Tải bản đầy đủ

giáo án phụ đạo toán 11

Giáo án dạy thêm

Đinh Thị Nhung

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Ngày soạn: 04/09/2016
Kí duyệt của tổ trưởng
Nguyễn Tuấn Anh
I. Mục tiêu
1)Về kiến thức
Ôn lại các kiến thức đã học như hàm số chẵn, hàm số lẻ, GTLN & GTNN, tập xác
định và đồ thị các hàm số lượng giác.
2)Về kỹ năng
Nắm vững phương pháp xét tính chẵn, lẻ, tìm tập xác định và các bước vẽ đồ thị.
3)Tư duy, thái độ
Thái độ tích cực trong học tập, có tư duy sáng tạo và biết vận dụng phương pháp đã
học để giải các bài tập nâng cao hơn.
4) Định hướng hình thành và phát triển các năng lực
- Năng lực tư duy
- Năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học (công thức, kí hiệu).
- Năng lực giải quyết vấn đề.

- Năng lực hợp tác nhóm.
- Năng lực giao tiếp.
II. Chuẩn bị
1) Chuẩn bị của giáo viên
- Chuẩn bị giáo án, dụng cụ dạy học.
2) Chuẩn bị của học sinh
- Chuẩn bị bài cũ, dụng cụ học tập.
III. Phương pháp dạy
Tạo tình huống có chủ ý, diễn giải dẫn đến kết qủa.


Giáo án dạy thêm

Đinh Thị Nhung

IV. Tiến trình bài dạy
1. Ổn định tổ chức lớp
2. Kiểm tra bài cũ: Lồng vào các hoạt động của bài dạy.
3. Bài mới
HĐ của giáo viên
Ra đề bài.
Gọi hai học sinh lên bảng làm
ý a và ý b.
Hd học sinh làm ý d.
Gọi hai học sinh lên bảng làm
ý c và ý d.
Gọi tiếp hai học sinh lên bảng
làm hai ý còn lại
Xen kẽ nhận xét và cho điểm.
Đồng thời kiểm tra vở bt và
bài làm của học sinh ở dưới
lớp.

HĐ của học sinh
Suy nghĩ làm bt.

Ghi bảng-trình chiếu
Bài 1. Tìm TXĐ của các hs sau:
a, y = sin3x.


b, y = cos

sin x

x+1
x

cos x + 2
sin x + 1

Lên bảng làm bài tập c, y = cos x - 1 d, y =

p
p
So sánh với bài làm e, y = tan(x+ 4 ) f, y = cot(x- 3 )
của bạn để rút kinh ĐS:
nghiệm.
a, D = ¡ .

b, D = ( −∞; −1] ∪ ( 0; +∞ )
c, D = ¡ \ { k 2π , k ∈ ¢ }
 π

+ k 2π , k ∈ ¢ 
 2


d, D = ¡ \ −

 π

+ kπ , k ∈ ¢ 
 4


e, D = ¡ \ −

π

f, D = ¡ \  + kπ , k ∈ ¢ 
3

H : TGT của các hs sin và
cos ?
Gv làm mẫu ý a.
Hd câu b, c. Gọi hai hs lên
bảng làm bài.
Hd câu d. Gọi học sinh lên
bảng làm bài

Suy nghĩ trả lời câu
hỏi.
Theo dõi vd mẫu của
gv.
Làm bài tập.



Bài 2 : Tìm GTLN, GTNN của các
hàm số sau :
a, y = 2sinx + 3.
b, y = 5 – 2cos2x.
c, y =

cos x + 2 + 5 .

d, y = sin4x + cos4x
ĐS:
a, max y = 5, min y = 1 .
b, max y = 5, min y = 3
c, max y = 5 + 3, min y = 6
d,


Giáo án dạy thêm

Đinh Thị Nhung

1
y = 1 − sin 2 2 x
2
⇒ max y = 1, min y =

Yêu cầu hs nhắc lại đ/n hàm
số chẵn, hàm số lẻ.
HS nhắc lại cách xác
định một hàm số là
hàm số chẵn hoặc
hàm số lẻ.
Gọi 3 hs lên bảng.
Tập trung làm bài
Nhận xét, cho điểm.
tập.
Chỉnh
thiện.

sửa,

1
2

Bài 3 : Xét tính chẵn lẻ của các hàm
số sau :
a, y = cos3x.
b, y = sinx2.
c, y = - x3tan2x.
ĐS:
a, là hàm số chẵn.
b, là hàm số chẵn.
c, là hàm số lẻ.

hoàn

Tập trung vào ý a và b. ý c chỉ
gợi ý.
Gv hd cách làm ý a.
Theo dõi cách trình
bày, lập luận của gv.
Sau đó yêu cầu hs làm ý b.
Tập trung làm bài.

Bài 4 : Từ đồ thị hàm số y = cosx,
nêu cách vẽ đt của các hàm số sau :
a, y = - cosx
b, y = |cosx|
c, y = cos|x|
ĐS:
a, Lấy đối xứng đồ thị hàm số cosx
qua trục hoành.
b, Giữ nguyên phần đồ thị của hàm
số cosx nằm trên trục hoành và lấy
đối xứng phần đồ thị của hàm số
cosx ở dưới trục hoành qua trục
hoành.
c, Giữ nguyên phần đồ thị của hàm
số cosx nằm bên phải trục tung và
HD HS vẽ hình minh họa.
lấy đối xứng phần đồ thị của hàm số
Ghi nhận kết quả.
cosx ở bên phải trục tung qua trục
tung.
Q :Từ kết quả CM suy ra hàm
Bài 5 : CMR:
số tuần hoàn với chu kì nào ?
Hàm số tuần hoàn sin2(x+k p )=sin2x " k Î Z . Từ đó
Q :Xét tính chẵn lẻ ?
với chu kì 2p
vẽ đt hàm số y = sin2x và cho biết :
Q : Suy ra tập khảo sát ?
1
a, Các giá trị của x để sin2x= .
2
Gv hd lập BBT trên tập ks và


Giáo án dạy thêm

Đinh Thị Nhung

vẽ đt.
b, Các khoảng giá trị của x để hs
Hd học sinh “đọc” đt để trả lời Suy nghĩ làm bài.
nhận giá trị âm.
ý a và ý b.
4. Củng cố
- Yêu cầu học sinh nhắc lại các dạng bài tập trong bài học
- GV nêu mục tiêu bài học để học sinh khắc sâu kiến thức.
5. Bài tập về nhà
-Vẽ đt hàm số y = sin2x+1 và y = sin(2x-

p
). (Gv hd cách làm trên lớp)
4

PHÉP TỊNH TIẾN
Ngày soạn: 06/09/2016
Kí duyệt của tổ trưởng
Nguyễn Tuấn Anh
1. Kiến thức
Nắm rõ khái niệm phép tịnh tiến, các tính chất của phép tịnh tiến, biểu thức tọa độ của
phép tịnh tiến.
2. Kĩ năng
Thành thạo việc tìm ảnh, tìm tạo ảnh của một điểm của một đường thẳng và một
đường tròn qua phép tịnh tiến.
3. Về tư duy, thái độ
- Hiểu và vận dụng
- Cẩn thận, chính xác.
- Tích cực hoạt động; rèn luyện tư duy khái quát.
4. Định hướng hình thành và phát triển các năng lực
- Năng lực tư duy
- Năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học (công thức, kí hiệu).
- Năng lực giải quyết vấn đề.


Giáo án dạy thêm

Đinh Thị Nhung

- Năng lực hợp tác nhóm.
- Năng lực giao tiếp.
II. Chuẩn bị.
1.Chuẩn bị của giáo viên:
+ Kế hoạch dạy học. Bảng phụ
2.Chuẩn bị của HS:
+ Sách, vở, nháp, ôn tập các kiến thức liên quan bài học
III. Phương pháp dạy học
Thảo luận nhóm, sử dụng phương tiện dạy học trực quan, đàm thoại, tình huống, động
não, giảng giải, thuyết trình.
IV. Tiến trình bài học
1. Ổn định tổ chức
2. Kiểm tra kiến thức cũ
CH: Nêu định nghĩa phép tịnh tiến, tính chất và biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.
HS: Lên bảng trình bày.
3. Bài mới
Ho¹t ®éng cña GV
HĐ 1: Tìm ảnh của một
điểm, của một đường thẳng
và một đường tròn qua phép
tịnh tiến.
- Gọi 3 HS lên bảng làm
từng ý

Ho¹t ®éng cña HS

Nội dung ghi bảng
Bµi 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho
M ( 1; 2 ) ,
điểm
đường thẳng
d : 2 x − 3 y + 4 = 0 và đường tròn
2
2
( C ) : ( x − 1) + ( y + 3) = 4 . Tìm ảnh
của điểm M, d,r(C) qua phép tịnh
tiến theo vec tơ v = ( 2; −1)
- 3 HS lên bảng giải
Giải:
toán
- Giả sử Tvr ( M ) = M ' ( x '; y ')


Giáo án dạy thêm

Đinh Thị Nhung

 x ' = 1+ 2 = 3
⇒
⇒ M ' ( 3;1)
 y ' = 2 + ( −1) = 1

- Giả sử
∆ / / d
Tvr ( d ) = ∆ ⇒ 
∆ ≡ d
⇒ ∆ : 2x − 3y + c = 0
Chọn M ∈ d ⇒ M ' ∈ ∆
⇒ 2.3 − 3.1 + c = 0 ⇒ c = −3
⇒ ∆ : 2x − 3y − 3 = 0

- (C) có tâm I ( 1; −3) và bán kính

- Gọi HS đứng tại chỗ nhận
xét.

- Nhận xét bài giải R = 2
Giả sử Tvr ( ( C ) ) = C ' ( I '; R ')
của bạn

- Chú ý sai sót, ghi
nhận kiến thức.

Tr ( I ) = I ' ( x '; y ')
⇒ v
R' = R

 x ' = 1+ 2 = 3

⇒  y ' = −3 + ( −1) = −4

R' = 2


 I ' ( 3; −4 )
⇒
 R' = 2

- Chỉnh sửa, hoàn thiện cho
HS

⇒ ( C ') : ( x − 3) + ( y + 4 ) = 4
2

Ho¹t ®éng cña GV
HĐ 2: Tìm tạo ảnh của một
điểm, của một đường thẳng
và một đường tròn qua phép
tịnh tiến.
- Gọi 3 HS lên bảng làm
từng ý

2

Ho¹t ®éng cña HS

Nội dung ghi bảng
Bµi 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho
M ( 2; −1) , đường thẳng
điểm
d : 2 x + y − 3 = 0 và đường tròn
2
2
( C ) : ( x + 1) + ( y − 3) = 25 . Tìm tạo
ảnh của điểm M, d,r (C) qua phép
tịnh tiến theo vec tơ v = ( 1;3)
Giải :
- 3 HS lên bảng giải - Giả sử Tvr ( M ') = M , M ' ( x '; y ' )
toán
 2 = x '+ 1
 x' =1
⇒
⇒
⇒ M ' ( 1; −5 )
−2 = y '+ 3  y ' = −5

- Giả sử
∆ / / d
Tvr ( ∆ ) = d ⇒ 
∆ ≡ d
⇒ ∆ : 2x + y + c = 0
Chọn M ∈ d ⇒ M ' ∈ ∆
⇒ 2.1 − 3. ( −5 ) + c = 0 ⇒ c = −17
⇒ ∆ : 2 x + y − 17 = 0

- (C) có tâm I ( −1;3) và bán kính


Giáo án dạy thêm

Đinh Thị Nhung

R=5

Giả sử Tvr ( ( C ') ) = ( C ) , C ' ( I '; R ' )
- Gọi HS đứng tại chỗ nhận - Nhận xét bài giải
xét.
của bạn

Tr ( I ') = I , I ' ( x '; y ' )
⇒ v
R' = R

−1 = x '+ 1  x ' = −2


⇒  3 = y '+ 3 ⇒  y ' = 0
 R' = 5
 R' = 5



- Chú ý sai sót, ghi ⇒  I ' ( −2;0 )
- Chỉnh sửa, hoàn thiện cho nhận kiến thức.
 R' = 5
2
HS
⇒ ( C ') : ( x + 2 ) + y 2 = 25
Ho¹t ®éng cña GV

Ho¹t ®éng cña HS

Nội dung ghi bảng
Bµi 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho
HĐ 3: Xác định phép tịnh
điểm M ( 2; −1) , N ( −2;3) , đường
tiến.
thẳng d : 2 x + y − 3 = 0 và đường
2
2
tròn ( C ) : ( x + 1) + ( y − 3) = 25 . Xác
- Gọi 3 HS lên bảng làm - 3 HS lên bảng giải định phép tịnh tiến
từng ý
toán
a) biến điểm Mrthành N
b) theo vec tơ v = ( 1; m ) biến d thành
chính nó.
c) biến đường tròn tâm M bán kính
5 thành đường tròn (C).
Giải:
r
a) Giả sử Tvr ( M ) = N , v = ( x '; y ')
uuuur r
⇒ MN = v

 x ' = −2 − 2 = − 4 r
⇒
⇒ v = ( −4; 4 )
 y ' = 3 − ( −1) = 4
b) Ta có Tvr ( d ) = d . Chọn M ∈ d

Giả sử Tvr ( M ) = M ' ( x '; y ')
x ' = 2 +1 = 3

- Nhận xét bài giải

⇒  y ' = −1 + m ⇒ M ' ( 3; m − 1) ∈ d
- Gọi HS đứng tại chỗ nhận của bạn
 M '∈ d
xét.

⇒ 2.3 + m − 1 − 3 = 0 ⇒ m = −2

Vậy
r
- Chú ý sai sót, ghi v = ( 1; −2 )
- Chỉnh sửa, hoàn thiện cho nhận kiến thức.
c) Ta có (C) có tâm I ( −1;3)
HS
Giả sử Tvr ( ( M ,5 ) ) = ( C )

r uuur
⇒ Tvr ( M ) = I ⇒ v = MI = ( −3; 4 )

4. Củng cố:


Giáo án dạy thêm

Đinh Thị Nhung

- Định nghĩa phép tịnh tiến, các tính chất của phép tịnh tiến, biểu thức tọa độ của phép
tịnh tiến.
- Bài tập:
Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A (- 2;1) và đường thẳng d: x + 3y - 1 = 0
r

a) Hãy tìm ảnh của A và d qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (3; - 2) .

r

b) Tìm điểm B sao cho A là ảnh của B qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (- 5;7) .
Câu 2: Trong mp Oxy, tìm ảnh của M(2;−5) và tạo ảnh của N’(0; 3) qua phép tịnh tiến theo véc
r
tơ v = (- 1; 4) .
Câu 3. Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai điểm A ( 3; - 2) và B ( - 1;2) . Phép tính tiến T vr biến
r

điểm A thành B. Xác định tọa độ vectơ v .
5. Dặn dò:
Làm các bài tập,


Giáo án dạy thêm

Đinh Thị Nhung

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Ngày soạn: 09/09/2016
Kí duyệt của tổ trưởng
Nguyễn Tuấn Anh
I. Mục tiêu .
1. Kiến thức
Biết được phương trình lượng giác cơ bản: sinx = m; cosx = m; tanx = m; cotx = m và
công thức nghiệm.
2. Kĩ năng
Giải thành thạo phương trình lượng giác cơ bản. Biết sử dụng máy tính bỏ túi hỗ trợ
tìm nghiệm phương trình lượng giác cơ bản
3. Về tư duy, thái độ
- Hiểu và vận dụng
- Cẩn thận, chính xác.
- Tích cực hoạt động; rèn luyện tư duy khái quát.
4. Định hướng hình thành và phát triển các năng lực
- Năng lực tư duy
- Năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học (công thức, kí hiệu).
- Năng lực giải quyết vấn đề.
- Năng lực hợp tác nhóm.
- Năng lực giao tiếp.
II. Chuẩn bị.
1.Chuẩn bị của giáo viên:


Giỏo ỏn dy thờm

inh Th Nhung

+ K hoch dy hc. Cỏc phiu hc tp s . Bng ph
2.Chun b ca HS:
+ Sỏch, v, nhỏp, ụn tp cỏc kin thc liờn quan bi hc
III. Phng phỏp dy hc
Tho lun nhúm, s dng phng tin dy hc trc quan, m thoi, tỡnh hung, ng
nóo, ging gii, thuyt trỡnh.
IV. Tin trỡnh bi hc
1. n nh t chc
2. Kim tra kin thc c
Kiểm tra bài cũ sẽ lồng vào các hoạt động học tập của học sinh
3. Bi mi
Hoạt động của GV
H 1: Rốn luyn k nng gii cỏc
phng trỡnh lng giỏc c bn.
HTP 1 :
- Gi 4 HS lờn bng gii toỏn, mi
hc sinh gii mt bi.
- Yờu cu 1 HS di lp nhc li
cụng thc nghim ca phng
trỡnh: sinx = a
- Chỳ ý cho HS trỏnh nhm ln khi
gii phng trỡnh c bn ny.
- Gi HS nhn xột bi gii ca
bn.

Hoạt động của HS

Ni dung ghi bng
Bài 1: Giải các phơng trình
sau :
a. sin ( x + 2) =

- 4 HS lờn bng gii
toỏn
- Nờu cụng thc
nghim ca phng
trỡnh ú.

1
;
3

b. sin 3x = 1 ;

2x p ử

ữ= 0 ;

c. sin ỗ
ỗ - ữ


ố3

3ứ

d. sin ( 2x + 200 ) = -

3.
2

S:
- Chỳ ý sai sút, ghi
nhn kin thc.

a.

- Nhn xột bi gii
ca bn

b.
c.
d.

1

x = arcsin 3 2 + k 2

x = arcsin 1 2 + k 2

3
k 2
x= +
6
3

x = + k 3
2
x = 400 + k1800

0
0
x = 110 + k180


Giỏo ỏn dy thờm

Hoạt động của GV
HTP 2 :
- Gi 4 HS lờn bng gii toỏn,
mi hc sinh gii mt bi.
- Yờu cu 1 HS di lp nhc li
cụng thc nghim ca cỏc
phng trỡnh: cosx = a,
- Chỳ ý cho HS trỏnh nhm ln
khi gii phng trỡnh c bn ny.
- Gi HS nhn xột bi gii ca
bn.

inh Th Nhung

Hoạt động của HS
- 4 HS lờn bng gii
toỏn

Ni dung ghi bng
Bài 2: Giải các phơng trình
sau :
2
;
3
b. cos 3x = cos120 ;

3x p ử
1

- ữ
=ỗ
c. cos ỗ
;



4ứ
2
ố2

a. cos ( x - 1) =
- Nờu cụng thc
nghim ca bn
phng trỡnh ú.
- Chỳ ý sai sút, ghi
nhn kin thc.
- Nhn xột bi gii
ca bn

1
4

d. cos2 2x = .
S :
2
3
0
b. x = 4 + k1200
11 k 4

x = 18 + 3
c.
x = 5 + k 4

18
3

a. x = arccos + 1 + k 2

d.

1 cos 2 x 1
1
= cos 2 x =
2
4
2

x = + k
6
pt

Hoạt động của GV
H 2: Rốn luyn k nng gii cỏc
phng trỡnh a v phng trỡnh
lng giỏc c bn.
- Hớng dẫn HS giải bài tập 3a.

Hoạt động của HS

Ni dung ghi bng
Bài 3: Giải các phơng trình sau:
2 cos 2x
= 0 (1)
1 - sin 2x
ĐK : 1 - sin2x ạ 0.

a,

Ta có :

( 1)
+ Điều kiện PT là gì ?

+ Quy đồng khử mẫu ta đợc ntn ?
+ Hãy đối chiếu với điều kiện .

- Tìm điều kiện.

- Quy đồng và biến
đổi.

2 cos 2x = 0 cos 2x = 0


ờ2x = p + k 2p, k ẻ Z

2

ờ2x = - p + k 2p, k ẻ Z

2


ờx = p + k p, k ẻ Z

4

ờx = - p + k p, k ẻ Z

4


Đối chiếu điều kiện ta có


Giỏo ỏn dy thờm

inh Th Nhung

- Đối chiếu điều

nghiệm
p

+ Yêu cầu HS kết luận nghiệm.

+ k p, k ẻ Z
4
b, sin 2 2 x + cos 2 3 x = 1
pt sin 2 2 x = sin 2 3x
cos 4 x = cos 6 x
x =-

kiện.
- Kết luận nghiệm.

x = k
k

x=
k

x=
5
5


Hoạt động của GV
H 3: Rốn luyn k nng gii cỏc
phng trỡnh lng giỏc c bn.
- Gi 4 HS lờn bng gii toỏn,
mi hc sinh gii mt bi.
- Yờu cu 1 HS di lp nhc li
cụng thc nghim ca cỏc
phng trỡnh: tanx = a, cotx = a.
- Chỳ ý cho HS trỏnh nhm ln
khi gii phng trỡnh c bn ny.
- Gi HS nhn xột bi gii ca
bn.

Hoạt động của HS
- 4 HS lờn bng gii
toỏn

Ni dung ghi bng
Bài 4: Giải các phơng trình
sau :
a. t an ( x - 150 ) = 3 ;
3

- Nờu cụng thc
nghim ca cỏc
phng trỡnh ú.
- Chỳ ý sai sút, ghi
nhn kin thc.
- Nhn xột bi gii
ca bn

b. cot ( 3x - 1) = - 3 ;
c. cos 2x t an x = 0 ;
d. sin 3x cot x = 0 .
S :
a. x = 450 + k1800
1 k
b. x = + +
18 3

3

c.
cos 2 x = 0
pt
tan x = 0
k

x= +


4 2

x = k
k

x= 3
d. pt
x = + k

2

4. Cng c : Nhc li cụng thc nghim ca phng trỡnh sinx = a, cosx = a, tanx = a, cotx =
a.
Bi tp : Gii bi tp trc nghim
Cõu 1. Phng trỡnh sin2
A. x =

p
+ k 2p
2

x
=1 cú nghim l:
3
3p
+ k 2p
B. x =
2

C. x =

3p
+ k 3p
2

x = kp

Cõu 2. Nghim ca phng trỡnh 3tanx+ 3 =0 l giỏ tr no sau õy ?

D.


Giáo án dạy thêm

A. x =

p
+ k 2p
3

Đinh Thị Nhung

p
+ kp
6

B. x = -

C. x =

p
+ kp
6

D. x = -

p
+ kp
3

Câu 3. Nghiệm của phương trình cos2 x=1 là các giá trị nào sau đây ?
kp
kp
kp
A. x = k p
B. x =
C. x =
D. x =
2

4

3

5. Dặn dò
Học thuộc các bước giải phương trình bậc 1, bậc 2 đối với một hàm lượng giác.

PHÉP QUAY VÀ PHÉP VỊ TỰ
Ngày soạn: 15/09/2016
Kí duyệt của tổ trưởng
Nguyễn Tuấn Anh
1. Kiến thức
Nắm rõ khái niệm, các tính chất của phép tịnh tiến của phép quay và phép vị tự.
2. Kĩ năng
Thành thạo việc tìm ảnh, tìm tạo ảnh của một điểm của một đường thẳng và một
đường tròn qua phép quay và phép vị tự.
3. Về tư duy, thái độ
- Hiểu và vận dụng
- Cẩn thận, chính xác.
- Tích cực hoạt động; rèn luyện tư duy khái quát.
4. Định hướng hình thành và phát triển các năng lực
- Năng lực tư duy
- Năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học (công thức, kí hiệu).
- Năng lực giải quyết vấn đề.


Giáo án dạy thêm

Đinh Thị Nhung

- Năng lực hợp tác nhóm.
- Năng lực giao tiếp.
II. Chuẩn bị.
1.Chuẩn bị của giáo viên:
+ Kế hoạch dạy học. Bảng phụ
2.Chuẩn bị của HS:
+ Sách, vở, nháp, ôn tập các kiến thức liên quan bài học
III. Phương pháp dạy học
Thảo luận nhóm, sử dụng phương tiện dạy học trực quan, đàm thoại, tình huống, động
não, giảng giải, thuyết trình.
IV. Tiến trình bài học
1. Ổn định tổ chức
2. Kiểm tra kiến thức cũ
CH: Nêu định nghĩa phép tịnh tiến, tính chất của phép quay và phép vị tự.
HS: 2 HS lên bảng trình bày.
3. Bài mới
Ho¹t ®éng cña GV
HĐ 1: Tìm ảnh của một
điểm, của một đường thẳng
và một đường tròn qua phép
quay và phép vị tự.
- Gọi 3 HS lên bảng làm ý a)

Ho¹t ®éng cña HS

Nội dung ghi bảng
Bµi 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho
M ( 1; 2 ) ,
điểm
đường thẳng
d : 2 x − 3 y + 4 = 0 và đường tròn
2
2
( C ) : ( x − 1) + ( y + 3) = 4 . Tìm ảnh
của điểm M, d, (C) qua
a) phép quay tâm O góc quay 900 .
b) phép vị tự tâm O tỉ số k = 2
- 3 HS lên bảng giải Giải:
toán
a) - Giả sử Q( O ;90 ) ( M ) = M ' ( x '; y ')
0


Giáo án dạy thêm

Đinh Thị Nhung

 x ' = −2
⇒
⇒ M ' ( −2;1)
 y' =1
- Giả sử Q O;900 ( d ) = ∆ ⇒ ∆ ⊥ d

(

)

⇒ ∆ : 3x + 2 y + c = 0
Chọn M ∈ d ⇒ M ' ∈ ∆
⇒ 3. ( −2 ) + 2.1 + c = 0 ⇒ c = 4
⇒ ∆ : 3x + 2 y + 4 = 0

- (C) có tâm I ( 1; −3) và bán kính
R=2

Giả sử Q( O ,90 ) ( ( C ) ) = C ' ( I '; R ')
0

- Gọi HS đứng tại chỗ nhận
xét.
- Nhận xét bài giải
của bạn

Q O ,900 ( I ) = I ' ( x '; y ')
)
⇒ (
R' = R

 x' = 3
 I ' ( 3;1)

⇒  y ' =1 ⇒ 
R ' = 2  R ' = 2


- Chỉnh sửa, hoàn thiện cho - Chú ý sai sót, ghi ⇒ ( C ') : ( x − 3) + ( y − 1) = 4
HS
nhận kiến thức.
b) Giả sử V( O ;2) ( M ) = M ' ( x '; y ')
2

2

uuuuur uuuur
⇒ OM ' = 2OM

 x ' = 2.2 = 4
⇒ M ' ( 4; 2 )

 y ' = 2.1 = 2

- Gọi 3 HS lên bảng làm ý b) - 3 HS lên bảng giải
∆ / / d
- Giả sử V( O ;2 ) ( d ) = ∆ ⇒ 
toán
∆ ≡ d

⇒ ∆ : 2x − 3y + c = 0
Chọn M ∈ d ⇒ M ' ∈ ∆
⇒ 2.4 − 3.2 + c = 0 ⇒ c = −2
⇒ ∆ : 2x − 3y − 2 = 0

- (C) có tâm I ( 1; −3) và bán kính
R=2

Giả sử V( O ,2) ( ( C ) ) = C ' ( I '; R ')

V O ,2 ( I ) = I ' ( x '; y ')
⇒ ( )
R ' = 2R

 x ' = 2.1 = 2
 I ' ( 2; −6 )

⇒  y ' = 2. ( −3) = −6 ⇒ 
 R' = 4

R ' = 2.2


- Gọi HS đứng tại chỗ nhận
- Nhận xét bài giải ⇒ C ' : x − 2 2 + y + 6 2 = 16
xét.
( ) (
) (
)
của bạn


Giáo án dạy thêm

Đinh Thị Nhung

- Chỉnh sửa, hoàn thiện cho - Chú ý sai sót, ghi
HS
nhận kiến thức.
Ho¹t ®éng cña GV
HĐ 2: Tìm tạo ảnh của một
điểm, của một đường thẳng
và một đường tròn qua phép
quay và phép vị tự.
- Gọi 3 HS lên bảng làm
từng ý

Ho¹t ®éng cña HS

Nội dung ghi bảng
Bµi 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho
điểm M ( 2; −1) , đường thẳng
d : 2 x + y − 3 = 0 và đường tròn
2
2
( C ) : ( x + 1) + ( y − 3) = 25 . Tìm tạo
ảnh của điểm M, d, (C) qua phép
a) quay tâm O góc quay −900 .
b) vị tự tâm A ( 1;3) tỉ số k = −3
- 3 HS lên bảng giải Giải :
a) - Giả sử Q( O;−90 ) ( M ') = M , M ' ( x '; y ')
toán
0

 2 = y'
⇒
⇒ M ' ( 1; 2 )
 −1 = − x '
- Giả sử Q O ;900 ( ∆ ) = d ⇒ ∆ ⊥ d

(

)

⇒ ∆ : x − 2y + c = 0
Chọn M ∈ d ⇒ M ' ∈ ∆
⇒ 1 − 2.2 + c = 0 ⇒ c = 3
⇒ ∆ : x − 2y + 3 = 0

- (C) có tâm I ( 1; −3) và bán kính
R=2

Giả sử Q( O ,−90 ) ( ( C ') ) = ( C ) , C ' ( I '; R ' )
0

- Gọi HS đứng tại chỗ nhận - Nhận xét bài giải
của bạn
xét.

Q O , −900 ( I ') = I , I ' ( x '; y ' )
)
⇒ (
R' = R

 x ' = −3
 I ' ( −3; −1)

⇒  y ' = −1 ⇒ 
 R' = 2
 R' = 2


- Chú ý sai sót, ghi ⇒ ( C ') : ( x + 3) + ( y + 1) = 4
b) Giả sử V( A;−3) ( M ') = M , M ' ( x '; y ')
- Chỉnh sửa, hoàn thiện cho nhận kiến thức.
uuuur
uuuuur
HS
⇒ AM = −3 AM '
2

2

 1 = −3. ( x '− 1)
 2 13 
⇒ M ' ; ÷

- 3 HS lên bảng giải −4 = −3. ( y '− 3)
3 3 
toán
- Gọi 3 HS lên bảng làm
∆ / / d
- Giả sử V( A;−3) ( ∆ ) = d ⇒ 
từng ý
∆ ≡ d
⇒ ∆ : 2x + y + c = 0
Chọn M ∈ d ⇒ M ' ∈ ∆


Giáo án dạy thêm

Đinh Thị Nhung

2 13
17
⇒ 2. + + c = 0 ⇒ c = −
3 3
3
17
⇒ ∆ : 2x + y − = 0
3
- (C) có tâm I ( 1; −3) và bán kính
R=5
Giả sử V( A−3) ( ( C ') ) = ( C ) , C ' ( I '; R ' )

- Nhận xét bài giải
của bạn
- Gọi HS đứng tại chỗ nhận
xét.
- Chú ý sai sót, ghi
nhận kiến thức.

V A,−3 ( I ') = I , I ' ( x '; y ' )
⇒ ( )
R = 3R '


 0 = −3. ( x '− 1)
 I ' ( 1;5 )


⇒ −6 = −3. ( y '− 3) ⇒ 
5
R' =


R
3


R' =
3

25
2
2
⇒ ( C ') : ( x − 1) + ( y − 5 ) =
9

- Chỉnh sửa, hoàn thiện cho
HS
4. Củng cố:
- Định nghĩa phép tịnh tiến, các tính chất của phép tịnh tiến, biểu thức tọa độ của phép tịnh
tiến.
- Bài tập:
Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình
2
(x - 3) + (y + 1)2 = 8 . Hãy viết pt đường tròn ( C’) là ảnh của ( C ) qua phép vị tự tâm O, tỉ số
-

1
.
2

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng

(d)

có phương trình

3x - 2y - 1 = 0 . Tìm ảnh của đường thẳng ( d ) qua phép đối quay tâm O, góc quay 900.

Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( I ;2) với I ( 3; - 2) . Tìm ảnh của

( I ;2)

qua việc thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc quay - 900 và phép vị tự tâm O, tỉ số
k = 3.
Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : 2x+y-4=0.
a/ Viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k=3.
b/ Viết phương trình đường thẳng d’’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm I(-1;2) tỉ số k=2
Câu 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(2,-2) và đường thẳng d có phương trình: 2x + y – 1
=0
a./ Tìm ảnh của A và d qua phép quay tâm O góc quay 900 .
b/ Tìm ảnh của d qua phép quay tâm A góc quay 900 .


Giáo án dạy thêm

Đinh Thị Nhung

Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn có phương trình x 2 + y 2 - 2x + 4y - 4 = 0
. Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn đã cho qua phép quay tâm O góc quay
900 , -. 900
5. Dặn dò:
Làm các bài tập.
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
Ngày soạn: 21/09/2016
Kí duyệt của tổ trưởng
Nguyễn Tuấn Anh
I. Mục tiêu.
1. Kiến thức
Biết được dạng và cách giải phương trình: Bậc nhất; bậc hai với một hàm số lượng giác,
phương trình bậc nhất đối với sin và cos.
2. Kĩ năng : Giải được phương trình các dạng nêu trên.
3. Về tư duy, thái độ
- Hiểu và vận dụng
- Cẩn thận, chính xác.
- Tích cực hoạt động; rèn luyện tư duy khái quát.
4. Định hướng hình thành và phát triển các năng lực
- Năng lực tư duy
- Năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học (công thức, kí hiệu).
- Năng lực giải quyết vấn đề.
- Năng lực hợp tác nhóm.
- Năng lực giao tiếp.
II. Chuẩn bị.


Giỏo ỏn dy thờm

inh Th Nhung

1.Chun b ca giỏo viờn:
+ K hoch dy hc, cỏc phiu hc tp, bng ph
2.Chun b ca HS:
+ Sỏch, v, nhỏp, ụn tp cỏc kin thc liờn quan bi hc
III. Phng phỏp dy hc
Tho lun nhúm, s dng phng tin dy hc trc quan, m thoi, tỡnh hung, ng
nóo, ging gii, thuyt trỡnh.
IV. Tin trỡnh bi hc v cỏc hot ng.
1. n nh
2. Kim tra kin thc c
Kiểm tra bài cũ sẽ lồng vào các hoạt động học tập của học sinh
3. Bi mi:
Hoạt động của GV
H 1: nh ngha v cỏch gii
phng trỡnh bc nht i vi
mt hm s lng giỏc.
HTP 1:
- Giỏo viờn yờu cu HS nờu nh
ngha v cỏch gii phng trỡnh
bc nht i vi 1 hslg?
- Yờu cu HS nờu mt s vớ d.
- Cho HS gii cỏc phng trỡnh
vớ d 1.
- Yờu cu HS nhn xột.
- T õy yờu cu HS nờu lờn
cỏch gii cỏc phng trỡnh dng
ny.
- GV sa sai v cho HS ghi nhn
phng phỏp gii.

Hoạt động của HS

Ni dung ghi bng
I. Phng trỡnh bc nht i
vi mt hm s lng giỏc.
Vớ d 1:
a) 4sinx + 2 = 0.
b) 3 tanx + 1 = 0.

- Tr li
- Nờu cỏc vớ d.

S :

- Tin hnh gii.



x = 6 + k 2
a)
x = 7 + k 2

6

- Nhn xột.
- Ghi nhn cỏch gii.

b) x =


+ k
6


Giáo án dạy thêm

Ho¹t ®éng cña GV
HĐTP 2: Cũng cố cách giải
phương trình bậc nhất đối với
một hàm số lượng
- Giao nhiệm vụ và theo dõi
hoạt động của HS, hướng dẫn
khi cần thiết
- Nhận và chính xác hoá kết
quả của 1 hoặc 2 HS hoàn
thành trước
- Đánh giá kết quả hoàn thiện
của từng HS

Đinh Thị Nhung

Ho¹t ®éng cña HS

Nội dung ghi bảng
Ví dụ 2 : Giải các phương
trình sau :
a) 3cosx + 7 =0
b) 3 cotx + 3 = 0

- Đọc đầu bài và nghiên cứu

ĐS:

cách giải

a) phương trình vô nghiệm

- Độc lập tiến hành giải
- Thông báo kết quả cho GV

7
3

vì − < −1
b) x = −

π
+ kπ
6

Ho¹t ®éng cña GV
HĐTP 3: Phương trình đưa
về phương trình bậc nhất đối
với một hàm số lượng giác
- Giao nhiệm vụ cho từng

Ho¹t ®éng cña HS
- Hoạt động nhóm để tìm kết

Nội dung ghi bảng
Ví dụ 3: Giải các phương trình

quả bài toán

sau :

- Đại diện nhóm trình bày kết

a) 5cosx - 2sin2x = 0 ;

nhóm

quả

b) 8sinx cosx cos2x = -1 ;

- Theo giỏi HĐ học sinh

- Đại diện nhóm nhận xét lời

c) cot2x = cot22x .

- Yêu cầu đại diện mỗi nhóm

giải của bạn

ĐS:

lên trình bày và đại diện

- Phát hiện sai lầm và sữa

a) pt ⇔ cos x ( 5 − 4sin x ) = 0

nhóm khác nhận xét

chữa

- Sửa chữa sai lầm

- Ghi nhận kiến thức

- Chính xác hoá kết quả

⇔ cos x = 0 ⇔ x =

π
+ kπ
2

b) pt ⇔ sin 4 x = −

1
2

π kπ

x
=

+

24
2
⇔
7
π
k
π
 x=
+

24 2
π kπ

x = 4 + 2
c) 
 x = π + kπ

8 2


Giỏo ỏn dy thờm

inh Th Nhung

Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
H 2: nh ngha v cỏch gii
phng trỡnh bc hai i vi
mt hm s lng giỏc
HTP 1:
- Giỏo viờn yờu cu hs nờu nh
ngha v cỏch gii phng
trỡnh bc hai i vi mt hm
- Tr li
s lng giỏc.

Ni dung ghi bng
II. Phng trỡnh bc hai i

- Yờu cu HS nờu mt s vớ d.

a) x = k 2

- Yờu cu HS gi cỏc phng
trỡnh vớ d 4.

- Ghi nhận cách giải.

khi cn thit

Hoạt động của HS

1 hoc 2 HS hon
thnh trc
- ỏnh giỏ kt qu
hon thin ca tng
HS

S:

109
+ k
6
109
+ k
6

Ni dung ghi bng
Ví dụ 5 : Giải các phơng trình sau :

nghiờn cu cỏch gii

x
- 2=0
2
x
Giải : Đặt t = sin ( - 1 ÊÊt 1) ta có :
2
ột = - 2 loai
( )


2

2t + 2t - 2 = 0

2
ờt =

2


- c lp tin hnh

Với t = 2 ta có :

2 sin 2

- c u bi v

- Nhn xột v chớnh
xỏc hoỏ kt qu ca

b) 3cot2x - 5cotx - 7 = 0.

- Tiến hành giải.

- GV sa sai v cho HS ghi
nhn phng phỏp gii.

ca HS, hng dn

a) 3cos2x - 6cosx + 3 = 0.


5
x = arccot
b)

5+
x = arccot


- Nhận xét.

theo dừi hot ng

Vớ d 4:

- Nêu các ví dụ.

- Yờu cu HS nhn xột.

Hoạt động của GV
HTP 2: Cng c
cỏch gii phng
trỡnh bc hai i vi
mt hm s lng
gic
- Giao nhim v v

vi mt hm s lng giỏc.

gii
- Thụng bỏo kt qu
cho GV

x
+
2

2 sin

2

x
=
2
ộx
ờ =

ờ2
ờx =

ở2
sin

2
x
p
sin = sin
2
2
4

p
+ k 2p, k ẻ Z
4

3p
+ k 2p, k ẻ Z
4


ờx = p + k 4p, k ẻ Z

2

3
ờx = p + k 4p, k ẻ Z

2



Giỏo ỏn dy thờm

inh Th Nhung

Hoạt động của
GV

HTP3 : Phng
trỡnh
a
v
phng trỡnh bc
hai i vi mt
hm s lng
giỏc.
iu
kin
phng trỡnh ny
l gỡ ?
- Hóy tỡm cỏch
bin
i
v
phng trỡnh
dng quen thuc ?
+ Hóy a cotx v
theo tanx ?
+ T ú quy ng
v kh mu
a v phng
trỡnh bc hai theo
tanx
- Yờu cu hc sinh
gii phng trỡnh
ú.
- Cho HS kt lun

Hoạt động của HS

Ví dụ 6: Giải phơng trình sau :
a) 3 tanx - 6cotx +2 3 - 3 = 0 (**)
. b) t an x (1 + cot 2 x ) = 2
Giải : ĐK : cosx ạ 0 và sinx ạ 0.
(**)


- Tr li
(cosx ạ 0 v sinx ạ 0).
- Tin hnh bin i.
+ cotx =

1
.
t an x

b) Giao nhim v
v theo dừi hot

+

thit
- Nhn xột v
chớnh xỏc hoỏ kt
qu ca 1 hoc 2
HS hon thnh
trc
- ỏnh giỏ kt qu
hon thin ca
tng HS

6
+ 2 3- 3=0
t an x

(

)

3 t an 2 x + 2 3 - 3 t an x - 6 = 0

Đặt tanx = t, ta có :

(

)

2
3t + 2 3- 3 t-6=0

t = 3 hay t = - 2

+ Với t = 3 ta có :
p
3

p
+ k p, k ẻ Z
3
+ Với t = - 2 ta có :
t an x = - 2 x = arct an ( - 2) + k p
x=

(

)

3 t an 2 x + 2 3 - 3 t an x - 6 = 0

.
- Tin hnh gii phng trỡnh
tỡm c.
- Kt lun v nghim phng
trỡnh ó cho.
c u bi v nghiờn cu cỏch

ng ca HS,
hng dn khi cn

3 t an x -

t an x = 3 t an x = t an

nghim phng
trỡnh ó cho.

Ni dung ghi bng

gii
- c lp tin hnh gii
- Thụng bỏo kt qu cho

Các giá trị này đều thoả mãn điều kiện
nên nó là nghiệm của phơng trình đã
cho.


Giáo án dạy thêm

Ho¹t ®éng cña GV
HĐ 3: Phương trình

Đinh Thị Nhung

Ho¹t ®éng cña HS

Nội dung ghi bảng
Ví dụ 7: Giải phương trình sau:

thuần nhất bậc hai đối

2 sin 2 x - 5 sin x cosx - cos2 x = - 2

với sin x, cos x .
- Hãy tìm cách biến
đổi để đưa về phương

Giải :

- Tiến hành biến đổi.

Ta thấy cosx = 0 không thoả

trình quen thuộc.

mãn phương trình (1).

+ Hãy kiểm tra xem

Với cosx ¹ 0 chia hai vế pt( 1)
+ cosx = 0 có thoả mãn pt.

cho cos2x ta được :

+ Chia hai vế phương

+ Chia hai vế cho cos2x ta được

2 t an 2 x - 5 t an x - 1 = -

trình cho cos2x ?

2 tan 2 x - 5 t an x - 1 = - 2 1 + tan 2 x

- Hãy giải phương

- Tiến hành giải phương trình tìm
được.

cosx = 0 có thoả mãn
pt không ?

(

)

Û 4 t an 2 x - 5 t an x - 1 = 0
ét an x = 1
ê
Û ê
êt an x = 1
ê
4
ë

trình tìm được ?
- Từ đây hãy nêu lên
cách giải phương
trình dạng này ?
- Đưa ra cách giải thứ

- Nêu cách giải phương trình dạng
này
(Kiểm tra xem cosx = 0 hay sinx =
0 có thoả mãn pt đã cho hay
không; với cosx ¹ 0 hay sinx ¹
0 chia hai vế phương trình đã cho
cos2x hay sin2x đưa về pt quen
thuộc )

hai cho phương trình
này

- Nghe và hiểu

2
cos2 x

· t an x = 1 Û x =
· t an x =

p
+ k p, k Î Z
4

1
1
Û x = arct an + k p
4
4

C2: Phương trình tương đương
với
5
1 + cos 2 x
1 − cos 2 x - sin 2 x −
= −2
2
2
⇔ 5sin 2 x + 3cos 2 x = 5
π

⇔ sin ( 2 x + α ) = cos α = sin  − α ÷
2

π

 x = 4 − α + kπ
⇔
 x = π + kπ

4

Với cos α =

5
3
,sin α =
34
34


Giỏo ỏn dy thờm

Hoạt động của GV
H 4 : Phng trỡnh

inh Th Nhung

Hoạt động của HS

Ni dung ghi bng
Vớ d 8: Gii phng trỡnh

bc nht i vi

sin x +

Gii :
Chia c hai v ca phng trỡnh cho

sin x, cos x

- Cho HS nhc li nh

3 cos x = 1

- Tr li

ngha v cỏch gii?
Ly VD
- Hng dn HS gii.

- Tin hnh gii di

- Yờu cu HS gii

hng dn ca GV.

phng trỡnh ú.

2
Khi ú ta c: sin x +
ổ pử
ữ 1


3 cos x = 1

sin ỗ
x+ ữ
=


ữ 2
3ứ

ổ pử
p

sin ỗ
x+ ữ
= sin




3ứ
6



ờx = - p + k 2p

6

(k ẻ Â )
ờx = p + k 2p

2


4. Cng c :
- Nhc li cỏch gii cỏc phng trỡnh lng giỏc thng gp.
- Bi tp:
B1) Gii cỏc phng trỡnh sau:
a) sin 2 x - 2 sin x - 3 = 0 ;
b) cos 2x - sin x + 2 = 0 ;
2
d) t an x - 5 t an x + 6 = 0 ; e) 2 cos 2x - 5 sin x - 2 = 0 ;
g) cos 2x + 4 sin x - 1 = 0 ; h) cos 4x - 2 sin 2x - 1 = 0
j) 3 cos2 + 5 sin x - 5 = 0 ;
k) sin 2 x - 3 cos x + 3 = 0 ;
B2) Gii cỏc phng trỡnh sau:
a)

2 - cos x
= 1;
cos 2x

b)

sin 2 x + sin x
= - 2;
sin x - 1

B3) Gii cỏc phng trỡnh sau:
a) sin 5x - cos 5x + 1 = 0 ;
b) sin 3x + cos 3x = 1 ;
d) 3 cos 2x - 4 sin 2x = 1 ;
e) sin x - 3 cos x = 1 ;
g) 1 + 2 sin x = 2 cos x ;
h) 4 cos x - 3 sin x = 3 ;
5. Dn dũ
Lm cỏc bi tp

c) 3 cos2 x + 2 cos x - 5 = 0 ;
f) cos 2x - 7 cos x + 1 = 0 ;
i) 2 cos 2x + 4 sin x - 5 = 0 ;

c)

cos 2x + sin x
+ 1= 0;
sin x - 1

c) 2 sin 5x = 6 - 2 cos 5x ;
f) 3 sin 2x + cos 2x = 2 ;
i) 3 cos 3x + 4 sin 3x = 5 ;


Giáo án dạy thêm

Đinh Thị Nhung

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Ngày soạn: 01/10/2016
I. Mục tiêu.
Kí duyệt của tổ trưởng
Nguyễn Tuấn Anh
1. Kiến thức
Nắm được khái niệm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác.
2. Kĩ năng : Tìm được giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác đơn giản.
3. Về tư duy, thái độ
- Hiểu và vận dụng. Cẩn thận, chính xác. Tích cực hoạt động; rèn luyện tư duy khái
quát.
4. Định hướng hình thành và phát triển các năng lực
- Năng lực tư duy
- Năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học (công thức, kí hiệu).
- Năng lực giải quyết vấn đề.
- Năng lực hợp tác nhóm.
- Năng lực giao tiếp.
II. Chuẩn bị.
1.Chuẩn bị của giáo viên:
+ Kế hoạch dạy học, các phiếu học tập, bảng phụ
2.Chuẩn bị của HS:
+ Sách, vở, nháp, ôn tập các kiến thức liên quan bài học
III. Phương pháp dạy học


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×