Tải bản đầy đủ

03 bài giảng số 3 một số quy luật phân phối xác suất thông dụng

http://baigiangtoanhoc.com

Giáo trình xác suất dành cho các nhà kinh tế

Chương III. Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng
§1. Quy luật không-một A(p)
1. Định nghĩa:
Giả sử tiến hành một phép thử, xác suất xảy ra biến cố A là p, P(A)=p, P( A )=1-p=q. Gọi X là số
lần xuất hiện biến cố A trong phép thử đó, ta có bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X

X

0

1

P

1-p

p


Ta có thể biểu thị bởi công thức Px= px(1-p)1-x, x = 0,1
Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong 2 giá trị 0 hoặc 1 với xác suất tương ứng được tính bởi
công thức trên gọi là phân phối theo quy luật không một, kí hiệu X~A(p)
2. Các tham số đặc trưng.
Giả sử X~A(p), ta có E(X)=p, V(X)=pq,  ( X ) =

pq

Ví dụ: Tung một con xúc xắc, gọi X là số lần xuất hiện mặt 6 chấm. Tìm quy luật phân phối xác
suất và các tham số đặc trưng của X.
X

0

1

P

5/6

1/6

Do đó X~A(1/6), E(X)=1/6, V(X)=5/36
Chú ý: Trong thực tế quy luật không-một thường dùng để đặc trưng cho các dấu hiệu nghiên cứu
định tính có 2 phạm trù luân phiên như: nam-nữ, đồng ý-không đồng ý….

§2. Quy luật nhị thức B(n,p)
Ta xét ví dụ sau:
Cho một lo có N quả cầu, trong đó có M cầu trắng và N-M cầu đen. Lấy lần lượt n quả
cầu theo phương thức hoàn lại. Trong mỗi lần lấy chỉ có 2 khả năng, hoặc lấy được cầu trắng kí
hiệu biến cố A, hoặc lấy được cầu đen A . Xác suất lấy được cầu trắng P(A)=M/N=p, P( A )=1-p

Bài giảng được cung cấp độc quyền cho http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Th.S. Nguyễn Hồng Nhật –Giảng viên toán trường ĐHKT Quốc dân


http://baigiangtoanhoc.com

Giáo trình xác suất dành cho các nhà kinh tế


Với lược đồ Bernoulli như trên, gọi X là “số lần xuất hiện biến cố A trong n phép thử độc
lập” thì X là biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị có thể có 0,1,2…n.
Ta có P(X=x)=Px=Cxnpxqn-x
1.Định nghĩa:
Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị 0,1,2…n với các xác suất tương ứng được
tính theo công thức trên gọi là phân phối theo quy luật nhị thức với các tham sô n, p, kí hiệu
X~B(n,p)
Bảng phân phối xác suất
X

0

1

…x…

N

P

C0np0qn-0

C1npqn-1

Cxnpxqn-x

Cnnpnq0

n

Dễ dàng chứng minh được

 P( X  x)  1
x 1

2. Các tham số dặc trưng
Giả sử thực hiện n phép thử độc lập, gọi Xi (i=1..n) là số lần xuất hiện biến cố A trong phép thử
n

thứ i, Xi~A(p). Do đó, X là số lần xuất hiện biến cố A trong n phép thử thì X=  X i ~B(n,p)
i 1

Ta có
n

Kì vọng: E(X) =  E ( X i ) =np
i 1
n

Phương sai: V(X)=  V ( X i ) =npq
i 1

Mốt: là giá trị m0 thoả mãn: np+p-1  m0  np+p
Ghi chú: + P ( x  X  x  h )  Px  Px 1  ...  Px  h
+ A(p)=B(1,p)
+ Nếu các biến ngẫu nhiên X, Y độc lập, X~B(n1,p), Y~B(n2,p) thì X+Y~B(n1+n2,p)
Ví dụ 1: Tỷ lệ phế phẩm do một máy sản xuất ra là 15%
a. Cho máy đó sản xuất 5 sản phẩm. Tìm xác suất để được không quá một phế phẩm.
b. Cho máy đó sản xuất 10 sản phẩm. Tìm xác suất để số chính phẩm sản xuất ra sai lệch so
với số chính phẩm trung bình <1.

Bài giảng được cung cấp độc quyền cho http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Th.S. Nguyễn Hồng Nhật –Giảng viên toán trường ĐHKT Quốc dân


http://baigiangtoanhoc.com

Giáo trình xác suất dành cho các nhà kinh tế

c. Nếu mỗi đợt sản xuất muốn có trung bình 12 chính phẩm thì phải cho máy đó sản xuất
bao nhiêu sản phẩm.
Giải:
a. Gọi X là số phế phẩm được sản xuất ra, X~B(5;0,15)
0

0

5

1

1

4

P(0  X  1)= C5 0,15 0,85  C 5 0,15 0,85  0,8352
b. Gọi Y là số chính phẩm được rút ra, Y~B(10;0,85)
EY= np = 8,5

P[ Y  EY  1]  P[ Y  8,5  1]  P(7,5c. Gọi Z là số chính phẩm sản xuất ra trong n sản phẩm Z~B(n;0,85)
EZ=12  n.0,85=12  n=15
3. Quy luật phân phối xác suất của tần suất:
Giả sử X là số lần xuất hiện biến cố A trong n phép thử thì f 

X
là tần suất xuất hiện biến cố
n

A. Do việc chia biến ngẫu nhiên cho hằng số không làm thay đổi phân phối xác suất của biến
ngẫu nhiên nên f~B(n,p)

Ta có bảng phân phối xác suất của f

E(f)=E(

0

1

…x…

N

P

C0np0qn-0

C1npqn-1

Cxnpxqn-x

Cnnpnq0

X np
)
p
n
n

V(f)= V (

( f ) 

f

X
npq pq
) 2 
n
n
n

pq
n
§3. Quy luật phân phối Poisson-P(  )

1.Định nghĩa:
Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị 0,1,2,3…với xác suất tương ứng được tính
bằng công thức
Bài giảng được cung cấp độc quyền cho http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Th.S. Nguyễn Hồng Nhật –Giảng viên toán trường ĐHKT Quốc dân


http://baigiangtoanhoc.com

Giáo trình xác suất dành cho các nhà kinh tế

x e  
Px 
x!
gọi là phân phối theo quy luật Poisson với tham số  , kí hiệu X~P(  )
Ghi chú:
+ Nếu trong quy luật Bernoulli, số phép thử n quá lớn mà xác suất p quá nhỏ thì việc tính
toán gặp nhiều khó khăn. Trong thực tế, nếu n khá lớn (n>20) và p khá nhỏ (p<0,1), tích np= 
không đổi thì các công thức xác suất Px có thể xấp xỉ bằng công thức Poisson.
+ Các giá trị của Px được tính sẵn trong bảng phụ lục.
2. Các tham số đặc trưng.
n x 1
x e  

Kì vọng: E(X)=  xPx =  x
= e 
= e   e   
x!
x 1
x 1
x 1( x  1)!
n

n

x e   2
E(X )=  x
=  
x
!
x 1
n

2

2

Phương sai: V(X)=E(X2)-[E(X)]2= 
Mốt: m0 được xác định bởi công thức   1  m 0  
Ví dụ 1: Người ta chở 1000 chai rượu vào kho với xác suất bị vỡ mỗi chai là 0,002.
a.Tìm xác suất để có không quá 2 chai bị vỡ.
b. Tìm số chai bị vỡ trung bình khi vận chuyển
c. Tìm số chai bị vỡ có khả năng nhiều nhất khi vận chuyển.
Giải:
a. Ta có n=1000, p=0,002,  =np=2
Gọi X là số chai bị vỡ, X~P(2)
P(0  X  2) =P0+P1+P2=0,676
b. E(X)=2
c. 1  m 0  2 , số chai bị vỡ nhiều nhất là 1 và 2 chai.
Chú ý: + Nếu X1, X2 độc lập, X1~P( 1 ), X2~ P( 2 ) thì X=X1+X2~P( 1  2 )

Bài giảng được cung cấp độc quyền cho http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Th.S. Nguyễn Hồng Nhật –Giảng viên toán trường ĐHKT Quốc dân


http://baigiangtoanhoc.com

Giáo trình xác suất dành cho các nhà kinh tế

+ Quy luật Poison được ứng dụng nhiều trong thực tế, chẳng hạn trong lý thuyết phục vụ
công cộng, người ta đề cập đến các hệ thống phục vụ dòng các yêu cầu như dòng người vào cửa
hàng, dòng tàu chờ cập cảng…
Ví dụ 2: (Bài tập 3.25)
Gọi X là số khách chờ đi xe bus X~P(2),  =2 người/15 phút
a. Xác suất để không có khách nào chờ xe bus:
P(X=0)=P0=0,1351
b. Xác suất để xe chật khách
P(X  6)=1-P(X<6)=1-(P0+P1+P2+P3+P4+P5)=
1-(0,1351+0,2707+0,2702+0,1804+0,0902+0,0361)=0,0173
c. P(X > 7) < 0,1. Không phải tăng thêm xe chở khách.

§4. Quy luật phân phối siêu bội

Giả sử trong 1 hộp có N quả cầu, trong đó có M cầu trắng, N-M cầu đen. Lấy ngẫu nhiên n quả
cầu theo phương thức không hoàn lại. Ta có, xác suất để trong n quả cầu lấy ra có x quả cầu
trắng là Px 

C Mx .C NnxM
, x=0,1,2…n
C Nn

1. Định nghĩa:
Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị 0,1,2..n với xác suất được tính bằng công
thức trên gọi là tuân theo quy luật phân phối siêu bội với các tham số N,n kí hiệu X~M(N,n)
2. Tham số đặc trưng: E(X)=n
V(X)= n
Giá trị

M
= np
N
M N M N n
N n
.
.
 npq
N
N
N 1
N 1

N n
gọi lầ hệ số hiệu chỉnh
N 1

Chú ý: Khi n bé so với N (

n
 0,1 ) thì phân phối siêu bội có thể coi như xấp xỉ nhị thức.
N

Bài giảng được cung cấp độc quyền cho http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Th.S. Nguyễn Hồng Nhật –Giảng viên toán trường ĐHKT Quốc dân


http://baigiangtoanhoc.com

Giáo trình xác suất dành cho các nhà kinh tế

§5. Quy luật phân phối đều
1. Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi là có phân phối đều trên đoạn [a,b], kí hiệu
X~U[a,b], nếu hàm mật độ xác suất có dạng
 1
x  a, b

f ( x)   b  a
0
x  a, b

Từ đó suy ra hàm phân phối
xa
0
x  a

F ( x)  
a xb
b

a

xb
1

2. Các tham số đặc trưng:
Cho X~U[a,b], ta có
Kì vọng:

E(X)=

Phương sai: V(X)=

ab
2

(b  a ) 2
12

Bài giảng được cung cấp độc quyền cho http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Th.S. Nguyễn Hồng Nhật –Giảng viên toán trường ĐHKT Quốc dân


http://baigiangtoanhoc.com

Giáo trình xác suất dành cho các nhà kinh tế

Ví dụ: Xe bus xuất hiện tại bến đợi 15 phút một lần. Một hành khách tới bến vào một thời điểm
ngẫu nhiên. Gọi X là thời gian chờ xe của hành khách đó. Khi đó X có phân phối đều trên đoạn
[0,15].
a. Viết hàm phân phối xác suất của X
b. Tìm xác suất để hành khách đó phải đợi ít nhất 5 phút.
c. Tìm xác suất để hành khách đó phải đợi trên 10 phút.
Giải:
1
x  0,15

X có hàm mật độ xác suất f ( x )  15
0
x  0,15

x0
0
x

a. X có hàm phân phối xác suất F ( x )  
0  x  15
15
x  15
1

b. P(X<5)=F(5)-F(-  )=1/3-0=1/3
c. P(X>10)=F(+  )-F(10)=1-2/3=1/3
Ghi chú: Nếu ta không biết thông tin gì về giá trị tham số cần ước lượng thì có thể xem mỗi giá
trị có thể có của tham số đó là đồng khả năng.
Ví dụ: BT 3.28.

§6. Quy luật phân phối luỹ thừa

1.Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi là phân phối theo quy luật luỹ thừa với tham số

 (  0) nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng
x0

0
f ( x )   x
e

x0

Kí hiệu: X~E(  )
x

Hàm phân phối xác suất: F(x)=

x

 f ( x)dx   e


x

dx  1  e  x

0

2. Các tham số đặc trưng:
Bài giảng được cung cấp độc quyền cho http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Th.S. Nguyễn Hồng Nhật –Giảng viên toán trường ĐHKT Quốc dân


http://baigiangtoanhoc.com

Giáo trình xác suất dành cho các nhà kinh tế



Kỳ vọng toán: E ( X ) 

 x e

 x

dx 



Phương sai: V ( X ) 

1
2

Độ lệch chuẩn:  x 

1


1


Xác suất để biến ngẫu nhiên X phân phối theo quy luật lũy thừa nhận giá trị trong khoảng (a,b):

P (a  X  b)  F (a)  F (b)  [1  e b ]  [1  e  a ]  e  a  e  b
Giá trị e  x được tính sẵn trong bảng phụ lục.
Ví dụ: Biến ngẫu nhiên liên tục X phân phối theo quy luật lũy thừa với hàm mật độ xác suất.

 2e2 x
f ( x)  
0

x0
x0

a.Tìm hàm phân phối của X.
b. Tìm xác suất để trong kết quả của phép thử X nhận giá trị trong khoảng [0,3;1].
c.Tìm kỳ vọng toán và phương sai của X.
Giải:
a. Hàm phân phối xác suất của X:

1  e 2 x
F ( x)  
0
b. P(0,3  X  1)  e
c.

2.0 ,3

Kỳ vọng toán: E ( X ) 

Phương sai: V ( X ) 

x0
x0

 e 2  0,41

1 1

 2

1 1
 .
2 4

Bài giảng được cung cấp độc quyền cho http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Th.S. Nguyễn Hồng Nhật –Giảng viên toán trường ĐHKT Quốc dân



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×