Tải bản đầy đủ

Toán tử bao đóng và một số bài toán tổ hợp


r ự ổ t qt ừ t ợ tỹ
t ồ ổ õ ởt trỏ rt q trồ t q ừ t ồ
ữủ ự sỷ ử ữ ỳ ổ ử ú t r ữỡ
qt tố ữ tr t ợ tỹ tỷ õ
sr rtr ởt ổ ử q trồ ữ tỷ õ
ữủ ởt tr t ừ ởt t ỳ t
ý ữủ s tự tỹ ợ q tự tỹ tọ t t
ỡ ụ t tỷ õ ữủ õ t
ự tr ữợ sỷ ử ữ ởt ổ ử t ồ
trủ ú ổ t t ỵ tt ụ ữ ự ử
tr ởt số ỹ tở ồ t ữ ỡ s ỳ
ỳ tr t t õ ổ tr ự ỵ
tt t tỷ õ s t tỷ õ ợ ử
q t t tr ố tữủ t tỷ õ t q
ự t õ t ử t tỷ õ
t tr s s ỡ ỳ ỳ ự q ỳ
t tỷ õ t ữ ởt
q trồ tr ồ t tú sỹ ự
ừ ồ tr ữợ t tỷ õ
ự ử ừ õ

t t t ỗ
ữỡ ợ trú ữ s ữỡ tờ q t tỷ õ
ữỡ tr ởt số t t ỡ ừ t tỷ
õ r ữỡ ụ tr rr ởt số
t q rr ởt ừ t tỷ õ
tr õ t õ sỹ tữỡ q ỳ
t õ õ tữỡ ự ởtởt ỳ ợ t tỷ õ



ợ õ ữỡ ự t số tr
t tỷ õ ữỡ ợ t ởt số t số ỡ
ữ ở t ủ t t trỹ t ừ t tỷ
õ ự t õ ừ ở t trỹ
t tr t tỷ õ õ ỏ r ởt số
ủ t t õ ợ ợ t tỷ õ
ữỡ ự ởt số t tờ ủ tr t tỷ õ r
ữỡ ừ t q t tr ử t
tỷ õ qt t tờ ủ ữ õ õ
s ố tỷ t tt t t t õ tố t tứ t
õ ữủ tứ t õ tố t t t õ
t t t t õ s ố tỷ ừ õ
ụ ữủ t tr õ tr ữỡ ụ
tr ố tữỡ q ỳ ố tữủ ỡ ữ õ õ
s ố tỷ ừ t tỷ õ
ũ õ ố ữ s ổ tr ọ sỹ t sõt
rt ữủ ỳ ỵ õ õ tứ qỵ t ổ
ồ t ỡ




❈❤÷ì♥❣ ✶
❚ê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣
✶✳✶ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣
✶✳✶✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳ ❈❤♦ U ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤ú✉ ❤↕♥ ❜➜t ❦ý✳ ⑩♥❤ ①↕ f ✿2U −→ 2U

t❤ä❛ ❜❛ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉✿

✭✐✮ t➼♥❤ ♣❤↔♥ ①↕✿ X ⊆ f (X)✱
✭✐✐✮ t➼♥❤ ✤ì♥ ✤✐➺✉✿ ♥➳✉ X ⊆ Y t❤➻ f (X) ⊆ f (Y )✱
✭✐✐✐✮ t➼♥❤ ❧ô② ✤➥♥❣✿ f (f (X)) = f (X)✱
✈î✐ ♠å✐ X, Y ⊆ U ✱ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣ ✭❚❚❇✣✮ tr➯♥ U ✳
❑þ ❤✐➺✉ Close(U ) ❧➔ t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❚❚❇✣ tr➯♥ U ✳

✶✳✶✳✷ ▼ët sè t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣ q✉❡♥ t❤✉ë❝
✶✳✶✳✷✳✶✳ ❚♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣ tr♦♥❣ ❝ì sð ❞ú ❧✐➺✉

❈❤♦ ♠ët t➟♣ ❤ú✉ ❤↕♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝→❝ t❤✉ë❝ t➼♥❤ A = {a1, a2, . . . , an}
✭❝❤➥♥❣ ❤↕♥ ♥❤÷ ❤å t➯♥✱ ♥❣➔② s✐♥❤✱ ✳✳✳✮✳ ▼ët ♣❤ö t❤✉ë❝ ❤➔♠ tr➯♥ A ❧➔ ♠ët
♠➺♥❤ ✤➲ ❝â ❞↕♥❣ X → Y tr♦♥❣ ✤â X, Y ⊆ A✳ ❈❤♦ F ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝→❝ ♣❤ö
t❤✉ë❝ ❤➔♠ tr➯♥ A✳ ❇❛♦ ✤â♥❣ ❝õ❛ F ✱ ❦þ ❤✐➺✉ F +✱ ❧➔ t➟♣ ❝→❝ ♣❤ö t❤✉ë❝ ❤➔♠
tr➯♥ A ♥❤ä ♥❤➜t ❝❤ù❛ F ✈➔ t❤ä❛ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉✿
✭✶✮ t➼♥❤ ♣❤↔♥ ①↕ ✿ ♥➳✉ Y ⊆ X t❤➻ X → Y ∈ F +✱
✭✷✮ t➼♥❤ ❣✐❛ t➠♥❣ ✿ ♥➳✉ X → Y ∈ F + t❤➻ X ∪ Z → Y ∪ Z ∈ F +✱
✭✸✮ t➼♥❤ ❜➢❝ ❝➛✉ ✿ ♥➳✉ X → Y ∈ F + ✈➔ Y → Z ∈ F + t❤➻ X → Z ∈
F +✱
✈î✐ ♠å✐ X, Y, Z ⊆ A✳



❇❛♦ ✤â♥❣ ❝õ❛ t➟♣ t❤✉ë❝ t➼♥❤ X ✱ ❦þ ❤✐➺✉ X +✱ ❧➔ t➟♣ ❝→❝ t❤✉ë❝ t➼♥❤
a ∈ A s❛♦ ❝❤♦ X → {a} ∈ F + ✳
▼ët ❝→❝❤ ❤➻♥❤ t❤ù❝
X + = {a ∈ A|X → {a} ∈ F + }.

❉➵ ❦✐➸♠ ❝❤ù♥❣ ✤÷ñ❝ ❝→❝ ❜❛♦ ✤â♥❣ F + ✈➔ X + ❧➔ ❝→❝ ❚❚❇✣✳

✶✳✶✳✷✳✸✳ ❚♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳ ❈❤♦ ♠ët t➟♣ ❤ñ♣ X = ∅✳ ▼ët ❤å T ❝→❝ t➟♣ ❤ñ♣ ❝♦♥

❝õ❛ X ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët tæ♣æ tr➯♥ X ♥➳✉✿
✭✶✮ ∅ ∈ T ✱ X ∈ T ✱
✭✷✮ {Gi}i∈I ⊆ T ⇒ Gi ∈ T ✱
i∈I
✭✸✮ ∀G1, G2 ∈ T ⇒ G1 ∩ G2 ∈ T ✳
❚➟♣ ❤ñ♣ X ❝ò♥❣ ✈î✐ tæ♣æ tr➯♥ X ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ✱ ❦þ
❤✐➺✉ (X, T )✳ ▼é✐ t➟♣ A ❝õ❛ X ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t➟♣ ♠ð ♥➳✉ A ∈ T ✳ ❚➟♣ ❝♦♥ F
❝õ❛ X ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t➟♣ ✤â♥❣ ♥➳✉ X \ F ❧➔ t➟♣ ♠ð✳
❳➨t ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ T = (X, T )✳ ⑩♥❤ ①↕ f : 2X −→ 2X ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
F ⊇ A : F ❧➔ t➟♣ ✤â♥❣ tr➯♥ T ✈î✐ ♠å✐ A ⊆ X ✱ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
f (A) =
❜❛♦ ✤â♥❣ ❝õ❛ t➟♣ A✱ ❦þ ❤✐➺✉ ❧➔ A✳
❉➵ t❤➜② ❜❛♦ ✤â♥❣ A ❧➔ ♠ët ❚❚❇✣✳

✶✳✷ ▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳ ●✐↔ sû f ∈ Close(U )✳ ❑❤✐ ✤â ✈î✐ ♠å✐ X, Y ⊆ U t❛ ❝â✿

✭✶✮ f (f (X) ∪ Y ) = f (X ∪ f (Y )) = f (X ∪ Y )
✭✷✮ f (X ∪ Y ) ⊇ f (X) ∪ f (Y )
✭✸✮ f (X ∩ Y ) ⊆ f (X) ∩ f (Y )✳
❚ø ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶ t❛ s✉② r❛ ♥❣❛② f (f (X) ∪ f (Y )) = f (X ∪ Y )✱ ✈î✐ ♠å✐
f ∈ Close(U ) ✈➔ X, Y ⊆ U ✳ ❈→❝ ❜❛♦ ❤➔♠ t❤ù❝ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐ ❝õ❛ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t
✭✷✮ ✈➔ ✭✸✮ tr♦♥❣ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ✤ó♥❣✳




✶✳✸ ✣✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳ ❈❤♦ f ∈ Close(U ) ✈➔ X ⊆ U ✳ X ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤✐➸♠ ❜➜t

✤ë♥❣ ❤❛② t➟♣ ✤â♥❣ ❝õ❛ f ♥➳✉ f (X) = X ✳
❑þ ❤✐➺✉ F ix(f ) ❧➔ t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ ❚❚❇✣ f ✳ ◆❤÷ ✈➟②
F ix(f ) = {X ⊆ U : f (X) = X} .

❱➻ f (U ) = U ♥➯♥ rã r➔♥❣ F ix(f ) ❧✉æ♥ ❝❤ù❛ U ♥❤÷ ❧➔ ♣❤➛♥ tû ❧î♥
♥❤➜t✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ❞♦ t➼♥❤ ❧ô② ✤➥♥❣ ❝õ❛ ❚❚❇✣ f ♥➯♥
F ix(f ) = {f (X) : X ⊆ U } .

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳ ●✐↔ sû f ∈ Close(U )✳ ❑❤✐ ✤â f (X) ❧➔ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣
♥❤ä ♥❤➜t ❝❤ù❛ X ✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸✳ ❈❤♦ f ∈ Close(U )✳ ◆➳✉ X ✈➔ Y ❧➔ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣
❝õ❛ f t❤➻
f (X ∩ Y ) = f (X) ∩ f (Y ).

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✹✳ ●✐↔ sû f ∈ Close(U )✳ ❑❤✐ ✤â

✭✶✮ U ∈ F ix(f )✱
✭✷✮ X, Y ∈ F ix(f ) ⇒ X ∩ Y ∈ F ix(f )✳
◆❤÷ ✈➟② t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ F ix(f ) ✤â♥❣ ✈î✐ ♣❤➨♣ t♦→♥ ❣✐❛♦
✈➔ ❝❤ù❛ ♣❤➛♥ tû ❧î♥ ♥❤➜t U ✳

✶✳✹ ▼❛ tr➟♥ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹✳ ❈❤♦ M ❧➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥ m ❤➔♥❣ n ❝ët✳ ❚❛ ①❡♠ ♠é✐ ❝ët

❝õ❛ M ù♥❣ ✈î✐ ♠ët ♣❤➛♥ tû tr♦♥❣ t➟♣ U = {a1, a2, . . . , an} ✈➔ q✉❛♥ ♥✐➺♠
M ♥❤÷ ❧➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥ tr➯♥ U ✳ ❈❤♦ A ⊆ U ✈➔ a ∈ U ✳ ❚❛ ♥â✐ A s✉② r❛ a
tr♦♥❣ M ✱ ❦þ ❤✐➺✉ A → a✱ ♥➳✉ M ❦❤æ♥❣ ❝❤ù❛ ❤❛✐ ❤➔♥❣ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉ tr➯♥ A
♥❤÷♥❣ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ tr➯♥ a✳
❚ø M ✱ ①➨t →♥❤ ①↕ fM : 2U −→ 2U ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉✿
fM (A) = {a ∈ U : A → a}




ợ ồ A U õ tr M tr U ữủ ồ f
tr U fM = f
ỵ M tr m n ởt tr U t fM Close(U )
ởt ữủ f Close(U ) t tỗ t ởt tr M
s M ừ f
tr õ số t t s õ f ữủ ồ
tr tố t f t
s(f ) = m : M tr m n ởt fM = f .

rr
ởt ồ K 2U ữủ ồ rr tr U ợ
ồ A, B K t A B B A
õ ừ rr K ữủ ỵ K1 ữ
s
K1 = A U : (B K) (B A)
(A C) (B K)(B C)} .

ó r K1 ụ ởt rr tr U ữ K t t
ọ t ừ U ổ ự tr ởt t t ý ừ K1 K1
t t ợ t ừ U ổ ự t ý ởt t ừ K
r t K K1 ữủ t
ỵ K rr tr U ỗ n tỷ ú õ t
õ
|K|

n
n
2

,

[x] số ợ t ổ ữủt q x

õ
t U ởt t ỳ t ý F ởt ồ t ừ U
ồ F tr U ữủ ồ ởt õ ồ r
õ tọ s



✭✶✮ F1, F2 ∈ F ⇒ F1 ∩ F2 ∈ F ✱
✭✷✮ U ∈ F ✳
❘ã r➔♥❣ ❤➺ ❜❛♦ ✤â♥❣ ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❧↕✐ ♥❤÷ s❛✉✿
F ⊆ 2U : (∀F ⊆ F ⇒

F ∈ F)

◆❤÷ ✈➟② ❝â t❤➸ t❤➜② ❤➺ ❜❛♦ ✤â♥❣ F tr➯♥ U ❧➔ ♠ët ❤å ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛
U ✤â♥❣ ✤è✐ ✈î✐ ♣❤➨♣ ❣✐❛♦ ✈➔ ❝❤ù❛ ♣❤➛♥ tû U ♥❤÷ ❧➔ ♣❤➛♥ tû ❧î♥ ♥❤➜t✳
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✼✳ ▼ët ❤➺ ❜❛♦ ✤â♥❣ F tr➯♥ U ①→❝ ✤à♥❤ ♠ët f ∈ Close(U )
t❤❡♦ q✉② t➢❝
f (X) =
{Y ∈ F : X ⊆ Y }
✭✶✳✶✮

✣↔♦ ❧↕✐✱ ♠é✐ f ∈ Close(U ) ①→❝ ✤à♥❤ ♠ët ❤➺ ❜❛♦ ✤â♥❣
F = {X ⊆ U : f (X) = X}

✭✶✳✷✮

✈➔ t÷ì♥❣ ù♥❣ f ←→ F ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ tr➯♥ ❣✐ú❛ ❝→❝ ❤➺ ❜❛♦ ✤â♥❣ ✈➔ ❝→❝
❚❚❇✣ ❧➔ ♠ët t÷ì♥❣ ù♥❣ ♠ët✲♠ët✳
❚ø ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✼ ❝❤♦ ❝❤ó♥❣ t❛ t❤➜② ❝â ♠ët t÷ì♥❣ ù♥❣ ✶✲✶ ❣✐ú❛ ❧î♣ ❝→❝
❚❚❇✣ ✈➔ ❧î♣ ❝→❝ ❤➺ ❜❛♦ ✤â♥❣✳ ❉♦ ✤â ❤➺ ❜❛♦ ✤â♥❣ ❧➔ ♠ët ♠æ t↔ t÷ì♥❣
✤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❚❚❇✣✳




❈❤÷ì♥❣ ✷
❈→❝ ♣❤➨♣ t♦→♥ ✤↕✐ sè tr➯♥ t♦→♥ tû ❜❛♦
✤â♥❣
✷✳✶ ❍↕♥ ❝❤➳ ❝õ❛ t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳ ❈❤♦ f ∈ Close(U ) ✈➔ M ⊆ U ✳ ❍↕♥ ❝❤➳ ❝õ❛ f tr➯♥
M✱

❦þ ❤✐➺✉ f |M ✱ ❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕ tr➯♥ M ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐✿

f |M (X) = f (X) ∩ M, ∀X ⊆ M.

▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✶✳ ❍↕♥ ❝❤➳ ❝õ❛ ♠ët ❚❚❇✣ ❝ô♥❣ ❧➔ ♠ët ❚❚❇✣✳
◆❤÷ ✈➟② ❧î♣ ❝→❝ ❚❚❇✣ ✤â♥❣ ❦➼♥ ✤è✐ ✈î✐ ♣❤➨♣ ❤↕♥ ❝❤➳✳

✷✳✷ ❍ë✐ ✈➔ t✉②➸♥ ❝õ❛ t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣
✷✳✷✳✶ ❍ë✐ ❝→❝ t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✷✳ ❈❤♦ f, g ∈ Close(U )✳ ⑩♥❤ ①↕ h : 2U −→ 2U ①→❝ ✤à♥❤

❜ð✐

h(X) = f (X) ∩ g(X), ∀X ⊆ U

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤ë✐ ❝õ❛ f ✈➔ g✱ ❦þ ❤✐➺✉ h = f ∧ g✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷✳ ❍ë✐ ❤❛✐ ❚❚❇✣ ❧➔ ♠ët ❚❚❇✣✳
◆❤÷ ✈➟② ❧î♣ ❝→❝ ❚❚❇✣ ✤â♥❣ ❦➼♥ ✤è✐ ✈î✐ ♣❤➨♣ ❤ë✐✳




✷✳✷✳✷ ❚✉②➸♥ ❝→❝ t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✸✳ ❈❤♦ f, g ∈ Close(U )✳ ⑩♥❤ ①↕ t : 2U −→ 2U ①→❝ ✤à♥❤
❜ð✐

t(X) = f (X) ∪ g(X), ∀X ⊆ U

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t✉②➸♥ ❝õ❛ f ✈➔ g✱ ❦þ ❤✐➺✉ t = f ∨ g✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✸✳ ❚✉②➸♥ ❤❛✐ ❚❚❇✣ ❝â t➼♥❤ ♣❤↔♥ ①↕ ✈➔ t➼♥❤ ✤ì♥ ✤✐➺✉✳
❚✉② ♥❤✐➯♥ t✉②➸♥ ❤❛✐ ❚❚❇✣ ❦❤æ♥❣ ❝â t➼♥❤ ❧ô② ✤➥♥❣ ♥➯♥ ❞♦ ✤â ♥â ❦❤æ♥❣
♣❤↔✐ ❧➔ ♠ët ❚❚❇✣✳ ◆❤÷ ✈➟② ❧î♣ ❝→❝ ❚❚❇✣ ❦❤æ♥❣ ✤â♥❣ ❦➼♥ ✤è✐ ✈î✐ ♣❤➨♣
t✉②➸♥✳ ◆❤÷♥❣ ♥➳✉ f, g ∈ Close(U ) ✈➔ f (X) ⊆ g(X) ❤♦➦❝ g(X) ⊆ f (X)
✈î✐ ♠å✐ X ⊆ U t❤➻ f ∨ g, g ∨ f ∈ Close(U )✳

✷✳✸ ❍ñ♣ t❤➔♥❤ ❝õ❛ t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣
✷✳✸✳✶ ❍ñ♣ t❤➔♥❤ ❝→❝ t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✹✳ ❈❤♦ f, g ∈ Close(U )✳ ⑩♥❤ ①↕ k : 2U −→ 2U ①→❝ ✤à♥❤

❜ð✐

k(X) = f (g(X)), ∀X ⊆ U

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤ñ♣ t❤➔♥❤ ❝õ❛ f ✈➔ g✱ ❦þ ❤✐➺✉ k = f g✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✹✳ ❍ñ♣ t❤➔♥❤ ❝õ❛ ❤❛✐ ❚❚❇✣ t❤ä❛ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ♣❤↔♥ ①↕
✈➔ ✤ì♥ ✤✐➺✉✳
❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ❤ñ♣ t❤➔♥❤ ❤❛✐ ❚❚❇✣ ❦❤æ♥❣ ❝â t➼♥❤ ❧ô② ✤➥♥❣ ✈➔ ❞♦ ✤â ♥â
❦❤æ♥❣ ♣❤↔✐ ❧➔ ♠ët ❚❚❇✣✳ ◆❤÷ ✈➟② ❧î♣ ❝→❝ ❚❚❇✣ ❦❤æ♥❣ ✤â♥❣ ❦➼♥ ✤è✐ ✈î✐
♣❤➨♣ ❤ñ♣ t❤➔♥❤✳

✷✳✸✳✷ ▼ët sè ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ
▼ö❝ ♥➔② t➻♠ ❤✐➸✉ ♠ët sè ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ✤➸ ❧î♣ ❝→❝ ❚❚❇✣ ❧➔ ✤â♥❣
❦➼♥ ✤è✐ ✈î✐ ♣❤➨♣ ❤ñ♣ t❤➔♥❤✳
✣à♥❤ ❧þ ✷✳✺✳ ✭✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ t❤ù ♥❤➜t✮✳ ❈❤♦ f, g ∈ Close(U )✳
❑❤✐ ✤â ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ✤➸ f g, gf ∈ Close(U ) ❧➔ f g = gf ✳



✣à♥❤ ❧þ ✷✳✻✳ ✭✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ t❤ù ❤❛✐✮ ❈❤♦ f, g ∈ Close(U )✳ ✣✐➲✉
❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ✤➸ f g ∈ Close(U ) ❧➔ f gf = f g✳

✷✳✹ ❚➼❝❤ trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✺✳ ❈❤♦ f1 ✈➔ f2 t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧➔ ❤❛✐ ❚❚❇✣ tr➯♥ ❤❛✐ t➟♣ rí✐

♥❤❛✉ U1 ✈➔ U2✳ ❚➼❝❤ trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ f1 ✈➔ f2✱ ❦þ ❤✐➺✉ f1 × f2✱ ❧➔ ♠ët t♦→♥
tû tr➯♥ U1 ∪ U2 ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐✿
(f1 × f2 )(X) = f1 (X ∩ U1 ) ∪ f2 (X ∩ U2 ), ∀X ⊆ U1 ∪ U2 .

▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✼✳ ❚➼❝❤ trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ ❤❛✐ ❚❚❇✣ ❧➔ ♠ët ❚❚❇✣✳
◆❤÷ ✈➟② ❧î♣ ❚❚❇✣ ❧➔ ✤â♥❣ ❦➼♥ ✤è✐ ✈î✐ ♣❤➨♣ t➼❝❤ trü❝ t✐➳♣✳

✶✵


❈❤÷ì♥❣ ✸
▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ tê ❤ñ♣ tr➯♥ t♦→♥ tû
❜❛♦ ✤â♥❣
✸✳✶ ❑❤â❛ ❝õ❛ t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣
✸✳✶✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✸✳✶✳ ❈❤♦ f ∈ Close(U ) ✈➔ K ⊆ U ✳ ❚➟♣ K ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët

❦❤â❛ tè✐ t✐➸✉ ❝õ❛ f ♥➳✉ K t❤ä❛ ❤❛✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉
✭✐✮ t➼♥❤ t♦➔♥ t❤➸✿ f (K) = U ✈➔
✭✐✐✮ t➼♥❤ tè✐ t✐➸✉✿ ∀X ⊂ K ✿ f (X) = U ✳
❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ ♥➳✉ K t❤ä❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✐✮ t❤➻ K ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤â❛ ❝õ❛ f ✳
❑þ ❤✐➺✉ Key(f ) ❧➔ t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❦❤â❛ tè✐ t✐➸✉ ❝õ❛ ❚❚❇✣ f ✳
❈❤♦ K ❧➔ ♠ët ❤➺ ❙♣❡r♥❡r tr➯♥ U ✳ ▼❛ tr➟♥ M tr➯♥ U ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜✐➸✉
❞✐➵♥ ❤➺ ❙♣❡r♥❡r K ♥➳✉ Key(fM ) = K✳ ▼❛ tr➟♥ ❝â sè ❤➔♥❣ ➼t ♥❤➜t ❜✐➸✉
❞✐➵♥ ❤➺ ❙♣❡r♥❡r K ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠❛ tr➟♥ tè✐ t✐➸✉ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ K✳ ❚❛ ✤➦t
s(K) = ♠✐♥ m : M ❧➔ ♠❛ tr➟♥ m ❤➔♥❣ n ❝ët ✈➔ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ K .

✸✳✶✳✷ ▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t
▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✶✳ ✭✶✮ ▼å✐ ❚❚❇✣ ✤➲✉ ❝â ➼t ♥❤➜t ♠ët ❦❤â❛ tè✐ t✐➸✉✳

✭✷✮ ❍❛✐ ❦❤â❛ tè✐ t✐➸✉ ❜➜t ❦ý ❝õ❛ ♠ët ❚❚❇✣ ❦❤æ♥❣ ❝❤ù❛ ♥❤❛✉✳
◆❤÷ ✈➟② Key(f ) ❧➔ ♠ët ❤➺ ❙♣❡r♥❡r tr➯♥ U ✳ ❉♦ ✤â t❛ ❝â
|Key(f )| ≤

✶✶

n
n
2

,


tr♦♥❣ ✤â n ❧➔ sè ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ U ✳
✣à♥❤ ❧þ ✸✳✷✳ ●✐↔ sû f ∈ Close(U ) ✈➔ K ❧➔ ♠ët ❦❤â❛ ❝õ❛ f ✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥
❝➛♥ ✈➔ ✤õ ✤➸ K ∈ Key(f ) ❧➔ f |K (X) = X ✈î✐ ♠å✐ X ⊆ K ✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✸✳✷✳ ❈❤♦ f ∈ Close(U )✳ P❤➛♥ tû a ∈ U ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➛♥ tû
❦❤â❛ ❝õ❛ f ♥➳✉ a ❝â tr♦♥❣ ♠ët ❦❤â❛ tè✐ t✐➸✉ ♥➔♦ ✤â ❝õ❛ f ✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣
❤ñ♣ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐✱ a ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➛♥ tû ❦❤æ♥❣ ❦❤â❛✳
Ð ✤➙② ❝❤ó♥❣ t❛ sû ❞ö♥❣ ❦þ ❤✐➺✉ UI = Key(f )✿ ❣✐❛♦ ❝õ❛ t➜t ❝↔ ❝→❝
❦❤â❛ tè✐ t✐➸✉ ❝õ❛ f ✳
✣à♥❤ ❧þ ✸✳✸✳ ✭●✐❛♦ ❝→❝ ❦❤â❛ tè✐ t✐➸✉✮ ●✐↔ sû f ∈ Close(U )✳ ❑❤✐ ✤â
UI = U \
(f (X) \ X)
✭✸✳✶✮
X⊆U

❉➵ t❤➜② ♥➳✉ UI ❧➔ ♠ët ❦❤â❛ ❝õ❛ ❚❚❇✣ f t❤➻ UI ❝❤➼♥❤ ❧➔ ❦❤â❛ tè✐ t✐➸✉
❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ f ✳
✣à♥❤ ❧þ ✸✳✹✳ ●✐↔ sû f ∈ Close(U )✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ✤➸ f ❝â ♠ët
❦❤â❛ tè✐ t✐➸✉ ❞✉② ♥❤➜t ❧➔ f (UI ) = U ✳

✸✳✷ P❤↔♥ ❦❤â❛ ❝õ❛ t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣
✸✳✷✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✸✳✸✳ ❈❤♦ f ∈ Close(U ) ✈➔ K −1 ⊆ U ✳ ❚➟♣ K −1 ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

♠ët ♣❤↔♥ ❦❤â❛ ❝õ❛ f ♥➳✉ K −1 t❤ä❛ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿
✭✐✮ f (K −1) = U ✈➔
✭✐✐✮ ∀a ∈ U \ K −1 ✿ f (K −1 ∪ {a}) = U ✳
❚ø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ s✉② r❛ ♥❣❛② K −1 = U ✳ ❚❛ ❦þ ❤✐➺✉ t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♣❤↔♥
❦❤â❛ ❝õ❛ f ❧➔ Antikey(f ) t❤➻ t➟♣ Antikey(f ) ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ✤➦❝ tr÷♥❣ q✉❛
t➟♣ Key(f ) ♥❤÷ s❛✉✿
Antikey(f ) = K −1 ⊂ U : (K ∈ Key(f ) ⇒ K ⊆ K −1 ) ✈➔
✭✸✳✷✮
((K −1 ⊂ Y ) ⇒ (∃K ∈ Key(f ))(K ⊆ Y ))

◆❤÷ ✈➟② tø ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ tr➯♥ ❝õ❛ Antikey(f )✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸ q✉❛♥ ♥✐➺♠
Antikey(f ) ♥❤÷ ❧➔ ♣❤↔♥ ❦❤â❛ ❝õ❛ Key(f )✳ ❉➵ t❤➜② Antikey(f ) ❝ô♥❣ ❧➔
♠ët ❤➺ ❙♣❡r♥❡r tr➯♥ U ✈➔ ❞♦ ✤â
✶✷


|Antikey(f )|

n
n
2

.

ởt số t t
ỵ sỷ f Close(U ) õ
Key(f ) = U \

Antikey(f )

ữ ú t õ t ữủ tỷ õ tổ q
t õ Antikey(f )
ỵ K ởt rr tr U õ
2 |K1 | s(K) 1 + K1 .

t t t õ tứ t õ tố t
ỵ ợ ộ rr K t ý tr U ổ tỗ t ởt

f Close(U ) s Key(f ) = K
ú t ợ t tt t t t Antikey(f ) tứ t Key(f )
t f Close(U ).

t t t õ Antikey(f )
f Close(U ) ợ Key(f ) = {K1, K2, . . . , Km}
Antikey(f )
Pữỡ

ữợ t ứ K1 ỹ t T1 = {U \ {a} : a K1} tr
U T1 t õ ừ K1 tr U
ữợ j = 1, 2, . . . , m 1 sỷ Tj = Fj X1, . . . , Xt
ợ Xi Kj+1 i = 1, 2, . . . , tj Fj = {Y Tj : Kj+1 Y }
ợ ồ i i = 1, 2, . . . , tj t ỹ t õ ừ Kj+1
tr Xi t tữỡ tỹ ữ ố ợ T1 sỷ tỷ ừ t
Y1i, . . . , Yri i = 1, 2, . . . , tj
t Tj+1 = Fj Yli : Y Fj Yli Y, 1 i tj , 1 l ri
ữợ ố (m + 1) t t Antikey(f ) = Tm
j

i




ự ữủ t t t ú t Antikey(f ) tứ t
Key(f ) trữợ

s ừ t tỷ õ
õ F tr U ồ ọ t G F

s tỷ ừ F q ừ tỷ tr G
ữủ ồ s ừ F ỵ G = Gen(F)

F = {X1 X2 ã ã ã Xk : k 0, Xi Gen(F), i = 1, 2, . . . , k} .
s ừ F t U / Gen(F)
t s ừ õ F tr U õ t ữủ trữ

ữ s



sỷ F ởt õ tr U õ
Gen(F) = {V




F : V = U, (X, Y F, X = V, Y = V )
(X Y = V )}
Gen(F) = {V F : V = U, (V = X1 X2 ã ã ã Xk ;
X1 , X2 , . . . , Xk F, k 1) (V = Xi , 1 i k)}
Gen(F) = {V F : V {X : X F, V X}}

(M, ) ởt t ỳ õ tự tỹ ở ỵ M AX(M )
t tỷ tố ừ M
ỵ ợ ồ õ F tr U t õ
M AX(Gen(F)) = M AX(F \ {U }).

ố tỷ ừ t tỷ õ


F ởt õ tr U tỷ tố

ừ F \ {U } ỏ ữủ ồ ố tỷ ừ õ F ỵ
Coatom(F)

Coatom(F) = M AX(F \ {U }).




ỵ ợ ồ õ F tr t U t õ
Coatom(F) = M AX(Gen(F)).

ố tữỡ q ỳ t õ s ố
tỷ
ữ ú t t ợ f Close(U ) t F ix(f ) ởt õ
õ tr õ s tỗ t s Gen(F ix(f )) t ố
tỷ Coatom(F ix(f )) ữ ợ ộ f ú t ổ õ ởt
s ởt t ố tỷ ứ ồ s Gen(F ix(f )) s
ữủ ỵ Gen(f ) ồ s ừ f t ố
tỷ Coatom(F ix(f )) s ữủ ỵ Coatom(f ) ồ ố
tỷ ừ f
ỵ ợ ồ f Close(U ) t õ
Coatom(f ) = M AX(Gen(f )).

õ t trữ M AX(F ix(f ) \ {U }) ữ s
M AX(F ix(f )\{U }) = X U : X F ix(f ) (X Y ) (f (Y ) = U )

ỵ ợ ồ f Close(U ) t õ
Antikey(f ) = M AX(F ix(f ) \ {U }).

ữ õ ừ f ụ t ở
ừ f
ỵ f Close(U ) õ
Antikey(f ) = Coatom(f ).

ữ ợ ồ f Close(U ) t õ
Antikey(f ) = Coatom(f ) = M AX(Gen(f )) = M AX(F ix(f ) \ {U }).

t t t õ tố t õ s
ố tỷ

ú t ỹ tt t t s t
ố tỷ s ừ ởt


.


t t t
f Close(U ) ợ t F ix(f )
Coatom(f ) Gen(f )
Pữỡ

ữợ ỹ ỗ t õ ữợ G = (V, E) ữ s
V ỗ tỷ ừ t F ix(f ) \ {U }
E ỗ X Y X trỹ t Y tự
X Y Z F ix(f ) \ {U } : Y Z X
ữợ ừ ộ X V ỵ d(X) õ số
X
ữợ t
Coatom(f ) = {X F ix(f ) \ {U } : d(X) = 0}
Gen(f ) = {X F ix(f ) \ {U } : d(X) 1}
ỵ s t ú ừ tt t t
r ở ự t tớ ừ tt t tự
ỵ ợ ồ F ix(f ) tr t U tt t t t
ú t ố tỷ Coatom(f ) s Gen(f ) ợ ở ự t
tớ O(n(m 1)2) tr õ n số tỷ ừ t U m số
tỷ ừ t F ix(f )
ứ ỵ t t ú tổ t t ởt tt
t t t õ Antikey(f ) ữ s




t t t t t Antikey(f )
f Close(U ) ợ t F ix(f )
Antikey(f )
Pữỡ

ữợ ỹ ỗ t õ ữợ G = (V, E) ữ s
V ỗ tỷ ừ F ix(f ) \ {U }
E ỗ X Y X trỹ t Y tự
X Y Z F ix(f ) \ {U } : Y Z X
ữợ ừ ộ X V ỵ d(X) õ số
X
ữợ t
Antikey(f ) = {X F ix(f ) \ {U } : d(X) = 0}
ở ự t tớ ừ t t ở ự t tớ
ừ t t t ú tổ ợ t tt t t ởt
õ tố t tứ t õ Antikey(f ) ữ s

t t ởt õ tố t tứ t Antikey(f )
f Close(U ) ợ Antikey(f ) = K11, K21, . . . , Kl1
K Key(f )
Pữỡ

ữợ ồ t X = {a1, a2, . . . , am} U s tỗ t
Kj1 Antikey(f ) Kj1 X
t T0 = X
ữợ i = 0, 1, . . . , m 1 t
Ti \ {ai+1 } , Kj1 Antikey(f ) : Ti \ {ai+1 } Kj1
Ti+1 =
Ti ,
ữủ .
ữợ t K = Tm
ự ữủ t t t ữủ K Key(f ) tứ t
Antikey(f ) trữợ t q q trồ ỡ s
t tt õ tố t ừ ởt



❇ê ✤➲ ✸✳✶✳ ●✐↔ sû f, f

∈ Close(U )✱
Antikey(f ) = K1−1 , K2−1 , . . . , Kl−1

✈➔ Key(f ) ⊆ Key(f )✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ✤➸ Key(f ) ⊂ Key(f ) ✈➔
Key(f ) = ∅ ❧➔ tç♥ t↕✐ X ∈ Antikey(f ) s❛♦ ❝❤♦ X ⊆ Kj−1 ✱ ∀j =
1, 2, . . . , l✳
❚r➯♥ ❝ì sð ❇ê ✤➲ ✸✳✶ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ t❤✉➟t t♦→♥ t➻♠ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❦❤â❛
tè✐ t✐➸✉ tø t➟♣ ♣❤↔♥ ❦❤â❛ ❝õ❛ ❚❚❇✣ ♥❤÷ s❛✉✳

❚❤✉➟t t♦→♥ ✸✳✺ ✭❚➻♠ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❦❤â❛ tè✐ t✐➸✉ tø t➟♣ ♣❤↔♥ ❦❤â❛✮
❱➔♦✿ f ∈ Close(U ) ✈î✐ Antikey(f ) = K1−1, K2−1, . . . , Kl−1 ✳
❘❛✿ Key(f )✳
P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣✿

❇÷î❝ ✶✿ ❙û ❞ö♥❣ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✸✳✹✱ t➻♠ ♠ët ❦❤â❛ tè✐ t✐➸✉ ❧➔ K1 ∈ Key(f )✳
✣➦t Key(f1) = {K1}✱ ✈î✐ f1 ∈ Close(U )✳
❇÷î❝ ✐✰✶✿ ✭i = 1, 2, . . .✮✳ ❚❛ t➼♥❤ Antikey(fi)✱ ✈î✐ fi ∈ Close(U )✳ ❳➨t
❤❛✐ tr÷í♥❣ ❤ñ♣✿
◆➳✉ ❝â X ∈ Antikey(fi) s❛♦ ❝❤♦ X ⊆ Kj−1✱ ∀j = 1, 2, . . . , l t❤➻
sû ❞ö♥❣ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✸✳✹ t➼♥❤ Ki+1 ∈ Key(f ) ✈➔ Ki+1 ⊆ X ✳ ✣➦t
Key(fi+1 ) = Key(fi ) ∪ {Ki+1 }✳
• ◆❣÷ñ❝ ❧↕✐✱ ✤➦t Key(f ) = Key(fi )✳ ❚❤✉➟t t♦→♥ ❞ø♥❣✳


✶✽


t
r ỳ t ú t ự sỹ t tr
rt ừ ỹ t ồ ự ử ỹ t tr ừ
õ t ởt số ỹ ự ợ ự
t ồ q ỹ ồ t ụ rt t tr
t q ự tr ỹ t ồ ồ t
ỹ tr t tỷ õ ữ ởt t tỷ tt ố tữỡ
ự ỳ t ừ t ỳ trữợ tọ t
ỡ ụ ự ỵ tt t tỷ õ
ú t ởt s s ỡ ỳ ởt ổ ử t ồ ú
qt ởt số t tr ỹ ồ t
t q õ ỵ
tr ởt số t t ỡ ừ t tỷ
õ t tr ỵ tt t tỷ õ ữ ởt ổ ử t ồ
ú t rở ử õ q
t t ỗ tớ trủ ú t tr ởt số t q tr ỹ
ồ t
ử t t trữ ừ ởt số t
ỡ tr t tỷ õ ữ t ở t ủ
t t trỹ t ừ t tỷ õ ự t õ
ừ ở t trỹ t õ ụ ởt
số ợ t t ủ t tr õ
t t ố tữỡ q ỳ t õ tố t
t õ ừ t tỷ õ t tt t t t
õ tứ t õ tố t ữủ t t õ tố t tứ
t õ õ ụ ự õ
ử ỵ tt õ ự t q ừ
t tờ ủ ữ t s ố tỷ t ố tữỡ



q✉❛♥ ❣✐ú❛ ❝→❝ t➟♣ ♣❤↔♥ ❦❤â❛✱ ❤➺ s✐♥❤ ✈➔ ✤è✐ ♥❣✉②➯♥ tû✳ ❚❤✉➟t t♦→♥ t➻♠ t➟♣
♣❤↔♥ ❦❤â❛✱ ❤➺ s✐♥❤ ✈➔ ✤è✐ ♥❣✉②➯♥ tû ❝õ❛ t♦→♥ tû ❜❛♦ ✤â♥❣ ❝ô♥❣ ✤÷ñ❝ ✤➲
①✉➜t✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ♥➔② trð t❤➔♥❤ ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ ❦✐♥❤ ✤✐➸♥ tr♦♥❣ ❧þ t❤✉②➳t
❝ì sð ❞ú ❧✐➺✉ ❦❤✐ ❚❚❇✣ ❝❤➼♥❤ ❧➔ ❜❛♦ ✤â♥❣ ❝õ❛ t➟♣ t❤✉ë❝ t➼♥❤✳
◆❣♦➔✐ ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ ♠➔ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤➣ ✤↕t ✤÷ñ❝ t❤➻ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✈➝♥ ❝á♥ ❝â
♥❤ú♥❣ ❤↕♥ ❝❤➳ ♥❤÷ ♣❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ♣❤↕♠ ✈✐ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐
❝❤÷❛ t❤➟t sü rë♥❣✳ ❱➻ ✈➟② ❤÷î♥❣ ♣❤→t tr✐➸♥ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ❧➔ t✐➳♣ tö❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳ ♥➯✉ tr➯♥✳ ▼ð rë♥❣ t❤➯♠ ♣❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔
ù♥❣ ❞ö♥❣ ✈➔♦ tr♦♥❣ ♠ët sè ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❦❤→❝ ♥ú❛✳

✷✵



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×