Tải bản đầy đủ

Xác suất thống kê các ví dụ và lời giải 10 đề thi luyện tập cùng đáp án và thang điểm

PGS.TS NGUY N H U B O

1


PGS.TS NGUY N H U B O

Giáo trình

Xác su t - Th ng kê
- Các ví d và l i gi i
- 10 đ thi luy n t p cùng đáp án và thang đi m

Nhà xu t b n xây d ng
Hà N i – 2003

2


M CL C


L I NÓI
CH

U ....................................................................................................................................................................7

NG I: CÁC

NH NGH A XÁC SU T.............................................................................................................10

§1. PHÉP TH VÀ BI N C ....................................................................................................................................10
§2. M I QUAN H GI A CÁC BI N C ...............................................................................................................10
§3. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BI N S ..........................................................................................................11
§4. CÁC NH NGH A XÁC SU T.........................................................................................................................11
4.1. nh ngh a xác su t c đi n ............................................................................................................................11
4.2. nh ngh a hình h c c a xác su t ..................................................................................................................12
4.3. nh ngh a th ng kê c a xác su t...................................................................................................................12
§5. CÁC NH LÝ XÁC SU T..................................................................................................................................13
5.1. nh lý c ng xác su t ......................................................................................................................................13
5.2. nh lý nhân xác su t......................................................................................................................................13

a. Khái ni m xác su t có đi u ki n ...................................................................................................................................... 13
b. Khái ni m tính đ c l p c a hai bi n c ........................................................................................................................... 14
c. Công th c xác su t đ y đ ............................................................................................................................................... 15
d. Công th c Bayes............................................................................................................................................................... 16

L
CH

I GI I BÀI T P CH

NG II: CÁC

NG I.........................................................................................................................................19

IL

NG NG U NHIÊN VÀ LU T PHÂN PH I XÁC....................................................21

§1.CÁC
IL

NG NG U NHIÊN.......................................................................................................................21
1.1. i l ng ng u nhiên r i r c .........................................................................................................................21
1.2. i l ng ng u nhiên liên t c ........................................................................................................................21
§2. LU T PHÂN PH I XÁC SU T..........................................................................................................................21
2.1. B ng phân b xác su t c a m t đ i l ng ng u nhiên r i r c......................................................................21
2.3. Hàm m t đ c a đ.l.n.n liên t c ......................................................................................................................23
§3. CÁC LU T PHÂN PH I XÁC SU T TH
NG G P ....................................................................................23
A. V i các đ.l.n.n r i r c.........................................................................................................................................23
1. Lu t siêu hình h c ........................................................................................................................................................... 23
2. Lu t nh th c ................................................................................................................................................................... 23
3. Lu t Poisson..................................................................................................................................................................... 24

B. V i các đ.l.n.n liên t c .......................................................................................................................................24

1. Lu t phân ph i đ u ......................................................................................................................................................... 24
2. Lu t phân ph i Gamma.................................................................................................................................................. 24
3. Lu t chu n ....................................................................................................................................................................... 25

§4. CÁC
C TR NG C A M T PHÂN PH I XÁC SU T................................................................................26
4.1. K v ng toán h c..............................................................................................................................................26
4.2. Ph ng sai .......................................................................................................................................................27
4.3. Các mômen.......................................................................................................................................................27
4.4. ý ngh a c a các mômen ...................................................................................................................................28
§5. HÀM C A M T .L.N.N ....................................................................................................................................28
5.1.Hàm c a m t đ.l.n.n r i r c .............................................................................................................................28
5.2. Hàm c a đ.l.n.n. liên t c .................................................................................................................................29
BÀI T P CH NG II ......................................................................................................................................................31
L I GI I BÀI T P CH NG II ........................................................................................................................................34
CH

NG III: LU T S

L N VÀ CÁC

NH LÝ GI I H N ................................................................................37

§1. LU T S L N ......................................................................................................................................................37
1.1. Lu t s l n d ng Chebyshev............................................................................................................................37
1.2. Lu t s l n d ng Khinchin..............................................................................................................................37
§2. NG D NG C A CÁC NH LÝ GI I H N ...................................................................................................37
2.1. nh lý gi i h n Moivres – Laplace:...............................................................................................................38
2.2. nh lý gi i h n trung tâm ..............................................................................................................................38
2.3. nh lý gi i h n Poisson .................................................................................................................................39
CH

NG IV:

IL

NG NG U NHIÊN HAI CHI U .........................................................................................41

3


§1. PHÂN PH I XÁC SU T HAI CHI U...............................................................................................................41
1.1. i l ng ng u nhiên hai chi u r i r c (X, Y ) .............................................................................................41
1.2. i l ng ng u nhiên hai chi u liên t c ( X, Y ) ...........................................................................................41
1.3. Phân ph i xác su t hai chi u ..........................................................................................................................41
a. R i r c .............................................................................................................................................................................. 41
b. Liên t c............................................................................................................................................................................. 43

1.4. Hàm phân ph i xác su t hai chi u ................................................................................................................43
§2. PHÂN PH I XÁC SU T CÓ I U KI N VÀ K V NG CÓ I U KI N...................................................44
2.1. Phân ph i xác su t có đi u ki n......................................................................................................................44
a. R i r c .............................................................................................................................................................................. 44
b. Liên t c............................................................................................................................................................................. 44

2.2. K v ng có đi u ki n ........................................................................................................................................44

a. R i r c .............................................................................................................................................................................. 44
b. Liên t c............................................................................................................................................................................. 44

§3. TÍNH
C L P VÀ T
NG QUAN C A HAI .L.N.N.................................................................................45
3.1. Tính đ c l p c a hai đ.l.n.n.............................................................................................................................45
3.2. Mômen t ng quan ( còn g i là hi p ph ng sai ho c covariance ) ............................................................45
§4. PHÂN PH I XÁC SU T C A TÔNG HAI
IL
NG NG U NHIÊN .....................................................45
a. Tr ng h p X và Y là các đ.l.n.n r i r c ...........................................................................................................45
b. Tr ng h p X và Y là các đ.l.n.n liên t c ..........................................................................................................46
§5.
IL
NG NG U NHIÊN N CHI U..............................................................................................................47
5.1.Hàm phân ph i xác suât n chi u......................................................................................................................47
5.2.Hàm m t đ n chi u..........................................................................................................................................47
5.3.Tính đ c l p ......................................................................................................................................................47
5.4. Ma tr n Covarian.............................................................................................................................................47
BÀI T P CH NG IV .....................................................................................................................................................49
L I GI I BÀI T P CH NG IV.......................................................................................................................................51
CH

NG V: TH NG KÊ MÔ T ...............................................................................................................................53

§1.M U NG U NHIÊN
N GI N.........................................................................................................................53
1. M u ng u nhiên đ n gi n nhi u chi u .............................................................................................................53
2. Các cách cho m u m t chi u..............................................................................................................................53
a. M u li t kê ........................................................................................................................................................................ 53
b. Các m u rút g n............................................................................................................................................................... 53

§2.CÁC
C TR NG M U M T CHI U..............................................................................................................54
2.1.Hàm phân ph i th c nghi m ( hay còn g i là hàm phân ph i m u ).............................................................54
2.2. Các s đ c tr ng m u ( hay các th ng kê quan tr ng nh t ) .........................................................................55
§3. CÁC
C TR NG M U HAI CHI U...............................................................................................................55
3.1.B ng phân ph i hai chi u ................................................................................................................................55
3.2. Các phân b biên duyên ..................................................................................................................................56
3.3. Mô men t ng quan ........................................................................................................................................56
3.4. H s t ng quan c a hai đ.l.n.n X và Y ........................................................................................................56
BÀI T P CH
NG V................................................................................................................................................59
CH

NG VI:

CL

NG TH NG KÊ ..................................................................................................................64

§1.
TV N
........................................................................................................................................................64
§2. CÁC
CL
NG T T NH T CHO THAM S ............................................................................................64
2.1.Tính không ch ch .............................................................................................................................................64
2.2. Tính v ng.........................................................................................................................................................65
2.3. Tính hi u qu ...................................................................................................................................................65
§3. KHO NG TIN C Y CHO THAM S ................................................................................................................65
§4. CÁC NG D NG C A LÝ THUY T
CL
NG TRONG X LÝ S LI U..........................................66
4.1. c l ng đi m cho giá tr th c đo .................................................................................................................66
4.2.
c l ng kho ng cho giá tr th c đo v i đ tin c y γ cho tr c v i gi thi t m u quan sát v X có phân
ph i chu n đã bi t ph ng sai ...............................................................................................................................66
4.3.
c l ng kho ng cho giá tr th c đo v i đ tin c y γ cho tr c v i gi thi t m u quan sát v X có phân
ph i chu n ch a bi t ph ng sai...........................................................................................................................67
4.4. Kho ng tin c y cho t l đám đông ( ho c xác su t xu t hi n m t bi n c A nào đó ) .................................68
4.5. Kho ng tin c y cho ph ng sai.......................................................................................................................68

4


4.6. Kho ng tin c y cho hi u 2 k v ng .................................................................................................................69
4.7. Kho ng tin c y cho s sai khác gi a 2 t l khi m u l n : ............................................................................70
BÀI T P CH NG VI ....................................................................................................................................................71
L I GI I BÀI T P CH NG VI.......................................................................................................................................75
CH

NG VII: KI M

NH GI THI T TH NG KÊ .............................................................................................78

§1.
T BÀI TOÁN ....................................................................................................................................................78
§2. CÁC TIÊU CHU N KI M NH GI THI T T I U M C α.....................................................................78
§3. NG D NG CÁC TI U CHU N KI M NH M C α TRONG PHÂN TÍCH VÀ X LÝ S LI U .......78
3,1. Ki m đ nh giá tr chân th c c a đ i l ng c n đo đ c ( k v ng EX )..........................................................78
a. X đ

b. X đ

c gi đ nh có phân ph i chu n N (μ, σ2) v i σ2 đã bi t........................................................................................ 78
2
c gi đ nh có phân ph i chu n v i ph ng sai σ ch a bi t............................................................................. 79

3.2. So sánh hai k v ng t hai li t s li u khác nhau ( ki m đ nh v s thu n nh t c a 2 li t s li u )............80
a. Tr

ng h p 2 m u gi đ nh t 2 đ.l.n.n. có phân ph i chu n v i 2 ph

b. Tr

ng h p 2 m u gi đ nh t 2 đ.l.n.n. có phân ph i chu n v i các ph

ng sai

σ12 và σ 22 đã bi t........................... 80

ng sai b ng nhau ch a bi t..................... 81

3.3. Ki m đ nh gi thi t v t l ..............................................................................................................................81

a. Bài toán so sánh t l m u f và t l lý thuy t p............................................................................................................... 81
b. Bài toán so sánh 2 t l .................................................................................................................................................... 82

3.4. Ki m đ nh v sai s thô ....................................................................................................................................82

a. Sai s ng u nhiên............................................................................................................................................................. 83
b. Sai s h th ng ................................................................................................................................................................. 83
c. Sai s thô........................................................................................................................................................................... 83

3.5. Ki m đ nh gi thi t v d ng c a phân ph i xác su t......................................................................................84
BÀI T P CH NG VII ...................................................................................................................................................87

CÁC BÀI T P ÔN T P ..................................................................................................................................................93
A- PH N XÁC SU T ........................................................................................................................................................93
B - PH N TH NG KÊ .......................................................................................................................................................96
PH L C........................................................................................................................................................................102
§1.M T S KI N TH C C B N V T H P ..................................................................................................102
1.1. Hoán v ...........................................................................................................................................................102
1.2. T h p ............................................................................................................................................................102
1.3. Ch nh h p ......................................................................................................................................................102
1.4. Ch nh h p l p ................................................................................................................................................103
1.5. Nh th c Newton ............................................................................................................................................103
§2. HÀM GAM-MA ..................................................................................................................................................103
§3. HÀM BÊ-TA........................................................................................................................................................104
§4. CÁC PHÂN PH I TH
NG G P:..................................................................................................................104
1. Phân ph i siêu hình h c...................................................................................................................................104
2. Phân ph i nh th c ...........................................................................................................................................104
3. Phân ph i hình h c ..........................................................................................................................................104
4. Phân ph i nh th c âm .....................................................................................................................................104
5. Phân ph i Poisson ............................................................................................................................................105
6. Phân ph i đ u trên [ a, b ]................................................................................................................................105
7. Phân ph i m ....................................................................................................................................................105
8. Phân ph i chu n...............................................................................................................................................105
9. Phân ph i loga chu n.......................................................................................................................................105
10. Phân ph i gam-ma..........................................................................................................................................106
11. Phân ph i χ2....................................................................................................................................................106
12. Phân ph i Student ..........................................................................................................................................106
13. Phân ph i F ....................................................................................................................................................106
14. Phân ph i bê-ta...............................................................................................................................................107
§5. CÁC B NG TRA ................................................................................................................................................108

5


x2

b ng 1 : Giá tr hàm laplace

B ng 2 : Giá tr hàm

1 t −2
Φ( t ) =
∫ e dx ....................................................................................... 108
2π 0

χ α2 ,ν ......................................................................................................................................... 109

B ng 3 : Giá tr hàm Student tγ,ν ...................................................................................................................................... 110
B ng 4 : Giá tr t i h n đ ki m đ nh v sai s thô ( τα;n ).............................................................................................. 111

M TS

THI TH .................................................................................................................................................112

A. CÁC THI CHO CH NG TRÌNH XÁC SU T – TH NG KÊ 60 TI T ( H C PH N XÁC SU T: 30 TI T, H C PH N TH NG
KÊ 30 TI T ) .................................................................................................................................................................112
1.
thi h c ph n Xác su t..................................................................................................................................112
2.
thi h c ph n th ng kê..................................................................................................................................114
B. CÁC THI CHO CH NG TRÌNH XÁC SU T – TH NG KÊ 45 TI T .........................................................................117
ÁP ÁN THANG I M CÁC BÀI THI TH
A. CÁC
B. CÁC

THI CHO CH
THI CHO CH

...........................................................................................................120

NG TRÌNH XÁC SU T – TH NG KÊ 60 TI T .........................................................................120
NG TRÌNH XÁC SU T TH NG KÊ 45 TI T ............................................................................126

TÀI LI U THAM KH O .............................................................................................................................................132
THÔNG TIN TÁC GI .................................................................................................................................................133

6


L I NÓI

U

K t n m 1998 theo ch đ o c a B Giáo d c - ào t o, môn Xác su t và Th ng kê đã
tr thành m t môn b t bu c trong ch ng trình đào t o toán cho các tr ng i h c nhóm
ngành A1 và th ng là hai h c ph n cu i cùng sau i s tuy n tính và Gi i tích. Nó th c s
là m t c u n i gi a toán c b n v i các l nh v c ng d ng toán và th c s là ki n th c t i
c n thi t cho các k s t ng lai, nh ng ng i luôn ph i làm vi c v i các k t qu quan tr c
hay các thi t b thí nghi m. Ch ng nh ng th nó còn th c s c n thi t cho c các h c viên h
Sau đ i h c v i các lu n án cao h c mà h u h t đ u liên quan đ n x lý s li u th c nghi m
ho c thi t k các thi t b thí nghi m.
Cùng v i nh ng yêu c u c p bách v c i ti n ph ng pháp gi ng d y và thi t k n i
dung ch ng trình đào t o k s hi n nay đang di n ra các tr ng đ i h c, giáo trình Xác
su t – Th ng kê c ng c n có m t s thay đ i theo h ng tinh gi n, g n nh nh ng ph i
mang m t n i dung ng d ng, đào t o ngh sâu s c. V i m t th i l ng ch ng 45 đ n 60
ti t, vi c gi ng d y các c s toán h c, cách trình bày quá sâu s c toán h c, nh ng thu t ng
toán h c c u k đã tr nên không phù h p. Nhi u k t qu sâu s c c a lý thuy t xác su t tr
nên ch a phù h p v i m t kh i l ng ki n th c toán cao c p còn h n ch hi n là ch ng
trình ph bi n các tr ng đ i h c k thu t hi n nay. M t hi n tr ng khá ph bi n hi n nay
là giáo viên tr khó có th d y đ c m t giáo trình xác su t th ng kê sao cho v a ch t ch v
m t toán h c l i v a có kh n ng cung c p cho sinh viên s hi u bi t ng d ng c a l nh v c
này. Sinh viên h c xong h t 30 ti t xác su t th y r t khó làm bài t p xác su t c đi n, và sau
30 ti t th ng kê sinh viên c ng th y khó kh n không kém đ th c hi n và trình bày m t bài
t p th ng kê n u đ ra mang m u s c ng d ng th c ti n. Ch a nói đ n kh n ng ng d ng
vào chuyên môn sau này mà tr c m t, t l thi l i môn xác su t và th ng kê m t s
tr ng làm cho chúng ta th y c n có s thay đ i tr c h t trong khâu giáo trình ( sau đó là
v n đ c i ti n ph ng pháp gi ng d y ).
V i m t ham mu n trình bày g n nh nh t nh ng v n đ lý thuy t và truy n đ t đ c
nhi u nh t các ý ngh a ng d ng, th c hành môn Xác su t, Th ng kê, chúng tôi biên so n
ch ng trình này, ph c v c h đào t o đ i h c và h đào t o sau đ i h c. V i s tham kh o
cách vi t c a m t s giáo trình c a m t s tr ng đ i h c k thu t M và Pháp, chúng tôi
tin r ng đây là cách vi t đúng đ n. ng th i v i kinh nghi m gi ng d y xác su t và th ng kê
c a b n thân ( dù là còn ít i ), chúng tôi tin r ng v i h th ng bài t p v i l i gi i, h ng d n
ho c đáp s cùng v i các bài thi và bài gi i m u có thang đi m s là m t tài li u thi t th c và
s đ c giáo viên tr , các đ c gi sinh viên nhi u tr ng hoan nghênh.
7


Vì n ng l c và th i gian có h n, chúng tôi bi t ch c r ng giáo trình này còn có nhi u
nh c đi m và sai sót. Hy v ng s nh n đ c các ý ki n đóng góp c a các đ ng nghi p và
các đ c gi sinh viên đ l n tái b n sau s b sung, s a ch a, s m đi đ n m t giáo trình hoàn
thi n h n.
Xin c m n m t s b n đ ng nghi p đang gi ng d y trong và ngoài tr
ý ki n và tài li u đ cho b n th o thêm phong phú và b ích.

ng đã đóng góp

Xin c m n GS.TSKH Nguy n Duy Ti n, ch nhi m Khoa đào t o Vi t - Nga, i h c
Qu c gia Hà N i, GS.TS. Hà V n Kh i, ch nhi m B môn Th y v n Công trình tr ng i
h c Thu l i là các giáo s đ c ph n bi n b n th o và đã cho nhi u ý ki n ch đ o quý báu.
N u giáo trình này đ c thành công, tôi xin kính t ng ng i th y d y Xác su t – Th ng kê
cho tôi, GS.TSKH Nguy n Duy Ti n, s thành công này.

Hà N i, 4 – 2003
Ng i biên so n

PGS.TS. Nguy n H u B o

8


“… Sách đ

c vi t cô đ ng, có nhi u ví d hay và b ích, nhi u bài t p sinh đ ng có l i

gi i r t quan tr ng gi ng sinh viên hi u rõ lý thuy t và v n d ng th c hành.
c bi t sách còn có các đ thi đ sinh viên t ki m tra.
Nói chung, đây là m t giáo trình t t giúp cho sinh viên các tr

ng

i h c k thu t h c

xác su t, th ng kê trong khuôn kh t 45 t i 60 ti t …”

GS. TSKH. Nguy n Duy Ti n
HQG Hà N i
( Trích nh n xét c a ph n bi n th 1 )

9


CH

NG I: CÁC

NH NGH A XÁC SU T

§1. PHÉP TH VÀ BI N C
Khi xem xét m t s vi c, m t hi n t ng nào đó mà ta đang quan tâm ta th ng ph i ti n
hành th c hi n m t nhóm đi u ki n đ xem k t c c đó nh th nào. Khi đó ta g i là ti n
hành m t phép th . Ví d , c n xem xét hi n t ng v đ p trên m t con sông c đ nh, ng i
ta c n xây d ng m t con sông thu nh theo t l t ng ng r i ti n hành các đi u ki n n c
dâng lên sao cho áp l c vào thành đ p và các đi u ki n khác t ng t th c t đ quan sát
xem đ p có b v hay không. ó là ti n hành m t phép th .
K t c c c a m t phép th g i là m t bi n c . Ví d gieo m t con xúc s c cân đ i, đ ng
ch t lên m t m t ph ng lý t ng. M i l n gieo là m t l n ti n hành phép th và k t qu là s
ch m xu t hi n trên m t con xúc s c chính là các bi n c : xu t hi n 1 ch m, xu t hi n 2
ch m,..., xu t hi n 6 ch m. V y có 6 bi n c có th xu t hi n trong các l n gieo con xúc s c
đó. Các bi n c này còn đ c g i là bi n c s c p, hay còn g i là bi n c đ ng kh n ng.
T p h p các bi n c s c p đ c g i là m t không gian các bi n c .
Các bi n c th ng đ c ký hi u b ng các ch cái A, B,…Riêng bi n c ch c ch n ( là
bi n c khi ti n hành phép th nó ch c ch n x y ra ) đ c ký hi u b ng ch Ω. Còn ng c l i
v i bi n c ch c ch n là bi n c tr ng ( ch c ch n không th x y ra sau các phép th ) đ c
ký hi u b ng ch ∅.
§2. M I QUAN H GI A CÁC BI N C
Bi n c đ i l p c a bi n c A, ký hi u là A, là bi n c x y ra khi và ch khi bi n c A
không x y ra.
Ví d : Khi gieo m t con xúc s c, bi n c “xu t hi n s ch m ch n” là bi n c đ i l p
c a bi n c “xu t hi n s ch m l ” và ng c l i.
Bi n c A g i là kéo theo bi n c B, ký hi u là A ⊂ B, n u và ch n u A x y ra thì suy
ra B x y ra.
Ví d : Khi gieo m t con xúc s c, bi n c “xu t hi n 2 ch m” kéo theo bi n c “xu t hi n
s ch m ch n”.
Hai bi n c A, B g i là t ng đ ng, ký hi u A = B, n u chúng đ ng th i x y ra ho c
đ ng th i không x y ra (t c là A ⊂ B và B ⊂ A).
t

Ví d : Khi gieo đ ng th i hai con xúc s c, bi n c “t ng s ch m xu t hi n b ng 12”
ng đ ng bi n c “ c hai con xúc s c xu t hi n 6 ch m”.

10


§3. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BI N S
T ng ( còn g i là h p ) c a hai bi n c A và B là m t bi n c , ký hi u là A+B ho c
A∪B, x y ra khi và ch khi A ho c B x y ra.
Tích ( còn g i là giao ) c a hai bi n c A và B là m t bi n c , ký hi u là AB ho c A∩B,
x y ra khi và ch khi A và B x y ra.
T ng và tích c a n ( n >2 ) bi n c A1 ,..., A n −1 , A n đ
n p nh sau:

c đ nh ngh a t

ng ng b ng qui

A 1 + A 2 + ... + A n = ( A 1 + A 2 + ... + A n −1 ) + A n

A1A 2 ...A n = (A1A 2 ...A n −1 )A n
Hi u c a bi n c A và B là m t bi n c , ký hi u là A\B, sao cho A\B x y ra khi và ch
khi A x y ra nh ng B không x y ra. c bi t

A = Ω\A.
Ví d : Khi gieo m t con xúc s c có các bi n c
A = {xu t hi n s ch m ch n}
B = {xu t hi n s ch m chia h t cho 3}

A i ={xu t hi n i ch m}, i =1, 2 ,…, 6.
Th y r ng A = A 2 + A 4 + A 6 , B = A 3 + A 6 , AB = A 6 , B \ A = A 3 .
Có th th y đ nh ngh a phép toán trên các bi n c và đ nh ngh a phép toán trên các t p
h p có s t ng đ ng v i nhau.

A

B

A⊂B

B

A

A≡B

B

A

A∪B

A
B
A∩B

A
B
A\B

A
Ω

A =Ω \ A

Vì th các tính ch t c a các phép toán trên các t p h p v n còn đúng cho các phép toán
trên các bi n c .
§4. CÁC

NH NGH A XÁC SU T

Xu t phát t gi thi t v tính đ ng kh n ng ( t c là có cùng kh n ng x y ra ) c a các
bi n c , ta có đ nh ngh a sau:
4.1. nh ngh a xác su t c đi n
Xác su t xu t hi n bi n c A là m t s đo đ c tr ng cho kh n ng xu t hi n c a bi n c
đó và ký hi u b i ch P(A) ( đây P là ch cái đ u tiên c a ch Probability trong ti ng Anh
có ngh a là xác su t ).
11


P(A) =

Sè biÕn cè thuËn lîi cho A xuÊt hiÖn
Sè c¸c biÕn cè dång kh¶ n¨ng cã thÓ cã

Vì t s luôn luôn nh h n ho c b ng m u s nên P(A) ≤ 1. P(Ω) = 1, P(∅) = 0 và P(A)
≥ 0, ∀A.
Ví d : Gieo 2 con xúc s c cân đ i đ ng ch t xu ng m t m t ph ng lý t
c a bi n c t ng s ch m trên m t hai con xúc s c b ng 5.

ng. Tìm xác su t

Gi i: Vì m i con xúc s c đ u cân đ i, đ ng ch t nên kh n ng xu t hi n m i m t c a con
xúc s c đ u nh nhau và ng v i vi c xu t hi n m t m t c a con xúc s c này là 6 m t c a
con xúc s c kia. Vì th s bi n c đ ng kh n ng có th có là 36 bi n c .
Tuy nhiên ch có 4 bi n c thu n l i cho bi n c A là bi n c : T ng s ch m trên m t
hai con xúc s c b ng 5. ó là các bi n c A41, , A14 , A23 , A32 ( đây Aij là bi n c con xúc
s c th 1 xu t hi n i ch m, con xúc s c th 2 xu t hi n i ch m ) . Vì th : P(A) = 4 = 1
36 9
nh ngh a này r t ti n l i cho vi c tính xác su t trong các bài toán xác su t c đi n khi
t ng s bi n c có th có ch là h u h n. Trong tr ng h p t ng s các bi n c có th có là
vô h n khi không s d ng đ c.
4.2. nh ngh a hình h c c a xác su t
Kh c ph c nh c đi m nói trên c a đ nh ngh a xác su t c đi n th k th 14 còn xu t hi n
m t tr ng phái đ nh ngh a xác su t theo ki u hình h c nh sau: Ng i ta coi m i bi n c có
th có nh m t đi m thu c m t mi n D còn n u đi m đó thu c mi n A ⊆ D thì coi nh bi n
c A xu t hi n. T s nói trong đ nh ngh a P(A) ( theo c đi n ) s đ c thay b ng t l sau
đây:
P ( A) =

Sè do miÒn A
.
Sè do miÒn D

nh ngh a này đã gi i quy t đ c nhi u bài toán xác su t mà đ nh ngh a c đi n
không gi i quy t đ c. Song nó l i m c vào m t nh c đi m m i. ó là vi c tìm di n tích
c a mi n A và mi n D không ph i lúc nào c ng đ n gi n và ng i ta đã có nh ng ví d v
m t bài toán xác su t gi i theo ki u đ nh ngh a hình h c nói trên có th đ a đ n nhi u đáp s
khác nhau.
4.3.

nh ngh a th ng kê c a xác su t
M t qui lu t n đ nh c a th ng kê là khi s l n th càng t ng lên thì kh n ng xu t hi
bi n c A ( b ng s l n xu t hi n trong t ng s l n th đ ng đi u ki n ) d n t i m t gi i h
không đ i. Trong tr ng h p mà có th s d ng đ c đ nh ngh a xác xu t c đi n thì gi
h n không đ i này c ng chính b ng xác xu t P(A). Vì th , n u g i m là s l n xu t hi
bi n c A trong n l n th đ ng đi u ki n thì t s

m
đ
n

n
n
i
n

c g i là t n su t xu t hi n bi n c A

và đ nh ngh a:

12


P(A) = lim

n →∞

m
n

nh ngh a này l i m c ph i m t sai l m v logic hình th c. Tr c h t hai v c a đ ng th c
thu c v hai ph m trù đ i l p nhau ( t t đ nh và ng u nhiên ) và sau đó v m t toán h c, khó có
th ch p nh n đ c m t t s khi m u s d n t i vô cùng l i b ng m t s khác không, th m chí
có khi b ng 1.
Cu i cùng, m t đ nh ngh a xác su t theo h tiên đ đ
nhà toán h c ng

i Nga, đ xu t đã đ

c Konmogorov, m t

c c th gi i công nh n và c ng t đó

ch m d t m t th i gian dài các cu c tranh lu n v đ nh ngh a xác su t trong l ch s toán h c.
Vì m c đích ng d ng và là m t giáo trình giành cho các k s , chúng tôi xin t m d ng m c
đ nh ngh a xác su t đây mà không đi sâu h n vào h tiên đ Konmogorov nói trên.
§5. CÁC

NH LÝ XÁC SU T

5.1.

nh lý c ng xác su t
nh lý: N u các bi n c A1, A2,..., An là m t h xung kh c t ng đôi ( t c là giao hai bi n
c b t k khác nhau trong h đ u b ng bi n c tr ng ) thì:
n

n

i =1

i =1

P(∑ A i ) = P(A 1 + A 2 + ... + A n ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + ... + P(A n ) = ∑ P(A i )

Ch ng minh đ nh lý này d dàng d a vào đ nh ngh a xác su t c đi n. M t h qu quan
tr ng c a đ nh lý này là vi c tìm xác su t c a m t bi n c A b t k .
P(A) = 1 - P(A)

( Th t v y, P( A + A ) = P( Ω ) = 1 nên P(A) + P( A ) = 1, suy ra đi u c n ph i ch ng
minh ).
nh lý: V i hai bi n c b t k A và B, ta luôn có:
P(A+B) = P(A) +P(B) - P(AB)
Xem đây là m t bài t p đ b n đ c t ch ng minh ( Chú ý liên h v i các phép toán t p
h p ).
B ng ph ng pháp quy n p toán h c ta có th ch ng minh đ
quát h n nhi u:

c m t công th c t ng

V i A1, A2, ..., An là n bi n c b t k .
n

n

i =1

i =1

P(∑ A i ) = ∑ P(A i ) −

∑ P(A i A j ) + ∑ P(A i A jA k )

1≤i< j≤ n

1≤i< j
+ ... + (−1) n −1 P(A1A 2 ...A n )

5.2. nh lý nhân xác su t
a. Khái ni m xác su t có đi u ki n

13


nh ngh a: Gi s B là m t bi n c có P(B) > 0. Khi đó, xác su t có đi u ki n c a m t
bi n c A v i đi u ki n bi n c B đã x y ra, ký hi u là P(A/B) s đ c tính b ng công th c :
P(A/B) =

P(AB)
P(B)

Ví d : Rút t m t c bài tú l kh g m 52 con l n l
th hai là át bi t r ng con bài th nh t đã là con át.

t 2 con bài. Tìm xác su t đ con bài

Gi i: G i Ai là bi n c l y ra con th i là át ( i = 1, 2 ). Rõ ràng
P(A2/A1) =

3 1
=
51 7

( vì con th nh t l y ra đã là con át nên đ l y đ c con th hai là át s t
1 trong 3 con còn l i trong t ng s 51 con còn l i ).

ng đ

ng vi c l y

Chú ý: T đ nh ngh a trên ta suy ra công th c nhân xác su t
P(AB) = P(A)P(B/A)
B ng quy n p toán h c, ta có m t đ nh lý nhân xác su t t ng quát nh sau:
nh lý: Cho A1, A2,..., An là n bi n c tu ý. Ta luôn có:
P(A1A 2 ...A n ) = P(A1 ).P(A 2

A1

).P(

A3

A1A 2

)...P(A n

A1A 2 ...A n −1

)

Ví d : N m 1972 , m t máy bay B-52 mu n ném bom m t đ a đi m Hà n i thì ph i qua
đ c 3 vòng h a l c c a cao x pháo phòng không Vi t nam .. Vòng đ u tiên , xác su t b
b n r i là 48% , vòng th 2 là 75% và vòng 3 thì c 3 máy bay thì ch 1 chi c là qua đ c .
Tìm xác su t m c tiêu b tiêu di t n u bi t r ng xác su t ném bom trúng đích c a B-52 là
65%
Gi i: G i Ai là bi n c máy bay qua đ c vòng h a l c th i
A là bi n c ném bom trúng m c tiêu . Khi đó bi n c ném trúng sau khi qua đ
h a l c s là B = A1.A2.A3.A
S d ng đ nh lý nhân xác su t ta có
P(B) = P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1.A2).P(A /A1.A2.A3)
Theo đ u bài , P(A1)= 0,52 , .P(A2/A1).= 0,25 , P(A3/A1.A2) = 1/3
P(A /A1.A2.A3)= 0,65 . T đó ta có xác su t P(B) c n tìm là
P(B) = 0,52.0,25.1/3.0,65 = 0,028

c 3 vòng

b. Khái ni m tính đ c l p c a hai bi n c
nh ngh a: Ta nói bi n c A đ c l p v i bi n c B n u
P(A/B) = P(A) và ng c l i P(B/A) = P(B),
t c là s xu t hi n bi n c B không làm thay đ i kh n ng xu t hi n bi n c A và ng

c l i.

T bi u th c trong đ nh ngh a ta th y r ng n u A đ c l p v i B thì:
P(AB) = P(A)P(B)
T c là xác su t c a tích hai bi n c b ng tích hai xác su t c a t ng bi n c .
đ c l p c a hai bi n c còn đ c m r ng cho n bi n c nh sau:

nh ngh a s
14


nh ngh a: Nói r ng các bi n c A1, A2,..., An đ c l p nhau trong toàn b n u:
P(A1A2...An) = P(A1)P(A2)...P(An)
c. Công th c xác su t đ y đ
nh ngh a: H các bi n c H1, H2,..., Hn đ

c g i là m t h đ y đ các bi n c n u:

∀i, j =1, 2,..., n và i ≠ j;

i) HiHj=∅

ii) H1 + H2 + ...+ Hn = Ω
T c là n bi n c không giao nhau và h p c a chúng là bi n c ch c ch n.
M t bi n c A x y ra trong h đ y đ nói trên thì
A = AΩ = A( H1 + H2 + ...+ Hn ) = AH1 + AH2 + ...+ AHn,
n

Suy ra P(A) = ∑ P(AH i ).
i =1

Theo công th c nhân ta có th vi t l i là:
n

P(A) =

∑ P(H i ).P(A / H i )
i =1

Công th c này đ

c g i là công th c đ y đ . Công th c này có r t nhi u ng d ng th c

t .
Ví d : M t phân x ng có 3 máy s n xu t cùng m t lo i s n ph m v i t l ph ph m t ng
ng là 1%; 0,5% ; 0,2% ; . Bi t r ng máy m t s n xu t ra 35% s n ph m, máy hai là 45%
s n ph m và máy ba là 20% s n ph m. Ch n hú ho ra m t s n ph m. Tìm xác su t s n
ph m đó là ph ph m.
Gi i: G i H1 , H2, H3 là bi n c ch n đ c s n ph m do máy m t, máy hai, máy ba s n
xu t. D dàng ki m tra đ c là H1 , H2 ,H3 l p thành m t h đ y đ và P(H1) = 0,35; P(H2) =
0,45; P(H3) = 0,20. G i A là bi n c l y đ c s n ph m là ph ph m. Theo đ u bài P(A/H1)
= 1% ( chính là t l ph ph m c a máy m t ), P(A/ H2) = 0,5%, P(A/ H3) = 0,2%. Theo
công th c đ y đ
n

P(A) = ∑ P(H i ).P(A / H i ) = 0,35 . 0,01 + 0,45 . 0,005 + 0,20 . 0,002 = 0,615
i =1

T k t qu này có th k t lu n đ c t l ph ph m chung c a c phân x
l ph ph m và công su t c a t ng máy trong phân x ng.

ng n u bi t t

Ví d : Có 2 h p đ ng cùng lo i s n ph m nào đó, h p m t có 10 s n ph m trong đó có
m t ph ph m. H p hai có 8 cái trong đó có hai ph ph m. L y hú ho m t s n ph m t h p
m t b sang h p th hai r i t h p th hai l y hú ho ra hai s n ph m. Tìm xác su t đ hai
s n ph m này đ u là ph ph m.
Gi i: G i H là bi n c l y đ c t h p m t m t s n ph m t t, thì H là bi n c l y đ
h p m t m t ph ph m. V y H và H l p nên m t h đ y đ .

ct

15


G i A là bi n c c n tìm: Hai s n ph m l y t h p 2 là ph ph m. Ta c n tính P(A/H) và
P(A/ H ).
Rõ ràng P(A/ H ) =
M t khác, P(H) =

C 32
C 92

=

C2
1
1
còn P(A/H) = 22 =
12
C 9 36

9
9
, P( H ) = 1 - .
10
10

V y theo công th c đ y đ ta có:
P(A) = P(H)P(A/H) + P( H ).P(A/ H ) =

9 1
1 1
1
.
× + × =
10 36 10 12 30

d. Công th c Bayes
V n xét bài toán bi n c A xu t hi n trong m t h đ y đ H1, H2,..., Hn. ôi khi, ta
không c n tìm xác su t P(A) mà ta l i c n tìm xác su t P(Hj/A) v i j = 1, 2,..., n. Theo công
th c nhân xác su t P(AHj) = P(A)P(Hj/A) = P(Hj)P(A/Hj) và k t h p công th c đ y đ , ta
có:
P(Hj/A) =

P(H j ) P( A / H j )
P( A )

=

P( H j )P( A / H j )
n

∑ P(H i )P(A / H i )
i =1

Công th c này còn đ

c g i là công th c Bayes.

Ví d : Tr l i ví d trong ph n công th c đ y đ . Gi s l y ra m t s n ph m đã th y đó
là ph ph m. Bây gi ta c n tìm xác su t s n ph m đó do máy 2 s n xu t. Theo công th c
Bayes
P(H2/A) =

P(H 2 )P(A / H 2 ) 0,45 × 0,5%
=
≈ 0,366.
P( A )
0,615%

16


Bài t p ch

ng I

1. Gieo hai con xúc s c cân đ i, đ ng ch t lên m t m t ph ng ( lý t
c a các bi n c .

ng ). Tìm xác su t

a) T ng các s ch m xu t hi n trên m t con xúc s c là m t s ch n.
b) S ch m xu t hi n trên m t hai con xúc s c gi ng nhau.
2. X p hú ho thành hàng ngang 7 ch cái t các ch cái S, X, X, U, A, Â, C, C, C, X,
T, T. Tìm xác su t c a bi n c x p đ c ch XACSUÂT
3. Rút hú ho ba con bài t m t c bài tú-l -kh g m 52 con bài. Tìm xác su t bi n c
trong ba con rút ra có đúng hai con át.
4. Có 3 ng i cùng đ n mua áo m t c a hi u có r t nhi u áo đ ch n và có t t c sáu
màu áo: đ , xanh, vàng , tím, tr ng, đen. M i ng i mua hú ho m t áo. Tìm xác su t bi n
c :
A: 3 áo mua đ c có máu tr ng
B: C ba ng i mua áo có màu gi ng nhau
C: Ba ng

i mua đ

c áo có màu khác nhau.

5. Trong m t h p đ ng m t 100 s n ph m, trong đó có 5 ph ph m. L y hú ho ra 5 s n
ph m. Tìm xác su t đ trong 5 s n ph m l y ra có đúng 2 ph ph m.
6. M t ng i mua k vé s s . Tìm xác su t đ ng
n vé bán ra ch có m vé trúng th ng. ( 0 < k < m ).

i đó trúng th

ng n u bi t r ng trong

7. Rút hú ho ra 5 con bài t m t b tú l kh 52 con bài. Tìm xác su t trong 5 con bài
rút ra có ít nh t m t con át.
8. Trong m t nhà máy s n su t cùng m t lo i thi t b máy thu l i, các máy 1, 2, 3 s n
xu t l n l t 25%, 35%, 40% s n ph m c a nhà máy.T l ph ph m c a 3 máy l n l t là
5%, 4%, 2% s s n ph m c a c nhà máy. L y hú ho m t s n ph m trong kho s n ph m
chung c a c nhà máy thì th y đó là ph ph m. Tìm xác su t đ ph ph m đó do m t máy
s n xu t.
9. Có 6 chi c h p y h t nhau. M t h p ch a 3 viên bi tr ng, 2 viên bi đen. Hai h p m i
h p ch a 3 viên bi tr ng và 4 viên bi đen. Ba h p ch a 5 viên bi tr ng, 5 viên bi đen. Kích
th c tr ng l ng các viên bi y h t nhau. L y hú ho ra m t h p r i t đó hú ho ra m t viên
bi.
a) Tìm xác su t bi n c l y ra viên bi tr ng.
b) Gi s đã l y ra viên bi tr ng, tìm xác su t l y đ
tr ng2 viên bi đen ( h p th 1 ).

c viên bi đó t h p đ ng 3 viên bi

17


10. Trong h p th nh t có 5 viên bi đ và 3 viên bi tr ng. Trong h p th hai có 1 viên bi
đ và 2 viên bi tr ng. Tung m t con xúc s c, n u th y m t 3 ch m ho c 6 ch m xu t hi n thì
l y hú ho m t viên bi h p th hai b vào h p th nh t r i sau đó l y hú h a m t viên bi
h p th nh t. N u xúc s c xu t hi n m t khác ( 1; 2; 4; 5 ch m ) thì l i l y hú ho m t viên
bi h p th nh t b vào h p th hai r i l y hú ho m t viên bi h p th hai.
Tìm xác su t c a bi n c viên bi sau cùng l y ra là viên bi đ .
11. Trong vi c truy n tín b ng đi n tín ng i ta th ng dùng tín hi u ch m ( . ) và
ngang ( - ). Do b nhi u nên trung bình có 1/5 tín hi u ch m và 1/3 tín hi u ngang b nhi u (
t c là phát tín hi u n l i nh n đ c tín hi u kia ).
T s gi a tín hi u ch m và ngang đ c truy n đi là 2/3. Tìm xác su t đ nh n đúng tín
hi u trong hai tr ng h p
a) Tín hi u nh n đ c là tín hi u ch m ( . ) .
b) Tín hi u nh n đ

c là tín hi u ngang ( - ).

12. Có 4 x th cùng n súng vào m t m c tiêu v i xác su t trúng đích c a các x th
l n l t là 0,8; 0,4; 0,6; 0,5.
Bi t r ng n u có k viên đ n b n trúng thì m c tiêu s b tiêu di t v i xác su t
1−

pk =

1
.
2k

Tìm xác su t đ m c tiêu b tiêu di t.

18


L i gi i Bài t p Ch

ng I

1. Li t kê các bi n c đ ng kh n ng có th có và ta th y có 36 bi n c có th xu t hi n
khi gieo hai con xúc s c. Tuy nhiên ch có 18 bi n c xu t hi n t ng các s ch m là ch n và
6 bi n c xu t hi n s ch m trên m t hai con xúc s c gi ng nhau, v y:
a) P(A) =

18 1
= ;
36 2

b) P(A) =

6 1
= .
36 6

2. Có 12.11.10...6 cách l y ra và x p ng u nhiên 7 ch . Có 3 cách ch n ch đ u tiên là
ch X trong 12 ch đã cho, có 1 cách ch n ch th hai là A trong 11 ch còn l i,...Vì th
3 1 3 1 1 1 2
xác su t c n tìm là: . . . . . .
12 11 10 9 8 7 6
3. G i A là bi n c c n tìm. Ta th y có t t c C 352 kh n ng rút ra ba con bài ( s bi n
c đ ng kh n ng ). (Xem khái ni m C kn

ph n ph l c).

Tuy nhiên ch có C 24 kh n ng l y ra hai con át. Và ng v i m i kh n ng đó, có C148
kh n ng l y ra con bài không ph i là con át. V y s bi n c thu n l i là C 24 .C148 . Xác su t
c n tìm s là P(A) =
4. P(A) =

C 34 .C 248
C 352

.

1
6
20
; P(B) =
; P(C) =
216
216
216

5. T ng quát c a bài 3. G i A là bi n c c n tìm xác su t thì P(A) =

C 52 .C 395
5
C100

≈ 0.01838.

6. G i bi n c ng i đó trúng th ng là A. Khi đó bi n c này đ ng kh n ng v i bi n
c trong k vé mua đ c có ít nh t m t vé trúng th ng. Bi n c này l i xung kh c v i bi n
c trong k vé không có vé nào trúng th
7. P(A) = 1 −

C 548
C 552

ng. V y ta tìm P(A) =

C kn −m
C kn

→ P( A ) = 1 −

C kn −m
C kn

.

.

8. Dùng công th c Bayes: P(A) =

25
.
69

19


9. Coi bi n c l y m t h p t 6 h p đã cho là m t bi n c trong h đ y đ . T đó s
d ng công th c đ y đ và Bayes.
a) P(A) =

933
;
1680

b) P(H1/A) =
10. S :

56
.
311

607
.
1296

11. a) áp d ng công th c Bayes, S :
b) T

ng t , S :

8
.
13

5
.
6

12. S : ≈ 0,748 .

20


Ch

ng II: CÁC

IL

NG NG U NHIÊN VÀ LU T PHÂN PH I XÁC

§1.CÁC
IL
NG NG U NHIÊN
Trong các đ i t ng nghiên c u c a khoa h c, m t t l khá l n là các đ i t ng nh n
m t giá tr s nào đó m t cách ng u nhiên. Ví d xét đ i l ng: L u l ng đ nh l hàng n m
Qmax. Rõ ràng đ i l ng này nh n các giá tr m i th i đi m t là m t giá tr hoàn toàn ng u
nhiên mà ta không th bi t tr c đ c. ó chính là m t đ i l ng ng u nhiên th ng g p
trong nghiên c u Thu v n.
l

nh ngh a: i l ng nh n m t giá tr c th nào đó m t cách ng u nhiên ( bi n c đ i
ng nh n giá tr đó là m t bi n c ng u nhiên ) đ c g i là m t đ i l ng ng u nhiên.
Có hai lo i đ i l

1.1.

ng ng u nhiên:

i l ng ng u nhiên r i r c
T p h p các giá tr mà nó nh n đ

c là m t t p đi m r i r c trên đ

Ví d : 1. S ch m xu t hi n con xúc s c khi đ
2. S l n x y ra tr c tr c
1.2.
đ

il

c gieo ng u nhiên trên m t ph ng.

m t tr m b m thu l i.

i l ng ng u nhiên liên t c
T p h p các giá tr mà nó nh n đ
ng th ng th c.
Ví d : 1.

ng th ng th c.

c là nh ng giá tr l p đ y m t kho ng nào đó trên

ng Qmax c a m t con sông t i m t tr m thu v n.

2. Các giá tr đo đ c v m t đ i l

ng nào đó...

§2. LU T PHÂN PH I XÁC SU T
n m b t các thông tin v các đ i l ng ng u nhiên, ngoài các giá tr mà nó nh n,
ng i ta còn c n ph i bi t các quy lu t v xác su t nh n các giá tr cho tr c c a đ i
l ng ng u nhiên đó. Các khái ni m v các hàm phân ph i xác su t, b ng phân b xác
su t, hàm m t đ , t t c đ u g i là lu t phân ph i xác su t c a m t đ i l ng ng u nhiên.
2.1. B ng phân b xác su t c a m t đ i l ng ng u nhiên r i r c
Lu t phân ph i xác su t c a đ i l ng ng u nhiên r i r c đ c cho d i d ng b ng
g m hai dòng, trong đó dòng trên li t kê các giá tr có th có c a nó theo th t t ng d n
còn dòng d i là các xác su t đ đ.l.n.n nh n giá tr t ng ng.
X

x1

x2 . . .

P

p1

p2 . . .

Trong m t s tr

.

ng h p, b ng trên đ

xk . . . .
.

pk . . . .
c thay b i công th c:

P{ X = xk } = pk , k = 1, 2,....

21


Chú ý là h p các bi n c { X = xk } v i k = 1, 2,... t o thành m t bi n c ch c ch n nên
∑ p k = 1.

k =1

2.2. Hàm phân ph i xác su t c a đ.l.n.n ( c r i r c l n liên t c )
nh ngh a: V i m i s th c x b t k , l p hàm FX(x) = P{ X ≤ x} đ c g i là hàm phân
ph i xác su t c a đ.l.n.n X.
Có th th y FX(x) là m t hàm s không âm, b ch n b i m t và không gi m.
N u X là đ.l.n.n r i r c v i b ng phân ph i xác su t nói
∑ pk .

trên, FX(x) = P{X ≤ x}=

1≤ k ≤ x

Ví d : M t ng i có ba viên đ n nh m b n vào m c tiêu đ n khi trúng đích thì thôi
(
ho c đ n khi b n h t c ba viên đ n ). G i X là s viên đ n đ c b n ra. L p b ng phân b xác
su t c a X và l p hàm phân ph i xác su t c a X, bi t r ng xác su t trúng đích là 0,8.
Gi i: P{X = 1} = 0,8, P{ X = 2} = 0,2.0,8 = 0,16, P{X = 3} = 0,2.0,2 = 0,04.
V y b ng phân ph i xác su t c a X s là
X

1

2

3

P

0,8

0,16

0,04

( Ki m tra l i đi u ki n

∑ p k = 0,8 + 0,16 + 0,04 = 1 )

T đ nh ngh a hàm phân ph i, ta tìm đ

c

⎧0
⎪0,8

FX ( x ) = ⎨
⎪0,96
⎪⎩1

th hàm phân ph i y = FX(x) s là

khi x < 1
khi - 1 ≤ x < 2
khi 2 ≤ x < 3
khi x ≥ 3

y

1
0,9
0,8
0

1

2

3

x

22


2.3. Hàm m t đ c a đ.l.n.n liên t c
nh ngh a hàm m t đ : i v i đ.l.n.n liên t c, hàm phân ph i xác su t đ
t công th c sau:

c xác đ nh

x

FX (x) = P{ X ≤ x} = ∫ px (t)dt
−∞

Trong đó hàm không âm pX(x) đ

c g i là hàm m t đ c a đ.l.n.n đó.

D dàng suy ra các tính ch t sau c a hàm m t đ :
i) pX(x) ≥ 0;
x2

ii) P{ x1 < X < x2 } =

∫ p x (t )dt

∀ x 1 < x 2;

x1

iii) N u pX(x) liên t c t i x thì FX(x) kh vi t i x và F 'X(x) = pX(x);
+∞

iv)

∫ p x (x )dx = 1 .

−∞

§3. CÁC LU T PHÂN PH I XÁC SU T TH

NG G P

A. V i các đ.l.n.n r i r c
1. Lu t siêu hình h c
Trong tr ng h p n ph n t , có m ph n t mang tính ch t A nào đó, l y hú ho ra r
ph n t . G i X là s ph n t mang tính ch t A trong r ph n t đ c l y ra. Khi đó X
đ

c g i là tuân theo lu t siêu hình h c và P{X = k} = pk =

C km .C rn−−km
C rn

,

k = 0, 1, 2,...,

min { r, m } .
2. Lu t nh th c
G i X là s l n xu t hi n bi n c A trong n th đ c l p ( trong hoàn c nh y h t nhau và
m i l n th ch có m t trong hai k t c c: A xu t hi n ho c A không xu t hi n ). Gi s P(A)
= p ( 0 < p < 1) ( g i là xác su t thành công). n phép th nh v y đ c g i là m t l c đ
các phép th Bernoulli đ c l p. X đ c g i là tuân theo lu t nh th c và ta có:
P { X = k } = pk = C kn p k (1 − p) n −k , k = 0, 1, 2,..., n. ( ng
su t trong n phép th Bernoulli có k l n thành công ).

i ta th

ng ký hi u Pn(k) là xác

S l n thành công có xác su t l n nh t:
Bài toán: Tìm m* đ Pn(m*) l n nh t.
Ng i ta đã ch ng minh đ c r ng:
+ N u np < q thì m* = 0.
23


+ N u np – q ≥ 0 và là m t s nguyên thì m* có 2 giá tr , đó là m* = np-q và m* = npq + 1.
+ N u np – q > 0 và không ph i là s nguyên thì m* = [np – q + 1 ] ( t c là ph n
nguyên c a s d ng np – q + 1 ).
Các công th c tính g n đúng cho Pn (k): ( Xem ch
1) Pn (k) ≈

1
npq

Φ(

k − np
npq

2) Pn (m0 < m < m1) ≈ Φ(

ng III ) Khi n đ l n:

)

m1 − np
npq

) − Φ(

m 0 − np
npq

)

3. Lu t Poisson
λ.e −λ
, k = 0, 1, 2,..., n, trong đó λ
G i X là tuân theo lu t Poisson n u P{ X = k } = pk =
λ!

>0đ

c g i là tham s c a lu t Poisson.

Có th d dàng ki m tra l i đi u ki n



∑p
k =1

k

= 1 trong 3 lu t phân b nói trên.

B. V i các đ.l.n.n liên t c
1. Lu t phân ph i đ u
Ta nói r ng đ.l.n.n liên t c X tuân theo lu t phân ph i đ u trong đo n
hàm m t đ .
⎧0

pX(x) = ⎨ 1
⎪⎩ b − a

[a, b] n u nó có

nÕu x ∉ [a, b ]
nÕu x ∈ [a, b ]

Chú ý : Khi a = 0 , b = 1 , phân ph i đ u trên đo n [0,1] có ý ngh a ng d ng đ c bi t quan
tr ng . Trong ph ng pháp Monter – Carlo , s d ng phân ph i đ u trên đo n [0,1], ng i ta
có th t o ra hàng lo t các quan sát tuân theo m t phân ph i b t k cho tr c . ó là c s
c a ph ng pháp kéo dài các quan sát hi m ho c t o gi các tình hu ng trên máy tính khi
ti n hành quan sát th c b khó kh n ho c quá t n kém . .l.n.n có phân ph i đ u trên đo n
[0.1] đ c ký hi u là R . Có th dùng b t k máy tính b m tay nào đ nh n đ c giá tr c a
R sau m t l n b m
2. Lu t phân ph i Gamma
.l.n.n X tuân theo phân ph i Gamma n u nó có hàm m t đ là
nÕu x ≤ 0
⎧0
⎪ α
PX ( x )⎨ β
α −1 −β x
nÕu x > 0
⎪ Γ (α ) x e


24


+∞

trong đó α, β là các tham s d

ng, còn Γ(α) =

∫t

α −1 − t

e dt ( xem thêm

ph n ph l c ).

α

3. Lu t chu n
ây là phân ph i hay g p nh t. .l.n.n X đ c g i là tuân theo lu t chu n N (μ, σ 2 ) ( ng
v i hai tham s μ và σ, -∞ < μ < ∞, σ > 0) n u nó có hàm m t đ

PX ( x ) =



1
σ 2π

e

( x −μ ) 2
2σ2

(−∞ < x < +∞) .

c bi t khi μ = 0, σ = 1, phân ph i chu n N( 0, 1 ) đ c g i là phân ph i chu n chu n hoá (
ho c phân ph i chu n tiêu chu n ) và hàm m t đ lúc này là:
PX ( x ) =
x

Hàm phân ph i FX ( x ) =



−∞
0

phân là hàm ch n nên



−∞

1


1


1


−t 2
e 2 dt

−t 2
e 2 dt



e
0

=



−∞

x2
2

1


(−∞ < x < +∞) .
−t 2
e 2 dt

1
= . Còn hàm
2

Laplace. Φ(x) là hàm l . Ta có FX ( x ) =

x

+∫
0

x


0

1


1


−t
e 2 dt

−t 2
e 2 dt ,

. Vì hàm d

i d u tích

ký hi u là Φ(x), g i là hàm

1
+ Φ(x) .
2

đ ng th c trên, v i phân ph i chu n chu n hoá thì
P {x 1 < X < x 2 } = F( x 2 ) − F( x 1 ) = Φ ( x 2 ) − Φ ( x1 ) .
Chú ý: 1. T

Và ch vi c tra b ng hàm Laplace, ta có th tính đ

c xác su t P {x 1 < X < x 2 } .

2. V i phân ph i chu n t ng quát ta có
nh lý: N u đ.l.n.n X tuân theo lu t chu n N( μ, σ2 ) thì đ.l.n.n X0 =

X−μ
s tuân theo
σ

lu t chu n chu n hoá N( 0, 1 ).
Ch ng minh đ nh lý này r t đ n gi n, d a vào vi c bi n đ i hàm m t đ c a lu t N( μ, σ2 ) b ng
phép đ i bi n u =

t −μ
ta s có m t đ chu n chu n hoá.
δ

3. T chú ý trên, n u X có phân ph i N( μ, σ2 ) thì
P{x1 < X < x 2 } = P(

x1 − μ X − μ x 2 − μ
x −μ
x −μ
<
<
) = Φ( 2
) − Φ( 1
).
σ
σ
σ
σ
σ

4. T chú ý trên
25


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×