Tải bản đầy đủ

Phương pháp hiệu chỉnh cải biên cho thuật toán điểm gần kề tìm không điểm của toán tử đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN BÍCH LƯƠNG

.

PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH CẢI BIÊN
CHO THUẬT TOÁN ĐIỂM GẦN KỀ TÌM
KHÔNG ĐIỂM CỦA TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN BÍCH LƯƠNG


PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH CẢI BIÊN
CHO THUẬT TOÁN ĐIỂM GẦN KỀ TÌM
KHÔNG ĐIỂM CỦA TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số:

60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG

Thái Nguyên - 2015


i

Mục lục

Lời cảm ơn

ii

Danh sách ký hiệu

iii

Lời mở đầu

1

1

Một số vấn đề cơ bản

2

1.1


Không gian Hilbert và một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi trong không gian Hilbert . . .

5

1.3

Phương pháp hiệu chỉnh giải phương trình với toán tử đơn điệu . 11

2

Phương pháp hiệu chỉnh cải biên cho thuật toán điểm gần kề tìm
không điểm của toán tử đơn điệu

17

2.1

Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2

Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3

Sự hội tụ của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Kết luận

34

Tài liệu tham khảo

35


ii

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS Nguyễn Bường, người đã tận
tình chỉ bảo, định hướng, chọn đề tài và truyền đạt kiến thức để tôi có thể hoàn
thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong trường
Đại học Khoa học Thái Nguyên, đặc biệt là các thầy cô trong Khoa Toán - Tin,
đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và học tập.
Qua đây tôi cũng xin gửi lời cảm ơn Trường Cao đẳng Sư phạm Hưng Yên,
tập thể lớp Cao học K7Y, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên, góp ý và
cho tôi những nhận xét quý báu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót,
tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các quý thầy cô và các bạn để
luận văn được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 12 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Bích Lương


iii

Danh sách ký hiệu
Trong toàn luận văn, ta dùng những ký hiệu với các ý nghĩa xác định trong
bảng dưới đây:
R

không gian số thực

H

không gian Hilbert thực

X∗

không gian đối ngẫu của X

domA

miền hữu hiệu của A

D(T )

miền xác định của T

R(T )

miền ảnh của T

NC (x)

nón pháp tuyến tại điểm x trên tập C

Fix(S)

tập điểm bất động của ánh xạ S
tích vô hướng của hai vectơ x và y

x, y

hàm chỉ trên C

δC (.)

chuẩn của vectơ x

x

xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x
xn

x dãy {xn } hội tụ yếu tới x

x := y

x được gán bằng y

∀x

mọi x

∃x

tồn tại x



tập rỗng

I

ánh xạ đơn vị


1

Lời mở đầu
Toán tử đơn điệu là một trong những lĩnh vực của giải tích hiện đại đã và
đang được nhiều nhà toán học hàng đầu thế giới nghiên cứu, đặc biệt phải kể
đến như Browder F. E, Rockafellar R. T, Minty G. J. Bên cạnh các kết quả đặc
biệt có ý nghĩa về mặt lý thuyết, toán tử đơn điệu là một trong những công
cụ được sử dụng nhiều và rất có hiệu quả trong lĩnh vực toán ứng dụng chẳng
hạn như bất đẳng thức biến phân. Nó giúp ích cho việc nghiên cứu ánh xạ dưới
gradient và gradient, chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho rất nhiều
các lớp bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán tối ưu.
Mục đích của luận văn là trình bày một phương pháp hiệu chỉnh cải biên
cho thuật toán điểm gần kề để chứng minh rằng một dãy lặp {xn } hội tụ mạnh
đến x∗ là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân F x∗ − u, x∗ − p ≤ 0.
Luận văn được trình bày trong hai chương:
Trong Chương 1 chúng tôi xin trình bày về khái niệm không gian Hilbert,
một số ví dụ minh họa và bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi trong không gian đó.
Thuật toán điểm gần kề, khái niệm bài toán đặt không chỉnh và phương pháp
hiệu chỉnh Tikhonov dựa trên phương trình với toán tử đơn điệu cũng được trình
bày trong chương này.
Chương 2 dành cho việc mô tả phương pháp hiệu chỉnh cải biên thuật toán
điểm gần kề và chứng minh nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân dựa
trên một số kết quả bổ trợ.


2

Chương 1

Một số vấn đề cơ bản
Chương này nhắc lại một số kiến thức của giải tích hàm, giải tích lồi và bài
toán đặt không chỉnh. Không gian Hilbert và một số ví dụ được xét trong mục
1.1. Mục 1.2 nhắc lại bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi trong không gian Hilbert.
Trong mục 1.3 trình bày phương pháp hiệu chỉnh giải phương trình với toán tử
đơn điệu. Kiến thức trong chương này được tham khảo trong các tài liệu [1],
[2], [3].

1.1

Không gian Hilbert và một số ví dụ

Trong mục này, tôi xin trình bày về khái niệm không gian Hilbert và một số
ví dụ về không gian đó.
Định nghĩa 1.1. Cho H là không gian tuyến tính trên trường R. Một tích vô
hướng trong H là một ánh xạ ., . : X × X → R thỏa mãn các điều kiện sau
đây:
i. x, y = y, x với mọi x, y ∈ H.
ii. x + y, z = x, z + y, z với mọi x, y, z ∈ H.
iii. λx, y = λ x, y với mọi x, y ∈ H; λ ∈ R.
iv. x, x ≥ 0 với mọi x ∈ H và x, x = 0 khi và chỉ khi x = 0.
Số x, y được gọi là tích vô hướng của hai vectơ x và y . Cặp (H, ·, · ) được
gọi là không gian tiền Hilbert (hay còn gọi là không gian Unita).


3
Từ định nghĩa ta thấy rằng tích vô hướng ·, · chính là một dạng song tuyến
tính xác định dương trên H. Khi đó H được gọi là không gian tiền Hilbert thực.
Định lí 1.1. Cho H là không gian tiền Hilbert với x, y ∈ H, ta luôn có bất
đẳng thức sau

| x, y |2 ≤ x, x y, y .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x, y phụ thuộc tuyến tính.
Chứng minh. Hiển nhiên bất đẳng thức đúng với y = 0. Giả sử y = 0. Với mọi
số λ, ta đều có

x + λy, x + λy ≥ 0
tức là

x, x + λ y, x + λ x, y + |λ|2 y, y ≥ 0.
Lấy λ = −

x, y
, ta được
y, y
x, x −

2

x, y
y, y

≥ 0,

từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.
Định lí 1.2. Cho H là không gian tiền Hilbert. Khi đó x = x, x

1/2

,x∈H

xác định một chuẩn trên H.
Chứng minh. Từ điều kiện d) của Định nghĩa 1.1 suy ra rằng nếu x = 0 thì

x = 0. Từ a) và c) suy ra λx

2

= λx, λx = |λ|2 x 2 , từ đó λx =

|λ| x , với mọi x ∈ H, λ ∈ R.
Với mọi x, y ∈ H

x+y

2

= x + y, x + y = x

2

+ y, x + x, y + y

≤ x

2

+ 2| x, y | + y

2

2


4
(vì x, y + y, x = 2Re x, y ≤ 2 | x, y |).
Do đó, theo bất đẳng thức Schwarz.

x+y

2

≤ x

2

+2 x

y + y

2

= ( x + y )2

tức là x + y ≤ x + y .
Như vậy, một không gian tiền Hilbert là một không gian tuyến tính định
chuẩn.
Định nghĩa 1.2. Nếu H là một không gian tiền Hilbert và đầy đủ đối với chuẩn
cảm sinh từ tích vô hướng thì được gọi là không gian Hilbert.
Sau đây là một số ví dụ về không gian Hilbert.
Ví dụ 1.1. Rn là không gian Hilbert thực với tích vô hướng x, y =

n
i=1 xi yi ,

trong đó:

x = (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ Rn , y = (y1 , y2 , · · · , yn ) ∈ Rn .
Ví dụ 1.2. Xét không gian:

2

l =

|xn |2 < +∞ .

x = (xn )n ⊂ K :
n=1

Ta đã biết l2 là không gian Banach với chuẩn


(1.1)

|xn |2 .

x=
n=1

Với x = (xn )n∈R , y = (yn )n∈R ∈ l2 , nhờ bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
2



xn yn

≤ x

2

y

2

< +∞.

n=1

Dễ kiểm tra rằng: x, y =


n=1 xn yn

xác định một tích vô hướng trong l2 và

nó cảm sinh (1.1). Vậy l2 là một không gian Hilbert.


5
Ví dụ 1.3. Cho (X, A, µ) là một không gian độ đo và E ∈ A. Xét không gian




2
2
L (E, µ) = f : E → R |f | dµ < ∞


E

ta đã biết L2 (E, µ) là một không gian Banach với chuẩn
 12



|f |2 dµ .

f =
E

Hơn nữa, với f, g ∈ L2 (E, µ), từ bất đẳng thức H¨older về tích phân, ta có


 12 

|f g|dµ ≤ 

|f |2 dµ 

E

E

 12

|g|2 dµ < +∞.

E

Ta dễ dàng kiểm tra được

f, g =

f gdµ,
E

xác định một tích vô hướng trong L2 (E, µ) và L2 (E, µ) là không gian Hilbert
thực.

1.2

Bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi trong không gian
Hilbert

Trước hết ta nhắc lại một số kiến thức của giải tích lồi như tập lồi, hàm lồi,
dưới vi phân,...
Định nghĩa 1.3. Một tập C ⊆ H được gọi là tập lồi nếu

∀x, y ∈ C,

∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C.

Định nghĩa 1.4. i. Một tập C ⊆ H được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu

∀x ∈ C,

∀λ > 0 ⇒ λx ∈ C.


6
ii. C được gọi là nón có đỉnh tại x0 nếu C − x0 là nón có đỉnh tại 0.
iii. Nón C có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi nếu C là một tập lồi, nghĩa là

∀x, y ∈ C,

∀λ, µ > 0 ⇒ λx + µy ∈ C.

Cho C ⊂ H là tập lồi khác rỗng và ánh xạ f : C → R ∪ {+∞}. Ta có các
định nghĩa về hàm lồi như sau:
Định nghĩa 1.5. i. Trên đồ thị của hàm f , kí hiệu là epif và được định nghĩa
bởi công thức sau:

epif := {(x, r) ∈ C × R : f (x) ≤ r} .
ii. Miền hữu hiệu của hàm f , kí hiệu domf và được định nghĩa bởi công thức
sau:

domf := {x ∈ C : f (x) < +∞} .
Định nghĩa 1.6. Hàm f được gọi là chính thường nếu domf = 0 và f (x) >

−∞ với mọi x ∈ C.
Định nghĩa 1.7. Hàm f được gọi là
i. Lồi trên C nếu

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y),

∀x, y ∈ C,

∀λ ∈ [0, 1].

ii. Lồi ngặt trên C nếu

f (λx+(1−λ)y) < λf (x)+(1−λ)f (y),

∀x, y ∈ C,

x = y,

∀λ ∈ (0, 1).

iii. Lồi mạnh trên C với hệ số α > 0 nếu với ∀x, y ∈ C , ∀λ ∈ (0, 1) ta có:

1
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)α x − y
2
iv. Lõm trên C nếu −f là hàm lồi trên C .

2

.


7
Định nghĩa 1.8. Giả sử f là hàm lồi trên H.
i. Phiếm hàm x∗ ∈ H được gọi là dưới đạo hàm của hàm f tại x ∈ H nếu

x∗ , x − x ≤ f (x) − f (x),

∀x ∈ H.

ii. Tập tất cả các dưới đạo hàm của f tại x được gọi là dưới vi phân của hàm f
tại x, kí hiệu là ∂f (x), một cách tương đương ta có

∂f (x) := {x∗ ∈ H : x∗ , x − x ≤ f (x) − f (x),

∀x ∈ H} .

iii. Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x nếu ∂f (x) = 0.
Định nghĩa 1.9. Cho X, Y ∈ H và F : X → 2Y là ánh xạ từ X vào tập hợp
gồm toàn bộ các tập con của Y (được kí hiệu là 2Y ). Khi đó ta nói F là ánh xạ
đa trị từ X vào Y . Như vậy với mỗi x ∈ X, F (x) là một tập con của Y (F (x)
có thể là tập rỗng).
Định nghĩa 1.10. Ánh xạ đa trị F : H → 2H được gọi là
i. Nửa liên tục trên tại x ∈ domF nếu với mọi tập mở V ⊃ F (x), tồn tại lân
cận mở U của x sao cho

F (x ) ⊆ V,

∀x ∈ U.

ii. Nửa liên tục dưới tại x ∈ domF nếu mọi tập mở V ⊂ H thỏa mãn F (x) ∩

V = ∅, tồn tại lân cận mở U của x sao cho
F (x ) ∩ V = ∅,

∀x ∈ U ∩ domF.

iii. Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) trên H nếu F nửa
liên tục trên (nửa liên tục dưới) tại mọi điểm
iv. F được gọi là liên tục tại x ∈ domF nếu F đồng thời nửa liên tục trên và
nửa liên tục dưới tại x.
v. Nếu F liên tục tại mọi điểm thuộc H thì F được gọi là liên tục trên H.


8
Dưới đây là một số khái niệm về toán tử đơn điệu, toán tử đơn điệu cực đại
và ví dụ.
Định nghĩa 1.11. Toán tử đa trị T : H → 2H được gọi là toán tử đơn điệu nếu

u − v, x − y ≥ 0,

∀x, y ∈ domT,

∀u ∈ T x,

∀v ∈ T y.

Ví dụ 1.4. .Cho f : H → R ∪ {+∞} là hàm lồi, chính thường. Ánh xạ dưới
vi phân ∂f : H → 2H của f là toán tử đơn điệu đa trị trên dom(∂f ).
Ánh xạ đối ngẫu I là toán tử đơn điệu. Trong không gian Lp (Ω), I còn có
tính chất đơn điệu đều và liên tục theo H¨older, vì

I(x) − I(y), x − y ≥ mI x − y
I(x) − I(y) ≤ c(R) x − y

ϑ

s

, mI > 0

(1.2)

, 0 < ϑ ≤ 1,

Định nghĩa 1.12. Toán tử đơn điệu T : H → 2H được gọi là cực đại nếu đồ thị
của T không là tập con thực sự của đồ thị của bất kì một toán tử đơn điệu nào
khác.
Ví dụ 1.5. Toán tử đa trị:T : R → 2R cho bởi công thức:




1
nếu x > 0,



T (x) = [0, 1] nếu x = 0,





−x2
nếu x < 0.
là toán tử đơn điệu cực đại.
Định lí 1.3. Cho hàm số f : H → R ∪ {+∞} là hàm lồi, chính thường, nửa
liên tục dưới. Khi đó ánh xạ đa trị T : H → 2H cho bởi công thức

T (x) = ∂f (x)
là toán tử đơn điệu cực đại.


9
Tiếp theo chúng tôi phát biểu bài toán cực tiểu hàm lồi và thuật toán điểm
gần kề cho bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại.
Bài toán cực tiểu hàm lồi được phát biểu như sau:
Tìm z ∈ H sao cho f (z) = min f (x).
x∈H

Điểm cực tiểu của bài toán trên chính là không điểm của toán tử đơn điệu
cực đại T = ∂f . Để tìm không điểm của T , Rockafellar R. T. đã phát triển thuật
toán điểm gần kề cho bài toán tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại T
trong không gian Hilbert thực H.
Theo Định lí 1.3 nếu T là dưới vi phân của một hàm lồi, chính thường, nửa
liên tục dưới f : H → R ∪ {+∞} (tức là T = ∂f ) thì T là toán tử đơn điệu
cực đại.
Theo định lí Minty, với mỗi z ∈ H và ck > 0, tồn tại duy nhất u ∈ H sao
cho

z ∈ (I + ck T )(u).
Khi đó, toán tử Pk = (I + ck T )−1 là đơn trị, xác định trên toàn bộ H và Pk là
toán tử không giãn, tức là

Pk (z) − Pk (z ) ≤ z − z
khi và chỉ khi

z ∈ (I + ck T )(z) = z + ck T (z)
hay 0 ∈ ck T (z). Do đó z là không điểm của ánh xạ T .
Giả sử T là toán tử đơn điệu cực đại, khi đó thuật toán điểm gần kề được
trình bày như sau:
Thuật toán 1.1
Bước 0. Chọn một dãy số dương {ck } thỏa mãn ck > c > 0 với mọi k = 0, 1, ...,


10
tìm z 0 ∈ H.
Bước k (k = 0, 1, ...). Xây dựng điểm z k+1 thông qua công thức

z k+1 := Pk (z k ) = (I + ck T )−1 (z k )
Trong trường hợp tổng quát, một điều rất khó thực hiện được ở Thuật toán 1.1
là việc tính toán chính xác điểm z k+1 = Pk (z k ). Thuật toán dưới đây sẽ thay
thế cách tính chính xác điểm z k+1 bằng cách tính xấp xỉ với một sai số

k



thuật toán vẫn đảm bảo được sự hội tụ.
Thuật toán 1.2
Bước 0. Chọn một dãy số dương ck : ck > c > 0 và

k=1 k

sao cho

k

> 0 với mọi k = 0, 1, ...

< +∞, lấy ω 0 ∈ H.

Bước k : (k = 0, 1, ...). Chọn điểm ω k+1 thỏa mãn

ω k+1 − xk+1 ≤

k+1 ,

với xk+1 := Pk (ω k ) = (I + ck T )−1 (ω k ).
Nhận xét. Nếu ta thay thế điều kiện


k=1 k

< +∞ chỉ bởi điều kiện

k

→0

thì thuật toán có thể không hội tụ. Chẳng hạn lấy hàm f : R → R, với


−x nếu x < 0,
f (x) =

0
nếu x ≥ 0,

2
với mọi k = 1, 2, ... có tổng ∞
k=1 k = +∞ và
k
k → ∞. Ta có ánh xạ dưới vi phân của f xác định bởi




−1
nếu x < 0,



∂f (x) = [−1, 0] nếu x = 0,





0
nếu x > 0.
và dãy

k

:=

k

→ 0 khi

Khi đó, Pk (z) = z hay 0 ∈ T (z) khi và chỉ khi z ≥ 0. Ta chọn một dãy z k
sao cho


11
Pk (z k ) = z k , z k+1 − z k =
Ta có thể tính toán được rằng

1
2

k

1
= ,
k

∀k = 1, 2, ... và z k+1 > z k .

n−1
n

1

z =z +
k=1

1
.
k

Như vậy, dãy {z k } không hội tụ.
Sự hội tụ của thuật toán điểm gần kề được phát biểu qua định lí sau:
Định lí 1.4. Cho T : H → 2H là ánh xạ đơn điệu cực đại. Khi đó, nếu T có
không điểm thì dãy điểm {ω k } hội tụ yếu tới ω ∗ sao cho 0 ∈ T (ω ∗ ). Nếu T
không có không điểm thì dãy {ω k } không bị chặn.

1.3

Phương pháp hiệu chỉnh giải phương trình với toán
tử đơn điệu

Trong phần này chúng tôi xét bài toán đặt không chỉnh dạng phương trình
toán tử

A(x) = f,

f ∈Y

(1.3)

trong đó A là một toán tử (ánh xạ) từ một không gian metric X vào không gian
metric Y nào đó.
Khái niệm về bài toán chỉnh được J. Hadamard đưa ra khi nghiên cứu về ảnh
hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của các phương trình elliptic cũng như
parabolic.
Việc tìm nghiệm x của bất kì một bài toán nào cũng phải dựa vào dữ kiện
ban đầu f , có nghĩa là x = R(f ). Ta sẽ coi nghiệm cũng như các dữ kiện đó là
những phần tử thuộc không gian X và Y với các độ đo tương ứng là ρX (x1 , x2 )
và ρY (f1 , f2 ), x1 , x2 ∈ X, f1 , f2 ∈ Y.
Giả sử đã có một khái niệm thế nào là nghiệm của một bài toán. Khi đó, bài
toán tìm nghiệm x = R(f ) được gọi là ổn định trên cặp không gian (X, Y ), nếu


12
với mỗi số ε > 0 ta có thể tìm được một số δ(ε) > 0, sao cho từ ρY (f1 , f2 ) ≤

δ(ε) ta có ρX (x1 , x2 ) ≤ ε, ở đây
x1 = R(f1 ),

x2 = R(f2 ),

f1 , f2 ∈ Y,

x1 , x2 ∈ X

Định nghĩa 1.13. Bài toán tìm nghiệm x ∈ X theo dữ kiện f ∈ Y được gọi là
bài toán đặt chỉnh trên cặp không gian metric (X, Y ), nếu có
1. Với mỗi f ∈ Y tồn tại nghiệm x ∈ X ;
2. Nghiệm x đó được xác định một cách duy nhất;
3. Bài toán này ổn định trên cặp không gian (X, Y ).
Trong một thời gian dài người ta cho rằng mọi bài toán đặt ra đều thỏa mãn
ba điều kiện trên. Nhưng thực tế chỉ ra rằng quan niệm đó là sai lầm. Trong
tính toán các bài toán thực tế bằng máy tính luôn diễn ra quá trình làm tròn số.
Chính sự làm tròn đó đã dẫn đến các kết quả sai lệch đáng kể.
Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn, bài toán tìm nghiệm
được gọi là bài toán đặt không chỉnh. Đôi khi người ta gọi là bài toán đặt không
chính quy hay bài toán thiết lập không đúng đắn.
Cũng cần lưu ý rằng một bài toán có thể thiết lập không đúng đắn trên cặp
không gian metric này, nhưng lại thiết lập đúng đắn trên cặp không gian metric
khác.
Đối với bài toán tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình (1.3) dữ kiện ban đầu
ở đây chính là toán tử A và vế phải f .
Giả sử rằng toán tử A cho trước một cách chính xác, còn vế phải f cho bởi

fδ với sai số ρY (fδ , f ) ta cần phải tìm một phần tử xδ ∈ X hội tụ đến nghiệm
chính xác x0 của (1.3) khi δ → 0. Phần tử xδ có tính chất như vậy được gọi là
nghiệm xấp xỉ của bài toán đặt không chỉnh trên. Nếu ta kí hiệu

Qδ = {x ∈ X : ρY (A(x), fδ ) ≤ δ}
thì nghiệm xấp xỉ của phương trình trên thì phải nằm trong tập Qδ . Nhưng tập


13
Qδ lại quá lớn, tức là có các phần tử cách nhau rất xa. Chính vì vậy, không phải
tất cả các phần tử của Qδ có thể coi là nghiệm xấp xỉ của (1.3) được. Vì lẽ đó,
bài toán đặt ra là phải chọn phần tử nào của Qδ làm nghiệm xấp xỉ cho (1.3).
Muốn thực hiện việc chọn đó cần thiết phải có thêm các thông tin định tính và
định lượng về nghiệm chính xác x0 . Việc sử dụng thông tin định lượng dẫn đến
phương pháp tựa nghiệm, còn việc sử dụng thông tin định tính cho ta một hướng
khác trong việc xây dựng thuật toán tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán đặt không
chỉnh (1.3).
Ví dụ 1.6. Xét chuỗi Fourier


an cos(nt)

f1 (t) =
n=0

với hệ số (a0 , a1 , ..., an , ...) ∈ l2 được cho bởi xấp xỉ cn = an +

c0 = a0 . Khi đó, chuỗi Fourier tương ứng

ε
, n ≥ 1 và
n



f2 (t) =

cn cos(nt)
n=0

cũng có hệ số (c0 , c1 , ..., cn , ...) ∈ l2 . Khoảng cách giữa chúng là
1
2



(cn − an )2

ε1 =





n=0

n=1

1
n2

1
2



π2
.
6

Do đó, khoảng cách giữa hai bộ hệ số này có thể làm nhỏ tùy ý. Trong khi đó


f2 (t) − f1 (t) = ε
n=1

1
cos(nt)
n

có thể làm lớn bao nhiêu cũng được. Ví dụ, tại t = 0 chuỗi trên phân kì. Điều
đó nói lên rằng nếu khoảng cách giữa hai hàm f1 và f2 được xét trong không
gian các hàm với độ đo đều, thì bài toán tính tổng chuỗi Fourier là không ổn
định khi hệ số của chuỗi có sự thay đổi nhỏ. Tuy nhiên, nếu xét trong không


14
gian L2 [0, π], thì
π

[f2 (t) − f1 (t)]2 dt

1
2

=

0





0

n=0



=
n=1

= ε1



π

1
2
(cn − an )cos(nt) dt


π
(cn − an )2
2

2

1
2

π
.
2

Như vậy, bài toán lại ổn định, tức là dữ kiện ban đầu an cho bởi xấp xỉ cn với sai
số khá nhỏ, thì các chuỗi Fourier tương ứng ở trên cũng sai khác nhau không
nhiều trong L2 [0, π].
Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov dựa trên
toán tử đơn điệu
Cho phương trình toán tử

A(x) = f0 ,

f0 ∈ X ∗ ,

(1.4)

trong đó A là toán tử đơn điệu và h - liên tục từ không gian Hilbert X vào X ∗ ,
ở đây X ∗ lồi chặt và có tính ES, tức là X phản xạ và mọi dãy {xn } các phần
tử xn ∈ X hội tụ yếu trong X đến x và xn → x cho ta {xn } hội tụ mạnh
đến phần tử x.
Nếu A không có tính đơn điệu đều, thì bài toán (1.4) nói chung là một bài
toán không chỉnh.
Giả sử (1.4) có nghiệm, tức là f0 ∈ R(A). Ta kí hiệu S0 là tập nghiệm của
phương trình đó. Khi đó S0 là một tập đóng và lồi trong X .
Xét phương trình

A(x) + αU s (x − x0 ) = fδ , fδ − f0 ≤ δ

(1.5)

ở đây x0 là một phần tử bất kì trong X . Phần tử này giúp cho ta tìm một nghiệm
của (1.4) theo ý muốn. Ta có kết quả sau.


15
Định lí 1.5. Với mỗi α > 0 và fδ ∈ X ∗ , phương trình (1.4) có duy nhất nghiệm
δ
xδα . Nếu α, → 0 thì xδα hội tụ đến một phần tử x0 ∈ S0 thỏa mãn
α
(1.6)

x0 − x0 = min x − x0
x∈S0

Nhờ kết quả này, ta có thể xác định được một toán tử hiệu chỉnh R(f, α),
dựa vào việc giải phương trình (1.5) và một sự phụ thuộc α = α(δ) để nghiệm
của phương trình này hội tụ đến nghiệm của bài toán không chỉnh ban đầu.
Chính vì lẽ đó mà phương trình (1.5) được gọi là phương trình hiệu chỉnh cho
phương trình (1.4).
Bây giờ, xét trường hợp tổng quát hơn, khi cả toán tử và vế phải đều biết
xấp xỉ, tức là, thay cho A ta chỉ biết được xấp xỉ Ah thỏa mãn
(1.7)

Ah (x) − A(x) ≤ hg( x )

có các tính chất như A (đơn điệu và h - liên tục), ở đây g(t) là một hàm giới nội
(đưa một tập giới nội vào một tập giới nội).
Ta có kết quả sau.
Định lí 1.6. Với mỗi α > 0, h > 0 và fδ ∈ X ∗ phương trình hiệu chỉnh

Ah (x) + αI(x − x0 ) = fδ

(1.8)

δ h
có duy nhất nghiệm xηα , η = (h, δ). Nếu α, , → 0, thì {xηα } hội tụ đến phần
α α
tử x0 .
Nếu Ah không có tính chất đơn điệu, thì phương trình (1.8) có thể không có
nghiệm. Do đó, O. A. Liskovets đã xây dựng nghiệm hiệu chỉnh xηα dựa vào bài
toán bất đẳng thức biến phân: tìm xω ∈ X sao cho

Ah (xω ) + αU s (xω − x0 ) − fδ , x − xω + εg( xω )
∀x ∈ X, ε > h,

x − xω ≥ 0, (1.9)


16
ở đây ω = ω(h, δ, α, ε). Phần tử xω thỏa mãn (1.9) được gọi là nghiệm hiệu
chỉnh của bài toán (1.4) cho trường hợp Ah không đơn điệu.
Kết luận: Chương 1 trình bày sơ lược về không gian tiền Hilbert, không
gian Hilbert đồng thời đưa ra được một số ví dụ minh họa. Phát biểu bài toán
cực tiểu phiếm hàm lồi và trình bày thuật toán điểm gần kề để giải bài toán
tìm cực tiểu. Khái niệm bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh
Tikhonov dựa trên toán tử đơn điệu cũng được trình bày trong chương này làm
cơ sở cho việc nghiên cứu chương 2.


17

Chương 2

Phương pháp hiệu chỉnh cải biên cho thuật
toán điểm gần kề tìm không điểm của toán
tử đơn điệu
Chương này là nội dung chính của luận văn trình bày phương pháp hiệu
chỉnh cải biên cho thuật toán điểm gần kề. Mục 2.1 là một số bổ đề bổ trợ. Mô
tả phương pháp hiệu chỉnh được trình bày trong mục 2.2. Phương pháp hiệu
chỉnh cải biên cho thuật toán điểm gần kề tìm không điểm của toán tử đơn điệu
được trình bày trong mục 2.3. Những kiến thức trong chương này được tham
khảo trong các tài liệu [4] - [11].

2.1

Một số bổ đề bổ trợ
Cho H là không gian Hilbert thực với tích ·, · và chuẩn · . Cho dãy

{xn } trong H, ta viết xn

x để chỉ ra rằng dãy {xn } hội tụ yếu tới x, xn → x

nghĩa là {xn } hội tụ mạnh đến x.
Một ánh xạ F được gọi là k - Lipschitz nếu tồn tại một hằng số k dương sao
cho

Fx − Fy ≤ k x − y ,

∀x, y ∈ H.

(2.1)

F được gọi là η đơn điệu mạnh nếu tồn tại một hằng số η sao cho
F x − F y, x − y ≥ η x − y

2

,

∀x, y ∈ H.

(2.2)


18
Cho A là một toán tử tuyến tính giới nội trên H thì tồn tại một hằng số γ > 0
sao cho

Ax, x ≥ γ x

2

,

∀x ∈ H.

(2.3)

Một bài toán quan trọng là cực tiểu một phiếm hàm toàn phương trên tập
các điểm bất động của một ánh xạ không giãn trên một không gian Hilbert thực

H:
min

x∈Fix(W )

1
Ax, x − x, b
2

,

(2.4)

trong đó b là một điểm bất động trong H và Fix(W ) là tập hợp các điểm bất
động của ánh xạ không giãn W .
Chú ý 2.1. Từ định nghĩa của A lưu ý rằng một toán tử tuyến tính, giới nội,
dương và mạnh A là một toán tử A - Lipschitz và γ - đơn điệu mạnh.
Cho T là một toán tử đơn điệu cực đại trên một không gian Hilbert thực H
sao cho S := T −1 (0) = 0. Với c > 0, ta kí hiệu JcT là toán tử giải của T , với

JcT = (I + cT )−1 .

(2.5)

Dễ thấy rằng JcT là toán tử không giãn mạnh và do đó

S = Fix(JcT ) = x ∈ Hx = JcT x.
Ta có các bổ đề sau:
Bổ đề 2.1. Cho t, c > 0. Khi đó, với bất kì x ∈ H,

JcT x = JtT

t
t
x+ 1−
JcT x .
c
c

(2.6)

Để chứng minh kết quả chính, chúng tôi cần bổ đề sau.
Bổ đề 2.2. Cho F là một toán tử k - Lipschitz và η - đơn điệu mạnh trên không
gian Hilbert H với 0 < η ≤ k và 0 < t < η/k 2 .
Khi đó, S = (I − tF ) : H → H là một toán tử co với hệ số co τt =

1 − t(2η − tk 2 ).


19
Bổ đề 2.3. T là một toán tử không giãn mạnh khi và chỉ khi 2T − I là không
giãn.
Bổ đề 2.4. Cho H là một không gian Hilbert, C là một tập con lồi của H và

T : C → C là một ánh xạ không giãn với F ix(T ) = 0, nếu {xn } là một dãy
trong C hội tụ yếu đến x và nếu (I − T )xn hội tụ mạnh đến y thì (I −T )x = y .
Bổ đề 2.5. Cho {xn } và {zn } là các dãy giới nội trong không gian Banach E
và {γn } là một dãy trong [0,1] thỏa mãn các điều kiện sau đây

0 < lim inf γn ≤ lim sup γn < 1.
n→∞

n→∞

(2.7)

Giả sử rằng xn+1 = γn xn + (1 − γn )zn , n ≥ 0 và lim sup( zn+1 − zn −
n→∞

xn+1 − xn ) ≤ 0. Khi đó, lim zn − xn = 0.
n→∞

Bổ đề 2.6. Cho {sn } là một dãy các số thực không âm thỏa mãn

sn+1 ≤ (1 − λn )sn + λn δn + γn ,

n ≥ 0,

(2.8)

trong đó {λn }, {δn } và {γn } thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) λn ⊂ [0, 1] và


n=0 λn

(ii) lim sup δn ≤ 0 hoặc
n→∞

(iii) γn ≥ 0(n ≥ 0),

= ∞,

n=0 λn δn


n=0 γn

< ∞,

< ∞.

Khi đó lim sn = 0.
n→∞

2.2

Mô tả phương pháp
Cho H là một không gian Hilbert thực và C là một tập con đóng, lồi,

khác rỗng của H và giả sử F : H → H là một toán tử phi tuyến tính. Bài toán
bất đẳng thức biến phân được phát biểu như sau: tìm một điểm x∗ ∈ C sao cho

F x∗ , v − x∗ ≥ 0,

∀v ∈ C.

(2.9)


20
Năm 1964, Stampacchia [7] đã đưa vào và nghiên cứu bất đẳng thức biến
phân đầu tiên. Bất đẳng thức biến phân bao gồm một số ngành đa dạng như
phương trình vi phân từng phần, điều khiển tối ưu, tối ưu hóa, lập phương trình
toán học, cơ khí và tài chính.
Cho T là một toán tử với miền xác định D(T ) và miền ảnh R(T ) trong H.
Một toán tử đa trị T : H → 2H được gọi là đơn điệu nếu
(2.10)

u − v, x − y ≥ 0,

với bất kì u ∈ T x, v ∈ T y và là đơn điệu cực đại nếu nó là đơn điệu và đồ thị
của nó

G(T ) = {(x, y) : x ∈ D(T ), y ∈ T x}

(2.11)

không nằm trong đồ thị của bất kì toán tử đơn điệu nào khác.
Một trong những bài toán quan trọng của lí thuyết toán tử đơn điệu là tìm
một điểm trong tập không điểm có thể phát biểu như sau: tìm một điểm x sao
cho x ∈ T −1 (0) trong đó T −1 (0) là tập không điểm của toán tử T .
Một số bài toán bao gồm bài toán quy hoạch lồi, bất đẳng thức biến phân
được phát biểu là tìm điểm không của toán tử đơn điệu cực đại. Phương pháp cổ
điển để giải bài toán này là thuật toán điểm gần của Rockafellar [5], xây dựng
một dãy
(2.12)

xn+1 = JcT (xn + en ),

ở đây c > 0, JcT là toán tử giải của T được cho bởi JcT = (I + cT )−1 , với I
là ánh xạ đơn vị trên không gian H. Nếu T −1 (0) = 0 thì ta biết được rằng dãy
được tạo bởi (2.12) hội tụ yếu tới một số điểm trong T −1 (0).
Dựa vào phương pháp prox - Tikhonov của Lehdili và Moudafi [4], Xu [10]
xét dạng lặp hiệu chỉnh: với một điểm cố định u ∈ H,

xn+1 = JcTn ((1 − tn )xn + tn u + en ),

n ≥ 0,

(2.13)


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×