Tải bản đầy đủ

Biến đổi Laplace ngược ĐH BK

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC
BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ

TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

TP. HCM — 2016.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

TP. HCM — 2016.

1 / 21


NỘI DUNG

1


PHÉP BIẾN ĐỔI L APLACE NGƯỢC

2

TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI L APLACE NGƯỢC

3

BÀI TẬP

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

TP. HCM — 2016.

2 / 21


Phép biến đổi Laplace ngược

Định nghĩa

ĐỊNH NGHĨA 1.1
Nếu phép biến đổi Laplace L{f (t)} = F(s) thì
f (t) được gọi là biến đổi Laplace ngược của
F(s) và ta viết f (t) = L−1 {F(s)}
VÍ DỤ 1.1
Ta có L{e−3t } =

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

1
1
nên L−1
= e−3t .
s+3
s+3


PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

TP. HCM — 2016.

3 / 21


Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược

Tuyến tính

ĐỊNH LÝ 2.1
Nếu f1(t) và f2(t) lần lượt là biến đổi Laplace
ngược của F1(s) và F2(s), còn c1, c2 là hằng số
bất kỳ thì
L−1{c1F1(s) + c2F2(s)} = c1f1(t) + c2f2(t)

(1)

VÍ DỤ 2.1
Tính L−1

4
3s
5
− 2
+ 2
.
s − 2 s + 16 s + 4

Đáp số. 4e2t − 3 cos 4t + 5/2 · sin 2t
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

TP. HCM — 2016.

4 / 21


Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược

Tính chất dời thứ nhất (dời theo s)

ĐỊNH LÝ 2.2
Nếu L{f (t)} = F(s) thì
L−1{F(s + a)} = e−at f (t)

(2)

L−1{F(s)} = e−at L−1{F(s − a)}.

(3)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

TP. HCM — 2016.

5 / 21


Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược

Tính chất dời thứ nhất (dời theo s)

VÍ DỤ 2.2
Tính
1

2

1
.
s2 − 2s + 5
1
Đáp số. et sin 2t.
2
6s − 4
.
L−1 2
s − 4s + 20
Đáp số. e2t (6 cos 4t + 2 sin 4t)

L−1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

TP. HCM — 2016.

6 / 21


Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược

Tính chất dời thứ nhất (dời theo t)

ĐỊNH LÝ 2.3
Nếu L{f (t)} = F(s) thì
L−1{e−as F(s)} = f (t − a)u(t − a).

(4)

VÍ DỤ 2.3
1

2

π
e−πs/3
π
Đáp
số.
sin(t

)u(t

).
Tìm L
.
3
3
s2 + 1
−s
−2s
)
−1 2(e − e
Tìm L
. Đáp số. 2[e−(t−1) −
(s + 1)(s + 2)
−2(t−1)
e
]u(t − 1) − 2[e−(t−2) − e−2(t−2) ]u(t − 2).
−1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

TP. HCM — 2016.

7 / 21


Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược

Tính chất đổi thang đo

ĐỊNH LÝ 2.4
Nếu L{f (t)} = F(s) thì
1
a

L−1{F(as)} = · f

t
, (a > 0)
a

(5)

VÍ DỤ 2.4
2s
4s2 + 16
1
Đáp số. cos 2t
2

Tìm L−1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

TP. HCM — 2016.

8 / 21


Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược

Biến đổi Laplace ngược của đạo hàm

ĐỊNH LÝ 2.5
Nếu L{f (t)} = F(s) thì
L−1{F (n)(s)} = (−1)nt nL−1{F(s)}

(6)

hay
−1

L {F(s)} =

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

L−1{F (n)(s)}

(7)

(−1)n t n

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

TP. HCM — 2016.

9 / 21


Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược

Biến đổi Laplace ngược của đạo hàm

VÍ DỤ 2.5
2 sinh t
s+1
. Đáp số.
t
s−1
1
2[u(t) − cos t]
ln 1 + 2 . Đáp số.
s
t

1

L−1 ln

2

L−1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

TP. HCM — 2016.

10 / 21


Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược

Biến đổi Laplace ngược của tích phân

ĐỊNH LÝ 2.6
Nếu L{f (t)} = F(s) thì
L−1







F(x)dx




=



s

f (t)
t

(8)

hay
−1

L {F(s)} = t L
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)



−1

F(x)dx .

(9)

s

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

TP. HCM — 2016.

11 / 21


Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược

Biến đổi Laplace ngược của tích phân

VÍ DỤ 2.6
Tìm L−1

1
s
Đáp
số.
t sinh t
.
2
(s2 − 1)2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

TP. HCM — 2016.

12 / 21


Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược

Nhân cho sn

ĐỊNH LÝ 2.7
Nếu F(0) = 0 và L{f (t)} = F(s) thì
L−1{sF(s)} = f (t) =

d −1
L {F(s)}
dt

(10)

hay
L−1{G(s)} =

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

d −1 G(s)
L
dt
s

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

(11)

TP. HCM — 2016.

13 / 21


Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược

Nhân cho sn

ĐỊNH LÝ 2.8
Nếu f (0) = f (0) = . . . = f (n−1)(0) thì
−1

n

L {s F(s)} = f

(n)

dn −1
(t) = n L {F(s)}
dt

(12)

hay
dn −1 G(s)
L {G(s)} = n L
dt
sn
−1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

(13)

TP. HCM — 2016.

14 / 21


Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược

Nhân cho sn

VÍ DỤ 2.7
Tìm L−1

s
. Đáp số. cos 2t.
s2 + 4

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

TP. HCM — 2016.

15 / 21


Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược

Chia cho sn

ĐỊNH LÝ 2.9
Nếu L{f (t)} = F(s) thì
L−1

F(s)
=
s

t

f (x)dx

(14)

L−1{sG(s)}dx

(15)

0

hay
t

−1

L {G(s)} =
0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

TP. HCM — 2016.

16 / 21


Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược

Chia cho sn

VÍ DỤ 2.8
1

Tìm L−1

2

Tìm L−1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

1 − cos 2t
1
Đáp
số.
.
.
4
s(s2 + 4)
t2
1
. Đáp số. + cos t − 1.
2
s3 (s2 + 1)

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

TP. HCM — 2016.

17 / 21


Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược

Tích chập

ĐỊNH LÝ 2.10
Nếu L−1{F(s)} = f (t) và L−1{G(s)} = g(t) thì
t

−1

f (x)g(t − x)dx

L {F(s)G(s)} =

(16)

0

VÍ DỤ 2.9
Tìm L−1

1
. Đáp số. e2t − et .
(s − 1)(s − 2)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

TP. HCM — 2016.

18 / 21


Bài tập

GHW #6

BÀI TẬP 3.1
Tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm sau

1

2

3

3s − 12
s2 + 8
2s − 5
s2 − 9
1
s5

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

4

5

s
(s + 1)5
3s + 2
4s2 + 12s + 9

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

TP. HCM — 2016.

19 / 21


Bài tập

GHW #6

BÀI TẬP 3.2
Tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm sau

1

2

3

e−2s
s2
s+2
ln
s+1
1
s(s + 1)3

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

4

5

1
(s − 1)5 (s + 2)
1
(s + 1)(s2 + 1)

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

TP. HCM — 2016.

20 / 21


Bài tập

CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý THEO DÕI

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

TP. HCM — 2016.

21 / 21



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×