Tải bản đầy đủ

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI MÔN TOÁN THPT QUỐC GIA 2017

Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

ĐỀ CƯƠNG MÔN TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2017
PHẦN 1: HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) Khảo sát các hàm số:
y=

y = a.x3 + b.x 2 + c.x + d , ( a ≠ 0 )

;

y = a.x 4 + b.x 2 + c, ( a ≠ 0 )

;

a.x + b
, ( c ≠ 0, ad − bc ≠ 0 )
c.x + d
.

2) Các bài toán liên quan khảo sát hàm số như: tính đơn điệu của hàm số, cực trị, giá trị

lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, tiệm cận, khoảng cách, tiếp tuyến, tương giao…
3) Giải phương trình lượng giác.
4) Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng.
5) Giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit.
6) Số phức: Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp của một số phức cho trước. Tìm
tập hợp điểm biểu diễn số phức trong mặt phẳng phức. Giải phương trình trên tập hợp số
phức.
7) Tổ hợp, xác suất, nhị thức Newton.
8) Phương pháp tọa độ trong không gian: Lập phương trình mặt cầu, phương trình mặt
phẳng, phương trình đường thẳng. Tìm tọa độ điểm thỏa mãn các điều kiện cho trước.
9) Hình học không gian: Tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ. Tính diện tích hình nón,
hình trụ, mặt cầu. Tính thể tích khối nón, khối trụ, khối cầu. Tính góc và khoảng cách
giữa các đối tượng trong không gian.
10) Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng: Lập phương trình đường thẳng, đường tròn,
elip. Tìm tọa độ các điểm thỏa mãn điều kiện cho trước.
11) Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỉ, chứa dấu giá trị tuyệt đối,
chứa mũ, logarit.
12) Bất đẳng thức; Tìm giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

PHẦN 2: HỆ THỐNG CÁC BÀI TẬP THEO CÁC CHUYÊN ĐỀ
Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

I . Khảo sát hàm số:
Bài 1: Khảo sát các hàm số sau:
3
2
a) y = x + 3 x − 9 x − 7

3
c) y = x + 5 x − 4

3
2
b) y = − x + 3 x − 2

3
2

d) y = −3x + 3x − x + 2

Bài 2: Khảo sát các hàm số sau:
4
2
a) y = x − 2 x + 3

b)

y=

4
2
c) y = −2 x + 4 x

1 4 1 2
x + x −1
4
2

4
2
d) y = −3 x − x + 2

Bài 3: Khảo sát các hàm số sau:
a)

y=

x+3
2x − 1

b)

y=

x
x+2

c)

y=

−x + 2
x −1

II . Bài toán về tính đơn điệu của hàm số:
1) Tìm m để hàm số
2) Tìm m để hàm số

y = x3 − 3 ( 2m + 1) x 2 + ( 12m + 5 ) x + 2
y = − x + ( 3 − m ) x − 2mx + 2
3

3

2

đồng biến trên R.

nghịch biến trên R

2

x
mx

− 2x +1
1; +∞ )
3
2
3) Tìm mđể hàm số
đồng biến trên (
y = 2 x3 + 3 x 2 + 6 ( m + 1) x + 1
y=

4) Tìm m để hàm số
5) Tìm m để hàm số

nghịch biến trên

(

)

y = x 3 + ( m − 1) x 2 − 2m 2 + 3m + 2 x + 1

( −2;0 )

đồng biến trên

( 2; +∞ )

3
2
6) Tìm m để hàm số y = x + 3 x + mx + m nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1.

x+m
x − m đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
7) Tìm m để hàm số
mx + 4
y=
x + m nghịch biến trên ( −∞;1)
8) Tìm m để hàm số
y=

III. Bài toán về cực trị:
3
2
Bài 1: Tìm m để hàm số y = x − 2 x + mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1.

Bài 2: Tìm m để các hàm số sau có cực trị:
3
2
a) y = x + 2mx + mx − 1

Bài 3: Tìm m để hàm số
x1 − x2 ≤ 2

.

b)

y=

x 2 − 2mx + 5
x−m

y = x3 − 3 ( m + 1) x 2 + 9 x − m

đạt cực trị tại các điểm x1, x2 thỏa mãn


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

Bài 4: Tìm m> 0 để hàm số

y = x3 −

3
( m − 2 ) x 2 − 3 ( m − 1) x + 1
2
có giá trị cực đại, cực tiểu

lần lượt là yCĐ, yCT thỏa mãn: 2yCĐ + yCT = 4.
Bài 5: Tìm m để đồ thị hàm số

y = 2 x 3 + 3 ( m − 1) x 2 + 6 ( m − 2 ) x − 1

có các điểm cực đại, cực

tiểu cách đều đường thẳng y = x − 1 .
Bài 6: Tìm m để hàm số

y = x 3 + 2 ( m − 1) x 2 + ( m 2 − 4m + 1) x + 1

đạt cực trị tại hai điểm

1 1 1
+ = ( x1 + x2 )
x
x1, x2 sao cho 1 x2 2
.
Bài 7: Tìm m để hàm số

y = − x 3 + ( 2m + 1) x 2 − ( m 2 − 3m + 2 ) x − 4

có hai điểm cực trị

nằm về hai phía của trục tung.
Bài 8: Tìm m để hàm số

y = x 3 − 3 ( m + 1) x 2 + 3m ( m + 2 ) x + 1

đạt cực đại, cực tiểu tại các

điểm có hoành độ dương.
Bài 9: Tìm m để hàm số

y = − x 3 + 3 x 2 + 3 ( m 2 − 1) x − 3m 2 − 1

có cực đại, cực tiểu và các

điểm cực trị cách đều gốc tọa độ.
Bài 10: Tìm m để đồ thị hàm số

y = x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + m

có ba điểm cực trịA, B, C sao

cho OA = BC, trong đó O là gốc tọa độ và A thuộc trục tung.
4
2
4
Bài 11: Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 2mx + 2m + m có các điểm cực đại, cực tiểu lập

thành tam giác đều.
Bài 12: Tìm m để đồ thị hàm số

y = x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + m 2

có ba điểm cực trị tạo thành ba

đỉnh của một tam giác thỏa mãn một trong các điều kiện sau :
a) tam giác vuông

b) tam giác có một góc bằng 120°

c) tam giác nhận G(2;0) làm trọng tâm
3
2
3
Bài 13: Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 3mx + 3m có hai điểm cực trịA và B sao cho tam

giác OAB có diện tích bằng 48 với O là gốc tọa độ.
1
y = x 3 − mx 2 − x + m + 1
3
Bài 14: Tìm m để đồ thị hàm số
có cực đại, cực tiểu và khoảng
cách giữa các điểm cực trị là nhỏ nhất.


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

Bài 15: Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số
y = x 3 − 3mx + 2 cắt đường tròn tâm I(1;1), bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B
sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất.
IV . Bài toán về tiếp tuyến:
3
2
Bài 1: Cho hàm số y = x − 3 x + 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

(C) :
1) Tại điểm có hoành độ bằng (-1).
2) Tại điểm có tung độ bằng 2.
3) Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = -3.
4) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9 x + 1
y=−

1
x+2
24

5) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
6) Biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C).
7) Biết tiếp tuyến đi qua điểm
Bài 2: Cho hàm số

A ( −1; −2 )

y = x 3 + 3mx 2 + ( m + 1) x + 1

. Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ

x = −1 đi qua điểm A(1;2).
Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y=

−x + 3
2 x − 1 biết tiếp tuyến đó song

song với đường phân giác của góc phần tư thứ hai của mặt phẳng tọa độOxy.
Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số

y=

2x + 3
x + 1 biết d vuông góc với

đường thẳng y = x + 2 .
1
m
1
y = x3 − x 2 +
3
2
3 có đồthị (Cm). Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành
Bài 5: Cho hàm số
độ bằng

( −1) . Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng

5x − y = 0

Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y=

−x + 3
2 x − 1 biết tiếp tuyến đó song

song với đường phân giác của góc phần tư thứ hai của mặt phẳng tọa độOxy.
1
y = x3 − 2 x + 3
3
Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
biết tiếp tuyến này
cắt hai tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho OB = 2OA.


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

Bài 8: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y=

x
x − 1 sao cho tiếp tuyến đó và

hai tiệm cận của đồ thị hàm số cắt nhau tạo thành một tam giác cân.
3
2
Bài 9: Tìm m để (Cm): y = x + 3 x + mx + 1 cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt

C(0;1), D, E sao cho các tiếp tuyến với (Cm) tại D và E vuông góc với nhau.
Bài 10: Cho hàm số (C):

y=

−x +1
2 x − 1 . Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng

y = x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọik1, k2 lần lượt là hệ số góc
của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất.
3
2
Bài 11: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số y = x − 3 x + 2 sao cho tiếp tuyến

của (C) tại A và B song song với nhau đồng thời AB = 4 2
Bài 12: Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số

y=

2x + 1
x − 1 sao cho tiếp tuyến của (C) tại

điểm M cắt hai đường tiệm cận của (C) tại A và B thỏa mãn tam giác IAB có chu vi nhỏ
nhất (với I là giao điểm hai đường tiệm cận).
Bài 13: Tìm các điểm trên đồ thị hàm số

y = ( x − 1)

2

( x − 4)

mà qua đó ta chỉ kẻ được một

tiếp tuyến đến đồ thị hàm số.
Bài 14: Tìm các điểm trên đường thẳng y = -2 mà từ điểm đó có thể kẻ được hai tiếp
tuyến vuông góc với nhau đến đồ thị hàm số.
3
Bài 15: Cho hàm số y = x − 3mx + 2 . Tìm m để đồ thị hàm số có tiếp tuyến tạo với đường

thẳng d : x + y + 7 = 0 một góc α , biết

cos α =

1
26 .

V . Bài toán về tương giao:
3
2
Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = 2 x − 3 x + 1. Biện luận theo
3
2
m số nghiệm phương trình 4 x − 6 x − m = 0 .
3
2
Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2 x − 9 x + 12 x − 4 . Tìm m để
3

phương trình

2 x − 9 x 2 + 12 x = m

có sáu nghiệm phân biệt.


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
3
2
Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x − 3 x + 4 . Tìm m để phương trình
3

x −1 − 3 x −1 − m = 0

có bốn nghiệm phân biệt.

4
2
Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x − 4 x + 3 . Tìm m để phương trình

x4
3
− x2 + = m
4
4

có đúng tám nghiệm phân biệt.

Bài 5: Tìm m để đồ thị hàm số

y = x3 − 2 x 2 + ( 1 − m ) x + m

cắt trục hoành tại ba điểm

2
2
2
phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn điều kiện x1 + x2 + x3 < 4 .
3
2
Bài 6: Tìm m để đồ thị hàm số y = x − mx + 4 x + 4m − 16 cắt trục Ox tại ba điểm phân

biệt có hoành độ lớn hơn 1.
Bài 7: Tìm m để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị hàm số

y=

2x + 1
x + 1 tại hai điểm

phân biệt A, B sao cho khoảng cách từA và B đến trục hoành bằng nhau.
x2 − 1
y=
x tại hai điểm phân
Bài 8: Tìm m để đường thẳng y = − x + m cắt đồ thị hàm số
biệt A và B sao cho AB = 4.
Bài 9: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng y = 2 x + m luôn cắt đồ thị

hàm số

y=

x+3
x + 1 tại hai điểm phân biệt M, N. Xác định m sao cho độ dài MN là nhỏ nhất.

Bài 10: Tìm m để đồ thị hàm số

y = x 4 − ( 3m + 4 ) x 2 + m 2

cắt trục hoành tại bốn điểm

phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
x2 − 2x + 2
y=
x −1
Bài 11: Tìm m để đường thẳng y = − x + m cắt đồ thị hàm số
tại hai điểm
A, B đối xứng nhau qua đường thẳng y = x + 3 .
y = x 4 − ( 3m + 2 ) x 2 + 3
y
=

1
Bài 12: Tìm m để đường thẳng
cắt đồ thị hàm số
tại bốn
điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2.
3
2
Bài 13: Tìm m để đồ thị hàm số y = mx − x − 2 x + 8m cắt trục hoành tại ba điểm phân

biệt.


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
3
2
Bài 14: Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 3mx − 1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
3
Bài 15: Tìm m để đồ thị hàm số y = x + mx + 3 cắt đường thẳng y = 1 tại đúng một điểm.

VI. Một số bài toán khác:
Bài 1: Tìm điểm cố định của họ đường cong
y = x 3 + 2 ( m − 1) x 2 + ( m 2 − 4m + 1) x − 2 ( m 2 + 1)

.

Bài 2: Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho đồ thị hàm số

y = mx 3 + ( 1 − m ) x

không đi qua với mọi giá trị của m.
1
11
y = − x 3 + x 2 + 3x −
3
3 hai điểm phân biệt M, N đối xứng
Bài 3: Tìm trên đồ thị hàm số
nhau qua trục tung.
3
M 2;18 )
Bài 4: Tìm trên đồ thị hàm số y = x + 3x − 2 hai điểm đối xứng nhau qua (
.

Bài 5: Tìm trên đồ thị hàm số

y=

x +1
x − 1 hai điểm phân biệt A và B đối xứng nhau qua

y=

x
x + 1 những điểm M sao cho khoảng cách từM đến

đường thẳng d : x + 2 y − 3 = 0 .
Bài 6: Tìm trên đồ thị hàm số

đường thẳng d : 3 x + 4 y = 0 bằng 1.
Bài 7: Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số

y=

x −1
x + 1 sao cho tổng khoảng cách từM đến hai

trục tọa độ là nhỏ nhất.
Bài 8: Tìm hai điểm trên hai nhánh của đồ thị hàm số
chúng là nhỏ nhất.

y=

x−2
x − 1 sao cho khoảng cách giữa


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

Chuyên đề 2: Phương trình, bất phương trình mũ và logarit
I. Phương trình mũ và logarit:
Bài 1: Giải các phương trình sau
11) 3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = 0
2 +3 x − 2

= 16 x +1
2
1
2) 3− x + 4 x =
243
3) 2 x.3x −1.5 x −2 = 12

1) 2 x

4)

(

5+2

5) 5.4
6) 2 x

x +1

2 −1

)

x −1

+2

(

=

2 x −3

13)
14)
5−2

x+4
− 16 2

2

− 3 x = 3x

2

12)

2 −1

)

x −1
x +1

=3

− 2x

2 +2

2

8) 4
9) 9

x 2 + x −1

− 10.3

3+ 2cos x

10) 4

− 5.2

x −1+ x2 − 2

−6= 0

x2 + x −2

+1 = 0

1+ cos x

−2 =0

− 7.4

1
− 13.6 x

1
+ 6.4 x

=0

( 2 − 1) + ( 2 + 1) − 2 2 = 0
( 3 + 5 ) + 16 ( 3 − 5 ) = 2
( 5+ 2 6) + ( 5 − 2 6) = 2
x

x

x

x

x +3

sin x

sin x

8  
1 

16)  23 x − 3 x ÷− 6  2 x − x −1 ÷ = 1
2  
2 

17)

7) 4 x − 6.2 x + 8 = 0
x + x2 −2

15)

1
6.9 x

(

3− 2

18) 3 x

2

−4

(

) (
x

+

3+ 2

)

) (
x

=

10

+ x 2 − 4 3x−2 − 1 = 0

19) 3.25 x −2 + ( 3 x − 10 ) 5 x− 2 + 3 − x = 0
20) 5

2 x −1
.2 x +1

x

= 50

Bài 2: Giải các phương trình sau:
1) log 2 ( 5 x + 1) = 4

)

(

)

2) log 5− x x 2 − 2 x + 65 = 2

x


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

(

)

3) log 2 x 2 − 1 = log 1 ( x − 1)
2

4) log 9 ( x + 8 ) − log 3 ( x + 26 ) + 2 = 0
5)

3
2
3
3
log 1 ( x + 2 ) − 3 = log 0,25 ( 4 − x ) + log 1 ( x + 6 )
2
4
4

6) log

x + 1 − log 1 ( 3 − x ) = log 8 ( x − 1)

2

3

2

7) log 4 ( x + 1) + 2 = log

4 − x + log8 ( 4 + x )

2

(

8) log 9 x 2 − 5 x + 6
9) log 2+

3

(

(

)

2

1
= log
2

x2 + 1 + x

)

2

)

2

x −1
+ log 3 x − 3
2

3

+ log 2−

(

3

(

10) log 2 4 x + 4 = x − log 1 2 x +1 − 3

(

2

)

x2 + 1 − x = 0

)

)

1

11) log 2 4 x + 15.2 x + 27 + 2log 2

4.2 x − 3
x + 2log 4 x x 2 = 3log 2 x x 3

12) 4log x

3

=0

2

(

)

(

)

13) log1−2 x 6 x 2 − 5 x + 1 − log1−3 x 4 x 2 − 4 x + 1 − 2 = 0
log ( 100 x
log 10 x
14) 4 ( ) − 6log x = 2.3

2

)

15) log 3 ( x − 2 ) + log 2 ( x − 3) = 2

(

)

16) log x 2 − x − 12 + x = log ( x + 3 ) + 5
17)

( x + 3) log 32 ( x + 2 ) + 4 ( x + 2 ) log 3 ( x + 2 ) = 16

18)

log x +5
x 3

= 105+log x

19) 3log 2 x + x log 2 3 = 63log 2 x

(

)

(

)

20) ln x 2 + x + 1 − ln 2 x 2 + 1 = x 2 − x
II. Bất phương trình mũ và logarit:
Bài 1: Giải các bất phương trình sau


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

1)

(

)

x −1

−3 x − 2

2

5+2

2) 2 x

2

.3x



(

5 −2

− 3 x −3

.5 x

2

)

x −1
x +1

−3 x − 4

≥ 12

3) 2 x + 2 x −1 + 2 x −2 < 3x − 3x−1 + 3x −2
2

4) 6.92 x − x − 13.62 x
1
1
5)
< x+2
2
3 x + 5 x −6 3
6)

(

)

2 +1

x +1



(

2

−x

+ 6.42 x

2

−x

≤0

7) 3

x − x −1

1
≥ ÷
 3

x2 −2 x

8) 32 x − 8.3x+

)

2 −1

9)

x
x −1

(

)

5 +1

x+ 4

− x2 + x

− 9.9

+ 2− x

10) 4 x 2 + 3 x.x + 31+

2

x

x+ 4

+ x +1

>0

<3

(

)

5 −1

− x2 + x

< 2.3 x.x 2 + 2 x + 6

Bài 2: Giải các bất phương trình sau:
1) log 2

x2 + 8x − 1
≤2
x +1

(

)

7)

x−5
1
>−
6x
3

8)

2) log 1 x 2 − 3x + 2 ≥ −1
2

3) log x3
4)

(

)

5) log 2 x + log 2 x 8 < 4
6)

(

log 9 3 x 2 + 4 x + 2 + 1 > log 3 3 x 2 + 4 x + 2

( 4x

2

)

− 16 x + 7 log 3 ( x − 3 ) ≥ 0

)

x−5
≥0
log 2 ( x − 4 ) − 1
1
log 1 2 x 2 − 3x + 1
3

(

)

>

1
log 1 ( x + 1)

9) log x log 9 3x − 9  < 1


10) log 3 x − x2 ( 3 − x ) > 1

3


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

Chuyên đề 3: Hình học không gian
I. Thể tích khối đa diện:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B có AB = a, BC = a 3 , SA vuông
góc với mặt phẳng (ABC), SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên
các cạnh SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA⊥ (ABCD), AB = SA = 1,
AD = 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC,I là giao điểm của BM và AC. Tính thể

tích khối tứ diện ANIB.
0
·
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD = 60 , SA vuông góc mặt

phẳng (ABCD), SA = a. Gọi C′ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AC′ và song với BD,
cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B′, D′. Tính thể tích của khối chóp S.AB′C′D′.
0
·
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang AB = a, BC = a, BAD = 90 , cạnh

SA = a 2 và SA vuông góc với đáy, tam giác SCD vuông tại C. Gọi H là hình chiếu của A trên
SB. Tính thể tích của tứ diện SBCD và khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD).
·
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, cạnh a, ABC = 60° , chiều cao SO
a 3
của hình chóp bằng 2 , trong đó O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi M là
trung điểm của AD, mặt phẳng (P) chứa BM và song song với SA, cắt SC tại K. Tính thể tích
khối chóp K.BCDM.
Bài 6: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = 2a , AD = a . Trên

cạnh AB lấy điểm M sao cho

AM =

a
2 , cạnh AC cắt MD tại H . Biết SH vuông góc với mặt phẳng

(ABCD) và SH = a . Tính thể tích khối chóp S. HCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
SD và AC theo a.
Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, AB = a 2 . Gọi I là
trung điểm của cạnh BC. Hình chiếu vuông góc H của S lên mặt phẳng (ABC) thỏa mãn
uur
uuur
IA = −2.IH . Góc giữa SC và mặt đáy (ABC) bằng 600 . Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và

khoảng cách từ trung điểm K của SB đến mặt phẳng (SAH).
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D. Biết AB = 2a, AD =a,
0
DC= a (a > 0) và SA ⊥ (ABCD). Góc tạo bởi giữa mặt phẳng (SBC) với đáy bằng 45 . Tính thể


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từB tới mặt phẳng (SCD) theo a.
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2 2a . Hình chiếu
vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác BCD. Đường thẳng
0
SA tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 45 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng

cách giữa hai đường thẳng AC và SD theo a
Bài 10: Cho khối lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A , mặt phẳng
( ABC ') tạo với đáy một góc 60 0 , khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( ABC ') bằng a và

khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( BCC ' B ') bằng a . Tính theo a thể tích khối lăng trụ
ABC. A ' B ' C ' .
Bài 11: Cho lăng trụ ABCA′B′C′ có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, BC = 2a, AA′ vuông
0
góc với mặt phẳng (ABC). Góc giữa ( AB′C ) và ( BB′C ) bằng 60 . Tính thể tích lăng trụ

ABCA′B′C′ .
·
Bài 12: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AC = a, BC = 2a, ACB = 120° và đường thẳng

A ' C tạo với mặt phẳng ( ABB ' A ') góc 30 0 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách
giữa hai đường thẳng A ' B, CC ' theo a.
Bài 13: Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AB và C′D′. Tính thể tích khối chóp B ′.A′MCN và cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng
(A′MCN) và (ABCD).

II . Hình nón, hình trụ, hình cầu:
Bài 1: Cho hình nón (H) có chiều cao h, đường sinh tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng
60° . Tính thể tích khối nón (H) và tính thể tích khối cầu nội tiệp hình nón (H).
DA ⊥ ( ABC )
Bài 2: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ BC ,
. Gọi M và Ntheo thứ tự là chân
đườn vuông góc kẻ từA đến DB và DC. Biết AB = AD = 4a , BC = 3a .
a) Chứng minh rằng năm điểm A, B, C, M, N cùng nằm trên một mặt cầu (S). Tính thể tích
mặt cầu đó.
b) Gọi (S’) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ADMN. Chứng minh rằng (S) và (S’) giao nhau
theo một đườn tròn. Tìm bán kính của đườn tròn đó.
Bài 3: Cho hình trụ (H) có chiều cao bằng h, bán kính đường tròn đáy bằng R, gọi O và
O’ là tâm của hai đáy. Gọi AB là đường kính thuộc đường tròn đáy (O), CD là đường kính


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

thuộc đường tròn đáy (O’), góc giữa AB và CD bằng α với 0° < α < 90° . Tính tỉ số thể
tích giữa khối tứ diện ABCD và khối trụ (H). Xác định α để tỉ số đó là lớn nhất.


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

Chuyên đề 4: Phương trình lượng giác
Giải các phương trình sau:
cos 2 3x cos 2 x − cos 2 x = 0

1)

(Khối A - 2005)

2) 1 + sin x + cos x + sin 2 x + cos2 x = 0

(Khối B - 2005)

π 
π 3

cos 4 x + sin 4 x + cos  x − ÷sin  3 x − ÷− = 0
4 
4 2


3)

2 ( cos 6 x + sin 6 x ) − sin x cos x

4)

2 − 2sin x

=0

x

cot x + sin x 1 + tan xtan ÷ = 4
2

5)

(Khối A - 2006)

(Khối B - 2006)

6) cos3 x + cos 2 x − cos x − 1 = 0

(Khối D - 2006)

( 1 + sin x ) cos x + ( 1 + cos x ) sin x = 1 + sin 2 x (Khối A – 2007)
2

7)

(Khối D - 2005)

2

2
8) 2sin 2 x + sin 7 x − 1 = sin x

(Khối B – 2007)

2

x
x

 sin + cos ÷ + 3 cos x = 2
2
2
9) 
1
+
sin x
10)

 7π

= 4sin 
− x÷
3π 

 4

sin  x −
÷
2 

1

3
3
2
2
11) sin x − 3 cos x = sin x cos x − 3 sin x cos x

12)

13)
14)
15)

2sin x ( 1 + cos 2 x ) + sin 2 x = 1 + 2cos x

1 − 2sin x cos x
= 3
( 1 + 2sin x ) ( 1 − sin x )
sin x + cos x sin 2 x + 3 cos3 x = 2 ( cos 4 x + sin 3 x )

3 cos5 x − 2sin 3x cos 2 x − sin x = 0

π

1 + sin x + cos 2 x sin  x + ÷
1
4

=
cos x
1
+
tan
x
2
16)
17)

(Khối D – 2007)

( sin 2 x + cos 2 x ) cos x + 2cos 2 x − sin x = 0

(Khối A – 2008)
(Khối B – 2008)
(Khối D – 2008)

(Khối A – 2009)
(Khối B – 2009)
(Khối D – 2009)

(Khối A – 2010)
(Khối B – 2010)


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

18) sin 2 x − cos 2 x + 3sin x − cos x − 1 = 0

(Khối D – 2010)

1 + sin 2 x + cos 2 x
= 2sin x.sin 2 x
2
1
+
cot
x
19)

(Khối A - 2011)

20) sin 2 x cos x + sin x cos x = cos 2 x + sin x + cos x

(Khối B - 2011)

sin 2 x + 2cos x − sin x − 1
=0
tan x + 3
21)

(Khối D - 2011)

3 sin 2 x + cos 2 x = 2cos x − 1

(Khối A ,A1 - 2012)

(

)

(Khối B - 2012)

24) sin 3x + cos3x − sin x + cos x = 2 cos 2 x

(Khối D - 2012)

22)
23)

2 cos x + 3 sin x cos x = cos x − 3 sin x + 1


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

Chuyên đề 5: Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng
I . Nguyên hàm:
Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau
1)

2
∫ 2 x( x + 1)dx

x
4) ∫

7)

2

∫e

cos xdx

x

dx
(3 + e − x )

2014
∫ sin x.cos xdx

2)

( x + 1).ln xdx
5) ∫

∫ x.

8)

ln x
dx
2 + ln x


3) x
6)



2

xdx
− 4x − 5

x ln( x + x 2 + 1)
x2 + 1

e
9) ∫

2x

dx

.sin 2 xdx

Bài 2: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm sốf(x) biết:
3
x và F(1) = 4.
a)
π 
F  ÷= 0
f x = x + sin x
b) ( )
và  2 
f ( x ) = 2 x3 −

II . Tích phân:
Tính các tích phân sau:
3

1 2
∫1 ( x + x ) dx
1.
π
4

5

∫ ( cos

4.

π

4

2

x

2.




− 4sin x + cos x)dx



5.

6.



8.

( x + 1)dx
∫1 x 2 + x ln x
10.

0

∫ (sin
0

π
2

cos 5 x.sin 3 x.dx

−π
4

9.

11.

1

x + 1dx
6

14.

x+2
∫0 x 2 + 4 x + 7 dx

x
x
− cos 4 )dx
2
2

π

2

0

π
2

12.

1

5

4

∫ sin x.cos ( x − 4 )dx

1

x 7 dx
∫0 x 2 + 1

1
dx
x+9 − x



π

1 − cos 2xdx

0

2

13.

3.

π
2

cos x + sin x.cos x
∫0 2 + sin x dx
7.

0

x 2 − 4 x + 3 dx

1

π
4

∫x

16

3

0

3

15.

sin xdx

∫ cos x + sin x


0

2x +1
x2 + x + 1

dx


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

π
2

16.

∫e

π
3
2

cos x

sin x.cos xdx

17.

0

cos3 x
∫ 2 dx
π sin x

23.

∫ ln(1 + tan x)dx

26.

31.

∫ ln( x +

x + 1)dx

−1

∫x e

3

29.

0

x
∫0 x 4 + 3x 2 + 2 dx

24.

dx

27.

1

0

3

1 + ln(1 + x)
dx
2
x
1
33.



1

1

∫ x 2 − x dx
2

35.

∫ (1 − x)sin 3xdx

(ln x + 2013) 2
dx
∫1
x
30.

32. 0

x2 − 1
∫1 x 2 ln xdx
34. (A-13)

sin 2 xdx
∫ 3x + 1
−π

e

ln x.ln(ln x)dx
∫2
x
e

∫ x(1 + sin 2 x)dx

2

x2 −1

π
6

π
4

3

2

dx

π

2

e5

∫ x (e + x + 1)dx
2x

1

21.

2 2x

0

∫x

2 − x dx

2

1

28.

2

0

36.

0

( x + 1) 2
∫0 x 2 + 1 dx

III . Ứng dụng:
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
2
1) y = x − 2 x , trục hoành, x = −1 , x = 2.

2)

y=

−3 x − 1
x − 1 và hai trục tọa độ.

3) y = − x − 3x và trục hoành.
3

2

2
2
4) y = x − 2 x và y = − x + 4 x

5)

y = ( e + 1) x



(

)

y = 1 + e x .x

x

0

2

1

x sin xdx
∫0 4 + cos2 x

2



20.

π
4

25.

18.

2

dx
∫0 1 + x 2
π

22.

∫ (3 + e ) e dx
x 5

6

1

19.

ln 2

6)
7)

y = 4−

x2
x2
y=
4 2
4 và

y = x2 − 4 x + 3

và y = x + 3

2
27 y 2 = 8 ( x − 1)
8) y = 2 x và

3

2
9) y − 2 y + x = 0 và x + y = 0

10)

y=

27
x2
y
=
2
27
x , y = x và


2
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = x − 3 x + 5 và các

tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua điểm A(2;4)
Bài 3: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
khi quay quanh trục Ox:
1
y = x3 − x 2
3
1)
, y = 0 , x = 0 và x = 3
x
2) y = x.e , x = 1 và trục hoành.

3) y = x.ln x , y = 0 và x = e (KB -07)
2
2
4) y = 4 − x và y = x + 2

5) y = cos x + x.sin x , x = 0 và
2

x=

π
2

Bài 4: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
khi quay quanh trục Oy:
2
1) y = 2 x − x và y = 0

2)

y 2 = ( x − 1)

3

và x = 2

2
3) 4 y = x và y = x


Chuyên đề 6: Số phức
I . Thực hiện các phép toán trên số phức. Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp.
Bài 1: Thực hiện các phép tính:

4)

D=

2)

( 3 − 2i ) ( 4 + 3i ) − ( 1 + 2i ) 
5 − 4i

5)

( 1 + 2i ) − ( 1 − i )
F=
3
2
( 3 + 2i ) − ( 2 + i )
6)
2

( 3 − 2i ) ( 1 − i )
B=
2

4−i
A = ( 2 − 3i ) ( 1 + 2i ) +
3 + 2i
1)

3

1+ i

E = ( 1 − i ) ( 5 + 3i ) −

3)

C = ( 2 − 5i ) +

1+ i 2
2+i 3

1
1
( 1 − i ) ( 5 + 3i ) −
3 − 2i
3 − 2i
2015

1− i 
H =
÷
1+ i 
8)

(2 + i )3 + (2 − i )3
G=
(2 + i )3 − (2 − i)3
7)

Bài 2: Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp và modun của số phức z, biết:

( 1 + 2i ) − ( 1 − i )
z=
3
2
3 + 2i ) − ( 2 + i )
(
1)
2

3

3)

( 2 − 3i ) z + ( 4 + i ) z = − ( 1 + 3i )

5)

( 2 z − 1) ( 1 + i ) + ( z + 1) ( 1 − i ) = 2 − 2i

6)

7)

z = 2

8)

2
và z là số thuần ảo

z − ( 2 + i ) = 10

2)
2

4)

z=

(

2 +i

) (1−
2

và z.z = 25 .
2i

2

z2 = z + z

( 1 + 2i )

2

z + z = 4i − 20

3

1+ i 3 
z=
÷
1+ i 

9)

)

10)

z−

5+i 3
−1 = 0
z


Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
Tính modun của số phức

w=

( 1 + i ) ( z − i ) + 2 z = 2i .

z − 2z + 1
z2
.

5( z + i )
= 2−i
2
Bài 4: Cho số phức z thỏa mãn z + 1
. Tính modun của w = 1 + z + z .
II . Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức:
Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãnmột trong
các điều kiện sau:
z =1

1.
5.

2.

z − 2i = 3

6.

z <2
z +3 ≤1

9.1 ≤| z + 1 − i |≤ 2

3. 1 < | z – 1 | < 2
7.

1 < z −1 < 2

z −i
=1
10. z + i

8.
11.

4. | z – 1 | ≤ 2

z − z + 5 − 2i = 4

z = z − 3 + 4i

III . Giải phương trình trên tập hợp số phức:
Bài 1: Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức
1. (3 − 2i) z + 4 + 5i = 7 − 3i

3 − 2i ) ( z + i ) = 3i
2. (
2

2+i
−1 + 3i
z=
2+i
3. 1 − i

2
4. z + 4 z + 10 = 0

5. 2 z + 3 z = 2 + 3i

6.

z 2 + ( 3 + 2i ) z − 7 + 17i = 0

2

7.

z2 + z = 0

8. | z | - iz = 1 – 2i

9. z2+3(1+i)z - 6 - 13i = 0

10.

1
( 2 − i ) z + 3 + i   iz + ÷ = 0


2i 

11. z4 – 3z2 + 4 = 0

12.

( z + 3i ) ( z 2 − 2 z + 5 ) = 0

3
2
13. z + 3z + 3 z − 63 = 0

14.

z 3 − ( 1 + i ) z 2 + ( 3 + i ) z − 3i = 0

15.

z3 +

1 2 1
1
z + z− =0
2
2
2

z + 2i )
17. (

2

+ 2 ( z + 2i ) − 3 = 0

4
3
2
16. z − z + 6 z − 8 z −16 = 0

z
18. (

2

+ 2z

)

2

(

)

− 6 z 2 + 2 z − 16 = 0

2
Bài 2: Cho z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình 2 z − 4 z + 11 = 0 .


2

z1 + z2

2

2
Tính giá trị của biểu thức ( z1 + z2 )

Chuyên đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian
I . Lập phương trình mặt cầu:
Bài 1: Cho hai mặt phẳng

( P) : x + 2 y − 2z + 5 = 0



phương trình mặt cầu (S) đi qua gốc tọa độO, qua điểm

( Q ) : x + 2 y − 2 z − 13 = 0 .
A ( 5;2;1)

Lập

và tiếp xúc với cả hai

mặt phẳng (P) và (Q).
Bài 2: Cho

A(0;0;3), M ( −2; −3; −6 )

. Lấy điểm M’ sao cho mp(Oxy) là mặt phẳng trung

trực của đoạn thẳng MM’. Gọi B là giao điểm của AM’ với mp(Oxy). Viết phương trình
mặt cầu (S) có tâm B và tiếp xúc với mp(Oxz).
Bài 3: Cho

( P ) : 2 x − y − 2 z + 3 = 0,

( Q ) : 2 x − 6 y + 3z − 4 = 0



d:

x y+3 z
=
=
1
−1
2 . Viết

phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên d đồng thời tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P)
và (Q)


Bài

4:

Trong

không

gian

với

A ( 1; −1;2 ) , B ( 1;3;2 ) , C ( 4;3;2 ) , D ( 4; −1;2 )

hệ


tọa

độOxyz,

cho

( P) : x + y + z − 2 = 0 .

4

điểm

Gọi A’ là hình

chiếu của A trên (Oxy) và (S) là mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D. Xác định tọa độ tâm và
tính bán kính đường tròn (C) là giao của (P) với (S).
Bài 5: Cho

d:

x −1 y + 3 z − 3
=
=
−1
2
1 và

( P ) : 2x + y − 2 z + 9 = 0, ( Q ) : x − y + z + 4 = 0 .

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc d, tiếp xúc với (P) và cắt (Q) theo một đường
tròn có chu vi bằng 2π .
II . Lập phương trình mặt phẳng:
Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm

M ( −2;1;3)

và cắt các trục tọa độ tại

A ( −1;2;3)

. Viết phương trình mặt

A, B, C sao cho M là trực tâm tam giác ABC.

Bài 2: Cho đường thẳng

x = t

d :  y = −1 + 2t
z = 1


và điểm

phẳng (P) chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từA đến mp(P) bằng 3.
Bài 3: Cho

(α)

( P) : x − y − z −1 = 0



( Q ) : 2x − y + z = 0 .

Viết phương trình mặt phẳng

vuông góc với (P), (Q) và khoảng cách từ gốc tọa độO đến

Bài 4: Cho mặt cầu

(α)

bằng 14 .

( S ) : x2 + y 2 + z 2 − 4 x − 4 y + 2 z − 16 = 0 ,

hai đường thẳng

x = 3 + t

d 2 :  y = 2t
x −1 y + 1 z −1
d1 :
=
=
 z = −1 + 2t

−1
4
1 và
. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song

với d1, d2 và khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mp(P) bằng 3.
Bài

5:

Cho

mặt

cầu

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y + 4 z − 16 = 0



mặt

phẳng

( Q ) : 2 x + 2 y + z − 3 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với (Q) và cắt (S)
theo một đường tròn có diện tích bằng 16π .


Bài 6: Cho hai đường thẳng

x
y z
x −1 y + 1 z −1
=
= , d2 :
=
=
1 −2 1
1
−1
3 . Viết phương trình

d1 :

mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d2 và tạo với d1 một góc 30° .
Bài 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độO, vuông góc với mặt phẳng

( Q ) : 5x − 2 y + 5z = 0
Bài 8: Cho điểm

và tạo với mặt phẳng

A ( 10; 2; −1)

( R ) : x − 4 y − 8 z + 6 = 0 một góc 45° .

và đường thẳng

d:

x −1 y z −1
= =
2
1
3 . Viết phương trình mặt

phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từd đến (P) lớn nhất.
III . Lập phương trình đường thẳng:
Bài
d1 :

1:

Cho

mặt

( P) : x − y − z + 4 = 0

phẳng



hai

đường

thẳng

x y z −1
x y z
= =
, d2 : = =
1 1
1
1 1 2 . Viết phương trình đường thẳng d song song với (P) và

cắt d1, d2 lần lượt tại A, B sao cho AB = 2 .
Bài 2: Cho hai đường thẳng

d1 :

x +1 y + 2 z
x − 2 y −1 z −1
=
= , d2 :
=
=
1
2
1
2
1
1 và mặt phẳng

( P ) : x + y − 2 z + 5 = 0 . Lập phương trình đường thẳng d song song với mặt phẳng (P),
cắt d1, d2 lần lượt tại A và B sao cho độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất.
Bài 3: Cho hai đường thẳng

d1 :

x + 4 y −5 z +7
x − 2 y z +1
=
=
d2 :
=
=
1
−1
1 và
1
−1 −2 .Viết

M ( −1;2;0 )
phương trình đường thẳng ∆ đi qua
, vuông góc với d1 và tạo với d2 một góc
60° .
M ( 1; −1;0 )
Bài 4: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm
cắt đường thẳng

d:

x−2 y z+2
= =
2
1
1 và tạo với mặt phẳng ( P ) : 2 x − y − z + 5 = 0 một góc 30° .


P : x − y + 2z + 5 = 0
Bài 5: Cho mặt phẳng ( )
và hai đường thẳng

,

d2 :

d1 :

x +1 y − 3 z −1
=
=
2
1
1

x + 3 y z +1
=
=
3
−1
1 . Viết phương trình đường thẳng d cắt cả hai đường thẳng d1, d2,
6.

song song với (P) và cách (P) một khoảng bằng
Bài 6: Cho đường thẳng
A ( 1; −1;2 )

d:

x +1 y z − 2
= =
1
2
1 , mặt phẳng ( P ) : x + y − 2 z + 5 = 0 và điểm

. Viết phương trình đường thẳng ∆ căt đường thẳng d và mặt phẳng (P) lần

lượt tại M và N sao cho A là trung điểm đoạn thẳng MN.
IV . Tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện cho trước:
Bài 1: Cho

A ( 1;5;0 ) , B ( 3;3;6 )

và đường thẳng

∆:

x +1 y −1 z
=
=
2
−1 2 . Tìm tọa độ điểm M

trên ∆ để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 2: Cho

A ( 5;3; −1) , B ( 2;3; −4 )

và mặt phẳng

( P) : x − y − z − 4 = 0 .

Tìm trên mặt

phẳng (P) điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại C.
Bài 3: Cho ba điểm

A ( 1;0;0 ) , B ( 0;1;0 ) , C ( 0;3;2 )

và mặt phẳng

( P) : x + 2 y + 2 = 0 .

Tìm tọa độ điểm M biết rằng M cách đều ba điểm A, B, C và mặt phẳng (P).
Bài 4: Cho hai đường thẳng

d1 :

x y z
x +1 y z −1
= = , d2 :
= =
1 1 2
−2
1
1 . Tìm tọa độ điểm M

thuộc d1 và N thuộc d2 sao cho MN song song với
Bài 5: Cho hai điểm

A ( −1;2;0 ) , B ( 1;2; −5 )

( P ) : x − y + z + 2015 = 0

và đường thẳng

d:

và MN = 2 .

x −1 y − 3 z
=
=
2
2
−1 . Tìm

tọa độ điểm M trên đường thẳng d sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 6: Cho hai điểm

A ( 1; −5; 2 ) , B ( 3; −1; −2 )

 x = −3 + 4t

d : y = 2 + t
 z = −3 + 2t


và đường thẳng
uuur uuur
MA
.MB đạt giá trị nhỏ nhất.
điểm M nằm trên đường thẳng d sao cho

. Tìm tọa độ


Bài 7: Cho đường thẳng

d:

x + 3 y +1 z − 3
=
=
2
1
1 và mặt phẳng ( P ) : x + 2 y − z + 5 = 0 .

Gọi A là giao điểm của d và (P). Tìm tọa độ điểm B có hoành độ dương thuộc đường
·
thẳng d và điểm C thuộc mặt phẳng (P) sao cho BA = 2BC = 6 và ABC = 60° .
Bài 8: Cho hai điểm

A ( 1; −1;0 ) , B ( 2;0;3)

và mặt phẳng

( P ) : x − 2 y − 2 z + 4 = 0 . Tìm

tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho AM = 15 và MB ⊥ AB .
Bài 9: Cho đường thẳng
điểm

A ( 0; −1;1)

d:

x +1 y − 3 z − 2
=
=
2
−2
1 , mặt phẳng ( P ) : 2 x − 2 y − z − 5 = 0 và

. Xác định tọa độ điểm M trên đường thẳng d và điểm N trên mặt phẳng

(P) sao cho mặt phẳng (AMN) vuông góc với đường thẳngd và tam giác AMN cân tại A.
Bài 10: Cho

∆:

x + 2 y −1 z + 5
=
=
1
3
−2 và A ( −2;1;1) , B ( −3; −1;2 ) . Tìm điểm M thuộc ∆

sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 3 5 .


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×