Tải bản đầy đủ

chuyen de ve dau gia tri tuyet doi

Chuyên đề về các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối

Mục lục

Nội dung
Phần thứ nhất: Mở đầu
I. Lí do chọn đề tài.
II. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài.
III. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu.
IV. Thời gian nghiên cứu.
V. Dự kiến kết quả của đề tài.
Phần thứ hai: Nội dung
Chơng I: Giá trị tuyệt đối
I. Giá trị tuyệt đối.
II. Phơng pháp biến đổi các biểu thức có chứa giá trị tuyệt đối.
Chơng II: Phơng trình bậc nhất có chứa dấu giá trị tuyệt đối
A. Phơng trình bậc nhất dạng A = B .
B. Phơng trình bậc nhất dạng A = B .
C. Phơng trình bậc nhất dạng A + B = C .
D. Phơng trình quy về phơng trình bậc nhất.
E. Hệ phơng trình bậc nhất.

G. Hệ phơng trình có chứa tham số.
Chơng III: Bất phơng trình bậc nhất có chứa giá trị tuyệt đối
A. Bất phơng trình dạng A < B (tơng tự với A > B ).
B. Bất phơng trình dạng A + B < C .
C. Bất phơng trình có chứa mẫu thức.
D. Bất phơng trình có dạng tham số.
Chơng IV: Phơng trình bậc hai có chứa dấu giá trị tuyệt đối
A. Phơng trình dạng ax2 + bx + c + A = 0.
B. Phơng trình dạng ax2 + bx + c + A + B = 0.

Trang

C. Phơng trình có dạng ax 2 + bx + c + mx 2 + nx + p = 0
Chơng V: Một số bất phơng trình bậc hai có chứa giá trị tuyệt đối.
Chơng VI: Hàm số bậc nhất.
Chơng VII: Một số bài toán cực trị có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Phần thứ ba: Kết luận
Tài liệu tham khảo

2
2
2
3
3
3
3
3
4
5
10
10
15
16
18
21
24
28
28
30
31

31
34
34
36
34
37
40
45
50
56

A mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay sự phát triển của tất cả các nghành khoa học cơ bản cũng nh ứng
dụng vào tất cả các nghành công nghiệp then chốt nh : dầu khí , viễn thông ,
hàng không , đều không thể thiếu toán học. Sự ra đời và phát triển mạnh mẽ
Đinh Văn Đạt

1

Trờng THCS Cẩm Ninh


Chuyên đề về các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối

của công nghệ thông tin đã dẫn đến sự bùng nổ các ứng dụng của toán học, đa
lại hiệu quả to lớn cho đời sống xã hội .
Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí . Toán
học không chỉ cung cấp cho học sinh ( ngời học toán) những kĩ năng tính toán
cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khẳ năng t duy lôgic , một phơng pháp luận khoa học.
Trong việc dạy học toán thì việc tìm ra những phơng pháp dạy học và giải
bài tập toán đòi hỏi ngời giáo viên phải chọn lọc , hệ thống bài tập , sử dụng
đúng phơng pháp dạy học để góp phần hình thành và phát triển t duy của học
sinh . Đồng thời qua việc học toán học sinh cần đợc bồi dỡng , rèn luyện về
phẩm chất đạo đức, các thao tác t duy để giải các bài tập toán trong đó có các
bài tập về bất đẳng thức cũng là một trong những bài toán hay giúp học sinh
phát huy cao độ tính t duy , trí tuệ cho học sinh.
Tuy nhiên giải toán bất đẳng thức là bài toán khó vì phạm vi kiến tức rộng
đặc biệt là với học sinh THCS . Là giáo viên dạy ở THCS tôi thấy thực trạng
khi dạy toán bất đẳng thức đó là:
- Giáo viên khi dạy về bất đẳng thức chỉ chữa bài tập là xong , ít khai
thác , phân tích đề tài mở rộng bài toán mới dẫn đến khi học sinh gặp bài toán
khác một chút là không giải đợc.
- Học sinh thờng ngại học toán bất đẳng thức vì kiến thức không liền
mạch, phơng pháp giải hạn chế , các bài toán bất đẳng thức thờng khó , phải áp
dụng các kiến thức khó nh: quy nạp toán học, phản chứng nên học sinh hay
ngại và học sinh cha vận dụng đợc toán bất đẳng thức vào để giải các bài toán
khó nh : cực trị , hàm số ...
Vì vậy: phát triển năng lực t duy cho học sinh thông qua việc giải toán bất
đẳng thức là cần thiết. Trong những năm giảng dạy thực tế ở trờng phổ thông
tôi đã tích luỹ đợc một số kiến thức về toán bất đẳng thức xin đợc trình bày dới
góc độ nhỏ.
2) Mục đích nghiên cứu.
a. Đối với giáo viên :
- Nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ cho quá trình giảng dạy

Đinh Văn Đạt

2

Trờng THCS Cẩm Ninh


Chuyên đề về các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối

- Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức
b.Đối với học sinh:
- Giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải bài tập về chứng
minh bất đẳng thức nói riêng.Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới
nhằm nâng cao năng lực học môn toán giúp các em tiếp thu bài một cách
chủ động, sáng tạo và làm công cụ giải quyết một số bài tập có liên quan
đến bất đẳng thức.
- Gây đợc hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sách tham
khảo, giúp học sinh tự giải đợc một số bài tập.
- Giải đáp những thắc mắc , sửa chữa những sai lầm hay gặp khi giải toán
bất đẳng thức trong quá trình dạy học.
- Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phơng pháp cơ bản
và vận dụng thành thạo các phơng pháp đó để giải bài tập .
- Thông qua việc giải các bài toán bất đẳng thức giúp học sinh thấy rõ
mục đích của việc học toán và học tốt hơn toán bất đăng thức
3) Phơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý thuyết thông qua SGK , tài liệu tham khảo của học sinh
tại trờng.
- Nghiên cứu qua việc rút kinh nghiệm , học hỏi đồng nghiệp .
- Sử dụng phơng pháp phân tích tổng hợp.
4) Nhiệm vụ của đề tài.
Trong đề tài này đa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức phù hợp
với trình độ nhận thức của học sinh THCS.
Trang bị cho học sinh một số phơng pháp giải toán bất đẳng thức , áp dụng
để làm bài tập .
Rút ra một số nhận xét và chú ý khi làm từng phơng pháp .
Chọn lọc , hệ thống một số dạng bài tập hay gặp cho phù hợp với từng ph ơng pháp giải , cách đổi biến.
Vận dụng giải toán bất đẳng thức vào giải toán cc trị, giải một số phơng
trình dạng đặc biệt .
Đinh Văn Đạt

3

Trờng THCS Cẩm Ninh


Chuyên đề về các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối

5)Phạm vi đề tài
Phát triển năng lực t duy của học sinh thông qua giải toán bất đẳng thức đối
với học sinh lớp 8 và lớp 9.
6) Đối tợng nghiên cứu và phơng pháp tiến hành
Đề tài áp dụng cho học sinh lớp 8, lớp 9 và trong các giờ luyện tập , ôn
tập cuối kì , cuối năm, kì thi học sinh giỏi và thi tuyển vào THPT .
Phơng pháp tiến hành : học sinh có kiến thức cơ bản , đa ra phơng pháp
giải , bài tập áp dụng, sai lầm hay gặp , bài tập t giải ( Học sinh về nhà tự làm )
7) Dụ kiến kết quả của đề tài
Khi cha thực hiện đề tài này : học sinh chỉ giải đợc những bài toán đơn
giản , hay mắc sai lầm ,hay gặp khó khăn , ngại làm bài tập về bất đẳng thức.
Nếu thực hiện đợc đề tài này thì học sinh có hứng thú khi giải toán bất
đẳng thức , làm bài tập tốt hơn, tự giải quyết đợc các bài tập bất đẳng thức có
dạng tơng tự , hạn chế đợc rất nhiều sai lầm khi giải toán bất đẳng thức.

II. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài:
Đề tài nêu một số dạng bài tập có chứa dấu giá trị tuyệt đối, cơ sở lí
luận và phơng pháp giải các bài tập nêu trên. Giúp học sinh dễ hiểu, dễ
nhớ. Từ đó các em có thể vận dụng linh hoạt kiến thức vào việc giải các
bài tập thực tế.
III. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu:
1. Đối tợng nghiên cứu
Phơng pháp giải một số bài tập có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
2. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu tình hình giải các bài tập có chứa dấu giá trị tuyệt đối của
học sinh lớp 9 trờng THCS Cẩm Ninh Ân Thi Hng Yên.
IV. Phơng pháp nghiên cứu:
- Đọc tài liệu tham khảo liên quan đến việc giải bài toán có chứa dấu giá
trị tuyệt đối;
- Trắc nghiệm khách quan, trao đổi ý kiến;
- Kiểm tra thực tế;
- Thống kê, tổng hợp.
V. Thời gian nghiên cứu:
- Từ tháng 11 năm 2007 đến tháng 1 năm 2008, nghiên cứu tài liệu có liên
quan đến đề tài, thu thập số liệu đánh giá thực tế việc giải toán có chứa
Đinh Văn Đạt

4

Trờng THCS Cẩm Ninh


Chuyên đề về các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối

dấu giá trị tuyệt đối của học sinh, tìm hiểu nguyên nhân sai lầm và những
khó khăn của học sinh khi giải các bài toán dạng này.
VI. Dự kiến kết quả của đề tài:
Khi cha thực hiện đợc đề tài này, học sinh chỉ giải đợc một số bài tập
có chứa dấu giá trị tuyệt đối đơn giản, hay mắc sai lầm, hay gặp khó khăn
về định hớng giải cha đúng, lúng túng và hay bối rối khi lựa chọn cách
trình bày lời giải.
Nếu thực hiện đợc đề tài này sẽ gây đợc hứng thú học tập, giúp học
sinh học tập tích cực hơn, đạt đợc kết quả cao hơn trong học tập, tự giải
quyết đợc các bài tập có chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng tơng tự. Hạn chế
và khắc phục đợc rất nhiều các sai lầm khi học sinh giải các bài toán có
chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Phần thứ hai: Nội dung
Chơng I: Giá trị tuyệt đối
I. Giá trị tuyệt đối
1/ Định nghĩa:
Giá trị tuyệt đối của một số thực x là một số thực không âm, kí hiệu x đợc xác định nh sau:
x nếu x 0
x =
x nếu x < 0

Nhận xét:
- Giá trị tuyệt đối của một số thực x, thực chất là một ánh xạ:
f : R R+
x nếu x 0
xR y = x =
x nếu x < 0

- Với mọi số thực x ta luôn biểu diễn x thành tổng của số thực không âm
và số thực dơng, tức là:
x+ x x x
x+ x
x x
, trong đó
0;
0
x=
+
2
2
2
2
Với A(x) là một biểu thức tuỳ ý ta cũng có:
A(x) nếu A(x) 0
A(x) =
A(x) nếu A(x) < 0

- Với mọi x R, f(x), g(x) là biểu thức tuỳ ý, ta có:
Đinh Văn Đạt

5

Trờng THCS Cẩm Ninh


Chuyên đề về các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối

1
[ f(x) + g(x) + f(x) g(x) ]
2
1
min ( f(x); g(x)) = [ f(x) + g(x) f(x) g(x) ]
2
max( f(x); g(x)) =

2/ Hệ quả:

a) x 0 với mọi x R ; x = 0 x = 0 .
b) - x = x .
c) x x x .
d) x > 0 x hoặc x - .
e) x ( > 0) - x .
f) x.y = x . y .
g)

x x
= .
y y

h) x 2 = x 2 .
i) x 2 = x .
3/ Tính chất cơ bản về giá trị tuyệt đối
a) Định lí 1: Nếu x, y là hai số thực thì:
x+y x + y
x + y = x + y x.y 0.

Chứng minh:
Ta có:

(x + y)

2

2

= x + 2. x . y + y

2

= x 2 + 2. x.y + y 2 x 2 + 2xy + y 2 = ( x + y )

2

Vậy x + y x + y dấu = xảy ra khi và chỉ khi x.y = 0.
b) Định lí 2:
Nếu x, y là hai số thực thì: x y x y x + y .
Chứng minh:
Ta có x = ( x y ) + y x y + y (Theo định lí 1)
x y xy

Vả lại x y = y x y x nên x y x y
Đinh Văn Đạt

6

Trờng THCS Cẩm Ninh


Chuyên đề về các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối

xy x y xy x y +xy

(1)

Ta lại có: x y = x + (- y) x + y = x + y

(2)

Từ (1) và (2) ta có x y x y x + y .
II. Phơng pháp biến đổi các biểu thức có chứa giá
trị tuyệt đối
1. Mục đích biến đổi
Biến đổi các biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối nhằm thay đổi
chúng bằng các biểu thức tơng đơng không còn chứa dấu giá trị tuyệt đối,
nói cách khác là nhằm loại trừ các dấu giá trị tuyệt đối khỏi các biểu thức
để có thể tiến hành các phép tính đại số quen biết. Thông thờng ta sẽ đợc
các biểu thức khác nhau (không chứa dấu giá trị tuyệt đối) trong những
khoảng giá trị khác nhau của biến.
2. Phơng pháp biến đổi
Muốn biến đổi các biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối nhằm loại
bỏ các dấu giá trị tuyệt đối thì phải nhất thiết căn cứ vào:
Định nghĩa của giá trị tuyệt đối và hệ quả đã nêu ở trên;
Quy tắc về dấu của các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc hai nh
sau:
Nhị thức ax + b (a 0) cùng dấu với a khi x >
x<





b
,
a

b
.
a

Thật vậy, gọi x0 là nghiệm của nhị thức ax + b thì x0 =
Xét

và trái dấu với a khi



ax + b
b
= x + = x x0
a
a

b
a

ax + b
> 0 ax + b cùng dấu với a.
a
ax + b
- Nếu x < x0 thì x x0 < 0
< 0 ax + b trái dấu với a.
a

- Nếu x > x0 thì x x0 > 0

* Tam thức bậc hai ax2 + bx + c (a 0) trái dấu với a trong khoảng giữa
hai nghiệm (nếu có) cùng dấu với a trong mọi trờng hợp khác.
3. Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho x, y là hai số thoả mãn x.y 0, tính giá trị của biểu thức:



x y
x y
B = xy + + x + xy y
2 2
2 2



Đinh Văn Đạt

7

Trờng THCS Cẩm Ninh


Chuyên đề về các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối

Giải:
Biến đổi B ta có

x y
x y
B = xy + + + xy ( x + y )
2 2
2 2


x y
x y
Đặt B1 = xy + + + xy 0
2 2
2 2


Từ đó tính B12 ta đợc:
B1

2

x2 y2
xy
= xy +
+
+ x xy + y xy +
+ xy x xy y xy
4
4
2
xy x 2 y 2
x+y

+
+
+ 2xy 2

2
4
4
2
= x 2 + 2xy + y 2
= ( x + y)

2
2

2

2
x + y
x + y
Vì x + y xy nên 2xy 2
= 2
2xy
2
2




2



Suy ra: B1 = x + y .
Vậy B = x + y ( x + y )
Mặt khác do xy 0 nên x, y cùng dấu, suy ra x + y = x + y
Do đó B = 0.
Bài 2: Rút gọn biểu thức sau
A=

x 1 + x 2 4x + 4
2x 3

Giải:
TXĐ: x
Ta có A =

3
2
x 1 + x 2 4x + 4
2x 3

=

x 1 + x 2
2x 3

1 x + 2 x 3 2x
=
= 1 .
2x 3
2x 3
3
x -1 + 2 x
1
+> Nếu 1 < x < 2 và x ta có: A =
.
=
2x 3
2x 3
2
x - 1 + x - 2 2x - 3
=
= 1.
+> Nếu x 2 ta có: A =
2x 3
2x 3

+> Nếu x 1 ta có: A =

Tóm lại:

Đinh Văn Đạt

8

Trờng THCS Cẩm Ninh

2


Chuyên đề về các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối

1
1

A=
2x 3
1

nếu x 1
nếu 1 < x < 2
nếu x 2

Bài 3: Rút gọn
B=

x 1 + x 3

2( x 1 x 3 )

Giải:
Đặt x 1 = a ; x 3 = b ;



x 1 x 3

2( x 1 + x 3 )

(a 0, b 0) ,

+

2( x 3)

2

( x 1) 2 ( x 3) 2

ta có:

a+b
ab
2a 2
B =

+
2( a b ) 2( a + b ) a 2 b 2
2
2
(
a + b ) ( a b ) + 4a 2
=

(

2 a 2 b2

)

4ab + 4b 2
=
2 a 2 b2
4b( a + b )
=
2( a + b )( a b )
2b
=
ab

(

Do đó B =

)

2x 3
x 1 x 3

Lập bảng biến đổi ta có:
x
x 3
x 1

Tử thức
Mẫu thức

-
3-x
1-x
2(3 - x)
-2

1
3x
x-1
2(3 - x)
2(x - 2)

0
-2

3
0
0
2

+
x-3
x-1
2(x - 3)
2

3 x
tại hai đầu mút của đoạn [1, 3]
x2
đúng bằng - 2 và 0, ta đi đến kết luận:

Kiểm tra lại giá trị của biểu thức

Đinh Văn Đạt

9

Trờng THCS Cẩm Ninh


Chuyên đề về các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối

3 - x
Với 1 x 3 và x 2

B = x - 2
x - 3 Với x R \ [1, 3]

Bài 4:
Cho a, b, c là các số dơng. Rút gọn biểu thức:
Giải:

C = a + b + c + 2 ac + bc + a + b + c 2 ac + bc

Với a, b, c > 0 ta có:
C = a + b + c + 2 ac + bc + a + b + c 2 ac + bc
=

(

=

a+b + c +

a+b c

= a+b + c+

a+b c

a+b + c

)

2

(

+

a+b c

)

2

Vi

a+b + c >0

+> Nếu a + b c thì C = a + b + c + a + b c = 2 a + b .
+> Nếu a + b < c thì C = a + b + c a + b + c = 2 c .
Tóm lại:
2 a + b
C =
2 c

nếu a + b c
nếu a + b < c.

4. Bài tập luyện tập:
Bài 1: Rút gọn biểu thức
1/ A = 4a 2 20a + 25 + 2a 17 với a < 3 ;
2/ B = x 2 16x + 64 2 x 2 8x + 16 + x 2 ;
3/ C =
4/ D =

3 2x x
2x + 3 + x 2
xx2

x 2 5x + 6
5/ E = x + x 1 .

Đinh Văn Đạt

;

;

10

Trờng THCS Cẩm Ninh


Chuyên đề về các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bài 2: Cho A(x) = 2x 2 2x 1 + 2x + 8 6 2x 1
a) Tìm đoạn [a, b] sao cho A(x) có giá trị không đổi trên đoạn đó.
b) Tìm x sao cho A(x) > 4.
Bài 3: Rút gọn biểu thức
a) A =

1
với x =
2

2b x 2 1
x x2 1

a
a
+
b
b

2

b) B =

c) C =

1 1

2b
+ a 1
4 a

2

1 1
1

+ a 1

4 a
2

yx
xy

+


1
a
a


với 0 < a < 1;

y+x 2 yx y+x 2
+
+
+
xy
z
xy
xy
z

x 2 25
x 2 25
Với x > 5; y =
; z=
.
10x + 25
15x + 25
x+
x+
x
x5

Đinh Văn Đạt

11

Trờng THCS Cẩm Ninh


Chuyên đề về các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối

Chơng II: Phơng trình bậc nhất có chứa dấu giá trị
tuyệt đối
A. Phơng trình bậc nhất dạng A = B
1. Phơng pháp giải:
Để giải phơng trình bậc nhất tuỳ ý có chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta tìm
cách biến đổi nó thành một phơng trình tơng đơng không còn chứa dấu giá
trị tuyệt đối.
Đối với phơng trình bậc nhất dạng A = B trong đó A, B là các nhị
thức bậc nhất thì ta tiến hành giải theo cách sau:
a/ Nếu B < 0 thì kết luận phơng trình vô nghiệm.
b/ Nếu B 0 thì đa về phơng trình A = B hoặc A = - B.
c/ Nếu cha biết rõ dấu của B thì biến đổi nh sau:
B 0
A =B
A = B hoặc A = - B.

2. Một số bài tập ví dụ:
Bài 1: Giải các phơng trình sau
1) 3x 1 + 2 = 3x + 4;
2)

x 3 = x + 1;

3) x 2005 = x 2005.

Giải:
1)

3x 1 + 2 = 3x + 4
3x 1 = 3x + 2
3x + 2 0

3x - 1 = 3x + 2

3x + 2 0

3x 1 = 3x 2

Đinh Văn Đạt

12

Trờng THCS Cẩm Ninh


Chuyên đề về các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối


2
x 3

1 = 2

x 2

3
6x = 1

1
x= .
6

Vô lý

1
6

Vậy phơng trình có nghiệm là x = .
2) x 3 = x + 1

* Nếu x 0, phơng trình đã cho tơng đơng với
x 3 = x +1
Với x 0 rõ ràng x + 1 > 0, khi đó ta có:

x 3 = x +1
x - 3 = x + 1 hoặc x - 3 = - x - 1
x 0

hoặc
x - 3 = x + 1
x 0
vô lý

3 = 1


x 0

2x = 2

x 0

x 3 = x 1

x =1

* Nếu x < 0, phơng trình đã cho tơng đơng với:

Đinh Văn Đạt

13

Trờng THCS Cẩm Ninh


Chuyên đề về các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối

-x3 = x+1
x+ 3 = x+1
- 1 x < 0

x + 3 = x + 1

- 1 x < 0

x + 3 = x 1
- x 3 = x +1
x + 3 = x +1
- 1 x < 0

x + 3 = x + 1

- 1 x < 0

x + 3 = x 1
1 x < 0
(Vô lý)

2
=
0


- 1 x < 0

2x = 4
x = 2 (Không thoả mãn).
Vậy phơng trình đã cho có tập nghiệm là: S = { 1 }.
3) Ta có A A với mọi A
Dấu " =" xả y ra khi và chỉ khi A 0.

Do đó x 2005 = x 2005 x - 2005 0 x 2005.
Bài 2: Giải và biện luận phơng trình sau theo tham số m:
x 1 = 3x + 2m (1).
Giải: Ta có

Đinh Văn Đạt

14

Trờng THCS Cẩm Ninh


Chuyên đề về các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối


2m
x



3

3x + 2m 0
x = 2m 1


2
x 1 = 3x + 2m
(1)

3x + 2m 0
x 2m


3
x 1 = 3x 2m

x = 1 2m

4

Rõ ràng, để phơng trình có nghiệm thì ta phải có:

2m + 1
2m
1 2m
2m

hoặc

2
3
4
3
2m + 1
2m
3
a) Nếu

6m + 3 4m m
2
3
2
1 2m
2m
3
b) Nếu

3 6m 8m 2m 3 m .
4
3
2


Tóm lại:

3
2m + 1
.
Nếu m , thì phơng trình có nghiệm x =
2
2
3
1 - 2m
.
Nếu m > , thì phơng trình có nghiệm x =
2
2
Bài 3: Giải theo m phơng trình m x 3 = 4 m (2).

Giải:
* Nếu m > 0 phơng trình (2) có dạng:
mx 3 = 4 m
0 < m 4
0 < m < 4

hoặc
mx - 3 = 4 - m
mx 3 = m 4
0 < m 4
0 < m < 4



7 - m hoặc
m -1
x=
x=



m

m

* Nếu m < 0 phơng trình (2) có dạng:
- mx 3 = 4 m
mx + 3 = 4 m
Đinh Văn Đạt

15

Trờng THCS Cẩm Ninh


Chuyên đề về các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối

Rõ ràng với m < 0 thì 4 - m > 0 nên ta có:
m < 0
m < 0

hoặc

mx + 3 = 4 m
mx + 3 = m 4
m < 0


1 m
x = m
Tóm lại:

m < 0


m7
x = m

hoặc

1 m
m7
hoặc x =
m
m
7m
m 1
hoặc x =
- Nếu 0 < m 4 thì phơng trình có nghiệm là x =
m
m
- Nếu m = 0 hoặc m > 4 thì phơng trình vô nghiệm.

- Nếu m < 0 thì phơng trình có nghiệm là x =

B. Phơng trình bậc nhất dạng A = B
1. Phơng pháp giải:
Đối với phơng trình bậc nhất dạng A = B trong đó A, B là những nhị
thức bậc nhất đối với ẩn số. Muốn loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối thì phải biến
đổi phơng trình đẫ cho thành phơng trình tơng tơng sau đây:
A = B A = B hoặc A = B

2. Một số bài tập ví dụ:
Bài 1: Giải phơng trình 2x 2005 = 2005x 2 (1)
Giải:
Theo cách biến đổi trên ta có

2x 2005 = 2005x 2
2x 2005 = 2005x 2

2x 2005 = 2 2005x
2003x = 2003

2007x = 2007
x = 1

x = 1

Vậy phơng trình có hai nghiệm là x = 1 và x = - 1.
Đinh Văn Đạt

16

Trờng THCS Cẩm Ninh


Chuyên đề về các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bài 2: Giải phơng trinh 5x 1 2 = 4x 3 (2)
Giải:
Ta có:

5x 1 2 = 4x 3
5x 1 2 = 4x 3


5x

1

2
=
3

4x


5x 1 = 4x 1 (3)

5x 1 = 5 4x (4)


1
x



4
4x 1 0


x = 0
5x

1
=
4x

1

(3)

4x 1 0
x 1


4

5x 1 = 1 4x

1
x =
9


(Loại)

(Loại)


5
x


4

5 4x 0
2

x = 2
x
=

(4) 5x 1 = 5 4x
3
3


{ 5x 1 = 4x 5
x = 4
x 5


4

x = 4

Vậy phơng trình có nghiệm là x = 2 và x = - 4.
3

C. Phơng trình bậc nhất dạng A + B = C
1. Phơng pháp giải:
Đối với loại phơng tình bậc nhất dang A + B = C trong đó A, B, C là
những nhị thức bậc nhất thì nên dùng phơng pháp lập bảng để biến đổi.
2. Một số bài tập ví dụ:
Bài 1: Giải phơng trinh x 2 + x 3 = 4 (1) .
Giải:
Đinh Văn Đạt

17

Trờng THCS Cẩm Ninh


Chuyên đề về các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối

Ta lập bảng xét dấu f(x) = x 2 + x 3
x
-
2-x
x2

2
0

3

+

x-2

x 3

3-x

3-x

f(x)

5 - 2x

1

x-2
0

x-3
2x - 5

Theo bảng trên ta có:
1

- Nếu x < 2 phơng trình (1) 5 - 2x = x 2x = 1 x = thoả mãn x
2
< 2.
- Nếu 2 x 3 do 1 4 nên phơng trình vô nghiệm.
9
(thoả mãn x > 3)
2
1
9
Tóm lại: Phơng trình (1) có nghiệm là x = hoặc x = .
2
2

- Nếu x > 3 phơng trình (1) 2x = 9 x =

Bài 2: Giải phơng trình x 1 + x + 2 2 x 3 = 2005 (2) .
Giải:
Ta lập bảng xét dấu về trái của (2) ta đợc:
x
x 1

-2

-
1-x

1-x

1
0

3
x-1

x-1

x+2

x+2

x+2

x+2

-x-2

-2 x 3

2x - 6

2x - 6

2x - 6

VT

-7

2x - 3

4x - 5

0

+

0

- 2x - 6
7

Theo bảng trên ta có:
- Nếu x - 2, do - 7 2005 nên phơng trình (2) vô nghiệm.
- Nếu -2 < x < 1 phơng trình (2) 2x - 3 = 2005
2x = 2008
x = 1004 (không thoả mãn).
- Nếu 1 x < 3 phơng trình (2) 4x - 5 = 2005
4x = 2010

Đinh Văn Đạt

18

Trờng THCS Cẩm Ninh


Chuyên đề về các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối

x=

1005
(không thoả mãn).
2

- Nếu x 3, do 7 2005 nên phơng trình (2) vô nghiệm.
Tóm lại: Phơng trình (2) vô nghiệm.
Bài 3: Giải phơng trình: ( m 1)( x + x + 2 ) = 3m 4
Giải:
Ta xét 3 trờng hợp sau:

Nếu x < - 2 thì (m - 1)(- x - x - 2) = 3m - 4
(m - 1)(-2x - 2)= 3m - 4.
- Với m 1 thì


5m + 6
m 2
< 2 hay
<0
2m 2
m 1

(đúng với mọi m 2; m < 1 hoặc m > 2)
Nếu -2 x 0 thì (m - 1)(- x + x + 2) = 3x - 4.

Khi m 1 thì


x=

3m 4
=2,
m 1

nên m = 2 phơng tình vô số nghiệm.

Nếu x > 0 thì (m - 1)(2x + 2) = 3m - 4.

Khi m 1 thì x =

m 2
> 0 đúng với mọi x 2; m < 1 hoặc m > 2.
2m 2

D. Phơng trình quy về phơng trình bậc nhất
Bài 1: Giải phơng trình:
a) x x + 3 x 2 + x + 1 = 1
b) x 3 3 x + 2 = 0
Giải:
2

1 1 3
1 3
a) Ta có : x + x + 1 = x + 2.x. + + = x + + > 0
2 4 4
2 4
Do đó x 2 + x + 1 = x 2 + x + 1 .
Suy ra phơng trình:
x x + 3 x 2 + x +1 = 1
2

2

x x + 3 = x 2 + x +1 +1
x x + 3 = x 2 + x +1 +1
x x + 3 = x 2 + x + 2 (1)

Đinh Văn Đạt

19

Trờng THCS Cẩm Ninh


Chuyên đề về các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối



Nếu x - 3, phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình:
x(x + 3) = x2 + x + 2
x2 + 3x = x2 + x + 2
2x = 2
x = 1 (thoả mãn điều kiện đang xét)

Nếu x < - 3 thì phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình:
x(- x - 3) = x2 + x + 2
- x2 - 3x = x2 + x + 2
2x2 + 4x + 2 = 0
x2 + 2x + 1 = 0
(x + 1)2 = 0
x = - 1 (không thoả mãn điều kiện đang xét)
Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm là x = 1.
3
b) Đặt t = x với t 0, khi đó phơng trình x 3 x + 2 = 0 trở thành:
t3 - 3t + 2 = 0
t3 - t - 2t + 2 = 0
(t3 - t) - 2(t - 1) = 0
t(t2 - 1) - 2(t - 1) = 0
t(t - 1)(t + 1) - 2(t - 1) = 0
(t - 1)(t2 + t - 2) = 0
(t - 1)(t2 + 2t - t - 2) = 0
(t - 1)[(t(t + 2) - (t + 2)] = 0
(t - 1)2(t + 2) = 0
* Nếu (t - 1)2 = 0 t - 1 = 0 t = 1 (thoả mãn điều kiện t 0)
* Nếu t + 2 = 0 t = - 2 ( không thoả mãn điều kiện t > 0).
Với t = 1, ta có x = 1 x = 1.
Vậy phơng trình có tập nghiệm là: S = {- 1; 1}.
Bài 2: Giải phơng trình: x 3 + 100x 2 = x +100 (1)
Giải:
Cách 1:

Đinh Văn Đạt

20

Trờng THCS Cẩm Ninh


Chuyên đề về các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối

(1) x 2 ( x + 100 ) x + 100 = 0

(

)

( x + 100 ) x 2 1 = 0
x + 100 = 0
2
x 1 = 0
x = 100

.
x
=

1


Cách 2:

x 3 + 100x 2 = x + 100
(1) 3
2
x + 100x = x 100

x 2 ( x + 100 ) ( x + 100 ) = 0
2
x ( x + 100 ) + ( x + 100 ) = 0
x 2 1 ( x + 100 ) = 0
2
x + 1 ( x + 100 ) = 0

(
(

)
)

x = 100 hoặc x = 1

.
x
=

100

x = 100 hoặc x = 1
Bài 2: Giải phơng trình:
x + 5 4 x + 1 + x + 10 6 x + 1 = 1

Giải:
Điều kiện xác định của phơng trình: x - 1.
Khi đó phơng tình đã cho tơng đờng với phơng trình sau:
x +1 4 x +1 + 4 + x +1 6 x +1 + 9 = 1


(

)

x +1 2 +
Cách 1: Ta thấy

Đinh Văn Đạt

2

x +1 2 +

(

)

2

x +1 3 = 1

x + 1 3 = 1 (*)

21

Trờng THCS Cẩm Ninh


Chuyên đề về các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối

x +1 2 +

x +1 3 =

= x +1 2 + 3 x +1 x +1 2 + 3 x +1 = 1
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
x +1 2 3 x +1 0

(

)(

)

2 x + 1 3

x 1
3 x 8.
Vậy phơng trình có mọi nghiệm x [3; 8].
Cách 2: Từ phơng trình (*) ta có:


x +1 < 2
1 x 3.
x


1


Nếu

Ta có:

(*) 2 x + 1 + 3 x + 1 = 1
5 2 x +1 = 1
x +1 = 2
x = 3 (loại vi không thoả mãn 1 x < 3)



2 x + 1 3
3 x 8.
x


1


Nếu

Khi đó: (*) x + 1 2 + 3 x + 1 = 1 1 = 1
Chứng tỏ phơng trình có vô số nghiệm x [3; 8].


x +1 > 3

Nếu

x 1

x > 8.

Khi đó ta có:

(*) x + 1 2 + x + 1 3 = 1
2 x +1 = 6
x +1 = 3
x = 8 (loại vi không thoả mãn diều kiện x > 8).

E. Hệ phơng trình bậc nhất

Đinh Văn Đạt

22

Trờng THCS Cẩm Ninh


Chuyên đề về các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bài 1: Giải hệ phơng trình
2x 3 + 5y 4 = 4
(A)
3x + 2 2 y = 9

(1)
(2)

Giải:
Muốn giải hệ phơng trình trên ta xét các trờng hợp sau để phá bỏ dấu
giá trị tuyệt đối đa về hệ bậc nhất hai ẩn số rồi giải chúng.
Xem y là tham số, ta lập bảng biến đổi các giá trị tuyệt đối có chứa x.
x



-

2x 3

-2x + 3

3x + 2

-3x - 2

(1)
(2)

3
2

2
3

-2x + 3
0

0

+
2x - 3

3x + 2

3x + 2

5y 4 = 2x + 1

5y 4 = 2x + 1

5y 4 = 2x + 7

2 y = - 3x 11

2 y = 3x 7

2 y = 3x 7
Thuộc phạm vi khoảng xét.

(Loại)
Vậy với

(Loại)

7
7
x
3
2

7
7
x , ta có:
3
2

5y 4 = 2x + 7

5y - 4 = -2x + 7 hoặc 5y - 4 = 2x - 7
5y + 2x = 11 (3) hoặc 5y - 2x = - 3 (4).
Lại có 2 y = 3x 7
2y = 3x - 7 hoặc 2y = 7 - 3x
3x - 2y = 7 (5) hoặc 3x + 2y = 7 (6)
Kết hợp (3) và (4) với (5) và (6) ta đợc 4 hệ phơng trình tơng đơng với phơng trình đã cho:

Đinh Văn Đạt

23

Trờng THCS Cẩm Ninh


Chuyên đề về các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối

7
7
7
7
3 x 2
3 x 2


2x + 5y = 11
2x 5y = 3
3x 2y = 7
3x 2y = 7




(A)
hoặc
7
7
7
7
x
x
2
2
3
3
2x + 5y = 11
2x 5y = 3


3x
+
2y
=
7

3x + 2y = 7



7
7

x


3
2

x = 3 ; y = 1

7 x 7
3
2

13
19
x = ; y =
11
11

7
7
x
2
3

29
5
;y =
x =
11
11

7
7
3 x 2

x = 41 ; y = 5

19
19

(Nghiệm thích hợp)

(Nghiệm không thích hợp)

(Nghiệm thích hợp)

(Nghiệm không thích hợp)

x = 3 ; y = 1
Vậy hệ phơng trình có nghiệm là:
x = 29 ; y = 5
11
11


Bài 2: Giải hệ phơng trình:
Đinh Văn Đạt

24

Trờng THCS Cẩm Ninh


Chuyên đề về các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối

5 3x 2 + 7 5y 1 = 88
(B)
=7
3x + 5y

Giải:

5 3x 2 + 7 5y 1 = 88
(B)
5y - 1 = 6 3x
5 3x 2 + 21 2 3x = 88

=7
3x + 5y


2
3

Nếu x , ta có hệ phơng trình:
5( 3x + 2 ) + 21( 2 x ) = 88

3x + 5y = 7
36x = 36

3x + 5y = 7
x = 1

(Nghiệm thích hợp)
y
=
2




Nếu

2
< x 2 , ta có hệ phơng trình:
3
5( 3x 2 ) + 21( 2 x ) = 88

3x + 5y = 7
6x = 56

3x + 5y = 7

28

x =

3
y = 7



(Nghiệm không thích hợp)

Nếu x > 2, ta có hệ phơng trình:

Đinh Văn Đạt

25

Trờng THCS Cẩm Ninh


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×