Tải bản đầy đủ

Bài tập Ma Trận Định Thức

BI TP
CHNG I. MA TRN NH THC
Cõu 1. Thc hin cỏc phộp tớnh v ma trn sau

1)

3)

5)


1

ửỗ

1
1
0
2





ửỗ

1 2 - 3ữ
2









0
1
1
0


ỗ3 0 4 ữ

ữỗ

3





ứỗ



1
0
2
1





ứỗ

ố4

4ử



1ữ



2ữ




3ứ


;

ổ1




1
1
0
2







1
2
3
- 2










0
1
1
0



ỗ0 3 4 ữ

ữỗ



ỗ3

ứỗ


1
0
2
1
ữỗ






ố4

2)
4ử



1ữ



2ữ




3ứ


;

4)


ửổ
ửổ
ửổ1 ữ

- 1 1 0ữ
1 2 3ữ
1 - 1 0ữ












ữỗ
ữỗ
ữỗ ữ





0 1 - 1ữ
3 2 1ữ
0 1 - 1ữ
0ữ



























1
0
1
2
1
3
1
1
1
1







ỗ ữ

ứố
ứố
ứố


; 6)

T


1




1
1
0
2



ổ1 2 4ữ
ửỗ

2









0
1
1
0





ữỗ
ữỗ
3


ố- 3 0 1ữ
ứỗ1 0 2 1ữ






ứỗ

ố4

4ử



1ữ



2ữ




3ứ


;

ổ1
4ử


ửỗ


1
1
0
2




ổ1 2 - 3ử



2
1












0
1
1
0




ỗ- 3 0 4 ữ




3
2







ứỗ1 0 2 1ữ






ứỗ


4
3





;


1 - 1 0 ửổ
1 2 3ửổ
1 - 1 0 ửổ
1ử
































0
1
1
3
2
1
1
1
1
0




























1
1
1
2
1
3
0
1
1
1







ỗ ứ

ứố
ứố
ứố

;

T

ộổ1 - 3ử


ờỗỗ


ửổ



ờỗỗ

ỗỗ1 - 3ữ
ỗỗ- 1 0 2 1 - 2ữ





ờỗ- 2 2 ữ






ữỗ 0 - 3 1 - 1 0 ữ
ữỳ
ỗố2 - 1ứố
ờỗỗ


3
1


ờố







ửự
1 2 3ữ

ờổ

ửổ



2 0ữỗ- 3 2 1ữỗ

ờỗ






3 2 1ữ

ờỗ

ỗ1 5ữ



ữỗ 1 - 3 0ữ
ữỗ

ữỳ
ờỗ

ứố
ứỗ0 1 2ữ




ứỳ



7)
; 8)
Cõu 2. Thc hin cỏc phộp tớnh v ma trn sau
n

1)


1 1ử




ỗ0 1ữ






6

;

2)
3

5)

;

3)

;

6)


1 0 0ử








0
1
1









ố1 0 0ứ

;

7) Cho

1 0 0ử



0 1 0ữ



0 0 1ữ




0 0 0ứ


;


ỗỗ0
ỗỗ0
A = ỗỗỗ
ỗỗ0
ỗỗ0
ỗố

2011



8*) Cho
, hóy tớnh:
a)
Cõu 3. Thc hin cỏc phộp tớnh v ma trn sau

1) Cho



0 0ữ


A =ỗ

ỗ1 0ữ





, tớnh

(A - I )
2

2011

;

n

ổ3

2ữ



ỗ- 4 - 2ữ






4



1 - 1 0ữ






0 1 1ữ








ố1 0 - 1ữ


0



ỗ0
A =ỗ


0





ố0

5



2 1ữ



ỗ1 3ữ






2) Cho

n=0

.

4)



x 1ữ



ỗ0 xữ






0ử



0ữ



1ữ




0ứ


1 0
0 1
0 0
0 0

, tớnh

AT A

2n An

;

b)

ổ0 0ử



A =ỗ
ỗ- 1 0ữ






, tớnh

(I

2

;

v

AAT

(A +I )

- A)

4

2011

;

2011

.

;


3) Cho

5) Cho

6) Cho

7) Cho

æ
ö
ç1 1 1÷
÷
÷

ç
A =I3- ç
1 1 1÷
÷
ç
÷

÷
ç
÷
1
1
1
÷
ç
è
ø

, tính

2) Cho
3) Cho
4) Cho

;

4*) Cho

æ
ö
0 1 0÷
ç
÷
ç
÷
ç
A =ç
0 0 1÷
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
0
0
0
÷
ç
è
ø

n

æ
ö
0 0 1÷
ç
÷
ç
÷
ç
A =ç
0 0 0÷
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
0
0
0
÷
ç
è
ø

n

, tìm số nguyên dương

, tìm số nguyên dương

æ
0
ç
ç
ç
ç0
A =ç
ç
ç
0
ç
ç
ç
ç
ç
è0

0 0

A = (aij )2011
A = (aij )2011
A = (aij )2011
A = (aij )2011

5*) Cho
6*) Cho
7*) Cho
8*) Cho
9*) Cho

j



, trong đó phần tử ở cột thứ

A = (aij )2011
A = (aij )2011
A = (aij )2011

a32

. Tìm phần tử

(- 1)

. Tìm phần tử

(- 1) .i

, trong đó phần tử ở cột thứ

(- 1) .j


i
i

j

, trong đó phần tử ở dòng thứ

12 + 22 + 32 + ... + n2 =



j

, trong đó phần tử ở dòng thứ

A = (aij )2011

khác ma trận không.

i



, trong đó phần tử ở dòng thứ

, trong đó phần tử ở cột thứ

An

. Tìm phần tử





i
j

j

. Tìm phần tử
i2

2i- 1

C


C

a32

. Tìm phần tử

2j - 1



. Tìm phần tử

2

. Tìm phần tử

. Tìm phần tử

i- 1
2011

j- 1
2011

n(n + 1)(2n + 1)
, n Î ¥*
6

. Tìm phần tử

;

a32

;

;

A2

của

của

a32

A2

của

a32

A2

của

A2

;

A2

của

của

a32

a32

. Tìm phần tử

a32

của

a32

A2

của

a32

j

j

, trong đó phần tử ở cột thứ

là ma trận không;

sau

(- 1)i +j



i

, trong đó phần tử ở dòng thứ

An

;

là ma trận không;

i +j

i

, trong đó phần tử ở dòng thứ

A = (aij )2011

Chú ý: 1)

, với

An

lớn nhất để

A = (aij )n

, trong đó phần tử ở cột thứ

A = (aij )2011

10*) Cho

của ma trận

A2

n

A2011

, tính

nhỏ nhất để

, tìm số nguyên dương

aij

öæ1 0 ÷
öæ2 - 1÷
ö

çç
çç
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ç
÷çç- 1 1 ÷

÷
÷
øèç0 - 1÷
øè
ø

nhỏ nhất để


÷
÷
÷

÷
÷
÷

÷
÷
÷
÷

÷

0 1
0 0
0 0

Câu 4. Tìm phần tử
1) Cho

A4

æ1
A = ççç
çè1

;

A2

A2

của
của

;

;

A2
A2

;

.

;

;


a + aq + aq2 + ... + aqn = a.

2)

1- qn
, n Î ¥* & q ¹ 1
1- q

;

(1 + 1)n = C n0 + C n1 + C n2 + ... + C nn , n Î ¥ * & C nk =

3)
Câu 5. Tìm hạng của các ma trận

1)

3)

5)

7)

9)

æ
1
ç
ç
ç
ç2
A =ç
ç
ç
3
ç
ç
ç
ç
ç
è4

2 3
4 6
6 9
8 12

4 5ö
÷
÷
÷
8 11÷
÷
÷
÷
12 14÷
÷
÷
÷
÷
16 20ø
÷

;

2)

æ
1 2 3 4 5ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
5
10
15
20
35
ç
÷
ç
÷
A =ç
÷
ç
3 7 9 12 14÷
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
4
8
13
16
20
÷
ç
è
ø

;

4)

æ
1 3 2 5ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
2
1
3
2
ç
÷
ç
÷
A =ç
÷
ç
÷
3
5
4
1
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
1
17
4
21
÷
ç
è
ø

;

6)

æ
ö
1 3
4

ç
÷
ç
÷
ç
2 - 1 1

ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
5 10÷
A = ç3 2
÷
÷
ç
÷
ç
÷
ç
3
5
2
4
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
1
17
18
36
÷
ç
è
ø

;

æ2 - 1
ç
ç
ç
ç3 1
A =ç
ç
ç
7 - 1
ç
ç
ç
ç
ç
è13 1

11)

8)

1 - 2 1ö
÷
÷
÷
0 2 - 1÷
÷
÷
÷
2 - 2 1÷
÷
÷
÷
÷
2 2 - 1ø
÷

æ
1 2 - 1
ç
ç
ç
ç2 4 1
A =ç
ç
ç
4 8 - 1
ç
ç
ç
ç
ç
è7 15 - 9

;

1
0
2
8

A


÷
÷
÷
- 2÷
÷
÷
÷

÷
÷
÷
÷
18ø
÷

;

n!
k !(n - k)!

.

sau
æ
1
ç
ç
ç
ç2
A =ç
ç
ç
3
ç
ç
ç
ç
ç
è4

3
4
5
6

5 7 9ö
÷
÷
÷
6 9 10÷
÷
÷
÷
7 9 11÷
÷
÷
÷
÷
8 10 12ø
÷

;

æ1
1 - 1 1

÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
1
2
1
1
3
ç
÷
ç
÷
A =ç
÷
ç
2
0 1 2

÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
4
0
2
4
7
÷
ç
è
ø

;

æ2
ç
ç
ç
ç4
A =ç
ç
ç
8
ç
ç
ç
ç
ç
è10

3 3
4 6
6 12
8 15

1
2
4
5

;

æ
4 1
3
ç
ç
ç
ç1 5 - 2
A =ç
ç
ç
5 4
1
ç
ç
ç
ç
ç
è2 - 5 7

10)

12)


÷
÷
÷
10÷
÷
÷
÷
20÷
÷
÷
÷
÷
26ø
÷

ö
4 5÷
÷
÷
1 4÷
÷
÷
÷
5 9÷
÷
÷
÷
2 - 3÷
÷
ø

;

æ2 - 1
ç
ç
ç
ç3 1
A =ç
ç
ç
9 - 2
ç
ç
ç
ç
ç
è15 0

ö
1 - 2 1÷
÷
÷
0 2 - 1÷
÷
÷
÷
3 - 4 2÷
÷
÷
÷
3 0 2÷
÷
ø

æ3 - 1
ç
ç
ç
ç3 1
A =ç
ç
ç
9 - 1
ç
ç
ç
ç
ç
è15 1

ö
1 - 2 1÷
÷
÷
0 2 - 1÷
÷
÷
÷
2 - 2 1÷
÷
÷
÷
2 2 - 1÷
÷
ø

;

Câu 6. Biện luận hạng của các ma trận sau theo tham số

m

.

:


1)

3)

5)

7)

9)

æ
1
m
1
2 ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
2
3
m
1
2
m
+
4
ç
÷
ç
÷
A =ç
÷
ç
÷
4
5
m
1
m
+
4
2
m
+
7
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
2
2
m
2
4
÷
ç
è
ø

;

æ3
m
ç
ç
ç
2m
ç6
A =ç
ç
ç
9
3m
ç
ç
ç
ç
ç
è15 5m + 1

0
1 ö
÷
÷
÷
m
2 ÷
÷
÷
÷
0 m + 2÷
÷
÷
÷
÷
0
7 ø
÷

;

4)

æ
1
m
1
2 ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
2
3
m
1
2
m
+
4
ç
÷
ç
÷
A =ç
÷
ç
4 5m - 1 m + 4 2m + 7÷
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
4
4
m
4
8
÷
ç
è
ø

;

æ
1 2
ç
ç
ç
ç2 5
A =ç
ç
ç
1 3
ç
ç
ç
ç
ç
è4 10

1
4
4
9

1 ö
÷
÷
÷
5 ÷
÷
÷
÷
m + 4÷
÷
÷
÷
÷
m + 10ø
÷

;

11)

;

;

æ
ö
1
m
1
2 ÷
ç
÷
ç
÷
ç
ç2 3m - 1 m + 2 m + 3 ÷
÷
÷
A =ç
ç
÷
ç
4 5m - 1 m + 4 2m + 7÷
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
2
2
m
2
4
÷
ç
è
ø

;

æ
1
ç
ç
ç
ç8
A =ç
ç
ç
3
ç
ç
ç
ç
ç
è5
æ
1
ç
ç
ç
ç5
A =ç
ç
ç
2
ç
ç
ç
ç
ç
è3

10)

ö
2 3 4 5÷
÷
÷
6 8 9 10÷
÷
÷
÷
8 11 13 16÷
÷
÷
÷
16 22 26 m÷
÷
ø

æ
- 1 2
ç
ç
ç
çm - 1
A =ç
ç
ç
1 m
ç
ç
ç
ç
ç
è1 2

6)

8)

æ1 2 3 4 5 ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
4
6
8
9
10
ç
÷
ç
÷
A =ç
÷
ç
÷
5
8
11
13
16
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
10
16
22
26
m
÷
ç
è
ø
æ1
ç
ç
ç
ç4
A =ç
ç
ç
5
ç
ç
ç
ç
ç
è10

2)

æ
ö
1
m
1
2 ÷
ç
÷
ç
÷
ç
2
m+ 4÷
ç2 3m - 1
÷
÷
A =ç
ç
÷
ç
÷
4
5
m
1
m
+
4
2
m
+
7
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
2
2
m
2
m
+
4
÷
ç
è
ø

;

1 - 1 1ö
÷
÷
÷
1 - 1 - 1÷
÷
÷
÷
0 1 1÷
÷
÷
÷
÷
2 - 1 1ø
÷

13)
;
Câu 7. Tính các định thức sau

12)

14)

-

1
4
2
2

3
4 ö
÷
÷
÷
16 2m + 5÷
÷
÷
÷
7
m ÷
÷
÷
÷
÷
9
m ø
÷

;

2
8
3
5

3
11
4
7

4 ö
÷
÷
÷
m + 15÷
÷
÷
÷
5 ÷
÷
÷
÷
÷
10 + mø
÷

;

æm 2
ç
ç
ç
ç2m 5
A =ç
ç
ç
3m 7
ç
ç
ç
ç
ç
è5m 12

1
3
4
7

0
1
1
2

1
2
3
5


÷
÷
÷

÷
÷
÷

÷
÷
÷
÷

÷

;

æ
2
ç
ç
ç
ç1
A =ç
ç
ç
3
ç
ç
ç
ç
ç
è5

1 3 4 2 8ö
÷
÷
÷
0 1 1 0 0÷
÷
÷
÷
4 2 4 1 - 1÷
÷
÷
÷
÷
5 5 8 3 mø
÷

æ
1
ç
ç
ç
ç2
A =ç
ç
ç
3
ç
ç
ç
ç
ç
è5

2
5
7
12

;

1
3
4
7

0
1
1
2

m 1ö
÷
÷
÷
2m 3 ÷
÷
÷
÷
3m 4 ÷
÷
÷
÷
÷
5m mø
÷

.


1
2
A=0
3
5

0
2
7
7
1

1
2
3
4
1

2
7
4
4
3

0
0
1
1
5

1)

1
2
1
1
1

1
1
2
1
1

1
1
1
2
1

1
1
1
1
2


1
2
A= 1
3
5

5
2
5
1
1

1
2
1
2
1

2
7
4
1
2

0
2
1
3
5

2)

;
0
1
B=1
1
1

1
0
1
1
1

1
1
0
1
1

1
1
1
0
1

1
1
1
1
0


1
2
A=1
3
5

1
2
7
2
1

0
2
3
3
1

0
7
4
4
3

3
5
1
0
5

3)

;
3
1
B=1
1
1

1
3
1
1
1

1
1
3
1
1

1
1
1
3
1

1
1
1
1
3


1
2
A=0
0
5

3
2
7
1
1

1
2
3
2
3

2
7
3
2
0

0
2
1
3
5

4)

;
4
1
B=1
1
1

1
4
1
1
1

1
1
4
1
1

1
1
1
4
1

1
1
1
1
4


1
1
A=1
3
5

1
2
7
2
1

0
2
3
2
1

0
7
4
1
3

3
3
3
2
5

5)

;
5
1
B=1
1
1

1
5
1
1
1

1
1
5
1
1

1
1
1
5
1

1
1
1
1
5


1
2
A=2
2
5

6)

2
1
B=1
1
1

3
2
7
1
1

1
2
3
2
3

2
7
0
1
0

0
3
3
3
5

;
6
1
B=1
1
1



1
6
1
1
1

1
1
6
1
1

1
1
1
6
1

1
1
1
1
6

;


1
2
A=1
1
2

1
2
7
1
1

2
2
3
2
1

2
7
4
2
3

3
5
1
0
5

7)

1
1
B=1
1
7

1
1
1
7
1

1
1
7
1
1

1
7
1
1
1

7
1
1
1
1


1
2
A=0
0
1

2
2
7
1
2

3
2
3
2
3

4
7
0
1
0

5
2
1
3
5

;
1
1
B=1
1
8

1
1
1
8
1

1
1
8
1
1

1
8
1
1
1

8
1
1
1
1

8)

.
Câu 8*. Không tính định thức, hãy chứng minh rằng:
y +z
z +x
x +y
x y z
y1 + z1 z1 + x1 x1 + y1 = 2 x1 y1 z1
y2 + z2 z2 + x2 x2 + y2

x2 y2 z2

1)

;
1 a a3
1 b b3 = (a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c)
1 c c3

2)

;
a1 + bx
a1x + b1 c1
a1 b1 c1
1
a2 + bx
a2x + b2 c2 = (1- x2) a2 b2 c2
2
a3 + b3x a3x + b3 c3

a3 b3 c3

3)
Câu 9. Tính các định thức cấp cao sau
a
x
A=x
M
x

x
a
x
M
x

x
x
a
M
x

L x
x x
x x
O M
L a

1)

(cấp
1
1
A=1
M
1

3*)

1
0
1
M
1

1
1
0
M
1

L
L
L
O
L

1
1
1
M
0

(cấp

n

);

n

);

.
1+ a1 a2
a3
a1 1 + a2 a3
a2 1+ a3
A = a1
M
M
M
a1
a2
a3

L
an
L
an
L
an
O
M
L 1+ an

1
a1
a2
1 a1 + b1
a2
a1
a2 + b2
A=1
M
M
M
1
a1
a2

L
an
L
an
L
an
O
M
L an + bn

2*)

4*)


2
1
A=1
M
1

2
3
2
M
2

3
3
4
M
3

L
L
L
O
L

n
n
n
M
n +1

1
1
A=1
M
1

x1
a
x1
M
x1

x2
x2
a
M
x2

L
L
L
O
L

xn
xn
xn
M
a

5*)
;
6*)
Câu 10. Giải các phương trình sau
x +1 x

x 1 1 1
1 x 1 1
=0
1 1 x 1
1 1 1 x

1)

;
1 2x - 1 - 1
1 x - 1 - 1
3
0

1
2

1
0

1
2

1
1
2
1

=0

1 x - 1 - 1
=0
0 1 1 1

x

0

0

1 x

0 1

1

1

0 2

0

2

m

để

x
2
2
x

1
1
1
2

D³ 0

1)

1 x

0
1
=0
2
x

x 1

x

;

0
x- 2

0 0 x5 + 1

;

x100

.

2)

;

4)

;
1 2
m
D = 2 5 m +1

2

3 7 m+2

5)

;

6)

2 m+2 4
D=m
m
0

;
2
2m + 2
D = m + 1 2m + 1

m

1

;

=0

9)

1 0
m
D = 2 1 2m - 2

7)

x- 1 x +2

0 0 x2 - 1

1 1 m

2

1
=0
1
1

;

m +1 m +1 m +1

1

1
1
1

6)

1 1 3
D=1 2 m

1 0

- 1 - 1

1 x
1 1
1 0

=0

6
2m - 1

3)

2

m+8
7
6
D = m +1
m
2m - 1
m+1 m+1 m+1

;
7
m

x
2

m+8
7
6
D = m +1
m
2m - 1
m- 1 m- 1 m- 1
m+8
D = m +1

0

;
x

;

8)

Câu 11. Tìm điều kiện của

2

; 3)

x
1
2
x

;

- 1 - 1

2

x 1 1
=0
0 x 1

5)

x
1
=0
1
3

7)

1 x

2
1

1 x - 1 - 1
1 x 1 1

;
x
1
x
x

1 1

2

2)

4)
x
x
x
x

.

8)

2

4
2
2m

;


2 + 2m 1
4
D= - 3
- 1 -m
m+3 1 m

2 + 2m
- 5
12
D = m - 3 m + 1 - 3m
m + 3 - m - 1 3m

9)
;
10)
.
Câu 12. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau bằng phương pháp biến đổi sơ cấp trên dòng

1)

4)

7)

æ
1 0 3ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
A =ç
2
1
1
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
3
2
2
÷
ç
è
ø

;

æ
ö
1 3 5÷
ç
÷
ç
÷
ç
A =ç
5 0 1÷
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
3
1
0
÷
ç
è
ø

;

2)

5)

æ
1 1 2ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
A =ç
2
1
3
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
4
1
3
÷
ç
è
ø

;

æ
2
ç
ç
ç
ç2
A =ç
ç
ç
0
ç
ç
ç
ç
ç
è1

1 0
2 1
2 2
0 2

æ
ö
0 1 2÷
ç
÷
ç
÷
ç
A =ç
1 1 0÷
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
2
0
1
÷
ç
è
ø

;

3)

æ
4 1 - 1ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
ç
A = ç2 1 - 3÷
÷
÷
ç
÷
ç
÷
3
2
4
÷
ç
è
ø

; 6)

8)


÷
÷
÷

÷
÷
÷

÷
÷
÷
÷

÷

æ
1 3 2ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
A =ç
2
1
3
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
3
2
1
÷
ç
è
ø

;

æ
1 2 1ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
ç
A = ç2 6 3÷
÷
÷
ç
÷
ç
÷
1
5
3
÷
ç
è
ø

;

æ
3 6 2ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
A =ç
4
9
4
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
1
3
1
÷
ç
è
ø
æ
1
ç
ç
ç
ç0
A =ç
ç
ç
0
ç
ç
ç
ç
ç
è1

;

9)

1 0
1 1
0 1


÷
÷
÷

÷
÷
÷

÷
÷
÷
÷

÷

0 0

æ
1
ç
ç
ç
ç1
A =ç
ç
ç
0
ç
ç
ç
ç
ç
è2

2 0 1ö
÷
÷
÷
1 2 0÷
÷
÷
÷
1 1 2÷
÷
÷
÷
÷
0 1 1ø
÷

;

æ
1
ç
ç
ç
ç0
A =ç
ç
ç
1
ç
ç
ç
ç
ç
è0

1 0 1ö
÷
÷
÷
1 1 0÷
÷
÷
÷
0 1 1÷
÷
÷
÷
÷
1 0 1ø
÷

10)
;
11)
;
12)
.
Câu 13. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau bằng phương pháp dùng ma trận phụ hợp (
adjA

1)

4)

7)

)

æ
1 0 3ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
ç
A = ç2 1 1÷
÷
÷
ç
÷
ç
÷
3
2
2
÷
ç
è
ø

;

æ
ö
1 3 5÷
ç
÷
ç
÷
ç
A =ç
5 0 1÷
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
3
1
0
÷
ç
è
ø

;

2)

5)

æ
1 1 2ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
A =ç
2
1
3
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
è4 1 3 ø

;

æ
ö
0 1 2÷
ç
÷
ç
÷
ç
A =ç
1 1 0÷
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
2
0
1
÷
ç
è
ø

;

3)

æ
4 1 - 1ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
A =ç
2
1
3
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
3
2
4
÷
ç
è
ø

; 6)

8)

æ
1 3 2ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
ç
A = ç2 1 3÷
÷
÷
ç
÷
ç
÷
3
2
1
÷
ç
è
ø

;

æ
1 2 1ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
A =ç
2
6
3
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
1
5
3
÷
ç
è
ø

;

æ
ö
3 6 2÷
ç
÷
ç
÷
ç
A =ç
4 9 4÷
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è1 3 1÷
ø

; 9)

æ
1 2 0ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
A =ç
3
1
1
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
è4 2 2ø

;


10)

13)

16)

æ
0 1 2ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
A =ç
1
1
2
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
2
0
3
÷
ç
è
ø

; 11)

æ
1 3 2ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
A =ç
2
1
3
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
0
2
1
÷
ç
è
ø

; 12)

æ
ö
2 3 3÷
ç
÷
ç
÷
ç
A =ç
1 - 2 5÷
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
3
1
4
÷
ç
è
ø

;

14)

T

T

;

æ
ö
1 3 2÷
ç
÷
ç
÷
ç
A =ç
2 1 3÷
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
3
2
1
÷
ç
è
ø

æ
ö
çç1 2 0÷
÷
÷
A = ççç3 1 1÷
÷
÷
çç
÷
÷
çè4 2 2÷
ø

- 1

;

2)

T

- 1

;

4)

- 1

;

T

- 1

T

-1

æ
öæ
0 1 2÷
1 3 2ö
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
1
1
0
2
1
3
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
2
0
1
0
2
1
÷
÷
ç
ç
è
øè
ø

æ
öæ
ö
çç0 1 2÷
çç1 3 2÷
÷
÷
çç1 1 0÷
çç2 1 3÷
÷
÷
÷
÷
çç
çç
÷
÷
÷
÷
çç2 0 1÷
ç
÷
0
2
1
÷
÷
ç
è
øè
ø

Câu 15. Cho hai ma trận

æ
ö
1 0 3÷
ç
÷
ç
÷
ç
A =ç
2 1 1÷
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
3
2
2
÷
ç
è
ø

-1

æ
ö æ
öæ
ö
çç1 0 3÷
çç0 1 2÷
çç1 3 2÷
÷
÷
÷
֍
֍
÷
çç1 1 0÷
çç2 1 3÷
A = ççç2 1 1÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
çç
çç
çç
÷
÷
÷
÷
÷
÷
֏
֏
÷
çè3 2 2ø
ç2 0 1ø
ç0 2 1ø

-1

æ
1 0 3ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
A =ç
2
1
1
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
3
2
2
÷
ç
è
ø

6)

- 1

æ
ö
1 3 5÷
ç
÷
ç
÷
ç
A =ç
5 0 1÷
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
3
1
0
÷
ç
è
ø

; 8)

;

10)

- 1

T

- 1

T

- 1

æ
æ
0 1 2ö
1 2 5ö
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
1
1
0
5
0
1
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
2
0
1
2
1
2
÷
÷
ç
ç
è
øè
ø
T

;

;

;

;

;
- 1

æ
æ
0 1 2ö
1 2 5ö
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
1
1
0
5
0
1
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
2
0
1
2
1
2
÷
÷
ç
ç
è
øè
ø

. Tính

A = P .diag(- 1 1 1).P

;2)

T

æ
öæ
ö
0 1 2÷
1 2 5÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
֍
÷
ç
ç
ç
1 1 0÷
5 0 1÷
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
2
0
1
2
1
2
÷
÷
ç
ç
è
øè
ø

æ1 0 1 ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
- 1
÷
P =ç
0
1
1
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
1
1
1
÷
ç
è
ø

- 1

A = P .diag(1 - 1 1).P

- 1

æ
æ
0 1 2ö
0 1 2ö
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
1
1
0
1
1
2
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
2
0
1
2
0
3
÷
÷
ç
ç
è
øè
ø

æ
ö
0 1 2÷
ç
÷
ç
÷
ç
A =ç
1 1 2÷
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
2
0
3
÷
ç
è
ø



T

æ
öæ
ö
0 1 2÷
1 3 5÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
֍
÷
ç
ç
ç
1 1 0÷
5 0 1÷
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
2
0
1
3
1
0
÷
÷
ç
ç
è
øè
ø

- 1

æ
0 - 1 - 1ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
P =ç
1
2
1
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
1
1
1
÷
ç
è
ø

- 1

1)

15)

æ
1 0 3ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
ç
A = ç2 1 1÷
÷
÷
ç
÷
ç
÷
3
2
2
÷
ç
è
ø

-1

æ
ö æ
öæ
ö
çç1 0 3÷
çç0 1 2÷
çç1 2 0÷
÷
÷
÷
֍
֍
÷
çç1 1 0÷
çç3 1 1÷
A = ççç2 1 1÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
çç
çç
çç
÷
÷
÷
÷
÷
÷
2
0
1
4
2
2
÷
÷
çè3 2 2÷
ç
ç
ø è
øè
ø

-1

9)

-1

æ
ö æ
öæ
ö
çç1 0 3÷
çç0 1 2÷
çç1 3 2÷
÷
÷
÷
֍
֍
÷
çç1 1 0÷
çç2 1 3÷
A = ççç2 1 1÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
çç
çç
çç
÷
÷
÷
÷
÷
÷
2
0
1
3
2
1
÷
÷
çè3 2 2÷
ç
ç
ø è
øè
ø

-1

7)

;

æ
2 - 1 2ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
ç
A = ç3 - 2 - 1÷
÷
÷
ç
÷
ç
÷
4
3
1
÷
ç
è
ø

, cho biết

-1

5)

æ
1 3 - 4ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
ç
A = ç1 - 2 1 ÷
÷
÷
ç
÷
ç
÷
1
2
3
÷
ç
è
ø

.

det A
-1

3)

;

æ
1 1 1ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
A =ç
2
3
1
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
3
4
3
÷
ç
è
ø

Câu 14. Tính

1)

æ
1 2 5ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
A =ç
5
0
1
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
2
1
2
÷
ç
è
ø

detA



.

A- 1

, biết


A = P - 1.diag(1 1 - 1).P

3)

A = P .diag(1 - 1 1).P - 1

;4)
A = P .diag(- 1 1 1).P

;

- 1

5)

A = P .diag(1 1 - 1).P - 1

;

6)

- 1

A = P .diag(1 2 3).P

7)

;
- 1

A = P .diag(1 3 2).P

;

8)

;

- 1

A = P .diag(3 1 2).P

9)

;

11)

;

Câu 16. Cho hai ma trận

12)

1)



;

2)

A = P .diag(1 1 - 1).P

3)

. Tính

A 2011

, biết

A = P .diag(- 1 1 1).P

- 1

;

;
A = P .diag(1 - 1 1).P

- 1

A = P .diag(1 1 - 1).P

- 1

4)

- 1

;

;

6)

- 1

7)

;
- 1

A = P .diag(1 - 1 - 1).P

A = P .diag(- 1 - 1 1).P

;

8)

- 1

A = P .diag(- 1 1 - 1).P

9)

;
A = P .diag(- 1 - 1 1).P

11)

.
æ1 0 1 ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
- 1
÷
P =ç
0
1
1
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
1
1
1
÷
ç
è
ø

- 1

A = P .diag(1 - 1 1).P

5)

;

æ
0 - 1 - 1ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
P =ç
1
2
1
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
1
1
1
÷
ç
è
ø

- 1

A = P .diag(- 1 1 1).P

A = P .diag(3 1 2).P

- 1

10)

- 1

A = P .diag(1 3 2).P

A = P .diag(1 2 3).P

- 1

;
A = P .diag(1 - 1 - 1).P

- 1

A = P .diag(- 1 1 - 1).P

- 1

10)

- 1

;

;

12)

.

CHƯƠNG 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Câu 1. Giải các hệ phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp Cramer và Gauss

1)

4)

7)

ìï 4x + y - z = 2
ïï
ïí 2x + y - 3z = 1
ïï
ïï 3x + 2y - 4z = 3
î
ìï 3x + 6y + 2z = 11
ïï
ïí 4x + 9y + 4z = 17
ïï
ïï x + 3y + z = 5
î

ìï 2x - y + 2z = 1
ïï
ï 3x - 2y - z = - 3
í
ïï
ïï 4x - 3y + z = 5
î

2)

5)

8)

ìï x + 2y + z = 1
ïï
ïí 2x + 6y + 3z = 2
ïï
ïï x + 5y + 3z = 0
î
ìï 2x + 3y + 3z = 0
ïï
ïí x - 2y + 5z = 7
ïï
ïï 3x + y + 4z = 1
î

ìï x + y + z = 12
ïï
ï 2x + 3y + z = 4
í
ïï
ïï 3x + 4y + 3z = 1
î

3)

6)

9)

ìï x + y + 2z = 3
ïï
ïí 2x - y - 3z = - 1
ïï
ïï 4x + y + 3z = 2
î
ìï x + 3y - 4z = 4
ïï
ïí x - 2y + z = - 11
ïï
ïï x + 2y - 3z = 3
î

ìï x - y - 2z = 3
ïï
ï x + y + 4z = 2
í
ïï
ïï 2x - 2y - 5z = 1
î


ìï x - 3y + 4z = 1
ïï
ï 2x - 5y + z = 2
í
ïï
ïï 5x - 13y + 6z = 0
î

ìï x - 3y - z = 13
ïï
ï 2x + y - 2z = 6
í
ïï
ïï 5x + y - 5z = 12
î

ìï 3x + 4y - 3z = 2
ïï
ï 5x + 2y - 4z = 6
í
ïï
ïï 2x + 3y - 2z = 2
î

10)
11)
12)
Câu 2. Tìm nghiệm riêng và nghiệm tổng quát của các hệ phương trình tuyến tính sau

1)

4)

7)

ìï x + y - z = 2
ïï
ï 2x + y - 3z = 1
í
ïï
ïï 3x + 2y - 4z = 3
î
ìï 3x + 6y + 2z = 11
ïï
ïí 4x + 9y + 3z = 1
ïï
ïï x + 3y + z = 5
î

ìï x - y + 2z = 1
ïï
ï 3x - 2y - z = - 3
í
ïï
ïï 4x - 3y + z = 5
î

10*)

12*)

14*)

16*)

2)

5)

8)

ìï x + 2y + z = 1
ïï
ï 3x + 12y + 7z = 1
í
ïï
ïï x + 5y + 3z = 0
î
ìï 2x + 3y + 3z = 0
ïï
ïí x - 2y + z = 1
ïï
ïï 3x + y + 4z = 1
î

ìï x + y + 2z = 12
ïï
ï 2x + 3y + z = 4
í
ïï
ïï 3x + 4y + 3z = 1
î

ìï x + y + z + t + u = 7
ïï
ïï 3x + 2y + z + t - 3u = - 2
ïí
ïï y + 2z + 2t + 6u = 23
ïï
ïïî 5x + 4y + 3z + 3t - u = 12
ìï 2x - 2y + z - t + u = 1
ïï
ïï x + 2y - z + t - 2u = 1
ïí
ïï 4x - 10y + 5z - 5t + 7u = 1
ïï
ïïî 2x - 14y + 7z - 7t + 11u = - 1
ìï x + y + z + t + u = 0
ïï
ïï 3x + 2y + z + t - 3u = 0
ïí
ïï y + 2z + 2t + 6u = 0
ïï
ïïî 5x + 4y + 3z + 3t - u = 0
ìï 2x - 2y + z - t + u = 0
ïï
ïï x + 2y - z + t - 2u = 0
ïí
ïï 4x - 10y + 5z - 5t + 7u = 0
ïï
ïïî 2x - 14y + 7z - 7t + 11u = 0

11*)

13*)

15*)

17*)

3)

6)

9)

ìï x + y + 2z = 3
ïï
ï 2x - y - z = - 4
í
ïï
ïï 4x + y + 3z = 2
î
ìï x + 3y - 4z = 4
ïï
ïí x - 2y + z = - 11
ïï
ïï 2x + y - 3z = 13
î

ìï x - y - 2z = 3
ïï
ï x - y - 3z = 12
í
ïï
ïï 2x - 2y - 5z = 1
î

ìï 2x + y - z - t + u = 1
ïï
ïï x - y + z + t - 2u = 0
ïí
ïï 3x + 3y - 3z - 3t + 4u = 2
ïï
ïïî 4x + 5y - 5z - 5t + 7u = 3
ìï 3x + y - 2z + t - u = 1
ïï
ïï 2x - y + 7z - 3t + 5u = 2
ïí
ïï x + 3y - 2z + 5t - 7u = 3
ïï
ïïî 3x - 2y + 7z - 5t + 8u = 3
ìï 2x + y - z - t + u = 0
ïï
ïï x - y + z + t - 2u = 0
ïí
ïï 3x + 3y - 3z - 3t + 4u = 0
ïï
ïïî 4x + 5y - 5z - 5t + 7u = 0
ìï 3x + y - 2z + t - u = 0
ïï
ïï 2x - y + 7z - 3t + 5u = 0
ïí
ïï x + 3y - 2z + 5t - 7u = 0
ïï
ïïî 3x - 2y + 7z - 5t + 8u = 0

Câu 3. Biện luận số nghiệm của các hệ phương trình tuyến tính theo tham số

m


1)

4)

7)

9)

ìï 2x + 3y - z = 1
ïï
ï 4x + my + z = 2
í
ïï
ïï 8x + 12y + (m + 6)z = 5
î
ìï x + 2y - 2z = 2m
ïï
ïí 3x + 7y - z = 5
ïï
ïï 2x + 4y + mz = 7
î

5)

2)

ìï mx + 2y - 2z = 2
ïï
ïí 2x + 4y - 5z = 5
ïï
ïï 3x + 6y - mz = 7
î

ìï 2x + 3y - z = 0
ïï
ï 4x + (m + 5)y + (m - 3)z = 0
í
ïï
ïï 8x + (m + 11)y + (m - 5)z = 0
î

13)

15)

17)

ìï x - 2y + z + 2t = m
ïï
ïí x + y - 2z + t = 2m + 1
ïï
ïï 2x - y - mz + 3t = - m
î

ìï x + y - z + t = 2m + 1
ï
í
ïï x + 7y - 5z - t = - m
î

12)

ìï (3m - 1)x + 2my + (3m + 1)z = 0
ïï
ïí 2mx + 2my + (3m + 1)z = 0
ïï
ïï x + y + 2z = 0
î

16)

ìï 2x - y + z + t = 1
ïï
ïï x + 2y - z + 4t = 2
ïí
ïï x + 7y - 4z + 11t = m
ïï
ïïî 4x + 8y - 4z + 16t = m + 1
m



6)

ìï mx + y + 2z = 3
ïï
ïí 2x - my - z = - 4
ïï
ïï 4x + y + 3z = 2m
î

ìï x + 4y + (7 - m)z = 0
ïï
ïí 2x + (m + 4)y - 5z = 0
ïï
ïï 5x + 10y + (m - 5)z = 0
î

14)

ìï x - y + 2z - 2t = 0
ïï
ïï 2x + y - z + t = 3
ïí
ïï 3x + z - t = 3
ïï
ïïî 5x + y = m

3)

ìï mx + y + z = 0
ïï
ï x + 2y - mz = 1
í
ïï
ïï 2x + 3y + 2z = 1
î

ìï 2x + 3y - z = 0
ïï
ï 4x + (m + 5)y + (m - 3)z = 0
í
ïï
ïï 8x + 12y + (m - 4)z = 0
î

10)

ìï (m + 3)x + y + 2z = 0
ïï
ïí mx + (m - 1)y + z = 0
ïï
ïï 3(m + 1)x + my + (m + 3)z = 0
î

Câu 4. Tìm điều kiện của tham số
chung

1)

8)

ìï 2x + 3y - z = 0
ïï
ïí 4x + (m + 5)y + mz = 0
ïï
ïï 8x + 12y + (m - 4)z = 0
î

11)

ìï x + 2y - 2z = m
ïï
ï 2x + my - 5z = 1
í
ïï
ïï 3x + 6y + mz = 1
î

18)

ìï x + 2y - z + t = m
ïï
ïí 2x + 5y - 2z + 2t = 2m + 1
ïï
ïï 3x + my - 3z + 3t = 1
î
ìï 2x - y + z - 2t + 3u = 3
ïï
ïï x + y - z - t + u = 1
ïí
ïï 3x + y + z - 3t + 4u = 6
ïï
ïïî 5x + 2z - 5t + 7u = 9 - m
ìï 2x + y - z + 2t = 4
ïï
ïï x - y + z + 2t = 3
ïí
ïï 2x + 2y - 2z + t = 3
ïï
ïïî x + y - 2z + t = m

để hai hệ phương trình tuyến tính (trong mỗi câu) có nghiệm
ìï x + 2y - z + t = m
ï
í
ïï 2x + 5y - 2z + 2t = 2m + 1
î

;


2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

ìï x - 2y + z + 2t = m
ï
í
ïï x + 7y - 5z - t = - m
î
ìï x - 2y + z + 2t = m
ï
í
ïï x + y - z + t = 2m + 1
î
ìï x - y + 2z - 2t = 0
ï
í
ïï 2x + my - z + t = 3
î
ìï x - y + 2z - 2t = 0
ï
í
ïï 5x + y = m
î
ìï 2x + y - z + t = m
ï
í
ïï 3x + z - t = 3
î
ìï x + 2y - z + 4t = 2
ï
í
ïï x + 7y - 4z + 11t = m
î
ìï x + 2y - z + 4t = 2
ï
í
ïï 4x + 8y - 4z + 16t = m + 1
î
ìï 2x - y + z + t = 1
ï
í
ïï x + 7y - 4z + 11t = m
î

10)

11)

12)

13)

ìï 2x - y + z + t = 1
ï
í
ïï 4x + 8y - 4z + 16t = m + 1
î

ìï x - 2y + z + 2t = m
ï
í
ïï x + y - z + t = 2m + 1
î
ìï x - 2y + z + 2t = m
ïï
ïí x + y - z + t = 2m + 1
ïï
ïï x + 7y - 5z - t = - m
î

ìï x - y + 2z - 2mt = 0
ï
í
ïï 2x + y - z + t = m
î

























ìï x + 2y - z + t = m
ï
í
ïï 3x + 7y - 3z + 3t = 1
î

;

ìï 2x + 5y - 2z + 2t = 2m + 1
ï
í
ïï 3x + 7y - 3z + 3t = 1
î
ìï 2x - y + z - 2t + 3u = 3
ï
í
ïï x + y - z - t + u = m
î

;

ìï 2x - y + z - 2t + 3u = 3
ï
í
ïï 5x + 2z - 5t + 7u = 9 - m
î

;

ìï x + y - z - t + u = 1
ï
í
ïï 3x + y + z - 3t + 4u = 2m
î
ìï 2x + y - z + 2t = 4
ï
í
ïï x + y - 2z + t = m
î

;

;

ìï 2x + 2y - 2z + t = 3
ï
í
ïï x + y - 2z + t = m
î
ìï 2x + 2y - 2z + t = 3
ï
í
ïï x + y - 2z + t = m
î
ìï 2x + y - z + 2t = 4
ï
í
ïï x + y - 2z + t = m
î

;

;

;

;

ìï x + 2y - z + t = m
ïï
ï 2x + 5y - 2z + 2t = 2m + 1
í
ïï
ïï 3x + 7y - 3z + 3t = 1
î

ìï x + 2y - z + t = m
ï
í
ïï 3x + 7y - 3z + 3t = 1
î

;

;

ìï 2x - y + z - 2t + 3u = 3
ïï
ï x +y- z- t +u = 1
í
ïï
ïï 3x + y + z - 3t + 4u = 2m
î

;


14)

15)

16)

17)

ìï x - y + 2z - 2t = 0
ïï
ï 2x + y - z + t = 3m
í
ïï
ïï 3x + z - mt = 3
î



ìï 2x - y + z + t = 1
ïï
ïí x + 2y - z + 4t = 2
ïï
ïï x + 7y - 4z + 11t = m
î

ìï 2x - y + z + t = 1
ïï
ï x + 2y - z + 4t = 2
í
ïï
ïï 4x + 8y - 4z + 16t = m + 1
î

ìï x + 7y - 4z + 11t = m
ï
í
ïï 4x + 8y - 4z + 16t = m + 1
î

ìï 2x - y + z - 2t + 3u = 3m
ï
í
ïï x + y - z - mt + u = 1
î







;

ìï 2x + 2y - 2z + t = 3
ï
í
ïï x + y - 2z + t = m
î

ìï 2x + y - z + 2t = 4
ï
í
ïï x + y - 2z + t = m
î

;

;

ìï 2x + y - z + 2t = 4
ïï
ïí 2x + 2y - 2z + t = 3
ïï
ïï x + y - 2z + t = m
î

.

CHƯƠNG III. KHÔNG GIAN VECTOR
Câu 1. Xét xem các tập hợp với các phép toán xác định sau đây, tập hợp nào là không gian vector
¡

trên ?
1) Tập hợp các đa thức hệ số thực, có bậc tùy ý với phép cộng đa thức và phép nhân một số với một
đa thức;
2) Tập hợp

¡

2

với phép cộng và phép nhân vô hướng:

(a; b) + (c; d) = (a + c; d), l (a; b) = (l a; l b) " a,b,c,d, l Î ¡

;
3) Tập hợp

¡

2

với phép cộng và phép nhân vô hướng:

(a; b) + (c; d) = (a + c; b - d), l (a; b) = (a + l ; b) " a,b,c,d, l Î ¡

;
4) Tập hợp

¡

2

với phép cộng và phép nhân vô hướng:

(a; b) + (c; d) = (a; d), l (a; b) = (a; l b) " a,b,c,d, l Î ¡

;
5) Tập hợp

¡

2

với phép cộng và phép nhân vô hướng:

(a; b) + (c; d) = (ac; bd), l (a; b) = (a + l ; b) " a,b,c,d, l Î ¡

;
6) Tập hợp

¡

2

với phép cộng và phép nhân vô hướng:

(a; b) + (c; d) = (ac + bd; ad - bc), l (a; b) = (l a; l b) " a,b,c,d, l Î ¡

.
Câu 2. Xét xem các tập hợp xác định sau đây, tập hợp nào là không gian vector con của

¡

n

?


{

n

{

n

{

n

{

n

{

n

{

n

A = (x1;x2;...;xn ) Î ¡

1) Tập hợp

B = (x1;x2;...;xn ) Î ¡

2) Tập hợp

C = (x1;x2;...;xn ) Î ¡

3) Tập hợp

D = (x1;x2;...;xn ) Î ¡

4) Tập hợp

E = (x1;x2;...;xn ) Î ¡

5) Tập hợp

C = (x1;x2;...;xn ) Î ¡

6) Tập hợp
Câu 3. Trong
1)
2)
3)
4)
5)
6)

2)

, xét xem vector
,

5)
6)
7)
8)

;

}

xi +1 = xi + 1, i = 1,2,..., n - 1

}

,

2
1

}

2
2

;

x =x =1

;

}

xi Î ¤ , i = 1,2,..., n

u

.

;

;

u1 = (2; 4; 3) u2 = (1;- 1; 0) u3 = (3; 3; 3) u = (- 1; 2; 0)

,

;

,

;

u1 = (2; 4; 3) u2 = (1;- 1; 3) u3 = (1; 3;- 3) u = (- 1; 2; 4)

,

,

;

P3[x]

, xét xem vector

3

2

3

2

u

;
;

.

có phải là tổ hợp tuyến tính của

3

không?

;

;

,

,

;

u1 = (2;- 1; 3) u2 = (3;- 1; 2) u3 = (1;- 2; 2) u = (2;- 4; 3)

,

,

;

u1 = (- 2; 1; 0) u2 = (3;- 2; 1) u3 = (1; 2;- 3) u = (2;- 1; 1)

,

u1 u2 u3

có phải là tổ hợp tuyến tính của

,

,

;

x1 = xn = 0

,

u1 u2 u3

,

,

không?

2

u1 = x - 3x + 1 u2 = x - 2x + 1 u3 = - 2x + 3 u = 5x2 - 4x2 - 2x

,

,

3

;

2

3

;

2

u1 = x + 2x - 2x + 1 u2 = x + 3x - x + 4 u3 = 2x + 5x - 3x + 5 u = x2 - 3x + 2

,

,

2

3

;

;

2

u1 = 5x - 4x - 2x u2 = x - 2x + 1 u3 = - 2x + 3 u = x3 - 3x2 + 1

,

,

2

4)

}

;

u1 = (2;- 1; 3) u2 = (0;- 1; 1) u3 = (2; 2; 2) u = (2;- 1; 5)

2

3)

x12 = x2

}

u1 = (- 2; 1; 0) u2 = (3;- 1; 1) u3 = (2; 0;- 2) u = (1; 1; 1)

Câu 4. Trong
1)

3

¡

x1 = 2xn

3

;

2

3

;

2

u1 = x - 3x + 2 u2 = x + 3x - x + 4 u3 = 2x + 5x - 3x + 5 u = x3 + 2x2 - 2x + 1

,

3

2

3

2

3

2

3

2

,

2

;

2

;

2

u1 = x - 3x + 1 u2 = 5x - 4x - 2x u3 = - 2x + 3 u = x3 - 2x + 1

,

,

;

2

3

;

2

u1 = x + 2x - 2x + 1 u2 = x - 3x + 2 u3 = 2x + 5x - 3x + 5 u = x3 + 3x2 - x + 4

,

,

3

;

2

2

u1 = x - 3x + 1 u2 = x - 2x + 1 u3 = 5x - 4x - 2x u = - 2x + 3

,

,

3

;

2

;

2

;

2

u1 = x + 2x - 2x + 1 u2 = x + 3x - x + 4 u3 = x - 3x + 2 u = 2x3 + 5x2 - 3x + 5

,

,

;

.


Câu 5. Trong
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)

2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)

3

, tìm

m

để

u

là tổ hợp tuyến tính của

u1 u2 u3

,

,

u1 = (m; 2;- 1) u2 = (- 2; 1; 3) u3 = (0; 1;- 1) u = (1; m; 2)

,

,

;

,

,

;

u1 = (1;- 2; m) u2 = (- 2; 1; 3) u3 = (1; 3; 1) u = (m;- 1; 1)

,

,

;

,

;

;

u1 = (1;- 2; 3) u2 = (0;- 1; m) u3 = (m;- 1; 2) u = (1;- 5; 1)

,

,

;

;

u1 = (m; 2;- 1) u2 = (1; m; 2) u3 = (0; 1;- 1) u = (- 2; 1; 3)

,

;

;

u1 = (1;- 2; m) u2 = (- 2; 1; 3) u3 = (1;- 1; 1) u = (m;- 1; m)

,

,

;

u1 = (3;- 2; 3) u2 = (2;- m; m) u3 = (m;- 1; 2) u = (0; 2; 1)

,

,

trong các trường hợp sau

;

u1 = (1;- 2; 3) u2 = (0;- 1; m) u3 = (1;- 3; 1) u = (m;- 1; 2)

;

;

;

u1 = (1;- m; m) u2 = (- 2; 1; 1) u = (2;- 1;- 1) u = (m + 1;- 1 + m; m)
3

,

Câu 6. Trong
1)

¡

¡

3

, xác định

,

a,b,c

để

là tổ hợp tuyến tính của

u1 = (1; 2;- 1) u2 = (- 2; 1; 3) u3 = (0; 1;- 1)

,

,

u1 = (1;- 2; 3) u2 = (0;- 1; 3) u3 = (1; 2; 1)

,

,

,

u1 = (0; 2;- 1) u2 = (1;- 5; 2) u3 = (2; 1;- 1)

,

,

u1 = (1;- 2;- 3) u2 = (5; 1; 3) u3 = (1;- 1; 1)

,

,

Câu 7. Trong
theo

m

¡

,

;

;
;

u1 = (1;- 2; 7) u2 = (- 2; 1; 3) u = (3;- 1;- 2)
3

,

.

4

, biện luận sự độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính của hệ các vector sau

A = {(m; 1; 3; 4), (m; m; m + 2; 6), (2m; 2; 6; 10)}

1)
2)
3)

,

;

u1 = (0;- 2; 3) u2 = (2;- 3; 4) u3 = (7;- 1; 2)

,

,

;

,

,

u1 u2 u3

;

u1 = (1;- 2; 3) u2 = (2;- 1; 4) u3 = (- 1;- 1; 2)

,

.

;

u1 = (1;- 3; 0) u2 = (- 3; 1; 2) u3 = (1;- 4; 1)

,

;

u = (a; b; c)

;

B = {(2; 8; 4; 7), (2; 3; 1; 4), (4; 11; 5; 10), (6; 14; m + 5; 18)}

;

C = {(1; 2; 1; 4), (2; 3; m; 7), (5; 8; 2m + 1; 19), (4; 7; m + 2; 15)}

;


D = {(m + 2; 3; 2), (1; m; 1), (m + 2; 2m + 1; m + 2)}

4)
5)

;

E = {(2; 1; 1; m), (2; 1;- 1; m), (10; 5;- 1; 5m)}

;

F = {(2; 3; 1; 4), (3; 7; 5; 1), (8; 17; 11; m), (1; 4; 4;- 3)}

6)

;

G = {(m; 2m; 3; 4), (1; 2; 3m; 4m), (1; 2m; 3; 4m), (m; 2; 3; 4m)}

7*)

;

H = {(m; 2m; 3; 4), (1; 2m; 3m; 4), (1; 2m; 3; 4m), (1; 2; 3m; 4m)}

8*)

.

Câu 8. Trong
[x]V

1)

¡

3

, tìm ma trận chuyển từ cơ sở

sang cơ sở

trong các trường hợp sau

U = {u1 = (1; 1;- 1), u2 = (1; 1; 0), u3 = (2; 0; 0)} [x]U = (1 0 0)T

,

V = {v1 = (1; 1; 0), v2 = (1; 0;- 1), v3 = (1; 1; 1)}

2)

U = {u1, u2, u3}



;

U = {u1 = (1; 1;- 1), u2 = (1; 1; 0), u3 = (2; 0; 0)} [x]U = (1 0 2)T

,



V = {v1 = (1;- 1; 0), v2 = (2;- 1; 0), v3 = (1; 1;- 1)}

;

3)

U = {u1 = (3; 2; 1), u2 = (1;- 2; 1), u3 = (2; 2; 3)} [x]U = (3 2 1)T

,

V = {v1 = (1; 1; 0), v2 = (1; 0;- 1), v3 = (1; 1; 1)}

4)

5)

;

U = {u1 = (2; 0; 0), u2 = (1; 1; 0), u3 = (1; 1;- 1)} [x]U = (1 0 0)T

,

V = {v1 = (1; 1; 1), v2 = (1; 0;- 1), v3 = (1; 1; 0)}





;

U = {u1 = (1; 1;- 1), u2 = (2; 0; 0), u3 = (1; 1; 0)} [x]U = (1 0 2)T

,



V = {v1 = (1;- 1; 0), v2 = (1; 1;- 1), v3 = (2;- 1; 0)}

;

6)

U = {u1 = (3; 2; 1), u2 = (2; 2; 3), u3 = (1;- 2; 1)} [x]U = (3 2 1)T

,

V = {v1 = (1; 1; 0), v2 = (1; 1; 1), v3 = (1; 0;- 1)}

7)



;

U = {u1 = (1;- 1; 0), u2 = (1; 1;- 1), u3 = (2;- 1; 0)} [x]U = (1 0 2)T

V = {v1 = (1; 1;- 1), v2 = (2; 0; 0), v3 = (1; 1; 0)}

,

;



V = {v1, v2, v3}

và tìm


8)

U = {u1 = (1; 1; 0), u2 = (1; 1; 1), u3 = (1; 0;- 1)} [x]U = (3 2 1)T

,

V = {v1 = (3; 2; 1), v2 = (2; 2; 3), v3 = (1;- 2; 1)}

.

Câu 9. Tìm 1 cơ sở và số chiều của các không gian con
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)

W

sinh bởi hệ vector sau trong

u1 = (2; 3; 4) u2 = (5;- 4; 0) u3 = (7;- 1; 5) u4 = (3;- 2; 6)

,

,

,

u1 = (- 2; 1; 1) u2 = (2;- 3; 1) u3 = (0;- 1; 4) u4 = (1;- 2; 7)

,

,

,

u1 = (1; 0; 0;- 1) u2 = (2; 1; 1; 0) u3 = (1; 1; 1; 1)

,

,
,

u1 = (1; 1; 1; 1) u2 = (1; 2; 3; 4) u3 = (0; 1; 2; 3)

,

,

trong

¡

,

,

¡

;
3

;

;

4

;

,

u1 = (1; 1; 1; 1; 0) u2 = (2; 2; 0; 0;- 1) u3 = (1; 1; 5; 5; 2)

3

4

u1 = (1; 1; 1; 1; 0) u2 = (1; 1;- 1;- 1;- 1) u3 = (2; 2; 0; 0;- 1)

,

trong

n

;

¡

trong

¡

trong

¡

4

¡

trong

u1 = (1; 0; 0;- 1) u2 = (2; 1; 1; 0) u3 = (1; 2; 3; 4)

,



trong

trong

u1 = (2; 2; 0; 0;- 1) u2 = (1; 1; 5; 5; 2) u3 = (1;- 1;- 1; 0; 0)

¡

¡

5

;

5

;
¡

5

8)
,
,
trong
.
Câu 10. Tìm một cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của các hệ phương trình tuyến tính thuần
nhất sau

1)

4)

7)

ìï 2x + 3y + 3z = 0
ïï
ïí x - 2y + z = 0
ïï
ïï 3x + y + 4z = 0
î
ìï x - y + 2z = 0
ïï
ïí 3x - 2y - z = 0
ïï
ïï 4x - 3y + z = 0
î
ìï 3x + 5y + 2z = 0
ïï
ïï 4x + 7y + 5z = 0
ïí
ïï 2x + 9y + 6z = 0
ïï
ïïî x + y - 4z = 0

10)

ìï x + 2y - 2z + 2t - u = 0
ïï
ï x + 2y - z + 3t - 2u = 0
í
ïï
ïï 2x + 4y - 7z + t + u = 0
î

2)

5)

8)

ìï x + 3y - 4z = 0
ïï
ïí x - 2y + z = 0
ïï
ïï 3x - y - 2z = 0
î
ìï x + y + z = 0
ïï
ïí 2x + 3y + z = 0
ïï
ïï 3x + 4y + 2z = 0
î
ìï x + 3y + 2z = 0
ïï
ïï 2x + y + 5z = 0
ïí
ïï 2x + 7y + 6z = 0
ïï
ïïî x + 2y - 4z = 0

11)

ìï x + 2y - z + 3t - 4u = 0
ïï
ï 2x + 4y - 2z - t + 5u = 0
í
ïï
ïï x + 2y - z + 2t - u = 0
î

3)

6)

9)

ìï 5x + 12y - 12z = 0
ïï
ïí 2x + 5y - 5z = 0
ïï
ïï 3x + 7y - 7z = 0
î
ìï 3x - y - z = 0
ïï
ïí x + y + 4z = 0
ïï
ïï 2x - 2y - 5z = 0
î
ìï 3x + 5y + 2z = 0
ïï
ïï x + 7y + 15z = 0
ïí
ïï 2x + 7y + 6z = 0
ïï
ïïî 5x - 3y - 4z = 0

12)

ìï x + 2y - z + 3t - 4u = 0
ïï
ï x + 2y - z + t + 2u = 0
í
ïï
ïï x + 2y - z + 2t - u = 0
î

CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH


f :¡

Câu 1. Tìm biểu thức của các ánh xạ tuyến tính
không gian tương ứng như sau:
f (1; 1) = (1;- 2;- 2)

1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)

f (1;- 1) = (3;- 1;- 2)

1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)

2)
3)
4)

;

f (1;- 3) = (2; 0;- 5)

;

f (1; 1; 0) = (1; 2) f (1; 0; 1) = (2;- 1)

,

f (0; 1; 1) = (- 1;- 1)



;

f (1; 1; 0) = (3;- 1; 2) f (1; 0; 1) = (1; 2; 2)

,

,

f (0; 1; 1) = (0;- 1; 2)



f (1; 1; 1) = (1; 2) f (1; 1; 0) = (2;- 1)



,

f :¡

2

f :¡

2

f :¡

3

f :¡

3

f :¡

3

f :¡

3

f :¡

3

f :¡

3

f :¡

3

f :¡

3

f :¡

3

f :¡

3

K er( f ) d( f ) Im( f )

®¡

3

®¡

3

®¡

2

®¡

2

®¡

3

®¡

3

®¡

3

®¡

3

;

,
,
,
,
,
,

®¡

3

®¡

3

®¡

3

®¡

3



r (f )

f (1; 1; 1) = (0;- 1; 2)



.

của các ánh xạ tuyến tính sau:

f (x;y) = (x - y; x + 2y; 2x + y)

,

m

,

;

f (1; 0; 0) = (- 1;- 1)

f (1; 0; 0) = (3;- 1; 2) f (1; 1; 0) = (1; 2; 2)

Câu 3. Tìm
1)

;

f (- 3; 5) = (1; 2;- 3)



,

, biết ảnh của các vector trong các

;



f (1;- 2) = (1;- 2; 1)

Câu 2. Tìm

m

f (2;- 3) = (2; 3;- 5)



8)

®¡

f (3; 5) = (1; 0;- 3)



f (1; 2) = (1;- 2; 8)

n

f (x;y) = (2x - y; x + 2y; x - y)

;

f (x;y;z) = (x + y; 2x - y - 3z)

f (x;y;z) = (2x - y - 3z; x + y)

;

;
;

f (x;y; z) = (3x; x - z; x + y + 2z)

;

f (x;y;z) = (x + y + z; x - y + z; x + y - z)
f (x;y;z) = (x + y + z; x + y + z; x - y - z)

;
;

f (x;y; z) = (x + 2y + 3z; 4x + 5y + 6z; 7x + 8y + 9z)

,

.

để các toán tử tuyến tính sau là song ánh:

f (x;y;z) = (x - 2y + mz; my + z; x + y - 2mz)

,
,
,
,

;

f (x;y;z) = (3x + 5y + 2z; 4x + 7y + (m + 1)z; x + y - 4mz)

;

f (x;y;z) = (x - 2y + 3z; mx - y + z; x + y - 2mz)

;

f (x;y;z) = (x + 5y + 2mz; 4x + 7y + mz; x + y - z)

;


5)
6)
7)
8)

f :Ă

3

f :Ă

3

f :Ă

4

f :Ă

4

đĂ

3

đĂ

3

đĂ

4

đĂ

4

Cõu 4. Trong
tớnh

f :Ă

2

f (x;y;z) = (x - 2y - z; y + mz; x + my - 2z)

,

;

f (x;y;z) = (3x + my + 2z; x + 3y + (m + 1)z; x + y - z)

,

;

f (x;y; z;t) = (x + y + mz; x + my + z; y + z + mt; mz + t)

,

f (x;y;z;t) = (mx + y + z; x + my + z; my + z + t; mz + t)

,
Ă

đĂ

;
.

2

cho c s chớnh tc
2

E2

v c s

B = {u1 = (3; 1), u2 = (1;- 2)}

. Cho toỏn t tuyn

[f - 1(v)]B
v vector v . Tỡm
trong cỏc trng hp sau:




1 2ử
- 2ử
1




ộf ự = ỗ







[
v
]
=
f
=









E
ở ỷB ỗ3 4ữ
ở ỷB ỗ3

2





ố1 ứ

1)
v
; 2)



4 1ử
- 1ử
1




ộf ự = ỗ







[
v
]
=
f
=









E2
ở ỷB ỗ3 2ữ
ở ỷB ỗ2




ố2 ứ



3)
v
; 4)

ổử
3 1ử
3ữ


ộf ự = ỗ




[
v
]
=

ờỷ
ỳB ỗ2 4ữ
ỗ1ữ
E2






ứ v
ốữ
ứ;
5)

ổử
1 5ử
2ữ


ộf ự = ỗ




[
v
]
=

ờỷ
ỳB ỗ3 4ữ
ỗ0ữ
E2






ứ v
ốữ
ứ;
7)

ổ2 ử
4ử






[
v
]
=



E2


2ứ
1





v
;



3ữ
1ữ



[v]E = ỗ





2
4ứ
2





v
;


ổử
4 2ử
1ữ


ộf ự = ỗ




[
v
]
=

ờỷ
ỳB ỗ3 1ữ
ỗ3ữ
E2







ứ v
ốứ
6)
;

ổử
5 1ử
0ữ


ộf ự = ỗ




[
v
]
=

ờỷ
ỳB ỗ3 4ữ
ỗ1ữ
E2







ứ v
ốứ
8)
;


ổ0 ử

1 2ử
1




ộf ự = ỗ







[
v
]
=
f
=









E
ở ỷB ỗ5 4ữ
ở ỷB ỗ5

2





ố- 1ứ

9)
v
; 10)

ổử

1 7ử
1ữ
7



ộf ự = ỗ







[
v
]
=
f
=









E
ở ỷB ỗ3 5ữ
ở ỷB ỗ5

2





ố0ữ
ứ; 12)
11)
v
3
Cõu 5. Trong Ă , xột c s chớnh tc

ổử
3ử
0ữ





[
v
]
=



E


2
7ứ
1





v
;
ổử
1ử
0ữ





[
v
]
=



E


2
3ứ
1ứ




v
.

E = {e1 = (1; 0; 0), e2 = (0; 1; 0), e3 = (0; 0; 1)}

. Toỏn t tuyn


2 - 1 0ử







[f ]E = ỗ
0
1
1







3
3
0 0 1ứ


[f ]

f
:
Ă
đ
Ă
tớnh

. Tỡm B trong cỏc trng hp c s B sau:
B = {u1 = 2e1 + e2, u2 = - e2 + 2e3, u3 = 3e1 + e3}

1)
2)
3)
4)
5)

6)
7)
8)

;

B = {u1 = 2e1 + e3, u2 = - e1 + 2e3, u3 = 3e1 + e3}

;

B = {u1 = 2e1 + e2, u2 = - e1 + 2e3, u3 = 3e2 + e3}

;

B = {u1 = 2e1 + e2 + e3, u2 = - e2 + 2e3, u3 = 3e1 + e3}
B = {u1 = 2e1 + e2, u2 = e1 - e2 + 2e3, u3 = 3e1 + e3}

;

;

B = {u1 = 2e1 + e2, u2 = - e2 + 2e3, u3 = 3e1 - e2 + e3}

;

B = {u1 = 2e1 + e2 - e3, u2 = e1 - e2 + 2e3, u3 = 3e1 + e3}

;

B = {u1 = 2e1 + e2 - e3, u2 = e1 - e2 + 2e3, u3 = 3e1 - e2 + e3}

.


Câu 6. Trong ¡

4

cho cơ sở

B = {(1;- 1; 0; 0), (0; 1;- 1; 0), (0; 0; 1;- 1), (0; 0; 0; 1)}

. Cho ánh xạ

B
E3

3
4
[f ]
tuyến tính f : ¡ ® ¡ , tìm
trong các trường hợp sau:

1)
3)
5)
7)
9)

f (x;y;z) = (x + y + z; x + y; x + z; y - z)

;

f (x;y;z) = (x + y + z; x - y; x - z; y + z)

f (x;y;z) = (x - y + z; x - z; x + z; y - z)
f (x;y;z) = (x + y - z; x - y; x + z; y + z)

f (x;y;z) = (x - y - z; x - y; x + z; y - z)

11)

2)
; 4)

f (x;y;z) = (x + y; x + y + z; x + z; y - z)

f (x;y;z) = (x - y; x - y + z; x + z; y - z)

f (x;y;z) = (x - y; x + y + z; x - z; y - z)

;

6)

;

8)

;

10)

f (x;y;z) = (y - z; x - y; y + z; x - y - z)

f (x;y;z) = (x + y; x - y - z; x + z; y - z)

; 12)
2

Câu 7. Cho các ánh xạ tuyến tính f : ¡ ® ¡
biết:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)

f (x;y) = (x; x + 2y; x - y)



f (x;y) = (x + 2y; x + y; x - y)

f (x;y) = (x; x + 2y; x - y)
f (x;y) = (x - y; x + 2y; x)

f (x;y) = (x; x + 2y; x - y)





f (x;y) = (x + y; x + 2y; x - y)

f (x;y) = (2y; 3x - y; 5x - 2y)

2

;

g(x;y) = (x + y; x - 2y; 3y)

;
;

;

g(x;y) = (x - y; x - 2y; x + y)

;

g(x;y) = (x + y; x - 2y; x - y)



g(x;y) = (x + 2y; x - y; 2x)

;

;

g(x;y) = (3x + y; 2x - 3y; 3x + 5y)

8)

Câu 8. Tìm trị riêng và vector riêng của các toán tử tuyến tính sau:
1)
3)
5)
7)
9)

f (x;y;z) = (x - y; 2x + 3y + 2z; x + y + 2z)

f (x;y;z) = (x - y + 2z; 2x + 3y + 2z; x + y)
f (x;y;z) = (x - y; 2x + 3y + 2z; y + 2z)

f (x;y;z) = (x - y - z; 2x + 3y + z; x + y + z)
f (x;y;z) = (x - 2y; 2y - 3z; 3y + 5z)

11)

;

; 2)
; 4)

;

;

f (x;y;z) = (2x - 3z; 2x - 5z; x + 2y + 3z)

6)
8)

.

f (x;y;z) = (x + y; y + z; - 2y - z)

;

f (x;y;z) = (x + y; y + z; x - 2y - z)

;

f (x;y;z) = (x + y - z; y + z; x - 2y - z)

f (x;y;z) = (x + 2y - 3z; y + 2z; - 2y - z)

10)
; 12)

.

và g : ¡ ® ¡ . Xác định ánh xạ tuyến tính 2f - g

g(x;y) = (x + y; x - 2y; 3y)



;

3

g(x;y) = (x + y; x - 2y; x + 3y)

f (x;y) = (x - 4y; x + 2y; x - y)

;

f (x;y;z) = (x + y; y - z; x + y - z; x + z)
3

;

;

f (x;y;z) = (x + y; x - y - z; x - z; y + z)

g(x;y) = (x + y; x - 2y; 3y)



;

;

;

f (x;y;z) = (3y - z; y + 3z; 2x - 2y - z)

f (x;y;z) = (y - 3z; 3y + 2z; x - 2y - z)

;

.

3
3
Câu 9. Tìm trị riêng và một cơ sở của các không gian con riêng của toán tử tuyến tính f : ¡ ® ¡ ,
biết:

æ2 - 1 2 ö
æ0 1 0÷
ö
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
[f ]E = ç
5 - 3 3÷
[f ]E = ç
- 4 4 0÷
÷
÷
ç
ç
÷
÷
3
3
ç
ç
÷
÷
ç
÷
ç
÷
1
0
2
2
1
2
÷
÷
ç
ç
è
ø
è
ø;
1)
; 2)
æ
æ
4 - 5 2ö
1 - 3 4ö
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
[f ]E = ç
5
7
3
[
f
]
=
4
7
8
÷
÷
ç
ç
E
÷
÷
3
3
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
6
9
4
6
7
7
÷
÷
ç
ç
è
ø;
è
ø
4)
5)
;

æ1 - 3 3 ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
[f ]E = ç
2
6
13
÷
ç
÷
3
ç
÷
ç
÷
1
4
8
÷
ç
è
ø
3)
;
æ7 - 12 6 ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
[f ]E = ç
10
19
10
÷
ç
÷
3
ç
÷
ç
÷
12
24
13
÷
ç
è
ø
6)
;


æ1 - 4 - 8ö
æ
15 - 18 - 16ö
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
[f ]E = ç
4
7
4
[
f
]
=
9
12
8
÷
÷
ç
ç
E
÷
÷
3
3
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
8
4
1
4
4
6
÷
÷
ç
ç
è
ø
è
ø
7)
; 8)
.
Câu 10. Dùng định lý Cayley – Hamilton để tính det B trong các trường hợp sau:
æ
ö
1 1 0÷
ç
÷
ç
÷
ç
A =ç
0 1 0÷
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
5
3
2
÷
ç
8
6
5
3
è
ø;
1) B = A - 3A + 3A - 3A + A , với
æ4
2 - 1ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
ç
A = ç- 6 - 4 3 ÷
÷
÷
ç
÷
ç
÷
6
6
5
÷
ç
5
4
3
2
è
ø
B
=
A
5
A
+
8
A
3
A
+
7
A
2)
, với
;
æ4
ö
2 - 1÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
A =ç
6
4
3
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
5
4
3
2
6
6
5
÷
ç
B = A - 5A + 8A + 4A - 7I
è
ø

3)

3

, với

æ2
4
ç
ç
ç
A =ç
- 4 - 6
ç
ç
ç
3
ç
B = A 5 + 3A4 - 6A2 - 7I 3
è3
4)
, với
æ2
4
ç
ç
ç
A =ç
- 4 - 6
ç
ç
ç
3
ç
5
4
2
è3
5) B = A + 3A + 2A - 7A , với
æ
3
ç
ç
ç
A =ç
2
ç
ç
ç
ç
B = A 5 - 5A 4 + 8A 3 - 3A 2 - 7I 3
è2
6)
, với

;


÷
÷
÷
- 3÷
÷
÷
÷
÷

÷
;

÷
÷
÷
- 3÷
÷
÷
÷
÷

÷
;
1 - 1ö
÷
÷
÷
2 - 1÷
÷
÷
÷
÷
2 0ø
÷
;

æ
ö
3 1 - 1÷
ç
÷
ç
÷
ç
A =ç
2 2 - 1÷
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
2
2
0
÷
ç
5
4
3
2
è
ø;
7) B = A - 5A + 8A + 3A - 2A , với
æ1
ö
3

ç
÷
ç
÷
ç
A =ç
- 3 - 5 - 3÷
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
3
3
1
÷
ç
6
5
3
2
è
ø.
8) B = - A - 3A + 4A + 3A - A , với

Câu 11*. Chéo hóa các ma trận vuông sau:
æ
- 1 4 - 2ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
A =ç
3
4
0
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
3
1
3
÷
ç
è
ø
1)
;

æ2 2 - 1÷
ö
ç
÷
ç
÷
ç
B =ç
1
3 - 1÷
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
1
2
2
÷
ç
è
ø;
2)

æ
1 - 3 3ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
C =ç
3
5
3
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
6
6
4
÷
ç
è
ø
3)
;


ổ3 1 - 1ử







D =ỗ
1
1
1







1
1
1




4)
;

ổ1
3
3ử







E =ỗ
3
5
3







3
3
1




5)
;


1 1 1 1ử







1
1
1
1




F =ỗ



1
1
1
1








1
1
1
1




6)
.

CHNG V. DNG TON PHNG
PHN I. PHN CHUNG CHO A-2 V C-2
x = (x ; x )

2

y = (y ; y )

1
2
1
2
Cõu 1. Trong Ă , cho
v
. Xột xem cỏc ỏnh x sau õy cú phi l dng song
2
tuyn tớnh trờn Ă khụng. Nu cú, hóy lp ma trn ca dng song tuyn tớnh ú trong c s chớnh
tc.

1)

f (x, y) = 3x1x2 + y1y2 - 3x2y1

;

2)

3)

f (x, y) = 3x1y1 - 5x2y2 + x1y2 + 7x2y1

5)

f (x, y) = 3x1y1 - 2x1y2 + x2y1 - x2y2

;

2
2

f (x, y) = 3x y - 5x y + x y + y

; 4)
6)

f (x, y) = 3x1y1 + x1y2 - 3x2y1

;

2
1

f (x, y) = 3x - 5x2y2 + x1y2 + y22

f (x, y) = 3x1y1 + x1y2 - 3x2y1 + 2y12
2
1

f ((x1; x2), (y1; y2)) = x1y1 - 2x2y2 + 5x1y2 + 5x2y1

1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)

, vi

P = PAđB

A = {(1; 1), (2;- 1)}

v

A = {(2;- 1), (- 1; 1)}

A = {(1; 2), (2;- 1)}

v

A = {(2;- 1), (- 1; 1)}

A = {(1; 3), (2;- 1)}

v

A = {(2;- 1), (- 1; 1)}

A = {(1; 4), (2;- 1)}

v

A = {(2;- 1), (- 1; 1)}

A = {(3; 1), (2;- 1)}

10)
11)

v

A = {(2;- 1), (- 1; 1)}

A = {(4; 1), (1; 2)}

v

A = {(2;- 1), (- 1; 1)}

;

;

B = {(2; 5), (2;- 3)}

;

;

B = {(1;- 3), (3;- 5)}

B = {(1;- 1), (2; 1)}

v

. Chng t rng f l i xng v kim chng

B = {(2;- 3), (2; 5)}

B = {(1;- 1), (2; 1)}

v

xỏc nh nh sau:

;

B = {(1;- 1), (2; 1)}

v

2

trong cỏc trng hp sau:

B = {(1;- 1), (2; 1)}

v

;

2
2

f (x, y) = 3x - 5x y + x y - 4y

1 1
1 2
2 2
2 1
2 1
7)
;
8)
2
Cõu 2. Trong Ă , cho hai c s A v B . Cho dng song tuyn tớnh trờn Ă

[f ]B = P T [f ]A P

;

;

;

B = {(3;- 5), (1;- 3)}

B = {(1;- 1), (2; 1)}

v

;

;

B = {(2;- 5), (3; 4)}

B = {(1;- 1), (2; 1)}

;

;

B = {(3; 4), (2;- 5)}

12)
v
.
Cõu 3. Tựy theo m , hóy bin lun tớnh suy bin ( r ([f ]) < n ) hay khụng suy bin ( r ([f ]) = n ) ca cỏc
3
dng ton phng trờn Ă xỏc nh nh sau:
2
2
2
1) f (x;y;z) = x + y + z + 2xz + 2myz ;

2
2
2
2) f (x;y;z) = x + y + z + 2mxz + 2yz ;

2
2
2
3) f (x;y;z) = x + y + mz + 2xz + 2yz ;

2
2
2
4) f (x;y;z) = x + my + z + 2xz + 2yz ;

2
2
2
5) f (x;y;z) = 2x + 3y + z + 2xy + 2mxz ;

2
2
2
6) f (x;y;z) = 2x + 3y + z + 2mxy + 2xz ;

2
2
2
7) f (x;y;z) = 2x + 3y + mz + 2xy + 2xz ;

2
2
2
8) f (x;y;z) = 2x + my + z + 2xy + 2xz ;


2
2
2
9) f (x;y;z) = 3x + 2y + mz + 4xy + 2xz ;

2
2
2
10) f (x;y;z) = 3x + my + z + 4xy + 2xz ;

2
2
2
2
2
2
11) f (x;y;z) = 3x + 2y + z + 2mxy + 2xz ; 12) f (x;y;z) = 3x + 2y + z + 4xy + 2mxz .
Câu 4. Tìm ma trận trực giao P làm chéo hóa các ma trận A sau:

æ5 - 4 - 2ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
A =ç
4
5
2
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
2
2
2
÷
ç
è
ø
1)
;
æ1 - 3 1 ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
A =ç
3
1
1
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
1
1
5
÷
ç
è
ø
4)
;

æ
ö
3 1 1÷
ç
÷
ç
÷
ç
A =ç
1 3 1÷
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
1
1
3
÷
ç
è
ø;
2)
æ
3 2 0ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
A =ç
2
2
2
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
0
2
1
÷
ç
è
ø
5)
;

æ6 - 2
ç
ç
ç
A =ç
- 2 5
ç
ç
ç
0
ç
è2
3)
æ7 - 2
ç
ç
ç
A =ç
- 2 10
ç
ç
ç
ç
è1 - 2
6)

ö

÷
÷

÷
÷
÷

÷
ø;

÷
÷
÷
- 2÷
÷
÷
÷
÷

÷
.

Câu 5. Dùng thuật toán chéo hóa trực giao để đưa các dạng toàn phương ff º (x;y;z) trên ¡
định như sau về dạng chính tắc:
2
2
2
1) f = 5x + 5y + 2z - 8xy - 4xz + 4yz ;

2
2
2
2) f = 6x + 5y + 7z - 4xy + 4xz ;

2
2
2
3) f = 3x + 3y + 3z + 2xy + 2xz + 2yz ;

2
2
2
4) f = - 3x - 3y - 3z + 2xy + 2xz + 2yz ;

3

xác

2
2
2
2
2
2
5) f = 5x + 5y + 5z + 2xy + 2yz + 2xz ; 6) f = - 5x - 5y - 5z + 2xy + 2yz + 2xz ;

2
2
2
7) f = - 9x - 9y - 9z + 2xy + 2yz + 2xz ;

2
2
2
8) f = 9x + 9y + 9z + 2xy + 2yz + 2xz ;

2
2
2
9) f = - 8x - 8y - 8z + 2xy + 2yz + 2xz ;

2
2
2
10) f = 8x + 8y + 8z + 2xy + 2yz + 2xz ;

2
2
2
2
2
2
11) f = 10x + 10y + 10z + 2xy + 2yz + 2xz ; 12) f = - 10x - 10y - 10z + 2xy + 2yz + 2xz ;
2
2
2
2
2
2
13) f = 6x + 3y + 3z + 4xy - 8yz + 4xz ; 14) f = 2x + 5y + 2z - 4xy + 4yz - 2xz ;

2
15) f = - 3y + 4xy - 4yz + 10xz ;

2
2
2
16) f = - x + y - 5z + 4yz + 6xz

Câu 6*. Dùng thuật toán Lagrange để đưa các dạng toàn phương
như sau về dạng chính tắc và tìm ma trận đổi biến P :
1)

f = x12 + 5x22 - 4x32 + 2x1x2 - 4x1x3

2)

f = x1x2 + x2x3 + x1x3

3)

f = x1x2 + 2x2x3 + 4x1x3

4)
5)
6)
7)

2
1

2
2

2
1

2
2

2
3

2
2

2
3

2
2

xác định

;

;

f = x + 3x + 6x + 2x1x2 + 2x1x3 - 2x2x3
2
1

3

;

f = 2x + x + 2x - 4x1x2 - 2x2x3

2
3

trên ¡

;

2
3

2
1

(x1; x2; x3)

;

f = 4x + x + x - 4x1x2 - 3x2x3 + 4x1x3
2
1

ff º

f = - x + 2x - 2x1x2 + 2x1x3 + 4x2x3
2
3

;

;

f = - x - 2x - 3x + 2x x + 2x x - 2x x

1 2
1 3
2 3.
8)
Câu 7. Dùng thuật toán Jacobi hoặc thuật toán biến đổi sơ cấp ma trận đối xứng để đưa các dạng
toàn phương xác định như sau về dạng chính tắc:

1)

q(x; y) = 2x2 + y2 - 6xy
2

2)

;

2

q(x; y) = x - 3y + 8xy

;

2

3*)

q(x; y; z) = x + 4xy - 2yz

;


4*)
5*)
6*)

q(x; y; z) = - x2 + 2z2 - 2xy + 2xz + 4yz
2

2

2

2

2

2

q(x; y; z) = x + 7y + 8z - 6xy + 4xz - 10yz

q(x; y; z) = x + 6y + 4z - 4xy + 6xz - 18yz
2

7*)

;

2

2

2

;
;

q(x; y; z; t) = x + 2y + 6z + 11t +2xy - 4xz - 6xt - 10yz - 2yt + 18zt
.


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×