Tải bản đầy đủ

phandangbaitapvaloigiaichitiet tichphan luuhuythuong

Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

TUYỂN TẬP TÍCH PHÂN
(ĐÁP ÁN CHI TIẾT)

BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG
Toàn bộ tài liệu của thầy ở trang:
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com

HỌ VÀ TÊN: …………………………………………………………………
LỚP

:………………………………………………………………….

TRƯỜNG

:…………………………………………………………………

HÀ NỘI, 4/2014



Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

GV. Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

TÍCH PHÂN CƠ BẢN
Toàn bộ tài liệu luyện thi đại học môn toán của thầy Lưu Huy Thưởng:
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com

HT 1.Tính các tích phân sau:
1

a) I1 =



1

x 3dx

b) I 2 =

0



1

(2x + 1)3 dx

0

∫ (1 − 4x ) dx
3

0

1


d) I 4 =

c) I 3 =

1

∫ (x − 1)(x

2

3

− 2x + 5) dx

e) I 5 =

0

∫ (2x − 3)(x

2

− 3x + 1)3 dx

0

Bài giải
1

a) I1 =


0

x 3dx =

x4 1 1
=
4 0 4

1

b) I 2 =

1

∫ (2x + 1) dx Chú ý: d(2x + 1) = 2dx ⇒ dx = 2 d(2x + 1)
3

0

1

⇒ I2 =



(2x + 1)3 dx =

0

1
2

1



(2x + 1)3 d(2x + 1) =

0

1 (2x + 1)4
2
4

1

c) I 3 =

1
0=

81 1
− = 10
8
8

1

∫ (1 − 4x ) dx Chú ý: d(1 − 4x ) = −4dx ⇒ dx = − 4 d(1 − 4x )
3

0

1

⇒ I3 =


0

1
(1 − 4x ) dx = −
4
3

1

d) I 4 =

∫ (x − 1)(x

2

0

1

⇒ I4 =


0

=

1



(1 − 4x )3 d(1 − 4x ) = −

0

1
0=



81
1
+
= −5
16 16

1
− 2x + 5)3 dx Chú ý: d(x 2 − 2x + 5) = (2x − 2)dx ⇒ (x − 1)dx = d (x 2 − 2x + 5)
2

1
(x − 1)(x − 2x + 5) dx =
2

1 (x 2 − 2x + 5)4
.
2
4

1 (1 − 4x )4
4
4

2

3

1
0 = 162 −

1

∫ (x

2

− 2x + 5)3 d(x 2 − 2x + 5)

0

615 671
=
8
8

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 1


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

GV. Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

1

e) I 5 =

∫ (2x − 3)(x

2

− 3x + 1)3 dx Chú ý: d (x 2 − 3x + 1) = (2x − 3)dx

0
1

⇒ I5 =

1

∫ (2x − 3)(x

2

3

− 3x + 1) dx =

0

=

∫ (x

2

− 3x + 1)3 d (x 2 − 3x + 1)

0

(x 2 − 3x + 1)4
4

1
0=

1 1
− =0
4 4

HT 2.Tính các tích phân sau:
1

a) I 1 =

7



b) I 2 =

xdx

0

c) I 3 =

2

1

d) I 4 =



4

x + 2dx

∫x

1 + x dx

e) I 5 =

0

∫x

1
2

1 − x dx



f) I 6 =

0

∫ (1 − x )

x 2 − 2x + 3dx

0

1

g) I 7 =

2x + 1dx

0

1
2



1

x 2 x 3 + 1dx

h) I 8 =

0

∫ (x

2

− 2x ) x 3 − 3x 2 + 2dx

0

Bài giải
1

a) I 1 =


0

xdx =

2
2
x x 10 =
3
3

7

b) I 2 =



x + 2dx =

2

4

c) I 3 =


0

2
16 38
(x + 2) x + 2 27 = 18 −
=
3
3
3

1
2x + 1dx =
2

1

d) I 4 =



x 1 + x 2 dx =

0

1

e) I 5 =


0

1

f) I 6 =


0

4



2x + 1d (2x + 1) =

0

1
2

1



1 + x 2 d (1 + x 2 ) =

0

1
x 1 − x dx = −
2
2

1


0

1 2
. (1 + x 2 ) 1 + x 2
2 3

1
0=

1 2
1 − x 2 d (1 − x 2 ) = − . (1 − x 2 ) 1 − x 2
2 3

1
(1 − x ) x − 2x + 3dx = −
2
2

1 2
1 26
. (2x + 1) 2x + 1 40 = 9 − =
2 3
3
3

2 2 1

3
3

1
0=

0+

1 1
=
3 3

1



x 2 − 2x + 3d (x 2 − 2x + 3)

0

1 2
2 2
= − . (x 2 − 2x + 3) x 2 − 2x + 3 10 = −
+ 3
2 3
3

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 2


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

GV. Lưu Huy Thưởng
1

g) I 7 =

∫x

1
x + 1dx =
3

2

3

0

1

h) I 8 =


0

=

0968.393.899
1



x 3 + 1d (x 3 + 1) =

0

1
(x − 2x ) x − 3x + 2dx =
3
2

3

2

1 2 3
4 2 −2
. (x + 1) x 3 + 1 10 =
3 3
9

1



x 3 − 3x 2 + 2d (x 3 − 3x 2 + 2)

0

1 2 3
4 2
4 2
. (x − 3x 2 + 2) x 3 − 3x 2 + 2 10 = 0 −
=−
3 3
9
9

HT 3.Tính các tích phân sau:
4

a) I1 =


1


0

b) I 2 =

x

1

d) I 4 =

1

dx

0

dx



c) I 3 =

2x + 1

0



−1

1

(x + 1)dx

e) I 5 =

2

x + 2x + 2


0

dx
1 − 2x

(x − 2)dx
x 2 − 4x + 5

Bài giải
4

a) I 1 =


1

dx
x

1

b) I 2 =


0

0

c) I 3 =



−1

dx
2x + 1


0

1

e) I 5 =


0

=

1
2

1



(x + 1)dx
2

x + 2x + 2

d(2x + 1)

= 2x + 1 10 = 3 − 1

2x + 1

0

1
=−
2
1 − 2x
dx

1

d) I 4 =

= 2 x 14 = 4 − 2 = 2

0



d (1 − 2x )

=

1
2

1 − 2x

−1

1



0
= − 1 − 2x −
1 = −1 + 3

d(x 2 + 2x + 2)

0

2

x + 2x + 2

= x 2 + 2x + 2 10 = 5 − 2

1

1 d (x 2 − 4x + 5)
=
= x 2 − 4x + 5 10 = 2 − 5
2
2
2
x − 4x + 5
x − 4x + 5
0
(x − 2)dx



HT 4.Tính các tích phân sau:
0

e

a) I 1 =



dx
x

1

1

d) I 4 =

(x + 1)dx

∫ x 2 + 2x + 2
0

b) I 2 =



−1

1

dx
1 − 2x

c) I 3 =

0

1

e) I 5 =

xdx

∫ x2 + 1

x −2

∫ x 2 − 4x + 5 dx
0

Bài giải

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 3


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

GV. Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

e

a) I 1 =



dx
= ln x e1 = ln e − ln 1 = 1
x

1

0

b) I 2 =



−1

1

c) I 3 =


0

1

d) I 4 =


0

dx
1
=−
1 − 2x
2

1
=
2
2
x +1
xdx



−1

1



d(1 − 2x )
1
1
ln 3
0
= − ln 1 − 2x −
1 = − (ln 1 − ln 3) =
1 − 2x
2
2
2

(

2

x +1

0

1

1
=
2
2
x + 2x + 2
x −2

∫ x 2 − 4x + 5

) = 1 ln x

d x2 + 1

(x + 1)dx

1

e) I 5 =

0



0

1
2

+1

d(x 2 + 2x + 2)
x + 2x + 2
1



d (x 2 − 4x + 5)
2

x − 4x + 5

0

1
ln 2
(ln 2 − ln 1) =
2
2

1
0=

1
1
1 5
ln x 2 + 2x + 2 10 = (ln 5 − ln 2) = ln
2
2
2 2

=

2

0

dx =

2

2

=

1
ln x 2 − 4x + 5
2

1
0=

1
1 2
(ln 2 − ln 5) = ln
2
2 5

HT 5.Tính các tích phân sau:
2

a) I 1 =

0

dx

∫ x2

b) I 2 =

1

dx

∫ (2x − 1)2

c) I 3 =

−1

1

dx

∫ (3x + 1)2
0

Bài giải
2

a) I 1 =

1

dx

∫ x2 = − x

1
2
1= −
2

1

0

+1 =

1
2

0

1 d(2x − 1)
1
1
=
=− .
b) I 2 =
2
2
2 (2x − 1)
2 2x − 1
(2x − 1)
−1
−1

dx


1

c) I 3 =



dx

∫ (3x + 1)2
0

=

1
3

1

d (3x + 1)

1

0
−1 =

1

1 1 1
− =
2 6 3

1

1

1

∫ (3x + 1)2 = − 3 . 3x + 1 0 = − 12 + 4 = 6
1

0

HT 6.Tính các tích phân sau:
1

a) I 1 =

1

∫e

3x

b) I 2 =

dx

0

∫ ex + 1

e) I 5 =

0

(2e + 1) dx

c) I 3 =

∫ (e2x − 1)2

f) I 6 =

e

x

2e + 1dx

h) I 8 =



x

(1 − 4e x )3 dx

∫ (1 − 3e2x )3
1

e

2x

e 2x dx

1

1

x

∫e
2

e 2x dx

1

1



3

0

2

e x dx

0

g) I 7 =

∫e

x

0

1

d) I 4 =

1

x

2x

1 + 3e dx

i) I 9 =

0

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN


0

e x dx

ex + 1

Page 4


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

GV. Lưu Huy Thưởng
1

a) I 1 =


0

1

b) I 2 =


0

1
e 3x dx = e 3x
3

0968.393.899
e3 1

3
3

1
0=

1

1
e (2e + 1) dx =
2
x

1 (2e x + 1)4
(2ex + 1)3 d(2ex + 1) = .
2
4



3

x

0

1
0



1 (2e + 1)4 81 (2e + 1)4 81
= 
−  =

2 
4
4 
8
8
1

c) I 3 =



ex (1 − 4e x )3 dx = −

0

1
4

1

∫ (1 − 4e

x 3

) d(1 − 4e x )

0



1 (1 − 4ex )4 1
1 (1 − 4e)4 81 81 − (1 − 4e)4
=− .
=


=

0
4
4
4 
4
4 
16
1

d) I 4 =

1

e x dx

∫ ex + 1 ∫
=

0

1

2

f) I 6 =

e +1

e2x dx

∫ (e2x

1
=
2
2
− 1)

e 2x dx

∫ (1 − 3e2x )3

g) I 7 =

∫e

x

0

1

h) I 8 =

∫e
0

1

i) I 9 =


0

2x

2

2

1

ex + 1

1


0

e +1
2

2
1=

1
4

12(1 − 3e )



1
12(1 − 3e 2 )

1 2
1
2e x + 1d (2e x + 1) = . (2e x + 1) 2e x + 1 10 = (2e + 1) 2e + 1 − 3
2 3
3



2x

=

−1

1

1

0

1
1 + 3e dx =
6

e x dx

d(1 − 3e 2x )

∫ (1 − 3e2x )3 = − 6 . 2(1 − 3e2x )2

1
2e + 1dx =
2
x

ln(e + 1) − ln 2 = ln

1
1
1
1
e2
2
=− .
=

+
=
2 e 2x − 1 1
− 1)2
2(e 4 − 1) 2(e 2 − 1) 2(e 4 − 1)

1

1
6

1
0=

d (e2x − 1)

∫ (e2x

=−

1

1

= ln e x + 1

x

0

2

e) I 5 =

d (e x + 1)

1


0

d(ex + 1)
ex + 1

1 2
1 + 3e 2x d (1 + 3e2x ) = . (1 + 3e 2x ) 1 + 3e 2x
6 3

1
0=

1
8
(1 + 3e2 ) 1 + 3e 2 −
9
9

= 2 e x + 1 10 = 2 e + 1 − 2

HT 7.Tính các tích phân sau:
e

a) I1 =



e

ln x
dx
x

b) I 2 =

1

e

d) I 4 =


1



3 ln x + 1
dx
x

e

c) I 3 =

1

4 ln3 x + 3 ln2 x − 2 ln x + 1
dx
x

1

e2

e) I 5 =



(3 ln x + 1)3
dx
x


e

e

dx
x ln x

f) I 6 =

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

dx

∫ x(3 ln x + 1)
1

Page 5


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

GV. Lưu Huy Thưởng
e

g) I 7 =

0968.393.899
e

3 ln x + 1dx
x



h) I 8 =

1

∫x
1

dx
3 ln x + 1

Bài giải
e

a) I1 =



e

ln x
dx =
x



1

e

b) I 2 =



ln xd (ln x ) =

1

3 ln x + 1
dx =
x

1

e

c) I 3 =


1

e

d) I 4 =



ln2 x
2

e
1=



3
5
 3 ln2 x
(3 ln x + 1)d (ln x ) = 
+ ln x  e1 = ( + 1) − 0 =

2
2
 2

e


1

(3 ln x + 1)3
1
dx =
x
3

e



(3 ln x + 1)3 d (3 ln x + 1) =

1

4 ln 3 x + 3 ln2 x − 2 ln x + 1
dx =
x

e2

e


1



∫ (4 ln

e

e


1

3 ln x + 1dx
1
=
x
3


1

e
1

x + 3 ln2 x − 2 ln x + 1)d (ln x )

= (1 + 1 − 1 + 1) − 0 = 2

d(3 ln x + 1) 1
1
ln 4
= ln(3 ln x + 1) e1 = (ln 4 − ln 1) =
3 ln x + 1
3
3
3
e



3 ln x + 1d(3 ln x + 1) =

1

e

h) I 8 =

3

2
d (ln x )
= ln(ln x ) ee = ln(ln e 2 ) − ln(ln e ) = ln 2
ln x

dx
1
=
3
x (3 ln x + 1)

e

g) I 7 =

64
1
85

=
3 12
4

e2

dx
=
x ln x

e

f) I 6 =

e
1=

1

= (ln4 x + ln 3 x − ln2 x + ln x )



1 (3 ln x + 1)4
.
3
4

e

1

e) I 5 =

ln2 e ln2 1 1

=
2
2
2

e

dx

∫x

3 ln x + 1

1

==

1
3


1

d(3 ln x + 1)
3 ln x + 1

=

1 2
16 2 14
. (3 ln x + 1) 3 ln x + 1 e1 =
− =
3 3
9
9
9

1
4 2 2
.2 3 ln x + 1 e1 = − =
3
3 3 3

HT 8.Tính các tích phân sau:
π
2

a) I 1 =

d) I 4 =

∫ cos

2

π
2

x sin xdx

b) I 2 =

∫ sin

2

π
4

x cos xdx

c) I 3 =

∫ sin

0

0

0

π
4

π
2

π
2

sin x

∫ cos x dx
0

e) I 5 =

∫ sin x

3 cos x + 1dx

0

f) I 6 =


0

3

2x cos 2xdx

cos x

dx

3 sin x + 1

Giải

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 6


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

GV. Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

π
2

a) I1 =



π
2



cos2 x sin xdx = −

0

0

π
2

π
2

b) I 2 =

∫ sin

2

x cos xdx =

0


0

π
4

c) I 3 =



sin 3 2x cos 2xdx =

0

π
4

d) I 4 =


0

cos2 xd(cos x ) = −

sin x
dx = −
cos x

π
4


0

sin3 x
sin xd (sin x ) =
3
2

1
2

π
4





d (cos x )
= − ln(cos x )
cos x

sin x 3 cos x + 1dx =

0

π
2

f) I 6 =


0

cos x

sin 3 2xd (sin 2x ) =

0

π
2

e) I 5 =

1
dx =
3
3 sin x + 1

cos3 x
3

π
2


0

1
3

π
2


0

π
2
0=

π
2
0=

1
3

sin4 2x
8

π
4
0 = − ln

1
3

π
4 1
0=

8

2
2
+ ln 1 = − ln
2
2

1 2
3 cos x + 1d(3 cos x + 1) = . (3 cos x + 1) 3 cos x + 1
2 3

d(3 sin x + 1)

2
3 sin x + 1
=
3
3 sin x + 1

π
2
0=

π
2
0=

1 4
− = −1
3 3

4 2 2
− =
3 3 3

http://www.Luuhuythuong.blogspot.com

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 7


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

GV. Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

PHẦN II TÍCH PHẦN HÀM HỮU TỶ
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com

I.DẠNG 1:

1

dx

∫ ax + b = a ln ax + b + C

HT 1.Tính các tích phân sau:
1

a)


0

0

dx
3x + 1

b)



−1

1

dx
1 − 3x

c)


0

 1
3 

dx

 2x + 1 4 − 2x 

Giải
1

a)

1

dx

1

ln 4
3

∫ 3x + 1 = 3 ln 3x + 1 0 = 3 (ln 4 − ln 1) =
1

0

0

b)

1

dx

∫ 1 − 3x = − 3 ln 1 − 3x

0
−1

−1

1

c)


0

=

1
ln 4
= − (ln 1 − ln 4) = −
3
3

 1
1

1
 1

3 
3
3
3

dx =  ln 2x + 1 + ln 4 − 2x  10 =  ln 3 + ln 2 −  ln 1 + ln 4

2
2
2
 2x + 1 4 − 2x 
 2

 2
  2


1
3 1
ln 3 + ln
2
2 2

HT 2.Tính các tích phân sau:
2

a) I1 =



x 4 + 3x 3 − 2x 2 + 5x − 1
x2

1

1

dx

b) I 2 =


0

x 3 − 3x 2 + 2x − 1
dx c) I 3 =
x −2

0



−1

2x 3 − 3x 2 + 4x − 1
1 − 2x

Giải
2

a) I1 =


1

x 4 + 3x 3 − 2x 2 + 5x − 1
x2

2

dx =

∫ (x

2

+ 3x − 2 +

1

5
1
− )dx
x x2

 3

8
 13
3x 2
1
1 1 3
x
=  +
− 2x + 5 ln x +  12 =  + 6 − 4 + 5 ln 2 +  −  + − 2 + 5 ln 1 + 1 =
+ 5 ln 2
 3



2
x 
2 3 2
3
3


1

b) I 2 =


0

x 3 − 3x 2 + 2x − 1
dx =
x −2

1


0


1 
dx
x 2 − x −
x − 2)


 3

1 1

x2
1
x
=  −
− ln x − 2  10 =  − − ln 1 − (− ln 2) = ln 2 −
 3



2
3
2
6




0

c) I 3 =



−1

2x 3 − 3x 2 + 4x − 1
=
1 − 2x

0



∫ −x

−1

2

+x −


3
1
dx
+
2 2(−2x + 1)

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 8


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

GV. Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

 3

x2 3
1
 x
0
= −
+
− x − ln −2x + 1  −
1
 3

2
2
4


1
1 1 3 1
ln 3 7
= (− ln 1) − ( + + − ln 3) =

4
3 2 2 4
4
3

II.DẠNG 2:

dx

∫ ax 2 + bx + c

HT 3.Tính các tích phân sau (mẫu số có hai nghiệm phân biệt)
1

a)


0

1

dx
(x + 1)(x + 2)

b)


0

1

dx
(x + 1)(3 − x )

dx

∫ (x + 1)(2x + 3)

c)

0

Giải
1

a)


0

1

dx
=
(x + 1)(x + 2)

(

1

b)


0

=

0

) 10 = ln xx ++ 21

dx
1
=
4
(x + 1)(3 − x )

1


0

(

1
− ln 3 − x + ln x + 1
4
1

c)

(x + 2) − (x + 1)
dx =
(x + 1)(x + 2)



= ln x + 1 − ln x + 2


0

dx
=
(x + 1)(2x + 3)

(

= ln x + 1 − ln 2x + 3

1

1


0

1
0=


0

 1
1 


dx
 x + 1 x + 2 

2
1
4
ln − ln = ln
3
2
3

(x + 1) + (3 − x )
1
dx =
(x + 1)(3 − x )
4

) 10 = 14 ln x3 −+ x1

1
0

=

1
0=

 1

1 

∫  3 − x + x + 1dx
0

1 
1
ln 3
ln 1 − ln  = −


4
3
4

(2x + 3) − 2(x + 1)
dx =
(x + 1)(2x + 3)

) 10 = ln 2xx ++13

1

1

 1



2

∫  x + 1 − 2x + 3 dx
0

2
1
6
ln − ln = ln
5
3
5

HT 4.Tính các tích phân sau:
1

a)

0

dx

∫ x 2 − x − 12

b)

2

dx

∫ 2x 2 − 5x + 2

c)

−1

0

dx

∫ 1 − 2x − 3x 2
1

Giải
1

a)

dx

∫ x 2 − x − 12 ∫
0

=

=

1
7

0

1

 1

dx
1
=
(x + 3)(x − 4) 7

1 

1


0

(x + 3) − (x − 4)
dx
(x + 3)(x − 4)

x −4

∫  x − 4 − x + 3 dx = 7 (ln x − 4 − ln x + 3 ) 0 = 7 ln x + 3
1

1

1

1
0

0

1
3
4
1
9
(ln − ln ) = ln
7
4
3
7 16
0

b)

1

=

dx

0

∫ 2x 2 − 5x + 2 = ∫

−1

−1 2(x

dx
1
− 2)(x − )
2

0

=



−1

dx
1
=
(x − 2)(2x − 1) 3

0



−1

(2x − 1) − 2(x − 2)
dx
(x − 2)(2x − 1)

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 9


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

GV. Lưu Huy Thưởng
0

1
=
3
=



−1

 1
2 
1
0



 x − 2 2x − 1 dx = 3 ln x − 2 − ln 2x − 1 −1

(

)

x −2 0
1
1
ln 2
= (ln 2 − ln 1) =
ln
3 2x − 1 −1 3
3
2

c)

0968.393.899

2

dx

1
1 −3(x + 1)(x − )
3

1

2



2

dx

∫ 1 − 2x − 3x 2 ∫
=

1 

=


1

dx
1
=
4
(x + 1)(1 − 3x )

2


1

3(x + 1) + (1 − 3x )
dx
(x + 1)(1 − 3x )

x +1 2 1
3
1 3
1 = (ln − ln 1) = ln
4
5
4 5

∫ 1 − 3x + x + 1dx = 4 (− ln 1 − 3x + ln x + 1 ) 1 = 4 ln 1 − 3x

1
=
4

3

1

1

2

1

HT 5.Tính các tích phân sau: (Mẫu số có nghiệm kép)
2

a)

1

dx

∫ x2

b)

1

0

dx

∫ (3x + 1)2

c)

0

dx

∫ (1 − 2x )2

d)

−1

0

dx

∫ 9x 2 − 6x + 1

0

e)

−1

dx

∫ −16x 2 + 8x − 1

−1

Giải
2

a)

dx

∫ x2

=−

1

1

1 2
1
1
= − +1 =
x 1
2
2

1

dx

1

1

1 

1

∫ (3x + 1)2 = − 3 . (3x + 1) 0 = −12 − 3  = 4

b)

1

0

0

c)

0

dx

−1

1

 1

0

1 

1

−1

0

dx

0

1

dx

1

 1

1 

1

∫ 9x 2 − 6x + 1 = ∫ (3x − 1)2 = − 3 . 3x − 1 −1 = −− 3 + 12  = 4

d)

−1

0

−1

0

e)

1

dx

∫ (1 − 2x )2 = ∫ (2x − 1)2 = − 2 . 2x − 1 −1 = −− 2 + 6  = 3

0

dx

0

dx

dx

1

1

1

1

1

∫ −16x 2 + 8x − 1 = −∫ 16x 2 − 8x + 1 = −∫ (4x − 1)2 = 4 . 4x − 1 −1= − 4 + 20 = − 5

−1

−1

0

−1

http://www.Luuhuythuong.blogspot.com

HT 6.Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm)
1

a) I1 =

3

dx

∫ x2 + 1

b)

2
2

dx

∫ x2 + 3

c)

0

0

0

dx

∫ 2x 2 + 3

Giải
1

a) I1 =

dx

∫ x2 + 1
0

  π π 
Đặt: x = tan t t ∈ − ; 
  2 2 

⇒ dx =

dt

cos2 t
Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 0

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 10


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

GV. Lưu Huy Thưởng
Với x = 1 ⇒ t =
π
4

⇒ I1 =

0968.393.899
π
4
π
4

dt

cos2 t .

0

3

b) I 2 =

dt

∫ cos2 t(tan2 t + 1) = ∫
0

π
4

∫ dt = t

=

1

π
4
0

=

0

cos2 t

π
4

dx

∫ x2 + 3
0

 π π
Đặt: x = 3 tan t Với t ∈ − ; 
 2 2 
3dt

⇒ dx =

cos2 t

Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 0 ; Với x = 3 ⇒ t =
π
4

⇒ I2 =

3dt

3
=
2
2
3
cos t(3 tan t + 3)


0

2
2

c) I 3 =

dx

2
2

dx

∫ 2x 2 + 3 = ∫

 2 3 
0 2 x + 
2 


0


0

=

1
2

3
=
3

dt
cos2 t.
2
2


0

1
cos2 t

π
4


0

3
t
dt =
3

π
4
0=


12

dx
3
2

x2 +

 π π
3
tan t Với t ∈ − ; 
2
 2 2 

Đặt: x =

6 dt
2 cos2 t

⇒ dx =

Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 0; Với x =

⇒ I3 =

π
4

π
4

1
2

π
6


0

6dt
3
3
2 cos2 t ( tan2 t + )
2
2

=

2
π
⇒t =
2
6
6
6

π
6


0

dt
cos2 t .

1

=

6
6

cos2 t

π
6


0

π

dt =

6 6

t 0=
6
36

HT 7.Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm)
0

a) I 1 =

dx

∫ (x + 1)2 + 1

4

b) I 2 =

−1

1

dx

∫ x 2 − 4x + 8
2

c) I 3 =

dx

∫ x2 + x + 1
0

Giải
0

a) I 1 =

dx

∫ (x + 1)2 + 1

−1

 π π
Đặt: x + 1 = tan t Với t ∈ − ; 
 2 2 

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 11


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

GV. Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

dt

⇒ dx =

cos2 t

Đổi cận: Với x = −1 ⇒ t = 0; Với x = 0 ⇒ t =
π
4

⇒ I1 =

π
4

dt

∫ cos2 t(tan2 t + 1) = ∫
0

4

0

4

dx

π
4

dt
cos2 t.

π
4

∫ dt = t

=

1

0

cos2 t

π
4
0=

π
4

dx

∫ x 2 − 4x + 8 ∫ (x − 2)2 + 4

b) I 2 =

=

2

2

 π π
Đặt: x − 2 = 2 tan t Với t ∈ − ; 
 2 2 

2dt

⇒ dx =

cos2 t

Đổi cận: Với x = 2 ⇒ t = 0; Với x = 4 ⇒ t =
π
4

2dt

∫ cos2 t(4 tan2 t + 4)

⇒ I2 =

=

0

1

1

dx

∫ x2 + x + 1 ∫ 

c) I 3 =

=

0

0

1
2

π
4


0

dt
cos2 t.

⇒ dx =

3 dt
.
2 cos2 t

⇒ I3 =

2 3
3

π
3


π
6

cos2 t


0

1
dt = t
2

π
4
0=

π
8

π
π
;Với x = 1 ⇒ t =
6
3

3dt



1

1
2

2
1
3
x +  +
2 
4


 π π
1
3
=
tan t Với t ∈ − ; 
2
2
 2 2 

π
3

=

π
4

dx

Đặt: x +

Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t =

π
4

3
2 3
2
π 2 cos t ( tan t + )
4
4
6

=

2 3
3

π
3



dt

2
π cos t .
6

1

=

cos2 t

π

2 3 3
2 3π 2 3π 2 3π
dt =
t =

=
π
3
9
18
18
6

http://www.Luuhuythuong.blogspot.com

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 12


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

GV. Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

mx + n

∫ ax 2 + bx + c dx

III.Dạng 3:

HT 8.Tính các tích phân sau: (Mẫu số có 2 nghiệm phân biệt)
1

a) I 1 =

0

x −1

∫ x 2 + 4x + 3 dx

b) I 2 =

2x + 10

∫ −x 2 + x + 2 dx

0

c) I 3 =

−1

0

7 − 4x

∫ −2x 2 − 3x + 2 dx

−1

Giải
1

a) I 1 =

1

x −1

(x − 1)dx

∫ x 2 + 4x + 3 dx = ∫ (x + 1)(x + 3)
0

0

Xét đồng nhất thức:

x −1
A
B
Ax + A + Bx + 3B (A + b)x + A + 3B
=
+
=
=
(x + 3)(x + 1) x + 3 x + 1
(x + 3)(x + 1)
(x + 3)(x + 1)

A + B = 1
A = 2
Đồng nhất thức hai vế ta được: 
⇔ 

A + 3B = −1
B = −1


1

Vậy, I 1 =

 2

1 

∫  x + 3 − x + 1dx = (2 ln x + 3 − ln x + 1 ) 0
1

0

= (2 ln 4 − ln 2) − (2 ln 3 − ln 1) = 2 ln
0

b)

0

2x + 10

4
− ln 2
3

2x + 10

∫ −x 2 + x + 2 dx = ∫ (x + 2)(1 − x ) dx

−1

−1

Xét đồng nhất thức:

(B − A)x + A + 2B
2x + 10
A
B
A − Ax + Bx + 2B
=
+
=
=
(x + 2)(1 − x ) x + 2 1 − x
(x + 2)(1 − x )
(x + 2)(1 − x )

B − A = 2
A = 2
⇔ 
Đồng nhất thức hai vế ta được: 

A + 2B = 10
B = 4


0

Vậy, I 2 =

 2

4 

∫  x + 2 + 1 − x dx = (2 ln x + 2 − 4 ln 1 − x ) −1
0

−1

= (2 ln 2 − 4 ln 1) − (2 ln 1 − 4 ln 2) = 2 ln 2 + 4 ln 2 = ln 4 + ln 16 = ln 64
0

c) I 3 =

7 − 4x

0

∫ −2x 2 − 3x + 2

dx =

−1

Xét đồng nhất thức:

7 − 4x

∫ (x + 2)(1 − 2x ) dx

−1

(B − 2A)x + A + 2B
7 − 4x
A
B
A − 2Ax + Bx + 2B
=
+
=
=
(x + 2)(1 − 2x ) x + 2 1 − 2x
(x + 2)(1 − 2x )
(x + 2)(1 − 2x )

B − 2A = −4
A = 3
Đồng nhất thức hai vế ta được: 
⇔ 

A + 2B = 7
B = 2

0

Vậy, I 3 =



3 

∫ 1 − 2x + x + 2 dx = (− ln 1 − 2x + 3 ln x + 2 ) −1
2

0

−1

3
2
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com

= (− ln 1 + 2 ln 2) − (− ln 3 + 3 ln 2) = ln 3 − ln 2 = ln

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 13


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

GV. Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

HT 9.Tính các tích phân sau: (Mẫu số có nghiệm kép)
1

a) I 1 =

0

(3x + 1)dx

∫ x 2 + 2x + 1

b) I 2 =

1

3x − 1

∫ 4x 2 − 4x + 1

c) I 3 =

dx

−1

0

3x + 2

∫ 4x 2 + 12x + 9 dx
0

Giải
1

a) I 1 =

(3x + 1)dx

1

3x + 1

∫ x 2 + 2x + 1 ∫ (x + 1)2
0

=

1



dx =

0

3(x + 1) − 2
(x + 1)2

0

1

dx =


0



2 
 3

dx

2
 x + 1 (x + 1) 


2  1
= 3 ln x + 1 +
 = (3 ln 2 + 1) − (3 ln 1 + 2) = 3 ln 2 − 1

x + 1 0
0

b) I 2 =

0

3x − 1

3
1
2x − 1) +
(
2
2 dx
2
(2x − 1)

0

3x − 1

∫ 4x 2 − 4x + 1 dx = ∫ (2x − 1)2 dx = ∫

−1

−1

−1



3
1
1
1
1
1 
3
+ .
dx =  ln 2x − 1 − .
 .

2

4 2x − 1
4
 2 2x − 1 2 (2x − 1) 
−1
0

=



0
−1

3
1 3
1
3
1
=  ln 1 +  −  ln 3 +  = − ln 3 +
 4
4   4
12 
4
6
1

c) I 3 =

1

3x + 2

∫ 4x 2 + 12x + 9 dx = ∫ (2x + 3)2 dx = ∫
0

1

=


0

1

3x + 2

0

0

3
5
(2x + 3) −
2
2 dx
(2x + 3)2



3
1
5
1
 3
5
1 
− .
 dx =  ln 2x + 3 + .
 .

2


4 2x + 3 
4
 2 2x + 3 2 (2x + 3) 

1
0

3
1  3
5 3 5 1
=  ln 5 +  −  ln 3 +  = ln −
 4
4   4
12  4 3 6

HT 10.Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm)
1

a) I 1 =

3

3x + 1

∫ x2 + 1

b) I 2 =

dx

0

3x + 2

1

∫ x 2 − 4x + 5

c) I 3 =

dx

1

3x − 1

∫ 4x 2 − 4x + 2 dx
0

Giải
1

a) I 1 =

3x + 1

∫ x 2 + 1 dx
0

1

2

Chú ý: (x + 1)' = 2x Nên: I 1 =


0

Xét: M =

3
2
1

Xét: N =

1

2x

∫ x2 + 1
0

dx =

3
2

1


0

3
.2x + 1
2
dx =
x2 + 1

d (x 2 + 1)
2

x +1

=

1


0

 3 2x
1 
3
 .
+
dx =
 2 2
2

2
 x + 1 x + 1

3
ln x 2 + 1
2

1
0=

1

2x

∫ x2 + 1
0

1

dx +

dx

∫ x2 + 1
0

3
3 ln 2
(ln 2 − ln 1) =
2
2

dx

∫ x2 + 1
0

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 14


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

GV. Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

  π π 
Đặt: x = tan t t ∈ − ; 
  2 2 

dt

⇒ dx =

cos2 t
Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 0
Với x = 1 ⇒ t =
π
4

⇒M =

π
4
π
4

dt

cos2 t .

0

3

=

1

∫ dt = t

cos2 t

π
4
0

=

0

π
4

3 ln 2 π
+
2
4

Vậy, I 1 = M + N =
b) I 2 =

dt

∫ cos2 t(tan2 t + 1) = ∫
0

π
4

3x + 2

∫ x 2 − 4x + 5 dx
1

Chú ý: (x 2 − 4x + 5)' = 2x − 4
3

Khi đó: I 2 =


1

3
=
2

3

3
(2x − 4) + 8
2
dx =
x 2 − 4x + 5
3

2x − 4

3

3


2x − 4

1



∫  2 x 2 − 4x + 5 + 8. x 2 − 4x + 5 dx
1

1

∫ x 2 − 4x + 5 dx + 8 ∫ x 2 − 4x + 5 dx
1

1

3
+ Xét: M =
2

3


1
3

+ Xét: N = 8

2x − 4

3
dx =
2
x 2 − 4x + 5

1

∫ x 2 − 4x + 5

3


1

3

dx = 8

1

d (x 2 − 4x + 5) 3
= ln x 2 − 4x + 5
2
2
x − 4x + 5

3
1=

3
(ln 2 − ln 2) = 0
2

dx

∫ (x − 2)2 + 1
1

  π π 
Đặt: x − 2 = tan t Với t ∈ − ; 
  2 2 

⇒ dx =

dt
cos2 t

π
π
Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = − ; Với x = 3 ⇒ t =
4
4
π
4

⇒N =8



dt

cos2 t(tan2 t + 1)
−π
4

π
4

=8

∫ dt = 8t



π
4

π
4 =
−π
4



BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 15


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

GV. Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

Vậy, I 2 = M + N = 4π
1

3x − 1

∫ 4x 2 − 4x + 2 dx

c) I 3 =

0

Chú ý: (4x 2 − 4x + 2)' = 8x − 4
1

∫ 4x 2 − 4x + 2 dx = ∫

Ta có: I 3 =

0

3
=
8

1


0

3
1
(8x − 4) +
8
2 dx
4x 2 − 4x + 2

1

3x − 1

0

8x − 4

1
dx +
2
2
4x − 4x + 2

3
+) Xét: M =
8

1
+) Xét: N =
2

1


0

1

1

dx

∫ 4x 2 − 4x + 2
0

3
dx =
2
8
4x − 4x + 2

1
=
4x 2 − 4x + 2 2
dx


0

1

8x − 4



d (4x 2 − 4x + 2)

0

1

2

4x − 4x + 2

=

3
ln 4x 2 − 4x + 2
8

1
0=

3
(ln 2 − ln 2) = 0
8

dx

∫ (2x − 1)2 + 1
0

  π π 
Đặt: 2x − 1 = tan t Với t ∈ − ; 
  2 2 

⇒ 2dx =

dt
2

⇔ dx =

cos t

dt
2 cos2 t

π
π
Đổi cận:Với x = 0 ⇒ t = − ; Với x = 1 ⇒ t =
4
4

⇒N =

1
2

π
4


π

4

dt
2 cos2 t(tan2 t + 1)

=

1
2

π
4




π
4

π

1
π
dt = t 4 =
2 −π 4
4

π
Vậy, I 3 = M + N =
4
HT 11.Tính các tích phân sau:
0

a) I1 =



−1

0

c) I 3 =



−1

x 3 − 5x 2 + 6x − 1
x 2 − 3x + 2
x 3 + 3x 2 − 6x + 1
x 2 + 2x + 2

1

dx

b) I 2 =


0

2

dx

d) I =

x 4 + 5x 3 − 3x 2 + 2x − 1
x 2 + 2x + 1

dx

x2

∫ x 2 − 7x + 12dx
1

Giải

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 16


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

GV. Lưu Huy Thưởng
0

a) I 1 =



0968.393.899
0

0
0

−2x + 3 
−2x + 3

dx = x − 2 +
dx
 dx = (x − 2)dx +
2
2


x

x
+
x
x
3
2

+
3
2
−1
−1
−1

x 3 − 5x 2 + 6x − 1



x 2 − 3x + 2

−1





 2

1

5
x
0
(x − 2)dx =  − 2x  −
= −  + 2 = −
1
 2
2
 2



−1
0

+) Xét: M =


0

+) Xét: N =

−2x + 3

∫ x 2 − 3x + 2

0

−2x + 3

∫ (x − 1)(x − 2) dx

dx =

−1

−1

Dùng đồng nhất thức ta tách được:
0

N =

 −1

−1 

∫  x − 1 + x − 2 dx = (− ln x − 1 − ln x − 2 ) −1 = (− ln 1 − ln 2) − (− ln 2 − ln 3) = ln 3
0



5
Vậy, I 1 = M + N = ln 3 −
2
1

b) I 2 =



x 4 + 5x 3 − 3x 2 + 2x − 1
2

x + 2x + 1

0

1

dx =

∫ (x

2

+ 3x −10 +

0

19x + 9
2

x + 2x + 1

)dx

 3

3x 2
1 3
49
x
(x 2 + 3x − 10)dx =  +
− 10x  10 = ( + − 10) − 0 = −
 3
2
3 2
6


0

1

+) Xét: M =


1

+) Xét: N =

1

19x + 9

∫ x 2 + 2x + 1

19(x + 1) − 10



dx =

0

(x + 1)2

0



10 
 19



dx
 x + 1 (x + 1)2 

0

1

dx =




10  1
= 19 ln x + 1 +
 = (19 ln 2 + 5) − (19 ln 1 + 10) = 19 ln 2 − 5

x + 1 0

79
6

Vậy, I 2 = M + N = 19 ln 2 −
0

c) I 3 =



x 3 + 3x 2 − 6x + 1
x 2 + 2x + 2

−1

0

dx =

 2

x
(x + 1)dx =  + x 
 2


−1


0

+) Xét: N =

10x + 1

∫ x 2 + 2x + 2

0

dx =

−1
0

P =5

2x + 2

∫ x 2 + 2x + 2

−1

10x + 1 

−1

0

+) Xét: M =




∫ x + 1 − x 2 + 2x + 2 dx

0

dx = 5



−1



−1



 1
− 1 =
2
 2

0
1
−1 = − 

5(2x + 2) − 9

x 2 + 2x + 2

d(x 2 + 2x + 2)
2

x + 2x + 2

0

dx =

 5(2x + 2)

9

 dx


 x 2 + 2x + 2 x 2 + 2x + 2 
−1



= 5 ln x 2 + 2x + 2

0
−1 =

5(ln 2 − ln 1) = 5 ln 2

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 17


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

GV. Lưu Huy Thưởng
0

Q=9

0968.393.899

0

dx

dx

∫ x 2 + 2x + 2 = 9∫ (x + 1)2 + 1

−1

−1

 π π
Đặt: x + 1 = tan t Với t ∈ − ; 
 2 2 

⇒ dx =

dt
cos2 t

Đổi cận: Với x = −1 ⇒ t = 0; Với x = 0 ⇒ t =

π
4

⇒Q = 9

π
4

dt

∫ cos2 t(tan2 t + 1) = 9∫ dt = 9t
0

0

⇒ N = P − Q = 5 ln 2 −
2



π
4

π
4
0=


4


1

⇒ I 3 = M + N = + 5 ln 2 −
4
2
4

9 

16

2

∫ 1 + x − 4 − x − 3 dx = (x + 16 ln x − 4 − 9 ln x − 3 ) 1 = 1 + 25 ln 2 − 16 ln 3 .

d) I =

1

HT 12.Tính các tích phân sau:
2

dx

∫ x5 + x3

a) I =

b) I =

1

1

xdx

∫0 (x + 1)3
Giải

2

dx

∫ x5 + x3

a) I =

1

Ta có:

1
3

2

x (x + 1)

=−

1
1
x
+
+
3
2
x x
x +1


2
1
1
3
1
3
+ ln(x 2 + 1) = − ln 2 + ln 5 +
⇒ I = − ln x −
2
2
2
2
8
2x

1
b) I =

Ta có:

⇒I =

1

xdx

∫0 (x + 1)3
x
3

(x + 1)
1



x + 1−1

=

3

(x + 1)

∫0 (x + 1)

−2

= (x + 1)−2 − (x + 1)−3

1

− (x + 1)−3 dx =
8

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 18


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

GV. Lưu Huy Thưởng

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

0968.393.899

Page 19


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

GV. Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

HT 13.Tính các tích phân sau: (Đổi biến số)
1

1. I =

2

x7

∫ (1 + x 2 )5

9. I =

dx



∫ 1 + x 4 dx
1

0
1

2. I =

2
5

3 6

10. I =

x (1 − x ) dx

3. I =

3

1

∫ x(x 4 + 1)dx
1
2

4. I =

11. I =

∫ x.(x 10 + 1)2

12. I =

∫ x(1 + x 7 )dx

13. I =

7. I =

14. I =

x2

∫ x 4 − 1 dx
xdx

∫ x4 + x2 + 1
1+ 5
2

0

8. I =

∫ x 6 + 1 dx

0

(x − 1)2

∫ (2x + 1)4 dx
1

x4 +1

0
1

dx

∫ x 6 (1 + x 2 )
1
1

∫ x + x 3dx

3
3

1− x7

3

1 − x2

0

1

6. I =

∫ 1 + x 4 dx
1
1

dx

1
2

5. I =

1− x2

1
2

0
4

1 + x2

15. I =

(7x − 1)99

∫ (2x + 1)101 dx


1

x2 + 1
x4 − x2 + 1

dx

0

Bài giải

1

1. I =

x

1

7

∫ (1 + x 2 )5

(x )
2

3

xdx

∫ (1 + x 2 )5

dx =

0

0

Đặt t = 1 + x 2 ⇒ dt = 2xdx
Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 1; Với x = 1 ⇒ t = 2

1
⇒I =
2

2



(t − 1)3
t5

1

1 1
.
4 25

dt =

1

2. I =

1

∫x

5

∫x

3 6

(1 − x ) dx =

0

3

(1 − x 3 )x 2dx

0

Đặt t = 1 − x 3 ⇒ dt = −3x 2dx ⇒ x 2dx = −

dt
3

Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 1; Với x = 1 ⇒ t = 0

1
⇒I =
3
4

3. I =

3


1



1 t 7 t 8 
1
 −  =
3 7
8
168

1



t 6 (1 − t )dt =

0
4

1

dx =
x (x 4 + 1)

3

x 3dx

∫ x 4 (x 4 + 1)
1

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 20


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

GV. Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

Đặt t = x 4 ⇒ dt = 4x 3dx ⇒ x 3dx =

dt
4

Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = 1; Với x = 4 3 ⇒ t = 3

1
⇒I =
4

3


1

2

4. I =

3

dt
1
=
t(t + 1) 4

1
1 
1  t  3 1 3
dt = ln 
 = ln
 −

4 t + 1 1 4 2
 t t + 1


1

2

dx

x 9dx

∫ x.(x 10 + 1)2 ∫ x 10 (x 10 + 1)2
=

1

1

Đặt t = x 10 + 1 ⇒ dt = 10x 9dx ⇒ x 9dx =

dt
10

Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = 2 ; Với x = 2 ⇒ t = 210 + 1

1
⇒I =
5
=

210 +1


2

1
=
2
5
(t − 1)t
dt

210 +1


2

 1
1 1
− −  dt

 t − 1 t t 2 

1 
1 10
1
1
1
1
) − (− ln 2 + )
ln(t − 1) − ln t +  22 +1 = (10 ln 2 − ln(210 + 1) +
5 
t 
5
5
2
210 + 1
2

5. I =

2

(1 − x 7 ).x 6
dx =
dx .
7
7
7
x
+
x
x
+
x
(1
)
.(1
)
1
1



1− x7



dt
7
Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = 1; Với x = 2 ⇒ t = 128
Đặt t = x 7 ⇒ dt = 7x 6dx ⇒ x 6dx =

⇒I =

=

1
7

128


1

1−t
1
dt =
t(1 + t )
7

128


1



 1 − 2 dt = 1 (ln t − 2 ln 1 + t ) 128

1
7
 t 1 + t 

1
1
10
2
(7 ln 2 − 2 ln 129) − (−2 ln 2) =
ln 2 − ln 129
7
7
7
7
3

6. I =

dx

3

∫ x 6 (1 + x 2 ) = ∫
1

Đặt t =

1

dx
1
x 2 .x 6 ( + 1)
x2

1
1
⇒ dt = − dx
x
x2

: Đổi cận:Với x = 1 ⇒ t = 1; Với x = 3 ⇒ t =

1
3

3
3

⇒I =−

1



t 4 − t 2 + 1 − 1 dt = 117 − 41 3 + π
dt =


2
2
135
12


t
+
1
t
+
1
1
3



t6


3

1

7. I =

(x − 1)2

∫ (2x + 1)4
0

1

dx =


0

 x − 1 2


 2x + 1 

dx
(2x + 1)2

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 21


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

GV. Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

 x − 1 '
3
 =
Chú ý: 
 2x + 1
(2x + 1)2
Đặt:

3dx
x −1
dx
dt
=t ⇒
= dt ⇒
=
2
2
2x + 1
3
(2x + 1)
(2x + 1)

Đổi cận: Với: x = 0 ⇒ t = −1 ; Với x = 1 ⇒ t = 0

1
3

⇒t =

8. I =

−1

2

0

1

1





 7x − 199
dx
1

=

2
 2x + 1 (
9
2x + 1)
0
0

=

2

9. I =

t 3 −1
1
=−
9 0
9

∫ t dt =

 7x − 199  7x − 1
 d 


 2x + 1
 2x + 1

100
1 1  7x − 1 1
1  100



=

2 − 1

0


9 100 2x + 1
900

1 + x2

∫ 1 + x 4d x
1

Ta có:

1+x

2

1+ x4

Đặt t = x −

1+

=

1

x2 .
1
x2 +
x2


1
1
⇒ dt = 1 + dx
x

x 2 

Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = 0; Với x = 2 ⇒ t =
3
2

dt

∫ t2 − 2

⇒I=

=

2 2

0

2

10. I =

1

3
2


0

3
2

3
 1
1 
1
t− 2
1


dt
=
=
.
ln
ln(3 − 2 2)
2



t − 2 t + 2 
2 2
t+ 2 0
2

1− x2

∫ 1 + x 4d x
1

1

−1
2
x
=
Ta có:
.
1
1+ x4
x2 +
x2

1−x

2

Đặt t = x +


1
1
⇒ dt = 1 − dx
x

x 2 

Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = 2; Với x = 2 ⇒ t =

5
2

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 22


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

GV. Lưu Huy Thưởng
5
2

0968.393.899

dt

∫ t2 + 2 .

⇒I =−

2

du

Đặt t = 2 tan u ⇒ dt = 2

2

cos u
u2

2
⇒I =
2

2

11. I =

∫ du =
u1

; tan u = 2 ⇒ u1 = arctan 2;

5
5
⇒ u2 = arctan
2
2

tan u =


2
2 
5
(u2 − u1 ) =
arctan − arctan 2
2
2 
2


1 − x2

∫ x + x 3dx
1

1

2

Ta có: I =


1

−1

1
1
x2
dx . Đặt t = x + ⇒ dt = 1 −  dx
1
x

x 2 
+x
x

Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = 2; Với x = 2 ⇒ t =
5
2



I =−

2

dt
= − ln t
t

1

12. I =

5
5
2
2 = − ln

2

+ ln 2 = ln

5
2

4
5

x4 +1

∫ x 6 + 1 dx
0

Ta có:

x4 +1
x6 + 1
1

⇒I =

=

1

(x 4 − x 2 + 1) + x 2

∫ x2 + 1

x6 + 1

dx +

0

3
3

13. I =

1
3

1

d (x 3 )

=

x4 − x2 + 1
(x 2 + 1)(x 4 − x 2 + 1)

1 π

+

x2
x6 + 1

=

1
x2 + 1

+

x2
x6 + 1

∫ (x 3 )2 + 1 dx = 4 + 3 . 4 = 3
π

π

0

x2

∫ x 4 − 1 dx
0

3
3

I =

x

2

∫ (x 2 − 1)(x 2 + 1)
0

1

14. I =

dx =

1
2

3
3 


0

1
1 
1
π

+
dx = ln(2 − 3) +
2
2
4
12
 x − 1 x + 1

xdx

∫ x4 + x2 + 1 .
0

Đặt t = x 2 ⇒ dt = 2xdx ⇒ xdx =

dt
2

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 23


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

GV. Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; Với x = 1 ⇒ t = 1

⇒I =

1
2

1

dt

∫ t2 + t + 1
0

1+ 5
2



15. I =

1

Ta có:

x2 + 1
x4 − x2 + 1

x2 + 1
x4 − x2 + 1

Đặt t = x −

1

⇒I =

1
2

=

1

∫
0

2

 

t + 1  +  3 
 


2
2

=

π
6 3

dx

1+

=

dt
2

1

x2
.
1
2
−1
x +
x2


1
1
⇒ dt = 1 + dx
x

x 2 
dt

∫ t2 + 1 .
0

Đặt t = tan u ⇒ dt =

du
cos2 u

π
4

⇒ I =

∫ du = 4

π

0

http://www.Luuhuythuong.blogspot.com

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 24


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×