Tải bản đầy đủ

PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG (LUẬN VĂN THẠC SĨ)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------

ĐÀO THỊ BÍCH THẢO

PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

Mã số: 60440107
Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS VŨ ĐỖ LONG

Hà Nội- Năm 2014


MỤC LỤC

TỔNG QUAN .............................................................................................................1
Chƣơng 1 - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ ......................................3
1.1 Một số khái niệm cơ bản....................................................................................3
1.2. Phép biến đổi tọa độ .........................................................................................5
1.2.1. Hệ tọa độ Đề các ............................................................................................5
1.2.2. Hệ tọa độ cong ...............................................................................................7
1.2.3. Phép biến đổi tọa độ ......................................................................................8
1.2.4 Tenxơ metric trong không gian Euclide .......................................................14
1.3. Thành phần vật lý của tenxơ ...........................................................................20
1.3.1. Tenxơ hạng nhất ..........................................................................................20
1.3.2. Tenxơ hạng hai ............................................................................................21
1.3.3. Khai triển cụ thể...........................................................................................21
1.4. Đạo hàm hiệp biến ..........................................................................................23
1.4.1. Đạo hàm véctơ cơ sở ...................................................................................23
1.4.2. Kí hiệu Christoffel .......................................................................................25
1.4.3. Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng nhất ......................................................31
1.4.4. Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng hai ........................................................32
Chƣơng 2 - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠ.............................33
2.1. Ứng dụng tenxơ xác định phƣơng trình cân bằng- chuyển động. .................33
2.2. Ứng dụng tenxơ xác định các thành phần liên hệ biến dạng- chuyển vị .......42
2.3. Ứng dụng tenxơ trong bài toán vỏ mỏng ........................................................48
2.3.1 Trình bày lý thuyết vỏ mỏng đàn hồi ...........................................................48
2.3.2. Thành phần biến dạng của vỏ mỏng ............................................................49
2.3.3. Phƣơng trình cân bằng .................................................................................52
2.3.4 Khai triển cho vỏ trụ, vỏ cầu ........................................................................53


TỔNG QUAN
Tenxơ là một khái niệm trong toán học phục vụ cho việc thiết lập và giải quyết
các vấn đề vật lý trong nhiều lĩnh vực nhƣ cơ học môi trƣờng liên tục, lý thuyết đàn
hồi, lý thuyết tƣơng đối rộng… Tenxơ lần đầu tiên đƣợc nghiên cứu bởi các nhà
toán học Tullio Levi-Civita và Gregorio Ricci- Curbastro cùng một số nhà toán học
khác. Trong luận văn này tenxơ đƣợc sử dụng để biểu diễn quan hệ ánh xạ giữa các
tập véctơ hình học.
Để giải các bài toán trong lý thuyết đàn hồi ngƣời ta thƣờng sử dụng hệ các
phƣơng trình cân bằng, phƣơng trình chuyển động, hệ thức Côsi liên hệ biến dạng chuyển vị. Việc thiết lập các phƣơng trình đó dựa trên các hệ tọa độ cong nhƣ hệ tọa
độ trụ, hệ tọa độ cầu ,….là tƣơng đối phức tạp. Vì vậy trong các bài báo hay các
giáo trình cơ học nói chung thƣờng chỉ nêu ra trực tiếp phƣơng trình cân bằng, hệ
thức Côsi mà không nói rõ các bƣớc biến đổi để thu đƣợc kết quả.
Luận văn trình bày rõ ràng các khái niệm, phép tính cơ bản, các phép biến đổi

của tenxơ. Trên cơ sở đó vận dụng các phép tính của tenxơ để xác định các phƣơng
trình liên hệ biến dạng - chuyển vị, các phƣơng trình cân bằng- chuyển động trong
hệ tọa độ cong bất kỳ. Từ kết quả trên sau khi biến đổi, tác giả đã thu đƣợc các
phƣơng trình liên hệ biến dạng – chuyển vị cũng nhƣ hệ phƣơng trình cân bằng
trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu.
Luận văn bao gồm phần mục lục, tổng quan, hai chƣơng, phần kết luận và tài
liệu tham khảo. Nội dung chính của luận văn bao gồm:
-

Chƣơng 1 trình bày khái niệm, thành phần vật lý của tenxơ, một số phép tính
của tenxơ và đạo hàm hiệp biến của ten xơ hạng nhất, hạng hai. Đồng thời
tác giả cũng trình bày cách biến đổi để thu đƣợc hệ véctơ cơ sở, tenxơ mêtric
hiệp biến và phản biến, các thành phần của kí hiệu Christoffel, hệ số Lamé
trong hệ tọa độ cong, cụ thể là hệ tọa độ trụ và cầu, từ đó giúp ích cho việc
xác định các phƣơng trình cân bằng- chuyển động, phƣơng trình liên hệ biến
dạng- chuyển vị ở chƣơng 2.

1


-

Chƣơng 2 vận dụng các hệ thức cơ sở của phép tính tenxơ để xây dựng các
phƣơng trình cân bằng- chuyển động và xây dựng các phƣơng trình liên hệ
biến dạng- chuyển vị. Đồng thời cũng trình bày ứng dụng của tenxơ trong bài
toán vỏ mỏng, cụ thể hơn là áp dụng khai triển cho vỏ trụ và vỏ cầu.

Nội dung của luận văn sẽ đƣợc trình bày chi tiết dƣới đây:

2


Chƣơng 1 - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ
1.1 Một số khái niệm cơ bản
Định nghĩa
Tenxơ là trƣờng hợp riêng của hệ thống phần tử, các thành phần của hệ là hằng số
hoặc là hàm số xác định trong hệ cơ sở đã cho, với phép biến đổi tuyến tính của hệ
cơ sở các thành thay đổi theo một quy luật xác định.
Hệ thống kí hiệu
Các kí hiệu trong hệ thống đặc trƣng bởi một hay nhiều chỉ số trên và dƣới.
Ví dụ nhƣ

.

Theo quy ƣớc: các chỉ số bằng chữ la tinh lấy cá giá trị 1,2,3. Ví dụ, nếu kí hiệu
nghĩa là biểu thị 1 trong 3 phần tử
,

,

biểu thị 1 trong 9 phần tử

,

,

Hạng của tenxơ
Hạng của tenxơ xác định bằng số lƣợng chỉ số trong kí hiệu tenxơ. Nhƣ
thuộc vào một chỉ số nên
vào 2 chỉ số

nên

là hệ thống hạng 1 bao gồm 3 hạng tử.
là hệ thống hạng 2 bao gồm

phụ

phụ thuộc

phần tử.

Tổng quát: hệ thống phụ thuộc n chỉ số là hệ thống hạng n gồm

phần tử.

Quy ƣớc về chỉ số
Chỉ số trong hệ thống tenxơ tuân theo quy ƣớc: “ Trong một biểu thức, nếu chỉ số
lặp lại 2 lần , nó biểu thị tổng đó từ 1 đến 3”. Chỉ số nhƣ vậy là chỉ số câm nên nó
có thể thay bằng chữ khác.
Ví dụ:
Hệ thống đối xứng
Xét hệ thống hạng hai
Nếu thay đổi chỗ của 2 chỉ số cho nhau, các thành phần của hệ thống không thay
đổi dấu giá trị thì hệ thống

gọi là hệ thống đối xứng.
.

3


Nếu thay đổi vị trí của 2 chỉ số cho nhau, thành phần của hệ thống chỉ thay đổi dấu
mà không thay đổi giá trị tuyệt đối thì hệ thống

là hệ thống phản đối xứng.

Ví dụ hệ thống Kronecker
nếu
nếu

{

là hệ thống đối xứng

Mở rộng cho hệ có nhiều hệ số
Hệ thống đối xứng với hai chỉ số nào đấy, nếu thành phần của nó không thay đổi
khi đổi chỗ hai chỉ số đó cho nhau.
Ví dụ: Nếu hệ thống

đối xứng theo 2 chỉ số

thì

Hệ thống Levi-Civita là một hệ thống phản đối xứng hạng 3
khi 2 chỉ số bất kỳ bằng nhau
khi
là hoán vị chẵn của các số 1, 2, 3.
khi
là hoán vị lẻ của các số 1, 2, 3

{

Cụ thể:

,
,

Cách thành phần còn lại của

.

Loại tenxơ
Loại tenxơ (phản biến, hiệp biến, hỗn hợp) đƣợc xác định bởi vị trí của chỉ số.
Hệ thống hạng hai

gọi là tenxơ hiệp biến hạng hai.

Hệ thống hạng hai

gọi là tenxơ phản biến hạng hai.

Hệ thống hạng hai

gọi là tenxơ hỗn hợp hạng hai

4


1.2. Phép biến đổi tọa độ
1.2.1. Hệ tọa độ Đề các
Xét trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc
với véc tơ cơ sở { ⃗



⃗ }

(Hình 1)
⃗⃗

⃗⃗

là véctơ bán kính của

điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác.

O
Hình 1.

Véc tơ ⃗⃗ đƣợc biểu diễn dƣới dạng
⃗⃗









(1.1)

Xét điểm Q là lân cận của điểm P.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗











là độ dài bình phƣơng vô cùng nhỏ của ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗

⃗⃗





⃗ ⃗
Do trong hệ tọa độ Đềcác hệ các véctơ cơ sở { ⃗
trực giao nên tích vô hƣớng ⃗ ⃗ =0 nếu



, ⃗ ⃗

⃗ } là các véctơ đơn vị và
nên ⃗ ⃗

nếu

Suy ra:
⃗ ⃗

a. Các phép tính đối với tenxơ hạng nhất ( vectơ )
Xét một hệ thống ⃗ có các thành phần

trong hệ cơ sở ⃗ .

Phép cộng


⃗⃗











Nhân với một số
5



.














Nhân vô hƣớng
⃗ ⃗⃗





⃗ ⃗

Nhân véctơ


⃗⃗

|







|






Hay viết dƣới dạng:


⃗⃗













⏟ ⃗










⃗ ⃗






Tích hỗn hợp
(⃗

⃗⃗) ⃗



Tích tenxơ ( ký hiệu tích tenxơ là
⃗ ⃗⃗









)































b. Các phép tính đối với tenxơ hạng hai. Tenxơ hạng cao
Đối với tenxơ hạng hai và tenxơ hạng cao, các phép tính cũng đƣợc thực hiện tƣơng
tự nhƣ đối với tenxơ hạng nhất.
Chú ý là phép tính cộng, trừ chỉ áp dụng đƣợc với các tenxơ cùng hạng và cùng
loại. Phép nhân có thể thực hiện với hai tenxơ có hạng bất kỳ.
Ví dụ: xét tenxơ hạng hai :

⃗ ⃗
6


Phép cộng
⃗ ⃗

⃗ ⃗

(

)⃗ ⃗

⃗ ⃗

⃗ ⃗

(

)⃗ ⃗

Phép trừ

Phép nhân vô hƣớng
⃗ ⃗

⃗ (⃗ ⃗ )




⃗ ⃗



⃗ ⃗ (⃗ ⃗ )

⃗ ⃗

⃗ ⃗

⃗ ⃗

Tích tenxơ
⃗ ⃗

⃗ ⃗

⃗ ⃗

⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Phép nhân( tích tenxơ) của các ten xơ dẫn đến tenxơ hạng cao hơn với chú ý sau các
phép cộng và nhân tenxơ, chỉ số dƣới vẫn là chỉ số dƣới, chỉ số trên vẫn là chỉ số
trên.
1.2.2. Hệ tọa độ cong
Hệ tọa độ cong
tơ cơ sở { ⃗
⃗⃗





⃗⃗

⃗ } (Hình 2).
là véctơ bán kính

của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ
cong.

O

Biểu diễn véc tơ ⃗⃗ dƣới dạng :



⃗⃗

Hình 2
Lấy điểm



với hệ véc




là lân cận của điểm
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗
7

.







Độ dài bình phƣơng của véc tơ vô cùng nhỏ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đƣợc xác định bằng
⃗⃗

⃗⃗





⃗ ⃗
Trong đó

⃗ ⃗

Phép tính đối với vectơ
Cho hai véctơ ⃗





và ⃗⃗





Phép cộng, trừ


⃗⃗





Tích vô hƣớng
⃗ ⃗⃗





⃗ ⃗





⃗ ⃗

1.2.3. Phép biến đổi tọa độ
Bán kính ⃗⃗ của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác

⃗ ⃗ ⃗

biểu diễn dƣới

dạng:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗









Với các véc tơ cơ sở ⃗ là không đổi.
Trong tọa độ cong

bất kỳ, các biến

liên hệ với tọa đồ Đề các

miền đang xét bằng phép biến đổi thuận nghịch liên tục vi phân đƣợc, đơn trị.

Jacôbiên của 2 phép biến đổi thuẩn nghịch đều khác không.
|

̅

|

|

Ta có:

Suy ra 2 ma trận

là nghịch đảo của nhau.

Ta kí hiệu :

8

|

trong


⃗⃗



Các véctơ ⃗

⃗⃗



hay


⃗⃗



⃗⃗



⃗⃗



(1.3)

thay đổi từ điểm này sang điểm khác gọi là

hệ véctơ cơ sở hiệp biến của hệ tọa độ cong. Trong đó
⃗ là véc tơ tiếp tuyến với đƣờng tọa độ

;

⃗ là véc tơ tiếp tuyến với đƣờng tọa độ

;

⃗ là véc tơ tiếp tuyến với đƣờng tọa độ

.

Cùng với hệ véctơ cơ sở ⃗ , ta đƣa vào hệ véctơ cơ sở phản biến ⃗ liên hệ theo hệ
thức sau
⃗ ⃗

(1.4)

Nếu xét một lân cận vô cùng nhỏ của điểm P trong tọa độ cong, thì chuyển dịch vô
tới điểm

cùng nhỏ từ

cho ta vi phân vô cùng nhỏ của véc tơ bán

kính ⃗⃗ của điểm .
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗

⃗⃗

⃗⃗



⃗⃗





Vậy véctơ ⃗⃗ đƣợc biểu diễn dƣới dạng: ⃗⃗





Phép biến đổi đơn trị, thuận nghịch vi phân đƣợc từ hệ tọa độ cong này
sang hệ tọa độ cong khác (

)

Ta kí hiệu ⃗ là các rêpe địa phƣơng trong hệ tọa độ cong (
sẽ đƣợc xác định từ biểu thức:
⃗⃗⃗⃗

⃗⃗

⃗⃗

Thay ⃗ ở (1.3) vào ( 1.6), biểu thức trở thành:
⃗⃗⃗⃗





9

|

|

) Do đó ⃗


Khai triển cụ thể sẽ đƣợc kết quả:
⃗⃗⃗⃗







⃗⃗⃗⃗







⃗⃗⃗⃗







Ngƣợc lại, nếu biến đổi từ hệ tọa độ cong (
⃗⃗



) sang hệ tọa độ cong

⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

Khai triển cụ thể (1.9)


⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗



⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗



⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

Xét một véctơ (tenxơ hạng nhất) bất kỳ ⃗

. Có thể biểu diễn véc tơ ⃗

dƣới dạng:






Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa độ cong khác, véctơ ⃗ không đổi.
Biểu diễn ⃗ với các thành phần phản biến


⃗⃗⃗⃗

⃗⃗



⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

Suy ra:

Khai triển (1.11) cho biểu thức sau:

10


Biểu diễn ⃗ với các thành phần hiệp biến











⃗⃗⃗⃗ ⃗





từ đó suy ra

Biểu diễn cụ thể (1.14) nhƣ sau

Đối với tenxơ hạng hai
Một tenxơ hạng hai bất kỳ có thể biểu diễn dƣới dạng:
⃗ ⃗
Trong đó

⃗ ⃗

⃗ ⃗

là các thành phần 2 lần phản biến của tenxơ.
là các thành phần 2 lần hiệp biến của tenxơ.
là các thành phần 1 lần phản biến, 1 lần hiệp biến của tenxơ.

Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa độ cong khác với cơ sở
{⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ } tenxơ hạng 2 sẽ đƣợc biểu diễn trong hệ cơ sở mới với các thành
phần 2 lần phản biến nhƣ sau:

11


⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗

⃗ ⃗

⃗⃗

⃗⃗

⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
Suy ra:

bao gồm 9 thành phần:
ta sẽ đƣợc

Ví dụ nếu khai triển chi tiết thành phần

(

)

(

)

(

Tƣợng tự với 8 thành phần còn lại của

)

với chú ý là

Nếu biểu diễn dƣới dạng các thành phần hiệp biến, tenxơ bậc 2 sẽ có dạng:
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗








⃗⃗⃗⃗



Vậy:

Hệ thống

⃗⃗⃗⃗ ⃗

gồm có 9 phần tử

12

⃗ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗




trong đó
Ví dụ, ta khai triển chi tiết 1 phần tử sẽ đƣợc:
(

)

(

)

(

)

Biểu diễn tenxơ hạng 2 với các thành phần 1 lần phản biến, 1 lần hiệp biến:
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

⃗ ⃗



⃗ ⃗ ⃗ ⃗
⃗⃗


⃗⃗


⃗⃗⃗⃗



⃗⃗⃗⃗

Vậy:

Tƣơng tự đối với tenxơ hạng cao ta có:

Tenxơ kết hợp
Do các véc tơ ⃗

⃗ đều là các véctơ cơ sở nên véctơ ⃗ có thể biểu diễn thông qua

hệ véctơ cơ sở ⃗ và ngƣợc lại.


Ví dụ:







Nhân cả hai vế của (1.19) với ⃗ ta đƣợc









Vì ⃗





nên ⃗




















(1.21 )

13


Thay (1.21) và ( 1.20) có
Làm tƣơng tự, ta nhân hai vế của ( 1.19) với ⃗














Tƣơng tự tính đƣợc



Thay các

vào ( 1.19) suy ra












Ngƣợc lại véc tơ ⃗ có thể biểu diễn qua các cơ sở ⃗ . Ví dụ








Nhân cả 2 vế của ( 1.23) với ⃗ sẽ đƣợc

Do ⃗







nên ⃗



⃗ ⃗

⃗ ⃗







⃗ ⃗



Thực hiện tƣơng tự, nhân hai vế của ( 1.23) với ⃗ sẽ có
Nhân 2 vế của ( 1.23) với ⃗

Thay

vào ( 1.23)






Hay




Từ ( 1.22) và ( 1.24) ta có phép nâng, hạ chỉ số nhƣ sau:




( phép nâng chỉ số)





( phép hạ chỉ số)

1.2.4 Tenxơ metric trong không gian Euclide
a. Tenxơ mêtric hiệp biến

14




Xét trong hệ tọa độ Đềcác. Gọi

là độ dài bình phƣơng của véctơ vô cùng nhỏ là

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗

⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗

Xét trong tọa độ cong
⃗⃗

⃗⃗





⃗ ⃗
Trong đó

⃗ ⃗ là tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ cong.

Từ biểu thức ( 1.25) ta biến đổi

Đồng nhất (1.26) với (1.27) nhận đƣợc

Từ đó ta có các thành phần của tenxơ mêtric hiệp biến nhƣ sau
(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

15


b. Xác định tenxơ mêtric phản biến.
Hệ véctơ cơ sở phản biến ⃗ liên hệ với các véctơ cơ sở hiệp biến qua biểu thức
⃗ ⃗
Với hệ cơ sở ⃗



- tenxơ Kronecker

⃗ đã biết ta xác định đƣợc








|

hay

|

Đặt:























Hoặc










√̃







√̃


√̃

Trong đó :
√̃







Nếu trong hệ tọa độ cong trực giao ( ⃗












, các véc tơ cơ

sở ⃗ ⃗ trùng nhau về hƣớng nhƣng độ lớn khác nhau.
Thật vậy, ta có ⃗








Suy ra : ⃗





√̃

√̃

⃗ cùng hƣớng, khác nhau về độ lớn.

Tƣơng tự các cặp ⃗
Trong





trƣờng



⃗ cũng cùng chiều và khác độ lớn.

hợp

⃗ ⃗

này:
⃗ ⃗

|

|

|

|

Sử dụng biểu thức (1.4) thay vào phép tính

16

|

ta đƣợc:

|


















Thực hiện tƣơng tự ta cũng nhận đƣợc

⃗ ⃗



Giống nhƣ trên ta có thể suy ra ⃗








.

















c. Ví dụ:
Hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu là hai hệ tọa độ cong trực giao. Ta đi xác định tenxơ
metric trong hai hệ tọa độ này.
Tọa độ trụ
( Hình 3.)
z

Phép biến đổi tọa độ

P

Hình 3.

Ta tính đƣợc

Suy ra từ công thức (1.31)

17




Thay (1.31) vào (1.29) ta có các thành phần của tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa
độ trụ

Vậy:
|

|

Suy ra √
Thay (1.32) vào (1.30) ta sẽ thu đƣợc các thành phần của tenxơ metric phản biến
trong hệ tọa độ trụ











Suy ra :

(







Vậy:
,

Trong hệ tọa độ cầu (Hình 4)
Phép biến đổi tọa độ:

18

*


Hình 4.

Ta tính đƣợc các đạo hàm riêng

Vậy từ (1.3) ta có



Thay (1.33) vào (1.29) ta có các thành phần tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ
cầu

|

|



19


Từ (1.34) ta tính đƣợc











Vậy theo (1.30) ta có:



(



(

*
*

Từ đó ta có các thành phần của tenxơ mêtric phản biến trong tọa độ cong.

1.3. Thành phần vật lý của tenxơ
1.3.1. Tenxơ hạng nhất
Xét véctơ ⃗ ( tenxơ hạng nhất )


⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

Gọi các véc tơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ là các véctơ phản biến và hiệp biến đơn vị
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Suy ra:



⃗⃗⃗⃗√

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗



⃗⃗⃗⃗


⃗⃗⃗⃗⃗⃗√

Nếu trong hệ tọa độ cong trực giao, ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ trùng nhau về hƣớng, khác nhau về độ
lớn nên các véc tơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ trùng nhau. Vậy
Ta gọi



là thành phần vật lý của tenxơ hạng nhất.

Kí hiệu:

20




gọi là hệ số Lamé. Thành phần vật lý của véctơ ⃗ có dạng :


( không tổng theo i )

1.3.2. Tenxơ hạng hai
Một tenxơ hạng 2 bất kỳ có thể biểu diễn dƣới dạng:
⃗ ⃗


⃗ ⃗


⃗ √

⃗ ⃗

⃗ ⃗

⃗ √
⃗ ⃗

Suy ra:
( không tổng theo

)

là thành phần vật lý của tenxơ hạng hai.
Tƣơng tự nhƣ trên ta có thể xác định đƣợc thành phần vật lý của tenxơ hạng bất kỳ.
1.3.3. Khai triển cụ thể








Áp dụng đối với hệ tọa độ trụ
Đối với hệ tọa độ cầu

21






Tổng kết lại ta có bảng giá trị sau:
Tọa độ trụ

Tọa độ cầu

(Hình 3).













⃗⃗⃗⃗⃗




(Hình 4).

(

*



⃗⃗⃗⃗⃗

(

⃗⃗⃗⃗⃗

(



*
*



22


Bảng 1.

1.4. Đạo hàm hiệp biến
1.4.1. Đạo hàm véctơ cơ sở
Sử dụng công thức (1.3) thu đƣợc đạo hàm hiệp biến của véctơ cơ sở

Ta biểu thị ⃗



⃗⃗

qua các véctơ cơ sở nhƣ sau :








Vậy :
Các đại lƣợng

là hệ số liên quan hay Christoffel loại 1 và loại 2.

Để xác định các thành phần của Christoffel ta dựa trên công thức biến đổi hệ véctơ
cơ sở.
với hệ véctơ cơ sở ⃗ ⃗ ⃗

Xét trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc
Ta có:




[⃗

23

⃗ ]




Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×