❦þ

♥➳✉

A∈T✳

❚➟♣ ❝♦♥

F

❧➔ t➟♣ ♠ð✳
⑩♥❤ ①↕

❧➔ t➟♣ ✤â♥❣ tr➯♥

T

f : 2X −→ 2X
✈î✐ ♠å✐

A ⊆ X✱

①→❝ ✤à♥❤
✤÷ñ❝ ❣å✐

❜❛♦ ✤â♥❣ ❝õ❛ t➟♣ A✱ ❦þ ❤✐➺✉ ❧➔ A✳
❉➵ t❤➜② ❜❛♦ ✤â♥❣

A

❧➔ ♠ët ❚❚❇✣✳

✶✳✶✳✷✳✹✳ ❚♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣ tr♦♥❣ ♠❛tr♦✐❞
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳ E
❈❤♦

❝➦♣

M = (E, I)

❧➔ ♠ët t➟♣ ❤ú✉ ❤↕♥ tò② þ ✈➔ ❤å

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët

I ⊆ 2E ✳

▼ët

♠❛tr♦✐❞ ✭tr➯♥ E ✮ ♥➳✉ t❤ä❛ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥

s❛✉✿

✭✶✮ ∅ ∈ I ✱
✭✷✮ ♥➳✉ X ∈ I ✈➔ Y ⊂ X t❤➻ Y ∈ I ✱
✭✸✮ ♥➳✉ X, Y ∈ I ✈➔ |X| > |Y | t❤➻ ❝â ♠ët ♣❤➛♥ tû e ∈ X \ Y

s❛♦ ❝❤♦

Y ∪ {e} ∈ I ✳
❈→❝ t➟♣ ❝♦♥
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

X∈I

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

t➟♣ ♣❤ö t❤✉ë❝✳

❳➨t ♠❛tr♦✐❞

M = (E, I)

✈➔

t➟♣ ✤ë❝ ❧➟♣ ✈➔ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ t❤✉ë❝ 2E \ I

X ⊆ E✳

❍➔♠

r : 2E −→ N

r(X) = ♠❛① {|Y | : Y ⊆ X, Y ∈ I}


①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐


✈î✐ ♠å✐

X ⊆ E✱

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

❤➔♠ ❤↕♥❣ ❝õ❛ X ✳ ⑩♥❤ ①↕ cl : 2E −→ 2E ✤÷ñ❝

①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉✿

cl(X) = {e ∈ E : r(X ∪ {e}) = r(X)}
✈î✐ ♠å✐

X ⊆ E✱

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

❜❛♦ ✤â♥❣ ❝õ❛ t➟♣ X ✳

❉➵ ❦✐➸♠ ❝❤ù♥❣ ✤÷ñ❝ ❜❛♦ ✤â♥❣

cl



❧➔ ♠ët ❚❚❇✣

✶✳✷ ▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳

❬✶❪

●✐↔ sû f ∈ Close(U )✳ ❑❤✐ ✤â ✈î✐ ♠å✐ X, Y

⊆U

✭✶✮ f (f (X) ∪ Y ) = f (X ∪ f (Y )) = f (X ∪ Y )
✭✷✮ f (X ∪ Y ) ⊇ f (X) ∪ f (Y )
✭✸✮ f (X ∩ Y ) ⊆ f (X) ∩ f (Y )✳

t❛ ❝â✿

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✗
✭✶✮ ❚❛ ❝❤➾ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤
✈❛✐ trá ❝õ❛

X

✈➔

Y

f (f (X) ∪ Y ) = f (X ∪ Y )✱ s❛✉ ✤â ❤♦→♥ ✤ê✐

t❛ s➩ t❤✉ ✤÷ñ❝ ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ t❤❡♦

t➼♥❤ ♣❤↔♥ ①↕ ✈➔ t➼♥❤ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝õ❛

f

t❛ ❝â✿

f (X) ⊇ X
⇒ f (X) ∪ Y ⊇ X ∪ Y
⇒ f (f (X) ∪ Y ) ⊇ f (X ∪ Y )
▼➦t ❦❤→❝ tø t➼♥❤ ♣❤↔♥ ①↕✱ t➼♥❤ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈➔ t➼♥❤ ❧ô② ✤➥♥❣ ❝õ❛
❝â✿



 X ⊆X ∪Y



 f (X) ⊆ f (X ∪ Y )




 Y ⊆ X ∪ Y ⊆ f (X ∪ Y )


 Y ⊆ f (X ∪ Y )
⇒ f (X) ∪ Y ⊆ f (X ∪ Y )



✭✶✳✶✮

f

t❛ ❝ô♥❣


⇒ f (f (X) ∪ Y ) ⊆ f (f (X ∪ Y ))
= f (X ∪ Y )
❚ø ✭✶✳✶✮ ✈➔ ✭✶✳✷✮ t❛ ❝â
◆❤÷ ✈➟②

✭✶✳✷✮

f (f (X) ∪ Y ) = f (X ∪ Y )✳

f (f (X) ∪ Y ) = f (X ∪ f (Y )) = f (X ∪ Y )✳

✭✷✮ ❚❤❡♦
 t➼♥❤ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝õ❛f t❛ ❝â✿


 X ∪Y ⊇X




 f (X ∪ Y ) ⊇ f (X)


 f (X ∪ Y ) ⊇ f (Y )
⇒f (X ∪ Y ) ⊇ f (X) ∪ f (Y )✳


 X ∪Y ⊇Y

✭✸✮ ❚÷ì♥❣
✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝õ❛
 tü ✭✷✮ t❤❡♦ t➼♥❤ 


 X ∩Y ⊆X

 X ∩Y ⊆Y



✈➔

t❛ ❝â✿


 f (X ∩ Y ) ⊆ f (X)


 f (X ∩ Y ) ⊆ f (Y )
⇒f (X ∩ Y ) ⊆ f (X) ∩ f (Y )✳

❚ø ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶ t❛ s✉② r❛ ♥❣❛②

f ∈ Close(U )

f

f (f (X) ∪ f (Y )) = f (X ∪ Y )✱

✈î✐ ♠å✐

X, Y ⊆ U ✳

❈→❝ ✈➼ ❞ö s❛✉ ✤➙② ❝❤♦ t❤➜② ❝→❝ ❜❛♦ ❤➔♠ t❤ù❝ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐ ❝õ❛ ❝→❝ t➼♥❤
❝❤➜t ✭✷✮ ✈➔ ✭✸✮ tr♦♥❣ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ✤ó♥❣✳

❱➼ ❞ö ✶✳✷✳
●✐↔ sû

✣✐➲✉ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐ ❝õ❛ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶ ✭✷✮ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ✤ó♥❣✳

U = {a, b, c}

♥❤÷ s❛✉✿

f (X) =

✈➔ →♥❤ ①↕

f = fab,c : 2U −→ 2U



 X ∪ {c} ,



❚❛ ❞➵ ❞➔♥❣ ❦✐➸♠ tr❛ ✤÷ñ❝

X,

♥➳✉

✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛

{a, b} ⊆ X

♥❣÷ñ❝ ❧↕✐

f ∈ Close(U )✳ ❑❤✐ ✤â ✈î✐ X = {a}✱ Y = {b}

t❛ ❝â✿

f (X ∪ Y ) = f ({a, b}) = {a, b, c}✱
f (X) = f ({a}) = {a}✱



f (Y ) = f ({b}) = {b}✳
❙✉② r❛

f (X) ∪ f (Y ) ={a, b}✳

❱➼ ❞ö ✶✳✸✳

✣✐➲✉ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐ ❝õ❛ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶ ✭✸✮ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ✤ó♥❣✳

❳➨t ❚❚❇✣

Y = {b, c}

f (X ∪ Y ) = f (X) ∪ f (Y )✳

❱➟②

f = fab,c

♥❤÷ ❱➼ ❞ö ✶✳✷ ð tr➯♥✳ ❑❤✐ ✤â ✈î✐

X = {a, b}✱

t❛ ❝â✿

f (X ∩ Y ) = f ({b}) = {b}✱
f (X) = f ({a, b}) = {a, b, c}✱
f (Y ) = f ({a, c}) = {a, c}✳
❙✉② r❛

f (X) ∩ f (Y ) = {a, c}✳

f (X ∩ Y ) = f (X) ∩ f (Y )✳

❱➟②

✶✳✸ ✣✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹✳

❈❤♦

f ∈ Close(U )

✈➔

X ⊆ U✳ X

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

✤ë♥❣ ❤❛② t➟♣ ✤â♥❣ ❝õ❛ f ♥➳✉ f (X) = X ✳
❑þ ❤✐➺✉

F ix(f )

✤✐➸♠ ❜➜t

❧➔ t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ ❚❚❇✣

f✳

◆❤÷

✈➟②

F ix(f ) = {X ⊆ U : f (X) = X} .
❱➻

f (U ) = U

♥➯♥ rã r➔♥❣

F ix(f )

❧✉æ♥ ❝❤ù❛

♥❤➜t✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ❞♦ t➼♥❤ ❧ô② ✤➥♥❣ ❝õ❛ ❚❚❇✣

f

U

♥❤÷ ❧➔ ♣❤➛♥ tû ❧î♥

♥➯♥

F ix(f ) = {f (X) : X ⊆ U } .

❱➼ ❞ö ✶✳✹✳

❈→❝ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ tr♦♥❣ ❤å ❝→❝ ❚❚❇✣ ❝ì ❜↔♥

✭✶✮ ❚❚❇✣ tè✐ ✤↕✐
❜➜t ✤ë♥❣

U✳

❉♦ ✤â



tr➯♥ t➟♣

❤ú✉ ❤↕♥ ❜➜t ❦ý ❝â ❞✉② ♥❤➜t ♠ët ✤✐➸♠

F ix(Ω) = {U }✳

✭✷✮ ❚❚❇✣ ✤ç♥❣ ♥❤➜t

U

U

{Ω, i, hT }

i tr➯♥ t➟♣ U

❧➔ ♠ët ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣✳ ◆❤÷ ✈➟②

❤ú✉ ❤↕♥ ❜➜t ❦ý ❝â ♠é✐ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛

F ix(i) = 2U ✳

✶✵


✭✸✮ ▼é✐ ❚❚❇✣ tà♥❤ t✐➳♥ t❤❡♦ t➟♣ ❝♦♥
❜➜t ✤ë♥❣ ❧➔ ♠é✐ t➟♣ ❝♦♥ tò② þ ❝õ❛

U

T ⊆U =∅
T✳

❝❤ù❛

❜➜t ❦ý✱ ❝â ❝→❝ ✤✐➸♠

❉♦ ✤â

F ix(hT ) = {T ∪ X : X ⊆ U } .

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳

●✐↔ sû f

❬✶❪

♥❤ä ♥❤➜t ❝❤ù❛ X ✳

∈ Close(U )✳

❑❤✐ ✤â f (X) ❧➔ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✗
❚❤❡♦ t➼♥❤ ❧ô② ✤➥♥❣ ✈➔ t➼♥❤ ♣❤↔♥ ①↕ ❝õ❛

f

t❛ ❝â✿

f (f (X)) = f (X) ⊇ X.
❉♦ ✤â

f (X)

❧➔ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤ù❛

◆❣♦➔✐ r❛ ❣✐↔ sû
✈➔

Y ⊇ X✳

Y

X✳

❧➔ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❜➜t ❦ý ❝❤ù❛

X ✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ f (Y ) = Y

❙✉② r❛

Y = f (Y ) ⊇ f (X).
✣✐➲✉ ♥➔② ❝â ♥❣❤➽❛

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸✳

f (X)

❧➔ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ♥❤ä ♥❤➜t ❝❤ù❛

X✳

❈❤♦ f ∈ Close(U )✳ ◆➳✉ X ✈➔ Y ❧➔ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣

❬✶❪

❝õ❛ f t❤➻

f (X ∩ Y ) = f (X) ∩ f (Y ).

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✗
❚❤❡♦ t➼♥❤ ♣❤↔♥ ①↕ ❝õ❛

f✱

f

✈➔ ❣✐↔ t❤✐➳t

X, Y

❧➔ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛

t❛ ❝â✿

f (X ∩ Y ) ⊇ X ∩ Y = f (X) ∩ f (Y ).
◆❣♦➔✐ r❛ t❤❡♦ t❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✱ t❛ ❝â

f (X ∩ Y ) ⊆ f (X) ∩ f (Y ).
❚ø ✤➙② s✉② r❛

f (X ∩ Y ) = f (X) ∩ f (Y )✳
✶✶


▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✹✳

●✐↔ sû f ∈ Close(U )✳ ❑❤✐ ✤â
✭✶✮ U ∈ F ix(f )✱
✭✷✮ X, Y ∈ F ix(f ) ⇒ X ∩ Y ∈ F ix(f )✳
❬✶❪

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✗
✭✶✮ ❱➻ f (U ) = U ♥➯♥ rã r➔♥❣ U ∈ F ix(f )✳
✭✷✮ ●✐↔ sû X, Y ∈ F ix(f )✳ ❚❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸ ✈➔ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❚❚❇✣
t❛ ❝â✿

f (X ∩ Y ) = f (X) ∩ f (Y ) = X ∩ Y .
❙✉② r❛

X ∩ Y ∈ F ix(f )✳
F ix(f )

◆❤÷ ✈➟② t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣

U✳

❣✐❛♦ ✈➔ ❝❤ù❛ ♣❤➛♥ tû ❧î♥ ♥❤➜t

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✺✳
♠ët

✤â♥❣ ✈î✐ ♣❤➨♣ t♦→♥

❈❤♦ t➟♣ s➢♣ t❤ù tü ❜ë ♣❤➟♥

(L, ≤)✳

❚➟♣

L

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

❞➔♥ ♥➳✉ ✈î✐ ❤❛✐ ♣❤➛♥ tû ❜➜t ❦ý a, b ∈ L✱ t➟♣ {a, b} ❧✉æ♥ ❝â ❝➟♥ tr➯♥

✈➔ ❝➟♥ ❞÷î✐✳ ❈➟♥ tr➯♥ ✈➔ ❝➟♥ ❞÷î✐ ❝õ❛
✭❣å✐ ❧➔ ♥è✐✮ ✈➔

a∧b

{a, b}

❧➛♥ ❧÷ñt ✤÷ñ❝ ❦þ ❤✐➺✉ ❧➔

a∨b

✭❣å✐ ❧➔ ❣✐❛♦✮✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✺✳ ❚❛ ❝â (F ix(f ), ⊆, ∧, ∨) ❧➔ ♠ët ❞➔♥✱ ✈î✐ X ∧ Y = X ∩ Y
❬✷❪

✈➔ X ∨ Y
F ix(f )✳

{Z ∈ F ix(f ) : X ∪ Y ⊆ Z}✱

= f (X ∪ Y ) =

✈î✐ ♠å✐ X, Y



✶✳✹ ▼❛ tr➟♥ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✻✳
❝õ❛

M

M

❈❤♦

M

❧➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥

ù♥❣ ✈î✐ ♠ët ♣❤➛♥ tû tr♦♥❣ t➟♣

♥❤÷ ❧➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥ tr➯♥

tr♦♥❣

M✱

❦þ ❤✐➺✉

A → a✱

♥❤÷♥❣ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ tr➯♥

U✳

♥➳✉

❈❤♦

M

m

❤➔♥❣

n

❝ët✳ ❚❛ ①❡♠ ♠é✐ ❝ët

U = {a1 , a2 , . . . , an }

A⊆U

✈➔

a ∈ U✳

✈➔ q✉❛♥ ♥✐➺♠

❚❛ ♥â✐

A

s✉② r❛ a

❦❤æ♥❣ ❝❤ù❛ ❤❛✐ ❤➔♥❣ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉ tr➯♥

a✳
✶✷

A


❚ø

M✱

①➨t →♥❤ ①↕

fM : 2U −→ 2U

①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉✿

fM (A) = {a ∈ U : A → a}
✈î✐ ♠å✐
tr➯♥

U

A ⊆ U✳
♥➳✉

M

❑❤✐ ✤â ♠❛ tr➟♥

tr➯♥

U

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❚❚❇✣ f

fM = f ✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✻✳ ◆➳✉ M ❧➔ ♠❛ tr➟♥ m ❤➔♥❣ n ❝ët tr➯♥ U t❤➻ fM ∈ Close(U )
❬✹❪

❧➔ ♠ët ❚❚❇✣✳ ◆❣÷ñ❝ ❧↕✐✱ ♥➳✉ f
s❛♦ ❝❤♦ M ❧➔ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝õ❛ f ✳
❘ã r➔♥❣ ✈î✐ ♠ët

f✳

❈❤➥♥❣ ❤↕♥✱ ❝❤♦

♥❤÷ s❛✉✿

❉♦ ✤â



∈ Close(U )

f ∈ Close(U )✱

U = {a, b}✱

t❤➻ tç♥ t↕✐ ♠ët ♠❛ tr➟♥ M

❝â t❤➸ ❝â ♥❤✐➲✉ ♠❛ tr➟♥

①➨t →♥❤ ①↕

f : 2U −→ 2U

M

❜✐➸✉ ❞✐➵♥

✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤

f (∅) = f ({b}) = {b} , f ({a}) = f (U ) = U.
f ∈ Close(U )✳

❳➨t ♠❛ tr➟♥

M

tr➯♥

U

♥❤÷ s❛✉✿


M =

0 0
1 0




❑❤✐ ✤â t❛ ❝â✿

fM (∅) = {b} , fM ({a}) = {a, b} = U, fM ({b}) = {b} , fM (U ) = U.
❙✉② r❛



fM = f

❳➨t ♠❛ tr➟♥

M

❤❛②

M

tr➯♥

f✳

❜✐➸✉ ❞✐➵♥

U

♥❤÷ s❛✉✿



0 0






M =
2
0


1 0
✶✸


t ữủ

fM = fM = f



M = M

tr õ số t t s õ

f

ữủ ồ

tr tố t f t
s(f ) = m : M

m n ởt

tr



fM = f .

rr



A, B K


t

ởt ồ

AB

õ

K 2U



ữủ ồ rr tr

U



B A

ừ rr

K

ữủ ỵ

K1



ữ s

K1 =

A U : (B K) (B A)



(A C) (B K)(B C)} .
ó r

K1

ụ ởt rr tr

ọ t ừ

U
K



K

t t

ổ ự tr ởt t t ý ừ

t t ợ t ừ
r t

U



K1

U

K1



K1

ổ ự t ý ởt t ừ

K

ữủ t

ỵ K rr tr U ỗ n tỷ ú õ t


õ


|K|

n
n
2


,

[x] số ợ t ổ ữủt q x









ởt ừ

S = 1 , 2 , . . . , |S|





ố ởt

U ú t õ ởt S U

t õ ú

S U

|S|

tỷ t tr

t số


t ừ





U

t

S




|S|!(n |S|)



U

r tứ

K

rr ổ õ





õ t t ỡ số tỷ ừ ởt t ủ ừ

K

tr ợ t tỗ t ởt t ủ õ ự ởt t
t ợ


S K

K

ởt rr õ số

|S|!(n |S|)!





t

ổ t ợ ỡ tờ số

SK


n!

|S|!(n |S|)! n!



ứ t õ

SK

1


n

SK



|S|



=
SK







SK





|K|

n
n
2





n
|S|

1



|S|!(n |S|)!
1,
n!

n




SK



n
2



n
2

1



n





n
|S|

1.





õ
t

U

ởt t ỳ t ý





F

tr

U

F

ởt ồ t ừ

ữủ ồ ởt

õ tọ s

F1, F2 F F1 F2 F
U F


U

õ ồ r


❘ã r➔♥❣ ❤➺ ❜❛♦ ✤â♥❣ ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❧↕✐ ♥❤÷ s❛✉✿

F ⊆ 2U : (∀F ⊆ F ⇒
◆❤÷ ✈➟② ❝â t❤➸ t❤➜② ❤➺ ❜❛♦ ✤â♥❣

U

F

F ∈ F)

tr➯♥

U

✤â♥❣ ✤è✐ ✈î✐ ♣❤➨♣ ❣✐❛♦ ✈➔ ❝❤ù❛ ♣❤➛♥ tû

❱➼ ❞ö ✶✳✺✳
❜❛♦ ✤â♥❣

✭✶✮ ❈❤♦

f ∈ Close(U )✳

U

❧➔ ♠ët ❤å ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛

♥❤÷ ❧➔ ♣❤➛♥ tû ❧î♥ ♥❤➜t✳

❚➟♣ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣

F ix(f )

❧➔ ♠ët ❤➺



✭✷✮ ❚r♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ✱

A∪B ∈T

t❤➻

✭✸✮ ❈❤♦

T

T

❧➔ ❤å ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ✤â♥❣ ✈➔

∀A, B ∈ T ✱

❧➔ ♠ët ❤➺ ❜❛♦ ✤â♥❣✳

A, B ⊆ U ✳

▼ët ❤å

MA,B

①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥

2U

✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛

♥❤÷ s❛✉✿

MA,B = X ⊆ U : A ⊆ X
❧➔ ♠ët ❤➺ ❜❛♦ ✤â♥❣ tr➯♥

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✽✳

t❤❡♦ q✉② t➢❝

❬✶✵❪

❤♦➦❝

B⊆X

U✳

▼ët ❤➺ ❜❛♦ ✤â♥❣ F tr➯♥ U ①→❝ ✤à♥❤ ♠ët f ∈ Close(U )
f (X) =

{Y ∈ F : X ⊆ Y }

✭✶✳✸✮

✣↔♦ ❧↕✐✱ ♠é✐ f ∈ Close(U ) ①→❝ ✤à♥❤ ♠ët ❤➺ ❜❛♦ ✤â♥❣
F = {X ⊆ U : f (X) = X}

✭✶✳✹✮

✈➔ t÷ì♥❣ ù♥❣ f ←→ F ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ tr➯♥ ❣✐ú❛ ❝→❝ ❤➺ ❜❛♦ ✤â♥❣ ✈➔ ❝→❝ ❚❚❇✣
❧➔ ♠ët t÷ì♥❣ ù♥❣ ♠ët✲♠ët✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✗
❉➵ t❤➜②

f (X) =

{Y ∈ F : X ⊆ Y }

t❤ä❛ t➼♥❤ ♣❤↔♥ ①↕ ✈➔ ✤ì♥ ✤✐➺✉✳

❉♦ ✤â t❛ ❝❤➾ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♥â t❤ä❛ t➼♥❤ ❧ô② ✤➥♥❣✳ ❚❤➟t ✈➟②

✶✻


f (X) = X ⇔ X ∈ F
❱➻

f (X) ∈ F

✣↔♦ ❧↕✐✱ ♥➳✉ ❚❚❇✣
❝â✿ ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐

f (X) ⊆

f (X) = X ✱

f

t❤ä❛ t➼♥❤ ❧ô② ✤➥♥❣✳

t❤ä❛ t➼♥❤ ♣❤↔♥ ①↕✱ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈➔ ❧ô② ✤➥♥❣ t❤➻ t❛

Xi ∈ F ✱ i = 1, 2, . . . , l

t❤❡♦ t➼♥❤ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝õ❛
✈➻ ✈➟②

f (X)

♥➯♥ t❛ s✉② r❛

f

t❛ ❝â

Xi = X ✳

tù❝ ❧➔

f

f ←→ F

f

✤â♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ t♦→♥ tû

i = 1, 2, . . . , l✱

✤✐➲✉ ✤â ❝❤ù♥❣ tä

❧➔ t♦→♥ tû ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ✭✶✳✸✮ ✈➔

f

t❤❡♦ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✭✶✳✹✮✳ ❚❤➳ t❤➻

f

f

F

F =F

tò② þ ✈➔ ❣✐↔ sû

f

t❤❡♦ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✭✶✳✹✮✱ ❝á♥

t❤❡♦ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✭✶✳✸✮✳ ◆❤÷ ✈➟②

F

F

F

❧➔ ❤➺ ❜❛♦
t❤❡♦

❧➔ ❤➺ ❜❛♦

❧➔ t♦→♥ tû ①→❝

❝ô♥❣ ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

✱ ❞♦ ✤â

f (X) = X ⇔ f (X) = X
❚❤❡♦ t➼♥❤ ❧ô② ✤➥♥❣ t❤➻

f (X)✳

❞♦ ✤â

❧➔ t÷ì♥❣ ù♥❣ ♠ët✲♠ët✳ ●✐↔ sû

✭✶✳✺✮✳ ❙❛✉ ✤â t❛ ❧➜② ♠ët t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣

f

X ⊆ Xi ✱

✈î✐ ♠å✐

❈ò♥❣ ✈î✐ t➼♥❤ ♣❤↔♥ ①↕ ❝õ❛

✤â♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ t♦→♥ tû

t♦→♥ tû

t❤➻

X ∈ F✳

❧➔ ♠ët ❤➺ ❜❛♦ ✤â♥❣ tò② þ✱

F

Xi = X

✈➔

f (X) ⊆ f (Xi ) = Xi

❇➙② ❣✐í ❝❤ù♥❣ tä t÷ì♥❣ ù♥❣

✤à♥❤ ❜ð✐ ❤➺

✭✶✳✺✮

◆❤÷♥❣

f (f X)) = f (X)

X ⊆ f (X)

✭✶✳✻✮

✈➻ ✈➟② tø ✭✶✳✻✮ s✉② r❛

✈➔ →♣ ❞ö♥❣ t➼♥❤ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝õ❛

f

f (f (X)) =

t❛ ✤÷ñ❝

f (X) ⊆ f (f (X)) = f (X).
❉♦ t➼♥❤ ✤è✐ ①ù♥❣ t❛ ❝ô♥❣ ❝â

f (X) ⊆ f (f (X)) = f (X)✳

❚ø ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✽ ❝❤♦ ❝❤ó♥❣ t❛ t❤➜② ❝â ♠ët t÷ì♥❣ ù♥❣ ✶✲✶ ❣✐ú❛ ❧î♣ ❝→❝
❚❚❇✣ ✈➔ ❧î♣ ❝→❝ ❤➺ ❜❛♦ ✤â♥❣✳ ❉♦ ✤â ❤➺ ❜❛♦ ✤â♥❣ ❧➔ ♠ët ♠æ t↔ t÷ì♥❣
✤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❚❚❇✣✳

✶✼


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×