Tải bản đầy đủ

Một phương pháp tách cho bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LƯƠNG THỊ ÁNH DƯƠNG

MỘT PHƯƠNG PHÁP TÁCH CHO BÀI TOÁN
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐƠN ĐIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LƯƠNG THỊ ÁNH DƯƠNG

MỘT PHƯƠNG PHÁP TÁCH CHO BÀI TOÁN
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐƠN ĐIỆU


LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số:

60 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU

Thái Nguyên - 2016


i

Mục lục
Lời nói đầu

1

Chương 1. Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu

3

1.1

1.2

Tập lồi, hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


4

1.1.3

Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.1

Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.2

Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.3

Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Chương 2. Một thuật toán tách giải bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu 18
2.1

2.2

Một vài thuật toán cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.1.1

Thuật toán điểm bất động ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.1.2

Thuật toán chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1.3

Thuật toán điểm gần kề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Một thuật toán tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2.1

Mô tả thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.2.2

Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2.3

Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

Kết luận

32

Tài liệu tham khảo

33


1

Lời nói đầu
Bất đẳng thức biến phân đơn điệu là lớp bài toán nảy sinh từ nhiều vấn đề của
toán học ứng dụng như phương trình vi phân, các bài toán vật lý, toán tối ưu hóa.
Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu có nhiều ứng dụng trong thực tế: trong
y học, cân bằng giao thông đô thị, mô hình cân bằng kinh tế. . . Vì thế, tôi nghiên
cứu đề tài này với mục đích tổng hợp lại các kiến thức cơ bản về bài toán bất đẳng
thức biến phân và bất đẳng thức biến phân tách. Sau đó giới thiệu một phương
pháp tách giải bài toán bất đẳng thức biến phân.
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương
• Chương 1 giới thiệu bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu, tổng hợp
kiến thức về không gian Hilbert, tập lồi, hàm lồi.
• Chương 2 sẽ trình bày một vài thuật toán cơ bản và tập trung vào một thuật
toán tách.
Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái
Nguyên và hoàn thành với sự hướng dẫn của GS.TSKH. Lê Dũng Mưu (Viện Toán
học - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam). Tác giả xin được bày tỏ
lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, người
đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp
những thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luận văn.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại
học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán–Tin, cùng các giảng viên đã tham
gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập và nghiên cứu.


2
Tác giả muốn gửi những lời cảm ơn tốt đẹp nhất tới tập thể Lớp B, cao học
Toán khóa 8 (2014-2016) đã động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong suốt quá
trình học tập.
Nhân dịp này, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Hải
Phòng, Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp ở Trường THCS Vạn Sơn, Quận Đồ
Sơn, Thành phố Hải Phòng đã tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ
học tập và công tác của mình.

Thái Nguyên, ngày 20 tháng 5 năm 2016
Tác giả

Lương Thị Ánh Dương


3

Chương 1

Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu
Trong chương này, chúng ta sẽ nhắc lại kiến thức về không gian Hilbert và giải
tích lồi. Nội dung trong chương được trích dẫn chủ yếu từ tài liệu tham khảo [1] và
[2].

1.1
1.1.1

Tập lồi, hàm lồi
Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.1. Cho không gian vector H trên trường số K (K = R hoặc K =
C). Một ánh xạ từ H × H vào K xác định bởi (x, y) → x, y được gọi là một tích
vô hướng trên H nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
(a) x, x ≥ 0 với mọi x ∈ H ,
x, x = 0 khi và chỉ khi x = 0;
(b) y, x = x, y với mọi x, y ∈ H ;
(c) x + x , y = x, y + x , y với mọi x, x , y ∈ H ;
(d) λ x, y = λ x, y với mọi x, y ∈ H và mọi λ ∈ H .
Định nghĩa 1.1.2. Nếu ·, · là một tích vô hướng trên H thì cặp (H , ·, · ) được
gọi là một không gian tiền Hilbert. Nếu không gian định chuẩn tương ứng đầy đủ
thì ta nói (H , ·, · ) là một không gian Hilbert.


4

1.1.2

Tập lồi

Định nghĩa 1.1.3. Cho hai điểm y, z ∈ H . Tất cả các điểm có dạng
x = λ y + (1 − λ )z = z + λ (y − z)

với mọi 0 ≤ λ ≤ 1

được gọi là một đoạn thẳng nối y và z, và được kí hiệu là [y, z]. Một tập M ⊆ H
được gọi là tập lồi nếu với mọi y, z ∈ H ta có [y, z] ⊂ H .
Ví dụ 1.1.4. Hình tròn, hình vuông, hình tam giác (bao gồm cả miền trong), là các
tập lồi trong mặt phẳng.

Hình 1.1: Tập lồi
Hình sau đây cho một ví dụ về tập không lồi

Hình 1.2: Tập không lồi

Ta có các tính chất sau đây đối với các tập lồi:
Tính chất 1.1.1.
(1) Giao của một họ bất kỳ các tập lồi là tập lồi.


5
(2) Một tập M ⊂ H là lồi khi và chỉ khi nó chứa tất cả các tổ hợp lồi của những
phần tử thuộc nó.
(3) Nếu A, B và C là các tập lồi, α ∈ H thì các tập A + B, αA và A ×C là các
tập lồi.
(4) Bao lồi của tập A ⊂ H , kí hiệu co A, là giao của tất cả các tập lồi chứa A.
Tức là

n

co A =

n

x | x = ∑ λi xi , λi > 0, ∑ λi = 1 .
i=1

i=1

Có thể chứng minh rằng co A là một tập lồi và là tập lồi bé nhất chứa tập
hợp A.

Hình 1.3: Bao lồi của một tập hợp

(5) Một tập lồi đóng khác rỗng M ⊂ H có điểm cực biên (thường gọi là đỉnh)
khi và chỉ khi nó không chứa trọn một đường thẳng nào. Một tập lồi đóng,
bị chặn trong Rn là bao lồi các điểm cực biên của nó.
Một ví dụ đơn giản là, hình tam giác và hình vuông (chữ nhật) có lần lượt
ba và bốn điểm cực biên là các đỉnh của chúng. Hình tròn có vô số điểm cực
biên, tập hợp các điểm cực biên này là đường tròn tương ứng.
Định nghĩa 1.1.5. Giả sử M ⊂ H (M là một không gian con đóng của H ), với
mỗi x ∈ H có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng
x = y+z

trong đó y ∈ M, z ∈ M ⊥ .


6

Hình 1.4: Điểm cực biên
Với biểu diễn này, xét toán tử P như sau Xét toán tử
P:H →H ,

P(x) = y.

Dễ thấy P là một toán tử tuyến tính. Ta gọi nó là toán tử chiếu từ H lên không
gian con đóng M.
Kí hiệu I là toán tử đồng nhất trên H ta có
z = x − y = x − P(x) = (I − P)x
nên I − P là toán tử chiếu từ H lên M. Với mọi x ∈ H có
x

2

= y

2

+ z

2

do y ⊥ z.

Như vậy Px = y ≤ x nghĩa là P liên tục và P ≤ 1. Nếu M = {0} ta lấy
y ∈ M thì Py = y nên P ≥ 1. Vậy P = 1.
Mệnh đề 1.1.6. Toán tử chiếu P từ H lên không gian con đóng M là toán tử tự
liên hợp và thỏa mãn đẳng thức P2 = P.
Định nghĩa 1.1.7. Cho C = ∅ là tập lồi đóng thuộc không gian H và y ∈ H . Đặt
dC (y) = inf x − y

với mọi x ∈ C

Ta nói dC (y) là khoảng cách từ y đến C. Nếu tồn tại π ∈ C sao cho dC (y) = π − y ,
thì ta nói π là hình chiếu (hay khoảng cách) của y trên C, và được kí hiệu là
π = PC (y).


7
Chú ý rằng nếu C = ∅ thì dC (y) hữu hạn và
với mọi x ∈ C.

0 ≤ dC (y) ≤ x − y ,

Theo định nghĩa ta thấy PC (y) là nghiệm của bài toán tối ưu
min

1
x−y
2

2

|x ∈C .

Nói cách khác việc tìm hình chiếu của y trên C có thể đưa về tìm cực tiểu của hàm
toàn phương x − y

2

trên C.

Mệnh đề 1.1.8. Cho C ⊂ H là một tập lồi đóng khác rỗng. Khi đó, với mọi y ∈ H
và π ∈ C, hai tính chất sau là tương đương
(1) π = pC (y);
(2) y − π ∈ NC (π), trong đó
NC (π) = {y ∈ H , y, x − π ≤ 0, ∀x ∈ C} ,
nón pháp tuyến ngoài tại π.
Mệnh đề 1.1.9. Cho C ⊂ H là một tập lồi đóng khác rỗng. Khi đó, mọi y ∈ H ,
hình chiếu pC (y) của y trên C luôn tồn tại và duy nhất.
Mệnh đề 1.1.10. Cho C ⊂ H là một tập lồi đóng khác rỗng. Khi đó nếu y ∈
/ C thì
pC (y) − y, x − pC (y) ≥ 0,

với mọi x ∈ C


pC (y) − y, y − pC (y) < 0.
Mệnh đề 1.1.11. Cho C ⊂ H lồi khác rỗng. Khi đó ánh xạ y → pC (y) có các tính
chất sau.
(1) Tính không giãn: pC (x) − pC (y) ≤ x − y với mọi x và mọi y.


8
(2) Tính đồng bức: pC (x) − pC (y), x − y ≥ pC (x) − pC (y) 2 .
Ví dụ 1.1.12. Trong một số trường hợp cụ thể thường gặp, tập chiếu là hình hộp
chữ nhật, hình cầu đóng hau không gian con thì điểm chiếu có thể được tính được
một cách tường minh.
(1) Chiếu xuống hình hộp chữ nhật. Khi Clà một hình hộp chữ nhật định nghĩa
bởi
C = x = (x1 , . . . , xn )T ∈ Rn | ai ≤ xi ≤ bi , i = 1, n
trong đó a = (a1 , . . . , an )T và b = (b1 , . . . , bn )T là hai phần tử của Rn . Khi
đó hình chiếu của x lên C được xác định như sau




ai
khi xi ≤ ai



(PC (x))i = xi
khi xi ∈ [ai , bi ]





bi
khi xi ≥ bi .
(2) Chiếu xuống hình cầu đóng. Khi C là hình cầu bán kính R tâm a ∈ H định
nghĩa bới
C := {z ∈ H : z − a ≤ R2 }
Khi đó hình chiếu y = PC (x) của x lên C được xác định như sau:
• Nếu x ∈ C thì y ≡ x.
• Nếu x ∈
/ C thì hình chiếu của x lên C là giao điểm của đường thẳng nối
x và tâm a của C, kí hiệu là ∆ với mặt cầu
C := {z ∈ H : z − a ≤ R2 }.
Ta có
∆ = {z ∈ H : z = a + t(x − a), t ≥ 0}.
Thay z = a + t(x − a) ta được t 2 x − a
t=

2

= R2 . Do đó

R
.
x−a


9

1.1.3

Hàm lồi

Định nghĩa 1.1.13. Cho hàm số f : H → R ∪ {+∞}. Hàm số f được gọi là hàm
lồi xác định trên tập lồi X ⊆ H nếu
f (λ x + (1 − λ )y) ≤ λ f (x) + (1 − λ ) f (y)
với mọi x, y ∈ X và λ ∈ [0, 1].
Ta gọi f là hàm lồi chặt trên X nếu
f (λ x + (1 − λ )y) < λ f (x) + (1 − λ ) f (y)
với mọi x, y ∈ X, x = y và λ ∈ (0, 1).
Ví dụ 1.1.14. Giả sử C ⊂ Rn là một tập lồi khác rỗng. Ta có các hàm số sau là lồi:
• Hàm chuẩn Euclid x =

x, x với mọi x ∈ Rn ;

• Hàm chỉ của tập hợp C

δC (x) =



0

khi x ∈ C,


+∞

khi x ∈
/ C.

• Hàm khoảng cách từ điểm x ∈ Rn tới tập hợp C: dC (x) = infy∈C x − y .
Bốn phép toán cơ bản trên các hàm số bảo toàn tính chất lồi của hàm số, mà
phép chứng minh được suy trực tiếp từ định nghĩa:
(1) Nếu fi : H → H với i = 1, m là các hàm lồi thì hàm số α1 f1 + . . . + αm fm
lồi với mọi αi > 0 và lồi chặt nếu ít nhất một trong các hàm fi lồi chặt với
αi > 0.
(2) Nếu fi : H → H là các hàm lồi với i ∈ I thì hàm f (x) = supi∈I f (x) là một
hàm lồi.


10
(3) Nếu A : H → H là một biến đổi tuyến tính và g : H → H là một hàm
lồi thì hàm hợp f (x) = g(Ax) là một hàm lồi.
(4) Nếu g : D ⊆ H → H là một hàm lồi và h : H → H là một hàm lồi không
giảm thì hàm hợp f (x) = h(g(x)) là một hàm lồi.
Định lí 1.1.15. Giả sử f : H → [−∞, +∞] là một hàm lồi trên H và α ∈ [−∞, +∞].
Khi đó, các tập mức dưới
Cα = {x : f (x) < α}



Cα = {x; f (x) ≤ α}

là các tập lồi. Tương tự, nếu f là một hàm lõm trên H thì các tập mức trên
Dβ = {x, f (x) > β }



Dβ = {x : f (x) ≥ β }

là các tập lồi.
Chú ý, chiều đảo lại của định lí trên không đúng.
Ta có một số tính chất sau đây của hàm lồi.
Tính chất 1.1.2. Cho C là tập lồi, khác rỗng trong H và f : H → H là một hàm
lồi. Mọi điểm cực tiểu địa phương của f trên C đều là điểm cực tiểu toàn cục. Tập
argminx∈C f (x) là tập con lồi của C.
Từ tính chất này, ta có một hệ quả sau:
Hệ quả 1.1.16. Bất cứ điểm cực đại địa phương nào của một hàm lõm trên một
tập lồi cũng là điểm cực đại toàn cục. Tập tất cả các điểm cực đại của một hàm
lõm trên một tập lồi là lồi.
Ta tiếp tục phát biểu một số tính chất khác của hàm lồi. Ta có:
Tính chất 1.1.3. Một hàm lồi chặt f trên một tập lồi C có nhiều nhất một điểm
cực tiểu trên C, nghĩa là tập argminx∈C f (x) gồm nhiều nhất một phần tử.


11
Tính chất 1.1.4. Hàm f (x) với x ∈ H là hàm lồi khi và chỉ khi hàm một biến số
ϕ(λ ) ≡ f (x + λ d) là hàm lồi theo λ > 0 với mỗi x, d ∈ H .
Trong giải tích lồi và các bài toán tối ưu, một khái niệm then chốt là khái niệm
dưới vi phân. Ta có định nghĩa sau đây.
Định nghĩa 1.1.17. Giả sử f : H → H là một hàm lồi. Cho vector p ∈ H gọi là
dưới gradient của f tại x0 nếu
f (x) ≥ p, x − x0 + f (x0 ),

với mọi x ∈ H .

Tập tất cả dưới vi phân của một hàm số f được gọi là dưới vi phân của f tại x0 và
kí hiệu là ∂ f (x0 ).
y

y
y = f (x)

y = f (x)

f (x0 ) p, x − x0 + f (x0 ) ≤ f (x)

x

x

Hình 1.5: Dưới vi phân của hàm số y = f (x)
Ta xét một ví dụ sau.
Ví dụ 1.1.18. Trước hết ta bắt đầu ví dụ này bằng việc xét hàm giá trị tuyệt đối
f (x) = |x|. Khi đó,
∂ f (0) = [−1; 1] ;


{1}
∂ f (x) =

{−1}

nếu x > 0,
nếu x < 0.

Bây giờ, nếu xét hàm số f (x) = x (chuẩn Euclid) thì ta có


{p : p ≤ 1} khi x0 = 0,
0
∂ f (x ) =

 x0 / x0
khi x0 = 0.


12
Định nghĩa 1.1.19. Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x nếu ∂ f (x) = 0.

1.2
1.2.1

Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu
Phát biểu bài toán

Cho C là không gian con lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert H .
Giả sử K là một ánh xạ liên tục.
Bài toán bất đẳng thức biến phân được phát biểu như sau:
Tìm điểm x0 ∈ C sao cho
K(x0 ), x − x0 ≥ 0,

với mọi x ∈ C.

(1.1)

Ta xét ví dụ sau đây để minh họa cho bài toán bất đẳng thức biến phân.
Ví dụ 1.2.1. Cho ánh xạ F : R → R xác định bởi F(x) = x − 3. Tìm x0 ∈ R sao
cho (x0 − 3, x − x0 ) ≥ 0 với mọi x ∈ R.
Chứng tỏ rằng nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân là {3}.
Thật vậy, x0 = 3 là một nghiệm của bài toán. Nếu x0 < 3 thì bài toán chỉ thỏa
mãn khi x ≤ x0 . Tương tự vậy, nếu x0 > 3 thì bài toán chỉ thỏa mãn khi x ≥ x0 .
Điều này chứng tỏ rằng x0 = 3 là nghiệm duy nhất của bài toán bất đẳng thức biến
phân.
Ví dụ 1.2.2. Xét bài toán tối ưu
min{ f (x) : x ∈ C}

(OP)

với f : C → R là một hàm lồi khả vi. Khi đó bài toán tối ưu (OP) có thể được viết
lại thành một bài toán bất đẳng thức biến phân.
Thật vậy, x0 ∈ C là nghiệm của bài toán tối ưu (OP) khi và chỉ khi
0 ∈ ∇F(x0 ) + NC (x0 ).


13
Điều này tương đương với
−∇F(x0 ) ∈ NC (x0 ),
tức là −∇F(x0 ), x − x0 ≤ 0 với mọi x ∈ C. Theo tính chất của tích vô hướng ta
có thể viết
với mọi x ∈ C.

∇F(x0 ), x − x0 ≥ 0
Theo tính chất hàm lồi khả vi ta có

0 ≤ ∇F(x0 ), x − x0 ≤ f (x) − f (x0 ).
Suy ra f (x) ≥ f (x0 ) với mọi x ∈ C.
Ví dụ 1.2.3. Một công ty sản xuất n loại hàng hóa. Gọi x1 , x2 , . . . , xn là số lượng
các loại hàng C1 ,C2 , . . . mà công ty dự định sản xuất. Giả sử rằng số lượng hàng
hóa phải thỏa mãn điều kiện
xi ∈ [ai , bi ],

i = 1, n.

Trong thực tế giá các loại hàng hóa phụ thuộc vào số lượng hàng được sản xuất.
Gọi F(x) là chi phí sản xuất theo phương án x. Vấn đề đặt ra là công ty phải xác
định được phương án sản xuất sao cho lợi nhuận thu được cao nhất. Để chuyển bài
tập này về bài toán bất đẳng thức biến phân ta chú ý rằng, nêú x∗ = (x1∗ , x2∗ , . . . , xn∗ )
là phương án tối ưu của công ty thì F(x∗ ) = (F1 (x1 ), F2 (x2 ), . . . , Fn (xn )). Tổng chi
phí là

n

F(x), x = ∑ Fi (xi )xi .
i=1

Ta có

x∗

∈ C = C1 ×C2 × . . . ×Cn . Suy ra
F(x∗ ), x − x∗ ≥ 0

1.2.2

với mọi x ∈ C.

Toán tử đơn điệu

Định nghĩa 1.2.4. Toán tử đơn trị K : H → H ∗ (chú ý H = H ∗ ) được gọi là
một toán tử đơn điệu nếu
K(x) − K(y), x − y ≥ 0,

với mọi x, y ∈ H .


14
Ví dụ 1.2.5. Cho toán tử đơn trị K xác định trên R bởi công thức
K(x) = x,

với mọi x ∈ R.

Khi đó, K là toán tử đơn điệu vì với mọi x, y ∈ R, ta có
K(x) − K(y), x − y = x − y, x − y = x − y

2

≥ 0.

Định nghĩa 1.2.6. Toán tử đa trị K : H → 2H được gọi là toán tử đơn điệu nếu
a − b, x − y ≥ 0,

với mọi x, y ∈ dom K, a ∈ K(x), b ∈ K(y).

Nhận xét 1.2.7. Một tập con của H × H là đơn điệu nếu nó là đồ thị của một
toán tử đơn điệu.
Ví dụ 1.2.8. Cho f : H → R ∪ {+∞} là hàm lồi, chính thường. Ánh xạ dưới vi
phân ∂ f : H → 2H của f là toán tử đơn điệu đa trị dom(∂ f ).
Thật vậy, với mọi x, y ∈ dom(∂ f ), a ∈ ∂ f (x), b ∈ ∂ f (y) ta có
u ∈ ∂ f (x) khi và chỉ khi a, y − x ≤ f (y) − f (x),
v ∈ ∂ f (y) khi và chỉ khi b, x − y ≤ f (x) − f (y).
Cộng vế với vế ta có
b, x − y · a, x − y ≤ 0.
Điều này tương đương với b − a, x − y ≤ 0, hay là a − b, x − y ≥ 0. Vậy ∂ f là
toán tử đơn điệu đa trị.
Định nghĩa 1.2.9. Toán tử đa trị K : H → 2H được gọi là
• đơn điệu ngặt nếu với mọi x, y ∈ dom K, với mọi a ∈ K(x), b ∈ K(y) và x = y
ta có
a − b, x − y > 0.


15
• đơn điệu mạnh với hằng số α > 0 nếu với mọi x, y ∈ dom K, với mọi a ∈
K(x), b ∈ K(y) ta có
a − b, x − y ≥ α x − y 2 .
Điều này có nghĩa là toán tử K − αI là đơn điệu.
• giả đơn điệu nếu với mọi x, y ∈ dom K, với mọi a ∈ K(x), b ∈ K(y) ta có
a, y − x ≥ 0

kéo theo

b, y − x ≥ 0.

Nhận xét 1.2.10. Nếu K đơn điệu mạnh thì đơn điệu ngặt, và nếu K đơn điệu ngặt
thì đơn điệu.
2

Ví dụ 1.2.11. Ánh xạ đa trị K : C → 2R xác định bởi
K(x, 0) := (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ x
là đơn điệu trên C = {(x, 0) : x ≥ 0} ⊂ R2 . Thật vậy, với mọi cặp điểm (x, 0), (y, 0) ∈
C và với mọi (x, a) ∈ K(x, 0), (y, b) ∈ K(y, 0) ta có:
(x, a) − (y, b), (x, 0) − (y, 0) = ((x − y), a − b), (x − y, 0) = |x − y|2 ≥ 0.
Lại có K là đơn điệu ngặt vì bất đẳng thức trên là ngặt khi (x, 0) = (y, 0).
2

Ví dụ 1.2.12. Cho M = {(x, 0), x ≥ 0} ⊂ R2 và ánh xạ K : M → 2R xác định bởi
K(x, 0) := {(2x, y) : 0 ≤ y ≤ x}. Khi đó K đơn điệu mạnh với α = 1.
Thật vậy ta có:
(K − I)(x, 0) = {(x, y) : 0 ≤ y ≤ x} := F(x, 0)
Theo Ví dụ 1.2.11 thì F(x, 0) đơn điệu, do vậy M(x, 0) là đơn điệu mạnh với
α = 1.


16

1.2.3

Sự tồn tại nghiệm

Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức phụ thuộc vào hàm K và miền
ràng buộc C. Trong mục này ta chỉ xét hàm K liên tục trên một tập mở chứa C và
C là tập lồi đóng trong không gian Hilbert H .
Định lí 1.2.13 (Định lý Brouwer). Cho C ⊆ H là một tập lồi compact và K : C →
C là một ánh xạ liên tục trên C. Khi đó tồn tại ít nhất một điểm bất động của ánh
xạ K trên C.
Chứng minh. Lấy ρ đủ lớn sao cho C ⊂ Bρ (0) là hình cầu đóng tâm 0 bán kính ρ.
Xét ánh xạ
K ◦ PC (·) : Bρ (0) → C ⊂ Bρ (0).
Do K liên tục và PC (·) không giãn nên nên K ◦ PC (·) liên tục từ Bρ (0) vào chính
nó. Khi đó tồn tại x0 ∈ Bρ (0) sao cho
K(PC (x0 )) = x0 ∈ C

suy ra

PC (x0 ) = x0 ⇒ K(x0 ) = x0 .

Vậy x0 là điểm bất động của ánh xạ K trên C.
Định lí 1.2.14. Nếu C ⊆ H là một tập lồi, compact và K liên tục trên C thì bài
toán bất đẳng thức biến phân có nghiệm.
Hệ quả 1.2.15. Nếu x0 là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (C, K)
x0 ∈ intC thì K(x0 ) = 0.
Định nghĩa 1.2.16. Toán tử K : H → H ∗ được gọi là toán tử bức nếu
lim

K(x), x
= ∞,
x

với mọi x ∈ H .

Định lí 1.2.17. Cho C ⊆ H lồi đóng, K : C → H là ánh xạ liên tục. Khi đó bài
toán bất đẳng thức biến phân có nghiệm khi và chỉ tồn tại một hằng số dương M
sao cho có một nghiệm xM của bài toán thỏa mãn xM < M.


17
Định lí 1.2.18. Cho C ⊆ H lồi đóng, K : C → H là ánh xạ liên tục và thỏa mãn
điều kiện bức. Khi đó bài toán bất đẳng thức biến phân có nghiệm.
Định nghĩa 1.2.19. Cho C ⊆ H lồi đóng, và ánh xạ K : C → H .
• Ánh xạ K được gọi là đơn điệu trên C nếu
K(x1 ) − K(x2 ), x1 − x2 ≥ 0

với mọi x1 , x2 ∈ C.

• Ánh xạ K được gọi là đơn điệu mạnh với hệ số β trên C nếu
K(x1 ) − K(x2 ), x1 − x2 ≥ β x1 − x2

2

với mọi x1 , x2 ∈ C.

• Ánh xạ K được gọi là đơn điệu ngặt trên C nếu
K(x1 ) − K(x2 ), x1 − x2 > 0

với mọi x1 , x2 ∈ C.

Định lí 1.2.20. Cho C ⊆ H lồi đóng, và ánh xạ K : C → H đơn điệu liên tục.
Khi đó x0 là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân khi và chỉ khi
K(x), x − x0 ≥ 0

với mọi x ∈ C.


18

Chương 2

Một thuật toán tách giải bài toán
bất đẳng thức biến phân đơn điệu
Chương này trình bày hai nội dung chính là một vài thuật toán cơ bản và một
thuật toán tách để giải bài toán biến phân đơn điệu. Nội dung chương này được
trích dẫn từ các tài liệu [1], [2], [3], [4].

2.1
2.1.1

Một vài thuật toán cơ bản
Thuật toán điểm bất động ánh xạ co

Điểm bất động của ánh xạ đơn trị. Trước hết ta nhắc lại các khái niệm về ánh
xạ Lipschitz, ánh xạ co và ánh xạ co yếu.
Định nghĩa 2.1.1. Ánh xạ K : H → H được gọi là một ánh xạ Lipschitz nếu tồn
tại một hằng số α không âm sao cho với mọi x, y ∈ H ta có
K(x) − K(y) ≤ α x − y .

(2.1)

Số α nhỏ nhất thỏa mãn (2.1) được gọi là hằng số Lipschitz của ánh xạ K, và kí
hiệu là α(K).
Ta có một khái niệm mới sau đây.
Định nghĩa 2.1.2. Ánh xạ K : H → H được gọi là một ánh xạ co yếu nếu với


19
mọi x, y ∈ H ta có
K(x) − K(y) < x − y ,

với mọi x = y.

(2.2)

Định nghĩa 2.1.3. Một ánh xạ K : H → H được gọi ánh xạ (ε, δ )-co nếu với
mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ H ta có
ε ≤ x−y < ε +δ

thì

K(x) − K(y) < ε.

(2.3)

Từ định nghĩa này suy ra, nếu K là ánh xạ (ε, δ )-co thì K là ánh xạ co yếu.
Định lí 2.1.4 (Meir-Keeler, 1969). Giả sử K : H → H là một ánh xạ (ε, δ )-co
trong M. Khi đó K có một điểm bất động u và với mọi x0 ∈ H , ta có K n x0 → u khi
n → ∞.
Điểm bất động của ánh xạ đa trị. Trước hết ta trình bày khái niệm khoảng cách
Hausdorff sau đây.
Định nghĩa 2.1.5 (Khoảng cách Hausdorff). Giả sử X và Y là hai tập con đóng
khác rỗng bất kỳ của không gian Hilbert H . Khoảng cách Hausdorff giữa hai tập
X và Y được xác định bởi
ρ(X,Y ) = max{d(X,Y ), d(Y, X)}
trong đó
X −Y = sup inf x − y ,
x∈X y∈Y

X −Y = sup inf x − y .
y∈Y x∈X

Định nghĩa 2.1.6 (Ánh xạ đa trị Lipschitz). Cho C ⊆ H . Ánh xạ đa trị
K : C → 2H
được gọi là liên tục Lipschitz với hằng số L > 0 trên C nếu
ρ(K(x), K(y)) ≤ L x − y ,

với mọi x, y ∈ C.


20
Nếu L < 1 thì K được gọi là ánh xạ co trên C. Trường hợp L = 1 thì K được
gọi là ánh xạ không giãn trên C.
Định lí 2.1.7 (Matkovsho, 1975). Cho ánh xạ K : H → H là ánh xạ thỏa mãn
K(x) − K(y) ≤ Φ( x − y ),

với mọi x, y ∈ H

trong đó Φ : R+ → R+ là hàm số bất kỳ không giảm (không nhất thiết liên tục),
sao cho Φn (t) → 0 với mọi t > 0. Khi đó K có duy nhất một điểm bất động x và
K n x0 → x0 với mọi x ∈ H .

2.1.2

Thuật toán chiếu

Trong mục này ta sẽ xét các thuật toán chiếu dựa trên cách tiếp cận điểm bất
động. Giả sử rằng
• C ⊂ H là một tập lồi đóng và khác rỗng;
• K : C → H liên tục trên C.
Ta biết rằng, x∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân khi và chỉ khi
x∗ − PC [x∗ − tK(x∗ )] = 0,
trong đó PC là phép chiếu từ H lên C và t > 0. Tập hợp điểm bất động của ánh xạ
x → PC [x − tK(x)] là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân trên C.
Thuật toán hình chiếu cơ bản. Cho x0 ∈ C. Ta có thuật toán sau:
Bước 0. Cho k = 0
Bước 1. Nếu xk = PC [xk − tK(xk )], dừng xk là nghiệm
Bước 2. Trái lại, đặt xk+1 = PC [xk − tK(xk )] và cho k := k + 1 rồi quay lại
Bước 1.


21
Định lí 2.1.8. Cho C ⊂ H là tập lồi đóng. Giả sử tồn tại L > 0 và β > 0 sao cho
K(x) − K(y), x − y ≥ β x − y 2 ,
K(x) − K(y) ≤ L x − y ,

với mọi x, y ∈ C

với mọi x, y ∈ C

(ánh xạ K liên tục Lipschitz trên C với hằng số L). Khi đó nếu L2 < 2t thì ánh xạ
x → PC [x − tK(x)] từ C vào C là một ánh xạ co trên C.
Vì vậy, dãy {xk } được tạo bởi thuật toán chiếu cơ bản hội tụ đến nghiệm duy
nhất của bài toán bất đẳng thức biến phân.
Thuật toán hình chiếu cơ bản với độ dài bước biến thiên. Cho x0 ∈ C và t0 > 0.
Ta có thuật toán sau:
Bước 0. Cho k = 0
Bước 1. Nếu xk = PC [xk − tk K(xk )], dừng, xk là nghiệm
Bước 2. Trái lại, chọn tk > 0. Cho
xk+1 = PC [xk − tk K(xk )]
và cho k := k + 1 rồi quay lại Bước 1.
Sự lựa chọn {tk } là yếu tố quan trọng cho sự hội tụ của thuật toán hình chiếu cơ
bản với độ dài bước biến thiên.
Định lí sau nói rằng, đối với ánh xạ đồng bức (đơn điệu mạnh ngược), thuật
toán chiếu cơ bản đối với độ dài bước biến thiên vẫn hội tụ.
Ta nói rằng ánh xạ K : C → H được gọi là đồng bức trên C với hệ số ν nếu
K(x) − K(y), x − y ≥ ν K(x) − K(y)

2

với mọi x, y ∈ C.

Từ định nghĩa này, ta thấy rằng nếu K là ánh xạ đồng bức trên C thì K liên tục
Lipschitz. Thật vậy, theo công thức Schwatz ta có
K(x) − K(y), x − y ≤ K(x) − K(y) · x − y .


22
Nhưng do K là đồng bức nên theo định nghĩa ta có
K(x) − K(y) ≤

1
x−y .
ν

Vậy K là Lipschitz trên C với hằng số L = 1/ν.
Hơn nữa, nếu K là đơn điệu mạnh với hệ số β > 0, tức là
K(x) − K(y), x − y ≥ β 2 x − y
và K là Lipschitz với hằng số L > 0, tức là
K(x) − K(y) ≤ L x − y .
Từ đây và tính đơn điệu mạnh suy ra
K(x) − K(y), x − y ≥

β
K(x) − K(y)
L2

2

.

Định lí 2.1.9. Cho C ⊂ H là tập lồi đóng. Cho K : C → H là đồng bức trên C.
Giả sử tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân khác rỗng. Nếu
0 < inf tk ≤ sup tk < 2c,
k∈N

c>0

k∈N

thì thuật toán tạo ra một dãy {xk } hội tụ tới một nghiệm của bài toán.

2.1.3

Thuật toán điểm gần kề

Rockafellar R.T. đã phát triển thuật toán điểm gần kề cho bài toán tìm không
điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại T trong không gian Hilbert H . Ta xét bài toán
sau:
Tìm x∗ ∈ C,

0 ∈ K(x∗ ).

(2.4)

Khi K(x) = F(x) + NC (x) thì bài toán (2.4) là bài toán bất đẳng thức biến phân đơn
điệu.
Mệnh đề 2.1.10. Giả sử F đơn điệu và K(x) = F(x) + NC (x). Khi đó K là ánh xạ
đơn điệu cực đại.


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×