Tải bản đầy đủ

KẺ THÊM ĐƯỜNG VUÔNG GÓC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC 9

Tên đề tài:
DỰNG THÊM YẾU TỐ PHỤ ĐỂ GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC
LỚP 9
I. ĐẶT VẤN ĐỀ:
Khi giải quyết các bài toán hình học, phần lớn cần phải dựng thêm các yếu tố
phụ khác mới có thể giải quyết được hoặc có thể chuyển những bài toán phức tạp về
đơn giản hơn. Tuy nhiên, đối với học sinh thì việc suy nghĩ để vẽ thêm các yếu tố phụ
là việc không hề đơn giản, vì các em không biết phải bắt đầu từ đâu, vẽ như thế nào,
áp dụng vào bài toán như thế nào. Hơn nữa, SGK cũng như các sách tham khảo ít đề
cập đến vấn đề này mà chỉ đưa ra các bài tập giải mẫu, không phân tích rõ để các em
hiểu.
Để giải quyết một phần của vấn đề trên, tôi làm đề tài này giúp cho các em học
sinh lớp 9 bổ sung kiến thức, giải quyết thắc mắc, rèn luyện tư duy, từ đó các em có
thể tự mình tìm tòi ra những phương pháp mới và giải quyết tốt các bài toán từ đơn
giản đến phức tạp.
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN:
Với mục tiêu phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh,
phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm từng đối tượng học sinh, điều kiện của
từng đối tượng học sinh, điều kiện của từng lớp học, bồi dưỡng cho học sinh phương
pháp tự học, khả năng hợp tác, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn,
tạo niềm tin, niềm vui, hứng thú trong học tập. Do đó trong việc dạy và học bộ môn

Toán giáo viên cần phải rèn cho học sinh tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo và
linh hoạt tự tìm tòi ra kiến thức mới, và không chỉ với các phương pháp cơ bản, thông
thường mà còn phải hình thành lên một số phương pháp khó hơn, phải có những thủ
thuật riêng đặc trưng từ đó giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học Toán và
phát huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạng Toán khó. Đây là một thuận lợi cho cả
giáo viên và học sinh trong đổi mới cách dạy và học.
Việc học toán không phải chỉ là học như SGK, không chỉ làm những bài tập do
thầy, cô ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát hoá vấn đề
1


và rút ra được những điều gì bổ ích. Dạng toán hình học có vẽ thêm yếu tố phụ là một
dạng toán rất quan trong chương trình hình học ở bậc THCS, đáp ứng yêu cầu này, là
nền tảng, làm cơ sở để học sinh có tầm nhìn cao hơn trong việc phát hiện và tìm ra lời
giải của bài toán. Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học
sinh những kĩ năng như quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán, đặc biệt là kĩ năng giải
toán, kĩ năng vận dụng bài toán, tuỳ theo từng đối tượng học sinh, mà ta xây dựng
cách giải cho phù hợp trên cơ sở các phương pháp đã học và các cách giải khác, để
giúp học sinh học tập tốt bộ môn.
III. CƠ SỞ THỰC TIỄN
- Phần lớn các bài tập cần phải dựng thêm yếu tố phụ
- SGK ít đề cập đến vấn đề này
- Học sinh chưa có khái niệm cơ bản rõ ràng, chưa biết vận dụng các định lý, quy
tắc một các linh hoạt do đó gặp khó khăn trong quá trình tiếp thu và nghiên cứu
- Phương pháp “dựng thêm các yếu tố phụ để giải quyết các bài toán” là một đề tài
rất rộng. Hạn chế của đề tài là tôi chỉ trình bày vấn đề nhỏ nằm ở chương I và II hình
học 9, do đó cũng chưa thể có cái nhìn bao quát hết tất cả phương pháp trên.
IV. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
1. Kẻ thêm đường cao để giải quyết các bài toán liên quan đến hệ thức lượng
trong tam giác vuông
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường cao AD và BE. Biết BE = 2k ;
BC = 2m; AD = n . Chứng minh rằng

1
1
1
=
+
k 2 m2 n2


2


* Phân tích:
Khi nhìn vào yêu cầu bài toán thì ta sẽ liên tưởng ngay đến hệ thức lượng trong tam
giác vuông
Do ∆ABC cân tại A và AD là đường cao nên ta dễ dàng biết được CD = BD = m ,
AD = n
Yêu cầu bài toán:

1
1
1
1
1
1
= 2+ 2⇔ 2=
+
2
2
k
m
n
k
CD
AD 2

Do đó, ta cần chứng minh đường cao h hạ từ D xuống AC của ∆ACD phải bằng k
1
(tức là h = BE ) nghĩa là từ D ta dựng DH ⊥ AC
2
* Giải quyết bài toán:
- Tam giác ABC cân tại A có đường cao AD nên AD cũng là đường trung tuyến, do
đó BD = CD = m
 BE ⊥ AC
⇒ DH PBE mà D là trung điểm của BC nên DH
- Dựng DH ⊥ AC . Vì 
 DH ⊥ AC
là đường trung bình tam giác BEC vuông tại E
⇒ DH =

1
BE = k
2

- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ADC vuông tại D có đường cao DH, ta được:
1
1
1
1
1
1
=
+
⇔ 2 = 2 + 2 (đpcm)
2
2
2
DH
AD CD
k
m
n

3


Bài 2: Cho tứ giác ABCD như hình vẽ dưới có AC = 3,8; BD = 5;α = 650 . Tính diện
tích của tứ giác ABCD

* Phân tích: S ABCD = S∆ABD + S∆BCD
- Ta cần tính diện tích tam giác ABD và tam giác BCD
- Do đó ta cần dựng thêm hai đường cao AH và CK của hai tam giác trên
- Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông tính được độ dài AH và CK
* Giải quyết bài toán:
Vẽ AH ⊥ BD; CK ⊥ BD
Ta có AH = OA.sin α và CK = OC.sin α
1
1
S∆ABD = BD. AH = BD.OA.sin α
2
2
1
1
S∆BCD = BD.CK = BD.OC.sin α
2
2
⇒ S ABCD = S∆ABD + S∆BCD =

1
1
BD.( OA + OC ) .sin α = BD. AC.sin α ≈ 8,6 (đvdt)
2
2

Vậy S ABCD ≈ 8,6 (đvdt)

4


2. Dựng đường kính vuông góc với dây cung để giải quyết các bài toán liên quan
đến dây cung
Bài 1: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây BC vuông
góc với OA tại A, vẽ dây EF bất kì đi qua A và không vuông góc với OA. Hãy so
sánh độ dài dây BC và EF

* Phân tích:
- Bài toán cho hai dây cung ta sẽ nghĩ ngay đến việc dựng thêm đường kính vuông
góc với dây
- Bài toán cho hai dây BC và EF và yêu cầu so sánh hai dây trên, về mặt so sánh độ
dài hai đoạn thẳng ta có nhiều cách để so sánh như quan hệ giữa đường xiên và hình
chiếu của nó, bất đẳng thức tam giác, đường kính và dây cung, khoảng cách từ tâm
đến dây trong đường tròn…
- Do BC và EF là hai dây nên ta sẽ sử dụng định lý quan hệ khoảng cách từ tâm đến
dây
- Từ O ta dựng OK ⊥ EF
* Giải quyết bài toán:
- Dựng OK ⊥ EF
Ta có ∆OAK vuông tại K, có OA là cạnh huyền do đó OA > OK
⇒ BC < EF ( theo quan hệ khoảng cách từ tâm đến dây)

5


Bài 2: Cho (O;R) và điểm A cố định nằm ngoài đường tròn. Qua A vẽ đường
thẳng d cắt (O;R) tại B, C ( BC ≤ AC ) , vẽ tiếp tuyến AM với (O;R) (với M là tiếp
điểm). Chứng minh rằng AB + AC ≥ 2 AM
* Phân tích:
Qua cách dựng hình thì ta sẽ có dây cung BC, do đó ta sẽ vẽ thêm OH ⊥ BC
⇒ HB = HC

- Để chứng minh AB + AC ≥ 2 AM thì ta cần tìm ra mối quan hệ giữa AB + AC và
AM . Nếu ta không dựng thêm OH ⊥ BC thì khó tìm ra được mối quan hệ, do đó ta
sẽ sử dụng AH làm trung gian cho mối quan hệ trên
AB + AC = ( AH − BH ) + ( AH + HC ) = 2 AH + 14
HC2− 43
BH = 2 AH
0

- Từ đây ta chỉ việc chứng minh 2 AH ≥ 2 AM hay AH ≥ AM thì bài toán được giải
quyết.
* Giải quyết bài toán:
- Từ O dựng OH ⊥ BC . Khi đó, BH = HC (theo quan hệ vuông góc giữa đường
kính và dây)
BH = 2 AH
14 2− 43
Ta có: AB + AC = ( AH − BH ) + ( AH + HC ) = 2 AH + HC
0

Áp dụng địng lý Pitago vào hai tam giác vuông AOH và AMO:
AH 2 = AO 2 − OH 2
AM 2 = AO 2 − OM 2 = AO 2 − R 2
Mà R ≥ OH ⇒ R 2 ≥ OH 2
Do đó AH 2 ≥ AM 2 ⇒ AH ≥ AM ⇔ 2 AH ≥ 2 AM
6


Hay AB + AC ≥ 2 AM
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi OH = R ⇔ d là tiếp tuyến của (O;R) (đpcm)
3. Dựng đường nối tâm trong các bài toán có hai đường tròn cắt nhau, tiếp xúc
nhau, không cắt nhau
Bài toán: Cho đường tròn (O; R) tiếp xúc ngoài với đường tròn (O’; r) tại A. Một
tiếp tuyến chung ngoài với đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại B và C. Tính độ dài
BC theo R và r
* Cách 1:

* Phân tích:
- BC là tiếp tuyến nên ta dựng thêm bán kính OB, O’C
- Hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc nhau tại A ta vẽ thêm đường nối tâm OO’
qua A
- Nếu vẽ thêm tiếp tuyến chung tại A của hai đường tròn và cắt BC tại M thì
điểm M có vị trí như thế nào trên BC?
⇒ M là trung điểm BC
- Theo tính chất của tiếp tuyến thì quan hệ giữa ba đoạn thẳng BM, MC, MA
như thế nào ?
⇒ BM = MC = MA hay BC = 2MA
Như vậy, ta chỉ cần tính được độ dài đoạn MA theo R và r thì bài toán được giải
quyết.
- Ta cần tìm mối quan hệ giữa MA, R, r hay MA, OA, O’A

7


 MA ⊥ OA
⇒ MA chính là đường cao của tam giác OO’A. Do đó ta sẽ tính
- Mà 
 MA ⊥ O ' A
MA dựa vào tam giác OO ‘A
- Tam giác OMO’ là tam giác gì ?
⇒ tam giác vuông tại M
* Giải quyết bài toán

- Dựng bán kính OB, O’C
- Qua A dựng tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’) cắt BC tại M
 MB = MA
Ta có 
(tính chất tiếp tuyến) ⇒ MA = MB = MC
MA
=
MC

⇒ BC = 2 AM . Do đó, tính BC theo AM
- Dựng đường nối tâm OO’ đi qua A
-

·
·
Ta có BMO
= ·AMO; CMO
' = ·AMO ' (tính chất tiếp tuyến)

Lại có: 2 ·AMO + 2 ·AMO ' = 1800
·
⇒ ·AMO + ·AMO ' = 900 ⇒ OMO
' = 900
⇒ ∆OMO ' vuông tại M có MA là đường cao
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông OMO’:
AM 2 = OA.O ' A = R.r ⇒ AM = R.r
⇒ BC = 2 AM = 2 R.r
Vậy BC = 2 R.r (đvđd)

8


Cách 2:

* Phân tích:
- Dựng bán kính OB và O’C
- Dựng đường nối tâm OO’ qua A
⇒ OO ' = OA + O ' A = R + r
- Ta cần đi tìm mối quan hệ giữa BC và các đoạn thẳng đã biết là OO’, OB, O’B.
Nếu đi tìm mối quan hệ giữa các đại lượng trên một cách trực tiếp thì khó giải
quyết được bài toán, do đó ta sẽ đi tìm một đại lượng khác làm trung gian thay cho
BC. Ta để ý tứ giác OO’BC có hai góc vuông tại B và C. Nếu từ O’ ta dựng
O ' H ⊥ OB thì ta sẽ được tứ giác O’HBC là hình chữ nhật. (Chú ý: tùy mỗi hình
vẽ ta có thể dựng OH ⊥ O ' C )
⇒ HO ' = BC . Do đó ta sẽ chọn O’H làm trung gian thay cho BC
- Dễ dàng tính được BC dựa vào tam giác vuông OO’H
* Giải quyết bài toán:
- Dựng bán kính OB và O’C
- Dựng đường nối tâm OO’ qua A
⇒ OO ' = OA + O ' A = R + r
-

Từ O’ dựng O ' H ⊥ OB tại H

⇒ tứ giác O’HBC là hình chữ nhật
⇒ BC = O ' H
Ta có OH = OB − HB = R − r
Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông OO’H :
O ' H = OO '2 − OH 2 =

( R + r)

2

− ( R − r ) = 4 R.r = 2 R.r
2

9


⇒ BC = 2 R.r (đvđd)
Bài tập áp dụng: Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ
tiếp tuyến chung ngoài MN với M thuộc (O), N thuộc (O’). Biết R = 9cm ,
R ' = 4cm . Tính độ dài đoạn MN
V. KẾT QUẢ :
Qua áp dụng thực tê trên lớp 9/5, đa số học sinh gặp bài toán vẽ thêm đường phụ
trong chương các em đều biết vẽ thêm đường phụ và vẽ một cách có căn cứ. Thậm
chí nhiều em còn tìm ra được nhiều cách giải khác có sáng tạo, từ đó các em có
hứng thú học tập và thấy rằng các em rất hào hứng trong quá trình tìm tòi lời giải
hay và hợp lý.
Thống kê kết quả :
Đầu kỳ I
Cuối kỳ I

0 – 3,4
5 (13,2%)
1 (2,6%)

3,5 – 4,9
8 (21,1%)
2 (5,3%)

5,0 – 6,4
9 (23,6%)
5 (13,2%)

6,5 – 7,9
13 (34,2%)
7 (18,4)

8,0 - 10
3 (7,9%)
23 (60,5%)

VI. KẾT LUẬN
Vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học là một vấn đề rộng và khó chương trình học
của học sinh, nó liên quan kết hợp với các phương pháp khác, các dạng toán khác tạo
lên sự lôgíc chặt chẽ của toán học. Các phương pháp được nêu từ dễ đến khó, từ đơn
giản đến phức tạp giúp học sinh hiểu sâu hơn và phát triển có hệ thống các kỹ năng,
kỹ xảo phân tích. Qua đó giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính chính
xác, năng lực nhận xét, phân tích phán đoán, tổng hợp kiến thức.

10


VII. TÀI LIỆU THAM KHẢO
STT
1

2

Tên tác giả
Phan Đức Chính

Tên tài liệu
Sách giáo khoa Toán 9 – Tập 1

Tôn Thân
Nguyễn Đức Tấn

Ôn luyện theo chuẩn kiến thức

Trần Đình Châu

kĩ năng toán 9 - Tập 1

NXB Năm XB
GD
2012
GD

2011

GD

2011

GD

2012

Nguyễn Đoàn Vũ
Vũ Đức Đoàn
Vũ Dương Thụy

3

Nguyễn Ngọc Đạm
Bùi Văn Tuyên

4

Trịnh Hoài Dương

Toán nâng cao và các chuyên
đề hình học 9
Trọng tâm kiến thức và phương
pháp giải bài tập toán 9

Nguyễn Đức Trường
Tài liệu tham khảo trên
5

Internet.

11


MỤC LỤC
I. ĐẶT VẤN ĐỀ...........................................................................................
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN....................................................................................
III. CƠ SỞ THỰC TIỄN...............................................................................
IV. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU...................................................................
1. Kẻ thêm đường cao để giải quyết các bài toán liên quan đến hệ thức

1
2
2
2
2

lượng trong tam giác vuông
2. Dựng đường kính vuông góc với dây cung để giải quyết các bài

5

toán liên quan đến dây cung
3. Dựng đường nối tâm trong các bài toán có hai đường tròn cắt nhau,

7

tiếp xúc nhau, không cắt nhau
V. KẾT QUẢ
VI. KẾT LUẬN
VII. TÀI LIỆU THAM KHẢO

10
10
11

12



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×