Tải bản đầy đủ

mặt cầu tronmg không gian

Bài 2. MẶT CẦU

Oxyz
Câu 1

Trong không gian với hệ toạ độ

, tọa độ tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến của mặt

x 2 + y 2 + z 2 − 6 x + 4 y − 2 z − 86 = 0

2x − 2 y − z + 9 = 0

phẳng
và mặt cầu
là:
I ( −1; 2;3)
I ( 1; 2;3)
r =8
r=4
A.


B.

I ( 1; −2;3)
I ( 1; 2; −3)
r =9
r=2
C.

D.

Hướng dẫn giải
Do bốn đáp án là khác nhau về bán kính nên ta chỉ tính bán kính cho đơn giản.
O = ( 3; − 2;1)
R = 10
Mặt cầu có tâm
, bán kính là
Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng là :

d=

2 × 3 − 2. ( −2 ) − 1 + 9
22 + ( −2 ) + ( −1)
2

2

=6
.

Vậy bán kính đường tròn giao tuyến là :
Chọn A.

r = R2 − d 2 = 8

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 2 y − 21 = 0

Oxyz
Câu 2


Trong không gian với hệ toạ độ

M ( 1; 2; −4 )

, cho mặt cầu



( S)

. Tiếp diện của
3 x + y − 4 z − 21 = 0
A.
3 x − y − 4 z − 21 = 0

C.

tại M có phương trình là:
3 x + y + 4 z − 21 = 0
B.
3 x + y − 4 z + 21 = 0
D.

Hướng dẫn giải
I ( − 2;1;0 )
( S)
Mặt cầu
có tâm là

( S)

M
Tiếp diện của
tại
có một véctơ pháp tuyến là
Phương trình tiếp diện là :
3 ( x − 1) + ( y − 2 ) − 4 ( z + 4 ) = 0

uuur
IM = ( 3;1; − 4 )

3 x + y − 4 z − 21 = 0

Hay

. ChọnA.
1


Oxyz
Câu 3

Trong không gian với hệ toạ độ

, cho đường thẳng (Δ) là giao tuyến của hai mặt phẳng

( P ) : 2 x + 4 y − z − 7 = 0 ( Q ) : 4 x + 5 y + z − 14 = 0

( α ) : x + 2 y − 2 z − 2 = 0;

,

và hai mặt phẳng

( β ) : x + 2 y − 2z + 4 = 0

(α )
. Mặt cầu có tâm thuộc (Δ) và tiếp xúc với

( x − 1)

2

+ ( y − 3) + ( z − 3) = 1

( x + 1)

2

+ ( y + 3 ) + ( z − 3) = 1

2

2

A.

(β)


có phương trình là:

( x + 1)

2

+ ( y − 3) + ( z − 3) = 1

( x + 1)

2

+ ( y + 3) + ( z + 3 ) = 1

2

2

B.
2

2

C.

2

2

D.
Hướng dẫn giải

I ( x ; y; z )

(α )

I

Giả sử tâm mặt cầu là
, do cách đều hai mặt phẳng
x + 2 y − 2z − 2 = x + 2 y − 2z + 4
Khi đó ta có
⇔ x + 2 y − 2z − 2 = − ( x + 2 y − 2z + 4)

(β)


⇔ x + 2 y − 2 z = −1

( P)

I

( Q)

Lại có thuộc giao tuyến của

 x + 2 y − 2 z = −1

2 x + 4 y − z = 7 ⇔ x = −1, y = 3, z = 3
4 x + 5 y + z = 14


nên tọa độ

I

là nghiệm của hệ

Chọn B.

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2mx + 2my − 4mz + 3 = 0

Oxyz
Câu 4

Trong không gian với hệ toạ độ

, cho mặt cầu

( α ) : x + 2 y − 4z + 3 = 0
mặt phẳng
m =- 2 Ú m =

A.

(α)
. Với giá trị nào của m thì

4
5

B.

m =2

C.

I ( m ; − m; 2m )

(α)

tiếp xúc với

( S)
tiếp xúc với

m =3

Hướng dẫn giải
Mặt cầu có tâm



r = 6m 2 − 3

D.

( 6m

2

−3> 0

?

m = 2Úm =3

)

, bán kính
( S ) ⇔ d ( I,( α ) ) = r
2




m − 2m − 8m + 3
12 + 22 + ( −4 )

2

= 6m 2 − 3



3 − 9m
21

= 6m 2 − 3

 m = −2
⇔ 5m + 6m − 8 = 0 ⇔ 
m = 4
5

2

( t / m)

Chọn A.

( S ) : ( x − 3)

Oxyz
Câu 1

Trong không gian với hệ toạ độ

2

+ ( y + 2 ) + ( z − 1) = 100
2

,cho mặt cầu

và mặt

( α ) : 2x − 2 y − z + 9 = 0
phẳng
thẳng nào sau đây?
x − 3 y + 2 z −1
=
=
2
−2
−1
A.
.
x + 3 y + 2 z −1
=
=
2
2
−1
C.
.

2

( S)

(α)

. Tâm I của đường tròn giao tuyến của

B.



x + 3 y + 2 z −1
=
=
−2
2
1
x + 3 y − 2 z −1
=
=
2
−2
−1

D.
Lời giải

nằm trên đường

.

.

 tâm H (3; −2;1)
r
có 
n = (2; −2; −1)
 bán kính R = 10 (α )
Mặt cầu
,
có VTPT
;
 x = 3 + 2t

⇒ IH :  y = −2 − 2t , t ∈ ¢
 z = 1 − 1t
IH ⊥ (α )
⇒ I (3 + 2t; −2 − 2t ;1 − t )

H
Ta có
tại
;
I ∈ (α ) ⇒ t = −2 ⇒ I (−1; 2;3)
Mặt khác
;
Chọn đáp án A.

( S)

( S ) : x2 + y 2 + z 2 − 2x + 4 y - 4 = 0

Oxyz
Câu 2

Trong không gian với hệ toạ độ
thẳng

d

và đường

( P ) : x + y = 0, ( Q ) : x + 2 z = 0

là giao tuyến của hai mặt phẳng

(α)
phẳng

, cho mặt cầu

chứa

d

( S)
và cắt

theo một đường tròn có bán kính là 2

. Viết phương trìnhmặt

2

.

3


x + 2 y − 2z = 0
A.

x + 2 y + 2z − 3 = 0
.

B.

x − 2 y + 2z = 0

x + 2y − z = 0
D.
Lời giải

C.

( S)
Mặt cầu

 tâm I (1; −2;0)
có 
 bán kính R = 3

(α )
Mặt phẳng

;

x + y + m( x + 2 z ) = 0 ⇔ ( m + 1) x + y + 2mz = 0 m ≠ 0
có dạng:
,
;

(

d [ I ;(α )] = R − 2 2
2

2

)

2

( (m + 1).1 + (−2) + 2m.0 )

(m + 1) + 1 + (2m)
2

2

2

=1 ⇔ m = −

2

Ta có:
⇒ (α ) : x + 2 y − 2 z = 0

1
2
;

Chọn đáp án A.
d = ( P) ∩ ( Q)

Oxyz
Câu 3

Trong

không

gian

với

hệ

toạ

độ

( P ) : x + z − 1 = 0, ( Q ) : y − 2 = 0

,cho

tâm thuộc đường thẳng

thẳng

với

(α) : y − z = 0
và mặt phẳng

d

đường

. Viết phương trình

(α )
, cách

( S)

một khoảng bằng

2

là mặt cầu có

(α)
và cắt

theo đường tròn giao tuyến

( xI > 0)
có bán kính bằng 4,

.

( x − 1)

2

+ ( y − 2 ) + z = 18

( x + 3)

2

+ ( y − 2 ) + ( z − 4 ) = 18

2

2

A.

.
2

.

( S)
Gọi

Ta có

 tâm I
có 
bán kính R

2

+ ( y + 2 ) + z 2 = 18

( x + 3)

2

+ ( y + 2 ) + ( z − 4 ) = 18

2

B.

2

C.

( x − 1)

.

D.
Lời giải

2

2

.

;

x = t
x + z −1 = 0

d :
⇒ d :y = 2 , t ∈¡
y − 2 = 0
z = 1− t


;

I ∈ d ⇒ I (t ; 2;1 − t )
Ta có

;

4


d ( I;( α ) ) ⇔

yI − z I
2

= 2 ⇔ t = 1 ⇒ I (1; 2;0) ⇒ R 2 = d 2 ( I ;(α ) ) + r 2 = 18
;

⇒ ( S ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + z 2 = 18
2

2

;
Chọn đáp án A.

( S ) : ( x − 1)

Oxyz
Câu 4

Trong không gian với hệ toạ độ

2

+ ( y − 3) + ( z − 2 ) = 1
2

2

,cho mặt cầu

và hai mặt

( P ) : x − y + z − 1 = 0, ( Q ) : x + y − z − 3 = 0
phẳng

(α)
. Viết phương trìnhmặt phẳng

( P)

( Q)

chứa giao

( S)

tuyến của hai mặt phẳng

đồng thời tiếp xúc với
.
x− y−2 =0
2x − y +1 = 0
x − 2y = 0
x−2= 0
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
 tâm I (1;3; 2)
( S ) có 
 bán kính R = 1
Mặt cầu
;
(α )
( P) ( Q)
Mặt phẳng
chứa giao tuyến của hai mặt phẳng

⇒ (α ) : (m + 1) x + (m − 1) y + (1 − m) z − 1 − 3m = 0
;
(α )
( S)
Mặt phẳng
tiếp xúc với
(m + 1).1 + (m − 1).3 + (1 − m).2 − 1 − 3m
⇔ d [ I ; (α )] = R ⇔
=1⇔ m =1
(m + 1) 2 + (m − 1) 2 + (1 − m) 2
;
⇒ (α ) : x − 2 = 0
;
Chọn đáp án A.

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 z − m2 = 0

Oxyz
Câu 5

Trong không gian với hệ toạ độ

,cho mặt cầu

( α ) : 3x + 6 y − 2 z − 2 = 0
. Với giá trị nào của
diện tích bằng
m=±

A.

65
7



(α)
thì

( S)
cắt

theo giao tuyến là đường tròn có

?
m=−

.

m

và mặt phẳng

B.

65
7

m=

.

C.

65
7

.

D.

m=0

.
5


Lời giải

( S)

 tâm I (0;0;1)
có 
2
bán kính R = 1 + m

Mặt cầu
.
( C)
(α ) ( S)
r
Gọi
là đường tròn giao tuyếncủa

có bán kính .
( C ) 2π ⇒ r = 2
Diện tích hình tròn

.
d [ I ;(α )] = R 2 − r 2 ⇔ m 2 − 1 =
Ta có
Chọn đáp án A.

4
65
⇔m=±
7
7

.
 x = −1 + t

d : y = 3−t
 z = −2 + t


Oxyz
Câu 6

Trong không gian với hệ toạ độ

,cho đường thẳng

( α ) : x − 2 y − z + 3 = 0, ( β ) : 2 x + y − 2 z − 1 = 0

và hai mặt phẳng

( S)
. Viết phương trình mặt cầu

điểm của

d

(α)


(β)
đồng thời

cắt

x 2 + ( y + 1) + ( z + 1) = 4
2

.

2

.

( S)
Gọi

D.
Lời giải

2

.

.

d

(α)

 x = −1 + t
y = 3−t


 z = −2 + t
 x − 2 y − z + 3 = 0 ⇒ I (0; 2; −1)

I
, tọa độ điểm thỏa
( C)
( β) ( S)
r
Gọi
là đường tròn giao tuyếncủa

có bán kính .
( C ) 2π ⇒ r = 1
Chu vi đường tròn

.
Ta có

I

 tâm I
có 
bán kính R

.
x 2 + ( y + 2 ) + ( z + 1) = 9

2

C.

2

B.

x 2 + ( y − 1) + ( z − 1) = 2
2

là giao

theo đường tròn có chu vi là 2π.

2

A.

I

( S)

x + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 2
2

2

có tâm

là giao điểm của



.

R = d [ I ; ( β )] + r 2 = 1 + 1 = 2
Ta có
6


⇒ ( S ) : x 2 + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 2
2

2

Chọn đáp án A.

( S)

Oxyz
Câu 7

Trong không gian với hệ toạ độ

( Oxy )

,viết phương trìnhmặt cầu

có tâm thuộc mặt phẳng

A ( 1; 2; −4 ) , B ( 1; −3;1) , C ( 2; 2;3)

và đi qua ba điểm

.

( x + 2)

x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 2 y − 21 = 0
A.

.

B.

x + y + z − 4 x + 2 y − 21 = 0
2

2

2

C.

2

+ ( y + 1) + z 2 − 16 = 0
2

.
x + y + z + 4 x − 2 y + 6 z − 21 = 0
2

2

2

.

D.
Lời giải
( S)
( Oxy ) ⇒ ( S )
I (a; b;0)
Ta có
là mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng
có tâm
.
2
2
2
( S)
x + y + z − 2ax − 2by + c = 0
Suy ra
có dạng:
.

.

 A ( 1; 2; −4 ) ∈ ( S )
 a = −2


 B ( 1; −3;1) ∈ ( S ) ⇔ b = 1

c = −21

C ( 2; 2;3) ∈ ( S )

Ta có
⇒ ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 2 y − 21 = 0
Chọn đáp án A.

( S)

Oxyz
Câu 8

Trong không gian với hệ toạ độ

với đường thẳng

( x − 4)
A.

2

d

,viết phương trìnhmặt cầu

x − 2 y +1 z −1
=
=
2
1
2

:

( x + 4)

2

.
x + y + z + 8x − 4 y + 2z + 5 = 0
2

2

B.

2

C.

( S)
Gọi
Ta có

có bán kính
d

R

.

A(2; −1;1)
qua

, có VTCP

và tiếp xúc

2

+ ( y + 2 ) + ( z − 1) = 16
2

2

.
x + y + z + 8x + 4 y + 2z + 5 = 0
2

.

có tâm

.

+ ( y − 2 ) + ( z + 1) = 16
2

I ( 4; 2; −1)

D.
Lời giải

2

2

.

uu
r
ud = (2;1; 2)

.

7


( S)

uu
r uu
r
 IA; ud 


⇒ R = d ( I;d ) =
=4
uu
r
ud

d

tiếp xúc với đường thẳng

⇒ ( x − 4 ) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 16
2

2

2

Chọn đáp án A.

( S ) : x2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z = 0

Oxyz
Câu 9

Trong không gian với hệ toạ độ

,cho mặt cầu

và đường

x = 1+ t

 y = 2 − 2t

( S)
d z = 0
d
AB
thẳng :
. Đường thẳng cắt
tại hai điểm A, B. Tính độ dài đoạn
?

2 5
A.

5
.

B.

( S)
Mặt cầu

3
C.
.
Lời giải

.

 tâm I (1; 2;3)
có 
bán kính R = 14

2 3
D.

.

.

( S)

A, B
A, B
Đường thẳng cắt
tại hai điểm
, khi đó tọa độ điểm
thỏa
x = 1+ t
x = 2 x = 0
 y = 2 − 2t



⇔  y = 0 ∨  y = 4 ⇒ A(2;0;0), B(0; 4;0) ⇒ AB = 2 5

z = 0
z = 0 z = 0


 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z = 0
d

.

Chọn đáp án A.

(α) : x+ y + z +3 = 0

Oxyz
Câu 10

Trong không gian với hệ toạ độ

, cho mặt phẳng

( C)
, gọi

x + y + z − 4 x + 6 y + 6 z + 17 = 0
2

2

tròn giao tuyến của mặt cầu

và mặt phẳng

( S)
Gọi

(α)
là mặt cầu có tâm I thuộc

( x − 3)

2

+ ( y + 5) + ( z + 1) = 20.

( x + 3)

2

+ ( y − 5 ) + ( z − 1) = 20

2

A.
C.

( C)
và chứa

.

( S)
. Phương trình của

2

là đường

x − 2 y + 2z + 1 = 0

2

là:

x 2 + y 2 + z 2 + 6 x + 10 y + 2 z + 15 = 0
B.

2

2

( x − 3)

2

+ ( y + 5 ) + ( z − 1) = 20
2

2

D.
Lời giải
8


( S)
Câu 60: Vì mặt cầu

có tâm

(α ) .

I

Lần lượt thử tọa độ tâm

(α)

I

thuộc mặt phẳng

vào

4

I

3 + ( −5) + ( −1) + 3 = 0 ⇒

khi đó

chọn.

( −3) + ( −5 ) + ( −1) + 3 ≠ 0 ⇒

I (−3; −5; −1),
Phương án B: tâm

khi đó

loại.

( −3) + 5 + 1 + 3 ≠ 0 ⇒

I (−3;5;1),
Phương án C: tâm

khi đó

loại.
3 + ( −5 ) + 1 + 3 ≠ 0 ⇒

I (3; −5;1),
Phương án D: tâm

phải thỏa mãn phương trình

phương án, ta được

I (3; −5; −1),
Phương án A: tâm

nên tọa độ điểm

khi đó

loại.

Chọn đáp án A.
Oxyz
Câu 11

Trong không gian với hệ toạ độ

, phương trình mặt cầu có tâm thuộc trục

Ox

và đi qua hai

A ( 3;1; 0 ) , B ( 5;5;0 )

điểm

là:

( x − 10 )

2

( x − 9)

+ y + z = 10.

+ y + z = 50
2

2

A.

( x − 10 )

2

+ y 2 + z 2 = 5 2.

( x + 10 )

2

+ y 2 + z 2 = 25.

B.
2

2

2

C.

D.
Lời giải

Lần lượt thế tọa độ điểm

( 3 − 10 )

2

A, B

( 5 − 10 )

+ 12 + 02 = 50

4

vào
2

phương án. Chỉ có phương án A thỏa vì

+ 52 + 02 = 50.


Chọn đáp án A.
Oxyz
Câu 12

Trong không gian với hệ toạ độ

( α ) : 2x + 2 y + z + 3 = 0

, có hai mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng

M ( 3;1;1)

tại điểm

và có bán kính

R=3

. Khoảng cách giữa hai tâm của

hai mặt cầu đó là:

7.
A. 6.

B. 9.

C.

D. 3.
9


Lời giải

( S1 )
Vì hai mặt cầu

(có tâm

I1M = 3, I 2 M = 3

I1 , M , I 2

nên

( S2 )

I1



) và

(α)

I2
(có tâm

) cùng tiếp xúc với mặt phẳng

tại điểm

M

I1M / / I 2 M
thẳng hàng (do

) nên

I1 I 2 = I1M + I 2 M = 6.
Chọn đáp án A.

( S ) : x2 + y 2 + z 2 + 2x − 4 y − 6z + 5 = 0

Oxyz
Câu 13

Trong không gian với hệ toạ độ

, cho mặt cầu

( α ) : 2x − y − 2z +1 = 0
phẳng
( 1;1;1) .
A.

(α)

. Mặt phẳng
( 1; 2;3) .
B.

(α)
Mặt phẳng

tiếp xúc với mặt cầu

Lần lượt thế tọa độ
2.1 − 1 − 2.1 + 1 = 0





4

( S)

tiếp xúc với mặt cầu
( 3;3; −3) .
C.
Lời giải

( S)
M

và mặt

tại điểm

M ⇒

(α)
phương án vào

tọa độ

M

M
tại điểm
có tọa độ là:
( −2;1; 0 ) .
D.

(α)
thỏa

( S) .


( S)


thì chỉ có phương án A thỏa vì

12 + 12 + 12 + 2.1 − 4.1 − 6.1 + 5 = 0.

Chọn đáp án A.

Câu 14

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
A ( 2; 1; 0 ) , B ( −2; 3; 2 )

d:

x−1 y z
= =
2
1 −2 và hai điểm

. Viết phương trình mặt cầu đi qua A , B và có tâm I thuộc đường thẳng d .

( x + 1) + ( y + 1) + ( z − 2 )
A.

2

= 17.

( x − 1) + ( y − 1) + ( z + 2 )
B.

2

= 17.

( x − 3 ) + ( y − 1) + ( z + 2 )
C.

2

= 5.

( x + 3 ) + ( y + 1) + ( z − 2 )
D.

2

= 5.

2

2

2

2

2

2

2

2

Lời giải

Phương trình tham số đường thẳng

 x = 1 + 2t

d : y = t
 z = −2t


10


Ta có:

uur
 AI = ( −1 + 2tt; − 1; −2t )
I ∈ d ⇒ I ( 1 + 2tt; ; −2t ) ⇒  uur
.
 BI = ( 3 + 2tt; − 3; −2 − 2t )

Vì mặt cầu

( S)

2
2
đi qua hai điểm A , B nên: R = IA = IB ⇔ IA = IB

⇔ ( −1 + 2tt) + ( − 1) + ( −2tt) = ( 3 + 2
2

2

2

) + ( tt− 3 ) + ( −2 − 2 )
2

2

2

⇔ 20tt+ 20 = 0 ⇔ = −1 ⇒ I ( −1; −1; 2 ) ⇒ R = IA = 17

Phương trình mặt cầu
Chọn đáp án A.

( S)

( x + 1) + ( y + 1) + ( z − 2 )
cần tìm là:
2

2

2

= 17.

( d1 )

Oxyz
Câu 15

Trong không gian với hệ toạ độ
x = 0

 y = 4 − 2t '
 z = 5 + 3t '


, cho hai đường thẳng

( d1 )
. Mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của

:

x = 1+ t

y = 0
 z = −5 + t


( d2 )


:

( d2 )


làm đường kính có phương

trình là:

( x − 2)

2

+ ( y − 3) + z 2 = 17.
2

A.

( x + 2)

2

+ ( y + 3) + z 2 = 25.

( x + 2)

2

+ ( y − 3) + ( z + 1) = 25.

2

B.

( x − 2)

2

+ ( y − 3) + ( z − 1) = 25.
2

2

C.
ur
u1 = ( 1;0;1) .

( d1 )

2

2

D.
Lời giải

có vtcp
uu
r
u2 = ( 0; −2;3) .

( d2 )
có vtcp

A ∈ ( d1 ) ⇒ A ( 1 + t ; 0; −5 + t ) .
B ∈ ( d 2 ) ⇒ B ( 0; 4 − 2t ';5 + 3t ' ) .

uuur
AB = ( −1 − t , 4 − 2t ',10 + 3t '− t ) .

11


AB

( d1 )

( d2 )

là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng



uuu
r ur
 AB.u1 = 0
−1 − t + 10 + 3t '− t = 0
 −2t + 3t ' = −9
t = 3
⇔  uuu
⇔
⇔
⇔
.
r ur
−2 ( 4 − 2t ' ) + 3 ( 10 + 3t '− t ) = 0
 −3t + 13t ' = −22
t ' = −1
 AB.u1 = 0
A ( 4; 0; −2 ) , B ( 0;6; 2 ) .

Khi đó:

Mặt cầu đường kính

( x − 2)

2

AB

R=

I ( 2;3; 0 )

có tâm

và bán kính

AB
= 17
2

có phương trình:

+ ( y − 3) + z 2 = 17.
2

Chọn đáp án A.

( S ) : x2 + y 2 + z 2 − 2 x + 6 y + 2z + 8 = 0

Oxyz
Câu 16

Trong không gian với hệ toạ độ
 x = 4 + 4t

 y = 1 + 3t
z = 1+ t


đường thẳng (Δ):
x − y − z − 2 = 0.
A.

r
u = ( 4;3;1) .

( ∆)

, cho mặt cầu

(α)

( ∆)



( S)

. Mặt phẳng
chứa
và tiếp xúc với
có phương trình là:
x + y + z − 2 = 0.
2 x − y − z + 2 = 0.
2x + y − z = 0
B.
C.
D.
Lời giải

có vtcp

(α )

r
n

( ∆)

(α)

Vì mặt phẳng
chứa
nên vectơ pháp tuyến của
vuông góc với
rr
rr
n.u 4
n.u = 1.4 − 1.3 − 1.1 = 0.
Tìm tích
ở phương án chỉ có phương án A là

r
u.

Chọn đáp án A.
I ( 6;3; −4 )

Oxyz
Câu 17

Trong không gian với hệ toạ độ

, mặt cầu tâm

tiếp xúc với trục

Ox

có bán kính là:

5
A. 6

B. 4

C. 2
Lời giải

D.
12


Gọi

H

là điểm tiếp xúc của mặt cầu tâm

I

với trục

Ox.

H ∈ Ox ⇒ H ( h; 0;0 ) .

uuu
rr
IH ⊥ Ox ⇒ IH .i = 0 ⇒ h − 6 = 0 ⇒ h = 6.
Vậy mặt cầu có bán kính bằng 6.
Chọn đáp án A.

( ∆)

Oxyz
Câu 18

Trong không gian với hệ toạ độ

, cho đường thẳng

( α ) : x − 2 y − z + 3 = 0, ( β ) : 2 x + y − 2 z − 1 = 0
(β)



đồng thời

và hai mặt phẳng

( S)
. Gọi

(α)

:

 x = −1 + t

y = 3−t
 z = −2 + t


( ∆)
là mặt cầu có tâm I là giao điểm của

( S)
cắt

theo thiết diện là đường tròn có chu vi bằng 2π. Phương trình của

( S)
là:

x 2 + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 2
2

x 2 + ( y + 2 ) + ( z + 1) = 4

2

2

A.

2

B.

( x − 1)

2

+ ( y − 2 ) + ( z − 1) = 2
2

( x + 1)

2

C.

2

+ ( y − 2 ) + ( z + 1) = 4
2

2

D.
Lời giải

( ∆)
Tâm I là giao điểm của

(α)


nên tọa độ

I

là nghiệm của hệ:

 x = −1 + t
t = 1
y = 3−t
x = 0



⇒ I ( 0; 2; −1) .


z
=

2
+
t
y
=
2


 x − 2 y − z + 3 = 0
 z = −1
Chọn đáp án A.

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 2 y - 2 z -1 = 0

Oxyz
Câu 19

Trong không gian với hệ toạ độ

, cho mặt cầu

( α ) : x + 2 y + 2z + 4 = 0
phẳng
A. 1

. Khoảng cách ngắn nhất từ một điểm
B. 3
C. 4

và mặt
M

( S)
thuộc
D. 5

(α)
đến

là:
13


Lời giải

( S)

I ( 1;1;1) ,

có tâm

bán kính

1 + 2.1 + 2.1 + 4

d ( I;( α ) ) =

Suy ra

= 3.

1+ 4 + 4

Ta có

( S)

R = 2.

(α)


không có điểm chung.

Khi đó để khoảng cách

M

( S)
thuộc

đến

(α)
vuông góc với

(α)

và khoảng cách đó bằng

là ngắn nhất thì

M

nằm trên đường thẳng

d

qua

I



d ( I ; ( α ) ) − R = 3 − 2 = 1.

Chọn đáp án A.

Oxyz
Câu 20

Trong không gian với hệ toạ độ

, với giá trị nào của m thì phương trình

x 2 + y 2 + z 2 − 2mx + 2 ( m − 1) y + 4 z + 5m = 0

là phương trình mặt cầu ?
m < 1∨ m >

5
2

1≤ m ≤

5
2

m≥3
C.
Lời giải
Câu 70: Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi

A.

B.

D. Một đáp số khác

m < 1
( −m ) + ( m − 1) + 2 − 5m > 0 ⇔ 2m − 7 m + 5 > 0 ⇔  5 .
m>

2
2

2

2

2

Chọn đáp án A.

( S)

Oxyz
Câu 21

Trong không gian với hệ toạ độ

( P) : 2x − 2 y − z + 3 = 0

A. 2

, cho

I ( 2;1; −1)

là mặt cầu tâm

và tiếp xúc với mặt phẳng

( S)
. bán kính
2
3
B.

là:
4
3

C.
Lời giải

D.

2
9

14


R = d ( I;( P) ) =

2.2 − 2.1 − ( −1) + 3
4 + 4 +1

Câu 71:

= 2.

Chọn đáp án A.
Oxyz
Trong không gian với hệ toạ độ

Câu 22

, mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

ABCD

A ( 1;0;0 ) ,

với

B ( 0;1;0 ) , C ( 0;0;1) , D ( 1;1;1)

có bán kính là:

A.

3
2

B.

3
C.
Lời giải

2

( S)
Câu 72: Gọi phương trình mặt cầu

ngoại tiếp tứ diện

D.

ABCD

3
4

có dạng:

2
2
2
x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 ( a + b + c − d > 0 ) .

A ( 1;0;0 ) , B ( 0;1;0 ) , C ( 0; 0;1) , D ( 1;1;1)



( S)
thuộc mặt cầu

nên ta có hệ phương trình:

1

a = 2
1 + 0 + 0 − 2a.1 − 2b.0 − 2c.0 + d = 0
 −2a + d = −1

 2 2 2
1
−2b + d = −1
0
+
1
+
0

2
a
.0

2
b
.1

2
c
.0
+
d
=
0


b =
⇔
⇔
2.
 2
2
2
0 + 0 + 1 − 2a.0 − 2b.1 − 2c.1 + d = 0
 −2c + d = −1

1
12 + 12 + 12 − 2a.1 − 2b.1 − 2c.1 + d = 0
 −2a − 2b − 2c + d = −3 c =

2

d = 0
2

2

2

2

2

2

3
1 1 1
R =  ÷ + ÷ + ÷ =
.
2
2 2 2

Chọn đáp án A.
I ( −1; 2; 0 )

Oxyz
Câu 23

Trong không gian với hệ toạ độ
trình là:
( x + 1) 2 + ( y − 2) 2 + z 2 = 25
A.

, mặt cầu tâm

đường kính bằng 10 có phương

( x + 1) 2 + ( y − 2) 2 + z 2 = 100
B.
15


( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 + z 2 = 25

( x − 1)2 + ( y + 2) 2 + z 2 = 100

C.

D.
Lời giải
I ( −1; 2; 0 )

Câu 73: Mặt cầu tâm

đường kính bằng 10 nên có bán kính

R=5

có phương trình:

( x + 1) 2 + ( y − 2) 2 + z 2 = 25.
Chọn đáp án A.

( S)

Oxyz
Trong không gian với hệ toạ độ

Câu 24

, mặt cầu

I ( −1; 2;1)

có tâm

và tiếp xúc với mặt phẳng

( P) : x − 2 y − 2 z − 2 = 0
có phương trình:

( x + 1)

2

+ ( y − 2 ) + ( z − 1) = 3

( x + 1)

2

+ ( y − 2 ) + ( z + 1) = 3

2

2

A.

2

+ ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9

( x + 1)

2

+ ( y − 2 ) + ( z + 1) = 9

2

2

B.
2

2

C.

2

2

D.
Lời giải

( S)

I ( −1; 2;1)

Câu 74: Mặt cầu
R=

( x + 1)

( P) : x − 2 y − 2 z − 2 = 0

có tâm

−1 − 2.2 − 2.1 − 2
1+ 4 + 4

và tiếp xúc với mặt phẳng

=3

( x + 1)

2

nên có bán kính

+ ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9.
2

2

có phương trình:

Chọn đáp án B.
I ( 4; 2; −2 )

Oxyz
Trong không gian với hệ toạ độ

Câu 25

, cho mặt cầu tâm

( P ) :12 x − 5 z − 19 = 0
phẳng

. Bán kính

R

R

bán kính

tiếp xúc với mặt

của mặt cầu bằng:
39
13

A. 39

B. 3

( S)

I ( −1; 2;1)

Câu 75: Mặt cầu
R=

có tâm

12.4 − 5. ( −2 ) − 19
12 + 0 + ( −5 )
2

2

C. 13
Lời giải

2

D.

( P ) :12 x − 5 z − 19 = 0
và tiếp xúc với mặt phẳng

nên có bán kính

= 3.

16


Chọn đáp án B.
I ( 1;3;5 )

Oxyz
Câu 26

Trong không gian với hệ toạ độ

thẳng

x = t

d :  y = -1- t
z = 2 - t


14
A.
Hướng dẫn giải:

, bán kính của mặt cầu tâm

và tiếp xúc với đường

là :

7
B. 14

C.

D. 7

uu
r
M 0 ∈ d ⇒ M 0 ( 0; −1; 2 ) ;VTCP a = ( 1; −1; −1)
uuuur uu
r
uuuur
M 0I , a 
 M 0 I = ( 1; 4;3)


⇒ d ( I; d ) =
= 14
uu
r
r
 uu
a
 a = ( 1; −1; −1)

Chọn A
Oxyz
Câu 27

A ( 2; 0; 0 ) , B ( 0; 2; 0 ) , C ( 0;0; 2 ) , D ( 2; 2; 2 )

Trong không gian với hệ toạ độ
, cho
ABCD
ngoại tiếp tứ diện
có bán kính là:

. Mặt cầu

3
A. 3
Hướng dẫn giải:

B.

C.

3
2

D.

2
3

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 ( *)
Giả sử mặt cầu có dạng:
A ( 2; 0; 0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0; 0; 2 ) , D ( 2; 2; 2 )
( *)
Thay
vào
ta được:
 4 a + d = −4
 a = −1
 4b + d = −4
b = −1


⇔
⇒ ( S ) : x2 + y2 + z 2 − 2x − 2 y − 2z = 0

 4c + d = − 4
 c = −1
 4a + 4b + 4c + d = −12
 d = 0
R = a 2 +b2 + c2 - d = 3

Vậy
Chọn B.

17


( α ) : 4 x + 3 y − 12 z + 10 = 0

Oxyz
Câu 28

Trong không gian với hệ toạ độ

( S) : x

2

, cho mặt phẳng

và mặt cầu

( S)

+ y + z − 2 x − 4 y − 6z − 2 = 0
2

2

. Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu

(α)
và song song với

có phương trình là:
4 x + 3 y − 12 z + 78 = 0
4 x + 3 y − 12 z − 26 = 0
A.
B.
 4 x + 3 y − 12 z − 78 = 0
 4 x + 3 y − 12 z + 78 = 0
 4 x + 3 y − 12 z + 26 = 0
 4 x + 3 y − 12 z − 26 = 0


C.
D.
Hướng dẫn giải:
(β)
( β ) ( β ) : 4 x + 3 y − 12 z + d = 0
Gọi
là mặt phẳng cần tìm. Phương trình
là:
.
2
2
2
( S ) : x + y + z − 2 x − 4 y − 6 z − 2 = 0 ⇒ I ( 1; 2;3) ; R = 4
d ( I;( β ) ) = R ⇒

4.1 + 3.2 − 12.3 + d
169



( β1 ) : 4 x + 3 y − 12 z + 78 = 0
⇒
( β 2 ) : 4 x + 3 y − 12 z − 26 = 0

d − 26
 d = 78
=4⇔
13
 d = −26

Chọn D.
I ( 3;3; −4 )

Oxyz
Câu 29

Trong không gian với hệ toạ độ
Oy
bằng:

, bán kính của mặt cầu tâm

và tiếp xúc với trục

5
A. 5
Hướng dẫn giải:

B. 4

C.

D.

5
2

uur
2
⇒ R = II ′ = 32 + ( −4 ) = 5

I

0;3;
0
(
)
Oy
I′
I
Gọi là hình chiếu của lên
.
. Chọn A.

Oxyz
Câu 30

A ( 1;1;1) , B ( 1; 2;1) , C ( 1;1; 2 ) , D ( 2; 2;1)

Trong không gian với hệ toạ độ
, cho bốn điểm
ABCD
của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
có toạ độ là:
 3 −3 3 
3 3 3
 ; ; ÷
 ; ; ÷
( 3;3;3)
2 2 2
2 2 2
A.
B.
C.
Hướng dẫn giải:

. Tâm

( 3; −3;3)
D.

18


( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0
Giả sử mặt cầu có dạng:
A ( 1;1;1) , B ( 1; 2;1) , C ( 1;1; 2 ) , D ( 2; 2;1) ∈ ( S )
2a + 2b + 2c + d
2a + 4b + 2c + d

⇒
2a + 2b + 4c + d
4a + 4b + 2c + d

3

a = − 2
= −3

3
= −6
b = −
 3 3 3
⇔
2 ⇒ I − ;− ;− ÷
= −6
 2 2 2

3
c = −
= −9
2

d = 6

Chọn B.
I ( 2;1; −1)

Oxyz
Câu 31

Trong không gian với hệ toạ độ
phương trình là:

, mặt cầu tâm

( Oyz )
tiếp xúc với mặt phẳng



( x - 2) 2 +( y - 1) 2 +( z +1) 2 =1.

( x - 2) 2 + ( y - 1) 2 +( z +1) 2 = 4.
A.

B.

( x + 2) +( y +1) +( z - 1) = 4.
2

2

( x + 2) 2 +( y - 1) 2 +( z +1) 2 = 2.

2

C.
Hướng dẫn giải:

D.

( Oyz ) : x = 0 ⇒ R = d ( I ; ( Oyz ) ) =

1
12

=1

( S ) : ( x - 2) 2 +( y - 1) 2 +( z +1) 2 =1
. Vây

Chọn B

( P ) : 3x − 2 y + 6 z + 14 = 0

Oxyz
Câu 32

Trong không gian với hệ toạ độ

, cho mặt phẳng

và mặt cầu

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 ( x + y + z ) − 22 = 0

( S)
. Khoảng cách từ tâm I của mặt cầu

đến mặt phẳng

( P)
là:
A. 1.
Hướng dẫn giải:
I ( 1;1;1) ⇒ d ( I ; ( P ) ) =

B. 2.

C. 3.

3.1 − 2.1 + 6.1 + 14
32 + ( −2 ) + 62
2

=

D. 4.

21
=3
7
. Chọn C

19



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×