Tải bản đầy đủ

Cơ lý thuyết BK định lý tổng quát động lực học 2

IV. ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG (2)

IV. ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG (1)

1. Các định nghĩa và các kết quả thường dùng:
z
a. Công của lực:

r
K Fk

α
Xét lực Fk tác dụng tại điểm K, trong khoảng
r
r
rk
drk
thời gian vô cùng bé điểm K dịch chuyển 1 vi
phân drk. Khi đó, công của lực Fk trong dịch
y
x O

chuyển này là đại lượng vô hướng:
r
r r
dA( Fk ) = Fk drk = Fk dr cosα (công nguyên tố, đơn vị là Joule, J)

1. Các định nghĩa và các kết quả thường dùng (cont’d):
c) Công suất: Là công do lực hoặc moment sinh ra trong 1
đơn vị thời gian, đơn vị của công suất là Watt (W).
Công suất của lực:
r
r r
r
dA( Fk ) Fk drk r r
=
= FkVk = Fkx x& + Fky y& + Fkz z&
P( Fk ) =
dt
dt
z

Công suất của moment:

r
rk

b. Công của moment:
Xét vật rắn chịu tác động của moment M và trong khoảng thời
gian dt vật rắn quay 1 góc dφ. Khi đó, công nguyên tố của moment
M trong dịch chuyển này là: dA( M ) = ± Mdϕ
Dấu (+) nếu M và dφ cùng chiều; dấu (-) M và dφ ngược chiều.

P( M ) =

r
Fk

Mdϕ
dA( M )

= ± Mω

dt
dt

α

r
drk

O
x
Dấu (+) nếu M và ω cùng chiều; dấu (-) M và ω ngược chiều.

y

83

84

IV. ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG (3)

IV. ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG (4)

1. Các định nghĩa và các kết quả thường dùng (cont’d):
z
d) Công của một số lực/moment phổ biến:
M0
r z0
g

Công của trọng lực:

z1

A( P) = P( z0 − z1 )
Công của lực đàn hồi:
1
A( Flx ) = k ( x02 − x 2 )
2
(Dịch chuyển từ x0 đến x, gốc O tại
vị trí lò xo không bị biến dạng)

Công của lực ma sát trượt:
A( Fms ) = −( f d N ) s

1. Các định nghĩa và các kết quả thường dùng (cont’d):
d) Công của một số lực/moment phổ biến:
Lăn không trượt:

P M1

A( Fms ) = 0

P

Ml

P

rdφ

A( M l ) = − M l dϕ

x0

Fms N
e) Công của nội lực của vật rắn:
Tổng công nội lực của vật rắn trên mọi dịch chuyển bằng 0.

x

k O
N
Fms

x

Nhớ lại xung của các ngoại lực trong định lý động lượng/moment
động lượng!
(*)

s
x

P
85

86


IV. ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG (5)

IV. ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG (6)

2. Động năng
f) Động năng của vật rắn chuyển động tổng quát

2. Động năng
a) Động năng của hệ chất điểm
T=

1
∑ mkVk2
2

T=

b) Động năng của vật rắn chuyển động tịnh tiến
c) Động năng của vật rắn quay quanh trục cố định
1
J ∆ω 2
2

dT =

1
J ∆Pω 2
2
1
1
T = MVC2 + J ∆Cω 2
2
2

∑ dA + ∑ dA
i

e

k

k

Dạng hữu hạn: Biến thiên động năng của cơ hệ trên độ dời
nào đó bằng tổng công hữu hạn nội và ngoại lực tác động
vào cơ hệ trên cùng độ dời đó:

e) Động năng của vật rắn chuyển động song phẳng
T=

Δ là trục quay tức thời qua khối tâm C (có đổi phương)

3. Định lý động năng
Dạng vi phân: Vi phân động năng cơ hệ bằng tổng công
nguyên tố của nội lực và ngoại lực tác dụng vào cơ hệ.

1
1
T = MV 2 = MVC2
2
2
T=

1
1
MVC2 + J ∆Cω 2 ,
2
2

Δ qua tâm vận tốc tức thời, Δ qua khối

P
C
, tâm
và vuông góc mặt phẳng quỹ đạo

∆T = T1 − T0 =

∑A +∑A
i

e

k

k

87

IV. ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG (7)

3. Định lý động năng (cont’d):
Dạng đạo hàm: Đạo hàm động năng của cơ hệ bằng tổng
công suất ngoại và nội lực đặt vào cơ hệ:
dT
=
dt

∑ dA + ∑ dA
dt

i

e

k

k

dt

r
r
= ∑ P( Fki ) + ∑ P( Fke )

88

IV. ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG (7)
4. Định luật bảo toàn cơ năng
z
Thế năng trọng trường của vật có trọng lượng P:
M0
r
Gốc thế năng tại M0
g
M1
Thế năng của vật ở M1
P
Π ( M ) = A( P )
= ∫ − Pdz = − Pz = P( z − z )
P
Thế năng của lực đàn hồi lò xo:
Gốc O của trục Ox tại vị trí lò xo không bị biến dạng
Gốc thế năng tại M0 (li độ x0)
Thế năng của vật ở M (li độ x)
M →M 0

4. Định luật bảo toàn cơ năng
Thế năng: Thế năng của cơ hệ tại vị trí M là tổng công của
các lực thế đặt vào cơ hệ trên độ dời từ vị trí M đến vị trí O
được chọn (tùy ý) làm mốc.
Thế năng chỉ phụ thuộc vào vị trí: Π = Π(M )
Định luật: Cơ hệ chuyển động trong trường lực thế có cơ
năng (tổng của động năng và thế năng) không đổi.
89

z0

z0

z

z

Π ( M ) = A( Flx ) M → M =
0

0

1
k ( x 2 − x02 )
2

» Nếu chọn gốc thế năng của lò xo tại vị trí lò xo không bị
biến dạng (tức là x0 = 0), khi đó x chính là độ biến dạng dài
của lò xo và thế năng đàn hồi của lò xo là: Π = 1 kx
2

lòxo

2

90


YÊU CẦU TỰ LUYỆN Ở NHÀ

VD – ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG

(Các định lý tổng quát của động lực học)

Xem các ví dụ (Giáo trình Cơ lý thuyết – Vũ Duy Cường)
1. Định lý chuyển động khối tâm
Ví dụ: 12.1, 12.2
2. Định lý biên thiên động lượng
Ví dụ: 12.3, 12.4, 12.5
3. Định lý biên thiên moment động lượng
Ví dụ: 12.6, 12.7, 12.8
4. Định lý động năng
Ví dụ: 12.9, 12.10, 12.11, 12.12, 12.13, 12.14, 12.15, 12.16

91

VD1: Định lý động năng (chuyển động tịnh tiến + quay quanh
trục cố định): Tính động năng, công của ngoại lực, tìm gia tốc.
a) Động năng của cơ hệ
b) Công của các ngoại lực
R=2r
khi vật A trượt lên 1
đoạn s (so với mặt
nghiêng)
c) Gia tốc của B
d) Lực căng dây ở nhánh
nối với B.
(Bỏ qua ma sát ở ổ trục O và ma sát trượt giữa A và nêm; dây mềm,
không giãn, khối lượng của dây và biết dây luôn căng, R=2r)
92

VD – ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG

VD – ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG

VD1:

VD1:

Cơ hệ: vật nặng A, B (tịnh tiến)

c. Gia tốc của B:

R=2r

, và đĩa O (quay quanh trục cố định)
NA

Ta có quan hệ động học:
VA = s& ; ω =

VA s&
= ; VB = ω R = 2VA = 2 s&
r r

Ngoại lực: NA ,PA , PB , M

PB

a. Động năng của cơ hệ:

b. Công của ngoại lực:

1
1
1
T = TA + TB + TO = mAVA2 + mBVB2 J Oω 2
2
2
2
1
1
1
s&2
= 4m0 s&2 + m0 (2s&)2 + m0 (1.5r )2 2
2
r
2
2
41
2
= m0 s&
8

R=2r

Định lý động năng dạng đạo hàm

A(N A ) = −m A g cos(α ) scos(π / 2) = 0
A( PA ) = −m A g ( s sin α ) = −2 m0 gs
A( PB ) = mB g (2 s ) = 2 m0 gs
A(M) = M ϕ = 5mo gr ( s/ r ) = 5m0 gs

∑A

k

∑ dA

= 5m0 gs
93

NA

e
k

dt
 41 & 2 
d
m0s 
8
 = d ( 5 m 0 gs )
⇔ 
dt
dt
41
&&& = 5 m 0 gs&
m 0 ss

4
20
s=
g
⇒ &&
41
40
s=
g
⇒ W B = 2 &&
41

PA

e

dT
=
dt

PA

PB

d. Gia tốc của B:
Áp dụng PTVPCĐ của chất điểm
mBWB = mB g − TB
40
⇒ TB = mB ( g − g )
41
1
⇒ TB = m0 g
41

T
B

(+)
PB
94


VD – ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG
VD2: Trụ tròn lăn không trượt trên mặt nghiêng, các thông số
cho trên hình vẽ. Ban đầu hệ đứng yên, bỏ qua ma sát lăn.
Xác định:
a) Biểu thức động năng của cơ
hệ
b) Công của các ngoại lực khi
trụ lăn 1 đoạn s trên mặt
nghiêng
c) Gia tốc góc của trụ
d) Điều kiện để trụ lăn lên

VD – ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG

VD2:
Cơ hệ: trụ tròn O chuyển động song phẳng
Ta có quan hệ động học:
s = rϕ ;VO = s& = rϕ& = rω ;

Ngoại lực: P , N , Fms , M
a.Động năng của cơ hệ:

b .Công của ngoại lực:

1
1
T = m VO2 + J Oω 2
2
2
1
11

= m( rω )2 +  mr 2  ω 2
2
22

3
= m0rω 2
4

A( P ) = −mg ( s sin α ) = − m grϕ sin α
A( N ) = 0
A( Fms ) = 0
A(M) = M ϕ

∑A

e
k

= − m grϕ sin α + M ϕ

95

VD – ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG

VD – ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG
VD3 (VD 12.15 [1]): Một cơ cấu máy nghiền có mô hình như hình vẽ.

VD2:

Hai bánh nghiền A dạng hình trụ có bán kính quán tính đối với trục quay
qua tâm là ρ, khối lượng m, bán kính r lăn không trượt trên trụ tròn cố
định bán kính 4r. Tay quay AA có khối lượng m0=m/4 chịu tác dụng của
ngẫu M, bỏ qua mát ổ trục, xác định chuyển động của tay quay.

c. Gia tốc góc của trụ tròn:
Định lý động năng dạng đạo hàm
dT
=
dt

∑ dA

96

e
k

dt

3

d  mrω 2 
4
 = d ( − m grϕ sin α + M ϕ )
⇔ 
dt
dt
3
⇔ m r 2ωε = ( − m g r sin α + M )ω
2
2 M − m gr sin α
⇒ε =
mr2
3

A
M
O
A

ω

d.Điều kiện trụ lăn lên ε > 0 ⇒ M > mgr sin α
97

[1] Vũ Duy Cường, Giáo trình Cơ học lý thuyết, ĐHQG Tp. HCM, 2005

98


VD – ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG

VD – ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG
ωA

VD3:

A

Cơ hệ: hai bánh xe tâm A (cđ song phẳng)

A

VA
= 5ω
r

=

)

2

∑ dA

dT
=
dt

1
+ 4m0 ( 5rω
2

)

2

e
k

= Mϕ

O
A

Định lý động năng dạng đạo hàm





 625 2

r + 100ρ 2  m0ω 2
=
6



ω

e
k

dt
  625 2


d 
r + 100 ρ 2  m 0ω O2 
 6

 = d (M ϕ )
⇔ 
dt
dt
625


⇔
r 2 + 200 ρ 2  m 0ω ε = M ω
 3


1
1
1

J Oω 2 + 2  J AωA2 + mVA2 
2
2
2



1 1
1
m0 (10r )2 ω 2 + 2  4m0 ρ 2 ( 5ω
2 12
2

∑A

Gia tốc góc của tay quay AA:

ω

Động năng của cơ hệ:
T = TAA + 2TA =

M

Công của ngoại lực

O

Ta có quan hệ động học:
VA = ( R + r )ω = 5rω ; ω A =

A

Ngoại lực: M

M

Tay quay AA ( quay quanh trục cố định)

ωA

VD3:

⇒ε =

3M
m0 ( 625r 2 + 600ρ 2 )

99

VD – ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG

100

VD – ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG

VD4: Cho cơ cấu ròng rọc và đai nằm trong mặt phẳng nằm ngang

VD4:

như hình vẽ. Các ròng rọc được xem như các đĩa tròn đặc, đồng chất,
khối lượng phân bố đều. Ròng rọc 1 và 2 có khối lượng tương ứng là
m1 và m2. và bán kính tương ứng là r1 và r2. Tay quay OA có khối
lượng m, chiều dài l; thanh được xem là thanh mảnh đồng chất. Cơ
hệ được dẫn động bởi moment không đổi M.

- Ròng rọc O( cố định),

Xác định gia tốc góc của tay
quay OA. Bỏ qua khối lượng của
đai và giả sử đai mềm, không
giãn, không có hiện tượng trượt
đai.

A

(2)

ω2

-Tay quay OA ( quay quanh trục cố định)
- Ròng rọc A (cđ song phẳng, quay quanh 2 trục //)
Ta có quan hệ động học:

ω1r ω1 − ω r2
r −r
=
=
⇒ ω2 = 2 1 ω
ω2 r ω2 − ω r1
r2

Động năng của cơ hệ:

ω
M

ω2 r
A (2)

O
(1)

1
1
1
T = m2VA2 + J Aω22 + J Oω 2
2
2
2

M

2

1
11
 r − r  1  1

= m2 (lω )2 +  m2r22   2 1 ω  +  ml 2  ω 2
2
22
2
3
r
 2



1
1
2
6m2l 2 + 3m2 ( r2 − r1 ) + 2ml 2 ω 2 = J heω 2
=
12
2

O
(1)

(

101

)

102


VD – ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG

VD – BẢO TOÀN CƠ NĂNG

VD5 [*]: Một hệ thống chuyền tải gồm
2 trục là các trụ đặc tròn đồng chất có
trọng lượng Q, bán kính R quay quanh
các trục quay riêng cố định O1 và O2 và
băng tải là đoạn dây khép kín không
giãn, có khối lượng m. các gầu xúc có
trọng lượng P1 và P2. trục quay quay
O1 chịu tác dụng của ngẫu M=const.
Tìm vận tốc gầu xúc theo đoạn đường
di chuyển biết ban đầu hệ đứng yên.
Xác định công suất cần thiết để hệ
thống chuyển động với vận tốc v và gia
tốc a.

VD4:
ω2

Ngoại lực: M
Công của ngoại lực

∑A

e
k

= Mϕ

Gia tốc góc của tay quay OA:

ω
M

Định lý động năng dạng đạo hàm
dT
=
dt

∑ dA

ω2 r
A (2)

e

O

k

(1)

dt

1

d  J heω 02 
2
 = d (M ϕ )
⇔ 
dt
dt
⇔ J h eωε = M ω
⇒ε =

M
6M
=
2
J h e 6 m 2 l + 3m 2 ( r2 − r1 ) 2 + 2 m l 2
103

Tbang =

r
P1
O1

M

10
4

VD4:

O2

- 2 trục quay (quay quanh trục cố định),

* Động năng của băng tải:
Động năng của cơ hệ:

A

VD – ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG

VD5:
r
P2

S

- Băng tải
Ta có quan hệ động học: VA = VB = v = s& = ω R

B

r
P2

[*] Đỗ Sanh , Cơ Học , NXB Giáo dục

VD – ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG

-2 gầu xúc A và B (tịnh tiến)

O2

1
1
1
∑ mkVk2 = 2 ( ∑ mk ) v 2 = 2 mv 2
2

B

A

r
P1

O2

Ngoại lực: M;P1;P2
Công của ngoại lực

∑A

e
k

= ( P2 − P1 ) s + M ϕ
= ( P2 − P + M / R ) s

Vận tốc của gầu xúc:

Dạng định lý động năng dạng hữa hạn

O1 M

r
P2

B

A

r
P1

O1 M

∆T = T1 − T0 = ∑ Ak + ∑ Ak
i

T = TO1 + TO2 + TA + TB + +Tbang

e


1  Q + P1 + P2
⇔ 
+ m  v 2 = ( P2 − P1 + M / R) s
2
g


1 Q 2 2 1 Q 2 2 P1 2 P2 2 1 2
=
Rω +
R ω + VA + VB + mv
2 2g
2 2g
2g
2g
2

⇒ v = 2g


1  Q + P1 + P2
= 
+ m  v2
g
2

105

( P2 − P1 ) R + M
s
R(Q + P2 + P1 + mg )
106


VD – ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG

VD4:

O2

Công suất cần thiết:
Dạng định lý động năng dạng đạo hàm
dT
=
dt

∑ dA

e
k

dt

r
P2

B

A

r
P1

r
= ∑ P ( Fke )

 1  Q + P1 + P2
 
d 
+ m  v2 
g
2
  d [ ( P2 − P1 + M / R ) s ]
⇔ 
=
dt
dt
 Q + P1 + P2

+ m  va = M ω + ( P2 − P1 ) v
⇔
g



O1 M

VD – BẢO TOÀN CƠ NĂNG
VD6 (VD 12.16 [1]): Tải A được thả không vận tốc đầu từ độ
cao h xuống dầm đàn hồi có độ cứng k. Giả thiết va chạm là
mềm. Xác định độ võng tối đa fd của dầm, biết độ võng tĩnh
của dầm là ft
.
ft

ft
fd

  Q + P1 + P2


⇒ Mω =  
+ m  a − ( P2 − P1 )  v
g



107

VD – BẢO TOÀN CƠ NĂNG

VD7: Cho thanh thẳng, mảnh đồng chất, khối lượng phân bố
đều. Thanh có khối lượng m, chiều dài 2l. Ban đầu thanh tựa
trên mặt sàn nằm ngang nhẵn và hợp với phương thẳng đứng
một góc φ0. Thả cho thanh rơi xuống không vận tốc đầu. Xác
định biểu thức tính thời gian để thanh nằm trên sàn (kể từ lúc
ban đầu thả thanh).

Chọn gốc thế năng tại vị trí dầm nằm ngang
Cơ năng tại vị trí cao nhất của tải A

E0 = T0 + Π 0 = 0 + mgh
Cơ năng tại vị trí thấp nhất của tải A
ft

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng

E0 = E1 ⇔

ft
fd

mg 2
f d − mgf d = mgh
2 ft

φ0

⇒ f d2 − 2 f d f t − 2 f t h = 0
⇒ f d = ft +

108

VD – BẢO TOÀN CƠ NĂNG

VD6.

1
 1 mg 2
E1 = T1 + Π1 = 0 +  kf d2 − mgf d  =
f d − mgf d
2
 2 ft

[1] Vũ Duy Cường, Giáo trình Cơ học lý thuyết, ĐHQG Tp. HCM, 2005

A

2

ft + 2 ft h

[1] Vũ Duy Cường, Giáo trình Cơ học lý thuyết, ĐHQG Tp. HCM, 2005

109

110


VD – BẢO TOÀN CƠ NĂNG

VD8: Cho cơ hệ gồm vật có trọng lượng P1 đặt trên mặt phẳng

nghiêng của lăng trụ có trọng lượng P2. Góc nghiêng của mặt lăng
trụ với mặt ngang là α. Ban đầu vật cơ hệ đứng yên. Sau đó, vật P1
trượt xuống mặt nghiêng với vận tốc đầu bằng 0.
Xác định:
a) Vận tốc của vật P1 so với vật P2;
b) Vận tốc của lăng trụ P2 khi vật
P1 trượt được 1 đoạn d trên mặt
lăng trụ.

m1
V
α

m2

F. Beer, E. R. Johnston Jr., D. Mazurek, Vector of Mechanics for Engineers, Statics & Dynamics, McGraw-Hill, 2013

111



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×