Tải bản đầy đủ

Tuyển tập các bài toán hệ phương trình trên k2pi.net.vn

Hà Tĩnh tháng 11 năm 2015


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Phần I. Đề Bài
x 2 + y 2 = y

x (x + y) + x y (y − x)

Ne
t.V
n

Bài Toán 1 . Giải hệ phương trình sau

x3 + 3x2 + 3x = 2y 3 + 6y 2 + 6y



√y + 2x − 1 + √1 − y = y + 2
Bài Toán 2 . Giải hệ phương trình sau
x√x = y (x − 1) + x2 − y



y 3 + y x 4 + y 4 = x 3 + x
Bài Toán 3 . Giải hệ phương trình sau

x3 y 3

2
x

y
+


2 = xy
(xy + x − y)

(x + 1)y 2014 = 2√x
Bài Toán 4 . Giải hệ phương trình sau
2x + 3 = 4√x − y 2015


4x3 + y 3 + y √2x − y = 3y 2 x
Bài Toán 5 . Giải hệ phương trình sau

 x + 4x2 + 1 y + 2 y 2 + 1 = 3xy



xy x + x2 + 1 y + y 2 + 1 = x2 + y 2
Bài Toán 6 . Giải hệ phương trình sau
29y 2 + 8y y 2 − xy + 4xy = x2 + 16y 3y 2 + xy

Bài Toán 7 . Giải hệ phương trình sau



x3 + 3x2 + 3x = 2y 3 + 6y 2 + 6y
x 2 + y 2 = 2 y

x (x + y) + x

y (y − x)

pi.


√x + y + 1 + (x + y)2 + 2y = √2x + 2 + 3(x + 1)2 + x2
Bài Toán 8 . Giải hệ phương trình sau √

 2xy + 2x − 3 + 5x2 + 6x − 3 = x + 2y

x2 + y 2 + (xy)2 = 3
Bài Toán 9 . Giải hệ phương trình sau

x y 2 + 1 + y x2 + 1 = 2 (x + y)

K2



 y + x2 + 1 x + y 2 + 1 = 1
Bài Toán 10 . Giải hệ phương trình sau
3y 2 + 4√1 + 3x + 1 = 12x + 12√1 + y

x y +

y 2 + 1 = y (x2 + 1)
Bài Toán 11 . Giải hệ phương trình sau

(x + 2) y + y 2 + 1 = x2 + 1



 x + x2 + 1 y + y 2 + 1 = 1
Bài Toán 12 . Giải hệ phương trình sau
3y 2 + 4√1 + 3x + 1 = 12x + 12√1 + y

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

Trang 2


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Ne
t.V
n


(√x + √y)(x + y + 1) = 2x√y + 1 + 2y √x − 1 + 2√y
Bài Toán 13 . Giải hệ phương trình sau
4
x√x + y + (y + 1)√
x + 3y = xy + 3x − 1

x√1 + y + y √1 + x = (x + y) √xy
Bài Toán 14 . Giải hệ phương trình sau
 √x + √y + 1 −√y + √x + 1 = 1


(x2 + 1) y + √2y + 1 = √2x2 + 1
Bài Toán 15 . Giải hệ phương trình sau

 1 + 2√x + 1 −1 + √2y + 1 = 2y x2 + 1
 2

x

 + 2 x2 + 1 + y 2 = 3
2
Bài Toán 16 . Giải hệ phương trình sau y
y

x + √
+ y2 = 0
1 + x2 + x

x
1
y
1
1

+ = 2 + 2 −1
 −
y xy x
x
y
Bài Toán 17 . Giải hệ phương trình sau
2
y
x

xy + y 2
x


+
=
x+1 y+1
xy

21√x + (y − 7x2 ) √y = 315
Bài Toán 18 . Giải hệ phương trình sau
xy + 7 = (x + 1) (y − 7x − 14)


3
4 (x2 + y 2 ) + 6y √
1 − x = 3x + 4y + 6
Bài Toán 19 . Giải hệ phương trình sau


4 2y − x + 2 + 6 y − 7x + 8 = 3y − 8x + 23

pi.


√x + 2y − √2x − 3y = 1
Bài Toán 20 . Giải hệ phương trình sau
x2 + x − 8y + 2 = 2(x − 2)√2x − 3y

x√x + y √y = 1
Bài Toán 21 . Giải hệ phương trình sau
2x + 5y = (1 + x) (2 − 5y)

K2



 x+ 1 −1= 3 1 + 2
x+1
y3 y2
Bài Toán 22 . Giải hệ phương trình sau




4
 x+ 4y+1= y+√
x+1



2015x+y x + x2 + 1 + 2015xy y + y 2 + 1 = 0
Bài Toán 23 . Giải hệ phương trình sau
3y 2 + 8√x + 2y + 1 + x2 + 4xy = 4 (x + y) + 8√y + 1

(y − 1) √x − 1 = x2 −y
2
Bài Toán 24 . Giải hệ phương trình sau

x + y + 4 2x − x2 = 2y − y 2 + 2

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

Trang 3


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Ne
t.V
n


√x − y + 1 + √3x + 2y + 6 = 3x + 1
Bài Toán 25 . Giải hệ phương trình sau
x√x − 2 + √x + 3y + 1 = (y + 5) √y + 1
 √
3y 2 + x + 8√2 + x = 10y − 3xy + 12
Bài Toán 26 . Giải hệ phương trình sau
5y 3 √2 − x − 8 = 6y 2 + xy 3 √2 − x


 x+ 1 −1= 3 1 + 2
x+1
y3 y2
Bài Toán 27 . Giải hệ phương trình sau




4
 x+ 4y+1= y+√
x+1

Bài Toán 28 . Giải hệ phương trình sau


x − √ x = y + √ y



(x − y)2 + y + 3 = 2 4x − 2y




x2 + 6xy + 4y 2 + 1 = 2x + 4y + 2 2xy
Bài Toán 29 . Giải hệ phương trình sau 2xy + 10 2x4 + 32y 4


= 21
x3 y + 4xy 3

x − y = √ y + 3
Bài Toán 30 . Giải hệ phương trình sau
(x − y)2 + 4 (y + 1) = 24 √2x − y − 2

(7x + 5)√x = 12 2x2 − xy
Bài Toán 31 . Giải hệ phương trình sau
4y − 5x + 1 = 4 (x − y) (2x − y)

pi.




x − y = 6(1 − xy)
Bài Toán 32 . Giải hệ phương trình sau
6 2(x6 + y 6 )

x + 2
= 3 + 2(x2 + y 2 )
x + xy + y 2

(x + y + 3)√x − y + 2y + 4 = 0
Bài Toán 33 . Giải hệ phương trình sau
(x − y)(x2 + 4) = y 2 + 1

K2

Bài Toán 34 . Giải hệ phương trình sau


(x2 + y 2 − 7)(x + y)2 + 2 = 0
(x − 3)(x + y) = 1


x2 + y 2 + 2xy = 1
x+y
Bài Toán 35 . Giải hệ phương trình sau
√
x + y = x2 − y


6x − 5y + 4 (x − y) (2x − y) = 11 + 4√6
Bài Toán 36 . Giải hệ phương trình sau √
 y + 1 2y + 3 + 4 √x − y + √2x − y = 0

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

Trang 4


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Ne
t.V
n


4x2 + 4xy + y 2 + 2x + y = 2
Bài Toán 37 . Giải hệ phương trình sau
8√1 − 2x + y 2 − 9 = 0

Bài Toán 38 . Giải hệ phương trình sau

√
 4x − 3 = (2y 2 + 11)(17 − y) + √y
y(y − 3x + 3) = 15x + 10


(x + 5) (x2 + 5x + 9) = (2y + 1) (3 − y)
Bài Toán 39 . Giải hệ phương trình sau √

3
 x+3+√
30 − 2y = 4 (y − 1) + 2y − 2

y 3 = 2(√2x3 + √2x − y)
Bài Toán 40 . Giải hệ phương trình sau
y(y − x − 2) = 3 − 3x


2

 xy − 1 − 1 = x
1 + xy 1 + y 2
1 + x2
Bài Toán 41 . Giải hệ phương trình sau √



 x − 1 y − 1 x2 + x + 1 + (x + 1)√x2 − x + 1 = 2x2 − x + y

x + √x + y − 2y = y 2 + 2
Bài Toán 42 . Giải hệ phương trình sau
 4 x + √x + y − 1 = 2 − 2y − x

√
 4 2x2 − x3 = 9 + 4y 2 − 12y
Bài Toán 43 . Giải hệ phương trình sau √
 4 x(2y 2 + √2 − x) = 4y 4 + x − 2

pi.


2x2 + √2 − x + √y − 1 − 34 = 2xy + x
Bài Toán 44 . Giải hệ phương trình sau
2y 2 + √2 − x + √y − 1 − 34 = −xy + 2y

Bài Toán 45 . Giải hệ phương trình sau

 √
3x( x − 3 − y √y) +

3x − 3y 3 +


x+y−5=3

3y 3 − 3y + 8 = 2x

K2


2y − 3x + y (x − 2) = 4 √x − 2 − √y − 6
Bài Toán 46 . Giải hệ phương trình sau √
 y + 2 y (xy − x + 5) = 2 (y + 2) − √5x + 6


x2 (y 2 + 1 + √x) − (√x + 1) (y − 2) = y 3 − 2y 2
Bài Toán 47 . Giải hệ phương trình sau

y x2 − x + 1 = x3 − 3x − 3 + 2y

 3x2 + 6xy + 4y 2 + 2y + 1 = 3x + 2y − 1
Bài Toán 48 . Giải hệ phương trình sau
4√x + y + 2 + 4y 2(y + 1) = 5y 2 + 6x + 3 +

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

2(y 2 + x)

Trang 5


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

K2

pi.

Ne
t.V
n


y 4 − 2xy 2 + 7y 2 = −x2 + 7x + 8
Bài Toán 49 . Giải hệ phương trình sau √
 3 − x + y 2 + 1 = x3 + x2 − 4y 2 + 3

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

Trang 6


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Phần II. Lời Giải Chi Tiết

Bài toán 1

Ne
t.V
n


x3 + 3x2 + 3x = 2y 3 + 6y 2 + 6y (1)
Giải hệ phương trình sau
x2 + y 2 = y x (x + y) + x y (y − x) (2)

Hướng Dẫn Giải

Điều kiện x (x + y) ≥ 0 , y (y − x) ≥ 0
Ta có

2
2

 y x (x + y) ≤ x + xy + y
2
2
2 ⇒ y

 x y (y − x) ≤ x − xy + y
2
Khi đó

 


−1 + 5


y
x=

 
2
2
2√
y = x + xy

−1 − 5

x=
y

x, y ≥ 0


2

 x, y ≥ 0

(2) ⇔


 
−1 + 5

x=
y

2
 

 x, y ≥ 0 √
⇔
 
−1 − 5

y
x=

2

x, y ≥ 0





5

y


 
−1 + 5

x=
y

2


⇔
x, y ≥ 0
x=y=0

thay lên phương trình còn lại ta được

pi.

−1 +
x=
Với
2

x, y ≥ 0

−1 +
2

⇔ −4 +





y (y − x) ≤ x2 + y 2 (3)

x (x + y) + x

5

3

y

−1 +
+3
2

3

5 y −




3+3 5
2

5

2

y

−1 +
+ 3.
2


5

y = 2y 3 + 6y 2 + 6y


−15 + 3 5
y +
y=0⇔y=0⇒x=0
2
2

K2

Với x = y = 0 thay lên phương trình trên thỏa mãn.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) = (0; 0)
Bài toán 2


√y + 2x − 1 + √1 − y = y + 2
Giải hệ phương trình sau
x√x = y (x − 1) + x2 − y

Hướng Dẫn Giải

Phương trình thứ hai của hệ ta có:
y (x − 1) +

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn


x2 − y = x x
Trang 7


LateX by Trần Quốc Việt


TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH


xy − y −

x2 − y =

xy − y − (x2 − y)
x2 − y

y (x − 1) +

=

x (y − x)
y−x

= √
x x
x

Ne
t.V
n



y−x
x2 − x + y


⇒ 2 xy − y =
+x x=
x
x
⇒ 2 y (x2 − x) = x2 − x + y

⇒ 4y x2 − x = x2 − x + y
⇔ y − x2 + x

2

2

=0

⇔ y = x2 − x

Thế vào phương trình thứ nhất của hệ ta có


x2 + x − 1 + −x2 + x + 1 = x2 − x + 2
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
x2 − x + 2 =



x2 + x − 1 + 1 −x2 + x + 1 + 1
x2 + x − 1 + −x2 + x + 1 ≤
+
2
2
⇔ (x − 1)2 ≤ 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = 0

Thử lại thấy thõa mãn
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1; 0)
Bài toán 3

pi.



y 3 + y x 4 + y 4 = x 3 + x
Giải hệ phương trình sau

x3 y 3


2 x − y +
2 = xy
(xy + x − y)

Hướng Dẫn Giải

K2

Ta thấy xy = 0 không phải là nghiệm của phương trình thứ hai
Chia cả 2 vế pt 2 cho xy ta được

2 x−y
1

+
=1
x−y 2
xy
(1 +
)
xy

x−y
Đăt t =
thì phương trình trở thành
xy

t=0
1
2

2t +
=
1

(1

2t)(1
+
t)
=
1

3
(1 + t)2
t=−
2
• Với t = 0 ⇒ x = y

1
Thay vào phương trình đầu ta được nghiệm x = y = √
4
2

3
• Với t = − ⇔ 2 x − y + 3xy = 0
2
Từ phương trình đầu của hệ ta có được
y4 + y2

(T /M )

x4 + y 4 = xy(x2 + 1) ⇒ xy > 0

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

Trang 8


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Từ đó suy ra trường hợp này vô nghiệm

Bài toán 4

Ne
t.V
n

1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = y = √
4
2

(x + 1)y 2014 = 2√x
Giải hệ phương trình sau
2x + 3 = 4√x − y 2015

Hướng Dẫn Giải

Điều kiện x ≥ 0.
Xét phương trình thứ nhất của hệ,


(x + 1)y 2014 = 2 x ≤ x + 1 ⇒ y 2014 ≤ 1 ⇒ y ∈ [−1; 1].



2
Khi đó 0 = 2x − 4 x + 3 + y 2015 ≥ 2x − 4 x + 3 − 1 = 2( x − 1) ≥ 0.
Do đó x = 1 và y = −1 thõa mãn hệ
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1; −1)
Bài toán 5


4x3 + y 3 + y √2x − y = 3y 2 x
Giải hệ phương trình sau

 x + 4x2 + 1 y + 2 y 2 + 1 = 3xy



Hướng Dẫn Giải

pi.

Ta có 3xy = x + 4x2 + 1 y + 2 y 2 + 1 ≥ 0.
Nhận thấy xy = 0 không là nghiệm nên xét hai trường hợp sau
Nếu x > 0 thì y > 0 và có
x+



4x2 + 1

y+2

y 2 + 1 ≥ (x + 2x) (y + 2y) = 9xy > 3xy

Suy ra trường hợp này vô nghiệm.
Nếu x < 0 thì y < 0 và xét phương trình thứ nhất

4x3 y 2 y 2
− 2x − y = −3xy +
+
+
≥ −3xy + 3xy +
y
2
2

2x − y = 0 ⇒ y = 2x.

K2

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có
x+


4x2 + 1


2x + 2 4x2 + 1 = 6x2

2

⇔ x + 4x2 + 1 = 3x2


⇔ x + 4x2 + 1 = − 3x
1
2
⇔x=−
⇒y=−

√ (T /M )
2 3
2 3

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) =

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn



1
√ ;−
2 3

2

2 3
Trang 9


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bài toán 6

Ne
t.V
n



xy x + x2 + 1 y + y 2 + 1 = x2 + y 2
Giải hệ phương trình sau
29y 2 + 8y y 2 − xy + 4xy = x2 + 16y 3y 2 + xy

Hướng Dẫn Giải

Ta có

xy =

x2 + y 2


x + x2 + 1

≥0

y2

y+

+1

Nếu x = 0 hoặc y = 0 thì tương ứng từ phương trình thứ nhất ta có y = 0 hoặc x = 0
Đồng thời thấy (x; y) = (0; 0) cũng thỏa mãn phương trình thứ hai.
Với xy > 0 ta lần lượt xét hai trường hợp sau
• Nếu y > 0 thì với phương trình thứ hai, ta có
29 + 8
⇔ 16

1−

x
x
+4 =
y
y

x
y

2

+ 16

3+

x
y



x
3 + t − 2 − 8 1 − t + t2 − 4t + 3 = 0 ; Với t = ∈ (0; 1]
y

16(t − 1)
⇔√
− 8 1 − t + (t − 1)(t + 3) = 0
3+t+2



−16 1 − t
⇔ 1−t √
− 8 − 1 − t(t + 3) = 0
3+t+2



−16 1 − t
Do √
− 8 − 1 − t(t + 3) < 0 ∀t ∈ (0; 1] nên phương trình suy ra t = 1
3+t+2
Khi đó x = y, thay vào phương trình thứ nhất của hệ, ta được


pi.
x2 x +

⇔x+



2

x2 + 1

x2 + 1 =

= 2x2


1
2⇔x= √
2 2

• Nếu y < 0 thì với phương trình thứ hai, ta có
x
x
29 − 8 1 − + 4 =
y
y

x
y

2

− 16

3+

x
y

K2



x
∈ (0; 1] ta xét hàm số f (t) = t2 − 4t − 16 3 + t + 8 1 − t − 29
y
Dễ dàng nhận thấy f (t) nghịch biến trên (0; 1] nên f (t) < f (0) < 0 ; ∀t ∈ (0; 1].
1
1
√ ; √
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (0; 0) và
2 2 2 2
Với t =

Bài toán 7

Giải hệ phương trình sau


x3 + 3x2 + 3x = 2y 3 + 6y 2 + 6y
x 2 + y 2 = 2 y

x (x + y) + x y (y − x)

Hướng Dẫn Giải

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

Trang 10


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Ne
t.V
n

Nếu một trong hai số x = 0 hoặc y = 0 thì từ phương trình thứ nhất nhận số còn lại là 0, nó
cũng thỏa phương trình còn lại nên (0; 0) là một nghiệm của hệ.
Đặt f (t) = t3 + 3t2 + 3t thì phương trình thứ nhất của hệ là f (x) = 2f (y).
Do f (t) = 3t2 + 6t + 3 = 3(t + 1)2 ≥ 0 nên f đồng biến trên R.
Khi đó nếu x > 0 thì 0 = f (0) < f (x) = 2f (y) ⇒ f (y) > 0 ⇒ y > 0.
Tương tự nếu x < 0 thì dẫn đến y < 0.
Bây giờ ta lần lượt xét các trường hợp sau
Nếu x < 0 thì y < 0 khi đó phương trình thứ hai
0 < x2 + y 2 = 2 y

x(x + y) + x y(y − x) < 0.

Với x > 0 thì y > 0, đặt y = tx, t > 0 và thay vào phương trình thứ hai của hệ
x2 + t2 x2 = 2 tx

x(x + tx) + x tx(tx − x)



t2 + 1
2
⇔t t+1+ t −t=
, (a)
2
t(t2 + 1)
t2 + 1

⇒ √
=
2
t t + 1 − t2 − t


⇒ t t + 1 − t2 − t = 2t , (b)

Cộng hai phương trình (a) và (b) theo vế ta có

t2 + 4t + 1
2t t + 1 =
2


2 t+



2

t+1

=



2



3 (t + 1)




2 t + t + 1 = 3 (t + 1)

pi.




3(t2 + 2t + 1)
⇔ t2 + 2t t + 1 + t + 1 =
2




t=2+ 6− 3− 2




t=2+ 6+ 3+ 2

Với t = 2 +



6−



3−


2 ta thay y = t1 x vào phương trình thứ nhất của hệ ta được
(2t31 − 1)x3 + (6t21 − 3)x2 + (6t1 − 3)x = 0

K2

Để ý thấy các hệ số đều dương nên phương trình không thể có nghiệm dương.



Tương tự phương trình cũng vô nghiệm với trường hợp t = 2 + 6 + 3 + 2
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (0; 0).
Bài toán 8


√x + y + 1 + (x + y)2 + 2y = √2x + 2 + 3(x + 1)2 + x2
Giải hệ phương trình sau √

 2xy + 2x − 3 + 5x2 + 6x − 3 = x + 2y

Hướng Dẫn Giải

Ta có phương trình thứ nhất tương đương
x + y + 1 + (x + y)2 + 2(x + y) =

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn



2x + 1 + 1 + (2x + 1)2 + 2(2x + 1)
Trang 11


LateX by Trần Quốc Việt
Xét hàm f (t) =



TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

t + 1 + t2 + 2t với t ≥ −1

Ne
t.V
n

1
f (t) = √
+ 2t + 2 > 0 ∀t ≥ −1
2 t+1
Vậy hàm đồng biến suy ra x + y = 2x + 1 ⇔ y = x + 1
Thế vào phương trình thứ hai ta có


2x2 + 4x − 3 + 5x2 + 6x − 3 = 3x + 2
2
2
Thấy x = − không phải là nghiệm nên điều kiện là x > − .
3
3
Phương trình tương đương với

3x2 + 2x


= 3x + 2
5x2 + 6x − 3 − 2x2 + 4x − 3


x = 5x2 + 6x − 3 − 2x2 + 4x − 3


x = 5x2 + 6x − 3 − 2x2 + 4x − 3



3x + 2 = 5x2 + 6x − 3 + 2x2 + 4x − 3

⇔ 2x + 1 = 5x2 + 6x − 3

1



x≥−

⇔x= 5−1→y = 5
2
4x2 + 4x + 1 = 5x2 + 6x − 3
Thử lại thấy thõa mãn


5 − 1; 5
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) =
Bài toán 9

pi.


x2 + y 2 + (xy)2 = 3
Giải hệ phương trình sau

x y 2 + 1 + y x2 + 1 = 2 (x + y)

Hướng Dẫn Giải

Từ phương trình một ta có :

3 − x2 y 2 = x2 + y 2 ≥ 2xy

K2

⇔ (xy)2 + 2xy − 3 ≤ 0 ⇔ −3 ≤ xy ≤ 1

Xét phương trình hai chúng ta được :
y2 + 1 − 1 + y

⇔x



xy 2
y2 + 1 + 1

⇔ xy



x
⇔ xy  √

+√

y
y2 + 1 + 1
y2


x2 + 1 − 1 = x + y
yx2
=x+y
x2 + 1 + 1

+√

x
x2 + 1 + 1

=x+y



2
+ 1 + y x + 1 + x + y

x2 + 1 + 1

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

=x+y

y2 + 1 + 1

Trang 12


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH



Kết hợp với phương trình đầu suy ra
Mặt khác


x2 + 1 + 1

x+y =0
x2 + 1 + 1

y 2 + 1 + 1 = 3xy

Ne
t.V
n

4
3
Kết hợp với điều kiện xy đã tìm được suy ra hệ phương trình đã cho tương đương với
3xy =

y 2 + 1 + 1 ≥ 4 ⇔ xy ≥

x+y =0
x + y 2 + x2 y 2 = 3
2

Giải hệ phương trình trên ta thu được các nghiệm (1; −1) và (−1; 1)
Bài toán 10


 y + x2 + 1 x + y 2 + 1 = 1
Giải hệ phương trình sau
3y 2 + 4√1 + 3x + 1 = 12x + 12√1 + y

Hướng Dẫn Giải

Xử lý phương trình một như
 sau 2

x = a − 1

2a
Đặt a = x + x2 + 1 ⇒ √
(a > 0)
2

 x2 + 1 = a + 1
2a

2
b

1

y =
2b
Và b = y + y 2 + 1 ⇒
(b > 0)
2

 y2 + 1 = b + 1
2b
Khi đó phương trình thứ nhất trở thành :

a2 + 1 b 2 − 1
+
2a
2b

=1

pi.

a2 − 1 b 2 + 1
+
2a
2b



ab = 1
⇒ ab = 1
ab (a + b) + (a − b)2 = 0 (V T > 0)

⇒ y + x2 + 1 x + y 2 + 1 = 1
2

Phương trình này ta suy ra được x = −y. Thế vào phương trình thứ hai ta có

K2



3x2 + 4 1 + 3x + 1 = 12x + 12 1 − x

Phương trình này giải ra chỉ có nghiệm x = 1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (1; −1)
Bài toán 11


x y +

y 2 + 1 = y (x2 + 1)
Giải hệ phương trình sau

(x + 2) y + y 2 + 1 = x2 + 1

Hướng Dẫn Giải

Do x = −2 không là nghiệm nên chia theo vế, ta nhận được

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

x

=y
(x + 2) x2 + 1
Trang 13


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Thay vào phương trình thứ nhất, ta được
x2
+1
(x + 2)2 (x2 + 1)


x x2 + 1
=
(x + 2)

Ne
t.V
n

x

x

+
(x + 2) x2 + 1

Do x = 0 không là nghiệm và x > −2 nên phương trình tương đương với
x+



x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 4 = x2 + 1

⇔ 6x3 + 3x2 + 6x + 3 = 0

2 5
1
(T /M )
⇔x=− ⇒y=−
2
15

1 2 5
Vậy hệ phương trình có nghiệm − ; −
2
15
Bài toán 12



 x + x2 + 1 y + y 2 + 1 = 1
Giải hệ phương trình sau
3y 2 + 4√1 + 3x + 1 = 12x + 12√1 + y

Hướng Dẫn Giải

Phương trình thứ nhất tương đương với
x+



x2 + 1 = (−y) +

(−y)2 + 1 ⇔ y = −x

Thay vào phương trình còn lại ta có

pi.



3x2 + 4 1 + 3x + 1 = 12x + 12 1 − x

K2



⇔ 12 1 − x + 4 2 − 1 + 3x − 3x2 + 12x − 9 = 0



4 1−x

⇔ 1 − x 12 +
+ 3 1 − x(x − 3) = 0
2 + 1 + 3x


2−x
3
Ta có 1 − x ≤
nên 3(x − 3) 1 − x ≥ (2 − x)(x − 3) = f (x)
2
2
Dễ dàng có được
1
35
minf (x) = f −
=−
3
3


4 1−x
35
1

Do đó 12 +
+ 3(x − 3) 1 − x ≥ 12 −
= >0
3
3
2 + 1 + 3x
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; −1)
Bài toán 13


(√x + √y)(x + y + 1) = 2x√y + 1 + 2y √x − 1 + 2√y
Giải hệ phương trình sau
4
x√x + y + (y + 1)√
x + 3y = xy + 3x − 1

Hướng Dẫn Giải

Điều kiện:x ≥ 1 ; y ≥ 0
c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

Trang 14


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Phương trình thứ nhất tương đương với

x + y + 1√
x + y − 1√
y+1+y x−1=
x+
y (∗)
2
2

Ne
t.V
n

x
Ta có
V T (∗) =

√ √
x + y + 1√
x + y − 1√
√ √ √
x x y+1+ y y x−1≤
x+
y = V P (∗)
2
2

Đẳng thức xảy ra khi y = x − 1.Thế vào phương trình hai ta có


x 2x − 1 + x 4 4x − 3 = x2 + 2x − 1

3
(x ≥ )
4



1
2x

1
≥ 2 2x − 1
⇒ 2x − 1 + 4 4x − 3 = x + 2 − = x +
x
x


⇔ 4 4x − 3 ≥ 2x − 1
⇔ 4x − 3 ≥ (2x − 1)2
⇔ 4(x − 1)2 ≤ 0

⇔x=1⇒y=0

x = 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm là
y = 0
Bài toán 14

(T /M )

pi.


x√1 + y + y √1 + x = (x + y) √xy
Giải hệ phương trình sau
 √x + √y + 1 −√y + √x + 1 = 1

Hướng Dẫn Giải

Điều kiện x, y ≥ 0


a= x+ x+1
Đặt
(Với a, b ≥ 1)


b= y+ y+1

K2


1



 a



1
1


x=
a−



2
a






1
1

= x+1− x

a+
 x+1=
2
a

1
1





y=
b−


= y+1− y

2
b




1
1


b+
 y+1=
2
b






 1
b

Từ phương trình thứ hai của hệ suy ra
a+

1 1
+ −b
b a



a+

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

1
b

a+

1
1
+b−
b
a

2

− b−

1
a

=4

2

=4
Trang 15


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH
a4 − 1 b 4 − 1

+
+2
a2
b2

a

b

b
a

2

=0

Bài toán 15

Ne
t.V
n

a4 − 1 ≥ 0
b4 − 1 ≥ 0
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = 1 hay x = y = 0
Thay x = y = 0 vào phương trình (1) thỏa mãn.
Vậy nghiệm của hệ là (0; 0)



(x2 + 1) y + √2y + 1 = √2x2 + 1
Giải hệ phương trình sau

 1 + 2√x + 1 −1 + √2y + 1 = 2y x2 + 1

Hướng Dẫn Giải

1
Điều kiện của hệ phương trình: x ≥ −1; y ≥ −
2
Phương trình thứ hai tương đương với



1 + 2 x + 1 2y = (2y x2 + 1) 1 +

2y + 1 .

pi.

• Nếu y = 0 hệ có nghiệm (x; y) = (0; 0)
• Nếu y = 0 hệ tương đương với



2x2 + 1


 y + 2y + 1 =
√ x2 + 1

2 x+1+1


 2y + 1 + 1 = √ 2
x +1




2x2 + 1 + 1

2


( 2y + 1 + 1) =
x2 + 1





2 x+1+1


2y + 1 + 1 = √
x2 + 1



2 ± 10
2
Từ đây suy ra 2x + 1 = 2 x + 1 ⇔ x =
2
Thay x tìm được vào phương trình thứ hai ta tính được y

2

K2

Bài toán 16

 2

x

 + 2 x2 + 1 + y 2 = 3
2
Giải hệ phương trình sau y
y

x + √
+ y2 = 0
2
1+x +x

Hướng Dẫn Giải

2

x



+ y + 2( 1 + x2 − x) = 3
y
Hệ phương trình tương đương với

x



+ y + ( 1 + x2 − x) = 0
y

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

Trang 16


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Cộng đại số suy ra phương trình

x

 + y = −1
x
x
y
+y −2
+y −3=0⇔ x

y
y
 +y =3
y

x
• Trường hợp 1. Với + y = −1 ⇒ 1 + x2 − x = 1 hệ này có nghiệm (x; y) = (0; −1)
y


x
4
3
±
5
• Trường hợp 2. Với + y = 3 ⇒ 1 + x2 − x = −3, hệ này có 2 nghiệm (x; y) =
;
y
3
2

4 3± 5
;
Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm (0; −1) ,
3
2

Ne
t.V
n

2

Bài toán 17

x
1
y
1
1

+ = 2 + 2 −1
 −
y xy x
x
y
Giải hệ phương trình sau
2
x
y
x

xy + y 2


+
=
x+1 y+1
xy

Hướng Dẫn Giải

Điều kiện x, y = {0, −1}
Phương trình đầu tương đương với

(xy − 1)(x2 + y 2 + xy) = 0

⇔ xy = 1 ⇔

1
1
+
= 1 (3)
x+1 y+1

Phương trình thứ hai tương đương

1
x2 + y 2
1
+
)=
(4)
x+1 y+1
xy

pi.
3−(

Kết hợp (3) và (4)

x2 + y 2
⇔x=y
xy
Từ đó ta kết hợp các dấu bằng tìm được x = y = 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm (1; 1)
⇒2=

K2

Bài toán 18


21√x + (y − 7x2 ) √y = 315
Giải hệ phương trình sau
xy + 7 = (x + 1) (y − 7x − 14)

Hướng Dẫn Giải

Từ phương trình thứ hai của hệ ta suy ra y = 7x2 + 21x + 21
Thay vào phương trình đầu tiên ta có


x + (x2 + x) 7x2 + 21x + 21 = 15
⇔ (x − 1) √

1
(x2 + x)(x + 4)
+√
+ 7(x + 2) = 0
x+1
7x2 + 21x + 21

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

Trang 17


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bài toán 19

Ne
t.V
n

Vì x ≥ 0 ⇒ x = 1
Vậy nghiệm của hệ là (x, y) = (1, 49)

3
4 (x2 + y 2 ) + 6y √
1 − x = 3x + 4y + 6
Giải hệ phương trình sau


4 2y − x + 2 + 6 y − 7x + 8 = 3y − 8x + 23


a = √2y − x + 2
Đặt
b = √y − 7x + 8

Hướng Dẫn Giải

suy ra

a2 + b2 + 13 = 3y − 8x + 23 = 4a + 6b
⇔ (a − 2)2 + (b − 3)2 = 0


a = 2
x = 0


(T /M )
b = 3
y = 1

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (0; 1)
Bài toán 20


√x + 2y − √2x − 3y = 1
Giải hệ phương trình sau
x2 + x − 8y + 2 = 2(x − 2)√2x − 3y

Hướng Dẫn Giải

pi.


x + 2y ≥ 0
Điều kiện
2x ≥ 3y

Phương trình đầu tương đương với

x + 2y =

2x − 3y + 1

⇔ x + 2y = 2x − 3y + 1 + 2 2x − 3y
⇔ 5y = x + 1 + 2 2x − 3y

K2

Thế vào phương trình hai ta được

x2 + x − 3y − x + 1 + 2 2x − 3y + 2 = 2(x − 3) 2x − 3y
⇔ x2 + 1 = 2(x − 1) 2x − 3y + 3y
2

2x − 3y = 0

x ≥ 1
2x − 3y ⇔
x2 + 1 = 4x − 3y

⇔ x−1−

⇔x−1=

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

Trang 18


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH



Ne
t.V
n


x − 1 = √2x − 3y
Do đó hệ phương trình đã cho trở thành
5y = x + 1 + 2√2x − 3y

x − 1 = √2x − 3y



5y = 3x − 1


x = 2

(T /M )

y = 1

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (2; 1)
Bài toán 21


x√x + y √y = 1
Giải hệ phương trình sau
2x + 5y = (1 + x) (2 − 5y)

Hướng Dẫn Giải

Phương trình thứ hai của hệ đã cho tương đương
2


1+x

Thay vào ta có hệ sau

2



2 − 5y

=

(1 + x) (2 − 5y) ⇒ x = 1 − 5y


3
3

 a +b =1




a = √1 − 5y
Với
b = √y

2

5 (a2 − 1) = b2

. Từ phương trình thứ hai cho ta thấy hệ có nghiệm khi a ≥ 1

pi.

Phương trình a3 − 1 + b3 = (a − 1) (a2 + a + 1) + b3 ≥ 0 (a ≥ 1)
Dấu bằng xảy ra tương ứng y = 0 ⇒ x = 1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (1; 0)
Bài toán 22

1
1
2


x+
−1= 3 3 + 2
x+1
y
y
Giải hệ phương trình sau



4
√x + √
4
y+1= y+ x+1

Hướng Dẫn Giải

K2

Điều kiện x, y ≥ 0
Phương trình đầu tương đương với


a = √ x ≥ 0


4 2
4
⇔ a + b + 1 = b + a2 + 1 (Với
b = √ y ≥ 0

)

(a − b)(a + b)



⇔a−b= √
( 4 a2 + 1 + 4 b2 + 1)( a2 + 1 + b2 + 1)



(


4

a2

+1+


4

a−b=0⇔x=y >0


+ 1)( a2 + 1 + b2 + 1) = a + b (∗)

b2

Ta có V T (∗) > (a + b)(1 + 1) > V P ⇒ (∗) V N

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

Trang 19


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Thay vào phương trình hai,ta được
x2 =




x + 1 3 2x + 1

Ne
t.V
n




x + 1) + x + 1(x − 3 2x + 1) = 0

x2 − x − 1
x + 1(x + 1)(x2 − x − 1)



+
⇔ x.
=0
x + x + 1 x2 + x 3 2x + 1 + ( 3 2x + 1)2

x + 1(x + 1)
x
2



⇔ (x − x − 1)
+ 2
=0
3
x + x + 1 x + x 2x + 1 + ( 3 2x + 1)2
⇔ x(x −

Do biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương ∀x, y ≥ 0 nên suy ra x2 − x − 1 = 0


1+ 5
1+ 5
⇔x=
⇒y=
2
2


1+ 5 1+ 5
,
)
Vậy nghiệm (x, y) của hệ phương trình là (
2
2
Bài toán 23



2015x+y x + x2 + 1 + 2015xy y + y 2 + 1 = 0
Giải hệ phương trình sau
3y 2 + 8√x + 2y + 1 + x2 + 4xy = 4 (x + y) + 8√y + 1

Hướng Dẫn Giải

Từ phương trình thứ hai của hệ, nhân lượng hiên hợp ta có
(x + y) x + 3y + √

8

x + 2y + 1 + y + 1

= 4 (x + y)

pi.

Với x = −y thay lại được phương trình cơ bản
x+



x2 + 1 − 2015x2 (−x +

⇔x+


x2 + 1 −


x2 + 1) = 0

2015x2

=0
x + x2 + 1

K2

2

⇔ x + x2 + 1 − 2015x2 = 0

⇔ 2x x2 + 1 − 2013x2 + 1 = 0

....
8

Với x + 3y + √
=4
x
+
2y
+
1
+

√ y+1
Đặt a = x + 2y + 1 , b = y + 1, sử dụng đánh giá sau
8 = a2 + 1 + b 2 + 1 +

8
8
≥ 2 (a + b) +
≥8
a+b
a+b

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1. Từ đó giải ra nghiệm

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

Trang 20


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bài toán 24

Ne
t.V
n


2
(y − 1) √x − 1 = x − y
2
Giải hệ phương trình sau


4
2
x + y + 2x − x = 2y − y 2 + 2

Hướng Dẫn Giải

Điều kiện: 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2
Phương trình thứ nhất của hệ đã cho tương đương
y−1−



x−1

2

= (y − x) (x + y − 1)

Từ đây chúng ta có: x ≤ y là điều kiện để hệ có nghiệm.
Hơn thế nữa, chỉ ra được rằng 1 ≤ x, y ≤ 2
Sử dụng phân tích đánh giá cơ bản phương trình thứ hai như sau
(x − 1) 1 − √

2x −

x2

2y (y − 1)
x−1

+
4
2
+1
2x − x + 1
y + 2y − y 2

=0



2x − x2 + 1 − (x − 1) > 2 − x ≥ 0
Dễ thấy 4 2x − x2 + 1
Và y ≥ 1. Do đó f (x) + g (y) = 0 khi và chỉ khi x = y = 1
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x = y = 1
Bài toán 25


√x − y + 1 + √3x + 2y + 6 = 3x + 1
Giải hệ phương trình sau
x√x − 2 + √x + 3y + 1 = (y + 5) √y + 1

pi.

Hướng Dẫn Giải



x−y+1≥0





3x + 2y + 6 ≥ 0
Điều kiện:
x≥2



y ≥ −1



 x + 3y + 1 ≥ 0

Phương trình thứ hai tương đương với

⇔ x. √

x−y−3
+

x−2+ y+1

⇔ (x − y − 3) √



⇔

y + 1(x − y − 3) +

y + 1) +

K2


x( x − 2 −

x + 3y + 1 − 2 y + 1 = 0

x−y−3

y + 1(x − y − 3) + √
=0
x + 3y + 1 + 2 y + 1

x
+

x−2+ y+1

y+1+ √

1

=0
x + 3y + 1 + 2 y + 1

x−y−3=0

x
1


+ y+1+ √
(∗)

x + 3y + 1 + 2 y + 1
x−2+ y+1

⇒ x = y + 3 Do V T (∗) > 0

Thế vào phương trình đầu ta được
2+

2y + 6 + 3(y + 3) = 3(y + 3) + 1

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

Trang 21


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH


5y + 15 = 3y + 8

⇔ 9y 2 + 43y + 49 = 0 (Vô nghiệm do y ≥ −1)

Ne
t.V
n

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài toán 26

 √
3y 2 + x + 8√2 + x = 10y − 3xy + 12
Giải hệ phương trình sau
5y 3 √2 − x − 8 = 6y 2 + xy 3 √2 − x

Hướng Dẫn Giải

Điều kiện x ∈
Phương trình thứ hai tương đương


y 3 2 − x(5 − x) = 6y 2 + 8

Từ đó suy ra y > 0
Phương trình thứ hai cũng biến đổi thành


2
4
4y 3 (5 − x)( 2 − x − ) + 2y 2 (2 − x − 2 ) = 0
y
y




2−x−

 4y 3 (5 − x)

2

+
2y
√
=0
2
2−x+
y
4
⇔2−x− 2 =0
y
4
y2

pi.

Thế vào phương trình (1) ta có

2y 2 + 6y + 6 = (3y + 8)

y2 − 1

Nhường lại cho bạn đọc,chắc không khó với sự hỗ trợ CASIO
Bài toán 27

K2



 x+ 1 −1= 3 1 + 2
x+1
y3 y2
Giải hệ phương trình sau






x+ 4y+1= y+ 4x+1

Hướng Dẫn Giải

Điều kiện x ≥ 0, y > 0. Phương trình thứ hai của hệ tương đương với



x− 4x+1= y−

Xét hàm số f (t) =

4

y + 1 (∗)



t − 4 t + 1 trên [0; +∞) ta có

1
1
4
f (t) = √ −
= 0 ⇔ 2 (t + 1)3 = t
2 t 4 4 (t + 1)3
⇔ 16(t + 1)3 = t2 ⇔ 16t3 + 47t2 + 48t + 16 = 0

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

Trang 22


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Ne
t.V
n

Vô nghiệm do t > 0, mà f (t) liên tục trên (0 ; +∞)
Suy ra f (t) không đổi dấu trên (0; +∞)
Suy ra f (t) đồng biến trên (0; +∞)
Mặt khác (∗) ⇔ f (x) = f (y) ⇔ x = y
Do x ≥ 0 và y > 0 ⇒ x > 0
Thế vào phương trình thứ nhất ta được
x+



1
−1=
x+1

3

1
2
+ 2
3
y
y


3
x2
1
2x + 1
2
x
3

=
=

+

x+1
x3 x2
x
x+1



3
2x + 1
x
x − x + 1 x − 3 2x + 1

−1 + 1−
=0⇔ √
+
=0
x
x
x+1
x+1


x2 − x − 1


+
x+ x+1 x+1

x3 − 2x − 1
=0

2
3
3
2
x x + x 2x + 1 + (2x + 1)



x2 − x − 1


+
x+ x+1 x+1

(x + 1) (x2 − x − 1)
=0

2
3
3
2
x x + x 2x + 1 + (2x + 1)


1+ 5
⇔x −x−1=0⇔x=
2


1+ 5 1+ 5
Nghiệm có hệ duy nhất (x; y) =
;
.
2
2
2

pi.

Bài toán 28

Giải hệ phương trình sau


x − √ x = y − √ y
(x − y)2 + y + 3 = 2√4x − 2y

Hướng Dẫn Giải

Phương trình đầu tương đương với

K2


√ √

( x − y)( x + y − 1) = 0





x=y

x+ y =1

• Với x = y thì thay vào phương trình hai ta được nó vô ngiệm


• Với x + y = 1
Ta xét phương trình hai,sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
(x − y)2 + y + 3 = 2 4x − 2y ≤

4x − 2y + 4
= 2x − y + 2
2

⇔ (x − y − 1)2 ≤ 0 ⇔ x − 1 = y

x − 1 = y
x=1
⇔ √

(T /M )

 x+ y =1
y=0

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

Trang 23


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH
x=1
y=0

Ne
t.V
n

Vậy nghiệm của hệ phương trình là
Bài toán 29




x2 + 6xy + 4y 2 + 1 = 2x + 4y + 2 2xy
Giải hệ phương trình sau 2xy + 10 2x4 + 32y 4


= 21
x3 y + 4xy 3

Hướng Dẫn Giải

Điều kiện xy > 0
Phương trình thứ nhất tương đương với

2xy − 1)2 + (x + 2y)2 ≥ (x + 2y)2

2(x + 2y) = (

⇔ 0 < x + 2y ≤ 2

Phương trình thứ hai tương đương

21xy(x + 2y)2 − 84x2 y 2 = 2xy + 10

2(x4 + 16y 4 ) ≥ 2xy + 5(x + 2y)2

⇔ (21xy − 5)(x + 2y)2 ≥ 84x2 y 2 + 2xy
⇔ (x + 2y)2 ≥

84x2 y 2 + 2xy
21xy − 5


1
Ta có 2 ≥ x + 2y ≥ 2 2xy suy ra 0 < xy ≤
2
84x2 y 2 + 2xy
1
Xét f (xy) =
trên 0;
21xy − 5
2
Ta có

1
2

pi.

(x + 2y)2 ≥ maxf (xy) = f





x = 2y
Từ đó suy ra 2xy = 1



x + 2y = 2


x = 1

y = 1
2

= 4 ⇔ x + 2y ≥ 2

(T /M )

K2


x = 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
y = 1
2
Bài toán 30


x − y = √ y + 3
Giải hệ phương trình sau
(x − y)2 + 4 (y + 1) = 24 √2x − y − 2

Hướng Dẫn Giải

Điều kiện y ≥ 0
Từ phương trình đầu suy ra x > 0

Thế x = y + y + 3 vào phương trình hai,ta có


( y + 3)2 + 4y + 4 + 48 = 24 y + 2 y + 6

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

Trang 24


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH


⇔ 5y + 6 y + 61 = 24 y + 2 y + 6

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có

Ne
t.V
n




V P = 4.2.3 y + 2 y + 6 ≤ 4(y + 2 + 15) = 4y + 8 y + 61


⇒ 5y + 6 y + 61 ≤ 4y + 8 y + 60

⇔y−2 y+1≤0

⇔ ( y − 1)2 ≤ 0
⇔y=1⇒x=5

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (5, 1)
Bài toán 31


(7x + 5)√x = 12 2x2 − xy
Giải hệ phương trình sau
4y − 5x + 1 = 4 (x − y) (2x − y)

Hướng Dẫn Giải

Điều kiện


x ≥ 0
x ≥ y

Phương trình thứ nhất tương đương


pi.

x(7x + 5 − 12 2x − y) = 0

x = 0
Với trường hợp x = 0 ta giải được
y = − 1
8

Với trường hợp 7x + 5 − 12 2x
−y =0

7x + 5 = 12a





a = 2x − y
4y − 5x + 1 = 4ab
Đặt
ta có hệ
b = √x − y


2x − y = a2




x − y = b2

K2

Thế x, y rồi giải theo 2 ẩn a, b ta sẽ có các nghiệm là

Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm


x=1  x=0
;
1
y = 1 y = −
8


x=1  x=0
;
1 và
y = 1 y = −
8



 x = 4 22 − 3
√ 49


8
22 − 20
y =
63



4
22 − 3

x=
√ 49

8
22 − 20
y =
63

Bài toán 32




x − y = 6(1 − xy)
Giải hệ phương trình sau
6 2(x6 + y 6 )

x + 2
=3+
x + xy + y 2

2(x2 + y 2 )

Hướng Dẫn Giải
c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

Trang 25


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×