Tải bản đầy đủ

Thủ thuật giải toán phương trình vô tỷ

T TH

THU T GI I TOÁN PH

NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

TÀI LI U ÔN THI
TRUNG H C PH THÔNG QU C GIA
------------------------***------------------------

PH

TH THU T
Gi i toán
NG TRÌNH VÔ T

Tác gi : ĐOÀN TRÍ DŨNG

HÀ N I, THÁNG NĂM

1



TH

THU T GI I TOÁN PH

NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

CH Đ 1: 4 K NĂNG C B N C N BI T
TRONG QUÁ TRÌNH GI I TOÁN B NG MÁY TÍNH CASIO
I. K năng 1: K năng nâng lũy th a:
Kỹ năng nâng lũy thừa là rất quan trọng trong quá trình giải toán
mà trong quá trình giải toán, ta vẫn th ờng gọi với những tên quen
thuộc nh bình ph ơng hai vế , lập ph ơng hai vế . Học sinh cần
nắm vững các hằng đẳng thức cơ bản về nâng lũy thừa nh sau:






a  b  a  b  2ab .
a  b  a  3a b  3ab  b .
a  b  c   a  b  c  2 ab  bc  ca  .
a  b  c   a  b  c  3 a  b  b  c  c  a  .
a  b  c   a  b  c  3 a  b  c ab  bc  ca   3abc .
2

2

3

3

2

2

2


2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

3

3

II. K năng 2: Phân tích nhân t
b n:

bi u th c ch a m t căn d ng c

Ví d 1: Phân tích nhân tử: x  2 x  3
Đặt

x  3  t  x  t 3  3 . Khi đó:

x  2 x  3  t 2  2t  3   t  1 t  3 .

Do đó thay ng ợc t  x  3 ta đ ợc:

x2 x3 





x  3 1

BÀI T P T



x3 3 .

LUY N

Bài 1: Phân tích nhân tử: 2x  4  5 x  1





Đáp án: 2 x  1  1

x 1 2



Bài 2: Phân tích nhân tử: 2x  5  7 2x  1
Đáp án:





2x  1  1

2x  1  6



III. K năng 3: Phân tích nhân t hai bi n không ch a căn:
Ví d 2: Phân tích nhân tử: x2  2xy  y2  x  y (Tối đa là bậc 2).
Thay y  100 , biểu thức trở thành:

x2  2xy  y2  x  y  x2  201x  10100 .
Bấm máy ph ơng trình bậc ta đ ợc 2 nghiệm: x  100,x  101 .
2


T TH

THU T GI I TOÁN PH

NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

Do đó: x2  201x  10100   x  100  x  101 .
Vì 100  y,101  100  1  y  1 , vậy:

x2  2xy  y2  x  y   x  y  x  y  1 .

Ví d 3: Phân tích nhân tử: x3  2x2 y  xy2  y2  xy  3x  3y .
Thay y  100 , biểu thức trở thành:

x3  2x2 y  xy2  y2  xy  3x  3y  x3  200x2  10103x  10300
Sử dụng SOLVE ta đ ợc x  100  y . Ta có hai cách xử lý sau:
Cách 1: S d ng CALC:
1
Thay x  1000, y 
ta có:
100
x3  2x2 y  xy2  y2  xy  3x  3y
 1000013.01
xy
1
1
 10002  1000.
 3
 x2  xy  y  3
100
100
Hay nói cách khác phân tích đa thức nhân tử ta đ ợc kết quả:



x3  2x2 y  xy2  y2  xy  3x  3y   x  y  x2  xy  y  3



Cách 2: S đ Hoorne:
1
200
10103
10300
x
1
100
103
0
100
3
2
x  200x  10103x  10300
Vậy
 x2  100x  103
x  100
Hay x3  2x2 y  xy2  y2  xy  3x  3y   x  y  x2  xy  y  3 .





Chú ý: Ph ng pháp này r t có ích cho các bài toán v ch
t ng giao đ th hàm s b c 3.
IV. K năng : K năng tìm max/min c a phân s
H ớng đi : Tìm max/min b ng TABLE
1
Ví dụ ta muốn tìm max/min của
:
x2 2
Với chức năng TABLE của máy
tính Casio ta đ ợc:

đ

3


TH

max

THU T GI I TOÁN PH

1
x2 2

 0.5 

NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

1
2

Chú ý rằng: max A  a thì biểu
thức  a  A   0 luôn đúng.

Do đó nếu sau khi liên hợp:


Xuất hiện  A   , ta tìm minA .



Xuất hiện  A  , ta tìm max A .

H ớng đi : S d ng đánh giá ớc l ng:
c
c

ớc l ợng theo số
  b,c  0  .
a b b
x1
x
1
 


ớc l ợng theo bậc cao nhất
2
2
x  2x  5  x
x x 2
Chú ý: Lớn hơn hay nhỏ hơn để chắc chắn ta sử dụng TABLE để
kiểm tra, điều này giúp khám phá ra những giá trị min/max khá đặc
biệt, chẳng hạn nh sau
x2  x  2
x2  x x  1
 

2
x2  x  1  x
x2  x

 x2  x  2
x 1
Kiểm tra 

 trong TABLE với điều kiện có đ ợc
2
2 
 x x 1  x
để kiểm tra cẩn thận nhóm biểu thức này d ơng hay âm.

4


T TH

THU T GI I TOÁN PH

NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

CH Đ 2: T NG QUAN CÁC PH
NG PHÁP GI I
Các ph ơng pháp chính khi giải toán ph ơng trình
1. T duy đặt ẩn ph :
Đặt ẩn phụ Mục đích đ a về một ph ơng trình, bất ph ơng trình
cơ bản hơn. Vậy khi nào đặt đ ợc ẩn phụ? Quan sát hệ số, phát hiện
sự lặp đi lặp lại



Ví d 5: 2 25x2  18x  9



 2  4x   9  x  1
2

2







5x  1  4  5  x  3 







x 1



3

4x   x  1  4  5 4x  3  x  1



x 1



3

Thông th ờng đến b ớc này cần phải quyết định thực hiện các phép
biến đổi cơ bản đ a về ẩn phụ Cộng, trừ, nhân, chia . Nếu lựa chọn
phép chia thì phải tri t tiêu biến
  4x 2
  4x
4 
 4x


2
9

1 
 5
 3


 x 1
 x  1
x  1 
 x1 


Th ờng học sinh hay nản nhất ở b ớc quyết định có ẩn ph hóa
đ ợc hay không này, đó là cần biến đổi biểu thức l c loài về đ ợc ẩn
phụ cần đặt, và có thể hệ số bất định hóa

 4x 
16
 

x 1
x1
 x 1
4    0   4

Tới đây ta quy đồng và đồng nhất hệ số 
.
  16
  16
4



Hay nói cách khác ta biến đổi ph ơng trình về dạng
  4x 2
 4x
 4x  
 4x


  5
2
9
1
16
4




 3



 x 1
 x  1
 x  1  
 x 1 


Đến đây bài toán có thể xử lý đ ợc đơn giản hơn rất nhiều. Mời bạn
đọc tiếp tục với hai bài toán cơ bản áp dụng sau
3x2  4x  8
Áp d ng : x2  3x  6  x 
2 x2  3x  6  x  4



Áp d ng : x3  x  2



2



3



x2



5

x3  2x  4  x3  x  2
5


TH

THU T GI I TOÁN PH

NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

Đặt ẩn phụ trở lên Mục đích để nhóm nhân tử hoặc sử dụng hàm
đặc tr ng. Bản chất của hàm đặc tr ng cũng chính là phép đặt ẩn
phụ, do đó nếu ta t duy li u có hàm đặc tr ng đ c hay không, ta
nên chuyển t duy thành có th d n v hai ẩn ph đ ợc hay không?
Ví d 6: x  1 

2x3  3x2  23x  11  3 x2  4x  5

0
x2  2x  2  x2  4x  5
Tr ớc tiên học sinh cần biết rút gọn ph ơng trình về dạng

 x  1

x2  2x  2   x  2  x2  4x  5  2x3  3x2  23x  11  0

Tới đây, ta t duy xếp hai căn sang hai phía và quan sát dễ dàng
thấy hai ẩn phụ

 x  1  x  1

2

 1  2x3  3x2  23x  11   2  x 

2  x

2

1

Tuy nhiên nh tôi đã nói ở trên, khó khăn nhất luôn là xử lý nhóm
biểu thức còn lại, và theo kinh nghiệm của tôi, đó là sử dụng ph ơng
pháp hệ số bất định và đồng nhất hệ số 2x3  3x2  23x  11



 





   x  1   2  x    x  1   2  x     x  1   2  x 
3

3

2

2



Để tìm các hệ số, ngoài việc phá vỡ biểu thức và nhóm theo từng bậc
của biến x, ta có thể thay giá trị bất kỳ của x vào để tìm
x  1  27  9  3  39
  1

x  0  7  3    11

   1

x  3  65  15  5  85

  1
x  4  133  21  7   161
Tại sao ẩn mà cần ph ơng trình? Vì cần có một ph ơng trình để
kiểm tra đó! Không phải lúc nào cũng đúng đâu nhé, nên phải hết
sức cẩn thận !

 x  1  x  1  1   x  1   x  1   x  1
  2  x  2  x  1   2  x   2  x   2  x
:  x  1 x  2x  5  4x x  1  2  x  1 .
2

Vậy ta viết lại thành

3

2

Áp d ng

2

2

3

2

(Trích đề Thi Thử Trung Tâm Diệu Hiền –Cần Th

6

2

6 Lần )


T TH

THU T GI I TOÁN PH

NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

. T duy t o h ng đẳng th c:
Đây là một phép biến đổi tay táo bạo nh ng lại giúp ích rất nhiều.


Nếu xuất hiện ab  Tạo ra  a  b  .



Nếu xuất hiện ab  a  b   Tạo ra  a  b  .

2

3



Ví d 7: x2  x  1  2  x  1 x  2  1  3 x 2  1



2



Ph ơng trình  x2  2x  1  2  x  1 x  2  x  2  1  3 x 2  1


 x  1  x  2  1  x  1  x  1  x  1  
 x  1  x  2x  1  x  1    x  2  1  0


 x 1 x  2

  1 
2

3

3

3





3

3

x2  1

2

3

2

2



2

2



x  2 1  0

3



x  x  3 3 x  1

2

x  2x  1  x  2x  1 x  1 
2

x3

3



2

3



3

x 1



2



x3
x 2 1

0



Ví d 8: 3x 3 x  7 x  3 x  7  7x 3  12x 2  5x  6





3x 3 x  7 x  3 x  7  7x 3  12x 2  5x  6





 x3  x  7  3x 3 x  7 x  3 x  7  8x 3  12x 2  6x  1



 x 3 x7



3

  2x  1  x  3 x  7  2x  1  3 x  7  x  1
3





  x  1  x  7  x3  3x2  2x  6  0   x  1 x2  4x  6  0
3

 x  1.






3
4  8x  9x2
Ví d 9:  2   2 x  1  1 
x
3x  2 2x  1

Điều kiện xác định: x  1. Bất ph ơng trình đã cho t ơng đ ơng với:

 2x  3  2

x

  9x  4  2x  1

x 1 1

2

3x  2 2x  1

7


TH



 2x  3  2

THU T GI I TOÁN PH

  3x  2

x 1 1

x

NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

2x  1





Do x  1. Do đó BPT   2x  3  2 x  1  1  3x 2  2x 2x  1



 

  x  1  x  1  0
Vì:  x  1  x  1   0;  x  2x  1   0; 2  x  1  x  1  0 , x  1
 2  x  1  x  1    x  2x  1   2  x  1  x  1  0
2

2

 2 x  1  x  1  x  2x  1  2
2

2

2

2

x  1  x  1

Vậy để BPT xảy ra thì  VT  0  x  2x  1  x  1.
x  1  0

. T duy đi tìm nhân t :
A. Tìm nhân t nghi m đ n h u t c b n:
Liên h p căn b c 2
Liên h p căn b c 3
Liên h p căn b c 3
2
2
3
3
a b
a 3  b3
a b
ab 2
ab 2
ab
ab
a  ab  b2
a  ab  b2
2
1
1
1
Chú ý: a 2  ab  b2  a 2  b2   a  b   0, a, b .
2
2
2
Giả sử ph ơng trình f  x   0 có nghiệm x  3 và trong ph ơng trình
x  6 , khi đó với x  3  x  6  3 .
x69
x3
Vậy nếu sử dụng liên hợp: x  6  3 
khi đó

x6 3
x6 3
sẽ xuất hiện nhân tử  x  3  và có thể rút ra làm nhân tử chung.
có chứa căn thức

Tuy nhiên, vì x  3 nên ta cũng có thể đánh giá

x6  3  x.
x  x  6  x  3 x  2 
Vậy nếu sử dụng liên hợp: x  x  6 
ta

x x6
x x6
cũng rút đ ợc nhân tử  x  3  .
2

Nh v y b n chất c a ph ng pháp nhân liên hợp là rút ra nhân tử
chung để chỉ ra nghiệm c a ph ng trình. Khi hai đ i l ợng a và b có

8


T TH

THU T GI I TOÁN PH

NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

giá trị bằng nhau, ta có thể sử d ng nhân liên hợp giữa hai đ i l ợng
này.
Ph ng pháp nhân liên h p truy ng c d u c p đ 1:


 

Nếu trong ph ơng trình hay bất ph ơng trình có chứa  a
đồng thời có đánh giá

a  b thì sử dụng liên hợp:



a

x  1  2 khi đó ta sử dụng liên hợp:

Ví dụ:

x1






x 1  2  x 1 2 x 1 .

 

Nếu trong ph ơng trình hay bất ph ơng trình có chứa  3 a
đồng thời

Ví dụ:
Ph



a b ab a .

3

3

a  b thì sử dụng liên hợp:



3

a b



3

a b



3

a  a  b2 3 a .

x  5  2 khi đó ta sử dụng liên hợp:



3

x5 2



3

x5 2



3

ng pháp nhân liên h p truy ng

x  5  x  543 x  5 .
c d u c p đ 2: Giả sử bài

toán chứa  x  3 và ph ơng trình có nghiệm x  1 . Khi đó ta đánh
giá nh sau

x  3  2  x  1  2x  x2  1  2x2  ...
Do đó ta có thể sử dụng các ph ơng án liên hợp sau:

x2  x  2



x  1 x  3 



2x  x  3 



x 1 x  3 



2x  x  3 

4x2  x  3
2x  x  3

2

2

x  1 x  3




 x  1 x  2
x 1 x  3

 x  1 4x  3
2x  x  3

x4  2x2  x  2
x  1 x  3
2

4x4  x  3
2x2  x  3





 x  1  x

3

 x2  3x  2

x  1 x  3



2

 x  1  4x

3

 4x2  4x  3



2x2  x  3
9


TH

THU T GI I TOÁN PH

NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

Việc lựa chọn liên hợp nào là một nghệ thuật và ng ời sử dụng
liên hợp trong quá trình làm bài cần phải là một nghệ sĩ, phải biết
phối hợp giữa các điều kiện bài toán đ a ra ban đầu để từ đó quyết
định đâu là liên hợp cần tìm.
Ví d 10: 3  x  2   3x  4  3 2x  1  x  3

3  x  2   3x  4  3 2x  1  x  3



 

 2x  1  3 2x  1 

 



3x  4  4  x  3  x  3  0

 2 2x  1
3
x3 
  x  4 


  0  3  x  4
 2x  1  3




3x
4
4
x
3
1


B. T duy tìm nhân t nghi m vô t :
Ví d 11: x3  x2  x  5   x  4  x  2  0


Phân tích
Sử dụng TABLE và SOLVE tìm đ ợc: x  3.302775638 .

Thay vào căn thức tìm nhân tử: x  2  2.302775638  x  1 .
H ớng d n cách s d ng TABLE và SOLVE
B ớc 1: Truy cập Mode 7 (Table):


f  x   x3  x 2  x  5   x  4  x  2

Lựa chọn Start = 2 , End = 7, Step =
0.5
B ớc 2: Nhận bảng giá trị:
Từ bảng giá trị ta nhận thấy hàm số
có sự đổi dấu trong  3; 3.5  .
Nh vậy ph ơng trình có thể có
nghiệm trong khoảng này.
Vì vậy ta sẽ sử dụng SOLVE với giá
trị khởi đầu x  3.2   3; 3.5  để tìm
ra nghiệm này.

10


T TH

THU T GI I TOÁN PH

NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

B ớc 3: Quay trở lại Mode 1, ta gõ
ph ơng trình

x3  x 2  x  5   x  4  x  2  0

B ớc 4: Bấm Shift Calc (Solve) với
giá trị x  3.3 , ta thu đ ợc nghiệm:
x  3.302775638
B ớc 5: Thay vào căn thức ta có:

x  2  2.302775638  x  1
Vậy ph ơng trình có nhân tử là:

x  1 

x2



Bài gi i
Cách 1: S d ng liên h p c b n:
Ta có: x3  x2  x  5   x  4  x  2  0





 x3  2x2  4x  1   x  4  x  1  x  2  0





  x  1 x2  3x  1   x  4 

x2  3x  1
x 1 x  2

0



1
 x2  3x  1  x  1   x  4 
0
x 1 x  2 












Quy đồng ta đ ợc  x2  3x  1 x2  x  3   x  1 x  2  0











1 2
x  3x  1 2x2  2x  6  2  x  1 x  2  0
2
2

2

1 2
1  11 
 x  3x  1  x  1  x  2   x      0 .

2
2
4



Cách 2: S d ng liên ng c:




Ta có: x3  x2  x  5   x  4  x  2  0





 x3  2x2  4x  1   x  4  x  1  x  2  0









  x  1 x2  3x  1   x  4  x  1  x  2  0
11


TH

Liên h p ng

x  1

THU T GI I TOÁN PH

NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

c: Xét biểu thức liên hợp:





x  2 x  1  x  2   x  1   x  2   x 2  3x  1
2




Do đó:  x  1  x  1  x  2  x  1  x  2    x  4   x  1 
  x  1  x  2    x  1  x  1  x  2   x  4   0
  x  1  x  2   x  x  3   x  1 x  2   0


1
1  11 
 x  1  x  2  x  1  x  2    x      0

2
2
4



x2  0

Do đó ta có thể viết lại: x2  3x  1  x  1  x  2 x  1  x  2 .

2

2

2



U ĐI M VÀ NH
C ĐI M C A
LIÊN H P C B N VÀ LIÊN H P NG
C
Liên h p c b n
Liên h p ng c
u đi m
Có lợi thế khi gặp bài toán Lợi thế khi gặp bài toán
từ căn thức trở lên.
bất ph ơng trình.
Nh c
Bất lợi khi giải bất ph ơng Bất lợi khi gặp bài toán
đi m
trình vì phải xử lý điều có nhiều căn thức.
kiện mẫu số.
Cần thử lại nghiệm sau khi
giải xong ph ơng trình.
C. T duy nhân t nghi m b i h u t :

Ví d 12: x2  x  1  2x  1  0
Ph ng pháp nh n di n b ng SOLVE và d/dx:
B ớc 1: Bấm ph ơng trình trên máy
tính Casio và sử dụng SHIFT CALC
SOLVE ta thu đ ợc x  1 .
B ớc 2: Kiểm tra điều kiện nghiệm
bội bằng cách xét:





d 2
x  x  1  2x  1
0
x 1
dx
Vậy x  1 là nghiệm bội kép
12


T TH

THU T GI I TOÁN PH

NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

Phân bi t nghi m đ n và b i qua d/dx:


x  a là nghiệm bội của f  x   0 nếu



x  a là nghiệm đơn của f  x   0 nếu

Ph





d
f x
0.
xa
dx





d
f x
 0.
xa
dx

ng pháp nh n di n b ng TABLE:

B ớc 1: f  x   x2  x  1  2x  1 .

Lựa chọn các giá trị:
Start = 0.5, End = 9.5, Step = 0.5.
B ớc 2: Nhận xét: Hàm số tiếp xúc
trục hoành tại điểm duy nhất x  1 .
Nh vậy x  1 là nghiệm bội kép.
Phân bi t nghi m đ n và nghi m
b i kép thông qua TABLE
 Hàm số đổi dấu khi đi qua
trục hoành là nghiệm đơn.
 Hàm số không đổi dấu khi đi
qua trục hoành là nghiệm
kép.

Phân bi t các lo i nghi m b ng s k t h pSOLVE, d/dx và TABLE:
Đơn

Là nghiệm đơn f  x   0 . Không là nghiệm f '  x   0 .

Kép

Nghiệm kép f  x   0 . Không là nghiệm kép f "  x   0 .

Bội 3

Là nghiệm đơn f  x   0 . Là nghiệm kép f '  x   0 .

Bội 4

Là nghiệm kép f  x   0 . Là nghiệm kép f "  x   0 .

Chú ý: Các bài toán nghi m b i ph n lớn là nghi m kép.
Gi i bài toán nghi m b i h u t nh th nào?
Cách 1: Nhân liên h p:
Tổng quát: Nếu x  x0 là nghiệm bội kép hữu tỷ và ph ơng trình có
chứa căn thức

n

A , khi đó ta đặt ax  b  n A
13


TH

THU T GI I TOÁN PH

NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

ax  b  n A  x 
0
 0
Ta tìm các hệ số a, b bằng cách giải hệ sau 
d n
A
a 
x  x0
dx

Chú ý:

 



Nếu là nghiệm bội , ta đặt ax2  bx  c  n A .
 2
 n A  x0 
 ax  bx  c
x  x0


d n

Giải hệ  ax2  bx  c '
A

x  x0 dx
x  x0


d  n
 ax2  bx  c "
A  x  '



 x  x0
x
x

dx

0
d  n
Trong đó
là để tính đạo hàm cấp .
A  x  '
 x  x0
dx 









 















Nếu có nghiệm bội kép, ta có thể rút từng nghiệm kép ra lần
l ợt bằng nhân liên hợp Liên hợp lần liên tiếp hoặc ta làm
giống nh






Giải hệ 







nghiệm bội

ax
ax
ax
ax

2

2

2

2

 bx  c

xx


 bx  c '
 bx  c

Đặt ax2  bx  c  n A .



1

x  x1

xx

 bx  c '

 n A  x1 


d
dx

 A x  x
n

1

 n A  x2 
2

x  x2



d
dx

 A x  x
n

2

Bài gi i
Trong bài toán này, ta có x  1 là nghiệm bội kép, đặt:

ax  b  2x  1 .
Khi đó ta sẽ tìm các hệ số a, b bằng cách giải hệ sau

14


T TH

THU T GI I TOÁN PH

NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG


ax  b  2x  1
x1
a  b  1 a  1




a
1

d

b  0
a 
2x  1

x1
dx






Vậy với a  1, b  0 ta có x  2x  1 nên liên hợp cần tạo ra là :
Ta có: x2  x  1 

 x  2x  1  .
2x  1  0   x  2x  1    x  2x  1  0
2

2

1
 x2  2x  1  0   x  1 
 1  0 .
x  2x  1
 x  2x  1 
Cách : T o h ng đẳng th c Chỉ nên áp d ng với nghi m kép :



x2  2x  1





Ta có: x2  x  1  2x  1  0  2x2  2x  2  2 2x  1  0




 



 2x  1  2 2x  1  1  2 x 2  2x  1  0



2x  1  1  2  x  1  0
2

2

Cách : S d ng đánh giá AM – GM Chỉ nên áp d ng với nghi m
kép).
a2  b2
 AM – GM cho số ab 
a, b  . Do đó sử dụng bất
2
đẳng thức này với những biểu thức chứa căn bậc và lựa
chọn đại l ợng a, b có giá trị bằng nhau vì dấu bằng xảy ra
khi a  b .
a 3  b3  c 3
 AM – GM cho số abc 
a, b,c  0 . Do đó sử
3
dụng với những biểu thức chứa căn bậc và lựa chọn đại
l ợng a, b,c không âm có giá trị bằng nhau vì dấu bằng xảy
ra khi a  b  c .
 T ơng tự nh vậy ta có thể đánh giá bất đẳng thức AM – GM
cho các căn bậc cao hơn.
Áp d ng: Vì x  1  2x  1  1 . Vậy a  2x  1, b  1 (AM – GM cho
số .
15


TH

THU T GI I TOÁN PH

NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

2x  1  1
 2x  1  x .
2
2
Mà x2  x  1  2x  1 . Do đó x 2  x  1  x   x  1  0  x  1 .

Ta có:

2x  1.1 

Cách : Đặt ẩn ph và phân tích nhân t Ph ng pháp này hoàn
toàn đ c l p và không b l thu c vào máy tính):
t2  1
Đặt 2x  1  t  0  x 
. Khi đó ph ơng trình trở thành
2
2

 t2  1  t2  1
1
 1  t  0  t4  t2  t  1  0

 
2
4
 2 
2
2
1
1
  t  1 t 2  2t  3  0   t  1 t 2  2t  3  0
4
4
2
1

2x  1  1 x  1  2x  1  0 .
2
Cách : Liên h p ng c:





















 



Ta có: x2  x  1  2x  1  0  x  2x  1  x 2  2x  1  0


 x 

 
2x  1  x  1 


2x  1   0



 x  2x  1  x  2x  1 x  2x  1  0

D. T duy nghi m b i vô t :

Ví d 13: x2  5x  x 3x  1   x  1 5x
Ph ng pháp nh n di n b ng TABLE:
B ớc 1: Xét hàm số:

f  x   x2  5x  x 3x  1   x  1 5x

Lựa chọn các giá trị:
Start = 0.5, End = 9.5, Step = 0.5
B ớc 2: Nhận bảng giá trị của
TABLE:
Ta thấy Ph ơng trình có vẻ nh
không có nghiệm bởi tất cả các giá
trị đều mang dấu d ơng. Tuy
nhiên, điều này có thể đ ợc lý giải
nh sau
16


T TH

THU T GI I TOÁN PH

NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG



Với lựa chọn Start = 0.5, End
= 9.5, Step = 0.5, TABLE sẽ
chỉ hiển thị đ ợc các giá trị
hoành độ hữu tỷ, còn các giá
trị hoành độ vô tỷ không
hiển thị đ ợc.
 Nghiệm vô tỷ thì khi nhìn
vào TABLE ta phải thấy hàm
số có sự đổi dấu từ âm sang
d ơng nh ng điều này
không hề xuất hiện bởi
nghiệm kép vô tỷ này sẽ
khiến hàm số không thể đổi
dấu khi đi qua trục hoành.
Nh vậy đây là dấu hiệu của
Nghi m kép vô t , tuy nhiên, điều
đó sẽ chỉ đ ợc khẳng định hoàn
toàn nếu ta tìm đ ợc nghiệm của
ph ơng trình, mà điều này không
quá khó khăn, ta có thể quay trở lại
Mode 1 và dùng SOLVE.
B ớc 3: Quay trở lại Mode 1 và sử
dụng SOLVE, ta tìm đ ợc:
x  2.618033812
Gi i bài toán nghi m b i h u vô t nh th nào?
B ớc 4: Thay vào căn thức ta đ ợc:
 3x  1  2.618033887  x

 5x  3.618033866  x  1
x  3x  1
Vậy ta có đánh giá 
.


x
1
5x


Cách : T o h ng đẳng th c:
17


TH

THU T GI I TOÁN PH

NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

x2  5x  x 3x  1   x  1 5x  x2  5x  x 3x  1   x  1 5x  0

 2x2  10x  2x 3x  1  2  x  1 5x  0



 
2

 x  3x  1  x  1  5x



2

0

Cách : S d ng đánh giá AM – GM:

x2  3x  1


x
3x
1

2

Ta có: 
 x 3x  1   x  1 5x  x2  5x .
2
 x  1  5x



x
1
5x



2
x  3x  1
3 5
x
Do đó x2  5x  x 3x  1   x  1 5x  
.
2
x  1  5x
Cách : Ép tích b ng ẩn ph :
t2
Đặt 5x  t  0  x  . Khi đó ph ơng trình trở thành
5
 t2

t4
t 2 3t 2
 t2 
 1    1  t  t 4  5t 3  25t 2  25t  t 2 15t 2  25  0
25
5 5
5



 t


 5t 10t







 t 2  5t t 2  5t  5  t 2 5t  5  15t 2  25  0
2

2







 50t  50  10t 2 5t  5  15t 2  25  0

 t  5t  5t  5  15t  25   10t   0

  5t  5  15t  25   5t  20t  25t   t  5t  15t  25   0
  5t  5  15t  25   t 10t  50t  50    t  5t   5t  5  15t  25    0
  5t  5  15t  25   t  5t  5  15t  25   t  5t   0
  5t  5  15t  25   4t  t 15t  25   0 . Thay ng ợc t  5x :
 5t  5  15t 2  25

2

2

2

3

2

2

18

5x  1  3x  1

2

2

2

  20x 
2

  4x 
2

2

2

2

 5 5x  5  75x  25

2

2

2

2




2

2

2

2



5x 75x  25  0



5x 3x  1  0 .


T TH

THU T GI I TOÁN PH

NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

. T duy gi i toán b ng ẩn ph không hoàn toàn:
Đây là một dạng ph ơng pháp giải quyết các ph ơng trình có
dạng A B  C bằng cách nhóm về nhân tử mà không cần quan tâm
đến nghiệm của ph ơng trình. Các b ơc làm nh sau
B ớc : Đặt t  B điều kiện t  0 .
Xét ph ơng trình tổng quát có dạng t 2  At  C  B  0 .
B ớc : Gán cho x  100 khi đó ta đ ợc ph ơng trình bậc hai với ẩn
là t và tham số là  .
B ớc :


Tính  và tìm  sao cho



Khi tìm
End =

  f    chúng ta sử dụng TABLE với Start =  9;
Step =

tìm giá trị   0 thỏa mãn điều kiện trên.

Ta tìm đ ợc  và tính đ ợc







Ví d 14: x2  1
Đặt

  f    là số hữu tỷ và   0 .

.

x3  x  1  2x2  2x  3

x3  x  1  t với t  0  t 2  x 3  x  1 khi đó theo ph ơng trình tổng

quát ta đi tìm  vậy ph ơng trình đã cho có dạng nh sau









 t 2  x2  1 t  2x2  2x  3   x3  x  1  0 ( 2) .
Gán giá trị cho x  10 khi đó ph ơng trình ( 2)
  t 2  101t  223  1009  0 .

Tới đây ta tiến hành giải  với tham số  và với ẩn là t .

  101  4  223  1009    
2

Xét hàm số f     

101

2

101

2

 4  223  1009  .

 4  223  1009  .

Sử dụng chức năng TABLE để tìm   0 và  nguyên sao cho
f     có giá trị hữu tỷ

Xét công c TABLE (mode 7) cho:
F( X ) 

101

2

 4X  223  1009X 

Với các giá trị:
 START = 9 .

X
9
8
7

F(X)
.
.
.
19


TH

THU T GI I TOÁN PH

NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

 END = 9.
 STEP = 1.
Khi đó ta tìm giá trị X sao cho F(X)
nhận giá trị hữu tỷ và đồng thời X
là giá trị khác 0.
Dựa vào bảng giá trị TABLE nh
trên, ta nhận thấy với X =  1 thì:
F(X)  123  100  20  3  x2  2 x  3
Vậy nếu lựa chọn   1 thì:
  x2  2 x  3

Do đó, nếu ta lựa chọn
  1

   123  x2  2x  3



f
123




Vậy với cách đặt ẩn phụ là t và
  1 ta đ ợc ph ơng trình có :





.
.
.
.
.

6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

123
101
.
15 .
.
.
.
.
.
.
.

2

  123  100  20  3  x2  2 x  3    x2  2x  3 .

Vậy khi đó ph ơng trình đã cho có dạng nh sau



 
 

 t   x  1 t   x  2x  3x  2   0 .
    x  1  4  x  2x  3x  2    x  2x  3 
t 2  x2  1 t  2x2  2x  3  x3  x  1  0 .
2

2

2

2

3

2

3

2

2

2





   x2  2x  3 .

Khi đó, bằng công thức nghiệm của ph ơng trình bậc , ta thu đ ợc




2
2
x2  x  2
t  x  1  x  2 x  3  
2
2
hai nghiệm sau : 
 x2  1  x2  2 x  3
t 
 x1
2




Đến đây ph ơng trình sẽ đ ợc viết d ới dạng nhân tử nh sau :
 x2  x  2 
2
t 
  t  x  1  0  2t  x  x  2  t  x  1  0
2













 x2  x  2  2 x3  x  1 x  1  x3  x  1  0
20


T TH

THU T GI I TOÁN PH

. T duy gi i toán b ng ph
Ví d 15: x  x  1  2x
Ta có: x  x  1  2x



2

x

 

2

x

NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

ng pháp đánh giá :





ln x2  1  ln  x  3   3x  3  x  2





4

ln x2  1  ln  x  3   3x  3  x  2
4

 

 x  x  2  x  1  3x  3  2 x

2

x







ln x 2  1  2 2 ln  x  3   0

 x1
2
x1 
  2x x ln x2  1  22 ln  x  3   0
  x  2 

 x  x2
x  1  3 



2
x1
1
  2x ln x2  1  2 x 2 ln  x  3 
 2x  x  2  x  1 

 x  x2
x  1  3 

Ta nhận xét hàm số f  x   2x ln  x  1 là hàm số đồng biến khi x  0 .













Do đó Ta đánh giá


Nếu  x  2  x  1  0  x  2 thì :



2
2
x 1
1
  2x ln x2  1  2x ln x 2  1
2x  x  2  x  1 

 x  x2
x  1  3 














 2x2 ln  x  3   2x ln x2  1  x  2  x2  1  x  2 (Loại).
2



Nếu  x  2  x  1  0  x  2 thì :



2
2
x 1
1
  2x ln x2  1  2 x ln x 2  1
2x  x  2  x  1 

 x  x2
x  1  3 














 2x 2 ln  x  3   2x ln x2  1  x  2  x 2  x  2 (Loại).
2



Mặt khác  x  2  x  1  0  x  2  x  1 thử lại ta thấy đều
thỏa mãn là nghiệm của ph ơng trình.

Áp d ng:

x2  15  3x  2  x2  8  ln x





Áp d ng: log 2 2  x  3  2x
Áp d ng:

x3

 x  2x  2  2 x  3  9

e  x  3
 x 
 ln 
  ln 2
x 1
x7
 x2 

x3  10x2  2x  8

 4x

2

4



21


TH

THU T GI I TOÁN PH

NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

Đ 3: T NG H P CÁC K NĂNG C B N X LÝ H U
QU C A LIÊN H P VÀ NHÓM NHÂN T
1. K năng : Th rút t ph ng trình ban đ u:
Nguyên tắc: Sau khi liên hợp xong, ta thực hiện phép thế từ ph ơng
trình ban đầu vào:
CH

Ví d 16: 2 x2  x  2  2x2  4x  x  2

2 x2  x  2  2x2  4x  x  2 

2x2  8x  8
2 x2  x  2  2x2  4x



2x  4
  x  2 
 1  0
2
2
 2 x  x  2  2x  4x 





  x  2  2x  4  2 x2  x  2  2x2  4x  0
Thay ng ợc 2 x2  x  2  x  2  2x2  4x ta có:









  x  2  2x  4  x  2  2x2  4x  2x2  4x  0





  x  2  x  2  2 2x2  4x  0 Đơn giản rồi nhé!)
Ví d 17: x  x2  3  2x2  7  2x2  4
Ta có: x  x2  3  2x2  7  2x2  4







2x2  7  x2  3 
x2  4



2x2  7  x2  3





2x2  4  x  0
x2  4

2x2  4  x

0



1
1
 x2  4 

  0
2
2
2x2  4  x 
 2x  7  x  3


2
2
2
 2x  4  x  2x  7  x  3 
2
 x 4 
0
2
2
2x2  4  x 
 2x  7  x  3















 x2  4



Thay ng ợc
22







2x2  4  x  2x2  7  x2  3  0
x2  3  2x2  7  2x2  4  x ta có:

 x2


T TH


 x

NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

  2x  4  x  2x  7  2x  7  2x  4  x  0
 4   2 2x  4  2 2x  7   0 (Xong rồi nhé!).

 x2  4
2

THU T GI I TOÁN PH

2

2

2

2

2

2

Áp d ng 4: x  x2  3x  3  3 2x3  6 .
Áp d ng 5: x2  9x  1  x 11  3x  2x  3 .
2. K năng : Bình ph ng ph ng trình h qu :

2x2  18

Ví d 18:

2x  18
2







x  1  16  4x  5  x  3 



x  1  16  4x  5  x  3  

5  x  3  2x2  18
x  1  16  4x

 5  x  3

x  3

2
 2x  18  x  1  16  4x
Tr ờng h p 1: x  3 (Thỏa mãn điều kiện xác định).
Thay vào ph ơng trình ta thấy đây là một nghiệm thỏa mãn.
Tr ờng h p 2:

2x2  18  x  1  16  4x . Bình ph ơng hai vế ta

đ ợc:  2x2  3x  1  4



 x  1 4  x   4

 



x2  3x  4  2x2  3x  1







16 x2  3x  4  2x2  3x  1 2
 2x2  x  3 2x 2  7x  21  0



2
2
2x  3x  1  0
2x  3x  1  0
3
 x  1  x  . Thử lại ta thấy các nghiệm này không thỏa mãn
2
ph ơng trình ban đầu.
3. K năng : Đánh giá không âm:
Đánh giá không âm là tạo một l ợng vừa đủ không âm, phần còn lại
đánh giá theo chiều d ơng, thông th ờng đại l ợng không âm có thể
hiểu là một hằng đẳng thức hoặc sử dụng kết hợp điều kiện:
Ví d 19: x3  2x2  x2  2x  5  2 4x  5  5x  4
Ph ơng trình  x3  2x2  5x  4 



 

x 2  2x  5  2  2



4x  5  3  0
23


TH

THU T GI I TOÁN PH

NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG



x 1
8
  x  1  x2  x  4 


0
2
4x
5
3


x  2x  5  2


2


1  15
x 1
8
0
  x  1   x    

2


2
4


4x
5
3



x
2x
5
2



x 1
x
 
1
 2
2
 x  2x  5  2
x
Dùng đánh giá ớc l ợng 
.
8
8


 4x  5  3 3
Dùng TABLE ta nhận thấy
x 1
x 1
1  0  1
2
2
x  2x  5  2
x  2x  5  2
Ta nh n th y v a dùng đánh giá ớc l ng v a dùng TABLE s r t
hi u qu .
2

 8

1
1 
x 1
8
  x  1   x      1 



   0
 3
2

2  12 
4x
5
3


x
2x
5
2









2
1
1
x2  2x  5  3  x
8 4x  5 


  x  1  x    

0
2  12
3 4x  5  3 
x2  2x  5  2
 







Ta chứng minh x2  2x  5  3  x  0  x2  2x  5  x  3
Vì ta bi t ch c ch n d ng r i nên mới ch ng minh đó…
Với x < bất ph ơng trình luôn đúng.
x2  2x  5   x  3 2
4x  4

Ng ợc lại thì quy đồng 
(Đúng).
x
3

x
3



Ví d 20:

x4  3x3
x 3 1





 x2  1



x2  5x  6  x  2









Ph ơng trình  x4  3x3  2 x2  1  x  2   x2  1  x  2 






x2  1  x  2  
3
2
0
  x  2   x  3x  2x  2 


x
2
2





24



x2 2




T TH

THU T GI I TOÁN PH



NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG



 x3  3x2  2x  2 x  2  x 3  4x 2  3x  2 
0
  x  2 


x2 2


Ta kết hợp điều kiện xác định với việc tạo hằng đẳng thức ta đ ợc





x3  3x2  2x  2  x3  2x2  x2  2x  2  x2  x  2    x  1  1  0
2

2


3 7
x  4x  3x  2  x  2x  2x  3x  2  x  x  2   2  x     0
4 8

Vậy ta có x  2 .
Chú ý: Ta có th gi i b ng truy ng c d u, hàm đặc tr ng. Mời b n
đ c t th s c.
Nh ng đôi khi s d ng k thu t Parabol nh , ta có th t o đ c
nh ng b t ngờ thú v h n, mời b n đ c xem bài ví d ti p theo:
3



2

3

2



2

2

Ví d 21: x2  x  8   3x  8  x  1  x2  1  3 x  1  0
Ph ơng trình


x 1



x  1  3   x  1  3  x  1  3 1  x  1   x  x  1  2
  x  1  3 x  1  2 x  1  2  x   x  x  1  1 x  1  3   0
  x  1  3 x  1  2 x  1  2  x  x x  1  x   0
  x  1  3   x  2  x  1  2  x  1   0
 x 1

x  1  3   x  8  x  1  2x x  1  x2  2x   x  8   0



x 1 3  0

Tới đây, sử dụng TABLE với hàm
số:

F  x   x  2 x  1

Ta nhận thấy hàm số tiếp xúc với
đ ờng thẳng y  2 . Hay nói cách
khác, nhân tử:  x  2  x  1  2
Sẽ đem lại hằng đẳng thức!

Thật vậy, đặt t  x  1   x  2  x  1  2  t 3  3t  2   t  1  t  2  .
2

Hay nói cách khác, ta biến đổi ph ơng trình về dạng
25


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×