Tải bản đầy đủ

Phương pháp xấp xỉ mềm lai ghép giải bài toán điểm bất động

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——–o0o——–

NGUYỄN MẠNH HÀ

PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ MỀM LAI GHÉP GIẢI
BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——–o0o——–

NGUYỄN MẠNH HÀ

PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ MỀM LAI GHÉP GIẢI

BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60.46.01.12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG

Thái Nguyên - 2016


i

Mục lục
Bảng ký hiệu

1

Mở đầu

2

1 Một số vấn đề cơ bản
3
1.1 Không gian Banach và một số đặc trưng của không gian
Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Điểm bất động và một số phương pháp cơ bản tìm điểm
bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Phương pháp xấp xỉ mềm lai ghép cho bài toán điểm
bất động
13
2.1 Tìm điểm bất động của một ánh xạ không giãn . . . . . 13
2.2 Tìm điểm bất động cho họ đếm được ánh xạ không giãn 19
Kết luận

34

Tài liệu tham khảo


35


1

Bảng ký hiệu
R
N
N∗
H
X

∀x
∃x
., .
x
xn → x
xn
x
I

inf A
sup A
lim sup xn

tập số thực
tập hợp các số tự nhiên
tập hợp các số tự nhiên khác 0
không gian Hilbert
không gian Banach
tập rỗng
mọi x
tồn tại x
tích vô hướng
chuẩn của vectơ x
{xn } hội tụ mạnh đến x
{xn } hội tụ yếu đến x
toán tử đồng nhất
phép giao
cận dưới đúng của tập hợp A
cận trên đúng của tập hợp A
giới hạn trên của dãy số xn

n→∞

lim inf xn

giới hạn dưới của dãy số xn

F ix(T )

tập điểm bất động của ánh xạ T

n→∞


2

Mở đầu
Lý thuyết điểm bất động đóng vai trò rất quan trọng trong Toán
học. Nó có nhiều ứng dụng trong lý thuyết bất đẳng thức biến phân,
lý thuyết tối ưu, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết kinh tế... Nhiều nhà toán
học đã mở rộng những kết quả của bài toán điểm bất động của ánh xạ
trong không gian Hilbert và không gian Banach. Trong đó đề cập đến
sự tồn tại điểm bất động; phương pháp lặp xấp xỉ mềm, phương pháp
lai ghép tìm điểm bất động. Luận văn này nhấn mạnh đến cách kết
hợp giữa phương pháp xấp xỉ mềm và phương pháp lai ghép trong việc
giải bài toán điểm bất động của một ánh xạ không giãn và của một họ
các ánh xạ không giãn trong không gian Banach. Luận văn được cấu
trúc như sau:
Chương 1: Một số khái niệm cơ bản. Chương này trình bày các nội
dung sau: Khái niệm và một số đặc trưng của không gian Banach;
Khái niệm điểm bất động và một số phương pháp tìm điểm bất động
của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert và không gian Banach
(Phương pháp lặp Mann, Phương pháp lặp Halpern, Phương pháp lặp
Ishikawa, Phương pháp xấp xỉ mềm, Phương pháp chiếu đường dốc).
Chương 2: Phương pháp xấp xỉ mềm lai ghép giải bài toán điểm bất
động. Chương này nêu Phương pháp xấp xỉ mềm lai ghép giải bài toán
điểm bất động nhiều cấp của một ánh xạ không giãn và của một họ
đếm được các ánh xạ không giãn.
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của GS.TS Nguyễn Bường.
Qua đây, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Thầy
đã dành thời gian và tâm huyết để hướng dẫn, tạo điều kiện cho tác
giả trong suốt thời gian làm luận văn.
Thái nguyên, tháng 9 năm 2016
Học viên: Nguyễn Mạnh Hà


3

Chương 1

Một số vấn đề cơ bản
Trong chương gồm 02 mục: Mục 1.1 trình bày không gian Banach
và một số đặc trưng của không gian Banach; mục 1.2 đề cập đến khái
niệm điểm bất động và một số phương pháp cơ bản tìm điểm bất động.
Các kiến thức trong chương được tổng hợp từ các tài liệu [1]-[6].
1.1

Không gian Banach và một số đặc trưng của không gian
Banach

Các không gian Banach được định nghĩa là các không gian định
chuẩn đầy đủ. Nghĩa là một không gian Banach là một không gian X
trên trường số thực hay số phức với một chuẩn . sao cho mọi dãy
Cauchy có giới hạn trong X.
Dưới đây, ta sẽ chỉ ra một số ví dụ về không gian Banach với K ký
hiệu cho trường số thực hoặc số phức.
Không gian Euclid quen thuộc K n với chuẩn Euclid của x được cho
bởi x = (x1 , x2 , · · · , xn ) là không gian Banach.
Không gian của tất cả các hàm số liên tục f : [a, b] → K xác định
trên một đoạn đóng [a, b] trở thành một không gian Banach nếu ta
định nghĩa chuẩn của hàm số như sau: f = sup{|f (x)| : x ∈ [a, b]}.
Không gian này được ký hiệu là C[a,b] .
Nếu V và W là các không gian Banach trên cùng một trường K,
tập hợp các hàm K-tuyến tính liên tục A : V → W được ký hiệu là
L(V, W ). Vì L(V, W ) là một không gian vectơ và bằng cách định nghĩa
chuẩn A = sup{ Ax : x ∈ V, x ≤ 1. Ta có L(V, W ) là một không
gian Banach. Nếu V là một không gian Banach và K là một trường
nền (số thực hoặc số phức) thì bản thân K là một không gian Banach
và ta có thể định nghĩa không gian đối ngẫu V ∗ như là L(V, K), không


4

gian của biến đổi tuyến tính liên tục vào K. Không gian này lại là
không gian Banach với chuẩn của toán tử.
Định nghĩa 1.1.1 Cho X là không gian Banach. Gọi U = {x ∈ X :
x = 1}.
(i) X được gọi là lồi đều nếu với mỗi
với mọi x, y ∈ U
x − y ≥ thỏa mãn

∈ (0, 2], tồn tại δ > 0 sao cho
x+y
≤ 1 − δ.
2

(ii) X được gọi là trơn nếu giới hạn
lim
t→0

x + ty − x
t

(1.1)

tồn tại với mọi x, y ∈ U.
X được gọi là trơn đều nếu giới hạn (1.1) đạt được đều với x, y ∈ U.
(iii) Chuẩn của X gọi là khả vi Gâteaux đều nếu với mỗi y ∈ U , giới
hạn (1.1) đạt được đều với x ∈ U.
Định nghĩa 1.1.2 Cho số thực q > 1. Ánh xạ đối ngẫu tổng quát Jq
từ X vào X ∗ được định nghĩa như sau
Jq (x) = x∗ ∈ X ∗ : x, x∗ = x q , x∗ = x

q−1

với mọi x ∈ X. Ánh xạ J = J2 được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

Jq (x) = x q−2 J(x) với mọi x ∈ X
Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J có các tính chất sau:
(i) Nếu X là không gian lồi chặt thì J là ánh xạ 1 − 1 và
x − y, x∗ − y ∗ > 0 với (x, x∗ ), (y, y ∗ ) ∈ J, x = y;
(ii) Nếu X là không gian phản xạ thì J là toàn ánh;
(iii) Nếu X là không gian trơn đều thì J liên tục đều theo chuẩn trên
mỗi tập con bị chặn của X.


5

Định nghĩa 1.1.3 Cho C là tập con lồi đóng, khác rỗng của X. Ánh
xạ T : C → C được gọi là L-Lipshitzian nếu tồn tại hằng số L > 0 sao
cho T x − T y ≤ L x − y , ∀x, y ∈ C.
Nếu L = 1 thì T được gọi là không giãn.
Định nghĩa 1.1.4 Cho C là tập con khác rỗng của không gian Banach
X. Một ánh xạ A : C → X được gọi là:
(a) accretive nếu x, y ∈ C, ∃j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
Ax − Ay, j(x − y) ≥ 0;
(b) α-accretive mạnh nếu x, y ∈ C, ∃j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
Ax − Ay, j(x − y) ≥ α x − y 2 ,

α ∈ (0, 1);

(c) Giả co nếu x, y ∈ C, ∃j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
Ax − Ay, j(x − y) ≤ x − y 2 ;
(d) β-giả co mạnh nếu x, y ∈ C, ∃j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
Ax − Ay, j(x − y) ≤ β x − y 2 ,

α ∈ (0, 1);

(e) λ-giả co chặt nếu x, y ∈ C, ∃j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
Ax−Ay, j(x−y) ≤ x−y 2 −λ x−y−(Ax−Ay) 2 ,

λ ∈ (0, 1);

(f) Dương mạnh nếu tồn tại hằng số γ¯ > 0 sao cho Ax, J(x) ≥
γ¯ x 2 , β ∈ (0, 1), aI − bA = sup | (aI − bA)x, Jx |, với mọi
x ≤1

a ∈ [0, 1], b ∈ [−1, 1], I là ánh xạ đồng nhất.
Mệnh đề 1.1.5 Cho C là tập con lồi đóng, khác rỗng của một không
gian Banach trơn đều X. Cho T : C → C là ánh xạ giả co liên tục với
F ix(T ) = ∅ và f : C → C là ánh xạ giả co mạnh thỏa mãn điều kiện
Lipshitzian với hệ số giả co β ∈ (0, 1) và hằng số Lipshitzian L > 0.
ChoA : C → C là toán tử tuyến tính dương bị chặn với hằng số γ¯ > 0.
Giả sử rằng C ± C ⊂ C và 0 < β < γ¯ . Cho dãy {xt } được xác định
bởi xt = tf (xt ) + (I − tA)T xt . Khi đó nếu t → 0 thì {xt } hội tụ mạnh


6

đến một điểm z nào đó sao cho z ∈ F ix(T ) là nghiệm duy nhất của
bài toán bất đẳng thức biến phân sau:
(A − f )z, J(z − p) ≤ 0, ∀p ∈ F ix(T ).
Cho C là tập con lồi đóng, khác rỗng của một không gian Banach
trơn đều X sao cho C ± C ⊂ C. Cho T : C → C là một ánh xạ
không giãn với F ix(T ) = ∅ và f : C → C là ánh xạ giả co mạnh
thỏa mãn điều kiện Lipschitzian với hệ số giả co β ∈ (0, 1) và hằng số
Lipschitzian L > 0. Cho F : C → C là ánh xạ accretive mạnh và λ-giả
co chặt với α + λ > 1 và A : C → C là toán tử tuyến tính dương bị
chặn. Ta đưa vào lược đồ gắn kết lai ghép ẩn để giải bài toán điểm bất
động nhiều cấp của ánh xạ không giãn T :
xt = (I − θt A)T xt + θt [T xt − t(F (T xt ) − f (xt ))],
trong đó 0 < θt ≤ A

−1

, lim θt = 0. Ta chứng minh được khi t → 0,
t→0

{xt } hội tụ mạnh đến một điểm z ∈ F ix(T ) là nghiệm duy nhất của
bài toán bất đẳng thức biến phân:
(A − I)z, J(z − p) ≤ 0,

∀p ∈ F ix(T ).

Mặt khác, cho {Tn }∞
n=0 là một họ đếm được những ánh xạ không giãn
từ C vào chính nó sao cho Ω = ∩∞
i=0 F ix(Ti ) = ∅.
Người ta đề xuất phương pháp xấp xỉ mềm lai ghép ẩn để giải bài
toán điểm bất động của một họ ánh xạ không giãn {Tn }:



x0 ∈ C
yn = αn f (yn ) + βn xn = (1 − βn )I − αn A Tn yn



xn+1 = γn f (yn ) + (I − γn F )Tn yn , ∀n ≥ 0,

trong đó f : C → C là ánh xạ co cố định và {αn }, {βn }, {γn } là ba
dãy trong (0, 1). Dãy {xn } hội tụ đến một điểm z ∈ Ω với z là nghiệm
duy nhất của bài toán bất đẳng thức biến phân:
(A − f )z, J(z − p) ≤ 0,

∀p ∈ Ω.

Ngoài ra, người ta còn đề xuất một phương pháp xấp xỉ mềm lai ghép


7

hiện để giải bài toán điểm bất động nhiều bậc của một họ ánh xạ
không giãn {Tn }:

x ∈ C
0
 xn+1 =(I − βn A)Tn xn + βn [Tn xn − αn (F (T xn ) − f (xn ))], ∀n ≥ 0,
trong đó, f : C → C là ánh xạ co cố định và {αn }, {βn } là hai dãy
trong (0, 1). Dãy {xn } hội tụ mạnh đến một điểm z ∈ Ω với z là nghiệm
duy nhất của bài toán bất đẳng thức biến phân:
(A − I)z, J(z − p) ≤ 0,

∀p ∈ Ω.

Bổ đề 1.1.6 Cho dãy {sn } ⊂ R thỏa mãn:
sn+1 ≤ (1 − αn )sn + αn βn + γn ,

∀n ≥ 0.

Trong đó, các dãy {αn }, {βn }, {γn } thỏa mãn các điều kiện:


(i) {αn } ⊂ [0, 1],

αn = ∞;
n=0

(ii) lim supn→∞ βn ≤ 0;


(iii) γn ≥ 0 (∀n ≥ 0),

γn < ∞.
n=0

Khi đó lim sup sn = 0.
n→∞

Bổ đề 1.1.7 Cho dãy {an } ⊂ R sao cho an+1 ≤ (1 − γn )an + γn βn ,
∀n ≥ 0. Trong đó {γn } ⊂ (0, 1), {βn } ⊂ R thỏa mãn các điều kiện:


γn = ∞;

(i)
n=0

(ii) lim supn→∞ βn ≤ 0.
Khi đó lim an = 0.
n→∞

Bổ đề 1.1.8 Cho X là không gian Banach trơn. Khi đó:
x+y

2

≤ x

2

+ 2 y, J(x + y) ,

∀x, y ∈ X.

Gọi LIM là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên l∞ và
(a0 , a1 , · · · ) ∈ l∞ . Kí hiệu LIM an = LIM (a0 , a1 , · · · ). LIM được gọi là


8

giới hạn Banach nếu
LIM = LIM 1 = 1 và LIM an+1 = LIM an ,

∀(a0 , a1 , · · · ) ∈ l∞ .

Đối với giới hạn Banach, ta có các khẳng định sau đây là đúng:
(i) ∀n ≥ 1, an ≤ cn ⇒ LIM an ≤ LIM cn ;
(ii) LIM an+N = LIM an , ∀N ∈ N∗ ;
(iii) lim inf n→∞ an ≤ LIM an ≤ lim supn→∞ an ∀(a0 , a1 , · · · ) ∈ l∞ .
Bổ đề 1.1.9 Cho (a0 , a1 , · · · ) ∈ l∞ . Nếu LIM an = 0 thì tồn tại dãy
con {ank } của {an } sao cho ank → 0 khi k → ∞.
Một không gian Banach X được gọi là thỏa mãn điều kiện Opial’s nếu
mọi dãy {xn } trong X hội tụ yếu đến x khi n → ∞ thì
lim sup xn − x < lim sup xn − y ,
n→∞

∀y ∈ X, y = x.

n→∞

Bổ đề 1.1.10 Cho X là không gian Banach phản xạ thỏa mãn điều
kiện Opial’s. C là tập con lồi, đóng khác rỗng của X và T : C → C là
ánh xạ không giãn. Khi đó ánh xạ (I − T ) nửa đóng trên C, trong đó
I là ánh xạ đồng nhất, nếu {xn } là một dãy trong C sao cho
xn → x, (I − T )xn → y thì (I − T )x = y.
Nhận xét 1.1.11 Nếu ánh xạ đối ngẫu J : x → {x∗ ∈ X ∗ : (x, x∗ ) =
x 2 = x∗ 2 } từ X và X ∗ là đơn trị và liên tục yếu thì X thỏa mãn
điều kiện Opial’s. Cả không gian Hilbert và không gian dãy lp với
1 < p < ∞ đều thỏa mãn điều kiện Opial’s.
Bổ đề 1.1.12 Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian
Banach trơn thực X và F : C → X là ánh xạ.
(i) Nếu F : C → X là α-đơn điệu mạnh và λ-giả co chặt với α+λ ≥ 1
thì I − F không giãn và F là liên tục thỏa mãn điều kiện Lipschitz
với hằng số 1 + λ1 .
(ii) Nếu F : C → X α-accretive mạnh và λ-giả co chặt với α + λ > 1
1−α
thì ∃τ ∈ (0, 1), I − τ F là ánh xạ co với hệ số 1 − τ 1 −
.
λ
Chứng minh.


9

(i) Từ tính chất λ-giả co chặt của F , ta có ∀x, y ∈ C,
λ (I − F )x − (I − F )y

2

≤ (I − F )x − (I − F )y, J(x − y)
≤ (I − F )x − (I − F )y

Từ đó suy ra (I − F )x − (I − F )y ≤

x−y .

1
x−y .
λ

Do đó
F (x) − F (y) ≤ (I − F )x − (I − F )y + x − y
1
≤ 1−
x−y .
λ
Hơn nữa, từ các tính chất α-accretive mạnh và λ-giả co chặt của
F , ta có ∀x, y ∈ C,
λ (I − F )x − (I − F )y

2

≤ x−y

2

F (x) − F (y), J(x − y)

≤ (1 − α) x − y 2 .
Từ đó suy ra
(I − F )x − (I − F )y ≤

Do α + λ ≥ 1 ⇔

1−α
x−y .
λ

1−α
≤ 1, ta có I − F không giãn.
λ

(ii) Lấy điểm cố định τ ∈ (0, 1). Chú ý rằng ∀x, y ∈ C,
(I − τ F )x − (I − τ F )y
= (1 − τ )(x − y) + τ (I − F )x − (I − F )y
≤ (1 − τ ) x − y + τ (I − F )x − (I − F )y

≤ (1 − τ ) x − y + τ
=

Do α + λ > 1 ⇔

1−τ 1−

1−α
λ

1−α
λ

x−y

x−y .

1−α
< 1. Ta có I − τ F là ánh xạ co với hệ
λ


10

số 1 − τ 1 −

1−α
.
λ

Bổ đề 1.1.13 Cho X là không gian Banach, C là tập con lồi, đóng,
khác rỗng của X và T : C → C là ánh xạ liên tục giả co. Khi đó T có
duy nhất một điểm bất động trong C.
Bổ đề 1.1.14 Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian
Banach thực và T : C → C là ánh xạ liên tục giả co mạnh. Khi đó các
khẳng định sau đây đúng:
(i) Ánh xạ B := B = (2I − T )−1 là ánh xạ không giãn từ C vào chính
nó.
(ii) Nếu lim xn − T xn = 0 thì lim xn − Bxn = 0.
n→∞

n→∞

Bổ đề 1.1.15 Giả sử rằng A là toán tử tuyến tính dương mạnh, bị
chặn trên không gian Banach trơn X với hệ số γ¯ > 0 và 0 < ρ ≤ A −1
thì I − ρA ≤ 1 − ρ¯
γ.
1.2

Điểm bất động và một số phương pháp cơ bản tìm điểm
bất động

Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert
H thực, T : C → C là một ánh xạ không giãn tức là T x − T y ≤
x − y , ∀x, y ∈ C. Phần tử x ∈ C được gọi là một điểm bất động của
ánh xạ T nếu T x = x. Tập điểm bất động của T ký hiệu là F ix(T ).
Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian
Hilbert được cho bởi định lý dưới đây.
Định lý 1.2.1 Cho C là tập con lồi, đóng, bị chặn của không gian
Hilbert H và T : C → C là một ánh xạ không giãn. Khi đó, T có ít
nhất một điểm bất động.
Dưới đây, chúng ta sẽ nhắc lại một số phương pháp cơ bản tìm điểm
bất động.
Bài toán: Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của không
gian Hilbert H, T : C → C là một ánh xạ không giãn. Hãy tìm
x∗ ∈ C : T (x∗ ) = x∗ .


11

Phương pháp lặp Mann:

x ∈ C
0
xn+1 = αn xn + (1 − αn )T (xn ), n ≥ 0

(1.2)

trong đó, {αn } là một dãy số thực thỏa mãn


α0 = 1, 0 < αn < 1, n ≥ 1,

αn = ∞.
n=0

Dãy lặp (1.2) được gọi là dãy lặp Mann. Nếu dãy {αn } được chọn thỏa


αn (1 − αn ) = ∞ thì dãy {xn } xác định bởi (1.2) sẽ hội tụ yếu

mãn
n=0

đến một điểm bất động của ánh xạ T . Chú ý rằng nếu H là không gian
Hilbert vô hạn chiều thì dãy lặp (1.2) chỉ cho sự hội tụ yếu.
Phương pháp lặp Halpern:

x ∈ C
0
(1.3)
xn+1 = αn u + (1 − αn )T (xn ), n ≥ 0
Trong đó, u ∈ C, αn ⊂ (0, 1). Dãy lặp (1.3) được gọi là dãy lặp
Halpern. Nếu αn = n−α , αn ⊂ (0, 1) thì dãy lặp (1.3) hội tụ mạnh về
điểm bất động của ánh xạ không giãn T . Wittmann R. đã chứng minh
sự hội tụ mạnh của dãy {xn } về một điểm bất động của ánh xạ không
giãn T trong không gian Hilbert nếu dãy số {αn } thỏa mãn các điều
kiện sau
(1) lim αn = 0;
n→∞


(2)

αn = +∞;
n=0


|αn+1 − αn | < ∞.

(3)
n=0

Phương pháp lặp Ishikawa:



x0 ∈ C

yn = βn xn + (1 − βn )T xn



xn+1 = αn xn + (1 − αn )T (yn ), n ≥ 0

(1.4)


12

Trong đó, {αn }, {βn } là các dãy số thực trong đoạn [0, 1] thỏa mãn


0 ≤ αn ≤ βn ≤ 1, n ≥ 1, lim βn = 0,
n→∞

αn βn = ∞ Dãy lặp (1.4) gọi
n=0

là dãy lặp Ishikawa. Trong trường hợp βn = 1, ∀n thì phương pháp
lặp Ishikawa (1.4) trở thành phương pháp lặp Mann (1.2).
Phương pháp lặp xấp xỉ mềm:
Nội dung của phương pháp này được trình bày thông qua Định lí
sau:
Định lý 1.2.2 Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian
Hilbert H, T là ánh xạ không giãn trên C thỏa mãn F ix(T ) = ∅, f là
ánh xạ co trên C với hệ số α
˜ ∈ [0, 1), dãy {xn } là dãy sinh bởi x1 ∈ C

1
λn
f (xn ) +
T xn , n ≥ 1
(1.5)
xn =
1 + λn
1 + λn
xn+1 =

1
λn
f (xn ) +
T xn , n ≥ 1
1 + λn
1 + λn

(1.6)

Trong đó, λn ⊂ (0, 1) thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) lim λn = 0;
n→∞


λn = ∞;

(2)
n=0


1
= 0.
λn
n=0 λn+1
Khi đó dãy {xn } xác định bởi (1.6) hội tụ mạnh tới p∗ ∈ F ix(T ), ở đây
p∗ = PF (T ) f (p∗ ). Ngoài ra, nếu dãy {λn } thỏa mãn điều kiện (1) ở trên
thì dãy {xn } xác định bởi (1.5) hội tụ tới p∗ . Khi f (x) = u, ∀x ∈ C
thì phương pháp xấp xỉ gắn kết trên trở về phương pháp lặp Halpern B.
Phương pháp chiếu đường dốc:

(3)

1

=−

xn+1 = PC xn − µn [xn − T (xn )] , ∀n ≥ 0.

(1.7)

Chương 1 đã đề cập đến một số khái niệm và các tính chất đặc trưng
của không gian Banach. Trong chương sau, chứng ta sẽ dùng những
nội dung này để chứng minh một số định lí liên quan đến bài toán tìm
điểm bất động của một ánh xạ không giãn và một họ đếm được những
ánh xạ không giãn.


13

Chương 2

Phương pháp xấp xỉ mềm lai
ghép cho bài toán điểm bất động
Chương này gồm hai mục: Mục 2.1 đề cập đến bài toán tìm điểm
bất động của một ánh xạ không giãn; mục 2.2 trình bày bài toán tìm
điểm bất động của một họ đếm được các ánh xạ không giãn. Các kiến
thức trong chương được tổng hợp từ tài liệu [3]
2.1

Tìm điểm bất động của một ánh xạ không giãn

Định lý 2.1.1 Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian
Banach trơn đều X thỏa mãn C ± C ⊂ C. Cho T : C → C là ánh xạ
không giãn với F ix(T ) = ∅ và F : C → C là α-accretive mạnh và λ-giả
co chặt với α + λ > 1. Cho f : C → C là ánh xạ giả co mạnh thỏa mãn
1−α
điều kiện Lipschitzian với hệ số giả co β ∈ (0, r0 ), r0 = 1 −
λ
và hệ số Lipschitzian L > 0. Cho A : C → C là γ¯ -toán tử tuyến tính
dương mạnh bị chặn với γ¯ ∈ (1, 2).
Cho {xt } được xác định:
xt = (I − θt A)T xt + θt T xt − t(F (T xt ) − f (xt )) ,
2 − γ¯
và lim θt = 0 thì khi t → 0,
t→0
r0 − β
{xt } hội tụ mạnh đến một điểm z nào đó trong T , z là nghiệm duy
nhất trong F ix(T ) của bài toán bất đẳng thức biến phân dưới đây:
trong đó 0 < θt ≤ A

−1

, ∀t ∈

0,

(A − I)z, J(z − p) ≤ 0,

∀p ∈ F ix(T ).

(2.1)


14

Chứng minh. Đầu tiên ta chỉ ra rằng dãy {xt } được định nghĩa đúng.
Thật vậy, định nghĩa ánh xạ St : C → C xác định bởi:
St x = (I − θt A)T x + θt T x − t F (T x) − f (x) ,

∀x ∈ C.

Chú ý rằng:
St x − St y, J(x − y)
= (I − θt A)T x − (I − θt A)T y, J(x − y)
+ θt (I − tF )T x − (I − tF )T y, J(x − y)
+ θt t f (x) − f (y), J(x − y)
≤(1 − θt γ¯ ) x − y
+ tθt β x − y

2

+ θt 1 − t 1 −

1−α
λ

x−y

2

2

≤[1 − θt (¯
γ − 1) + t(r0 − β)] x − y 2 .
2 − γ¯
thì St : C → C là ánh xạ liên tục và giả co mạnh
r0 − β
với hệ số giả co 1 − θt (¯
γ − 1 + t(r0 − β)) ∈ (0, 1).
Do đó, theo Bổ đề 1.1.13, tồn tại duy nhất một điểm trong C (ký
hiệu là xt ) là nghiệm duy nhất của phương trình:
Nếu t ∈

0,

xt = (I − θt A)T xt + θt T xt − t(F (T xt ) − f (xt )) .
Ta chứng minh tính duy nhất của bài toán bất đẳng thức biến phân
(2.1).
Giả sử z1 , z2 ∈ F ix(T ) đều là nghiệm của bài toán bất đẳng thức
biến phân (2.1). Khi đó, ta có:
(A − I)z1 , J(z1 − z2 ) ≤ 0

(A − I)z2 , J(z2 − z1 ) ≤ 0
theo vế hai bài toán bất đẳng thức biến phân trên ta nhận được:
(A − I)z1 − (A − I)z2 , J(z1 − z2 ) ≤ 0.


15

Chú ý rằng
(A − I)z1 − (A − I)z2 , J(z1 − z2 )
= A(z1 − z2 ), J(z1 − z2 ) − z1 − z2 , J(z1 − z2 )
≥ γ¯ z1 − z2

2

− z1 − z2

= (¯
γ − 1) z1 − z2

2

2

≥ 0.

Nhớ rằng 0 < γ¯ − 1 < 1, ta có z1 = z2 . Khi đó tính duy nhất được
chứng minh.
Ta ký hiệu x˜ là nghiệm duy nhất của bài toán bất đẳng thức biến phân
(2.1). Tiếp theo, ta gọi {xt } là dãy thực bị chặn.
2 − γ¯
Chú ý rằng 0 < θt ≤ A −1 , ∀t ∈ 0,
. Lấy một điểm cố định
γ0 − β
p ∈ F ix(T ) bất kỳ. Sử dụng bổ đề 1.1.15, ta có
xt − p

2

= (I − θt A)T xt + θt T xt − t F (T xt ) − f (xt )

− p, J(xt − p)

= (I − θt A)T xt − (I − θt A)T p, J(xt − p)
+ θt T xt − t F (T xt ) − f (xt ) − p, J(xt − p)
+ θt (I − A)p, J(xt − p)
= (I − θt A)T xt − (I − θt A)T p, J(xt − p)
+ θt (I − tF )T xt − (I − tF )T p, J(xt − p)
+ t f (xt ) − f (p), J(xt − p) + f (p) − F (p), J(xt − p)
+ θt (I − A)p, J(xt − p)
≤ (I − θt A)T xt − (I − θt A)T p
+ t β xt − p

2

+ θt I − A p

+ f (p) − F (p)

xt − p + θt (1 − tγ0 ) xt − p
xt − p

xt − p .

Từ đó ta có kết quả
xt − p ≤(1 − θt γ¯ ) xt − p + θt (1 − tγ0 ) xt − p
+ t β xt − p + f (p) − F (p)
Khi đó ta có

+ θt I − A p .

2


16

I − A p + t f (p) − F (p)
γ¯ − 1 + t(γ0 − β)
I − A p + t f (p) − F (p)

γ¯ − 1
I − A p + f (p) − F (p)
.

γ¯ − 1

xt − p ≤

Do đó dãy {xt } bị chặn.
Giả sử rằng tn → 0 khi n → ∞. Đặt θn = θtn , xn := xtn và định nghĩa
µ : C → R bởi
µ(x) = LIM xn − x0 ,

∀x ∈ C,

trong đó LIM là giới hạn Banach trên l∞ . Giả sử
K = x ∈ C : µ(x) = min LIM xn − x0

2

.

x∈C

Dễ dàng thấy rằng K là tập con lồi đóng khác rỗng của X. Chú ý rằng
xn − T xn = θn T xn − tn (F (T xn ) − f (xn )) − AT xn → 0 khi n → ∞.
Theo Bổ đề 1.1.14, ta biết rằng ánh xạ B = (2I −T )−1 là ánh xạ không
giãn và F ix(T ) = F ix(B), lim xn − Bxn = 0. Trong đó, I là toán
n→∞

tử đồng nhất. Từ đó ta có
µ(Bx) = LIM xn −Bx

2

= LIM Bxn −Bx

2

≤ LIM xn −x

2

= µ(x).

Suy ra B(K) ⊂ K; K là tập bất biến trên B. Từ tính trơn đều của
không gian Banach có tính chất điểm bất động cho ánh xạ không giãn,
B có điểm bất động z ∈ K. Từ z cũng là một cực tiểu hóa của µ trên
C, ∀t ∈ (0, 1), x ∈ C, ta có
µ z + t(x − Az) − µ(z)
t
xn − z + t(Az − x) 2 − xn − z
= LIM
t
xn − z, J xn − z + t(Az − x)
= LIM
t
0≤

2


17

xn − z, J xn − z + t(Az − x)
= LIM

t
t Az − x, J xn − z + t(Az − x)
+

− xn − z

2

.

t

Từ X là không gian trơn đều, ta kết luận rằng ánh xạ đối ngẫu J là
chuẩn liên tục đều trên tập con bị chặn bất kỳ của X. Cho t → 0, ta
thấy rằng hai giới hạn có thể hoán đổi và chúng ta thu được
LIM (x − Az, J(xn − z)) ≤ 0,

∀x ∈ C.

(2.2)

Mặt khác ta có
xn − z =(I − θn A)T xn − (I − θn A)T z
+ θn T xn − tn F (T xn ) − f (xn ) − z + θn (I − A)z
=(I − θn A)(T xn − T z)
+ θn tn F (xn ) − f (z) + (I − tn F )T xn − (I − tn F )z
+ θn (I − A)z.
+ θn tn f (xn ) − F z, J(xn − z)
+ (I − tn F )T xn − (I − tn F )z, J(xn − z)
+ θn (I − A)z, J(xn − z)
≤(1 − θn γ¯ ) xn − z

2

+ θn (1 − tn γ0 ) xn − z

2

+ tn β xn − z

2

Suy ra
xn − z

2

= (I − θn A)(T xn − T z), J(xn − z)
+ tn f (z) − F (z), J(xn − a)
= 1 − θn γ¯ − 1 + tn (γ0 − β)

+ θn (I − A)z, J(xn − z)
xn − z

2

+ θn tn f (z) − F (z), J(xn − z) + (I − A)z, J(xn − z)
Vậy ta có

.


18

xn − z

2



1
tn f (z) − F (z), J(xn − z)
γ¯ − 1 + t(γ0 − β)
+ (I − A)z, J(xn − z)

(2.3)

.

Từ (2.2) và (2.3), ta được
LIM xn − z

2



1
LIM (I − A)z, J(xn − z) ≤ 0.
γ¯ − 1

Điều đó dẫn đến LIM xn − z 2 = 0. Khi đó tồn tại một dãy con {xn }
sao cho xn → z khi n → ∞.
Tiếp theo ta chứng tỏ rằng z là nghiệm của (2.1). Từ
xt = (I − θt A)T xt + θt T xt − t(F (T xt ) − f (xt )) ,
ta có: xt − T xt = θt (I − A)T xt + θt t f (xt ) − F (T xt )) . Từ T là không
giãn, I − T là accretive. Vì vậy, từ tính chất accretive tăng của I − T ,
có điều dưới đây với điểm cố định bất kỳ z ∈ F ix(T ),
0 ≤ (I − T )xt − (I − T )p, J(xt − p) = (I − T )xt , J(xt − p)
=θt (I − A)T xt , J(xt − p) + θt t f (xt ) − F (T xt ), J(xt − p)
=θt (I − A)xt , J(xt − p) + θt (I − A)(T − I)xt , J(xt − p)
+ θt t f (xt ) − F (T xt ), J(xt − p) .
Từ đó suy ra
(A − I)xt , J(xt − p) ≤ (I − A)(T − I)xt , J(xt − p)
+t f (xt ) − F (T xt ), J(xt − p)
Bây giờ ta thay t bởi tn , cho n → ∞, chú ý đến tính bị chặn của dãy
f (xtn ) − F (T xtn ) và
(I − A)(T − I)xtn → (I − A)(T − I)z = 0, z ∈ F ix(T ),
chúng ta có (A − I)z, J(xt − p) ≤ 0, ∀p ∈ F ix(T ), trong đó z ∈
F ix(T ) là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (2.1). Khi z = z, ta
có {xn } hội tụ về z khi tn → 0. Ta có điều phải chứng minh.


19

2.2

Tìm điểm bất động cho họ đếm được ánh xạ không giãn

Bổ đề 2.2.1 Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian
Banach X. Cho T1 , T2 , · · · là dãy các ánh xạ từ C vào C. Giả sử rằng


sup{ Tn+1 x − Tn x : x ∈ C} < ∞. Khi đó y ∈ C, {Tn y} hội tụ
n=1

mạnh đến một số điểm trong C. Hơn thế nữa, cho T là ánh xạ từ C
vào C được định nghĩa T y = lim Tn y, ∀y ∈ C thì
n→∞

lim sup{ T x − Tn x : x ∈ C} = 0.
n→∞

Bổ đề 2.2.2 Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian
Banach thực X với X có chuẩn khả vi Gateaux. Cho T : C → C là
ánh xạ giả co liên tục với F ix(T ) = ∅ và f : C → C là ánh xạ giả
co mạnh thỏa mãn điều kiện Lipschitzian với hệ số giả co β ∈ (0, 1)
và hằng số Lipschitzian L > 0. Cho A : C → C là γ −toán tử tuyến
tính dương mạnh bị chặn với hệ số γ . Giả sử rằng C ± C ⊂ C và
{xt } hội tụ mạnh đến z ∈ F ix(T ) khi t → 0, trong đó xt được định
nghĩa bởi xt = tf (xt ) + (I − tA)T xt . Giả sử rằng {xt } ⊂ C bị chặn và
lim xn − T xn = 0 thì lim sup (f − A)z, J(xn − z) ≤ 0.
n→∞

n→∞

Định lý 2.2.3 Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian
Banach trơn đều X sao cho C ± C ⊂ C. Cho {Ti }∞
i=0 là một họ đếm
được các ánh xạ không giãn từ C vào C sao cho Ω = ∩∞
i=0 F ix(Ti ) = ∅.
Cho F : C → C là α−accretive mạnh và λ−giả co chặt với α+λ > 1 và
1−α
f : C → C là một ánh xạ co với hệ số co β ∈ (0, γ0 ), γ0 = 1 −
λ
và hằng số Lipschitzian L > 0. Cho A : C → C là γ˜ -toán tử tuyến tính
dương mạnh bị chặn với hệ số γ˜ ∈ (β, 1 + β). Với điểm tùy ý x0 ∈ C,
cho dãy {xn } lặp xác định bởi

y = α f (y ) + β x + (1 − β )I − α A T y
n
n
n
n n
n
n
n n
xn+1 = σn f (yn ) + (I − σn F )Tn yn , ∀n ≥ 0
trong đó {αn }, {βn }, {σn } là ba dãy trong khoảng (0, 1) thỏa mãn các
điều kiện dưới đây:
(i) lim αn = lim βn = 0;
n→∞

n→∞


20

(ii) lim sup
n→∞

σn
< ∞,
αn



αn
= ∞.
n=0 αn + βn



sup Tn+1 x − Tn x < ∞ với mọi tập con bị chặn D của

Giả sử rằng

n=0 x∈D

C. Cho T : C → C là ánh xạ được xác định bởi T x = lim Tn x, ∀x ∈ C
n→∞

và giả sử rằng F ix(T ) = ∩∞
i=0 F ix(Ti ) thì {xn } hội tụ mạnh đến điểm
z ∈ Ω sao cho z là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân
(f − A)z, J(p − z) ≤ 0, ∀p ∈ Ω.
Chứng minh. Từ điều kiện (i), không mất tính tổng quát, chúng ta có
thể giả sử
αn ≤ (1 − βn ) A −1 .
Từ A là γ˜ −toán tử tuyến tính dương mạnh bị chặn trên C, từ định
nghĩa ánh xạ dương mạnh ta có
A = sup | Au, J(u)

: u ∈ C, u = 1 .

Chú ý rằng
(I−βn )I−αn A u, J(u) = 1−βn −αn Au, J(u) ≥ 1−βn −αn A ≥ 0.
Từ đó suy ra
(I − βn )I − αn A
= sup

(I − βn )I − αn A u, J(u) : u ∈ C, u = 1

= sup 1 − βn − αn Au, J(u) : u ∈ C, u = 1
≤ 1 − βn − αn γ˜ .
Tiếp theo, ta thấy dãy {yn } được xác định. Mọi n ≥ 1, xác định một
ánh xạ Sn : C → C với
Sn x = αn f (x) + βn xn + (1 − βn )I − αn A Tn x,
Với mọi x, y ∈ C, chúng ta có
Sn x − Sn y, J(x − y)
=αn f (x) − f (y), J(x − y)

∀x ∈ C.


21

+

(1 − βn )I − αn A (Tn x − Tn y), J(x − y)

≤αn β x − y

2

+ (1 − βn − αn γ˜ ) x − y

2

= 1 − βn − αn (˜
γ − β) x − y 2 .
Vì vậy Sn là liên tục giả co mạnh với n ≥ 0. Theo bổ đề 1.1.13, tồn tại
một điểm bất động duy nhất yn , ∀n ≥ 0 sao cho
yn = αn f (yn ) + βn xn + (I − βn )I − αn A)Tn yn .
Vậy dãy {yn } được xác định. Tiếp theo chúng ta chứng tỏ dãy {xn } bị
chặn. Lấy điểm bất kỳ p ∈ Ω. Khi đó ta có
yn − p

2

=αn f (yn ) − Ap, J(yn − p) + βn xn − p, J(yn − p)
+

(1 − βn )I − αn A (Tn yn − p), J(yn − p)

≤αn f (yn ) − f (p), J(yn − p) + αn f (p) − Ap, J(yn − p)
+ βn xn − p
≤αn β yn − p

2

yn − p + (1 − βn − αn (˜
γ ) yn − p
+ (1 − βn − αn γ˜ ) yn − p

2

+ αn f (p) − Ap, J(yn − p) + βn xn − p
= 1 − βn − αn (˜
γ − β) yn − p
+ βn xn − p

2

2

yn − p

+ αn f (p) − Ap

yn − p

yn − p .

Từ đó ta có
yn − p ≤

αn (˜
γ − β)
f (p) − Ap
βn
xn − p +
.
.
βn + αn (˜
γ − β)
βn + αn (˜
γ − β)
γ˜ − β

Do đó, ta có
xn+1 − p = σn f (yn ) + (I − σn F )Tn yn − p
= σn f (yn ) − f (p) + (I − σn F )Tn yn − I(I − σn F )Tn p
+ σn f (p) − F (p)
≤σn f (yn ) − f (p) + (I − σn F )Tn yn − I(I − σn F )Tn p
+ σn f (p) − F (p)
≤σn β yn − p + (1 − σn γ0 ) Tn yn − Tn p
+ σn f (p) − F (p)
≤σn β yn − p + (1 − σn γ0 ) yn − p + σn f (p) − F (p)


22

= 1 − σn (γ0 − β) yn − p + σn f (p) − F (p)
βn
≤ 1 − σn (γ0 − β)
xn − p
βn + αn (˜
γ − β)
αn (˜
γ − β)
f (p) − Ap
+
.
βn + αn (˜
γ − β)
γ˜ − β
+ σn f (p) − F (p)
≤ 1 − σn (γ0 − β) max

xn − p ,

f (p) − Ap
γ˜ − β

xn − p ,

f (p) − Ap
γ˜ − β

+ σn f (p) − F (p)
= 1 − σn (γ0 − β) max

f (p) − Ap
γ0 − β
f (p) − Ap
f (p) − Ap
xn − p ,
,
γ˜ − β
γ0 − β

+ σn (γ0 − β)
≤ max

.

Bằng quy nạp chúng ta có
xn+1 − p ≤ max

x0 − p ,

f (p) − Ap
f (p) − Ap
,
γ˜ − β
γ0 − β

,

∀n ≥ 0.

Vì vậy {xn } bị chặn và các dãy {yn }, {Tn yn } cũng bị chặn.
Ta chú ý rằng
yn − Tn yn = αn f (yn ) − ATn yn + βn (xn − Tn yn )
≤ αn f (yn ) − ATn yn + βn xn − Tn yn .
Kết hợp với chú ý (i) ta có lim yn − Tn yn = 0.
n→∞

Mặt khác, ta có yn − T yn ≤ yn − Tn yn + Tn yn − T yn .
Sử dụng Bổ đề 2.2.1 ta thu được lim yn − T yn = 0.
n→∞

Cho xt = tf (xt ) + (1 − tA)T xt . Sử dụng Mệnh đề 1.1.5 và Bổ đề 2.2.1,
ta có dãy {xt } hội tụ mạnh đến z ∈ F ix(T ) = ∩∞
i=0 F ix(Ti ) = Ω và
lim sup (f − A)z, J(yn − z) ≤ 0.

(2.4)

n→∞

Cuối cùng, chúng ta chỉ ra rằng xn → z. khi n → ∞. Ta lưu ý rằng


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×