Tải bản đầy đủ

Phương trình Lượng giác chứa tham số Phần 1

Phương trình lượng giác chứa tham số
Phần 1
Một số lưu ý


Tài liệu không nhắc lại các công thức lượng giác.



Tài liệu không nhắc lại cách giải các phương trình lượng giác cơ bản

 sin x / cos x / tan x / cot x  m

và các phương trình lượng giác thường gặp (bậc nhất

đối với sin x và cos x ; bậc hai/ bậc cao với một ẩn lượng giác; đối xứng sin x và
cos x ; đẳng cấp bậc hai và bậc ba).



Các kiến thức khác cần nắm vững: Nhẩm nghiệm và Lược đồ Horner; Khảo sát hàm

bậc hai f  x   ax 2  bx  c và các dạng hàm liên quan (hàm số chứa căn, chứa trị
tuyệt đối, hàm lắp ghép, hàm trùng phương, hàm bậc hai có điều kiện,…).



Tài liệu không sử dụng phương pháp hàm số có sử dụng đạo hàm (Toán 12).



Mọi góp ý, thắc mắc vui lòng liên hệ địa chỉ email pvtvalley@gmail.com.

1


Câu 1. Cho phương trình cos x  m sin x  2 .
1) Giải phương trình khi m  3 .
2) Tìm m để phương trình có nghiệm.
Hướng dẫn
1) Với m  3 thì pt  cos x  3 sin x  2

1



12 

 3

2

3

cos x 
12 

 3

2

2


sin x 
12 

 3

2

1
3


cos x 
sin x  1  sin cos x  cos sin x  1
2
2
6
6








 sin   x   1  sin   x   sin   x   k 2  x   k 2 , k  Z
2
6
2
3
6

6



Vậy phương trình có nghiệm x 


3

 k 2 , k  Z .

m   3
2) Phương trình có nghiệm khi 12  m2  22  m2  3  
.
 m  3

1
3 sin 2 x  sin 2 x  m .
2

Câu 2. Cho phương trình

1) Giải phương trình khi m  3 .
2) Tìm m để phương trình có nghiệm.
Hướng dẫn

1
1) Với m  3 thì pt  3 sin 2 x  sin 2 x  3
2

3 1  cos 2 x 

sin 2 x
 3  3  3 cos 2 x  sin 2 x  2 3
2
2
1
3
3
 sin 2 x  3 cos 2 x  3  sin 2 x 
cos 2 x 
2
2
2
 



2 x    k 2
x   k



3


3 3
3
 sin  2 x   


,k  Z
3 2

 2 x    2  k 2
 x    k


3
3
2


2) pt 



3 1  cos 2 x 
2



sin 2 x
m
2

 3  3 cos 2 x  sin 2 x  2m  sin 2 x  3 cos 2 x  2m  3 .

2


Phương trình có nghiệm khi 12 

 2  3  2m  2  3 

 3    2m  3 
2

2

2  3
2 3
m
.
2
2

Câu 3. Cho phương trình 2sin 2 x  6cos 2

x
 5  2k .
2

1) Tìm k nguyên dương để phương trình có nghiệm.
2) Tìm nghiệm của phương trình khi k  1 .
Đáp án: 1) k  1; k  2 ;

2) x  

2
 l 2 , l  Z .
3

Câu 4. Cho phương trình sin 2 x   2m  2  sin x cos x   m  1 cos 2 x  m .
1) Tìm m để phương trình có nghiệm.
2) Giải phương trình khi m  2 .
Hướng dẫn
1) pt 

1  cos 2 x
1  cos 2 x
  m  1 sin 2 x   m  1
m
2
2

 1  cos 2 x  2  m  1 sin 2 x   m  1   m  1 cos 2 x  2m
 2  m  1 sin 2 x   m  2  cos 2 x  3m
Phương trình có nghiệm khi 2  m  1   m  2    3m 
2

2

2

 4m2  8m  4  m2  4m  4  9m2
m  1
 5m2  4m  8  9m2  4m2  4m  8  0  
 m  2
2) Với m  2 thì pt  2  m  1 sin 2 x   m  2  cos 2 x  3m

 6sin 2 x  6  sin 2 x  1  2 x 


2

 k 2  x 


4

 k , k  Z .

Câu 5. Tìm m để phương trình  m  1 sin 2 x  sin 2 x  cos 2 x  0 có nghiệm.
Đáp án: m  1 .
Câu 6. Cho phương trình

2sin x  cos x  1
 a.
sin x  2cos x  3

1) Giải phương trình khi a 

1
.
3

2) Tìm a để phương trình có nghiệm.
Hướng dẫn
1) Với a 

1
2sin x  cos x  1 1

thì pt 
3
sin x  2cos x  3 3

3


 6sin x  3cos x  3  sin x  2 cos x  3  5sin x  5cos x  0
 sin x  cos x  0  x  


4

 k , k  Z

2) Nhận xét thấy  5  sin x  2cos x 5 sin x 2cos x 3 0  x .
(Mẫu số khác 0 với mọi x – Điều này rất quan trọng khi biện luận phương trình dạng
T

a sin x  b cos x  c
).
m sin x  n cos x  p

Do đó, pt  2sin x  cos x  1  a sin x  2a cos x  3a

  a  2 sin x   2a  1 cos x  1  3a
Phương trình có nghiệm khi  a  2    2a  1  1  3a 
2

2

2

 a 2  4a  4  4a 2  4a  1  9a 2  6a  1  5a 2  5  9a 2  6a  1
1
 4a 2  6a  4  0  2a 2  3a  2  0    a  2
2
Câu 7. Cho phương trình 2a sin x   a  1 cos x 

a
.
cos x

1) Giải phương trình khi a  1 .
2) Tìm a để phương trình có nghiệm.
Hướng dẫn

pt  2a sin x cos x   a  1 cos 2 x  a, cos x  0

 a  1 cos 2 x  1
a
a sin 2 x 
2a sin 2 x   a  1 cos 2 x  a  1 1


2
cos x  0
cos x  0

1) Với a  1 thì



2 x    k

2sin 2 x  2 cos 2 x  0



4
pt  

 x   k , kZ
8
2
cos x  0
 x    k

2
2) Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình (1) có ít nhất một nghiệm thỏa mãn

cos x  0 .
 a  1
2
2
2
Trước hết, (1) có nghiệm khi  2a    a  1   a  1  
.
a  0

sin 2 x  2sin x cos x  0
Xét cos x  0 thì 
, được 1  a  1  a  1  a  0 .
2
cos 2 x  2cos x  1  1
Thử lại, với a  0 thì 1  cos 2 x  1  2cos 2 x  0  cos x  0 , hay phương
trình có nghiệm duy nhất là cos x  0 bị loại.

4


Do đó giá trị a  0 không thỏa mãn yêu cầu đề bài.

 a  1
 a  1
Như vậy, phương trình có nghiệm khi  a  0  
.
a0

 a  0
Câu 8. Cho phương trình sin 2 x  4  cos x  sin x   m .
1) Giải phương trình khi m  4 .
2) Tìm m để phương trình có nghiệm.
Hướng dẫn

pt  2sin x cos x  4  cos x  sin x   m ; Đặt t  cos x  sin x , t 

2  sin x cosx 

1 t2
.
2

pt  1  t 2  4t  m  m  t 2  4t  1 .
1) Với m  4 thì pt  4  t 2  4t  1  t 2  4t  3  0
t  3  loai 

 x  k 2

t  1 tm   cos x  sin x  1  
,k  Z
 x     k 2

2



2) Ta có m  f  t   t 2  4t  1 với  2  t  2 .
Dễ thấy f  t   t 2  4t  1 là hàm liên tục trên   2; 2  nên phương trình

m  f  t  có nghiệm khi min f  t   m  max f  t  .
f  t   t 2  4t  1  t 2  4t  4  5  5   t  2 

2

Mà  2  t  2   2  2  t  2  2  2



 2 2



2



 t  2  2  2
2



2

 6  4 2  t  2  6  4 2
2

 1  4 2  5   t  2   1  4 2  1  4 2  f  t   1  4 2
2

Như vậy phương trình có nghiệm khi 1  4 2  m  1  4 2 .
Lưu ý: Bạn cũng có thể sử dụng phương pháp hàm số: Lập bảng biến thiên cho hàm
số bậc hai f  t   t 2  4t  1 với  2  t  2 để tìm min f  t  , max f  t  .
Câu 9. Tìm m để phương trình sin x  cos x  2sin 2 x  m có nghiệm.
Hướng dẫn
Đặt t  sin x  cos x , t 

2 thì sin x cos x 

1 t2
.
2

5


2

2t  t  2, 0  t  2
pt  t  2 1  t 2   m  m  f  t   2t 2  t  2  
2

2t  t  2,  2  t  0

Hàm số f  t  liên tục nên phương trình m  f  t  có nghiệm khi min f  t   m  max f  t 
với  2  t  2 .





Lập bảng biến thiên cho hàm lắp ghép trên, ta được min f  t   f  2  f

 2 

2 2

 1
 1  17
và max f  t   f     f    .
 4
4 8

2 2 m

Như vậy phương trình có nghiệm khi

17
.
8

Câu 10. Cho phương trình sin 4 x  cos4 x  m .
1) Tìm m để phương trình có nghiệm.
2) Giải phương trình khi m 

3
.
4

Hướng dẫn



1) pt  m  sin 4 x  1  sin 2 x



2

 2sin 4 x  2sin 2 x  1

Đặt t  sin2 x , 0  t  1 thì pt  m  f  t   2t 2  2t  1.
Dễ thấy hàm f  t   2t 2  2t  1 liên tục trên D  R nên phương trình m  f  t  có
nghiệm khi min f  t   m  max f  t  với 0  t  1 .
Xét hàm

f  t   2t 2  2t  1 trên

0;1

và lập bảng biến thiên, ta được

1 1
min f  t   f    và max f  t   f  0   f 1  1 .
2 2
Do đó phương trình có nghiệm khi
2) Khi m 

1
 m  1.
2

3
3
thì  2t 2  2t  1  8t 2  8t  1  0 .
4
4

6



1  cos 2 x 2  2
42 2 2 2
2


t  sin x 

8
4
2
4





1  cos 2 x 2  2
42 2 2 2
2


t  sin x 

8
4
2
4


1

cos
2
x



1
1
2

 cos 2 x  
 cos 2 2 x 
1
2

2
cos 2 x  2

1  cos 4 x 1



  cos 4 x  0  x   k , k  Z
2
2
8
4
Câu 11. Cho phương trình sin 4 x  1  sin x   m .
4

1
1) Giải phương trình khi m  .
8
2) Tìm m để phương trình có nghiệm.
Hướng dẫn
Phương trình đã cho có dạng

t  x

 x  a

4

  x  b   m với cách phương pháp ẩn phụ
4

ab
và đưa về phương trình trùng phương.
2

1
3
1
2
pt  sin 4 x   sin x  1  m ; Đặt t  sin x  , với 1  sin x  1    t 
2
2
2
4

4

1
 1  1
pt   t     t    m  m  f  t   2t 4  3t 2 
8
 2  2

1) Với m 

1
1 1
thì pt  2t 4  3t 2    t  0
8 8
8



x   k 2

1
1
6
 sin x   0  sin x   
,k  Z
2
2
 x  5  k 2

6
2) Đặt u  t 2 với 

3
1
9
t  0u .
2
2
4

pt  m  2t 4  3t 2 
f  u   2u 2  3u 

1
1
9
 f  u   2u 2  3u  , với 0  u  .
8
8
4

1
là hàm liên tục trên D  R nên phương trình m  f  u  có
8

nghiệm khi min f  u   m  max f  u  , với 0  u 

7

9
.
4


Xét hàm số f  u   2u 2  3u 

1
1
và lập bảng biến thiên, được min f  u   f  0  
8
8

9
và max f  u   f    17 .
4
Do đó, phương trình có nghiệm khi

1
 m  17 .
8

Câu 12. Tìm m để phương trình sau có nghiệm.



 



4 sin 4 x  cos4 x  4 sin 6 x  cos6 x  sin 2 4 x  m

.

Hướng dẫn
 1

 3

pt  m  4 1  sin 2 2 x   4 1  sin 2 2 x   sin 2 4 x
 2

 4

2
2
2
 m  4  2sin 2 x  4  3sin 2 x  sin 4 x  sin 2 2 x  sin 2 4 x
1  cos 4 x
m
 1  cos 2 4 x  2m  2 cos 2 4 x  cos 4 x  1
2

Đặt cos 4x  t    1;1 thì pt  2m  f  t   2t 2  t  1
Dễ thấy f  t   2t 2  t  1 là hàm liên tục và là hàm bậc hai, dễ dàng tìm được

9
1
min f  t   f     và max f  t   f  1  2 .
8
4
9
9
Do đó, để phương trình có nghiệm thì   2m  2    m  1 .
8
16
Câu 13. Cho phương trình cos 2 x   m  1 sin x  m  0 . Tìm m để phương trình có nghiệm.
Hướng dẫn

pt  1  2sin 2 x   m  1 sin x  m  0  2sin 2 x   m  1 sin x   m  1  0
Đặt t  sin x,  1  t  1 thì pt  f  t   2t 2   m  1 t   m  1  0 .
Do f  t   2t 2   m  1 t   m  1 là hàm liên tục trên R nên phương trình f  t   0
có nghiệm khi min f  t   0  max f  t  với 1  t  1 .

m 1

Hàm số f  t   2t 2   m  1 t   m  1 nghịch biến trên  ;
 và nghịch biến
4 

2
 m 1

 m  1  m  10m  9
;   , với f  1  2 ; f 1  2m và f 
trên 
.

8
 4

 4 

1) TH 1: Với

m 1
 1  m  5
4

8


Từ bảng biến thiên nhận thấy min f t   f  1   2 và max f  t   f 1  2m .

m  5
Do đó phương trình có nghiệm khi 
VN  .
2  0  2m
2) TH 2: Với 1 

m 1
 1   5  m 3
4

Từ bảng biến thiên, ta lại có 2 TH:


TH 2a. Với f  1  f 1  2  2 m  m   1 .

 m 1
Khi đó, min f  t   f 
 và max f  t   f 1 nên phương trình có
 4 

5  m  3
5  m  1


 m 2  10m  9  0  m  1 .
nghiệm khi m  1
 m 2  10m  9
m  0


 0  2m

8


TH 2b. Với f  1  f 1  2  2 m  m   1 .

 m 1
Khi đó, min f  t   f 
 và max f  t   f  1 nên phương trình có
 4 

5  m  3

1  m  3
 2
 1  m  3 .
nghiệm khi m  1

m

10
m

9

0

 m 2  10m  9

02

8

9


3) TH 3: Với

m 1
1 m  3
4

Từ bảng biến thiên nhận thấy min f t   f 1  và max f  t   f  1 .

m  1
Do đó phương trình có nghiệm khi 
 m  0.
2m  0  2

 m  1
Từ tất cả các TH trên, ta được phương trình có nghiệm khi  1  m  3  m  1 .
 m  0
Câu 14. Cho phương trình

cos6 x  sin 6 x
 2m tan 2 x . Tìm m để phương trình có nghiệm.
cos 2 x  sin 2 x

Hướng dẫn

3
1  sin 2 2 x
3
4
pt 
 2m tan 2 x  1  sin 2 2 x  2m sin 2 x, cos 2 x  0
cos 2 x
4
2
 3sin 2 x  8m sin 2 x  4  0
Đặt sin 2x  t với cos2 x  0 sin2 x  1  1  t  sin2 x 1 .

pt  f  t   3t 2  8mt  4  0 .
Hàm f  t  liên tục nên phương trình f  t   0 có nghiệm khi min f  t   0  max f  t  với

1  t  1 .
4m 

Hàm f  t  nghịch biến trên  ; 
 ; đồng biến trên
3 


 4m

;   với f  1  1  8 m ;

 3


16m
 4m 
4.
f 1  1  8m và f  

3
 3 
2

1) TH 1: Với 

4m
3
 1  m  , ta có bảng biến thiên:
3
4

10


Từ bảng biến thiên nhận thấy f  1  f t   f 1   1 8m  f t   1 8m .

3

3
m 
Do đó, phương trình có nghiệm khi 
m .
4
4
1  8m  0  1  8m
2) TH 2: Với 1  

4m
3
3
 1    m  , ta có bảng biến thiên:
3
4
4

Ta có 2 trường hợp nhỏ.


2a: Nếu f  1  f 1  1  8m  1  8m  m  0 thì:

16m
 4m 
f 
 4  f  t   1  8m
  f  t   f 1  
3
 3 
2

Do đó, phương trình có nghiệm khi:

 3
3
3

 4  m  4
0  m  4

1
3

 m
m  0
8
4
 16m2
m  1


8

 4  0  1  8m

3


2b: Nếu f  1  f 1  1  8m  1  8m  m  0 thì:

16m
 4m 
f 
 4  f  t   1  8m
  f  t   f  1  
3
 3 
2

Do đó, phương trình có nghiệm khi:

11


 3
3
 3
 4  m  4
 m0

3
1
 4

 m
m  0
4
8
 16m 2
m   1

8

 4  0  1  8m

3
3) TH 3: Với 

4m
3
 1  m   , ta có bảng biến thiên:
3
4

Từ bảng biến thiên nhận thấy f 1  f t   f 1   1 8m  f t   1 8m .

3

3
m  
Do đó, phương trình có nghiệm khi 
m .
4
4
1  8m  0  1  8m
Từ tất cả các trường hợp trên, suy ra phương trình có nghiệm khi:
3

m  4

1

 1  m  3
m

 8
1
4
8

 m  .

8
m   1
 3  m   1

8
8
 4


3
m  

4

Câu 15. Cho phương trình sin 6 x  cos6 x  m sin 2 x .
1) Giải phương trình khi m 

1
.
4

2) Tìm m để phương trình có nghiệm.
Hướng dẫn

3
pt  1  sin 2 2 x  m sin 2 x  3sin 2 2 x  4m sin 2 x  4  0 .
4
1) Với m 

1
thì
4

sin 2 x  1

pt  3sin 2 x  sin 2 x  4  0  
 x   k , k  Z .
sin 2 x   4 VN 
4
3

2

12


2) Đặt t  sin 2x ,  1  t  1 thì pt  f  t   3t 2  4mt  4  0 .
Hàm số f  t   3t 2  4mt  4 liên tục nên phương trình f  t   0 có nghiệm khi

min f  t   0  max f  t  với 1  t  1 .
2m 

Hàm nghịch biến trên  ; 
 , đồng biến trên
3 


 2m

;   với f  1  1  4 m

 3


4m
 2m 
 4.
; f 1  1  4 m và f  

3
 3 
2

a) TH 1: Với 

2m
3
 1  m  , ta có bảng biến thiên
3
2

Nhận thấy TH này, min f  t   f  1  1  4m và max f  t   1  4m .

3

3
m 
Do đó phương trình có nghiệm khi 
m .
2
2
1  4m  0  1  4m
b) TH 2: Với 1  

2m
3
3
 1    m  , ta có bảng biến thiên:
3
2
2

Ta có 2 TH nhỏ:


TH 2a: Với f  1  f 1  1 4 m   1 4 m  m 0 thì

4m
 2m 
min f  t   f  
 4 và max f  t   f 1  1  4m .

3
 3 
2

Khi đó phương trình có nghiệm khi

13


 3
3
3

 2  m  2
0  m  2

1
3

 m .
m  0
4
2
 4m 2
m  1


4
 4  0  1  4m
 3


TH 2b: Với f  1  f 1  1 4 m   1 4 m  m 0 thì

4m
 2m 
min f  t   f  
 4 và max f  t   f  1  1  4m .

3
 3 
2

Khi đó phương trình có nghiệm khi

 3
3
 3
 2  m  2
 2  m  0

3
1
m

0

 m .


2
4
 4m 2
m   1


4
 4  0  1  4m
 3
c) TH 3: Với 

2m
3
 1  m   , ta có bảng biến thiên:
3
2

Nhận thấy TH này thì min f  t   f 1  1  4m và max f  t   f  1  1  4m .

3

3
m


m


3


2

m .
Do đó, phương trình có nghiệm khi 
2
2
1  4m  0  1  4m
m   1

4
Tổng hợp tất cả các TH trên, ta được phương trình có nghiệm khi:
3

m  2

1

1  m  3
m

4
1
2
4

 m  .
 3
4
m   1
  m   1

4
4
 2

3
m  

2

Câu 16. Tìm m để phương trình  m2  3m  2  cos2 x  m  m  1 có nghiệm.
14


Hướng dẫn

pt   m  1 m  2  cos2 x  m  m  1 .


Với m  1 , pt  0  0 luôn đúng với mọi x .



Với m  2 , phương trình pt  0  2 vô nghiệm.



Với m  1; m  2 thì pt  cos 2 x 

Để có nghiệm x thì 0 

m  m  1

 m  1 m  2 



m
.
m2

m
1 m  0.
m2

Như vậy, phương trình có nghiệm khi m  0; m  1 .
Câu 17. Tìm m để phương trình m cos 2 x  2  2m  3 cos2 x  2m  2  0 có nghiệm.
Hướng dẫn

pt  2m cos 2 x  m   4m  6  cos 2 x  2m  2  0
 2  m  3 cos 2 x  m  2  0
 2  m  3 cos 2 x  m  2


Với m  3 , pt  0  1 vô nghiệm.



Với m  3 , pt  2 cos2 x 

Phương trình có nghiệm khi 0 

m2
.
m3

 m  4
m2
.
2
m3
 m  2

Vậy phương trình có nghiệm khi m  4; m  2 .
Câu 18. Cho hàm số f  x   3cos6 2 x  sin 4 2 x  cos 4 x  m .
1) Giải phương trình f  x   0 khi m  0 .
2) Cho hàm số g  x   2cos2 2 x 3cos 2 2 x  1 . Tìm m để phương trình f  x   g  x  có
nghiệm.
Hướng dẫn
f  x   3cos6 2 x  sin 4 2 x  cos 4 x  m  3cos 6 2 x  1  cos 2 2 x   2cos 2 2 x  1  m
2

 3cos6 2 x  1  2cos 2 2 x  cos 4 2 x  2cos 2 2 x  1  m  3cos 6 2 x  cos 4 2 x  m

1) Khi m  0 thì f  x   0  3cos6 2 x  cos4 2 x  0  cos 4 2 x  3cos 2 2 x  1  0

cos 2 x  0




 2 x   k  x   k , k  Z
2
2
4
2
3cos 2 x  1  0 VN 
2)

f  x   g  x   3cos6 2 x  cos4 2 x  m  2cos2 2 x 3cos 2 2 x  1

15


 m  3cos6 2 x  cos 4 2 x  2cos 2 2 x 3cos 2 2 x  1
 m  cos 4 2 x  3cos 2 2 x  1  2cos 2 2 x 3cos 2 2 x  1

cos 2 2 x  0  t  0
Đặt t  cos2 2 x 3cos2 2 x  1 , với  2
thì pt  m  t 2  2t .
cos 2 x 1  t  2
f t 
Dễ thấy f t   t 2  2t là hàm liên tục trên R nên phương trình m  f  t  có nghiệm
khi min f  t   m  max f  t  với 0  t  2 .
Ta có f  t   t 2  2t   t  1  1
2

Do 0  t  2  1  t  1  1  0   t  1  1  1  f  t   0
2

Như vậy, phương trình có nghiệm khi 1  m  0 .

16



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×