Tải bản đầy đủ

BT nang cao ve chia het lop 6

GV: Tô Diệu Ly 0943153789
Phiếu số 20 lớp 6C3

THCS LÊ LỢI –QUẬN HÀ ĐÔNG
GV : Tô Diệu Ly : 0943153789 7/10/2016)

Bài 1 : Chứng tỏ rằng hiệu của một số và tổng các chữ số của nó chia hết cho 9
Giải
Ký hiệu S(n) là tổng các chữ số của số tự nhiên n bài toán trở thành . CTR: n – S(n) chia hết cho 9
Thật vậy giả sử n = am am−1....a1a0

( n có m + 1 chữ số ) khi đó

S(n) = am + am – 1 + …..+ a1 + a0
Ta có n = am.10n + am – 1 +

+ a1 + a0

14 2 43 .an + 999....9
14 2 43 .am – 1 +......+ 9ª1 + (am + am -1 + ....+ a1 + a0)
= 999......9

mso 9
m −1so 9
14 2 43 .an + 999....9
14 2 43 .am – 1 +......+ 9ª1 M
9 nên đặt bằng 9k ( k ∈ N)
Vì 999......9
mso 9
m −1so 9

Suy ra n = 9k + S(n)
Suy ra n – S(n) = 9k M9
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta đều có : (n + 20162017)(n + 20172016) M2
Giải
Ta co 2016 là số chăn nên 20162017 cũng là số chẵn .tương tự ta cũng có 20172016 là số lẻ
Từ đó ta có (n + 20162017)(n + 20172016 = 2n + (20162017 + 20172016) là số lẻ vì 2n là số chẵn còn
(20162017 + 20172016) là số lẻ
Suy ra trong hai số (n + 20162017) và (n + 20172016) phải có một số chẵn
Do vậy tích của chúng (n + 20162017)(n + 20172016) là một số chẵn
Vậy (n + 20162017)(n + 20172016) M2
Bài 3: chứng tỏ rằng ( 10n + 18n – 1) M27
Giải
14 2 43
Ta có 10n – 1 = 999......9
nso 9
14 2 43 + 18n = 9( 111....111
14 2 43 + 2n)
Suy ra ( 10n + 18n – 1) = 999......9
nso 9
nchuso1
14 2 43 + 2n) M3 vì tổng ( 111....111
14 2 43 + 2n) có tổng các chữ số bằng 3n M3
Ta có ( 111....111
nchuso1
nchuso1

Suy ra ( 10n + 18n – 1) M9.3 hay

( 10n + 18n – 1) M27

Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta đều có :10n + 72n -1 M81

Giải
14 2 43 , ;
Ta có 10n – 1 = 999......9
nso 9

72n = 81n – 9n

14 2 43 + 81n – 9n = 999......9
14 2 43 - 9n + 81n = 9( 111....111
14 2 43 - n) + 81n
Suy ra ( 10n + 72n – 1) = 999......9
nso 9
nso 9
nchuso1
14 2 43 - n) M9 nên 9( 111....111
14 2 43 - n) M9.9 = 81 ; 81n M81
Vì ( 111....111
nchuso1
nchuso1


GV: Tô Diệu Ly 0943153789

THCS LÊ LỢI –QUẬN HÀ ĐÔNG

Suy ra 10n + 72n -1 M81
14 2 43 chia hết cho 9 ( n ∈ N* )
Bài 5: Cho A = 8n + 111....111
nchuso1

Giải
14 2 43 - n = 9n + ( 111....111
14 2 43 - n)
A = 9n + 111....111
nchuso1
nchuso1
14 2 43 có tổng bằng n nên ( 111....111
14 2 43 - n) chia hết cho 9 ( xem bài 1)
Vì 111....111
nchuso1
nchuso1

Hoặc có thể giải như sau
111....111
14 2 43 có tổng các chữ số bằng n nên 111....111
14 2 43 và số n khi chia cho 9 có cùng số dư do đó
nchuso1

nchuso1

14 2 43 - n) M9
( 111....111
nchuso1
14 2 43 - n) M9 nên A M9
Vì 9n M9 và ( 111....111
nchuso1

Bài 6: Cho n ∈ N , chứng minh rằng n2 + n + 1 không chia hết cho 4 và không chia hết cho 5
Giải
Ta có n2 + n + 1 = n(n + 1) là tích của hai số tự nhiên liên liếp nên chia hết cho 2
Suy ra n(n + 1) + 1 là số lẻ nên không chia hết cho 4
n(n + 1) là tích của hai số tự nhiên liên liếp nên không có tận cùng là 4 hoặc 9
nên n(n + 1) + 1 không có tận cùng là 0 hoặc 5 do đó không chia hết cho 5
Bài 7: Tổng các chữ số của số tự nhiên a ký hiệu là S(a) .Chứng minh rằng nếu S(a) = S(2a) thì a
chia hết cho 9
Giải
Ta đã biết : một số tự nhiên a và tổng các chữ số của nó khi chia cho 9 có cùng số dư nên
a – S(a) M9 , và 2a – S(2a) M9
Xét hiệu [ 2a − S (2a) − ( a − S ( a))] M9
Suy ra a – S(2a) + S(a) M9 suy ra a M9 (vì S(a) = S(2a))
Bài 8: biết rằng số tự nhiên n chia hết cho 2 và (n2 – n ) M5. Tìm chữ số tận cùng của n
Giải
Vì n M2 nên chữ số tận cùng của n là số chẵn
Vì n2 – n = n(n – 1) M5 nên hoặc n M5 hoặc n – 1 M5 do đó n có chữ số tận cùng là 0 , 5 hoặc n- 1 có
tân cùng là 0,5. Tức là n có chữ số tận cùng là 0;5;1;6
Kết hợp hai kết quả trên ta suy ra n có chữ số tận cùng là 0 hoặc 6
Bài 9: Chứng minh rằng : 5n – 1 M4
Giải
Nếu n = 1 thì 5n – 1 M4

( n ∈ N* )


GV: Tô Diệu Ly 0943153789

THCS LÊ LỢI –QUẬN HÀ ĐÔNG

Nếu n > 1 thì 5n có hai chữ số tận cùng là 25 suy ra 5n – 1 có hai chữ số tận cùng là 24, chia hết cho
4 .Vậy 5n – 1 M4
Bài 10: Biết rằng 1978a + 2012b + 78a + 10b cùng chia hết cho 11 Chứng minh rằng a và b cũng
chia hết cho 11
Giải
Ta có (1978a + 2012b) – (78a + 10b) = 1900a + 2002b M11
Mà 2002 M11 nên 2002b M11 ⇒ 1900a M11 ⇒ a M11
Vì 78a + 10b M11 và 78a M11 ⇒ 10b M11 ⇒ b M11
Bài 11: tìm số tự nhiên có bốn chữ số ,sao cho khi nhân số đó với 9 ta được số mới gồm chính các
chữ số ấy nhưng viết theo thứ tự ngược lại
Giải
a =1
và (b + c + 1) M9 = ( n – 2)2
d
=
9


Gọi số cần tìm là abcd , ta có 9. abcd = dcba suy ra 
b + c ∈ { 8;17}
Vì 9.1bc9 = 9cb1 nên 9b < 10 ⇒ b ∈ { 0;1}

Nếu b = 1 thì c = 7 .Thử lại ta thấy 9. 1179 ≠ 9. 9711 ( loại)
Nếu b = 0 thì c = 8 thử lại ta thấy 9. 1089 = 9. 9801 ( loại thỏa mãn
Vậy số cần tìm 1089
Bài 12 : tìm số tự nhiên có ba chữ số abc sao cho abc = n2 – 1 và cba = ( n – 2)2
với ( n ∈ N, n > 2 )
Giải
abc - cba = n2 – 1 - ( n – 2)2 = 99(a – c ) = 4n – 5 = > 4n – 5 M99

(1)

Vì n2 = abc + 1 => 101 < n2 < 1000 => 10 < n < 32 => 35 < 4n – 5 < 123

(2)

Từ (1);(2) => 4n – 5 = 99 => 4n = 104

=> n = 26

Do vậy abc = 675 . Thử lại ta có cba = 576 = (26 – 2)2 là đúng
Vậy abc = 675
Bài 13: ký hiệu S(n) là tổng các chữ số của số tự nhiên n .Tìm n biết rằng n + S(n) = 94
Giải
Vì n + S(n) = 94 => n là số có hai chữ số
Giả sử n = ab ( với a,b ( n ∈ N a ≠ 0) ta có
n + S(n) = ab + ( a + b) = 11a + 2b = 94


GV: Tô Diệu Ly 0943153789
a M2
a M2

=> ra 
=> a = 8
76 ≤ a ≤ 94
 a ∈ { 7;8;9}


=> 

Từ đó 11.8 + 2b = 94 => b = 3
Vậy n = 83.
Bài 14 chứng minh răng
a) n(n + 14)(2n + 11) M3
b) y(y – 1)(2y – 4) M3
c) x(x +17)(2x + 17) M3
d) k(k + 11)(2k + 5) M3

THCS LÊ LỢI –QUẬN HÀ ĐÔNG



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×