Tải bản đầy đủ

Bài tập Phép biến đổi Laplace

Câu 3.1
0 < t <1
t ,

Câu hỏi: Tìm hàm ảnh của hàm gốc: f (t ) = 2 − t , 1 < t < 2
0,
t>2

f (t ) = t − 2η (t − 1)(t − 1) + η (t − 2)(t − 2)
F ( p) =

1 − 2 e − p + e −2 p

2,5 điểm

1,5 điểm
1,0 điểm

p2

Câu 3.2

1≤ t < 2
 t + 1,
Câu hỏi: Tìm hàm ảnh của hàm gốc: f (t) = 
t ≥ 2 va t < 1.
 0,
f (t ) = [ (t − 1) + 2 ] η (t − 1) − [ (t − 2) + 3] η (t − 2)
e− p − e−2 p 2e− p − 3e−2 p
F ( p) =
+
p
p2

2,5 điểm
1,5 điểm
1,0 điểm

Câu 3.3
t − 1,

Câu hỏi: Tìm hàm ảnh của hàm gốc: f (t ) = 1 − 3t ,
 0,


0≤t <3
3≤t <5
t ≥5

f (t ) = t − 1 + [ 4(t − 3) + 10] η (t − 3) + [ 3(t − 5) + 14 ] η (t − 5)
F ( p) =

1 + 4e−3 p + 3e−5 p
p2

1 − 10e −3 p − 14e −5 p

p

2,5 điểm

1,5 điểm

1,0 điểm

Câu 3.4
0 ≤ t <1
t ,

1≤ t < 3
Câu hỏi: Tìm hàm ảnh của hàm gốc: f (t ) = 2t − 1,
0,
t ≥3

f (t ) = t + (t − 1)η (t − 1) − 3(t − 3)η (t − 3) − 8η (t − 3)
1 + e− p − 3e−3 p 8e−3 p
F ( p) =

p
p2

2,5 điểm

1,5 điểm
1,0 điểm


Câu 3.5
 3t,

Câu hỏi: Tìm hàm ảnh của hàm gốc: f (t) = 2t − 3,
 0,


0≤t<4
4≤t<6
t≥6

f (t ) = 3t − [ (t − 4) + 7 ] η (t − 4) − [ 2(t − 6) + 9] η (t − 6)
F ( p) =

3 − e−4 p − 2e −6 p
p2

7e−4 p + 9e−6 p

p

2,5 điểm

1,5 điểm
1,0 điểm

Câu 3.6
Câu hỏi: Tìm hàm gốc của hàm ảnh: F(p) =

pe−2p
p 2 + 4p − 5

2,5 điểm
1,5 điểm

1 1
5  −2p
F(p) = 
+
e
6  p −1 p + 5 ÷

f (t) ¤ F(p) ⇒ η(t − a)f (t − a) ¤ e −apF(p), a > 0.
1
f (t) = η(t − 2) e t − 2 + 5e −5(t − 2) 
6
 1  t −2
−5(t − 2) 
t>2
  e + 5e
,
= 6

0,
t<2

1,0 điểm

Câu 3.7
(3p 2 + 5)e − p
Câu hỏi: Tìm hàm gốc của hàm ảnh: F(p) = 4
p + 4p 2 + 3
 2
1  −p
F(p) =  2
+ 2
÷e
 p + 3 p +1
f (t) ¤ F(p) ⇒ η(t − a)f (t − a) ¤ e − apF(p) với

2,5 điểm
1,5 điểm

a>0

2 3

f (t) = η(t − 1) 
sin 3(t − 1) − sin(t − 1) 
 3

 2 3

sin 3(t − 1) − sin(t − 1)  , t > 1

=  3


0,
t <1


1,0 điểm


Câu 3.8


2 −2t
Câu hỏi: ứng dụng biến đổi Laplace tính: I = ∫ t e cos 2tdt

2,5 điểm

0



2 − pt

I = ∫t e
0



 p   4 − p 2  2 p3 − 24 p
cos 2tdt =  2
=
÷ =  2

÷ ( p 2 + 4)3
p
+
4
(
p
+
4)

 

I=

1.5 điểm

1,0 điểm

2p3 − 24p
1
=

32
(p 2 + 4)3 p = 2

Câu 3.9
∞ −2t

Câu hỏi: ứng dụng biến đổi Laplace tính: I = ∫
0

∞ − pt

I=∫

e

0

sin 3t
dt
t



2,5 điểm
1.5 điểm

sin 3t
dt
t

sin 3t
Do
¤
t
I=

e



p

s
∫ p2 + 9 = 9arctg 3 s = 2 − 9arctg 3
s
3dp


s

2
− 9arctg
=
− 9arctg
2
3 s=2 2
3

1,0 điểm



2,5 điểm

Câu 3.10
cos 2t − cos 4t
dt
t
0

Câu hỏi: ứng dụng biến đổi Laplace tính: I = ∫
cos 2t − cos 4t
¤
t



1  s 2 + 16 
I = ln  2
÷ = ln 2
2  s + 4 ÷
s =0
Câu 3.11



 p
p 
1  p2 + 4 
∫  p2 + 4 − p2 + 16 ÷ dp = 2 ln  p2 + 16 ÷÷

s
s

1.5 điểm

1,0 điểm




−t
Câu hỏi: Ứng dụng biến đổi Laplace tính: I = ∫ (t + 2)e sin 2tdt

2,0 điểm

0


 2 
4
4p
4
(t + 2)sin 2t ¤ −  2
= 2
+
÷+ 2
2
p2 + 4
 p + 4  p + 4 (p + 4)
4p
4
24
I= 2
+
=
(p + 4) 2 p 2 + 4 p =1 25

1.5 điểm

1,0 điểm

Câu 3.12
Câu hỏi: Tìm x(t) từ phương trình:
x′′ + 9 x = cos 2t , x(0) = 1, x′(0) =

2,5 điểm
3
2

x ¤ X → x′ ¤ pX − 1 ⇒ x′′ ¤ p 2 X − p −
⇒ (p 2 + 9)X = p +
X(p) =

3
2

1.5 điểm

3
5p
+
2 2(p 2 + 4)

p
3
1
+
+
2(p 2 + 9) 2(p 2 + 4) 2(p 2 + 4)
1
x(t ) = (cos3t + 3sin 2t + cos 2t )
2

1.0 điểm

Câu 3.13
Câu hỏi: Tìm x(t) từ phương trình:
x′′ + 2 x′ + x = 2(cos t − sin t ),
x(π / 2) = 1 = − x′(π / 2)
π
t = v − → y′′ + 2y′ + y = 2(cos v + sin v)
2
→ x(π / 2) = y(0); x′( π / 2) = y′(0)

2,5 điểm
1.5 điểm

Với y ¤ Y → y′ ¤ pY − 1 và y′′ ¤ p 2Y − p + 1
2(p + 1)
p
1

Y
=
+
p2 + 1
p2 + 1 p2 + 1
y = cos v + sin v = cos t − sin t

(p 2 + 2p + 1)Y = p + 1 +

Câu 3.14

1,0 điểm


Câu hỏi: Tìm y(x) từ phương trình:
x
4 y′′ − 2 y′ + y = sin ,
2

2,5 điểm

y (−π ) = 0, y′(−π ) =

1
2

x
t
Thay x = t − π → y( −π) = φ(0); y′(−π) = φ′(0);sin = − cos
2
2
φ ¤ Φ → φ′ ¤ pΦ nên φ′ ¤ p 2Φ −
⇔Φ=

1.5 điểm

1 ⇒ (4p 2 − 2p + 1)Φ = 2 − 4p
4p 2 + 1
2

2

t
x
≅ sin y(x) = cos
2
2
4p + 1
2

Nghiệm y ( x) = cos

1,0 điểm

x
2

Câu 3.15
Câu hỏi : Tìm y(x) từ phương trình:
x

2,5 điểm

y′′ + 4y = 7sin x + 8 ∫ sin 2(x − t)y(t)dt,

y(0) = 0, y′(0) = 1

0

1.5 điểm

x

Do ∫ sin 2(x − t)y(t)dt = y ∗ sin 2x ¤
0

2Y
; y′′ ¤ p 2Y − 1
2
p +4

16Y
7
16
p2 + 8
2
⇒ (p + 4)Y = 1 + 2
+
⇔ (p + 4 − 2
)Y = 2
p + 4 p2 + 1
p +4
p +1
1
1
1
⇔Y= 2 2
= 2− 2
p (p + 1) p
p +1
y ( x) = x − sin x
2

1,0 điểm



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×