Tải bản đầy đủ

Sáng kiến kinh nghiệm SKKN vận dụng bất đẳng thức cô si để tìm cực trị

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:
"VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ"

1


PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
A.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.Cơ sở lí luận.
Thực tế cho thấy Toán học là nền tảng cho mọi ngành khoa học, là chiếc chìa khoá vạn
năng để khai phá và thúc đẩy sự phát triển cho mọi ngành khoa học, kinh tế, Quân sự...
trong cuộc sống .
Toán học là một môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học,là một môn học khó,
đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho
mình. Chương trình toán rất rộng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức, các kiến thức lại
có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Do vậy khi học, các em không những nắm chắc lý
thuyết cơ bản, mà còn phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu của mình, từ đó biết vận dụng để
giải từng loại toán. Qua cách giải các bài toán rút ra phương pháp chung để giải mỗi dạng
bài, trên cơ sở đó tìm ra các lời giải khác hay hơn, ngắn gọn hơn.

Trong quá trình học toán ở trường THCS học sinh cần biết cách tổ chức công việc của
mình một cách sáng tạo. Người thầy cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng độc lập suy
nghĩ một cách sâu sắc, sáng tạo. Vì vậy đòi hỏi người thầy một sự lao động sáng tạo biết
tìm tòi ra những phương pháp để dạy cho học sinh trau dồi tư duy lô gic giải các bài toán.
Là một giáo viên dạy toán ở trường THCS tôi nhận thấy việc giải các bài toán ở chương
trình THCS không chỉ đưn giản là đảm bảo kiến thức trong sách giáo khoa , đó mới chỉ là
những điều kiện cần nhưng chưa đủ . Muốn giỏi toán cần phải luyện tập nhiều thông qua
việc giải các bài toán đa dạng, giải các bài toán một cách khoa học, kiên nhẫn , tỉ mỉ , để
tự tìm ra đáp số của chúng
Muốn vậy người thầy phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức trong nhiều tình huống khác
nhau để tạo hứng thú cho học sinh. Một bài toán có thể có nhiều cách giải , mỗi bài toán
thường nằm trong mỗi dạng toán khác nhau nó đòi hỏi phải biết vận dụng kiến thức trong
nhiều lĩnh vực một cách sáng tạo vì vậy học sinh phải biết sử dụng phương pháp nào cho
phù hợp
Các dạng toán ở trường trìnhTHCS thật đa dạng và phong phú như: Bất đẳng thức, Tìm
cực trị …

2


Tỡm cc tr l mt dng toỏn cú trong SGK lp 9 nhng cha a ra phng phỏp gii
chung. Hn na Tỡm cc tr cú rt nhiu trong cỏc thi nh: Thi vo THPH, trong
cỏc thi hc sinh gii huyn , hc sinh gii tnh,
Do vy vic hng dn giỳp cỏc em cú k nng gii toỏn tỡm cc tr, ngoi vic nm lý
thuyt, thỡ cỏc em phi bit vn dng thc hnh, t ú phỏt trin kh nng t duy, ng
thi to hng thỳ cho hc sinh khi hc nhm nõng cao cht lng hc tp l iu ht sc
cn thit.
2. C s thc tin
Qua thc t mt vi nm ging dy mụn toỏn lp 9 tụi thy khụng ch hc sinh gp khú
khn trong gii toỏn m bn thõn tụi khi dy phn Tỡm cc tr cng gp rt nhiu khú
khn trong vic hng dn hc sinh gii bi toỏn phn ny.Chớnh vỡ vy tụi luụn suy
ngh tng bc hon thin phng phỏp ca mỡnh.
T thc tin ging dy tụi thy hc sinh hay b tc , lỳng tỳng v cỏch xỏc nh dng toỏn
T nhng thn li , khú khn v yờu cu thc tin ging dy . Tụi chn ti
vận dụng bất đẳng thức côsi để tìm cực trị
B.PHM VI V MC CH CA TI
1. Phm vi ca ti:
- p dng vi i tng hc sinh khỏ gii lp 9
2. Mc ớch ca ti:
-Nhm nõng cao cht lng cho hc sinh gii bi toỏn Tỡm cc tr v to nim tin cho

giỏo viờn trong quỏ trỡnh hng dn hc sinh gii bi toỏn Tỡm cc tr. Giỳp cho thy v
trũ trong dy v hc t c kt qu cao .Giỳp cho hc sinh cú hng thỳ hc v yờu
thớch mụn Toỏn
- Giỳp hc sinh bit hng khai thỏc kt qu mt bi toỏn gii quyt vn linh hot
hn.
- Trao i vi giỏo viờn hng khai thỏc mt bi toỏn trong chng trỡnh bi dng hc
sinh khỏ gii lp 9
PHN II: NI DUNG
I. Bt ng thc Coossi vi 2 s a, b khụng õm
a+b 2

ab

(1)

Chng minh:
3


Do a, b  0 nên
Ta có :



a b

a



2



b

xác định

0

 a  2 ab  b  0
 a  b  2 ab  0
 a  b  2 ab

Dấu “=” xảy ra  a  b
II. Bất đẳng thức này còn đƣợc mở rộng
1. Với 3 số a, b, c không âm
a+b+c  33

abc

Dấu “=” xảy ra  a  b  c
2. Với 4 số a, b, c ,d không âm
a+b+c+d  44

abcd

Dấu “=” xảy ra  a  b  c  d
3. Đối với n số không âm: a 1 , a2 , a3 ,.....,an  0
Ta có: a1  a2  a3  ....  an  nn a1a2 a3 ...an
Dấu “=” xảy ra

 a1  a 2  a3  ...  an

III. HỆ QUẢ
1. Với 2 số không âm a, b từ BĐT (1) ta suy ra:


Nếu ab=k (không đổi) thì Min(a+b)= 2

k



Nếu a+b = k (không đổi) thì Max (ab) =

k2
4

(khi và chỉ khi a=b)
(khi và chỉ khi a=b)

2. Kết quả trên được mở rộng với:


Ba số a, b, c không âm:

+ Nếu abc =k (không đổi) thì Min (a+b+c) =3 3 k (khi và chỉ khi a=b=c)

4


3

+Nếu a+b+c=k (không đổi) thì Max (abc)=  k  (khi và chỉ khi a=b=c)
3

*Bốn số a, b, c, d không âm:
+ Nếu abcd=k (không đổi) thì Min(a+b+c+d) =4 4

k

(khi và chỉ khi a=b=c=d )
+ Nếu a+b+c+d =k (không đổi) thì Max(abcd) =

k
 
4

4

( khi và chỉ khi a=b=c=d )
*Với n số không âm :
+ Nếu

a1 , a2 , a3 ,..., an  0

a1 .a 2 .a3 ...a n  k

(không đổi ) thì

Min ( a1  a2  a3  ...  an )  nn k
(khi và chỉ khi
+ Nếu

a1  a 2  a3  ...  an )

a1  a 2  a3  ...  a n  k

Max( a1 .a2 .a3 ...an )   k 
n
(khi và chỉ khi

(không đổi ) thì
n

a1  a 2  a3  ...  an )

IV. CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI:
A.

Phương pháp 1:

Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là
một hằng số để tìm GTNN hoặc biến đổi biểu thức đã cho thành một tích của các biểu
thức sao cho tổng của chúng là một hằng số để tìm GTLN

Bài toán 1: Cho a > 0 Tìm GTNN của biểu thức:
A 1 = a+

1
a

5


Giải:

Vì a > 0 nên

1
0,
a

Áp dụng bất đẳng thức cô si với 2 số dương a và
Ta có :

a+

1
1
 2 a.
a
a

1
a

=2
1
a

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=  a 2

 1  a  1 (vì

a > 0)

Vậy Min A 1  2  a  1
Nhận xét: Hai số dương a và

1
a

có tích là một hằng số

Bài toán 2: Với mọi số thực a, tìm GTNN của biểu thức:
2
A 2 = a 2 2

a 1





2

Giải: Ta có a 2 2  a 2  1  1 nên:
A2

a2  2
a2 1

 a  1  1

2

a2 1

a2 1 

=


a2 1  0

2

1
a2 1

với mọi a nên

Áp dụng bất đẳng thức cô si với 2 số dương
a2 1 

1
a 1
2

2

a 2  1.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

1
a 1
2

a2 1 =

a2 1



1
a2 1

ta có:

2

1
a2 1

a0

Vậy Min A 2  2  a  0

6








2

Nhn xột: Phõn tớch a 2 2 a 2 1 1 a 2 1 1 cú tớch hai s dng

vi

1
a2 1

a2 1

l mt hng s

Bi toỏn 3: Vi x khụng õm , tỡm GTNN ca biu thc
x8

A3

x 1
x8

Giải: Ta có : A 3

x 1

2

=

( x 1) 9
x 1
x 1

=
Vì x 0 nên

x

9
x 1

x 1

đ-ợc xác định và

9
x 1

x 1 0

áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số d-ơng

2
9

,

x 1

x 1

0



9
x 1

ta có :
A 3 x 1

9
x 1

Dấu = xảy ra

2 2





x 1



x 1.
9
x 1

9
x 1

2 =2.3

2=4

x4

Vậy Min A 3 4 x 4
Bài toán 4: Cho x>0 Tìm GTNN của biểu thức
A4

2 x 3 27
x2

Giải : Ta có

2 x 3 27
27
27
2x 2 x x 2
A4
2
x
x
x

Vì x>0 áp dụng bất đẳng thức côsi cho 3 số d-ơng x, x,

27
x2

ta có:

7


x+x+

27
27
33 x.x. 2 3.3 9
2
x
x

Dấu = xảy ra

xx

27
x2

x 3 27 x 3

Vậy Min A 4 9 x 3


Nhận xét: Hai số d-ơng 2x và

27
x2

có tích không phải là một hằng số.

Muốn khử đ-ợc x 2 thì tử phải có x 2 x.x do đó phải biểu diễn
2x=x +x rồi dùng bất đẳng thức côsi với 3 số d-ơng
Bài toán 5 : Cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức
A5
Giải: A 5

x 3 2000
x

x 3 2000
1000 1000
x2

x
x
x

Vì x>0 nên x 2 0 ;

1000
0
x

áp dụng bất đẳng thức côsi cho 3 số d-ơng x 2 ;
A 5 x2

1000 1000
;
x
x

ta có:

1000 1000
1000 1000

33 x 2 .
.
3.100 300
x
x
x
x

Dấu = xảy ra

x2

1000 1000

x 3 1000 x 10
x
x

Vậy Min A 5 300 x 10
Bài toán 6: Với x > 0 Tìm GTNN của biểu thức
2x 2 6x 5
A6
2x

Giải: ta có

A6

Vì x > 0 nên

2x 2 6x 5
2x

=x 3

5
5
x
3
2x
2x

5
0
2x

8


áp dụng bấtđẳng thức côsi cho 2 số d-ơng x và
A6 x

5
2x

ta có:

5
5
5
3 2 x.
3 2
3 10 3
2x
2x
2

Dấu = xảy ra
Vậy Min A 6

x

5
10
x
2x
2

10 3 x

10
2

Bài toán 7 : Cho x 0 Tìm GTNN của biểu thức
x 2 2 x 17
A7
2 x 1
x 2 2 x 17 x 1 16 x 1
8
=


2 x 1
2x 1
2
x 1
2

A7

Giải: Ta có:

Vì x 0 nên

x 1
8
0;
0
2
x 1

áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số d-ơng
A7

x 1
2



8
x 1

ta có:

x 1
8
x 1 8

2
.
2 .2 4
2
x 1
2 x 1

Dấu = xảy ra



x 1
8

x3
2
x 1

Vậy Min A 7 4 x 3

Bài toán 8 : Cho x 0 Tìm GTNN của biểu thức
A8

x 6 x 34
x 3

9


Giải: Ta có A 8

x 6 x 34
x 3






2

x 3 25
x 3

=
Vì x 0 nên

x



x 3

đ-ợc xác định và

25
x 3

x 3 0

áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số d-ơng
A 8 x 3 25 2



x 3

Dấu = xảy ra





x 3.

x 3

25
x 3

25
x 3

;

25
x 3

x 3

>0



25
x 3

ta có:

2.5 10

x4

Vậy Min A 8 10 x 4

Bài toán 9: Cho x>1 . Tìm GTNN của biểu thức
A 9 4x
Giải: Ta có A 9 4 x

25
x 1

25
25
4x 1
4
x 1
x 1

Vì x>1 nên x-1 >0 .
áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số d-ơng 4 x 1 và
A 9 4x 1

25
x 1

ta có:

25
25
4 2 4 x 1.
4 2.10 4 24
x 1
x 1

Dấu = xảy ra

4 x 1

Vậy Min A 9 24 x

25
7
x
x 1
2

7
2

10


Bài toán 10 : Cho x>y và x.y = 5 . Tìm GTNN của biểu thức
x 2 1,2 xy y 2
A 10
x y

A 10

Giải: Ta có :

x 2 1,2 xy y 2
x y

=

x y 2 3,2 xy x y
x y

16
x y

( vì x.y = 5 )
Vì x>y nên x-y>0 ;

16
0
x y

áp dụng bất đẳng thức côsi với 2 số d-ơng x-y và

16
x y

ta có:

A 10 x y 16 2 x y . 16 2.4 8
x y

Dấu = xảy ra

x y

x y

16
x y 4
x y

kết hợp với điều kiện x.y=5

ta đ-ợc x=5,y=1 và x=-1,y=-5
Vậy Min A 10 8 x 5, y 1 hoặc x=-1,y=-5
Bài toán 11 : Tìm GTLN của biểu thức :
( với
Giải : Vì

0 x 23 2

0 x 23 2

nên



)

x 3 0;16 x 3 0

áp dụng BĐT côsi cho hai số không âm ta có :
Dấu = xảy ra



A11 x 3 16 x 3



A11 x 16 x
3

x 16 x
3

3

3

4

2



16 2
64
4

x 3 16 x 3 x 3 8 x 2

Vậy Max A11 64 x 2
Bài toán12 : Tìm GTLN của biểu thức : A12 x 9 x 2
( với 3 x 3 )
Giải: Vì 3 x 3 nên

x 0;9 x 2 0

áp dụng BĐT côsi cho hai số không âm ta có:
11




x2 9 x2 9

2
2



A12 x 9 x 2 x 2 9 x 2

Dấu = xảy ra

x2 9 x2 x

Vậy Max A12 9 x 3
2

3 2
2

2
2

Bài toán 13: Tìm GTLN của biểu thức :
Với
Giải: Vì

A13 1 x 2 x 1

1
x 1
2

1
x 1
2

nên 1-x 0;2 x 1 0

áp dụng BĐT côsi cho hai số không âm ta có:
A13 1 x 2 x 1

Dấu = xảy ra
Vậy Max A13

1
2 2 x 2 x 1 1 . 2 2 x 2 x 1 1 .1 1
2
2
4
8
8
2

2 2x 2x 1 x

3
4

1
3
x
8
4

Bài toán 14: Cho 0A 14
Giải: Ta có: A 14

9x
2

2 x x

9x
2
9x
2 x
=

1
2 x x 2 x
x

Vì 00



9x
2 x
0;
0
2 x
x

áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số d-ơng
A 14

9x
2 x



2 x
x

ta có:

9x
2 x
9x 2 x

1 2
.
1 2 .3 1 7
2 x
x
2 x x

Dấu = xảy ra



9x
2 x
1

x
2 x
x
2

12


Vậy Min A 14 7 x

1
2
2
x

Nhận xét: Trong cách giải trên ta đã tách
hạng tử

2 x
x

nghịch đảo với

x
2 x

thành tổng

2 x
1
x

nên khi vận dụng BĐT Côsi ta đ-ợc tích của chúng

là một hằng số
Bài toán 15: Cho 0 < x < 1 Tìm GTNN của biểu thức
A 15
Giải:

A 15

3
4

1 x x

3
4
3x
41 x
=

7
1 x x 1 x
x

Vì 0 0



3x
41 x
0;
0
1 x
x

3x
1 x

áp dụng bất đẳng thức côsi với 2 số d-ơng
A 15



41 x
x

ta có:

3x
41 x
3 x 41 x

72
.
7 2 .2 3 7 7 4 3 = 2 3
1 x
x
1 x
x



Dấu = xảy ra



3x
41 x

x
1 x
x





2



3 1

2

Vậy Min A 15 2 3 x 3 1
2

2

Chú ý: Làm thế nào để có thể biểu diễn đ-ợc :
3
4
3x
41 x


7 ?
1 x

Ta đặt

x

1 x

x

3
4 3ax 4b1 x


c
1 x x 1 x
x

Sau đó sử dụng ph-ơng pháp đồng nhất hệ số ta tìm đ-ợc:
a=b=1 ; c=7

13


Bài toán 16: Cho x>0 Tìm GTNN của biểu thức
3 x 4 16
A 16
x3

Giải: Ta có A 16
Vì x>0 nên

3 x 4 16
=3x
x3

16
0
x3

+

16
16
xxx 3
3
x
x

.

áp dụng bất đẳng thức côsi cho 4 số d-ơng x, x, x,
A 16 x x x

16
x3

ta có:

16
16
44 x.x.x. 3 4.4 16 4.2 8
3
x
x

Dấu = xảy ra

xxx

16
x 4 16 x 2
3
x

(vì x>0)

Vậy Min A 16 8 x 2

Bài toán 17 :Cho a,b,x>0 . Tìm GTNN của biểu thức
x a . x b
A 17
x

Giải : Ta có: A 17
Vì a,b,x>0 nên
Ta có: A 17 x

x a . x b = x ab a b

ab
0
x

x

x

. áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số d-ơng x và

ab
ab
a b 2 x.
a b = 2 ab a b
x
x

Dấu = xảy ra

x



a b

ab
x



2

ab
x 2 ab x ab
x

Vậy Min A 17 a b x ab
2

B . ph-ơng pháp 2:

14


Để tìm cực của một biểu thức ta tìm cực trị của bình ph-ơng biểu thức đó
Bài toán 18 : Tìm GTLN của biểu thức : A 18
Giải: ĐKXĐ

3x 5 7 3x

5
7
x
3
3

Ta có:
A 18 2 3x 5 7 3x 2 3x 5. 7 3x = 2 2 3x 5. 7 3x
áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số không âm 3x-5 và 7-3x tacó:
A 18 2 2 2 3x 5. 7 3x

2 3 x 5 7 3 x =4

Dấu = xảy ra 3x 5 7 3x x 2
Vậy Max A 18 2 =4

MaxA18 2 x 2

Nhận xét : Biểu thức A 18 đ-ợc cho d-ới dạng tổng của hai căn thức .Hai biểu thức
lấy căn có tổng không đổi (bằng 2) . Vì vậy nếu ta bình ph-ơng hai vế biểu thức
A 18 thì sẽ xuất hiện hạng tử là hai lần tích của hai căn thức. Đến đây ta có thể vận
dụng BĐT Côsi : 2 ab a b
Bài toán 19: Tìm GTLN của biểu thức A 19

x 5 23 x

Giải : ĐKXĐ : 5 x 23
ta có A 219 x 5 23 x 2 x 523 x
= 18 2 x 523 x
áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm x-5 và 23-x ta có:
A 219 18 2 x 523 x 18 x 5 23 x 36
Dấu = xảy ra x 5 23 x x 14
Vậy Max A 219 36 MaxA19 6 x 14
Bài toán 20: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức
A 20

5 x x 1

Giải: ĐKXĐ: 1 x 5

15


Ta có A 20 0 và A 2 20 5 x x 1 2 5 x x 1
=4+2 5 x x 1 4
mà A 20 0 nên A 20 2
áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm 5-x và x-1 , ta có
2 5 x x 1 5 x x 1 4
Do đó A 20 2 8 mà A 20 0 nên A 20 2

2

Vậy Min A 20 2 x 5 hoặc x=1
Max A 20 2

2 5 x x 1 x 3

C. Ph-ơng pháp 3:
Nhân và chia một biểu thức với cùng một số khác 0
Bài toán 21: Tìm GTLN của biểu thức : A 21 x 9
5x

Giải: ĐKXĐ : x 9
A 21

x9

5x

1 x9

x9
3 x 9 9

.3
1
2 3
3

3


5x
5x
10 x
30

Dấu = xảy ra
Vậy MaxA 21



x9
3 x 18
3

1
x 18
30

Nhận xét: Trong cách giải trên, x-9 đ-ợc biểu diễn thành
khi vận dụng BĐT Côsi , tích

x9
.3
3

x9
.3
3

đ-ợc làm trội thành nửa tổng

và ta đã gặp ở chỗ
x9
1
3 x
3
3

có dạng

kx có thể rút gọn cho x ở d-ới mẫu, kết quả là một hằng số . Còn số 3 ở trên tìm đ-ợc
bằng cách lấy căn bậc hai của 9 , số 9 này có trong đề bài

16


Bài toán 22: Tìm GTLN của biểu thức : A 22

x4
2x

D. ph-ơng pháp 4 :
Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho
Bài toán 23 : Cho ba số x, y , z >0 thỏa mãn x+y+z=2
Tìm GTNN của biểu thức : A 23

x2
y2
z2


yz zx x y

Giải: áp dụng BĐT Côsi với 2 số d-ơng

x2
yz



yz
4

ta đ-ợc:
x2
yz
x2 y z
x

2
.
2. x
yz
4
yz 4
2

T-ơng tự ta có :

y2
zx

y
zx
4

(1)

(2)

z2
x y

z
x y
4

(3)

Cộng vế với vế BĐT (1), (2), (3) ta đ-ợc:
x2
y2
z2
x yz



x yz
yz zx x y
2

A 23 x y z

x yz x yz

1
2
2

Dấu = xảy ra x y z

2
3

Vậy Min A 23 1 x y z

2
3

Nhận xét : Ta đã thêm

yz
4

( vì x+y+z=2)

vào hạng tử thứ nhất

x2
yz

có trong đề bài , để khi vận

dụng BĐT Côsi có thể khử đ-ợc (y+z) cũng nh- vậy đối với hạng tử thứ hai và thứ ba

17


Bài toán 24: Cho a, b, c >1. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
A 24 =

a
b 1



b
c 1



c
a 1

Giải:
Vì a,b,c>1 nên a 1, b 1, c 1 0
áp dụng bất đẳng thức CÔSI với 2 số d-ơng ta có
a
b 1
b
c 1
c
a 1













4 b 1 4 a
4 c 1 4 b
4 a 1 4 c

Cộng vế với vế các BĐT trên rồi thu gọn ta có A 24 12 a b c 4
Vậy Min A 24 =12 a b c 4
Bài toán 25: Cho a,b>1 . Tìm GTNN của biểu thức : A 25

a2
b2

b 1 a 1

V. Các bài toán vận dụng
Bài toán 26: Với x>-1 .Tìm GTNN của biểu thức : A 26
Bài toán 27: Với x>0.Tìm GTNN của biểu thức : A 27

x 2x 10
x 1

x 1992 x 2000

Bài toán 28: Với x,y,z >0 Tìm GTNN của biểu thức : A 28

1 x
x y z

y z x

Bài toán 29: Với x,y,z là các số không âm và thỏa mãn: x+y+z =1
Tìm GTLN của biểu thức : A 29 =xyz(x+y)(y+z)(z+x)
Gợi ý: áp dụng BĐT côsi với 3 số không âm ta đ-ợc
1=x+y+z 33

xyz

(1)
18


2=(x+y)+(y+z)+(z+x)  33 x  y  y  z z  x  (2)
Nh©n tõng vÕ (1) vµ (2) (do hai vÕ ®Òu kh«ng ©m ) ®-îc:
2  9 A29
3

2
 A29   
9

3

Bµi to¸n 30: Víi 0 T×m GTNN cña biÓu thøc: A 30 

2
1

1 x x

Bµi to¸n 31: Cho x.y=1 vµ x >y > T×m GTNN cña biÓu thøc
A 31 

x2  y2
x y

Bµi to¸n 32: Cho a,b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c .
a  b  c b  c  a c  a  b 
T×m GTLN cña biÓu thøc : A 32 
3abc

Gîi ý: a,b,c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c nªn a,b,c >0
Ta cã a+b >c , b+c>a, c+a>b
Do ®ã a+b-c >0, b+c-a >0, c+a-b >0
¸p dông B§T C«si víi hai sè d-¬ng , ta cã:

a  b  c b  c  a   a  b  c  b  c  a  b (1)
2

T-¬ng tù b  c  a c  a  b  c(2)

c  a  ba  b  c   a (3)
Tõ (1), (2), (3) ta cã: (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)  abc
Bµi to¸n 33: Víi x,y,z >0 . T×m GTNN cña biÓu thøc :
A 33 

xyz
x  y  y  z z  x 

Bµi to¸n 34: Cho x,y >0 vµ x+y  6 .T×m GTNN cña biÓu thøc:
A 34  3x  2 y 
Gîi ý:

A 34  3x  2 y 

6 4

x y

6 4 3
3x 6 y 8
 = x  y  
  
x y 2
2 x 2 y

3
3x 6
y 8
 .6  2
.  2 .  9  6  4  19
2
2 x
2 y

19


Bài toán 35 : Cho x , y >0 và thỏa mãn x+y=1.
Tìm GTLN của biểu thức
A 35 x 2 y 3
5
2 3
2 3
Gợi ý: ta có 1=x+y= x x y y y 55 x y x y 1

2

2

3

3

3

108

5

108

Bài toán 36:Cho x,y,z >0 thỏa mãn x+y+z 12
Tìm GTNN của biểu thức: A 36
Gợi ý: A 36 2

x
y



y
z



z
x

x 2 y 2 z 2 2x y 2 y z 2z x





y
z
x
z
x
y

áp dụng BĐT Côsi cho bốn số d-ơng ta đ-ợc:
x2 x y x y
x 2 .x 2 yz


z 44
4x
y
yz
z
z

y2 y z y z


x 4y
z
x
x

z2 z x z x


z 4z
x
y
y

Do đó A 36 2 4x y z x y z 3x y z
A 36 2 3.12 36 x y z 4
Bài toán 37: Cho a,b,c,d >0 và thỏa mãn a+b+c+d=1
Tìm GTNN của biểu thức
A 37

a2
b2
c2
d2



ab bc cd d a

Bài toán 38: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức:A 38

x2 6 x

Gợi ý: Xét A 38 2 4 2 x 26 x
Ta có A 38 2 4 MinA38 2 x 2; x 6
A 38 2 4 x 2 6 x 8 MaxA38 2

2 x2 6 x x 4

20


Bµi to¸n 39: T×m GTLN cña biÓu thøc: A39  2x 2  12  x 2 
Bµi to¸n 40: T×m GTLN cña biÓu thøc: A 40  x 25  x 2
( víi  5  x  5 )

Bài toán 41 :Cho x, y, z, t > 0
T×m GTNN cña A41 =

yt
y
x y
x
tx
t





yt
x
tx
y
x y
t

Gợi ý :
§Æt P = 2A41 ta cã :
2y
2(t  x)
2( x  y )
2 x 2( y  t )
2t





yt
x
tx
y
x y
t

P=

 2x
y  t   2y
x y 3 y t t  x xt
t  x   2t

  
  
 






2x   t  x
2y   x  y
2t  2  x
y
t 
 yt

P=

 2x
y  t   2y
x y 3 y t t x x y
t  x   2t
  
  
       



2x   t  x
2y   x  y
2t  2  x x y y t t 
 yt

P= 
P

2

+

2

+

2

+

3
.6
6

(theo c«si)

P  15  MinP= 15  x = y = t > 0
 MinA41 =

15
2

Vậy Min A41 =

x=y=t

15
2

x=y=t

Bài toán 42: Cho x, y > 0 vµ 7x + 9y = 63

T×m GTLN cña A42 = x.y

Gợi ý :
§Æt :

P = 63.A42 ta cã :
P = 63xy = 7x.9y 

 7x  9 y 


 2 

2

(theo c«si)

21


2

P   63  =
 2

3969
4

 Max P

=

DÊu "=" x¶y ra  7x = 9y =

Max A 42 =

3969
4

: 63 =

63
4

3969
4
63
2





9

 x  2

y  7

2

 x  4,5

 y  3,5

Bài toán 43:
Tìm GTNN của A43 = 3a + 4

1  a2

với -1  a  1

Gợi ý:
A43 = 3a + 4

3
16
2
1  a2  5   a  5 
 1  a 
5
25

Và áp dụng bất đẳng thức Cô si với hai số không âm cho ta
2

3
16
2
5  a  5
 1  a 
5
25

=> A43

3 2
16
2
 1  a 
  a
5
 5  
 5  25
2
2

 9  25a 2  41  25a 2 
 5
5
2  25



=> Do đó A43  5 và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi.
3

a  5
<=>

 16  1  a 2
 25

a=

3
5

Vậy GTNN của A43 = 5 <=> a =

3
5

Bài toán 44:
Tìm GTNN của biểu thức:

22


A44 =

4 x 4  16 x3  56 x 2  80 x  356
x2  2 x  5

Gợi ý:
Biểu diễn A44 = 4 ( x 2  2 x  5) 

256
 64
x  2x  5
2

(áp dụng BĐT Côsi)

=> Min A44 = 64 khi x = 1 hoặc x = -3

23



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×