Tải bản đầy đủ

2 tích phân

Nguyên hàm – Tích phân

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

II. TÍCH PHÂN
Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân

A. Tóm tắt lí thuyết
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN
a. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên K và a, b  K. Giả sử F(x) là một
nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì:
b

b

 f ( x )dx   F( x)a  F(b)  F(a)

( Công thức NewTon - Leipniz)

a


b. Các tính chất của tích phân
b

 Tính chất 1:

a

 f ( x )dx    f ( x)dx
a

b

 Tính chất 2: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên  a; b thì
b

b

b

  f ( x )  g( x ) dx   f ( x)dx   g( x )dx
a

a

a

 Tính chất 3: Nếu hàm số f(x) liên tục trên  a; b và k là một hằng số thì
b

b

 k. f ( x)dx  k. f ( x )dx
a

a

 Tính chất 4: Nếu hàm số f(x) liên tục trên  a; b và c là một hằng số thì
b



a

c

b

f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx
a

c

 Tính chất 5: Tích phân của hàm số trên  a; b cho trước không phụ thuộc vào
biến số ,
b

nghĩa là:

b

b

 f ( x )dx   f (t)dt   f (u)du  ...
a

a

a

2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
b

a) DẠNG 1: Tính I =  f[u(x)].u' (x)dx bằng cách đặt t = u(x)
a

Công thức đổi biến số dạng 1:

b

u(b)

a

u (a)

 f u ( x).u ' ( x)dx   f (t )dt

Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt

t  u ( x)  dt  u ' ( x)dx

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Nguyên hàm – Tích phân

Bước 2: Đổi cận:

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

xb
t  u (b)

xa
t  u (a)

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
u (b )

b

I   f u( x ).u' ( x)dx   f (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới)
a

u(a)
b

b) DẠNG 2: Tính I =  f(x)dx bằng cách đặt x = (t)
a

b



a



I   f ( x )dx   f  (t )  ' (t ) dt

Công thức đổi biến số dạng 2
Cách thực hiện
x   (t )  dx   ' (t )dt
xb
t
Bước 2: Đổi cận:

xa
t 

Bước 1: Đặt

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
b



a



I   f ( x )dx   f  (t )  ' (t ) dt

(tiếp tục tính tích phân mới)

3. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Công thức tích phân từng phần
b

b

 u ( x).v' ( x) dx  u ( x).v( x)a   v( x).u ' ( x )dx
b

a

a

b

b

a

a

hay:  udv  u.vba   vdu
Cách thực hiện
Bước 1: Đặt

u  u ( x)
du  u ' ( x)dx

dv  v ' ( x)dx
v  v( x)
b

b

a

a

Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần:  udv  u.vba   vdu
Bước 3: Tính u.v ba

b

và  vdu
a

II. CÁC VÍ DỤ
2

Ví dụ 1: Tính tích phân I  
1

x 2  3x 1
dx .
x2  x

(Phân tích & dùng định nghĩa)

Bài giải
♥ Biến đổi hàm số thành dạng

x 2  3x 1
2 x 1
 1 2
2
x x
x x

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Nguyên hàm – Tích phân
2

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
2

2

x 2  3x 1
2 x 1
dx   dx   2
dx
2
x x
x x
1
1

Khi đó: I  
1
2



 dx  x

2
1

1

1
2




1

2
2 x 1
dx  ln x 2  x  ln 3
2
1
x x

♥ Vậy I  1  ln 3 . 

1

Ví dụ 2: Tính tích phân I  

 x 1

0

2

dx .

x2 1

(Phân tích & dùng định nghĩa)

Bài giải
 x 1

2

♥ Biến đổi hàm số thành dạng
 x 1

2

1

Khi đó: I  

x 1
2

0

x 2 1

1

1

x 2  2 x 1
2x
 1 2
2
x 1
x 1

2x
dx
x 1

dx   dx  
0



2

0

1



 dx  x

1
0

1

0
1




0

1
2x
dx  ln x 2  1  ln 2
0
x 1
2

♥ Vậy I  1  ln 2 . 

ln 2

Ví dụ 3: Tính tích phân I   e x 1 e x dx .
2

(Đổi biến số dạng 1)

0

Bài giải
♥ Đặt t  e x 1  dt  e x dx
 x  ln 2 t  1
Đổi cận: 

 x  0
1

Suy ra: I  
0

t  0
1

t3
1
t dt 

30 3
2

1
3

♥ Vậy I  . 

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Nguyên hàm – Tích phân

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
1

Ví dụ 4: Tính tích phân I   x 2  x 2 dx .

(Đổi biến số dạng 1)

0

Bài giải
♥ Đặt t  2  x 2  t 2  2  x 2  2tdt  2 xdx  tdt  xdx
 x  1 t  1
Đổi cận: 

 x  0
2

Suy ra: I  
1

♥ Vậy I 

t  2


t3
t dt 
3

2

2 2 1
3



2

1

2 2 1
.
3
e

Ví dụ 5: Tính tích phân I  
1

4  5ln x
dx .
x

(Đổi biến số dạng 1)

Bài giải
5
x

♥ Đặt t  4  5ln x  t 2  4  5ln x  2tdt  dx
 x  e t  3
Đổi cận: 

 x  1
3

t  2
3

2
2
2
38
Suy ra: I   t 2 dt  t 3  33  23  
5 2
15 2 15
15

♥ Vậy I 

38
.
15

4

Ví dụ 6: Tính tích phân I    x 1 sin 2 xdx .

(Tích phân từng phần)

0

Bài giải
du  dx

u  x  1
♥ Đặt 
 
dv  sin 2 xdx v   1 cos 2 x

2




4
4
1
1
Suy ra: I    x 1 cos 2 x  sin 2 x
2
4
0
0




4
4
1
1
3
   x  1 cos 2 x  sin 2 x 
2
4
4
0
0

3
4

♥ Vậy I  . 
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Nguyên hàm – Tích phân

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

4

Ví dụ 7: Tính tích phân I   x 1  sin 2 x dx .

(Tích phân từng phần)

0


4


4

0

0

x2
x sin 2 xdx 
2

♥ Ta có: I   xdx  


4


4



0

0


4

2
x sin 2 xdx    x sin 2 xdx
32 0

du  dx
u  x
Đặt 
 
dv  sin 2 xdx v   1 cos 2 x

2

4



Suy ra:

0

♥ Vậy I 


4


4


4



4
1
1
1
1
1
x sin 2 xdx  x cos 2 x   cos 2 xdx   cos 2 xdx  sin 2 x 
2
2 0
2 0
4
4
0
0

2 1
 .
32 4

2

Ví dụ 8: Tính tích phân I  
1

x 2  2 ln x
dx .
x

(Phân tích + đổi biến số dạng 1)

Bài giải
2

2

1

1

♥ Ta có: I   xdx  2 ln x dx
2





0

2

♥ Tính


1

x

2

x2
3
xdx 

2 1 2

ln x
dx
x

Đặt t  ln x  dt  1 dx
x

 x  2 t  ln 2
Đổi cận: 

 x  1
2

Suy ra:


1

t  0
ln 2

ln x
t2
dx   tdt 
x
2
0

ln 2


0

ln 2 2
2

3
2

♥ Vậy I   ln 2 2 . 

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Nguyên hàm – Tích phân

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
2

Ví dụ 9: Tính tích phân I  
1

♥ Đặt

x 2 1
ln xdx .
x2

(Tích phân từng phần)


1
u  ln x
du  dx

x
2
 

dv  x 1 dx 
1

v  x 
x2
x

2

2

1

1



1
1 1
Suy ra: I   x   ln x    x   dx


x
x x
2

2



1
1
  x   ln x   x  


x
x 1
1
5
3
 ln 2 
2
2
5
2

3
2

♥ Vậy I  ln 2  . 

Ví dụ 10: Tı́nh tı́ch phân I =

1

0 (2e

x2

 ex ) xdx .

(Phân tích + đổi biến dạng 1+ tích

phân từng phần)
Bài giải
♥ Ta có: I =


I1 =

 I2 =

1

0 2xe

x2

1

dx   xex dx .
0

1

1

1 x2
x2
x2
2
0 2xe dx  0 e d (x ) = e  0

1

= e – 1.

x

0 xe dx

Đă ̣t u = x
 du = exdx
dv = exdx  v = ex.
1
1
1
Suy ra: I2 =  xex  0  0 ex dx = e  e x  0 = 1.
♥ Vâ ̣y I = e – 1 + 1 = e. 

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Nguyên hàm – Tích phân

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

III. TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ
Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân



A. DẠNG: I= 


P ( x)
dx
ax+b

 a  0


* Chú ý đến công thức:

m

m



 ax+b dx  a ln ax+b  . Và nếu bậc của P(x) cao hơn hoắc bằng





2 thì ta chia tử cho mẫu dẫn đến







P( x)
m
1
 ax+b dx   Q ( x)  ax+b dx   Q( x)dx  m ax+b dx

2

Ví dụ 1: Tính tích phân: I=

x3
1 2 x  3 dx

Giải
3

Ta có: f ( x) 

x
1
3
9 27 1
 x2  x  
2x  3 2
4
8 8 2x  3

Do đó:
2

2
x3
9 27 1 
27
13 27
1 2 3
1 3 3 2 9
2
1 2 x  3 dx  1  2 x  4 x  8  8 2 x  3  dx   3 x  8 x  8 x  16 ln 2 x  3  1   6  16 ln 35

3

Ví dụ 2: Tính tích phân: I=


5

x2  5
dx
x 1

Giải
2

x 5
4
 x 1 
.
x 1
x 1
3
 5 1
x2  5
4 

1 2
 3
dx    x  1 
 5  1  4ln 

 dx   x  x  4ln x  1 
x 1
x 1 
2
 5
5
 4 

Ta có: f(x)=
3

Do đó:


5



B. DẠNG:

 ax



2

P( x)
dx
 bx  c

1. Tam thức: f ( x)  ax 2  bx  c có hai nghiệm phân biệt


Công thức cần lưu ý:  u '( x) dx  ln u ( x)


u ( x)



Ta có hai cách
Cách 1: ( Hệ số bất định )
Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu )
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Nguyên hàm – Tích phân

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
1

Ví dụ 3: Tính tích phân: I=

x
0

4 x  11
dx .
 5x  6

2

Giải
Cách 1: ( Hệ số bất định )
A  x  3  B  x  2 
4 x  11
4 x  11
A
B




x  5 x  6 ( x  2)( x  3) x  2 x  3
( x  2)( x  3)

Ta có: f(x)=

2

Thay x=-2 vào hai tử số: 3=A và thay x=-3 vào hai tử số: -1= -B suy ra B=1
3
1

x2 x3
1
1
1
4 x  11
1 
 3
dx

0 x 2  5 x  6 0  x  2  x  3  dx   3ln x  2  ln x  3  0  2 ln 3  ln 2

Do đó: f(x)=
Vậy:

Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu )
Ta có: f(x)=

2  2 x  5  1
2x  5
1
2x  5
1
1
 2. 2

 2. 2


2
x  5x  6
x  5 x  6  x  2  x  3
x  5x  6 x  2 x  3

1

1

Do đó: I=  f ( x)dx    2.
0

0



2x  5
1
1 

x2  1
2


 2ln 3  ln 2
 dx   2 ln x  5 x  6  ln
x  5x  6 x  2 x  3 
x  3  0

2

2. Tam thức: f ( x)  ax 2  bx  c có hai nghiệm kép


Công thức cần chú ý:


u '( x) dx
 ln  u ( x) 

u( x)




Thông thừơng ta đặt (x+b/2a)=t .
3

Ví dụ 4: Tính tích phân sau: I=

x3
0 x 2  2 x  1 dx

Giải
3

Ta có:

3

3

x

2

0

3

x
x
dx  
dx
2
 2x 1
0  x  1

Đặt: t=x+1 suy ra: dx=dt ; x=t-1 và: khi x=0 thì t=1 ; khi x=3 thì t=4 .
3

Do đó:

4

x3

  x  1
0

2

dx  
1

 t  1

3

t2

4
3 1
1 4
3

1
dt    t  3   2  dt   t 2  3t  ln t    2ln 2 
t t 
t1
2
2
1

1

Ví dụ 5: Tính tích phân sau: I=

 4x
0

2

4x
dx
 4x 1

Giải
Ta có:

4x
4x

4 x  4 x  1  2 x  1 2
2

 x  0  t  1
2 x  1  t  1
1
1
1
1 4.  t  1
1
4x
4x
1
1 1
1 1 

2
dx

dx

dt

0 4 x 2  4 x  1 0  2 x  12
1 t 2 2 1  t  t 2  dt   ln t  t  1  2

Đặt: t= 2x-1 suy ra: dt  2dx  dx  1 dt; 
Do đó:

3. Tam thức: f ( x)  ax 2  bx  c vô nghiệm
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Nguyên hàm – Tích phân

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

b

u  x

P( x)
P( x)
2a

Ta viết: f(x)=

;
2
2
2
2

b      a  u  k   k  
a  x    
 

2a
2 a   2a  



Khi đó: Đặt u= ktant
2 3
2
Ví dụ 6: Tính tích phân sau: I=  x  2 x2  4 x  9 dx

x 4

0

Giải
3

2

x  2x  4x  9
1
 x2 2
2
x 4
x 4
2 3
2
2
2
x  2x  4x  9
1 
dx

1 2
2
 Do đó: 
dx

x

2

dx

x

2
x

 6  J (1)



0  2
2
2

x 4
x 4
x 4
2

0
0
0

 Ta có:

2

Tính tích phân J=

x

2

0

1
dx
4

x  0  t  0
2
 
 Đặt: x=2tant suy ra: dx = 2 dt ; 
  t  0;   cost>0
cos t  x  2  t 
 4

4



2
1
14
1
2
14
1

 Khi đó:  2 dx  
dt   dt  t 4 
2
2
4 0 1  tan t cos t
20
2
8
0 x 4
0
 Thay vào (1): I  6  
8


C. DẠNG:

 ax



3

P( x )
dx
 bx 2  cx  d

1. Đa thức: f(x)= ax 3  bx 2  cx  d  a  0  có một nghiệm bội ba


Công thức cần chú ý:

1

x

m

dx 



1

Ví dụ 7: Tính tích phân: I=

1
1 
. m1
1 m x 

x

  x  1

3

dx

0

Giải
Cách 1:
 Đặt: x+1=t , suy ra x=t-1 và: khi x=0 thì t=1 ; khi x=1 thì t=2
1

 Do đó:

2

x

2
t 1
1 1
 1 1 12 1
dt

 2  3  dt     2  1 
3

t
t t 
8
 t 2t 
1
1

3

dx  



 x  1  1  1  1
3
2
3
 x  1  x  1  x  1

  x  1
0

Cách 2:
 Ta có:

x

 x  1

1 
 1
1
1 
1
1 1 1
dx


dx






0  x  13
0   x  12  x  13   x  1 2  x  12  0  8




1

 Do đó:

3

x

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Nguyên hàm – Tích phân

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
0

x

Ví dụ 8: Tính tích phân: I= 

4

1  x  1

3

dx .

Giải
 Đặt: x-1=t , suy ra: x=t+1 và: khi x=-1 thì t=-2 và khi x=0 thì t=-1 .
0

 Do đó:

1

x4

  x  1

3

dx 

1



 t  1

4

t3

2

1 4

dt 

1

t  4t 3  6t 2  4t  1
6 4 1

dt    t  4   2  3  dt
3
2
t
t t
t 
2 

1
1
    t  4  6  42  13  dt   1 t 2  4t  6 ln t  4  1 12   33  6 ln 2
t t t 
t 2 t  2 8
2
2 
2. Đa thức: f(x)= ax 3  bx 2  cx  d  a  0  có hai nghiệm:
Có hai cách giải: Hệ số bất định và phương pháp nhẩy tầng lầu

3

Ví dụ 9: Tính tích phân sau: I=

1

  x  1 x  1

3

dx

2

Giải
Cách 1. ( Phương pháp hệ số bất định )
 Ta có:

2

1

 x  1 x  1

2

A  x  1  B  x  1 x  1  C  x  1
A
B
C




2
2
x  1  x  1  x  1
 x  1 x  1

1

A

1  4 A

4 . Khi đó (1)
 Thay hai nghiệm mẫu số vào hai tử số: 

1  2C
C   1

2
2
 A  B  x   2 A  C  x  A  B  C  A  B  C  1  B  A  C  1  1  1 1   1

2
4 2
4
 x  1 x  1
3
1 1
1
1
1 1 
dx


.

.

2  x  1 x  12
2  4 x  1 4  x  1 2  x  12  dx


1
1
1 3 1
3
 I   ln  x  1 x  1  .
  ln 8  ln 2
2  x  1  2 4
4
4
3

1

 Do đó:

Cách 2:
 Đặt: t=x+1, suy ra: x=t-1 và khi x=2 thì t=3 ; khi x=3 thì t=4 .
3

 Khi đó: I= 
2

 x  1 x  1

4
4
4
dt
1 t  t  2 
1
1
1 

dt

dt

dt 

2
2




t t  2 2 3 t t  2
2  2 t  t  2
t 
3
3
4

1
2

dx  

4
4
11  1
1
1  1 t 2 1
4 3
 I   
  dt   dt    ln
 ln t   ln 2
2 2 2t 2 t 
t  4
t
2
3 4
3
2
3t  4t   1  3t 2  4t  4    3t 2  4t  1  3t  2    3t 2  4t  1  3  2 
1
Hoặc: 3


 



t  2t 2
t 3  2t 2
4  t 3  2t 2   t 3  2t 2 4 t 2  t 3  2t 2 4  t t 2 
4
4
 2

 Do đó: I=   33t  42t  1  3  22   dt   ln t 3  2t 2  1  3ln t  2    3 ln 2
t  2t
4  t t 
4
t  3 4

3

Hoặc:


2
2
1
1  t  t  4  1  1
t 2 1 1
1 2

 

 2  
  2
2
2


t t  2 4 t t  2
4t 2
t  4t 2 t t 


4
1
1
1 2
1 t2 2 4 1 1 1
1 2 1
1
Do đó: I=  
  2  dt   ln
    ln   ln     ln 3  ln 2  
4 3t2 t t 
4
t
t  3 4 2 2
3 3 4
6

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Nguyên hàm – Tích phân

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
3

Ví dụ 10: Tính tích phân sau: I=

x

2

  x  1  x  2  dx
2

2

Giải
Đặt: x-1=t , suy ra: x=t+1 , dx=dt và: khi x=2 thì t=1 ; x=3 thì t=2 .
2

2 2
t  1

t  2t  1
Do đó: 
dx   2
dt   2
dt
2
t  t  3
t  t  3
2  x  1  x  2 
1
1
3

x2

2

Cách 1; ( Hệ số bất định )
2

Ta có:

2

t 2  2t  1 At  B
C
 At  B  t  3  Ct   A  C  t   3 A  B  t  3B



2
2
t  t  3
t
t 3
t 2  t  3
t 2  t  3

1

B  3
A  C  1

5
t 2  2t  1 1 t  3 4 1


Đồng nhất hệ số hai tử số: 3 A  B  2   A   2


9
t  t  3 9 t 2
9 t 3
3B  1


4

C  9

2 2
2
2
Do đó:  t 2  2t  1 dt    1  1  32   4  1   dt   1  ln t  3   4 ln t  3   17  4 ln 5  7 ln 2
t  t  3
9 t t  9  t  3 
t 9
9
9
1 6 9
1
1 

Cách 2:
 Ta có:




2
2
 1  3t 2  6t  1  t   t  9   
t 2  2t  1 1  3t 2  6t  3  1  3t 2  6t
3



 

 
 

t 2  t  3  3  t 3  3t 2  3  t 3  3t 2 t 2  t  3   3  t 3  3t 2  9  t 2  t  3  



1  3t 2  6t  1 1
1 t  3 1  3t 2  6t  1 1
1  1 3 
  3









  
3  t  3t 2  9 t  3 9 t 2
3  t 3  3t 2  9 t  3 9  t t 2  
2 2
2
 1  3t 2  6t  1  1 1 3  
1
t  2t  1
1  t  3 3  2
Vậy:  2
dt     3
 
  2   dt   ln t 3  3t 2   ln
 
2 
t  t  3
3 t  3t  9  t  3 t t  
27 
t
t  1
3
1
1 
17 4
7
Do đó I=  ln 5  ln 2
6 9
9

3. Đa thức: f(x)= ax 3  bx 2  cx  d  a  0  có ba nghiệm:
3

Ví dụ 11: Tính tích phân sau: I=

 xx
2

1
2

 1

dx

Cách 1: ( Hệ số bất định )
 Ta có: f(x)=

A  x 2  1  Bx  x  1  Cx  x  1
1
1
A
B
C

 


x  x  1 x  1
x  x 2  1 x  x  1 x  1 x x  1 x  1

 Đồng nhất hệ số hai tử số bằng cách thay các nghiệm: x=0;x=1 và x=-1 vào hai

tử ta có:


 A  1
x  0  1   A

1
1 1 1  1 1 


x


1

1

2
C


 B   f ( x)    
 

2
x
2
x

1

 2  x 1 
 x  1  1  2B


1

C  2

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Nguyên hàm – Tích phân
FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
3
3
1
1 1
1  1
3
1
3 5
 Vậy:  2
dx    

   dx    ln  x  1 x  1   ln x  2  ln 2  ln 3
2  x 1 x  1  x 
2
2
2

2 x  x  1
2

Cách 2: ( Phương pháp nhẩy lầu )
x 2   x 2  1
1
x
1 1 2x
1
Ta có:

 2
 

2
2
2
x 1 x 2 x 1 x
x  x  1
x  x  1
3

Do đó:

3
3
1
1 2 xdx
1
3
1
3 5
2
dx


2 x  x 2  1 2 2 x 2  1 2 x dx   2 ln  x  1  ln x  2  2 ln 2  2 ln 3

4

Ví dụ 12: Tính tích phân sau: I= 
3

x 1
dx
x  x 2  4

Cách 1:
A  x 2  4   Bx  x  2   Cx  x  2 
x 1
x 1
A
B
C
Ta có:

 


x  x 2  4  x  x  2  x  2  x x  2 x  2
x  x2  4

Thay các nghiệm của mẫu số vào hai tử số:
Khi x=0: 1= -4A suy ra: A=-1/4
Khi x=-2: -1= 8C suy ra C=-1/8
Khi x=2: 3= 8B suy ra: B=3/8 .
1 1

1

1

3

1




Do đó: f(x) =     
 

4 x 8 x2 8 x2
4

Vậy:

3
3
3
x 1
1 1
1
1
3
1
1
3
 1
3
dx


dx

dx

dx    ln x  ln x  2  ln x  2  
3 x  x 2  4 



42x
8 2 x2
8 2 x2
8
8
 4
2

5
3
1
 ln 3  ln 5  ln 2
8
8
4

Cách 2:
Ta có:
2
2
x 1
1
1
1 1
1  1  x   x  4  1  1
1
1 2x
1
 
 2

 



 
  
2
2
2
2
x  x  4   x  4  x  x  4  4  x  2 x  2  4  x  x  4   4  x  2 x  2 2 x  4 x 

4

Do đó:

4
x 1
1  1
1
1 2x
1
1 x  2 1
4
2
dx

3 x  x 2  4  4 3  x  2  x  2  2 x 2  4  x  dx   4 ln x  2  2 ln  x  4   ln x  3
3

Ví dụ 13: Tính tích phân sau:

x2
2  x 2  1  x  2  dx

Giải
Cách 1: ( Hệ số bất định )
A  x  1 x  2   B  x  1 x  2   C  x 2  1
x2
x2
A
B
C





 x2  1  x  2   x 1 x  1 x  2  x  1 x  1 x  2
 x2  1  x  2 

Thay lần lượt các nghiệm mẫu số vào hai tử số:
Thay: x=1 Ta cớ: 1=2A , suy ra: A=1/2
Thay: x=-1 ,Ta có:1=-2B, suy ra: B=-1/2
Thay x=-2 ,Ta có: 4= -5C, suy ra: C=-5/4
Do đó:
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Nguyên hàm – Tích phân
FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
3
3
2
x
1 1
5 1 
 1 x 1 5
3 1 3
1 1
I=  2
dx   


 ln x  2   ln
dx   ln
2 x 1 2 x  1 4 x  2 
 2 x 1 4
2 2 2
2  x  1  x  2 
2

Cách 2.( Nhẩy tầng lầu )
Ta có:
x2
x2  1  1
1
1
1
1 x  x  1   x  1 x  2 





2
2
 x  1  x  2   x 1  x  2  x  2  x  1 x  1 x  2  x  2 2  x  1 x  1 x  2 



1
1
x
1 
1
1  1 1
1 
1 
 

 1  



x  2 2   x  1 x  2  x  1  x  2 2  3  x  1 x  2  x  1 

Từ đó suy ra kết quả .


D. DẠNG:

 ax



4

R  x
dx
 bx 2  c

Những dạng này , gần đây trong các đề thi đại học ít cho ( Nhưng không hẳn là không
cho ) , nhưng tôi vẫn đưa ra đây một số đề thi đã thi trong những năm các trường ra đề
thi riêng , mong các em học sinh khá ,giỏi tham khảo để rút kinh nghiệm cho bản thân
.
1

Ví dụ 1. Tính tích phân sau:



1

0  x  3x  2 
2

2

dx

Giải
Ta có:
 1
1 
x  3 x  2   x  1 x  2   f ( x) 




2
2
 x 2  3x  2   x  1 x  2    x  1  x  2  
1
1
2
1
1
1 
 1





 2

 . Vậy:
2
2
2
2
 x 1 x  2 
 x  1  x  2  x  1 x  2   x  1  x  2 
1

2

1


0

1

x

2

 3x  2 

2

2

1

1 
1
1
1 

1
1
x 1
 1
dx   


2


 2 ln

  dx   
2
2
x2
 x  1 x  2  
 x 1 x  2
0
  x  1  x  2 

3

Ví dụ 2. Tính các tích phân sau:


1

1 2
 0   2ln 3
3


x2  1
dx
x  x2  1
4

Giải
Chia tử và mẫu cho x 2  0 , ta có:
1
x2 
f ( x) 
1
x2  2  1
x
1

3


1

3

f ( x)dx 


1

1 

1  2  dx
 x 
 2 1 
 x  2  1
x 


1
1
1
Đặt: t  x   x 2  2  t 2  2, dt   1  2
x
x
 x

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

1

x  1  t  2


 dx   x  3  t  4


3

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Nguyên hàm – Tích phân
4
3

3

Vậy:



f ( x)dx 

1

t
2

t 3
I
ln
2 3 t 3
1

dt

3

2

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
4
3


2

1

 t  3  t  3 

dt 

1
2

4
3



1


3  t
2

3



1 
 dt
t 3

4

1  1
74 3 
1
ln 7  4 3 )
3
 ln  ln
 
7  2 3
2 3 7
2





2

Ví dụ 3. Tính tích phân sau:

x2 1
1  x 2  5 x  1 x2  3x  1 dx .

Ta có:
1 

1
1 2
2
2
 1  2  dx
x2  1
x


x
f ( x)  2

  f ( x) dx  
2
1
1
1
1








x

5
x

1
x

3
x

1


  x   5 x   1
1 x
 5   x   3

x
x3
x
x





1
1
5
Đặt: t  x   dt  1  2  dx , x  1  t  2, x  2  t 
x
2
 x 

1

Vậy (1) trở thành:
5
2

5

5
dt
1 2 1
1 
1 t 5
1
1 5
2  t  5 t  3  2 2  t  5  t  3  dt  2 ln t  3 2  2  ln 5  ln 3  2 ln 3
2
5
2

Ví dụ 4. Tính tích phân sau:

x
3
2

Ta có: f ( x) 

dx
.
 4 x2  3

1
1
1 1
1 
 2
  2
 2 
2
2
x  4 x  3  x  1 x  3 2  x  3 x  1 
4

5
2

Do đó:

4

5
2



 f ( x)dx    x
3
2

2

3
2

1
1 
 2  dx  I  J
 3 x 1 

1 Với:

5
5
5
2
1
1
1 2 1
1 
1
x 3 2
1
37  20 3
I 2
dx  
dx 

dx 
ln

ln



2 3 3 x 3 x 3
2 3 x  3 3 2 3 65 7  4 3
x 3
3 x 3
3 x 3
2
2
2
2
5
2











5
5
1
1
1
1 2 1
1 
1 x 1 2 1  3
1  1 15
J   2 dx  
dx   

  ln  ln   ln
 dx  ln
x 1
x  1 x  1
2 3  x 1 x  1 
2 x 1 3 2  7
5 2 7
0
0 
2
2
1

x7
Ví dụ 5. Tính tích phân sau: 
dx
8
4
1

x

2x
2
3

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Nguyên hàm – Tích phân

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

3
x7
x4
dx

x 3dx

8
4
2
2 1  x  2x
2 x4 1
3

I =



1



dt  3x 3dx, x  2  t  15; x  3  t  80

Đặt: t  x 4  1  
1 x4
1  t  1
1 1 1 
f
(
x
)
dx

3 x3dx 
dt    2  dt
2
4

3  x  1
3 t
3 t t 

80
80
Vậy: I   1  1  12  dt  1  ln t  1   1 ln 16  13
3 t t 
3
t  15 3 3 720
15 


R x
 Q ( x) dx ( Với Q(x) có bậc cao hơn 4 )

E. TRƯỜNG HỢP:



Ở đây tôi chỉ lưu ý: Đối với hàm phân thức hữu tỷ có bậc tử thấp hơn bậc mẫu tới hai
bậc hoặc tinh ý nhận ra tính chất đặc biệt của hàm số dưới dấu tích phân mà có cách
giải ngắn gọn hơn . Phương pháp chung là như vậy , nhưng chúng ta khéo léo hơn thì
cách giải sẽ hay hơn .
2

Ví dụ 1. Tính tích phân sau:

dx
.
4
 1

 xx
1

Nếu theo cách phân tích bằng đồng nhất hệ số hai tử số thì ta có:
f ( x) 

1
x  x 4  1



4
3
2
A Bx3  Cx 2  Dx  E A  x  1  x  Bx  Cx  Dx  E 



x
x4  1
x  x 4  1

A  B  0
A  1

 B  1
A  B  x  Cx  Dx  Ex+A

1
x3
C  0, D  0

 f ( x) 



f
(
x
)




x x4 1
x  x 4  1
E  0
C  0, D  0,
 A  1
 E  0
4

3

2

Nhưng nếu ta tinh ý thì cách làm sau sẽ hay hơn .
Vì x và x 3 cách nhau 3 bậc , mặt khác x  1; 2  x  0 . Cho nên ta nhân tử và mẫu với
x 3  0 . Khi đó f ( x) 

f ( x)dx 

x3
. Mặt khác d  x 4   4 x3dx  dt  4 x 3dx
4
4
x  x  1

t  x  , cho nên:
4

1 3x3dx
1 dt
1 1 1 

  
  f (t ) . Bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều
4
4
3 x  x  1 3 t  t  1 3  t t  1 

. ( Các em giải tiếp )
1
2

Ví dụ 2. Tính tích phân sau:

x2

  x  1  x  3 dx
2

0

Nhận xét:
* Nếu theo cách hướng dẫn chung ta làm như sau:
- f ( x) 

x2  1
3



A
3

 x  1  x  3  x  1



B

 x  1

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

2



C
D

x 1 x  3
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Nguyên hàm – Tích phân

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

1
2

3
8

- Sau đó quy đồng mẫu số , đồng nhất hệ số hai tử số , ta có: A  , B  , C   D 
1
2



1

Do vậy: I   
0

 2  x  1


3



3
8  x  1

2



5
32


5
5

 dx
32  x  1 32  x  3  


 1 5
1
3
5
5
1
 


ln
x

1

ln
x

3
 2  ln
2
32
 8  x  1 8  x  1 32
 0 32 28
2

Ví dụ 3. Tính tích phân sau:

dx

 x 1  x 
4

1

4
4
2
2
dx
1
3x 3
1  d  x  d  x   1  x 4  2 1 32
1 x 1  x 4   3 1 x 4 1  x 4  dx  3 1  x 4  1  x 4   3 ln  1  x 4  1  3 ln 17


2

1

Ví dụ 4. Tính tích phân sau:


0

1


0

x3
2 3

1  x 

1

x3
2 3

1  x 

dx 

1
x2
2 xdx
2 0 1  x 2 3

1 . Đặt:

dx

 x 2  t  1; dt  2 xdx
t  1 x2  
 x  0  t  1, x  1  t  2

2

2
t 1
1 1
 1 1  2 13
dt

 2  3  dt     2  1 
3

t
t t 
16
 t 4t 
1
1

Do đó I  

1 4
2
Ví dụ 5. Tính tích phân sau:  x  3x 3 1 dx
0

1


0

x 4  3x 2  1
2 3

1  x 

1  x 

 1  x 2 2

1
1
x2 
1
x2
dx   

dx

dx

0 1  x 2 0 1  x 2 3 dx  J  K 1
2 3
2 3 

1

x
0 1  x 
 
 

1

Tính J: Bằng cách đặt x  tan t  J 



4


 dx  E  F  2 
2 2
2 3 

1

x
0 1  x 
 

1

 dx  cos 2t dt
x  tan t  
Bằng cách đặt
 x  0  t  0; x  1  t  

4
1

1

Tính K=  

Tính E:

2



1


1

2


2

1
1 
14
1
14
 1
Vậy: E   
dx

dt




2 0  1  x2 
2 0  1  tan 2 t  cos 2t
2 0



1
1
14
dt

cos 2tdt

1 cos 2t
20
cos 4t


4


1
1 1
1  1   2

  1  cos2t  dt   t  sin 2t  4     
40
4 2
16
 0 4 4 2
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Nguyên hàm – Tích phân

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

Tính F. Tương tự như tính E ;
Bằng cách đặt

1

dx  cos 2 t dt
x  tan t  
 x  0  t  0; x  1  t  

4




3

1

3

1
1 
14
1
14
 1
Vậy: F   
dx

dt




2 0  1  x2 
2 0  1  tan 2 t  cos 2t
2 0

4





1
1
14
dt

cos 4tdt
1 cos 2t
2 0
cos 6t


4


1
1 
1  cos4t 
2
1

c
os2t
dt

1

2
c
os2
t

dt



 4
8 0
8 0 
2
 0

4


1
1
1
1 
3  8

 3  4 cos 2t  cos4t  dt   3t  2sin 2t  sin 4t  4   3  2  

16 0
16 
4
64
 0 16  4

1

Ví dụ 6. Tính tích phân sau:



1
3 3

x  x 

1



1
3 3

x  x 

1
3

x4

dx

x4

1
3

1

1

1

1
 x  x3  3 1
 1
 3 1 dx
dx    3  3 dx    2  1  2 .
x  x
 x x
1
1 x
3

3

dx

dt  

1
1
x
Đặt: t   2  1  t  1  2  
x
x

 x  1  t  8; x  1  t  0

3
0 1
8
4
1
4


 7
8
Khi đó I    t 3  t  1 dt    t 3  t 3  dt   3 t 3  3 t 3   3 .27  3 .24  16  24  3   468
4 0 7
4
7
 7 4

7
8
0

* Chú ý: Còn có cách khác
1
1
 1 1 3
 3
2
3
3

t
t

t


1
1
1 
t t   1

Vì: x   ;1  x  0 . Đặt x   dx   2 dt; f ( x)dx 
dt
  2  dt  
4
t
t
t
3 
1  t 
 
t 

 t  t  t 
3

1
3

1

1 3
1
1
1

dt  dt  t 1  2  dt (2) . Đặt: u  1  2  2  1  u; du  dt
t
t
t
 t 
2

a

Ví dụ 7. Tính tích phân sau:


0

Đặt:

x 3dx

x

2

a

3
2 2

.



dt


dx=a cos 2t ; x  0  t  0, x  a  t  4

3
3
3
x  atant   f ( x)  x dx  a tan t a dt  a cos t.tan 3 tdt
3
3
2

 x2  a 2  2 a3  1 2  2 cos t


 cos t 

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Nguyên hàm – Tích phân

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168


4


4


4



4 1  cos t sin t

 dt 
sin 3 t
sin 3 t
Vậy: I   f ( x)dx   a cos t.tan 3 tdt   a cos t. 3 dt   a. 2 dt a 
2
cos t
cos t
cos t
0
0
0
0
0
a

- Đặt:

2


1

 du   s intdt;t= 4  u  2 ; t  0  u  1

cost=u  
2
 f (t )dt  1  u  du  1  1  du
   2

u2
 u 
2
2

Vậy: I 


1

2
1 
1
2
2
3
3 2
3 2 4



2
2
2
1  2  du   u   2 
u
2
2
2
2
2
 u 

1
1

1
x

x

Ví dụ 8. Tính tích phân sau:  e x  e dx   e x ee dx .
0

0

dt  e x dx; x  0  t  1; x  1  t  e

Đặt: t  e x  
1

Vậy: I  
0

x

x e
t
 f ( x)dx  e e dx  e dt
e
e
f ( x)dx   et dt  et  e e  e
1
1

Ví dụ 9. Tính tích phân sau:
Đặt:

2a

2a

2
 x 2ax  x dx 

x

0

0

2

a 2   x  a  dx




dx  a.costdt,x=0  t=- 2 ;x=2a  t= 2
x  a  a.sin t  
 f ( x)dx   a  a.sin t  a 2cos 2t .a.costdt


2



 2

 2

2
2
1

c
os2
t




3
2
3
2
2
3
2
Vậy: I  a  1  sin t  cos tdt  a   cos tdt   cos t sin tdt   a  
dt   cos td  cost  
2






  2

  2

2
2
2


 
1  1

 1    

 2 1
2 
 a 3   t  sin 2t 
 cos3t
 a3      a3

2
2  2
  3
 2  2 2 
 

2
2

1

Ví dụ 10. Tính tích phân sau:


0

1


0

4

4 2

1  x 

1

x 7 dx

1  x 

x 7 dx

2



1
x4
3 x3dx
3 0 1  x 4  2

1 .

dt  3 x3dx, x  0  t  1; x  1  t  2
Đặt: t  1  x 4  
1  t 1 
1 1 1 
 f ( x)dx  3  t 2  dt  3  t  t 2  dt





2
1 1 1
1
1 2 1
1
Vậy: I     2  dt   ln t     ln 2  
3t t 
3
t  1 3
2
0

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Nguyên hàm – Tích phân

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
1

Ví dụ 11. Tính tích phân sau:

3


0

1


0

x3  2 x

 x 2  1

2

2
1
1  x  2
2 xdx
2 0  x 2  1 2

dx 

x  2x

 x2  1

2

dx

1

dt  2 xdx; x  0  t  1; x  1  t  2
Đặt: t  1  x  x  2  t  3  
1  t 3
1 1 3 
 f ( x)dx  2  t 2  dt  2  t  t 2  dt





2
1 1 3
1
3 2 1
3
Vậy: I     2  dt   ln t     ln 2  
2t t 
2
t  1 2
2
1
2

2

2

Ví dụ 12. Tính tích phân sau:


1

2

2

3


1

3

1 x
1 x 2
dx  
x dx
4
x
x6
1

Đặt:

1  x3
dx
x4

1 .

2tdt  3 x 2dx; x  1  t  2, x  2  t  3

t  1  x 3  t 2  1  x3  
1 1  x3 2
1
t
2 t2
f
(
x
)
dx

3
x
dx

2
tdt

dt

3 x6
3  t 2  12
3  t 2  1 2


Vậy:
2
I
3



2
2
3
 1
1 1
1 
2 1 1
1   1
2  t  1  2  t  1  t  1   dt  3  2 4  t  1  t  1    6


3

 1
1
1 
 1




2   t  12  t  12  t  1 t  1   dt


3

1 1
1
t  1  3 1  2t
t 1  3 8 2  3 1





ln


ln

 ln 2 2  2
6  t  1 t  1
t  1  2 6   t 2  1
t 1  2
24
3





4

Ví dụ 13. Tính tích phân sau:

x
7

4

dx

4



dx
x2  9

xdx

1 .
x2  9
5
5
t 2  x 2  9  tdt  xdx, x 2  t 2  9
dt
dt
2
Đặt: t  x  9  
. Do đó: I   2

t t  3  t  3 
 x  7  t  4, x  4  t  5
4 t t  9
4 
A  t 2  9   Bt  t  3   C  t  3  t
1
A
B
C
Ta có: f (t ) 
 


t  t  3  t  3  t t  3 t  3
t t 2  9

x
7

x2  9



x

2

7

Đồng nhất hệ số hai tử số bằng cách thay lần lượt các nghiệm vào hai tử số ta có:
- Với x=0: -9A=1  A  

1
9

1
9
1
- Với x=3: 9B=1  B 
9
5
5 1 t 2  9 5 1 144
1
1
1
1   1
2
Vậy: I      

 ln
 dt   ln  t  9   ln t  4  ln
9 4  t t 3 t 3  9
9
t 4 9 35

- Với x=-3: 9C=1  C 

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Nguyên hàm – Tích phân

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

* Chú ý: Nếu theo phương pháp chung thì đặt: x  3sin t  dx  3cos tdt .
Khi:


7
 x  7  7  3sin t  sin t 
3

4
 x  4  4  3sin t  sin t   1

3

. Như vậy ta không sử dụng được phương pháp

này được.
1

Ví dụ 14. Tính tích phân sau:



x

x2  1

0
1



x

2

 x  dx
2

x 1

0

1

1

x2



2

x 1

0

x

dx  

 x  dx

2

dx  J  K

2

x 1

0

1

* Để tính J:
1


 dx  cos 2t dt , x  0  t  0; x  1  t  4

Đặt: x  tan t  
. Tính tích phân này không đơn giản
1
tan 2 t.
dt
2
2

tan
t
cos t 
dt
 f ( x)dx 
cost
1

tan 2 t


, vì vậy ta phải có cách khác .
x2

- Từ: g ( x) 

2



x2  1  1

x 1

2

1

1

 x2  1 

2

x 1

x 1

1

1

1

  g ( x)dx   x 2  1dx  
0

0

x2  1

0

dx

- Hai tích phân này đều tính được .
1

1

1
1

1
dx  2    x 2  1dx  
dx 
x2  1
x2  1 
0
0
0
0
1
2 1
 2  E  ln x  x 2  1  2 E  2  ln 1  2  E 
 ln 1  2
0
2 2
1
1
1
1
x
1
2
* Tính K=  2 dx  x  1  2  1 ;  2 dx  ln x  x 2  1  ln 1  2
0
0
x 1
x 1
0
0

1
0

x2

+/ Tính: E   x 2  1dx x x 2  1  











Do vậy: I=

2 1
2 3
 ln 1  2  ln 1  2 
 ln 1  2
2 2
2 2









3

Ví dụ 15. Tính tích phân sau:



x5  2x3

0
3


0

x 5  2 x3
x2  1

3

dx 


0

x5
x2  1

3

dx  2 
0

x2 1

x3
x2  1







dx

dx  J  K 1

 x 2  t 2  1; xdx  tdt ; x  0  t  1, x  3  t  2

2
2
- Tính J: Đặt t  x 2  1  
x 4 xdx  t  1 tdt

  t 4  2t 2  1 dt
 f ( x)dx 
2
t
x 1

2
2 38
1
2
Suy ra: J=   t 4  2t 2  1 dt   t 5  t 3  t  
3
5
 1 15
1
 x 2  t 2  1; xdx  tdt; x  0  t  1, x  3  t  2

2
- Tính K: Đặt t  x 2  1  
x 2 xdx  t  1 tdt
f
(
x
)
dx


  t 2  1 dt

2
t
x 1

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Nguyên hàm – Tích phân
2
2 4
1
Suy ra: K=   t 2  1 dt   t 3  t  
3
1 3
1
28 4 48 16
Vậy: I=   
15 3 15 5
1

Ví dụ 16. Tính tích phân sau:

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

2 3

 1  x  dx
0

1

2 3

 1  x  dx . Đặt:
0


2



dx  costdt. x=0  t=0;x=1  t= 2
x  sin t  
 f ( x)dx  1  x 2 3 dx  cos 6tcostdt=cos 4tdt





2

2
1  cos2t 
1 2
1  cos4t 
1
3 1

Do đó I=  
dt

1

2
cos
2
t

dt




  cos2t+ cos4t  dt


2
4 0
2
4 2
8



0
0

1
3
3 1

  t  sin 2t  sin 4t  2 
32
8
4 4
 0

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Nguyên hàm – Tích phân

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1. Tích phân hàm phân thức
1
Câu 1. Tính tích phân: I   6x+7 dx .
0

1

3x  2

1

1

6x+7
(6x+4)+3
3
I
dx  
dx   (2 
)dx
3x

2
3x

2
3x

2
0
0
0
1

1

1

1

3
1
 2 dx  
dx  2 dx  
d(3x+2)
3x  2
3x  2
0
0
0
0
1

1

0

0

 2x  ln 3x  2
5
 2  ln .
2

Câu 2. Tìm họ nguyên hàm 

2x  3
dx
2x 2  x 1

2x  3
2x  3
5 1 
 4 1
dx  
dx     .
 .
dx
2
 x 1
(2 x  1)( x  1)
 3 2 x  1 3 x  1 
4
1
5 1
 
dx  
dx
3 2x  1
3 x 1
2 d (2 x  1) 5 d ( x  1)
 
 
3 2x 1
3
x 1
2
5
  ln 2 x  1  ln x  1  C
3
3

Ta có:

 2x

2

 2 1  x2 
Câu 3. Tính tích phân sau: I    x 
 dx
x  x3 
1
2
2
2

1  x2 
1  x2
2
I    x2 
dx

x
dx

dx
3 
2


x

x
x

x

1
1
1
2

2

1
7
Tính I1   x dx  x3 
3 1 3
1
2

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Nguyên hàm – Tích phân

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

1

1
d   x

1
2
2
1 x
x
   ln 1  x
I2  
dx   x
dx    
3
1
1
x
1 x x
1
1
x
x
x
x
7
4
Vậy I  I1  I 2   ln
3
5
2

2

2

2

 ln
1

4
5

2. Tích phân hàm chứa căn thức
dx

2

Câu 4. Tính tích phân I  

1

I 

dx

2

1

x x3  1



x 2 dx

2

1

x 3 x3  1

x x3  1

.

.
2
3

Đặt t  x3  1  x3  t 2  1  x2 dx  t.dt .
x 1 t  2 ; x  2  t  3
3 2
t.dt
1 3  1
1 
I 
  

 dt
2
2 3 (t  1)t
3 2  t 1 t 1
1 x 1
I  ln
3 x 1

3

2

1 1
2 1  1 3  2 2
  ln  ln
  ln
3 2
2
2 1 3
3

Câu 5. Tính tích phân I 

x
1

3

I

x
1

1
2

x 1

3

dx 

x

x
2

1

x2  1

1
x2  1

dx

dx

Đặt u  x 2  1  u 2  x 2  1  udu  xdx ,  x 2  u 2  1
2

I



1
2

u
1
  u 2  1 u du  2
2
2


2

2

u  1   u  1

 u  1 u  1 du
2

1 
1 u 1
 1


 du  ln
2 u 1
 u 1 u 1 

2

1
  ln 3 3  2 2
2



2



1

Câu 6. Tính tích phân I   x 1  xdx
0

 Đặt t  1  x  dt  dx  dx  dt và x  1  t
 Đổi cận:
x 0
1
t 1 0
1

5
 3
 2t 2 2t 2 
1
0
1
4
 Vậy, I   x 1  xdx   (1  t ) t (dt )   (t  t )dt     
0
1
0
 3
5  0 15
1
2

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

3
2

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Nguyên hàm – Tích phân

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
1

2x  1
dx
0 1  3x  1

Câu 7. Tính tích phân sau

I 

t2 1
2
 dx  tdt
3
3
Đổi cận x  0  t  1; x  1  t  2

Đặt 3x  1  t ta được x 
2

2

2 2t 3  t
2 
3 
28 2 3
Khi đó I  
dt    2t 2  2t  3 
 ln
dt 
9 1 1 t
9 1
t 1
27 3 2
3

Câu 8. Tính tích phân sau:

x 3
dx
x 1  x  3

 3.
0

x  0  u  1
x  1  u 2  1  x  2udu  dx ; đổi cận: 
x  3  u  2
3
2
2
2
3
x3
2u  8u
1
Ta có: 
dx   2
du   (2u  6)du  6 
du
u  3u  2
u 1
0 3 x 1  x  3
1
1
1

Đặt u =



 u 2  6u

2

 1  6ln u  1 1  3  6 ln 32
2

9

Câu 9. Tính tích phân:


4

xdx
x 1

Đặt t  x  t 2  x  2tdt  dx
Đổi cận: x = 4  t  2
x = 9 t 3
3 3

3

t dt
1 

I  2
 2  t 2  t  1 
 dt
t 1
t 1 
2
2
3

 t3 t 2

59
 2    t  ln t  1  
 2ln 2
3
2
3

2
0

Câu 10. Tính tích phân: I 

 ( x  1)



0

I

 ( x  1)

1

2
0

=

1

2

( x  1)

Đặt t 

2

0

dx
3  2x  x

1



 x3
x 1

1
2

2



 ( x  1)

1

2

dx
3  2x  x 2

1
( x  1)( x  3)

dx

dx

 x3
x3
4
 t2 
 2tdt 
dx
x 1
x 1
( x  1) 2

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Nguyên hàm – Tích phân

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

3

I 

1
1
dt  ( 7  3 )

2 7
2
3

 x

Câu 11. Tính tích phân

2



 x  1 xdx .

0

3



3



3

Ta có I   x  x  1 xdx   x dx   x x  1 dx .
2

3

0

0

3

3

Đăṭ J   x dx và K  
3

0

0

0

3

3

1
81
x x  1 dx ; ta có J   x dx  x 4 
4 0
4
0
3

3

K   x x  1 dx . Đặt t  x  1  t 2  x  1  2tdt  dx và x  t 2  1
0

Ta có x  0  t  1; x  3  t  2 .
2

2

1

1

2

Khi đó K  2  t 2 (t 2  1)dt  2  (t 4  t 2 )dt  2  1 t 5  1 t 3   116
Vậy I  J  K 





5

3

1

15

1679
60
1





Câu 12. Tính tích phân: I   x 2 1  x 1  x 2 dx
0

1

1





1

I   x 2 1  x 1  x 2 dx   x 2 dx   x 3 1  x 2 dx
0

1

1

x3
I1   x dx 
3
0
2


0

0

0

1
3

1

I 2   x3 1  x 2 dx
0

Đặt t  1  x 2  x 2  1  t 2  xdx  tdt
Đổi cận: x  0  t  1; x  1  t  0
1
 t3 t 5 
2
 I 2    1  t  t dt    t  t dt     
 3 5  0 15
1
0
0

1

2

Vậy I  I1  I 2 

2

2

4

7
15

Câu 13. Tính nguyên hàm sau: I   x x 2  3dx
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×