Tải bản đầy đủ

PHUONG TRINH VO TI ON THI VAO 10

¤N THI HSG LíP 9 – LUYÖN THI VµO 10

Thanh Hãa, th¸ng 01 n¨m 2017


Bài tập chuyên đề: Phương trình vô tỉ

Mục lục

1

Đề thi vào 10 các tỉnh, thành phố
1.1 Năm học 2016-2017 . . . . .
1.2 Năm học 2015-2016 . . . . .
1.3 Năm học 2014-2015 . . . . .
1.4 Năm học 2013-2014 . . . . .
1.5 Năm học 2012-2013 . . . . .

.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

3
3
3
3
4
4

Đề thi vào 10 Thanh Hóa

5

3

Đề thi vào các trường chuyên
5
3.1 Năm học 2016-2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Năm học 2015-2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.3 Năm học 2014 - 2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4

Đề thi HSG các tỉnh, thành phố
4.1 Năm học 2015-2016 . . . .
4.2 Năm học 2014-2015 . . . .
4.3 Năm học 2013-2014 . . . .
4.4 Năm học 2012-2013 . . . .
4.5 Năm học 2011-2012 . . . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

gm

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

13
13
15
18
20
21

hu

uh
oc

m

th

@

.
.
.
.
.

ai

l.c

om

2

2


Bài tập chuyên đề: Phương trình vô tỉ

Dạng 1
Đề thi vào 10 các tỉnh, thành phố
Năm học 2016-2017

Bài 1. [Vũng Tàu] Giải phương trình: x 4 + x 2 + 1

9x 2 − 6x + 1 = 5

Bài 3. [Nam Định] Giải phương trình: 2(x + 1) x +
x + 1 = 0 ⇒ x = −1 (l )

2 x + 3 (2x + 1) − 5x 2 − 8x + 8 = 0 (∗)

2 x ≤ x +1

Cauchy:

3 (2x + 1) ≤ x + 2
KL: Pt có 1 nghiệm x = 1.

⇒ V T (∗) ≤ −5(x − 1)2 ≤ 0

ai

[HD]: Biến đổi pt ⇔

3(2x 3 + 5x 2 + 4x + 1) = 5x 3 − 3x 2 + 8

om

Bài 2. [Long An] Giải phương trình:

x2 + 1 − 1 = 0

l.c

1.1

gm

Bài 4. [Ninh Thuận] Giải phương trình: x 2 − x + x + 1 − 8 = 0

@

[HD]: Nhân liên hợp hoặc đặt ẩn phụ, chú ý đk của ẩn phụ!
Bài 5. [Thái Bình] Giải phương trình: x 3 + (3x 2 − 4x − 4) x + 1 = 0.

1.2

uh
oc
m
th

[HD]: Đặt t = x + 1 ⇒ x 3 + 3x 2 y − 4y 3 = 0 ⇔ (x − y)(x + 2y)2 = 0

Năm học 2015-2016

Bài 6. [Bình Dương] Giải phương trình: x − x − 2 = 0

1.3

Năm học 2014-2015

hu

Bài 7. [Khánh Hòa] Giải phương trình: 2 (2x − 1) − 3 5x − 6 = 3x − 8
[HD]:

⇔ 4 (2x − 1) − 6 5x − 6 = 2 3x − 8

⇔ ((5x − 6) − 6 5x − 6 + 9) + ((3x − 8) − 2 3x − 8 + 1) = 0
⇔ ( 5x − 6 − 3)2 + ( 3x − 8 − 1)2 = 0


5x − 6 − 3 = 0
3x − 8 − 1 = 0

⇔x =3

Bài 8. [Phú Thọ] Giải phương trình: x 3 + 6x 2 + 5x − 3 − (2x + 5) 2x + 3 = 0

3


Bài tập chuyên đề: Phương trình vô tỉ

[HD]:
x + 6x 2 + 5x − 3 − (2x + 5) 2x + 3 = 0
⇔ x 3 + 4x 2 + 5x − 3 − (2x + 5)(x + 1) − (2x + 5)( 2x + 3 − x − 1) = 0
x2 − 2
3
2
=0
⇔ x + 4x − 2x − 8 + (2x + 5).
x + 1 + 2x + 3
x2 − 2
2
=0
⇔ (x − 2)(x + 4) + (2x + 5).
x + 1 + 2x + 3
2x + 5
⇔ (x 2 − 2) x + 4 +
=0
x + 1 + 2x + 3
−3
2x + 5
Với x ≥
thì x + 4 +
>0
2
x + 1 + 2x + 3
x= 2
Nên x 2 − 2 = 0 ⇔
x =− 2

x + 1 − x + x (1 − x) = 1

ai

Bài 9. [Bắc Ninh] Giải phương trình:

l.c

Thay vào PT (1) x = 2 thỏa mãn

om

3

+ ĐKXĐ: 3x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥

2
(*)
3

@

[HD]:

gm

Bài 10. [Nam Định] Giải phương trình: 4x 3 − 25x 2 + 43x + x 3x − 2 = 22 + 3x − 2

+ Biến đổi phương trình đã cho trở thành: (x − 1)(4x 2 − 21x + 22 + 3x − 2) = 0 ⇔ x = 1 thỏa mãn

uh
oc
m
th

điều kiện (*) hoặc 4x 2 − 21x + 22 + 3x − 2 = 0 (1)
2

2

+ Biến đổi (1) trở thành 4x −19x +18 = (2x −4)− 3x − 2 ⇔ 4x −19x +18 =
(Nhân liên hợp, do điều kiện (*))

x 2 − 19x + 18
(2x − 4) + 3x − 2

⇔ 4x 2 − 19x + 18 = 0 hoặc (2x − 4) + 3x − 2 = 1 ⇒ . . .

+ Kết luận: tập nghiệm của phương trình đã cho là 1;

.

Năm học 2013-2014

hu

1.4

19 + 73 23 − 97
;
8
8

Bài 11. [Bình Dương] Giải phương trình: x − 2 x = 6 − 3 x
Bài 12. [Nam Định] Giải phương trình: (3x 2 − 6x)
[HD]: Pt ⇔

x −2 = 0
3x

2x − 1 + 1 = 2x 2 − x + 2 (∗)

2x − 1 + 1 = 2x 3 − 5x 2 + 4x − 4

. Pt (*) đặt t = 2x − 1 đưa về pt bậc 4 đối

xứng.

1.5

Năm học 2012-2013

Bài 13. [Tuyên Quang] Giải phương trình:
Bài 14. [Cần Thơ] Giải phương trình:

x 2 − 6x + 9 = x − 2011

x − 2011 + 4x − 8044 = 3
4


Bài tập chuyên đề: Phương trình vô tỉ

2 x 4 + 4 = 3x 2 − 10x + 6

Bài 15. [Nam Định] Giải phương trình:
2(x 4 + 4) = 3x 2 − 10x + 6 ⇔

[HD]:

2 x 2 − 2x + 2 x 2 + 2x + 2 = 3 x 2 − 2x + 2 − 4x .

x 2 − 2x + 2 = u

Đặt:

x 2 + 2x + 2 = v

Bài 16. [Thừa Thiên Huế] Giải phương trình: 3 x − 2 − x 2 − 4= 0
Bài 17. [Quảng Ninh] Giải phương trình: 7 + 2 x − x = (2 + x) 7 − x
7−x

v=

x

u2 + v 2 = 7



⇒ (u − 2) (u − v) = 0

u 2 + v 2 + 2v − v 2 = (2 + v) u

om

[HD]: Đặt

u=

l.c

Dạng 2

ai

Đề thi vào 10 Thanh Hóa

x2 − 1

2005

x2 − 1

+ 1+x +

2005

= 22006

@

1+x −

gm

Bài 18. [2008-2009] Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

[HD]: ĐK x ≥ 1 hoặc x ≤ −1
Gọi a là nghiệm dương ⇒ a ≥ 1. Cauchy:
2005

2005

uh
oc
m
th

1 + a − a2 − 1

+ 1 + a + a2 − 1

≥2

(2a + 2)

2005

≥ 2.

(2.1 + 2)

2005

= 22006 .

⇒ nghiệm x = 1.

Bài 19. [2002-2003] Giải phương trình: x 4 + x 2 + 2002 = 2002
1
4

[HD]: Pt ⇔ x 4 + x 2 + = x 2 + 2002 − x 2 + 2002 +
1
⇔ x +
2

2

=

x 2 + 2002 −

hu

2

1
2

2

⇔ x2 +

1
=
2

1
4

x 2 + 2002 −

1
⇔ x 4 + x 2 − 2001 = 0
2

Dạng 3

Đề thi vào các trường chuyên
3.1

Năm học 2016-2017

Bài 20. [Vũng Tàu] Giải phương trình: x + x 2 + 3x + 2 = x x + 2 + x + 1.
[HD]: ⇔ x − x + 1

x +2−1 = 0

Bài 21. [Hà Nam] Giải phương trình:
[HD]:

2x 2 − 4x − 2 + (x − 1)2 12 − 4x = (8 − x) 3 − x

2x 2 − 4x − 2 − 3 − x + (2x 2 − 3x − 5) 3 − x = 0. Nhân liên hợp.
5


Bài tập chuyên đề: Phương trình vô tỉ

2x + 5 − 2x + 2 1 + 4x 2 + 14x + 10 = 3

Bài 22. [Hưng Yên] Giải phương trình:
[HD]: Đặt 2 ẩn phụ.

Bài 23. [ĐH KHTN (vòng 1)] Giải phương trình:

7x + 2 − 5 − x =

8x − 3
5

[HD]: Đặt 2 ẩn phụ.
64x 3 + 4x
5x 2 + 6x + 6

 5x 2 + 6x + 5 = a
3
3
2
2
[HD]: Ta có: ( 5x + 6x + 5) + ( 5x + 6x + 5) = (4x) + 4x . Đặt
4x = b
5x 2 + 6x + 5 =

om

Bài 24. [ĐH KHTN (vòng 2)] Giải phương trình:

l.c

Bài 25. [Lam Sơn (đề chung)] Giải phương trình: x 2 + 4x − 7 = (x + 4) x 2 − 7

ai

[HD]: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn.

gm

Bài 26. [Quảng Nam (đề chung)] Giải phương trình: ( x − 3 + 2)2 + x = 3
[HD]:

@

Bài 27. [Quảng Nam (đề chuyên)] Giải phương trình: 2x 2 − 2x + 1 = 2x 2x 2 + 1 − 2x 2 + 1

uh
oc
m
th

[HD]: Đặt 2 ẩn phụ hoặc ẩn phụ không hoàn toàn.
Bài 28. [Phan Bội Châu] Giải phương trình:

5 − 3x + x + 1 =

3x 2 − 4x + 4

[HD]: Bình phương 2 vế rồi đặt ẩn phụ!

Bài 29. [Quốc học Huế] Giải phương trình:
2 x −1

x 2 + 3x + 2 +

x2 − 1 + 6 = 3 x + 1 + 2 x + 2 +

x =2

hu

[HD]: pt viết lại: ( x + 1 − 2)( x + 2 + x − 1 − 3) = 0 Đk x ≥ 1 , từ đây giải tiếp được x = 3

Bài 30. [Thái Bình] Giải phương trình: 5x − (x + 3) 2x − 1 − 1 = 0
[HD]: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn.
Bài 31. [Vĩnh Phúc (vòng 2)] Giải phương trình: 3x 2 − 4x 4x − 3 + 4x − 3 = 0
[HD]: Phân tích thành nhân tử: ( 4x − 3 − 2x)2 = x 2 ⇔ ( 4x − 3 − x)( 4x − 3 − 3x) = 0. hoặc
Đặt ẩn phụ không hoàn toàn.
Bài 32. [Phú Thọ] Giải phương trình:

2x + 1 − x − 3 = 2

Bài 33. [Hà Tĩnh] Giải phương trình:

3x − 1 − x + 1 = 3x 2 − 2x − 1
6


Bài tập chuyên đề: Phương trình vô tỉ

2

3x − 1 − x + 1 = 3x 2 − 2x − 1 ⇔ (x − 1)(3x + 1 −

[HD]:

2

⇔ x = 1 hoặc 3x + 1 −

Từ điều kiện x ≥

3x − 1 + x + 1

1
ta suy ra 3x + 1 −
3

3x − 1 + x + 1

)

=0
2

3x − 1 + x + 1

Bài 34. [Hà Nội] Giải phương trình: x 4 − 2x 3 + x −

≥ 2−

2 1
≥ >0
4 2
3

2(x 2 − x) = 0

[HD]: Đặt t = x 2 − x
1
1
+
2x
+
2017
=
+ 3x + 2016
x2
x

om

Bài 35. [Quảng Bình] Giải phương trình:
[HD]: Nhân liên hợp.

1−x + 4+x = 3

l.c

Bài 36. [Tiền Giang] Giải phương trình:
Bài 37. [Đà Nẵng] Giải phương trình:

x 2 − 3x + 2 =

10x − 20 − x − 3

gm

2.

ai

1. (17 − 6x) 3x − 5 + (6x − 7) 7 − 3x = 2 + 8 36x − 9x 2 − 35

[HD]:

@

1. Đặt 2 ẩn phụ!

uh
oc
m
th

2.
Bài 38. [Ninh Bình] Giải phương trình:

x 2 + 12 − x 2 + 5 = 3x − 5

5
3

[HD]: ĐK: x ≥ .
PT ⇔ (


⇔

x 2 + 12 − 4) − (

x 2 + 5 − 3) = 3(x − 2) ⇔


x =2

1

1

x2 − 4
x 2 + 12 + 4



x2 − 4
x2 + 5 + 3

= 3(x − 2)




hu


−3 = 0
x 2 + 12 + 4
x2 + 5 + 3
1
1
=
+3 ≥ 3
x 2 + 12 + 4
x2 + 5 + 3
1
1


<3
12 + 4
x 2 + 12 + 4
Vậy T H 2 không xảy ra. Phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.

Bài 39. [Tp HCM] Giải phương trình: x 2 − 6x + 4 + 2 2x − 1 = 0
[HD]: Biến đổi chút xíu ta được: (x − 2)2 = ( 2x − 1 − 1)2 ⇒ x = 2 + 2; 4 − 6
Bài 40. [Bắc Ninh] Giải phương trình: 2(2x − 1) − 3 5x − 6 = 3x − 8
[HD]: đk x ≥

8
3

nhân 2 vế pt ta có : 8x −4−6 5x − 6−2 3x − 8 = 0 5x −6−6 5x − 6+9+3x −8−2 3x − 8+1 =
0 ⇔ ( 5x − 6 − 3)2 + ( 3x − 8 − 1)2 = 0
7


Bài tập chuyên đề: Phương trình vô tỉ

3.2

Năm học 2015-2016

Bài 41. [Ninh Bình] Giải phương trình:
[HD]: ĐK : x ≥ 4; x ≤ −4 P T ⇔

x 2 − 9 − x 2 − 16 = 1
x 2 − 16 ⇔ x 2 − 9 = 1 + 2 x 2 − 16 + x 2 − 16

x2 − 9 = 1 +

⇔ 6 = 2 x 2 − 16

Bài 42. [Quốc học Huế] Giải phương trình: 2015 2015x − 2014 + 2016x − 2015 = 2016
[HD]: Ta có phương trình (1) tương đương: 2015 2015x − 2014−2015+ 2016x − 2015−1 = 0
20152 (x − 1)

⇔ 2015( 2015x − 2014−1)+( 2016x − 2015−1) = 0 ⇔

2015x − 2014 + 1

2016x − 2015 + 1

+

2016

=
2016 − 2015 + 1
20152

om

2016

20152

2016(x − 1)

= 0 Hoặc x-1=0 ⇒ x = 1 Hoặc

2016x − 2015 + 1

= 0 (VN). Vậy phương trình có 1 nghiệm là x=1

2015x − 2014 +

l.c

0 ⇔ (x−1)

2015x − 2014 + 1

+

ai

Bài 43. [Bắc Giang] Giải phương trình: 15 x 3 − 1 = 4(x 2 + 2)

gm

[HD]: Đặt a = x 2 + x + 1; b = x − 1 (ĐK....) P T <=> 15ab = 4(a 2 −b 2 ) ⇔ (a−4b)(4a+b) =
0 ⇔ a = 4b ⇔ x 2 + x + 1 = 4x − 41

@

Bài 44. [Thái Bình] Giải phương trình: 18x 2 − 2x −

x−

1
=0
3




uh
oc
m
th

8
[HD]: P T ⇔ 18x − 2x − + 9
3
2

17
+9
3


1

x − − 3 = 0 ⇔ (9x − 4) 3x + 1 +

3

Bài 45. [Thái Bình (đề chung)] Giải phương trình:

9
+
x2

2x
2x 2 + 9

3
9

1
x − +3
3


4

=0→x =

9

−1 = 0

9
x
1
+

=0
2x 2
2x 2 + 9 2
x
3
a2 x 3
a
t2 1 3
9 + 2x 2
2
− = 0 Đặt 2x + 9 = a PT ⇔ 2 + − = 0 Đặt = t PT ⇔ + − =

+
2x 2
2x
a 2
x
2 t 2
2x 2 + 9 2
0

hu

[HD]: PT ⇔

⇔ t 3 − 3t + 2 = 0 Giải PT tìm t, từ đó sẽ tìm đc x
2

Bài 46. [Hưng Yên] Giải phương trình: x +
[HD]:P T ⇔ 8x 3 =

9 − x2

8x 3
9 − x2

=9

3

Bài 47. [ĐH Vinh (vòng 1)] Giải phương trình:

2x + 1 + 3 − x =

Bài 48. [ĐH Vinh (vòng 2)] Giải phương trình:

3x + 1 − x + 3 = x − 1

3x + 5

[HD]: Đặt 2 ẩn phụ!
8


Bài tập chuyên đề: Phương trình vô tỉ

Bài 49. [Chuyên Trần Hưng Đạo - Bình Thuận] Giải phương trình:

x − 8 + 2 x − 9 = x − 20

Bài 50. [Lê Hồng Phong - Nam Định (vòng 1)] Giải phương trình:
3x 2 − 6x − 6 = 3

(2 − x)5 + (7x − 19) 2 − x

[HD]: Rút gọn và đặt 2 ẩn phụ!
Bài 51. [Lê Hồng Phong - Nam Định (vòng 2)] Giải phương trình:
x 2 + x + 3 − 3x 2 − 4x − 7 = 0

om

3(x + 1)

[HD]: C1: Bình phương đưa về pt bậc 3. C2: Đặt 2 ẩn phụ: đặt x + 1 = a, x 2 + x + 3 = b có
phương trình: 3ab − a 2 − 2b 2 = 0 hay (a − 2b)(a − b) = 0 ⇔ (a − 2b)(a − b) = 0 ⇒ a = 2b hoặc

l.c

a =b⇒x

ai

Bài 52. [PTNK ĐHQG Tp HCM (đề chung)] Giải phương trình: (x 2 − 9) 2 − x = x(x 2 − 9)

VT ≤
5

2(2x − 1 + 1 − 2x 2 ) = 2 x − x 2 = V P Dấu = xảy ra khi


@

1
2
≤x≤
2
2
−1 +
x=
2
2x − 1 = 1 − 2x 2 ⇔ 

−1 −
x=
2

(t m) 


5
(kt m)

uh
oc
m
th

[HD]: DK X D :

gm

Bài 53. [PTNK ĐHQG Tp HCM (đề chuyên)] Giải phương trình: 2x − 1+ 1 − 2x 2 = 2 x − x 2

Bài 54. [Tiền Giang] Giải phương trình:

[HD]:

4−x

3 + x + 2x − 1

3 + x; 2x − 1 → (a; b) (a, b > 0) ⇒

=

3x − 2

a2 − b2 = 4 − x
a 2 + b 2 − 4 = 3x − 2

Quay trở lại bài toán ta

hu

a2 − b2
được:
= a 2 + b 2 − 4 ⇔ a − b = a 2 + b 2 − 4 ⇔ 2ab = 4 ⇔ ab = 2 ⇔
a +b
2 ⇔ 6x − 3 + 2x 2 − x = 4 ⇔ 2x 2 + 5x − 7 = 0 ⇒ x = 1

(3 + x)(2x − 1) =

Bài 55. [Lý Tự Trọng - Cần Thơ] Giải phương trình: 2x 2 − 3 x 2 − 4x + 5 = 8(x − 1)
Bài 56. [Phan Bội Châu - Nghệ An] Giải phương trình:

x 2 − 5x + 4 + 2 x + 5 = 2 x − 4 +

x 2 + 4x − 5

[HD]: P T ⇔ (x − 1)(x − 4) +2 x + 5 = 2 x − 4 + (x + 5)(x − 1) ĐKXĐ:x ≥ 4 Đặt: x − 1 =
a; x − 4 = b; x + 5 = c(a, b, c ≥ 0) thì P T đã cho trở thành ab + 2c = 2b + ac ⇔ (a − 2)(b − c) =
0⇔

a = 2 ⇔ x − 1 = 4 ⇔ x = 5(T M )
b = c ⇔ x − 4 = x + 5(V L)

Vậy,.............

Bài 57. [Quảng Ngãi] Giải phương trình:

5x − 6 + 10 − 3x = 2x 2 − x − 2
9


Bài tập chuyên đề: Phương trình vô tỉ

[HD]: Ta có: (1) ⇔ 5x − 6 − 2 + 10 − 3x − 2 = 2x 2 − x − 6 ⇔
(2x + 3) (x − 2) ⇔ (x − 2)

5
5x − 6 + 2



3
10 − 3x + 2

5 (x − 2)
5x − 6 + 2



3 (x − 2)
10 − 3x + 2

=

− 2x − 3 = 0 Nhờ vào điều kiện xác định

10
6
≤x≤
chứng minh pt kia VN Pt có 1 nghiệm x=2
5
3

Bài 58. [Hà Nội] Giải phương trình: x − x − 8 − 3 x + 1 = 0
[HD]: ĐKXĐ:x ≥ 8 P T ⇔ x + 1 =

x − 8 + 3 x ⇔ x 2 + 2x + 1 = x − 8 + 9x + 6 x(x − 8) ⇔

4 x
4x − 8 x + 7

3 x

+

4x − 10 x + 7

=1

l.c

Bài 59. [Vĩnh Phúc] Giải phương trình:

om

x 2 − 8x + 9 = 6 x 2 − 8x Đặt x 2 − 8x = t (t ≥ 0) → t 2 + 9 = 6t ⇔ (t − 3)2 = 0 ⇔ t = 3 ⇔ x 2 − 8x =
x = 9(T M )
9 ⇔ (x − 9)(x + 1) = 0 ⇔
x = −1(K T M )

ai

Bài 60. [Lam Sơn - Thanh Hóa (đề chung)] Giải phương trình: 5 x 3 + 1 = 2(x 2 + 2)

gm

[HD]: Đặt 2 ẩn phụ!

Bài 61. [Lê Hồng Phong - Tp HCM] Giải phương trình: 2x 2 + x + 3 = 3x x + 3

@

[HD]: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn đưa về pt đẳng cấp.

uh
oc
m
th

Bài 62. [Quang Trung - Bình Phước] Giải phương trình: (x + 1) 2(x 2 + 4) = x 2 − x − 2
Bài 63. [Đắc Lắc] Giải phương trình:
[HD]:
3+2

x 2 + 4x + 12 = 2x − 4 + x + 1

x 2 + 4x + 12 = 2x − 4 + x + 1 ⇔ (2x − 4)2 = ( x 2 + 4x + 12 − x + 1)2 ⇔ 3x 2 − 21x +

(x 2 + 4x + 12)(x + 1) = 0 ⇔ 3(x 2 + 4x + 12) − 33(x + 1) + 2

(x 2 + 4x + 12)(x + 1) = 0

Bài 64. [Quảng Bình] Giải phương trình: x 2 + x − 4 3x + 1 + 6 = 0

3.3

hu

[HD]: P t ⇔ (x − 1)2 + ( 3x + 1 − 2)2 = 0 suy ra x = 1

Năm học 2014 - 2015

Bài 65. [Chuyên ĐHKHTN (vòng 1)] Giải phương trình: ( x + 1 + 1 − x)(2 1 − x 2 + 2) = 8
[HD]: Đặt .... thì ab = 8 mà b 2 = a
Bài 66. [Chuyên ĐH Vinh (vòng 2)] Giải phương trình:
Bài 67. [Nam Định (đề chung)] Giải phương trình:
[HD]: ĐK 1 ≤ x ≤ 2 pt ⇔

x + 2x − 1 =

x +2− x −1

4x − 1
2−x +1 = 1

3

.( 2 − x + 1) = 1
x +2+ x −1
3
3

=1
x +2+ x −1 2+1
Vì x ≤ 2 ⇒
⇒ V T ≥ 1. Dấu "=" xảy ra khi x=2


2−x +1 ≥ 1




10


Bài tập chuyên đề: Phương trình vô tỉ

Bài 68. [Nam Định (đề chuyên)] Giải phương trình: ( x + 6 − x − 2)(1 + x 2 + 4x − 12) = 8
[HD]: Đặt hai ẩn phụ!
29 − x + x + 3 = x 2 − 26x + 177

Bài 69. [Ninh Bình] Giải phương trình:

[HD]: ĐKXĐ −3 ≤ x ≤ 29 Ta có VP=x 2 − 2x.13 + 169 + 8=(x − 13)2 + 8 ≥ 8 Vế trái Áp dụng
bất đẳng thức bunhia cho

29−x, x+3
4,4

từ đó sẽ đánh giá được VT≤ 8.Dấu bằng xảy ra <=>x = 13

mà VT=VP nên x=13(TMĐK)
2
x +1+ 3−x

[HD]: ĐKXĐ: −1 ≤ x ≤ 3. Đặt a = x + 1+ 3 − x ⇒

− 3 + 2x − x 2 = 1

om

Bài 70. [Quảng Nam] Giải phương trình:

3 + 2x − x 2 =

l.c

ẩn a được a = 2 ⇒ −x 2 + 2x − 3 = 0 ⇒ x = −1; x = 3

a2 − 4
Giải phương trình
2

ai

Bài 71. [Bà Rịa - Vũng Tàu (chung)] Giải phương trình: x 2 + 2 x 2 + 1 = 2

gm

Bài 72. [Bà Rịa - Vũng Tàu (chuyên)] Giải phương trình: x 2 + 4

1−x + 1+3 −8 = 0

[HD]: ĐKXĐ: −1 ≤ x ≤ 1 Đặt a = 1 − x + 1 + x ⇒ a 4 − 4a 2 = −4x 2 Ta có phương trình ẩn

@

a: a 4 − 4a 2 − 16a + 32 = 0 ⇔ (a − 2)2 (a 2 + 4a + 8) = 0 ⇒ a = 2 ⇒ 1 − x 2 = 1 ⇒ x = 0

uh
oc
m
th

Bài 73. [PTNK ĐHQG Tp HCM (chung)] Giải phương trình: (3−x) (3 + x)(9 + x 2 ) = 4 5(3 − x)
[HD]: ĐKXĐ: −3 ≤ x ≤ 3. Ta có x = 3 là một nghiệm Xét x = 3. Ta có

(3 − x)(3 + x)(9 + x 2 ) =

4 5 ⇔ 81 − x 4 = 80 ⇒ x = 1 (TMĐK)

Bài 74. [Hà Tĩnh] Giải phương trình:

3+ 3+x = x

[HD]: ĐK:x>=0; Bình phương 2 vế thì: ĐK x > 3 P T (1) ⇔ x 4 − 6x 2 − x + 6 ⇔ (x − 1)(x +

hu

2)(x 2 − x − 3) ⇔ x = 1; x = −2 = x = ... Kết hợp với ĐK ⇒ x =

Bài 75. [Hà Tĩnh (chung)] Giải phương trình:
[HD]: ĐK: x

1 + 13
2

2x + 3 − 2 x + 1 = −1

−1.

2x + 3 − 2 x + 1 = −1.
2x + 3 − 3 − 2 x + 1 − 4 + 8 = 0.
4(x − 3)
2(x − 3)


+ 8 = 0.
2x + 3 + 3 2 x + 1 + 4
4
2
⇔ (x − 3)

+ 8 = 0.
2x + 3 + 3 2 x + 1 + 4
⇔x =3


Bài 76. [Hải Dương] Giải phương trình: x 2 − 20x + 24 + 8 3(x − 1) = 0

11


Bài tập chuyên đề: Phương trình vô tỉ

[HD]: P t ⇔ (x − 4)2 − ( 12(x − 1) − 2)2 = 0
(x − 12x − 12 − 2)(x + 12x − 12 + 2) = 0

Đến đây xét từng TH bình phương lên tìm nghiệm
Bài 77. [Hải Dương (chung)] Giải phương trình:

13 − x = x − 1

Bài 78. [ĐHSP Tp HCM] Giải các phương trình:
1.

3x + 4 − 2x + 1 = 1
2

om

2. x + x + 1 = 2x 2 − 30x + 2
[HD]: Câu 2 khai triển rồi chia hai vế cho x .

2x + 1 − 1

2

=0

ai

[HD]: PT ⇔ 5x 4 +

l.c

Bài 79. [Hà Nội (chuyên tin)] Giải phương trình: 5x 4 + 2x + 2 − 2 2x + 1 = 0

gm

Bài 80. [Hà Nội (chuyên toán)] Giải phương trình: x(5x 3 + 2) − 2( 2x + 1 − 1) = 0
Bài 81. [Thái Bình (vòng 2)] Giải phương trình:

6
10
≤x≤
Phương trình tương đương 5x − 6 − 2 + 10 − 3x − 2 = 2x 2 − x − 6
5
3
3(x − 2)
2
3
= (x − 2)(2x + 3) ⇔ (x − 2)

− 2x − 3 = 0
10 − 3x + 2
5x − 6 + 2
10 − 3x + 2

uh
oc
m
th


5x − 6 + 2
x = 2 là nghiệm

@

[HD]: ĐKXĐ:
5(x − 2)

5x − 6 + 10 − 3x = 2x 2 − x − 2

Do 5x − 6+2 ≥ 2 ⇒

2

5x − 6 + 2

≤1⇒

2

5x − 6 + 2
3
6
10
2x − 3 = −
− 2x − 2 < 0, ∀x : ≤ x ≤
5
3
10 − 3x + 2



3
10 − 3x + 2

−2x−3 ≤ 1−

3
10 − 3x + 2



Bài 82. [Long An] Giải phương trình:

hu

[HD]:

Bài 83. [Lam Sơn (chuyên Toán)] Giải phương trình: (x + 1) 2x 2 − 2x = 2x 2 − 3x − 2
[HD]: Đặt 2 ẩn phụ!
Bài 84. [Tiền Giang] Giải phương trình:

x + 1 + 3x − 5 = x 2 − 5

[HD]: Ta có: Từ ĐK ⇒ x > 1 PT ⇔ x + 1 − 2 + 3x − 5 − 2 = (x + 3)(x − 3) ⇔
3(x − 3)

= (x − 3)(x + 3) ⇔ x = 3 hay

1

3x − 5 + 2
x +1+2
V P > 4 ) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3.

Bài 85. [Tiền Giang] Giải phương trình:

+

3
3x − 5 + 2

x + 1 + x + 16 =

x −3
x +1+2

+

= x + 3 vô nghiệm (vì V T < 2,

x +4+ x +9

Bài 86. [Phú Yên (vòng 1)] Giải phương trình: x 4 + x 2 + 2014 = 2014
12


Bài tập chuyên đề: Phương trình vô tỉ

[HD]: Phương trình tương đương x 4 + x 2 +
x 2 + 2014 −
x2 +

1
2

2

1
2

1
= x 2 + 2014 −
4

x 2 + 2014 +

1
2

Xét x 2 + = x 2 + 2014 − ⇔ x 4 + x 2 − 2013 = 0 ⇔ x = ±

1
1
= − x 2 + 2014 + vô nghiệm
2
2

Bài 87. [Phú Yên (vòng 2)] Giải phương trình:

x +2 x +1+2+

1
1
⇔ x2 +
4
2

2

=

−1 + 8053
Xét
2

x −2 x +1+2 =

x +5
2

Bài 88. [Bắc Giang] Giải phương trình: 2 x − 1 + 3 x − 2 = x 2 − 3x + 2 + 6
x − 1 − 3 2 − x − 2 = 0 ⇒ x = 6, x = 10

om

[HD]: ĐKXĐ: x ≥ 2. Phương trình tương đương
(TMĐK) là nghiệm của phương trình

ai

2.

3x + 1 − 6 − x + 3x 2 − 14x − 8 = 0
x + 1 − x2
=1
1 − 2x 2

[HD]: 1/ P T ⇔

gm

1.

l.c

Bài 89. [Trà Vinh] Giải các phương trình:

3x + 1 − 4 − ( 6 − x − 1) = −3x 2 + 14x + 5 ⇔

3x + 1 − 16

6−x −1

=
3x + 1 + 4
6−x +1
(5 − x)(3x + 1) ⇔ (x − 5)A = 0 Dựa vào ĐKXĐ chứng minh được A = 0 Khi đó x = 5
1 − x2 + x
1 − x2 − x
1
x + 1 − x2
=
1

2/ tương tự, liên hợp
=
1

=1⇔
1 − 2x 2
1 − x2 − x
(1 − 2x 2 ) 1 − x 2 − x

uh
oc
m
th

@



1 − x 2 = x + 1 ⇒ x 2 + 2x + 1 = 1 − x 2 (x ≥ −1)

Bài 90. [Điện Biên] Giải phương trình:

5x − 1 − 3x − 2 =

Bài 91. [Phan Bội Châu - Nghệ An] Giải phương trình:

x + 1 + 2x x + 3 = 2x + x 2 + 4x + 3

x +3−1

x + 1 − 2x = 0 Giải tiếp được

hu

[HD]: ĐKXĐ: x ≥ −1. Phương trình tương đương

x −1

nghiệm x =

1 + 17
8

Dạng 4
Đề thi HSG các tỉnh, thành phố
4.1

Năm học 2015-2016

Bài 92. [Nghệ An] Giải phương trình: x 2 + 6x + 1 = (2x + 1) x 2 + 2x + 3
[HD]: Đặt 2 ẩn phụ!
Bài 93. [Phú Thọ] Giải phương trình: (3x + 1) 2x 2 − 1 = 5x 2 + 32 x − 3
13


Bài tập chuyên đề: Phương trình vô tỉ

[HD]: P T ⇔ 2 2x 2 + 1 − (2x − 1) 2 2x 2 + 1 − (x + 2) = 0
Bài 94. [Đà Nẵng] Giải phương trình:

x +3+4 x −1+

Bài 95. [Thanh Hóa] Giải phương trình:

9
+
x2

2x
2x 2 + 9

x +8+6 x −1 = 9

=1

[HD]: ĐK: x = 0
Ta có: 9 2x 2 + 9 + 2x 3 = x 2 2x 2 + 9
Đặt 2x 2 + 9 = a → a 2 − 2x 2 = 9, thay vào ta có:
⇔ 9a + 2x 3 = x 2 a

om

⇔ (a 2 − 2x 2 )a + 2x 3 − x 2 a = 0
⇔ a 3 − 3x 2 a + 2x 3 = 0

l.c

⇔ (a + 2x)(a − x)2 = 0

Tới đây chỉ cần thay a = 2x 2 + 9 rồi bình phương bình thường
3

3

[HD]: Giải phương trình

3

3

x −2+ x +1 = 3

@

Bài 97. [Quảng Ngãi] Giải phương trình:

gm

[HD]: ⇔ (x − 1)3 + 3(x − 1) = (6x 2 + 2) + 3 6x 2 + 2

ai

Bài 96. [Thái Bình] Giải phương trình: x 3 − 9x 2 + 6x − 6 − 3 6x 2 + 2 = 0

3

uh
oc
m
th

x −2+ x +1 = 3 ⇔ x −2+ x +1 = 3
x −3
x −3
+

=0
2
3
3
x
+
1
+
2
x −2 + x −2+1
1
1
⇔ (x − 3)
+
=0⇔x =3
2
3
3
x +1+2
x −2 + x −2+1

Hoặc đặt 2 ẩn phụ!

Bài 98. [Hà Tĩnh] Giải phương trình: 4x 2 + 6x + 1 = 4 6x + 4

hu

Bài 99. [Ninh Bình] Giải phương trình: 4x 2 + 3x + 3 = 4x x + 3 + 2 2x − 1
[HD]: PT ⇔ 4x 2 +x+3−4 x + 3x+2x−1−2 2x − 1+1 = 0 ⇔ (2x− x + 3)2 +( 2x − 1−1)2 =
0 suy ra x = 1
Bài 100. [Tp HCM] Giải phương trình:
[HD]: Đặt

5x − 1 − x + 2 = 4x−3
5

a2 − b2
5x − 1 = a(a ≥ 0), x + 2 = b(b ≥ 0) => a − b =
⇔ (a − b)(a + b − 5) = 0
5

Bài 101. [Nam Định] Giải phương trình: 2 2x − 1 + x + 3 − 5x + 11 = 0
Bài 102. [Bắc Giang] Giải phương trình: 6x 2 + 10x − 92 +
[HD]: Đặt

(x + 70)(2x 2 + 4x + 16) = 0

2x 2 + 4x + 16 = a; x + 70 = b ⇒ (3a − 2b)(a + b) = 0

Bài 103. [Bà Rịa - Vũng Tàu] Giải phương trình:

2x − 3 + 6 = 2x + x
14


Bài tập chuyên đề: Phương trình vô tỉ

[HD]: PT ⇔

x−3
2x−3+ x

= 2(x − 3) Đến đây xét các trường hợp cho ta x = 3

Bài 104. [Trà Vinh] Giải phương trình: x 4 + 2x 3 + x 2 − 2 + 2 x 2 + 2x + 2 = 0
2

2

[HD]: x (x + 1) + 2

(x + 1)2 + 1 − 2 = 0 ⇔

2

x (x + 1) + 2

x = −1

Bài 105. [Điện Biên] Giải phương trình:
Bài 106. [Hà Nội] Giải phương trình:

3

(2 − x)2 +

(7 + x)2 −

om

2x 2 + 11x + 19 + 2x 2 + 5x + 7 = 0

2x 2 + 11x + 19 + 2x 2 + 5x + 7

2x 2 + 11x + 19 + 2x 2 + 5x + 7 −2

2x 2 + 11x + 19 + 2x 2 + 5x + 7

gm

(1)

2x 2 + 5x + 7 = 0

@

TH2

2x 2 + 11x + 19 − 2x 2 + 5x + 7 − 2 = 0

2x 2 + 11x + 19 + 2x 2 + 5x + 7 = 0 (1)
2x 2 + 11x + 19 ≥ 0
2x 2 + 11x + 19 = 0
2x 2 + 5x + 7 ≥ 0

2x 2 + 11x + 19 + 2x 2 +

ai

0

Ta có:

(2 − x)(7 + x) = 3

2x 2 + 11x + 19 + 2x 2 + 5x + 7 = 3(x + 2)

2x 2 + 11x + 19 + 2x 2 + 5x + 7 = 0

⇔ (6x + 12) − 2

TH1

3

= 0 ⇒ x +1 = 0 ⇒

2x 2 + 11x + 19 + 2x 2 + 5x + 7 = 3 (x + 2)

⇔ 3 (x + 2) −



(x + 1)2 + 1 + 1

l.c

[HD]:

3

(x + 1)2

2

2x 2 + 11x + 19 − 2x 2 + 5x + 7 − 2 = 0 ⇔



2x 2 + 11x + 19 = 0
2x 2 + 5x + 7 = 0

⇔ x ∈ ffl

2x 2 + 11x + 19 = 2 + 2x 2 + 5x + 7

uh
oc
m
th

2x 2 + 11x + 19 = 4 + 2x 2 + 5x + 7 + 4 2x 2 + 5x + 7

hu

2
⇔ 3x
 + 4 = 2 2x + 5x + 7
−4

x≥
3


(3x + 4)2 = 4 2x 2 + 5x + 7

−4

x≥
3

 2
x + 4x − 12 = 0
⇔x =2

Vậy pt có nghiệm duy nhất x=2

4.2

Năm học 2014-2015

Bài 107. [Phú Thọ] Giải phương trình:
[HD]: ĐKXĐ : x ≤ 0; x ≥
2x 2 − x

2

= 2x − x ⇒

2x 2 − x = 2x − x 2

1
2
2x − x 2 ≥ 0

2x 2 − x = (2x − x 2 )2


x =0



x =1
(1) ⇔ x(x − 1)(x 2 − 3x − 1) = 0 ⇒



x = 3 ± 13
2



0≤x ≤2
x 4 − 4x 3 + 2x 2 + x = 0

(1)

(K T M )
15


Bài tập chuyên đề: Phương trình vô tỉ

Kết hợp với điều kiện ta có: x = 0; x = 1 thỏa mãn đề bài.
Do đó nghiệm của Phương trình x = 0; x = 1
Bài 108. [Quảng Ninh] Giải phương trình:

4x

x2 + 3 +

x2 + 3

=5 x

[HD]: Đặt hai ẩn phụ!
2x 2 + 5x + 12 + 2x 2 + 3x + 2 = x + 5

Bài 109. [Ninh Bình] Giải phương trình:
[HD]: Đặt 2 ẩn phụ!

om

Bài 110. [Quảng Trị] Giải phương trình: (2x − 1)2 = 12 x 2 − x − 2 + 1.

1
x+4 +

5
x+5

=4

ai

Bài 111. [Đà Nẵng] Giải phương trình:

l.c

[HD]: 4x 2 −4x+1 = 2 4x 2 − 4x − 8.3+1 ⇔ 4x 2 −4x−8−2 4x 2 − 4x − 8+9 = 1 ⇔ ( 4x 2 − 4x − 8−
3)2 = 1 ⇔ 4x 2 − 4x − 8 = 4 ⇔ x 2 − x − 2 = 2 ⇔ x 2 − x − 6 = 0 ⇔ x = 3 hoặc x = −2

−15
4 
 1
x + 4 > 0, 25  x + 4 < 4
Ta có:

⇒ P T < 4 (loại)
5
x + 5 > 1, 25 

<4
x +5
−15
+) Xét x <
. CM tương tự như trên có PT>4 (loại)
4
−15
(thỏa mãn)
+) Xét x =
4

uh
oc
m
th

@

gm

[HD]: +) Xét x >

6x − 1 + 9x 2 − 1 = 6x − 9x 2

Bài 112. [Nghệ An] Giải phương trình:
[HD]: Đặt

6x − 1 = a > 0. 9x 2 − 1 = b > 0. ta có a − b = a 2 − b 2 ⇔ a − b = (a − b)(a + b) ⇔

(a − b)(a + b − 1) = 0

+với a=b ta có 6x − 1 = 9x 2 − 1 ⇔ 6x −1 = 9x 2 −1 ⇔ 9x 2 −6x = 0 suy ra x = 0 hoặc x = 2/3.

hu

+với a + b = 1. ta có....

Bài 113. [Hưng Yên] Giải phương trình:
[HD]:

x3
5 − x2

2

+8x = 40 ⇔

x3

x3
5 − x2

+ 8x 2 = 40

2

5 − x2

−8(5−x ) = 0 ⇔

x 3 − (2 5 − x 2 )3
5 − x2

= 0 ⇔ (x−2 5 − x 2 )(x 2 +

2x 5 − x 2 + 4(5 − x 2 )) = 0 ⇔ x − 2 5 − x 2 = 0 ⇒ x = 2 (Nghiệm)

Bài 114. [Quảng Ngãi] Giải phương trình:
[HD]:

3x
3x + 10

=

3x + 1 − 1 =

3x
3x + 10

3x
3x + 1 + 1

Bài 115. [Vĩnh Long] Giải phương trình:

=

3x + 1 − 1

⇒ x = 0; 5.

4−2 3−

x 2 + 2x 3 + 3 = 0
16


Bài tập chuyên đề: Phương trình vô tỉ

[HD]:

4−2

3−

x 2 + 2x 3 + 3 = 0 ⇔

( 3 − 1)2 −

(x + 3)2 = 0 ⇔

3−1−x −

3 =⇔ x = −1

Bài 116. [Bắc Giang] Giải phương trình:

2x + 1 +

2x − 1
− (2x − 1) x 2 + 4 − 2 = 0
x +3

[HD]: Sử dụng liên hợp và dùng bđt CM pt phức tạp vô nghiệm. ĐS: x = 1/2
Bài 117. [Hải Dương] Giải phương trình: x 3 + (x + 1) x + 1 + 2 2 = (x + x + 1 + 2)3




a = −b


 với a = x ; b =
[HD]: có dạng a + b + c = (a + b + c) ⇒ 
b
=
−c


c = −a
3

Bài 118. [Nam Định] Giải phương trình:
[HD]: Đặt

a=

x +1

b=

7−x



x +1+ 7−x = 3−x

a2 + b2 = 8
a 2 − b 2 = 2x − 6

x +1 ; c =

2

om

3

l.c

3

a + b = −2(a 2 + −b 2 )

từ đó ta có hệ pt

a2 + b2 = 8

ai

3

gm

Bài 119. [Tp HCM] Giải phương trình: 2x 2 + x + 3 = 3x x + 3

@

[HD]: ⇔ x − x + 3 2x − x + 3 = 0 Hoặc đặt ẩn phụ không hoàn toàn.
Bài 120. [Quảng Bình] Giải phương trình:

|x + 3 + 1 − x|
2

2x − 5 thì phương trình trở thành:

uh
oc
m
th

[HD]: Đặt t =

x + 2 + 3 2x − 5 +

= 2 2 nên nghiệm là x ∈

5
,3
2

|x + 3|
2

+

x − 2 − 2x − 5 = 2 2
|x − 1|
2

= 2 2 Chú ý là V T

Bài 121. [Lạng Sơn] Giải phương trình: x 2 + 6x + 10 = 2 2x + 5
[HD]: P T ⇔ (x + 2)2 + ( 2x + 5 − 1)2 = 0 ⇔ x = −2

hu

Bài 122. [Hà Nam] Giải phương trình:

2 x 2 + 7x + 1
= 3+
x +1
x

3x + 3

[HD]: ĐK: x > 0

2 x 2 + 7x + 1
PT ⇔
−6 =
−3
x +1
x
3( x − 1)2 2 x 2 + 7x + 1 − 3(x + 1)
−5(x − 1)2

=
=
x +1
x
(x + 1) 2 x 2 + 7x + 1 + 3(x + 1)
3x + 3

Từ đó suy ra pt có nghiệm duy nhất x = 1
Bài 123. [Hà Nội] Giải phương trình: x 3 − 2x = 3x 2 − 6x + 4
3
PT⇔ 6x 2 −12x +8−2x 3 − 2x = 0 ⇔ x 2 −2x 3 − 2x +3−2x +5x 2 −10x +5 =
2
0 ⇔ (x − 3 − 2x)2 + 5(x − 1)2 = 0 ⇔ x = 1 (tm đk)

[HD]: ĐK: x ≤

17


Bài tập chuyên đề: Phương trình vô tỉ

4.3

Năm học 2013-2014

Bài 124. [Đà Nẵng] Giải phương trình:

−2x 2 + 3x − 1 + 2 =

2x − 1 + 2 1 − x

[HD]: −2x 2 + 3x − 1 + 2 = 2x − 1 + 2 1 − x ⇔ (2x − 1)(1 − x) + 2 = 2x − 1 + 2 1 − x
Đặt u = 2x − 1, v = 1 − x; (u, v ≥ 0)

P T ⇔ (u − 2)(v − 1) = 0 ⇔

u=2
v =1



2x − 1 = 2
1−x = 1

x = 5
2


x =0

(loại)

Vậy PTVN

Bài 126. [Hà Tĩnh] Giải phương trình: 2 2x − 1 = x 2 + 1.

l.c

[HD]: ĐK...

x +2
= 12
x −1

om

Bài 125. [Quảng Ngãi] Giải phương trình: (x − 1)(x + 2) + 4(x − 1)

PT⇔ (x + 1)2 = ( 2x − 1 + 1)2

ai

Bài 127. [Quảng Trị] Giải phương trình: ( x + 5 − x + 2)(1 + x 2 + 7x + 10) = 3

gm

[HD]: ĐK : x ≥ −2
Khi đó pt đã cho :

@

⇔ ( x + 5− x + 2)( x + 5+ x + 2)(1+ x 2 + 7x + 10) = 3( x + 5+ x + 2) ⇔ 1+ x 2 + 7x + 10 =
x + 5 + x + 2 ⇔ ( x + 5 − 1)( x + 2 − 1) = 0

uh
oc
m
th

Giải ra đc đối chiếu đk đc x = −1

Bài 128. [Quảng Bình] Giải phương trình: (1 − 1 − x) 3 2 − x = x
[HD]: ĐK x
Ta có P T ⇔

Với

x

1+ 1−x
x =0

3

. 2−x = x

3

2−x = 1+ 1−x

3

2−x = 1+ 1−x

hu



1

Đặt hai ẩn phụ!
suy ra x = 1
Vậy x = 0; 1

Bài 129. [Nghệ An] Giải phương trình:

4x 2 + 5x + 1 − 2 x 2 − x + 1 = 9x − 3

−1

[HD]: ĐK :x ≥
4
Phương trình tương đương
4x 2 + 5x + 1 − 4(x 2 − x + 1)

= 9x − 3 ⇔

4x 2 + 5x + 1 + 2 x 2 − x + 1
Pt : 4x 2 + 5x + 1 + 2 x 2 − x + 1 = 1 VN
1
⇒x=
3

9x − 3
4x 2 + 5x + 1 + 2 x 2 − x + 1

= 9x − 3

18


Bài tập chuyên đề: Phương trình vô tỉ

Bài 130. [Hải Phòng] Giải phương trình: x 2 + 2x

x−

1
= 3x + 1
x

[HD]: Ta thấy x = 0 ko là nghiệm. Chia 2 vế pt cho x :
x−

x−

Bài 131. [Cần Thơ] Giải phương trình:
[HD]: ĐK:...
Ta có 2x − 3 − x = 2x − 6 ⇔

1
+1 = 4 ⇔ (
x

x−

1
+ 1)2 = 4 ⇒
x

x−

1
=1
x

2x − 3 − x = 2x − 6

x −3
2x − 3 + x

= 2 (x − 3) ⇔ ...

om

1
1
1
= 3 + ⇔ (x − ) + 2
x
x
x
2
⇒ x −x −1 = 0
x +2

Bài 132. [Hà Nội] Giải phương trình: x 2 − 2x − 2 2x + 1 − 2 = 0

l.c

[HD]: P T ⇔ x 2 = ( 2x + 1 + 1)2 ⇔ ±x = 2x + 1

ai

Bài 133. [Thừa Thiên Huế] Giải phương trình: 2x 2 + 4x + 3 = 3 x 2 + x + 1 + x 2 + 3x

gm

Bài 134. [Quảng Nam] Giải phương trình: x 2 + x + 2014 = 2014
1
4

1
4

1
2

1
2

@

[HD]: ⇔ x 2 + x + = x + 2014 − x + 2014 + ⇔ (x + )2 = ( x + 2014 − )2
3

x 2 + 3x + 2

3

x +1−

3

x +2 = 1

uh
oc
m
th

Bài 135. [Tiền Giang] Giải phương trình:
[HD]: Đặt hai ẩn phụ!

Bài 136. [Bắc Giang] Giải phương trình: 5x 2 + 4x + 7 − 4x x 2 + x + 2 − 4 3x + 1 = 0
[HD]: Áp dụng bđt Cô si ta có
(3x + 1) + 4

4 3x + 1

4x 2 + (x 2 + x + 2)

4x x 2 + x + 2

hu

Cộng theo từng vế
5x 2 + 4x + 7

4x x 2 + x + 2 + 4 3x + 1

Dâu = xảy ra khi x = 1
Bài 137. [Vĩnh Phúc] Giải phương trình:

x 2 − 4x + 3 = 4x − x 2

[HD]: Đặt t = x 2 − 4x ⇒ t + 3 = −t
Bài 138. [Hải Dương] Giải phương trình: x 2 (x 2 + 2) = 4 − x 2x 2 + 4
2

2

[HD]: PT⇔ x (x + 2) = 4 −
0⇔

t =4
t = −2

2x 2 (x 2 + 2)

Đặt t =

2x 2 (x 2 + 2)

t2
(t ≥ 0 ) thay vào: + t − 4 =
2

t =4⇔x =± 2

19


Bài tập chuyên đề: Phương trình vô tỉ

4.4

Năm học 2012-2013
3x + 4 − 11 − x + 3x 2 − 17x − 31 = 0

Bài 139. [Quận Cầu Giấy] Giải phương trình:

−4
≤ x ≤ 11
3
Ý tưởng: Nhẩm thấy nghiệm x = 7 khiến ta nghĩ đến nhân lượng liên hợp.
3(x − 7)

Phương trình ⇔ 3x + 4 − 5 − 11 − x + 2 + (x − 7)(3x + 4) = 0 ⇔
3x + 4 + 5


x =7


(x − 7)(3x + 4) = 0 ⇔ 
3
1

+
+ 3x + 4 = 0
3x + 4 + 5
11 − x + 2

[HD]: Điều kiện xác định:

7−x

+

om

11 − x + 2

2x 2 + 7x + 10 + 2x 2 + x + 4 = 3(x + 1)

Bài 140. [Nghệ An] Giải phương trình:

l.c

[HD]: Đặt hai ẩn phụ!

ai

Bài 141. [Đà Nẵng] Giải phương trình: 2 x + 4 − 4 2x − 6 = x − 7
[HD]: 2 x + 4 − 4 2x − 6 = x − 7 ⇔ 2( x + 4 − 3) − 4

2x − 6 + 2


= x −5 ⇔ 



x =5
1
x +4+3

8

= 1+

2(x − 5)
x +4+3






2x − 6 + 2

@

8(x − 5)

gm



2x − 6 − 2 = x − 5 ⇔

3x 2 − 9x + 1 = |x − 2|

uh
oc
m
th

Bài 142. [Vĩnh Long] Giải phương trình:
[HD]: Bình phương hai vế ta có :

3x 2 − 9x + 1=x 2 − 4x + 4 x 2 − 4x + 4 hay 2x 2 − 5x − 3=0

Bài 143. [Bình Phước] Giải phương trình:
Bài 144. [Kiên Giang] Giải phương trình:

x +1−1 =

3

x + 10 +

3

x − x +8

17 − x = 3

hu

[HD]: Lập phương hai vế hoặc đặt hai ẩn phụ!
Bài 145. [Buôn Ma Thuột] Giải phương trình:

3x 2 + 5x + 8 − 3x 2 + 5x + 1 = 1

[HD]: Đặt 1 hoặc hai ẩn phụ!
Bài 146. [Bắc Giang] Giải phương trình: 3 x 3 + 8 = 2x 2 − 3x + 10
[HD]: ĐK: x ≥ −2
Biến đổi phương trình về dạng 3 (x + 2)(x 2 − 2x + 4) = (x + 2) + 2(x 2 − 2x + 4)
Đặt x + 2 = a, x 2 − 2x + 4 = b(a, b ≥ 0) ⇒ 3ab = 2a 2 + b 2 ⇒ a = b
Do đó

x +2 =

x 2 − 2x + 4 ⇔ x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔ x = 1, x = 2

Bài 147. [Quảng Ngãi] Giải phương trình: ( 1 + x − 1)( 1 − x + 1) = 2x
20


Bài tập chuyên đề: Phương trình vô tỉ

[HD]: ĐKXĐ: −1 ≤ x ≤ 1
Phương trình tương đương x 1 − x + 1 = 2x 1 + x + 1 . Ta có x = 0 là một nghiệm
Xét 1 − x + 1 = 2 1 + x + 1 ⇔ 1 − x = 2 1 + x + 1 ⇒ 4 1 + x = −5x − 4
Vì x ≥ −1 ⇒ −5x − 4 ≤ 1 mà 4 1 + x ≥ 4 (vô nghiệm)
Vậy phương trình có 1 nghiệm là x = 0
Bài 148. [Quảng Trị] Giải phương trình: 4x 2 + 10x + 9 = 5 2x 2 + 5x + 3

Năm học 2011-2012

Bài 149. [Đà Nẵng] Giải phương trình:

x + 24 + x − 16 = 10

[HD]: Đặt hai ẩn phụ!

l.c

Bài 150. [Hà Tĩnh] Giải phương trình: x 2 − x + 12 1 − x = 36

om

4.5

( 1 − x − 6)2 ⇔ |x − 1| =

ai

[HD]: ĐK x ≤ 1 x 2 − x + 12 1 − x = 36 ⇔ x 2 − 2x + 1 = 36 − 12 1 − x + 1 − x ⇔ (x − 1)2 =
1−x −6

3

3

3

3x 2 − x + 2011− 3x 2 − 7x + 2012− 6x − 2013 =

3

2012

@

Bài 151. [Hà Nội] Giải phương trình:

gm

Hoặc dùng liên hợp

[HD]: Đặt a, b, c lần lượt là 3 cái căn. Ta có:
3

3

uh
oc
m
th

a +b +c =
3

2012

3

a + b + c = 2012

⇒ (a + b + c)3 − a 3 − b 3 − c 3 = 0 ⇔ −3(a + b)(b + c)(c + a) = 0

Từ đó dễ dàng có nghiệm.

3x + 1 =

Bài 153. [Nam Định] Giải phương trình:

x − 1 + 3 − x = 3x 2 − 4x − 2

hu

Bài 152. [Vĩnh Long] Giải phương trình:

x +4+1

[HD]: Nhân với lượng liên hợp x = 2.
Bài 154. [Phú Thọ] Giải phương trình:
[HD]: ĐKXĐ: x ≥
8x + 1 = x 2 + 3x − 1

8x + 1 = x 2 + 3x − 1

13 − 3
2

⇔ ( 8x + 1)2 = (x 2 + 3x − 1)2
⇔ 8x + 1 = x 4 + 6x 3 + 7x 2 − 6x + 1
⇔ x 4 + 6x 3 + 7x 2 − 14x = 0
⇔ x(x 3 + 6x 2 + 7x − 14) = 0
⇔ x(x − 1)(x 2 + 7x + 14) = 0

Giải ra, so điều kiện, nhận: x = 1
21


Bài tập chuyên đề: Phương trình vô tỉ

Bài 155. [Vũng Tàu] Giải phương trình: x 2 − 6 x 2 + 1 + 6 = 0
[HD]: x 2 − 6 x 2 + 1 + 6 = 0 (XĐ với mọi x ∈ R) ⇔ ( x 2 + 1 − 3)2 − 4 = 0 ⇔ ( x 2 + 1 −
5)( x 2 + 1 − 1) = 0 ⇔ x 1 =

24; x 2 = − 24; x 3 = 0

Bài 156. [Tp HCM] Giải các phương trình:
4

1.

x−

2.

x − 1−x + x = 2

x +2

+ x +2 = 0

1. ĐKXĐ : x ≥ 0 Đăt :

x + 2 = b Ta có : b 2 − a 2 = 2 và a −

2
3

4
+ b = 0 Từ đây dễ tính
b

l.c

được x =

x=a

om

[HD]:

3

ai

2. Xét x = 1 thỏa PT Dễ C/m 1 > x không thỏa PT. Vậy PT có nghiệm duy nhất là 1
3

gm

Bài 157. [Ninh Bình] Giải phương trình: 2x 3 − x 2 + 2x 3 − 3x + 1 = 3x + 1 + x 2 + 2
[HD]: Đặt hai ẩn phụ!

@

Bài 158. [Quảng Ngãi] Giải phương trình: 4 x + 1 = x 2 − 5x + 14
−1 
x 2 − 5x + 14 = 4 x + 1 ⇔ x 2 − 6x + 9 + x + 1 − 4 x + 1 + 4 = 0 ⇔ (x − 3)2 +
x − 3 = 0
( x + 1 − 2)2 = 0 ⇔
⇔ x = 3(TMĐK)
 x +1−2 = 0

uh
oc
m
th

[HD]: ĐK :x

Bài 159. [Bắc Giang] Giải phương trình: (2 x + 2 − 4x + 1)(2x + 3 + 4x 2 + 9x + 2) = 7
−1
Đặt x + 2=a, 4x + 1=b (a;b≥0),Phương trình (*) có dạng: (2a − b)(b 2 −
4
2a 2 + 6 + ab) = 4a 2 − b 2 ⇔ (2a − b)(b 2 − 2a 2 + 6 + ab) = (2a − b)(2a + b) ⇔ (2a − b)(b 2 − 2a 2 + 6 +

[HD]: DKXĐ: x≥

hu

ab − 2a − b) = 0 ⇒ 2a − b = 0 hoặc b 2 − 2a 2 + 6 + ab − 2a − b = 0 +)Nếu 2a − b = 0, suy ra phương

trình (*) vô nghiệm. Suy ra b 2 − 2a 2 + 6 + ab − 2a − b = 0
Bài 160. [Bình Thuận] Giải phương trình:

x −1−

3

2−x = 5

[HD]: Đặt hai ẩn phụ!
Bài 161. [Bắc Ninh] Giải phương trình:
Bài 162. [Bình Định] Giải phương trình:

x+

4

20 − x = 4

x3
16 − x 2

+ x 2 − 16 = 0

[HD]: Điều kiện −4 ≤ x ≤ 4
3
Đặt y = 16 − x 2 ≥ 0 ta có : xy − y 2 = 0
⇒ x 3 − y 3 = 0 ⇔ (x − y)(x 2 + x y + y 2 ) = 0 (vì x 2 + x y + y 2 =0) nên x − y = 0 ⇔ x = y

ta có x = 16 − x 2 ⇔ x = ± 8 đối chiếu điều kiện ta có x =

8
22


Bài tập chuyên đề: Phương trình vô tỉ

Bài 163. [Nghệ An] Giải phương trình:

4
+
x

x−

1
=x+
x

2x −

5
x



1



−1 ≤ x ≤ 0, x ≥ 1

0
x







x
[HD]: ĐKXĐ: 2x − 5 ≥ 0 ⇔ − 10 ≤ x ≤ 0, 10 ≤ x ⇔ −1 ≤ x < 0, x ≥
2




2
x




 x =0
x =0

⇔ (4−x 2 )(

x −x+ 2x −5x
3

x − 4x

x 3 − x + 2x 3 − 5x
x(4 − x 2 )
x 3 − x + 2x 3 − 5x
x

l.c

⇔ 4 − x2 +

5
x

=0

ai

⇔ 4 − x2 =

2x −

om

4
1
−x =− x + +
x
x
3
3
4
− x − x + 2x − 5x
⇔ −x =
x
x
3
3
⇔ 4 − x 2 = −x3 +x+2x −5x
3

tương đương với:

10
Pt đã cho
2

gm

+1) = 0 Với điều kiện của bài toán, biểu thức trong ngoặc luôn
x 3 − x + 2x 3 − 5x
dương. Suy ra: 4 − x 2 = 0 ⇔ x = ±2 So sánh với điều kiện, suy ra nghiệm của pt là x = 2

@

Bài 164. [Hưng Yên] Giải phương trình: (3x + 1) 2x 2 − 1 = 5x 2 + 32 x − 3
3
2
2 2x 2 + 1 − (x + 2) = 0

[HD]: ĐKXĐ:..... (∗) ⇔ 2(2x 2 − 1) − (3x + 1) 2x 2 − 1 + x 2 + x − 1 = 0 ⇔ 2(2x 2 − 1) − (3x +

uh
oc
m
th

1
1) 2x 2 − 1 + (x − )(x + 2) = 0 ⇔ 2 2x 2 + 1 − (2x − 1)
2

Bài 165. [Hà Nội] Giải phương trình:

x 2 + 5 + 3x =

x 2 + 12 + 5

[HD]: Phương trình đã cho tương đương với:

hu

x 2 + 5 − 3 + 3x − 6 −
x2 − 4

+ 3 (x − 2) −
x2 + 5 + 3
x +2
⇔ (x − 2)
+3−
x2 + 5 + 3
...


Bài 166. [Thừa Thiên Huế] Giải phương trình:
[HD]: Điều kiện x ≥

x 2 + 12 + 4 = 0
x2 − 4
x 2 + 12 + 4
x +2
x 2 + 12 + 4

=0
=0

1
1
+
3x
+
1
=
+ x +2
(x − 1)2
x2

2x − 1
−1
+
(x = 0; 1) ⇔
3
(x − 1)2 x 2

2x − 1
3x + 1 + x + 2

=0 ⇔x =

1
(thỏa)
2

23



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×