Tải bản đầy đủ

20 đề thi học sinh giỏi toán 8 có đáp án chi tiết

PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG

ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MŨI NHỌN

ĐỀ CHÍNH THỨC

NĂM HỌC: 2013 – 2014. Môn thi: TOÁN 8

(Đề gồm 1 trang)

Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2.5 điểm ).
a. Phân tích đa thức thành nhân tử: x 2  2 xy  6 y  9
b. Giải phương trình:

x 1 x  2 x  3
x  2012


 ... 

 2012
2013 2012 2011
2

c. Tìm đa thức f ( x) biết: f ( x) chia cho x  2 dư 5; f ( x) chia cho x  3 dư 7;
f ( x) chia cho ( x  2)( x  3) được thương là x 2  1 và đa thức dư bậc nhất đối với x .
Bài 2: (2.0 điểm).
Cho: P  7.2014n  12.1995n với n  N ; Q 
a.
b.

( x 2  n)(1  n)  n2 x 2  1
. Chứng minh:
( x 2  n)(1  n)  n2 x 2  1

P chia hết cho 19.
Q không phụ thuộc vào x và Q  0 .

Bài 3: (1,5 điểm)
a. Chứng minh: a 2  5b2  (3a  b)  3ab  5
b. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2 x 2  3 y 2  4 x  19
Bài 4: ( 4.0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn (ABGọi M trung điểm của BC, qua H vẽ đường thẳng a vuông góc với HM, a cắt AB,
AC lần lượt tại I và K.
a. Chứng minh  ABC đồng dạng  EFC.
b. Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK, b cắt AH, AB
theo thứ tự tại N và D. Chứng minh NC = ND và HI = HK.
c. Gọi G là giao điểm của CH và AB. Chứng minh:

AH BH CH


6
HE HF HG

Hết./.
Họ và tên thí sinh……………………………………...……….SBD………….…………



PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG

Câu

Ý
âc

b
Câu
1

c

a
b
Câu
2

ĐÁP ÁN THI KSCL MŨI NHỌN NĂM HỌC 2013-2014
MÔN THI: TOÁN 8

Nội dung
2

2

x  2 xy  6 y  9 = ( x – 9) + 2y(x + 3) = (x – 3)(x + 3) + 2y(x + 3)
=(x+ 3)(x + 2y – 3)
x 1 x  2 x  3
x  2012


 ... 
 2012 
2013 2012 2011
2
x 1
x2
x3
x  2012
1 
1 
 1  ... 
1  0 
2013
2012
2011
2
x  2014 x  2014 x  2014
x  2014
1
1
1


 ... 
 0  (x – 2014)(

 ...  ) = 0
2013
2012
2011
2
2013 2012
2
 x = 2014

Câu
3

b

0..5

0.5

0,25

Gọi dư trong phép chia f(x) cho x2 - 1 là ax + b
Ta có : f(x) = (x – 2)(x – 3)(x2- 1) + ax + b
Theo bài ra : f(2) = 5 nên ta có 2a + b = 5 ; f(3) = 7 nên 3a + b = 7
HS tính được a = 2 ; b = 1
Vậy đa thức cần tìm là : f(x) = (x – 2)( x – 3)(x2 - 1) + 2x + 1
P = 7.2014n + 12.1995n = 19.2014n -12.2014n + 12.1995n = 19.2014n - 12(2014n -1995n)
Ta có : 19. 2014n M19 ; (2014n -1995n) M19. nên P M19

0.25

( x 2  n)(1  n)  n 2 x 2  1 x 2  x 2 n  n 2  n  n 2 x 2  1

Q= 2
( x  n)(1  n)  n 2 x 2  1 x 2  x 2 n  n 2  n  n 2 x 2  1
x 2 (n 2  n  1)  n 2  n  1 (n 2  n  1)( x 2  1) (n 2  n  1)

= 2 2
=
x (n  n  1)  n 2  n  1 (n 2  n  1)( x 2  1) (n 2  n  1)

0,25

Vậy Q không phụ thuộc vào x

a

Điểm
0.5

1
3
(n  ) 2 
n2  n  1
2
4 0
Q= 2

n  n  1 (n  1 )2  3
2
4
2
a + 5b – (3a + b)  3ab – 5  2a2 + 10b2 – 6a -2b – 6ab +10  0
 a2 – 6ab +9b2 + a2 – 6a + 9 + b2 - 2b +1  0
 (a – 3b)2 +(a - 3)2 + (b – 1)2  0 . Dấu « = » xảy ra khi a = 3 ; b = 1
2 x 2  3 y 2  4 x  19  2x2 + 4x + 2 = 21 – 3y2  2(x + 1)2 = 3(7 – y2) (*)

Xét thấy VT chia hết cho 2 nên 3(7 – y2) M2  y lẻ (1)
Mặt khác VT  0  3(7 – y2)  0  y2  7 (2).
Từ (1) và (2) suy ra y2 = 1 thay vào (*) ta có : 2(x + 1)2 = 18
HS tính được nghiệm nguyên đó là (2 ; 1) ; (2 ; -1) ; (-4 ; -1) ; (-4 ; 1)

0.25
0.25
0.25
0.5

0.5
0.25
0.25

0.25
0.25
0.25
0,25
0.25

0.25


0.25

A

F
K

G
H

I

B

E

M

C

N

D

Câu
4

a

Ta có  AEC :  BFC (g-g) nên suy ra
Xét  ABC và  EFC có

b

CE CA

CF CB

CE CA

và góc C chung nên suy ra  ABC :  EFC ( c-g-c)
CF CB

Vì CN //IK nên HM  CN  M là trực tâm  HNC
 MN  CH mà CH  AD (H là trực tâm tam giác ABC) nên MN // AD
Do M là trung điểm BC nên  NC = ND
 IH = IK ( theo Ta let)
AH S AHC S ABH S AHC  S ABH S AHC  S ABH




HE SCHE S BHE SCHE  S BHE
S BHC
BH S BHC  S BHA
CH S BHC  S AHC
Tương tự ta có



BF
S AHC
CG
S BHA
AH BH CH S AHC  S ABH S BHC  S BHA S BHC  S AHC





HE HF HG
S BHC
S AHC
S BHA
S
S
S
S
S
S
= AHC  ABH  BHC  BHA + BHC  AHC  6 . Dấu ‘=’ khi tam giác ABC đều, mà theo gt
S BHC S BHC S AHC S AHC S BHA S BHA

Ta có:

c

thì AB < AC nên không xảy ra dấu bằng.
Lưu ý:
- Học sinh giải cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm bài hình.

0.75

0.75
0.5
0.25
0.25
0.25
0.5
0.25

0.25


đề thi học sinh giỏi

NAM ĐịNH

môn: toán 8
(Thời gian làm bài: 120 phút)

Bài 1: (5 điểm)
Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:
1. x 2 7 x 6
2. x 4 2008 x 2 2007 x 2008
Bài 2: (6điểm) Giải phương trình:
1. x 2 3x 2 x 1 0
2

2.

2

2

1
1
1
1
2



8 x 4 x 2 2 4 x 2 2 x x 4
x
x
x
x




Bài 3: (2điểm) 1. CMR với a,b,c,là các số dương ,ta có: (a+b+c)( 1 1 1 ) 9
a

b

c

Bài 4: (7 điểm)Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH
(H BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại
D cắt AC tại E.
1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE
theo m AB .
2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và
BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: GB HD .
BC

AH HC


ỏp ỏn đề thi học sinh giỏi

NAM ĐịNH

môn: toán 8
(Thời gian làm bài: 120 phút)

Bài
1.

Câu

Nội dung

Điểm
2,0

1.1 (0,75 điểm)
x 2 7 x 6 x 2 x 6 x 6 x x 1 6 x 1

0.5

x 1 x 6

1.2

0,5

(1,25 điểm)
x 4 2008 x 2 2007 x 2008 x 4 x 2 2007 x 2 2007 x 2007 1

0,25

2

x 4 x 2 1 2007 x 2 x 1 x 2 1 x 2 2007 x 2 x 1
x x 1 x x 1 2007 x x 1 x x 1 x x 2008
2

2

2

2

2

2.
2.1

0,25
0,25
2,0

x 2 3x 2 x 1 0 (1)
2

+ Nếu x 1 : (1) x 1 0 x 1 (thỏa mãn điều kiện x 1 ).
+
Nếu
(1)
x 1:
x 2 4 x 3 0 x 2 x 3 x 1 0 x 1 x 3 0

0,5

x 1; x 3 (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị

loại)
Vậy: Phương trình (1) có một nghiệm duy nhất là x 1 .
2.2

2

2

0,5

2

1
1
1
1
2



8 x 4 x 2 2 4 x 2 2 x x 4 (2)
x
x
x
x



Điều kiện để phương trình có nghiệm: x 0
2
2
1
1
2

2 1 2 1
(2) 8 x 4 x 2 x 2 x x 4
x
x
x
x



0,25

2

1
1
2
2


8 x 8 x 2 2 x 4 x 4 16
x
x


x 0 hay x 8 và x 0 .
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x 8

0,5
0,25


3

2.0
3.1

Ta có:
1 1
a a b
b c
b c a
a b
a c
c b
=3 ( ) ( ) ( )
b a
c a
b c
x y
Mà: 2 (BĐT Cô-Si)
y x
Do đó A 3 2 2 2 9. Vậy A 9
1
a

b
c

c
a

c
b

0,5

A= (a b c)( ) 1 1 1

3.2

0,5

Ta có:
P( x) x 2 x 4 x 6 x 8 2008

0,5

x 2 10 x 16 x 2 10 x 24 2008

Đặt t x 2 10 x 21 (t 3; t 7) , biểu thức P(x) được viết lại:
P( x) t 5 t 3 2008 t 2 2t 1993

Do đó khi chia t 2 2t 1993 cho t ta có số dư là 1993

0,5
4,0

4
4.1

+ Hai tam giác ADC và
BEC có:
Góc C chung.
CD CA

(Hai tam giác
CE CB

vuông CDE và CAB
đồng dạng)
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c).
ã ã
Suy ra: BEC
ADC 1350 (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo
giả thiết).
AEB 450 do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra:
Nên ã
4.2

4.3

BE AB 2 m 2
BM 1 BE 1 AD


Ta có:
(do BEC : ADC )
BC 2 BC 2 AC
mà AD AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H)
BM 1 AD 1 AH 2
BH
BH
nên
(do ABH : CBA )




BC 2 AC 2 AC
AB 2 BE
Do
đó
(c.g.c),
suy
BHM : BEC
ã
ã 1350 ã
BHM
BEC
AHM 450

1,0

0,5
0,5
0,5

ra:
0,5

Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc
BAC.
GB AB
,

GC AC
AB ED
AH
HD

ABC : DEC
ED // AH
AC DC
HC
HC
GB HD
GB
HD
GB
HD





Do đó:
GC HC
GB GC HD HC
BC AH HC

Suy

ra:


0,5
0,5



UBND H. QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT

KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1 (2.5 điểm):
a) Cho ba số a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng: ab  bc  ca  0 .
b) Cho f ( x)  ax 2  bx  c với a, b, c là các số thỏa mãn: 13a  b  2c  0 .
Chứng tỏ rằng: f (2). f (3)  0 .
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M  x 2  y 2  xy  x  y  1
Bài 2 (2.0 điểm):
Giải các phương trình sau:
a)

x 1 x  2 x  3 x  4



2013 2012 2011 2010

b) (2 x  5) 3  ( x  2) 3  ( x  3) 3

Bài 3 (2.5 điểm):
Cho hình vuông ABCD. M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Hạ ME vuông góc
với AB, MF vuông góc với AD.
a) Chứng minh DE  CF.
b) Chứng minh rằng ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy.
c) Xác định vị trí của điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
Bài 4 (2.0 điểm):
Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Gọi G, H lần lượt là hình chiếu của C trên AB
và AD. Chứng minh :
a) ABC đồng dạng với  HCG
b) AC 2  AB.AG  AD.AH
Bài 5 (1.0 điểm):
Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì: 5n (5n  1)  6n (3n  2n ) M 91


UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT

KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài 1(2.5 điểm):
Có: a2 + b2  2ab; a2 + c2  2ac; b2 + c2  2ac
Cộng được: 2a2 + 2b2 + 2c2  2ab + 2ac + 2bc
 a2 + b2 + c2  ab + ac + bc

0,25
(1)

a + b + c = 0  a2 + b2 + c2 +2ab + 2ac + 2bc = 0

0,25

 -a2 – b2 – c2 =2ab + 2ac + 2bc (2)
Cộng (1) với (2) được 3ab + 3ac + 3bc  0  ab + bc + ca  0

0,25

f(-2) = 4a – 2b + c; f(3) = 9a + 3b + c

0,25

Có f(-2) + f(3) = 13a + b + 2c = 0 nên:
Hoặc: f(-2) = 0 và f(3) = 0  f(-2).f(3) = 0

(1)

Hoặc: f(-2) và f(3) là hai số đối nhau  f(-2).f(3) < 0

(2)

Từ (1) và (2) được f (2). f (3)  0

0,25
0,25

4M  4x 2  4y 2  4xy  4x  4y  4
 (2x  y  1) 2  3y 2  2y  3
2
1 8
 (2x  y  1) 2  3(y 2  y  ) 
3
9 3
1
8
 (2x  y  1) 2  3(y  ) 2 
3
3
Giá trị nhỏ nhất của 4M là

8
1
2
tại y   ; x = nên
3
3
3

2
1
2
Giá trị nhỏ nhất của M là tại y   ; x = .
3
3
3

0,50

0,50


Bài 2(2.0 điểm):

x 1
x2
x4
x 3
1
1 
1
1
2013
2012
2010
2011
x  1 2013 x  2 2012 x  4 2010 x  3 2011








2013 2013 2012 2012 2010 2010 2011 2011
x  2014 x  2014 x  2014 x  2014




2013
2012
2010
2011
1
1
1 
 1
 (x  2014) 



0
 2013 2012 2010 2011 
1
1
1
1



Do
 0 nên phương trình có nghiệm x = 2014
2013 2012 2010 2011


Đặt 2x - 5 = a; x - 2 = b  a - b = x -3
Phương trình đã cho trở thành: a3 - b3 = (a - b)3
(a-b) (a2 + ab + b2 ) = (a-b)(a2 -2ab + b2)
(a-b)( a2 + ab + b2 - a2 +2ab - b2) = 0
3ab(a-b) = 0
5
a = 0  x  ; b = 0  x = 2; a = b  x = 3
2

0,25

0,25

0,25
0,25
0,50
0,25
0,25

Bài 5 (1.0 điểm):
A = 5n (5n  1)  6n (3n  2n )  25n  5n  18n  12n

0,25

A  (25n  18n )  (12n  5n ) . A chia hết cho 7

0,25

A  (25n  12n )  (18n  5n ) . A chia hết cho 13

0,25

Do (13,7) =1 nên A chia hết cho 91

0,25

Bài 3 (2.5 điểm):
A

F

D

E

B

M

C


Chứng tỏ được AE = DF (Cùng bằng MF)

0,25

·
·
Chứng tỏ được CDF = DAE  FCD
 EDA

0,25

·
· phụ nhau  ECD
·
· phụ nhau hay CF DE
Có EDA
và EDC
và EDA

0,25

Tương tự có CE  BF

0,25

Chứng minh được CM  EF:
Gọi G là giao điểm của FM và BC; H là giao điểm của CM và EF.
0,50

·
· (Hai HCN bằng nhau)
MCG
 EFM
·
·
·
·
(Đối đỉnh)  MHF
= 900
CMG
 FMH
 MGC
CM, FB, ED là ba đường cao của tam giác CEF nên chúng đồng quy
2

2

(AE - ME) 0 nên (AE + ME)  4AE.ME 

 SAEMF 

 AE  ME 
AE.ME 

0,25
2

4

AB2
. Do AB = const nên SAEMF lớn nhất khi AE = ME.
4

0,25

0,50

Lúc đó M là trung điểm của BD.
Bài 4 (2.0 điểm):
Chứng tỏ được: CBG đồng dạng với CDH.


CG BC BC


CH DC BA

0,25
0,25

·
·
· )
(Cùng bù với BAD
ABC
 HCG

0,50

 ABC đồng dạng với HCG
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B, D trên AC.
AFD đồng dạng AHC:

AF AD

 AF.AC  AD.AH
AH AC

AEB đồng dạng AGC:

AE AB

 AE.AC  AG.AB
AG AC

Cộng được: AF.AC + AE.AC = AD.AH+AG.AB
AC(AF+AE) = AD.AH+AG.AB
Chứng tỏ được AE = FC. Thay được:
AC(AF+FC) = AD.AH+AG.AB  AC2 = AD.AH+AG.AB

0,25

0,25
0,25
0,25



PHÒNG GD&ĐT XUYÊN MỘC
TRƯỜNG THCS BƯNG RIỀNG

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
MÔN TOÁN
Thời gian 120 phút

ĐỀ BÀI :
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên x thì biểu thức A = x5 – x luôn chia hết cho 30
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
1/ a(x2 +1) – x(a2 + 1)
2/ 6x3 + 13x2 + 4x – 3
3/ ( x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15
Bài 3 : a/ Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức B =

4 x 3  6 x 2  8x
nhận giá trị nguyên
2x  1

b/ Tìm giá trị của a và b để biểu thức C = a2 – 4ab + 5b2 -2b – 6 đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 4 : Chứng minh rằng : (x – 1)(x – 3 )( x – 4 )(x – 6 ) +10  1
Bài 5 : Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của AB
và BC.
a/ Tính diện tích tứ giác AMND
b/ Phân giác góc CDM cắt BC tại E, Chứng minh DM = AM + CE
Bài 6 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. BD , CE là hai đường cao của tam giác cắt nhau tại
điểm H. Chứng minh rằng :
a/ HD.HB = HE.HC
b/  HDE
 HCB
c/ BH.BD + CH.CE = BC2
HẾT


PHÒNG GD&ĐT XUYÊN MỘC
TRƯỜNG THCS BƯNG RIỀNG

ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HSG TOAN 8
MÔN TOÁN
Thời gian 120 phút

BÀI 1: (2đ) A = x5 – x = x( x4 - 1 ) = x( x2 – 1 )( x2 + 1)
= (x – 1 ) x ( x + 1)( x2 + 1)
Vì (x – 1 ) x ( x + 1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho cả 2 và 3 => A 6 (1)
+/ Nếu x 5 => A 5
+/ Nếu x : 5 dư 1 thì ( x – 1) 5
=> A 5
+/ Nếu x : 5 dư 4 thì ( x + 1) 5
=> A 5
2
+/ Nếu x : 5 dư 2 hoặc 3 thì x : 5 dư 4 => ( x2 + 1) 5 => A 5
Vậy A 5 với mọi x
(2)
Ta có UCLN ( 5;6) = 1 nên kết hợp (1) và (2) => A (5.6) =30
A 30 với mọi x
Bài 2 : (3đ)
1/ a(x2 +1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2 – x = ax2 –a2x +a – x =
= ax(x – a ) – ( x – a ) = ( x – a ) ( ax – 1 )
3
2
2/ 6x + 13x + 4x – 3 = 6x3 + 6x2 + 7x2 + 7x – 3x – 3
= 6x2( x + 1) + 7x( x + 1) – 3( x + 1) = ( x + 1)( 6x2 + 7x – 3 )
= ( x + 1)( 6x2 + 9x – 2x – 3 ) = ( x + 1 )( 3x( 2x + 3) – ( 2x + 3)
= (x + 1)( 2x +3)( 3x – 1 )
3/ ( x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15 = ( x2 + x)2 – 2(x2 + x) + 1 – 16
= ( x2 + x – 1 )2 – 42 = ( x2 + x – 5 )( x2 + x + 3 )

4 x 3  6 x 2  8x
nhận giá trị nguyên
2x 1
4 x 3  6x 2  8x 4x 3  2x 2  4x 2  2x  6x  3  3
3
B=

 2x 2  2x  3 
2x  1
2x  1
2x  1
Để B nhận giá trị nguyên thì 3 (2x – 1) Hay ( 2x – 1 )  U(3) = { -1;1;-3;3}
Suy ra x  { 0;1; -1; 2}

Bài 3 : (4đ) a/ Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức B =

b/ Tìm giá trị của a và b để biểu thức C = a2 – 4ab + 5b2 -2b – 6 đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
C = a2 – 4ab + 4b2 + b2 – 2b + 1 – 7 = ( a -2b)2 + ( b – 1)2 – 7  – 7
Vậy : Tại a – 2b = 0 và b – 1 = 0  a = 2 và b = 1 thì MinC = -7
Bài 4 : ( 2đ) Chứng minh rằng : (x – 1)(x – 3 )( x – 4 )(x – 6 ) +10  1
Ta có (x – 1)(x – 3 )( x – 4 )(x – 6 ) +10 = (x – 1)(x – 6 )( x – 4 )(x – 3 ) +10
= x2 -7x + 6 )( x2 – 7 x + 12) + 10 = ( x2 – 7x + 9 – 3 )( x2 – 7x +9 + 3) + 10 =
= ( x2 – 7x + 9)2 – 32 + 10 = ( x2 – 7x + 9)2 + 1
Vì ( x2 – 7x + 9)2  0 ,với mọi x
Nên ( x2 – 7x + 9)2 + 1  1 , với mọi x
Bài 5 : ( 4đ)


a/ SAMND = SABCD – S  BMN - S  NCD
Ta có  BMN vuông tại B có BM = BN =

Suy ra

a
= CN
2

 NCD vuông tại C có DC = a
1aa 1 a
a2 a
5a 2
 .a.  a 2 


SAMND = a 2 
222 2 2
8
4
8

b/ Chứng ming DM = AM + CE
Trên tia đối của tia CB lấy điểm K sao cho CK = AM
Dễ dàng chứng minh được  ADM =  CDK ( c.g.c)
Suy ra AM = CK và DM = DK (1)
Và góc ADM = góc CDK
Ta có :  ADE =  ADM +  MDE =
=  EDC +  CDK =  EDK ( Vì  MDE =  EDC theo GT)
Mặt khác  ADE =  DEK ( so le trong )
= >  EDK =  DEK Vậy  DKE cân tại K => DK = KE = CK + CE ( 2)
Từ (1) và (2) suy ra DM = AM + CE
Bài 5 : ( 5đ)
a/ HD.HB = HE.HC : Chứng minh 2  vuông :  BHE và  CHD
đông dạng (  E =  D = 900;  EBH =  DCH cũng phụ với  A )
=>

HE HB

HD HC

=> HD.HB = HE.HC

HE HB
HE HD



HD HC
HB HC
và  EHD =  CHB (đối đỉnh) =>  HDE
 HCB

b/  HDE

 HCB : Từ

c/ vì H là giao điểm hai đường cao BD và CE nên H là trực tam của tam giác. => AH là đường cao
thứ ba. Gọi F là giao điểm của AH với BC Ta có AF  BC
BH BF

Hay BH.BD = BF.BC (*)
BC BD
CH CF

Hay CH.CE = CF.BC (**)
 CHF đồng dạng  BCE (  vuông có cùng góc BCE) =>
CB CE
 BHF đồng dạng  BCD (  vuông cùng góc nhọn B) =>

Cộng theo vế (*), (**) : BH.BD + CH.CE = BC(BF + CF) = BC2


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH BÌNH DƯƠNG
KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI
TOÁN TUỔI THƠ TOÀN QUỐC
NĂM HỌC: 2013-2014
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu 1: (2,5 điểm)
b 2 c 2 c 2 a 2 a 2b 2
1 1 1


Cho    0 với a, b, c ≠ 0 và M 
a b c
a
b
c
Chứng minh rằng M= 3abc.
Câu 2: (2,5 điểm)
a) Chứng minh rằng (x+2)3 > 1 + x + x2 + x3 với mọi giá trị x.
b) Giải phương trình tìm nghiệm nguyên: 1 + x + x2 + x3 = y3
Câu 3: (2,5 điểm)
3x  3
.
x  x2  x 1
a) Tìm giá trị của x để A nhận giá trị nguyên.
b) Tìm giá trị lớn nhất của A.

Cho biểu thức A 

3

Câu 3: (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC. Từ điểm M thuộc cạnh AC kẻ các đường thẳng song song với các cạnh AB và BC cắt BC
tại E và AB tại F. Hãy xác định vị trí của M trên AC sao cho hình bình hành BEMF có diện tích lớn nhất.
------------Hết------------

1


2


3


4


TRNG THCS NAM
Đề thi thông tin chọn học sinh giỏi lớp 8
năm học 2008 2009

H tên : ...........................................
Lớp :
...

Môn: Toán

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 ( 2,0 điểm)
Giải phương trình : x(x+2)(x2+2x+5) = 6
Câu 2 : ( 4,0 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức :
A = x8 31x7 + 31x6 31x5 +31x4 31x3 + 31x2 31x + 27 với x = 30
b) Cho a - b = 4 tính giá trị của biểu thức B = a3 12ab - b3
Câu 3 : ( 2,0 điểm)
Rút gọn phân thức :

2a 3 7a 2 12a 45
3a 3 19a 2 33a 9

Câu 4 : ( 3,5 điểm)
Một người đi một nữa quãng đường tử A đến B với vận tốc 15km/h , và đi phần còn lại với vận
tốc 30km/h . Tính vận tốc trung bình của người đó trên toàn bộ quãng đường AB .
Câu 5 : ( 2,0 điểm)
Chứng minh rằng :
a 2 b2
a) S
với S là diện tích của tam giác có độ dài hai cạnh bằng a , b .
4

Câu 6 :( 6,5 điểm)
Cho tam giác IKP cân tại A có KP = 4 cm , M là trung điểm của KP lấy D, E thứ tự thuộc các cạnh
K .
IK , IP sao cho DME
a) Chứng minh rằng tích KD . PE không đổi .
b) Chứng minh rằng DM là tia phân giác của góc KDE .
c) Tính chu vi IED nếu IKP là tam giác đều .
------------- ------------( Giám thị không giải thích gì thêm )

Họ và tên thí sinh :.............................................. Số báo danh .......................
Chữ kí giám thị 1
Chữ kí giám thị 2

1


TRNG THCS NAM

hướng dẫn chấm thi môn toán
kỳ thi thông tin chọn học sinh giỏi lớp 8 THCS năm học 2008-2009

Câu 1 (4,0 điểm)
Tóm tắt lời giải

Điểm

a) Ta có A = x6 19x5 + 19x4 19x3 +19x2 19x + 25
= x5 ( x 18 ) x4( x- 18 ) + x3 ( x-18) x2( x-18) + x(x- 18) - ( x 18 ) +
7
Do đó với x = 18 thì giá trị của biểu thức A = 7 .

1,00
1,00
1,00

b) Với x+y = 1 ta có : B = ( x3 + y3 )+ 3xy = ( x +y ) ( x2 - xy +y2) + 3xy
= x2 +2xy +y2
= ( x+y )2 = 1

1,00

Câu 2 (4,0 điểm)
Tóm tắt lời giải
3

3

2

2

(2 x 5 x ) (12 x 30 x) (18 x 45)
2 x 7 x 12 x 45
=
=
3
2
(3x 3 x 2 ) (18 x 2 6 x) (27 x 9)
3 x 19 x 33x 9
x 2 (2 x 5) 6 x(2 x 5) 9(2 x 5)
(2 x 5)( x 2 6 x 9)
(2 x 5)( x 3)2
= 2
=
=
x (3x 1) 6 x(3x 1) 9(3x 1)
(3x 1)( x 2 6 x 9)
(3x 1)( x 3) 2

a) ta có

=

Điểm

2

1,00
0,50
0.50

2x 5
3x 1

b) Giải phương trình :
(x2-x+1)(x2-x+2) = 12
(1)
2
Đặt t = x -x+1 thay vào phương trình (1) ta được pt :
t ( t+1 ) = 12
t2 + t 12 = 0 ( t2 - 3t ) + (4t 12) = 0 t( t - 3) + 4(t 3) = 0
(t - 3) (t+ 4) = 0
t = 3 hoc t = - 4
2
- Với t = 3 => x -x+1 = 3 x2-x-2 = 0 x2-2x + x -2 = 0
x(x-2) + (x -2 ) = 0 (x-2) (x +1 ) = 0 x = 2 hoc x = - 1
1
19
- Với t = - 4 => x -x+1 = - 4 x -x + 5 = 0 ( x- ) 2 + = 0 phương trình này
2
4
1 2 19
vô nghiệm vì ( x- ) +
> 0 với mọi x .
2
4
2

0.50

0.75

0.25

2

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm là : x = 2 , x = -1

2

0.25
0.25


Câu 3 : ( 4,5 điểm )
Gọi vận tốc mà ô tô dự định đi từ A đến B là : x ( điều kiện : x(km/h ) , x > 6 ).
Ta có : Vận tốc ô tô đi nữa đầu quãng đường là : x+10 ( km/h )
Vận tốc ô tô đi nữa sau quãng đường là : x 6 (km/h )
30
Thời gian ô tô đi nữa đầu quãng đường là :
(h)
x 10
30
Thời gian ô tô đi nữa sau quãng đường là :
(h)
x6
60
Thời gian ô tô đi quãng đường từ A đến B là :
(h)
x
30
30
60

Ta có phương trình :
+
=
x 10 x 6
x
x( x 6)
x( x 10)
2( x 10)( x 6)
+
=
x( x 10)( x 6) x( x 10)( x 6)
x( x 10)( x 6)
2
2
2
=> x 6x + x + 10x = 2x + 8x 120 x2 6x + x2 + 10x - 2x2 - 8x = -120
4x = 120 x = 30 ( km/h )
60
Vậy thời gian ô tô dự định đi quãng đường AB là :
= 2 ( giờ )
30

0.50
1.00

0.75
0.75
0.50

0.50
0.50

Câu 4 (3,5 điểm)
Tóm tắt lời giải

Điểm

HS vẽ hình và ghi GT,KL đúng
A
D

H

I

B

0.5

E
K

C

M

DME
CME
, mặt khác DMC
B BDM
, mà DME
B nên
Ta có DMC
BDM
.
CME
Do đó BDM và CME đồng dạng ( gg ) .

a)

=>

BD BM
=> BD . CE = CM . BM = a . a = a2

CM CE

0.50
0.50

Vậy tích BD . CE luôn không đổi .
b) BDM và CME đồng dạng còn suy ra :

DM
BD

ME CM

=>

DM
BD

ME BM

0.50

( vì CM = BM )
BDM
hay DM là tia phân giác của
Do đó DME và DBM đồng dạng => MDE

góc BDE .
3

0.50


c) Từ câu b suy ra DM là tia phân giác của góc BDE , EM là tia phân giác của góc
CED . Kẻ MH DE , MI AB , MK AC . Ta có DH = DI , EH = EK , do đó chu
vi AED bằng AI + AK = 2AK .
Ta lại có CK =

MC a

, AC = 2a nên AK = 1,5a .
2
2

0.50

0.50

Vậy chu vi tam giác ADE bằng 3a .

Câu 5 : HS vẽ hình và ghi GT,KL đúng
B
A

a

0.50

h

d

b
D
c
C

a) Gọi h là chiều cao tương ứng với cạnh a , ta có S =

1
ah .
2

=> 4S = 2ah 2ab a2 + b2 .
a 2 b2
Vậy S
.
4

0.50
0.50
0.50
0.50

Dấu bằng xảy ra h = b , a = b ABC vuông cân
a 2 b2
c2 d 2
; SADC
4
4
2
2
2
2
a b c d
a 2 b2 c2 d 2

Mà S = SABC + SADC => S
=> S
.
4
4
4
Dấu bằng xảy ra ABC vuông cân ở B , ACD vuông cân ở D

b) Theo câu a ta có : SABC

ABCD là hình vuông .

Lưu ý : Nếu thí sinh làm theo cách khác đúng đầy đủ chính xác cũng được điểm tối đa

4

0.50
0.50
0.50


MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG IV
Cấp độ
Chủ đề
1. Liên hệ giữa thứ
tự và phép cộng,
phép nhân
Số câu:
Số điểm – TL %
2. Bất phương trình
bậc nhất một ẩn, bất
phương trình tương
đương.

Nhận biết

Thấp

TNKQ
TL
TNKQ
TL
TNKQ
Nhận biết bất đẳng
thức đúng , biết cách
so sánh hai số, hai
biểu thức
2
1
1
1,5
Nhận biết bất phương Hiểu một giá trị là
trình bậc nhất một ẩn, nghiệm
của
bất
tập nghiệm của bất phương trình
phương trình

Số câu:
3
Số điểm – TL %
3. Giải bất phương
trình bậc nhất một
ẩn
Số câu:
Số điểm – TL %
4. Phương trình chứa
dấu giá trị tuyệt đối

Số câu:
Số điểm – TL %
Tổng số câu:
Tổng số điểm
TL%

Vận dụng

Thông hiểu

Cao
TL

TNKQ

Cộng
TL

3
2,5

1
1,5

0,5
Biết cách viết và biểu
diễn tập nghiệm trên
trục số
1

1
Hiểu cách
giải phương
trình chứa
dấu giá trị
tuyệt đối
1
1,5
5
1
1
1
2,5
1,5
0,5
2,5
25%
15%
5%
25%

4
2
Vận dụng các phép
biến đổi giải bất
phương trình
1
2

Giải bài toán
đưa về bất
phương trình
1
3
1

4

1
1,5
1

1

10

2
20%

1
10%

10
100%


ĐỀ KIỂM TRA ĐẠI SỐ 8 CHƯƠNG IV
Đề số: 1
Ngày…tháng … năm 2013
Lớp:………………………
Họ tên :……………………

ĐIỂM

LỜI PHÊ CỦA THẦY (CÔ)

I.
Trắc nghiệm:(3 đ)
Câu 1. cho x < y kết quả nào dưới đây là đúng?
A. x – 3 > y – 3
C. 2x – 3 < 2y – 3
Câu 2:
Nếu x  y và a  0 thì:
A. ax  ay

B. ax  ay

B. 3 – 2x < 3 – 2y
D. 3 – x < 3 – y
C. ax  ay

D. ax  ay

Câu 3. Bất phương trình nào dưới đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn?
A.

1
0
2x  1

B. 0.x + 5 > 0

C. 2x2 + 3 > 0

D.

1
x2< 0
2

Câu 4. Tập nghiệm của bất phương trình 1,3x  –3,9 là:
A. x | x  3
B. x | x  3
C. x | x  3
D. x | x  3
Câu 5. Giá trị x = 2 là nghiệm của BPT nào trong các BPT sau?
A. 3x + 3 > 9
B. –5x > 4x + 1
C. x – 2x < –2x + 4
D. x – 6 > 5 – x
Câu 6: Hình vẽ bên biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình:
A. x  2
B. x  2
C. x  2
D. x  2
II. Tự luận: (7đ)
Bài 1: (1,5đ)
Bài 2: (3đ)

Cho a  b hãy so sánh: 2a  5 và 2b  5
Giải bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
2 x  5  4 x  11

Bài 3: (1,5đ) Giải phương trình:

3x  x  8
Bài 4. (1đ) Tìm x sao cho giá trị của biểu thức

5x  2
không nhỏ hơn giá trị của biểu thức x + 1
3

---------------------------------------------------------------


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×