Tải bản đầy đủ

Sáng kiến kinh nghiệm một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:
"MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT
PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ"

- -

1


- -

2


A. ĐẶT VẤN ĐỀ
LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Phương trình, bất phương trình vô tỉ là phương trình, bất phương trình có ẩn dưới
dấu căn thức là các bài toán về phương trình bất phương trình siêu việt, cũng như phương
trình, bất phương trình lượng giác thường đưa về phương trình, bất phương trình vô tỉ để

giải. Chính vì thế việc khảo sát phương trình , bất phương trình vô tỉ là rất cần thiết.
Trong những năm gần đây, phương trình, bất phương trình vô tỉ thường xuất hiện
trong các đề thi Đại học- Cao đẳng và đề thi Học sinh giỏi. Do đó, việc biên soạn một hệ
thống các bài tập và phương giải cho dạng toán này sẽ giúp ích cho học sinh khi ôn luyện
để thi học sinh giỏi và thi vào các trường đại học –Cao đẳng
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN
Một trong những trọng tâm của đổi mới chương trình và sách giáo khoa giáo dục phổ
thông là tập trung vào đổi mới phương pháp dạy học, thực hiện việc dạy học dựa vào hoạt
động tích cực, chủ động của học sinh với sự tổ chức và hướng dẫn của giáo viên nhằm
phát triển tư duy độc lập, sáng tạo, góp phần hình thành phương pháp và nhu cầu tự học,
bồi dưỡng hứng thú học tập, tạo niềm tin và niềm vui trong học tập cho học sinh.Tiếp tục

- -

3


tận dụng các ưu điểm của phương pháp truyền thống và dần dần làm quen với những
phương pháp dạy học mới.
Khi giải một bài toán, học sinh thường cố gắng tìm ra một phương pháp tối ưu, đẹp
nhất, chặt chẽ, chính xác nhất trong nhiều cách giải bài toán đó.
Với cách học đó giúp các em tích lũy được nhiều kinh nghiệm giải toán và giải toán sáng
tạo. Để bổ sung cho học sinh phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ tôi
giới thiệu đề tài:
“Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ”
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
1. Thuận lợi:
Đa số học sinh đều thích học môn Toán, các em học Toán để chuẩn bị cho các kì thi Tốt
nghiệp phổ thông, Đại học, Cao đẳng và thi học sinh giỏi. Ngoài ra, được sự động viên,
quan tâm và giúp đỡ của Ban Giám Hiệu cũng như của đồng nghiệp đã tạo điều kiện
thuận lợi cho tôi thực hiện đề tài này.

2. Khó khăn:

- -

4



Học sinh chủ yếu là con em nông thôn, gia đình ở xa trường, điều kiện kinh tế khó khăn,
ngoài thời gian học ở trường các em còn phải làm giúp gia đình. Đa số điểm đầu vào của
học sinh còn thấp, vì thế cũng có phần khó khăn cho việc lĩnh hội kiến thức.
III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN
Một số phương trình, bất phương trình vô tỉ khi giải bằng phương pháp thông thường sẽ
gặp rất nhiều khó khăn, vì có nhiều phương trình, bất phương trình chứa nhiều dấu căn
khá phức tạp.
Ở đây tôi nêu ra ba phương pháp để giải phương trình , bất phương vô tỉ là phương pháp
biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ và phương pháp vectơ.
1) Phương pháp biến đổi tương đương
Khi giải các phương trình, bất phương trình vô tỉ ,đầu tiên ta phải đặt điều kiện cho bài
toán có nghĩa sau đó tìm cách tách căn thức và khử nó, có một số phép biến đổi tương
đương quan trọng sau :
Giả sử k là một số nguyên dương
 f ( x) = g 2 k ( x)
g2 k f ( x) = g ( x) ⇔ 
 g ( x) ≥ 0

- -

5


g2 k +1 f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x ) = g 2 k +1 ( x)

 f ( x) = g ( x)
g2 k f ( x) = 2 k g ( x) ⇔ 
 f ( x) ≥ 0

g2 k +1 f ( x) = 2k +1 g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x)

Ví dụ 1: Giải phương trình

Giải : ta có x -

2x + 3

x -

2x + 3 = 0

(1)

= 0

x ≥ 0
x ≥ 0
x ≥ 0

⇔ 2
⇔ 2
⇔   x = −1 ⇔ x = 3
 x = 2x + 3  x − 2x − 3   x = 3


Ví dụ 2:

Giải phương trình

x + 1 = 8 − 3x + 1

- -

(2)

6


x +1 ≥ 0
1


x ≥ − 3
⇔ x + 1 + 3x + 1 = 8 ⇔ 3x + 1 ≥ 0
⇔

 3x 2 + 4x + 1 = 31 − 2x

4x + 2 + 2 ( x + 1)(3x + 1) = 64

Giải:

(2)

31
 1
− ≤ x ≤
2
⇔ 3

3x 2 + 4x + 1 = 961 − 124x + 4x 2

31
 1
− ≤ x ≤
⇔ x=8
2
 3
 x 2 − 128x + 960 = 0


Ví dụ 3:

Giải phương trình

2

x + 2 + 2 x +1 − x +1 = 4

(3)

KD -2005
Giải:

Điều kiện : x



-1 , (3)



2 ( x + 1 + 1) 2 − x + 1 = 4 ⇔ 2( x + 1 + 1) − x − 1 = 4
⇔ x +1 = 2 ⇔ x = 3

Ví dụ 4: Giải bất phương trình
x 2 − 3x + 2 + x 2 − 4x + 3 ≥ 2 x 2 − 5x + 4

- -

(4)

7


Giải :

∗ Nếu

 x 2 − 3x + 2 ≥ 0
 2
x ≥ 4
 x − 4x + 3 ≥ 0 ⇔ 
x ≤1
 x 2 − 5x + 4 ≥ 0


Điều kiện

x

≥4

Ta viết (4) dưới dạng

( x − 1)( x − 2) + ( x − 1)( x − 3) ≥ 2 ( x − 1)( x − 4)
⇔ ( x − 1)( x − 2 + x − 3) ≥ 2 x − 1 x − 4
⇔ x−2 + x−3 ≥ 2 x−4
⇔ x−2 − x−4 ≥ x−4 − x−3

Vì x ≥ 4 nên vế trái dương còn vế phải âm bất phương trình nghiệm đúng
Vậy
∗ Nếu



x
x

4

≤1

Ta viết (4) dưới dạng

(1 − x)(2 − x) + (1 − x)(3 − x) ≥ 2 (1 − x)(4 − x)
⇔ 1− x ( 2 − x + 3 − x) ≥ 2 1− x 4 − x

Khả năng 1: x=1

là nghiệm

Khả năng 2 : x<1 thì (4)
⇔ 2− x + 3− x ≥ 2 4− x
⇔ 2− x 4− x ≥ 4− x − 3− x

- -

8


Vế trái âm, vế phải dương , (4) vô nghiệm
Vậy x=1 hoặc x ≥ 4
Bài tập:

1/ Giải các phương trình
a / 3 x + 34 − 3 x − 3 = 1
b / x3 + (1 − x 2 )3 = x 2(1 − x 2 )
c / x + 2 x −1 + x − 2 x −1 =

x+3
2

d / x2 + x + 5 = 5

2/ Giải bất phương trình
a / ( x − 3) x 2 + 4 ≤ x 2 − 9
b / x + 2 − x +1 ≤ x
c / x 4 − 2x 2 + 1 ≥ 1 − x
d / 2x 2 − 6x + 1 ≥ x − 2

2) Đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình.
Đối với phương pháp này ta có thể đưa về hệ hai ẩn khác ẩn của phương trình hoặc có
thể chỉ đặt một ẩn và ẩn còn lại của hệ là ẩn của phương trình ban đầu.
a) Đặt một ẩn phụ.
- -

9


Ta tìm phương pháp chung để giải các phương trình dạng
3
3
2
ax + b = cx2 + dx + e và ax + b = cx + dx + ex + f

1
a

Dạng 1 : ax + b = mx2 + cx + d(a ≠ 0, m ≠ 0, m = ) .
1
a

Xét hàm số f (x) = x2 + cx + d .
2
a

Ta có f '(x) = x + c , f '(x) = 0 ⇔ x = −

Đặt ax + b = y +

ac
.
2

ac
, ta đưa phương trình dạng 1 về hệ đối xứng quen thuộc.
2

Ví dụ 1: Giải phương trình x + 5 = x2 − 5 .
Làm nháp: Xét hàm số f (x) = x2 − 5.
Ta có f '(x) = 2x, f '(x) = 0 ⇔ x = 0 .

Giải

- -

10


Đặt

x2 − y = 5

x + 5 = y(y ≥ 0) , ta được hệ phương trình  2
y − x = 5

Hệ này là hệ đối xứng loại 2.

1 − 21
x =
2 (loại) hoặc
Giải hệ ta được 
y = 1 − 21

2


1 + 21
x =
2 hoặc

y = 1 + 21

2



−1 − 17
−1 + 17
x =
x =
2
2
hoặc 
(loại)

y = −1 + 21
y = −1 − 21


2
2

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 + 21 , x = −1 + 17 .
2

Ví dụ 2: Giải phương trình

2

1
61
29
.
x+
= 3x2 + x −
3
36
6

Làm nháp: Xét hàm số f (x) = 3x2 + x −

29
.
6

1
6

Ta có f '(x) = 6x + 1, f '(x) = 0 ⇔ x = − .

- -

11


Giải

Đặt

1
61
1
1
x+
= y + (y ≥ − ) , ta được hệ phương trình
3
36
6
6

3y2 + y = x + 5

 2
3x + x = y + 5

Suy ra 3(y2 − x2) + (y − x) = x − y ⇔ (x − y)(3y + 3x + 2) = 0 ⇔ y = x hoặc y = −

3x + 2
.
3

5
*Với y = x , ta có 3y2 = 5 ⇒ y = x =
.
3

*Với y = −

3x + 2
, ta có 3x2 + x = − 3x + 2 + 5 ⇔ 9x2 + 6x − 13 = 0 ⇔ x = −3 ± 126 .Từ
3
3
9

đây ta tìm được y và kết luận nghiệm của phương trình.
1
c

Dạng 2 : ax + b = cx2 + dx + e(a ≠ 0,c ≠ 0,a ≠ ) .
Xét hàm số f (x) = cx2 + dx + e .
d
Ta có f '(x) = 2cx + d , f '(x) = 0 ⇔ x = − .
2c

- -

12


Đặt ax + b = 2cy + d , ta đưa phương trình dạng 2 về hệ đối xứng quen thuộc.
Ví dụ 3: Giải phương trình 9x − 5 = 3x2 + 2x + 3 .
Làm nháp: Xét hàm số f (x) = 3x2 + 2x + 3.
1
3

Ta có f '(x) = 6x + 2, f '(x) = 0 ⇔ x = − .
Giải

Đặt

1
9x − 5 = 3y + 1(y ≥ − ) , ta được hệ phương trình
3

3y2 + 2y = 3x − 2

 2
3x + 2x = 3y − 2

Từ đây ta có thể dễ dàng giải tiếp .
1
c

Dạng 3 : 3 ax + b = cx3 + dx2 + ex + f (a ≠ 0,c ≠ 0,a = ) .
Xét hàm số f (x) = cx3 + dx2 + ex + ff ⇒ '(x) = 3cx2 + 2dx + e ⇒ f ''(x) = 6cx + 2d .
f ''(x) = 0 ⇔ x = −

d
.
3c

Đặt 3 ax + b = y +

d
, ta đưa pt dạng 3 về hệ đối xứng quen thuộc.
3c

- -

13


Ví dụ 4: Giải phương trình x3 + 1 = 23 2x − 1 .
1
2

Làm nháp: Xét hàm số f (x) = x3 +

1
.
2

3
2

Ta có f '(x) = x2, f ''(x) = 3x, f ''(x) = 0 ⇔ x = 0.

Giải
x3 + 1 = 2y

Đặt y = 3 2x − 1 , ta được hệ phương trình  3
y + 1 = 2x

Trừ hai phương trình của hệ vế theo vế, ta được : x3 − y3 = 2y − 2x

y = x
⇔ (y − x)(y2 + xy + x2 + 2) = 0 ⇔  2
y + xy + x2 + 2 = 0(VN )

Thay x = y vào phương trình ban đầu ta được : x3 − 2x + 1 = 0

- -

14


⇔ x = 1, x =

1± 5
.
2
1
c

Dạng 4 : 3 ax + b = cx3 + dx2 + ex + f (a ≠ 0,c ≠ 0,a ≠ ) .
Xét hàm số f (x) = cx3 + dx2 + ex + ff ⇒ '(x) = 3cx2 + 2dx + e ⇒ f ''(x) = 6cx + 2d .
f ''(x) = 0 ⇔ x = −

d
.
3c

Đặt 3 ax + b = 3cy + d , ta đưa pt dạng 4 về hệ đối xứng quen thuộc.
Ví dụ 5: Giải phương trình

3

81x − 8 = x3 − 2x2 +

4
x − 2.
3

4
3

Làm nháp: Xét hàm số f (x) = x3 − 2x2 + x − 2.
4
3

Ta có f '(x) = 3x2 − 4x = , f ''(x) = 6x − 4, f ''(x) = 0 ⇔ x =

2
.
3

Giải

3
2
3y = x − 2x +
Đặt 3 81x − 8 = 3y − 2 , ta được hệ phương trình 
3x = y3 − 2y2 +


- -

4
x
3
4
y
3

15


Đáp số :

x = 0;x =

3± 2 6
.
3

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Giải các phương trình sau :
1)

x2 = 2 − x + 2

2)

x2 − 4x − 3 = x + 5

3)

x3 + 2 = 33 3x − 2

4)
5)
6)

;

3x + 1 = −4x2 + 13x − 5
x + 1 = x2 + 4x + 5
1
9
x+
= 7x2 + 7x .
7
28

b) Đặt hai ẩn phụ.

- -

16


Khi biểu thức dưới dấu căn có mối liên hệ với nhau, ta đặt hai ẩn phụ để đưa về hệ
phương trình.
Ví dụ 6: Giải phương trình

3 − x + x2 − 2 + x − x2 = 1

Giải
Đặt u = 3 − x + x2 và
u − v = 1

 2
2
u
+
v
=
5


v = 2 + x − x2(u, v ≥ 0) ,

u = 1 + v

 2
v
+
v

2
=
0


ta được hệ phương trình :

u = 2
hoặc

v = 1

u = −1
(loại)

v = −2

Đáp số : x = 1 ± 5 .
2

3

Ví dụ 7: Giải phương trình

x + 34 − 3 x − 3 = 1

Giải
Đặt u = 3 x + 34 và
u − v = 1

 3
3
u

v
=
37


v = 3x − 3 ,

ta được hệ phương trình :

u − v = 1


2
2
(
u

v
)(
u
+
uv
+
v
)
=
37


- -

u = v + 1

2
2
(v + 1) + v(v + 1) + v = 37

17


u = v + 1
⇔ 2

v
+
v

12
=
0


u = 4
hoặc

v
=
3


 3 x + 34 = 3

Khi đó  3
hoặc
 x − 3 = 4

u = −3
.

v
=

4


 3 x + 34 = 3

3
 x − 3 = 4

Giải ra được x = 30, x = −61.
Ví dụ 8:Giải phương trình 23 3x − 2 + 3 6x − 5 − 8 = 0(ĐH Khối A- 2009)
Giải
Đặt u = 3 3x − 2 và
2u + 3v = 8

 3
2
5
u
+
3
v
=
8


hệ

 3 3x − 2 = −2


 6 − 5x = 4

v = 6x − 5(v ≥ 0) ,

ta được hệ phương trình :


8 − 2u
v =

3

3
2
15u + 4u − 32u + 40 = 0


ta được


8 − 2u
u = −2
v =
3


v = 4 .Giải
2


(u + 2)(15u − 26u + 20) = 0


x = −2 .

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Giải các phương trình

- -

18


7x2 + 7x =

1/

4x + 9
5 2−6
(x > 0) .ĐS: x =
28
4

47 − 2x + 4 35 + 2x = 4 .ĐS: x = −17;x = 23.

2/

4

3/

x + 3 − 3 x = 1.ĐS: x = 1;x = 2 2 .

4/

x + 6 = x2 + 4x .ĐS: x =

−3 + 17
−5 + 13
;x =
2
2

2 − x + x − 1 = 1.ĐS: x = 1;x = 2;x = 10.

5/

3

6/

5 x3 + 1 = 2(x2 + 2) .ĐS: x =

5 ± 37
.
2

3) Vận dụng kiến thức vectơ để giải phương trình, bất phương trình vô tỉ
Một số kiến thức vận dụng :
r

r

●u+v

r r
≤ u+v

r r
r r
r
r
u
+
v
=
u
+
v

u
=
kv
(k > 0)

r r
r r
u

v

u
−v

r r
r r
r
r
u

v
=
u

v

u
=
kv
(k > 0)

rr r r
r
r
uv
.
=
u
.
v

u
=
kv
(k > 0)


- -

19


Ví dụ 9: Giải phương trình

x2 − 2x + 5 − x2 − 6x + 10 = 5

Giải
Phương trình

⇔ (x − 1)2 + 4 − (x − 3)2 + 1 = 5

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,chọn các vectơ có tọa độ như sau :
r
u = (x − 1;2)
r
v = (x − 3;1)

Ta có :

r r
u − v = (2;1)
r r
u−v = 5
r r
u − v = (x − 1)2 + 4 − (x − 3)2 + 1



r r
r r
r
r
x −1
u − v = u − v ⇔ u = kv(k > 0) nên
= 2 ⇔ x = 5.
x−3

Vậy nghiệm của phương trình là
Ví dụ 10: Giải phương trình

x = 5.

x2 + 2x + 10 + x2 − 6x + 13 = 41

Giải
Phương trình đã cho

⇔ (x + 1)2 + 9 + (3 − x)2 + 4 = 41

- -

20


Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,chọn các vectơ có tọa độ như sau :
r
u = (x + 1;3)
r
v = (3 − x;2)

Ta có :

r r
u + v = (4;5)
r r
u + v = 41
r r
u + v = (x + 1)2 + 9 + (3 − x)2 + 4



r r
r r
r
r
x+1 3
7
u + v = u + v ⇔ u = kv(k > 0) nên
= ⇔x= .
3− x 2
5

Vậy nghiệm của phương trình là


dụ

x=

7
.
5

11:

Giải

phương

trình

(3 − x) x − 1 + 5 − 2x = 40 − 34x + 10x2 − x3

Giải
Điều kiện:

1≤ x ≤

PT ⇔ (3 − x)

5
.
2

x − 1 + 5 − 2x =

40 − 34x + 10x2 − x3

- -

21


⇔ (3 − x) x − 1 + 5 − 2x = [(3 − x)2 + 1](4 − x)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,chọn các vectơ có tọa độ như sau :
r
u = (3 − x;1)
r
v = ( x − 1; 5 − 2x )

Ta có :

rr
uv
. = (3 − x) x − 1 + 5 − 2x
r r
u . v = (3 − x)2 + 1. 4 − x = 40 − 34x + 10x2 − x3

rr r r
r
r
3− x
=
uv
. = u . v ⇔ u = kv(k > 0) nên
x−1



Vậy nghiệm của phương trình là

1
5 − 2x

⇔ 2x3 − 17x2 + 49x − 46 = 0 ⇔ x = 2 .

x = 2.

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Giải các phương trình
1/

x + 3 − 4 − x + x − 8 − 6 x − 1 = 1.

ĐS:
2/

5 ≤ x ≤ 10

x2 − 8x + 816 + x2 + 10x + 267 = 2003 .

- -

22


ĐS:
3/
4/

x=−

56
31

x − 2 + 4 − x = x2 − 6x + 11.

ĐS:

x=3

ĐS:

x2 − 2x + 5 + x2 + 2x + 10 = 29

x=

1
5/
5

x + 2x − 1 + x − 2x − 1 = 2 .

6/

x2 + 2x + 2 + x2 − 2x + 2 = 2 2

ĐS:

x=0

IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI

- Qua thưc tế giảng dạy, nếu học sinh nắm được những vấn đề lý thuyết cơ bản về hình
học và đại số- nhận dạng được các loại bài tập –phương pháp giải từng loại bài tập có hệ
thống như trên thì sẽ giúp cho các em giải quyết đươc bài toán giải phương trình, bất
phương trình vô tỉ trong các đề thi Đại học-Cao đẳng một cách nhanh chóng.
- Kết quả cho thấy: đa số HS biết ứng dụng và giải được các bài toán về giải phương
trình, bất phương trình vô tỉ.

C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
- -

23


Sáng kiến kinh nghiệm góp phần thiết thực vào việc ôn thi đại học của học sinh. Nó giúp
học sinh thấy được cách giải quyết vấn đề nhanh chóng và hiệu quả khi nắm vững
phương pháp.
Tôi rất mong được hội đồng chuyên môn nhà trường góp ý, bổ sung để đề tài được hoàn
thiện hơn và có thể triển khai áp dung rộng rãi để giảng dạy cho học sinh lớp 12 chuẩn bị
thi Đại học-Cao đẳng.
Trong quá trình biên soạn đề tài tôi đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên cũng không tránh khỏi
những thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý chân thành của đồng nghiệp và hội đồng
chuyên môn nhà trường để đề tài hoàn thiện hơn.

- -

24


Xác nhận cuả thủ trưởng đơn vị

Thanh Hóa, ngày 25/5/2013
Tôi xin cam đoan trên đây là SKKN
của mình viết, không sao chép nội
dung của người khác.

Lê Văn Thảo

- -

25


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×