Tải bản đầy đủ

GIẢI TÍCH 1 Trường Đại học Bách KhoaĐHQG TP HCM

GIỚI HẠN DÃY
HÀM SỐ
ĐẠO HÀM
KHẢO SÁT HÀM SỐ
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Ứng dụng tích phân xác định
Phương trình vi phân

GIẢI TÍCH 1
HOÀNG HẢI HÀ
BÁCH KHOA TPHCM

8th June 2015

HOÀNG HẢI HÀ

GIẢI TÍCH 1


GIỚI HẠN DÃY

HÀM SỐ
ĐẠO HÀM
KHẢO SÁT HÀM SỐ
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Ứng dụng tích phân xác định
Phương trình vi phân

1

GIỚI HẠN DÃY
Phép toán về giới hạn dãy
BÀI TẬP THỰC HÀNH

2

HÀM SỐ
Hàm số cơ bản
Giới hạn hàm
VCB
Vô cùng lớn
V. Hàm liên tục

3

ĐẠO HÀM
HOÀNG HẢI HÀ

GIẢI TÍCH 1


GIỚI HẠN DÃY
HÀM SỐ
ĐẠO HÀM
KHẢO SÁT HÀM SỐ
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Ứng dụng tích phân xác định
Phương trình vi phân


4

5

Các phép toán đạo hàm
Quy tắc L’Hospitale
CÔNG THỨC TAYLOR
KHẢO SÁT HÀM SỐ
Cực trị hàm số
Tiệm cận
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
Phương pháp tính và các dạng tích phân
Tích phân hữu tỷ
Tích phân lượng giác
Tích phân vô tỷ
HOÀNG HẢI HÀ

GIẢI TÍCH 1


GIỚI HẠN DÃY
HÀM SỐ
ĐẠO HÀM
KHẢO SÁT HÀM SỐ
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Ứng dụng tích phân xác định
Phương trình vi phân

Phép toán về giới hạn dãy
BÀI TẬP THỰC HÀNH

6

TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Tp suy rộng loại 1
Tích phân suy rộng loại 2

7

Ứng dụng tích phân xác định

8

Phương trình vi phân
Phương trình vi phân cấp 1
HOÀNG HẢI HÀ

GIẢI TÍCH 1


GIỚI HẠN DÃY
HÀM SỐ
ĐẠO HÀM
KHẢO SÁT HÀM SỐ
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Ứng dụng tích phân xác định
Phương trình vi phân

Phép toán về giới hạn dãy
BÀI TẬP THỰC HÀNH

CHƯƠNG I: DÃY SỐ

HOÀNG HẢI HÀ

GIẢI TÍCH 1


GIỚI HẠN DÃY
HÀM SỐ
ĐẠO HÀM
KHẢO SÁT HÀM SỐ
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Ứng dụng tích phân xác định
Phương trình vi phân

Phép toán về giới hạn dãy
BÀI TẬP THỰC HÀNH

I. Các phép toán về giới hạn dãy

Hai dãy an , bn có lim an = a, lim bn = b thì:
lim(an ± bn ) = a ± b
lim(an bn ) = ab
lim bann = ba nếu bn = 0, b = 0
lim an bn = ab nếu an > 0

HOÀNG HẢI HÀ

GIẢI TÍCH 1


GIỚI HẠN DÃY
HÀM SỐ
ĐẠO HÀM
KHẢO SÁT HÀM SỐ
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Ứng dụng tích phân xác định
Phương trình vi phân

Phép toán về giới hạn dãy
BÀI TẬP THỰC HÀNH

I. Các phép toán về giới hạn dãy

Hai dãy an , bn có lim an = a, lim bn = b thì:
lim(an ± bn ) = a ± b
lim(an bn ) = ab
lim bann = ba nếu bn = 0, b = 0
lim an bn = ab nếu an > 0
CHÚ Ý:
1

a
a
= 0, = ∞(a = 0),
±∞
0
−∞
= +∞(aHOÀNG
> 1),
a
=
> 1).
HẢI HÀ
GIẢI TÍCH0(a
1

a ± ∞ = ±∞,
a+∞


GIỚI HẠN DÃY
HÀM SỐ
ĐẠO HÀM
KHẢO SÁT HÀM SỐ
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Ứng dụng tích phân xác định
Phương trình vi phân

Phép toán về giới hạn dãy
BÀI TẬP THỰC HÀNH

II. Phương pháp tính giới hạn

VCB-VCL
Dãy số {an } là VCL nếu lim |an | = +∞, là VCB nếu
lim an = 0.

HOÀNG HẢI HÀ

GIẢI TÍCH 1


GIỚI HẠN DÃY
HÀM SỐ
ĐẠO HÀM
KHẢO SÁT HÀM SỐ
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Ứng dụng tích phân xác định
Phương trình vi phân

Phép toán về giới hạn dãy
BÀI TẬP THỰC HÀNH

II. Phương pháp tính giới hạn

VCB-VCL
Dãy số {an } là VCL nếu lim |an | = +∞, là VCB nếu
lim an = 0.
Tương đương VCL
Hai VCL {an }, {bn } gọi là tương đương nếu
an
lim
= 1. Kí hiệu : an ∼ bn
bn
So sánh bậc VCL

GIẢI TÍCH
1
VCL {a } có bậcHOÀNG
nhỏHẢIhơn
{b
} nếu
lim

an

= 0. Kí


GIỚI HẠN DÃY
HÀM SỐ
ĐẠO HÀM
KHẢO SÁT HÀM SỐ
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Ứng dụng tích phân xác định
Phương trình vi phân

Phép toán về giới hạn dãy
BÀI TẬP THỰC HÀNH

So sánh bậc các VCL
lnα << nβ << an , (a > 1) << n!,

α, β > 0.

Thay tương đương VCL
1

2

3

4

Tổng hữu hạn các VCL TĐ VCL bậc cao nhất
Được phép thay TĐ qua các phép toán tích,
thương, phép cộng nếu không bị triệt tiêu.
Chỉ được phép thay TĐ qua hai hàm logarit, lũy
thừa số mũ α.
Tổng VCL và một hàm bị chặn TĐ VCL.
HOÀNG HẢI HÀ

GIẢI TÍCH 1


GIỚI HẠN DÃY
HÀM SỐ
ĐẠO HÀM
KHẢO SÁT HÀM SỐ
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Ứng dụng tích phân xác định
Phương trình vi phân

Phép toán về giới hạn dãy
BÀI TẬP THỰC HÀNH

Ta có đẳng thức sau: Nếu an , bn , cn , dn lần lượt là
an
cn
= lim .
các VCL, và an ∼ cn , bn ∼ dn , thì: lim
bn
dn

HOÀNG HẢI HÀ

GIẢI TÍCH 1


GIỚI HẠN DÃY
HÀM SỐ
ĐẠO HÀM
KHẢO SÁT HÀM SỐ
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Ứng dụng tích phân xác định
Phương trình vi phân

Phép toán về giới hạn dãy
BÀI TẬP THỰC HÀNH

Giới hạn kẹp
Nếu un ≤ xn ≤ vn , lim un = lim vn = A. Khi đó:
n→∞

n→∞

lim xn = A

n→∞

HOÀNG HẢI HÀ

GIẢI TÍCH 1


GIỚI HẠN DÃY
HÀM SỐ
ĐẠO HÀM
KHẢO SÁT HÀM SỐ
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Ứng dụng tích phân xác định
Phương trình vi phân

Phép toán về giới hạn dãy
BÀI TẬP THỰC HÀNH

Giới hạn kẹp
Nếu un ≤ xn ≤ vn , lim un = lim vn = A. Khi đó:
n→∞

n→∞

lim xn = A

n→∞

Ví dụ 1.1
sin x
a. lim α = 0,
n→∞ x

b. lim

n→∞

2008
n

(α > 0) do

n

= 0 do
HOÀNG HẢI HÀ

GIẢI TÍCH 1

−1 sin x
1







GIỚI HẠN DÃY
HÀM SỐ
ĐẠO HÀM
KHẢO SÁT HÀM SỐ
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Ứng dụng tích phân xác định
Phương trình vi phân

Phép toán về giới hạn dãy
BÀI TẬP THỰC HÀNH

Biến đổi thành các giới hạn cơ bản
1
a. lim α = 0

n→∞ n
d. lim n np = 1,
n→∞
b. lim q n = 0,
|q| < 1

n→∞
e. lim n a = 1,
n→∞
a n
a
c. lim 1 +
= e , ∀a
n→∞
n

HOÀNG HẢI HÀ

GIẢI TÍCH 1

∀p
a>0


GIỚI HẠN DÃY
HÀM SỐ
ĐẠO HÀM
KHẢO SÁT HÀM SỐ
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Ứng dụng tích phân xác định
Phương trình vi phân

HOÀNG HẢI HÀ

Phép toán về giới hạn dãy
BÀI TẬP THỰC HÀNH

GIẢI TÍCH 1


GIỚI HẠN DÃY
HÀM SỐ
ĐẠO HÀM
KHẢO SÁT HÀM SỐ
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Ứng dụng tích phân xác định
Phương trình vi phân

Phép toán về giới hạn dãy
BÀI TẬP THỰC HÀNH

Bài 1: Tính các giới hạn dãy sau
n sin n
n→∞ n2 + cos 4 n

a. lim

2n + 3−n
b. lim
n→∞ 2.2−n + 3n
5.2n − 3.5n+2
n→∞ 100.2n + 4.5n

c. lim

7

6

d. lim(n 8 − n 7 ln2 n)
HOÀNG HẢI HÀ

GIẢI TÍCH 1


GIỚI HẠN DÃY
HÀM SỐ
ĐẠO HÀM
KHẢO SÁT HÀM SỐ
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Ứng dụng tích phân xác định
Phương trình vi phân

Phép toán về giới hạn dãy
BÀI TẬP THỰC HÀNH

(n + 1)4 − (n − 1)4
d. lim 2
n→∞ (n + 1)2 − (n2 − 1)2
(2 + n)100 − n100 − 200n99
e. lim
n→∞
n98 − 10n2 + 1
ln(n2 − n + 1)
f. lim
n→∞ ln(n10 + n + 1)

g. lim 3 n3 + n2 + 2002 − n
n→∞




h. lim n3/2HOÀNG HẢI
n+
1
+
n

1

2
n

GIẢI TÍCH 1
n→∞


GIỚI HẠN DÃY
HÀM SỐ
ĐẠO HÀM
KHẢO SÁT HÀM SỐ
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Ứng dụng tích phân xác định
Phương trình vi phân

Phép toán về giới hạn dãy
BÀI TẬP THỰC HÀNH

Dạng mũ
i. lim

n2 + 4n
n + 5n

n

n→∞

k. lim

n→∞

l. lim

n→∞


n

3n + n2n

1
1+
n

2n+1

HOÀNG HẢI HÀ

GIẢI TÍCH 1


GIỚI HẠN DÃY
HÀM SỐ
ĐẠO HÀM
KHẢO SÁT HÀM SỐ
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Ứng dụng tích phân xác định
Phương trình vi phân

Phép toán về giới hạn dãy
BÀI TẬP THỰC HÀNH

Dạng mũ
i. lim

n2 + 4n
n + 5n

n

n→∞

k. lim

n→∞

l. lim

n→∞


n

3n + n2n

1+

1
n

2n+1

(1 + n)n (3 + n)n+1 (4 + n)n+2
n→∞
(2 + n)3n+3

m. lim

n. lim

n2 − n + 1
n2 + n + 1

o. lim

2n + 3
2.2n + 1

n→∞

n→∞

HOÀNG HẢI HÀ

GIẢI TÍCH 1

n

n


GIỚI HẠN DÃY
HÀM SỐ
ĐẠO HÀM
KHẢO SÁT HÀM SỐ
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Ứng dụng tích phân xác định
Phương trình vi phân

Phép toán về giới hạn dãy
BÀI TẬP THỰC HÀNH

Tìm α để các giới hạn dãy sau nhận giá trị hữu hạn:


a. lim nα n2 + n + 1 − 3 n4 + n2 + 1
n→∞


b. lim (n2 + 1)α ( n2 − 2 − 3 n)
n→∞

HOÀNG HẢI HÀ

GIẢI TÍCH 1


GIỚI HẠN DÃY
HÀM SỐ
ĐẠO HÀM
KHẢO SÁT HÀM SỐ
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Ứng dụng tích phân xác định
Phương trình vi phân

Hàm số cơ bản
Giới hạn hàm
VCB
Vô cùng lớn
V. Hàm liên tục

CHƯƠNG II: HÀM SỐ

HOÀNG HẢI HÀ

GIẢI TÍCH 1


GIỚI HẠN DÃY
HÀM SỐ
ĐẠO HÀM
KHẢO SÁT HÀM SỐ
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Ứng dụng tích phân xác định
Phương trình vi phân

Hàm số cơ bản
Giới hạn hàm
VCB
Vô cùng lớn
V. Hàm liên tục

Bài 1. Hàm số cơ bản

y = ax , a > 0
D=R, E=(0, +∞).
0
if
0lim y =
x→+∞
+∞
if
a>1
0
if
a>1
lim y =
x→−∞
+∞
if
0y = loga x
D=(0, +∞), E=R.
−∞
ifGIẢI TÍCH 10 < a < 1
HOÀNG HẢI HÀ


GIỚI HẠN DÃY
HÀM SỐ
ĐẠO HÀM
KHẢO SÁT HÀM SỐ
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Ứng dụng tích phân xác định
Phương trình vi phân

Hàm số cơ bản
Giới hạn hàm
VCB
Vô cùng lớn
V. Hàm liên tục

y = arcsinx
D=[-1 1], E=[− π2 , π2 ]
y = arccosx
D=[-1 1], E=[0, pi]
y = arctanx
D=R, E=(− π2 , π2 )
lim y = ± π2

x→±∞

y = arccotanx
HOÀNG HẢI HÀ

GIẢI TÍCH 1


GIỚI HẠN DÃY
HÀM SỐ
ĐẠO HÀM
KHẢO SÁT HÀM SỐ
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Ứng dụng tích phân xác định
Phương trình vi phân

Hàm số cơ bản
Giới hạn hàm
VCB
Vô cùng lớn
V. Hàm liên tục

Hàm hyperbolic

ex − e−x
ex + e−x
y=
= shx, y =
= chx
2
2
D=R
shx
y = thx =
chx
D=R
chx
y = cthx =
shx
D: x = ±1
HOÀNG HẢI HÀ

GIẢI TÍCH 1


GIỚI HẠN DÃY
HÀM SỐ
ĐẠO HÀM
KHẢO SÁT HÀM SỐ
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Ứng dụng tích phân xác định
Phương trình vi phân

Hàm số cơ bản
Giới hạn hàm
VCB
Vô cùng lớn
V. Hàm liên tục

Tìm tập xác định các hàm sau
1

y = (1 + x) x

y = sh(1 + x) + arcsin(x 2 + x)
2
y = ln(1 + )
x
y = ln(arcsin(x − 1))

HOÀNG HẢI HÀ

GIẢI TÍCH 1


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×