Tải bản đầy đủ

Chuyên đề khảo sát hàm số và bài toán liên quan

GV.Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

LÝ THUYẾT KHẢO SÁT HÀM SỐ
I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1. Định nghĩa:
Hàm số f đồng biến trên K ⇔ ∀x1, x 2 ∈ K , x1 < x 2 ⇒ f (x1 ) < f (x 2 )
Hàm số f nghịch biến trên K ⇔ ∀x1, x 2 ∈ K , x1 < x 2 ⇒ f (x1 ) > f (x 2 )
2. Điều kiện cần:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f '(x ) ≥ 0, ∀x ∈ I
b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f '(x ) ≤ 0, ∀x ∈ I
3. Điều kiện đủ:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f '(x ) ≥ 0, ∀x ∈ I ( f '(x ) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I.
b) Nếu f '(x ) ≤ 0, ∀x ∈ I ( f '(x ) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I.
c) Nếu f '(x ) = 0 thì f không đổi trên I.
Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó.
4. Điều kiện hàm số luôn đồng biến trên một miền xác định.
Cho hàm số y = f (x , m ) , m là tham số, có tập xác định D.

• Hàm số f đồng biến trên D ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ D
• Hàm số f nghịch biến trên D ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ D .
Từ đó suy ra điều kiện của m.
Chú ý:
● y ' = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
●Nếu y ' = ax 2 + bx + c thì:

a = b = 0

c ≥ 0
• y ' ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ 
a > 0

∆ ≤ 0


a = b = 0


c ≤ 0
• y ' ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ 
a < 0

∆ ≤ 0


●Định lí về dấu của tam thức bậc hai g(x ) = ax 2 + bx + c :
♣ Nếu ∆ < 0 thì g (x ) luôn cùng dấu với a .
b
)
2a
♣ Nếu ∆ > 0 thì g (x ) có hai nghiệm x1, x 2 và trong khoảng hai nghiệm thì g (x ) khác dấu
với a , ngoài khoảng hai nghiệm thì g (x ) cùng dấu với a .

♣ Nếu ∆ = 0 thì g (x ) luôn cùng dấu với a (trừ x = −

●So sánh các nghiệm x1, x 2 của tam thức bậc hai g(x ) = ax 2 + bx + c với số 0:

∆ > 0


♣ x1 < x2 < 0 ⇔ 
P > 0

S < 0


∆ > 0

♣ 0 < x1 < x 2 ⇔ 
P > 0

S > 0


♣ x1 < 0 < x 2 ⇔ P < 0

●Để hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x2 ) bằng d thì
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 1


GV.Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính y ' .
Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:
a ≠ 0


∆
 > 0

(1)
2

Bước 3: Biến đổi x 1 − x 2 = d thành (x 1 + x 2 ) − 4x 1x 2 = d

2

(2)
Bước 4: Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.
Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
1. Khái niệm cực trị của hàm số
Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D ⊂ R) và x 0 ∈ D .
a) x 0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a ;b ) ∈ D và x 0 ∈ (a;b) sao cho

f (x ) < f (x 0 ), ∀x ∈ (a;b) \ {x 0} .
Khi đó f (x 0 ) được gọi là giá trị cực đại (cực đại) của f.
b) x 0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a ;b ) ∈ D và x 0 ∈ (a;b) sao cho

f (x ) > f (x 0 ), ∀x ∈ (a;b) \ {x 0} .
Khi đó f (x 0 ) được gọi là giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f.
c) Nếu x 0 là điểm cực trị của f thì điểm (x 0 ; f (x 0 )) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.
2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị
Nếu hàm số f có đạo hàm tại x 0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f '(x 0 ) = 0 .
Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo
hàm.
3. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị
1. Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a ;b ) chứa điểm x 0 và có đạo hàm trên

(a;b) \ {x 0}
a) Nếu f '(x ) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x 0 thì f đạt cực tiểu tại x 0 .
b) Nếu f '(x ) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x 0 thì f đạt cực đại tại x 0 .
2. Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0 , f '(x 0 ) = 0 và có đạo
hàm cấp hai khác 0 tại điểm x 0 .
a) Nếu f ''(x 0 ) < 0 thì f đạt cực đại tại x 0 .
b) Nếu f ''(x 0 ) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x 0 .
4. Quy tắc tìm cực trị
Qui tắc 1: Dùng định lí 1.
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 2


GV.Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

• Tìm f '(x ) .
• Tìm các điểm x i (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.
• Xét dấu f '(x ) . Nếu f '(x ) đổi dấu khi x đi qua x i thì hàm số đạt cực trị tại x i .
Qui tắc 2: Dùng định lí 2.
• Tính f '(x ) .
• Giải phương trình f '(x ) = 0 tìm các nghiệm x i (i = 1, 2, …).
• Tính f ''(x ) và f ''(xi ) (i = 1, 2, …).
Nếu f ''(x i ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x i .
Nếu f ''(x i ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x i .
III. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ
1. Cho hai đồ thị (C 1 ) : y = f (x ) và (C 2 ) : y = g(x ) . Để tìm hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) ta
giải phương trình: f (x ) = g (x ) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm).
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị.
2. Đồ thị hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
⇔ Phương trình ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
⇔ Hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có cực đại, cực tiểu và yCÑ .yCT < 0 .
IV. TOÁN TIẾP TUYẾN
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C ) : y = f (x ) tại điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) :
• Nếu cho x 0 thì tìm y0 = f (x 0 ) .
Nếu cho y0 thì tìm x 0 là nghiệm của phương trình f (x ) = y0 .
• Tính y ' = f '(x ) . Suy ra y '(x 0 ) = f '(x 0 ) .
• Phương trình tiếp tuyến ∆ là: y − y0 = f '(x 0 ).(x − x 0 )
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C ) : y = f (x ) , biết ∆ có hệ số góc k cho trước.
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.
• Gọi M 0 (x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm. Tính f '(x 0 ) .
• ∆ có hệ số góc k ⇒ f '(x 0 ) = k

(1)

• Giải phương trình (1), tìm được x 0 và tính y0 = f (x 0 ) . Từ đó viết phương trình của ∆.
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.
• Phương trình đường thẳng ∆ có dạng: y = kx + m .
• ∆ tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
f (x ) = kx + m


f '(x ) = k

• Giải hệ (*), tìm được m . Từ đó viết phương trình của ∆.
Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến ∆ có thể được cho gián tiếp như sau:
+ ∆ tạo với chiều dương trục hoành góc α thì k = tan α
+ ∆ song song với đường thẳng d : y = ax + b thì k = a

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

(*)

Page 3


GV.Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

+ ∆ vuông góc với đường thẳng d : y = ax + b (a ≠ 0) thì k = −

1
a

k −a
= tan α
1 + ka
Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): y = f (x ) , biết ∆ đi qua điểm A(x A; yA ) .
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.
• Gọi M 0 (x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm. Khi đó: y0 = f (x 0 ); y '0 f '(x 0 ) .

+ ∆ tạo với đường thẳng d : y = ax + b một góc α thì

• Phương trình tiếp tuyến ∆ tại M : y − y0 = f '(x 0 )(x − x 0 )
• ∆ đi qua A(x A; yA ) nên: yA = −y 0 = f '(x 0 )(x A − x 0 ) (2)
• Giải phương trình (2), tìm được x 0 . Từ đó viết phương trình của ∆.
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.
• Phương trình đường thẳng ∆ đi qua A(x A; yA ) và có hệ số góc k : y − yA = k (x − x A )
• ∆ tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
 f (x ) = k (x − x ) + y

A
A

 f '(x ) = k

(*)
• Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k ). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến ∆.
V. ĐIỀU KIỆN TIẾP XÚC

1. Điều kiện cần và đủ để hai đường (C 1 ) : y = f (x ) và (C 2 ) : y = g(x ) tiếp xúc nhau là hệ phương
trình sau có nghiệm:
 f (x ) = g(x )


 f '(x ) = g '(x )

Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó.
2. Nếu (C 1 ) : y = px + q và (C 2 ) : y = ax 2 + bx + c thì

(*)

(C1) và (C2) tiếp xúc nhau ⇔ phương trình ax 2 + bx + c = px + q có nghiệm kép.
VI. KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách giữa hai điểm A, B: AB =

(x B − x A )2 + (yB − yA )2

2. Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0
d(M, ∆) =

ax 0 + by 0 + c
a 2 + b2

VII. ĐỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Cách 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị.
• Xét dấu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
• Chia miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 4


GV.Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

• Vẽ đồ thị hàm số tương ứng trong các khoảng của miền xác định.
Cách 2: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị.
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y = f (x ) .
Đồ thị (C′) của hàm số y = f (x ) có thể được suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) như sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục hoành.
+ Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dưới trục hoành qua trục hoành.
+ Đồ thị (C′) là hợp của hai phần trên.

Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số y = f ( x ) .
Đồ thị (C′) của hàm số y = f ( x ) có thể được suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) như sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung.
+ Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung.
+ Đồ thị (C′) là hợp của hai phần trên.

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 5


GV.Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

PHẦN I: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
HT 1.

Cho hàm số y =

3
(m − 3)x 3 + mx 2 + (3m − 2)x (1). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để
3

hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó.
Giải
• Tập xác định: D = R. y ′= (m − 3)x 2 + 2mx + 3m − 2 .
(1) đồng biến trên R ⇔ y ′≥ 01 ∀x

⇔ (m − 3)x 2 + 2mx + 3m − 2 ≥ 01 ∀x
m − 3 = 2m = 0
m > 3


3m − 2 ≥ 0
m > 3


3
⇔ 
⇔
⇔ m ≤ ⇔ m ≥ 2
−2m 2 + 5m − 2 ≤ 0

m − 3 > 0
2


 2

2
m


m − (m − 3)(3m − 2) ≤ 0



HT 2.

Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 − mx − 4 (1). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1)

đồng biến trên khoảng (−∞; 0) .
Giải
• Tập xác định: D = ℝ ; y ' = 3x 2 + 6x − m ,
(1) đồng biến trên khoảng (-∞;0) ⇔ y’ ≥ 0, ∀x ∈ (-∞;0)
⇔ 3x 2 + 6x − m ≥ 0 ∀x ∈ (-∞;0)

x -∞
-1
0
f’(x)
- 0 +
x
+
f(x)
-3

⇔ 3x 2 + 6x ≥ m ∀x ∈ (-∞;0)
Xét hàm số f(x) = 3x 2 + 6x − m trên (-∞;0]

+∞

Có f’(x) = 6x + 6; f’(x) = 0 ⇔ x = -1
Từ bảng biến thiên: ⇒ m ≤ −3

HT 3.

Cho hàm số y = 2x3 − 3(2m + 3)x 2 + 6m(m + 3)x + 3 có đồ thị (Cm). Tìm m để hàm số đồng

biến trên khoảng (2; +∞)
Giải

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 6


GV.Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

• Tập xác định: D = ℝ

y ' = 6x 2 − 6(2m + 3)x + 6m(m + 3) có ∆ = (2m + 3)2 − 4(m 2 + m ) = 3 > 0
x = m
y ' = 0 ⇔ 
x = m + 3

Ta có: y’ ≥ 0, ∀x (-∞;m) và (m + 1; +∞)
Do đó: hàm số đồng biến trên (2; +∞) ⇔ m + 3 ≤ 2 ⇔ m ≤ 3
HT 4.

Cho hàm số y = x 3 + (3 − 2m )x 2 + (2 − m )x + m + 2 . Tìm m để hàm đồng biến trên

(0;+∞) .
Giải
• Tập xác định: D = ℝ

y ′= 3x 2 + 2(3 − 2m )x + (2 − m )
Hàm đồng biến trên (0; +∞) ⇔ y ′= 3x 2 + 2(3 − 2m )x + (2 − m ) ≥ 0 với ∀x ∈ (0; +∞)

⇔ f (x ) =

Ta có: f ′(x ) =

2(2x 2 + x − 3)
(4x + 3)2

3x 2 + 2x + 2
≥ m với ∀x ∈ (0; +∞)
4x + 3

x = − 3

= 0 ⇔ 2x + x − 3 = 0 ⇔ 
x = 3

2
2

Lập bảng biến thiên của hàm f (x ) trên (0; +∞) , từ đó ta đi đến kết luận:

3
5
f   ≥ m ⇔ ≥ m
4
 2 

HT 5.

Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 − 3m + 3 (1), (m là tham số). Tìm m để hàm số (1) đồng biến

trên khoảng (1; 2).
Giải
• Tập xác định: D = ℝ
Ta có y ' = 4x 3 − 4mx = 4x (x 2 − m)

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 7


GV.Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

+ m ≤ 0 , y ′≥ 01 ∀x ∈ (3;2) ⇒ m ≤ 0 thoả mãn.
+ m > 0 , y ′= 0 có 3 nghiệm phân biệt: − m 1 01

m.

Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) khi chỉ khi m ≤ 3 ⇔ 0 < m ≤ 3 .

HT 6.

Cho hàm số y =

mx + 4
x +m

Vậy m ∈ (−∞;3 .

(1). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch

biến trên khoảng (−∞;3) .
Giải
• Tập xác định: D = R \ {–m}.

m2 − 4
.
y ′=
(x + m )2

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định ⇔ y ′< 0 ⇔ −2 < m < 2

(1)

Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (−∞;3) thì ta phải có −m ≥ 3 ⇔ m ≤ −3 (2)
Kết hợp (1) và (2) ta được: −2 < m ≤ −3 .

 π
HT 7. Chứng minh rằng, hàm số y = sin2 x + cos x đồng biến trên đoạn 0;  và nghịch biến trên
 3


π 
đoạn  ; π
3 


Giải
Hàm số đã cho xác định trên  0; π 
Ta có: y ' = sin x (2 cos x − 3)1 x ∈ (0; π)
Vì x ∈ (0; π) ⇒ sin x > 0 nên trên (0; π) : y ' = 0 ⇔ cos x =

3
π
⇔x =
2
3

 π
+ Trên khoảng 0;  : y ' > 0 nên hàm số đồng biến trên đoạn
 3 

 π
0; 
 3



π 
+ Trên khoảng  ; π : y ' < 0 nên hàm số nghịch biến trên đoạn
 3 
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

π 
 ; π
3 


Page 8


GV.Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

HT 8. Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + m . Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng
1
Giải
Hàm số đã cho xác định trên ℝ
Ta có: y ' = 3x 2 + 6x + m có ∆ ' = 9 − 3m
+ Nếu m ≥ 3 thì y’ ≥ 0, ∀x ∈ ℝ , khi đó hàm số đồng biến trên ℝ , do đó m ≥ 3 không thỏa mãn.
+ Nếu m < 3, khi đó: y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x3 , x 2 (x3 < x 2 ) và hàm số nghịch biến
trong đoạn: x 3; x 2  với độ dài l = x 2 − x 3


Theo Vi-ét ta có: x 3 + x 2 = −21 x3x 2 =

m
3

Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 ⇔ l = 1
2
4
9
⇔ (x 2 − x3 ) = 3 ⇔ (x3 + x 2 )2 − 4x3x 2 = 3 ⇔ 4 − m = 3 ⇔ m =
3
4

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN

Page 9


GV.Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

PHẦN 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
HT 9.

Cho hàm số y = x 3 + 31 2 2y )x 2 + 32 2 y )x + y + 2 (m là tham số) (1). Tìm các giá trị của

m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ
hơn 1.
Giải
• Tập xác định: D = ℝ

y ′= 3x 2 + 231 − 2y )x + 2 − y = g3x )
YCBT ⇔ phương trình y ′= 0 có hai nghiệm phân biệt x 1, x 2 thỏa mãn: x1 < x 2 < 1 .

 ′
2
∆ = 4y − y − 5 > 0
5
7

⇔
g31) = −5y + 7 > 0
4
5
S

y
2
1
 =
<1
 2
3

HT 10. Cho hàm số y = 3y + 2)x 3 + 3x 2 + yx − 5 , m là tham số. Tìm các giá trị của m để các điểm
cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương.
Giải
• Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương
⇔ PT y ' = 33y + 2)x 2 + 6x + y = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt

a = 3y + 2) ≠ 0

∆ ' = 9 − 3y3y + 2) > 0
∆ ' = −y 2 − 2y + 3 > 0
−3 < y < 1



y
⇔ P =
⇔ y < 0
⇔ y < 0
⇔ −3 < y < −2
0
>



33y + 2)
y + 2 < 0
y < −2



−3

0
=
>
S

y +2
HT 11. Cho hàm số y = 2 x 3 − 3(y + 2) x 2 + 6(5y + 1) x − (4y3 + 2). Tìm y để hàm số đạt cực tiểu tại
x0 ∈ (1; 2 

Giải
Vì hàm số bậc 3 nên để hàm số có hai điểm cực trị ⇔ y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
Do hệ số của x 3 là dương nên khi đó: xCT > xCD
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 10


GV.Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

Ta có y ' = 6[ x 2 − (y + 2) x + 5y + 1], y ' = 0 ⇔ y( x − 5) = x 2 − 2 x + 1 (1)

x2 − 2x + 1
= g( x )
Do x = 5 không là nghiệm của (1) ⇒ (1) ⇔ y =
x−5
g '( x ) =

x 2 − 10 x + 9
( x − 5)2

x = 1
=0⇔
x = 9

Bảng biến thiên:

+

0

-

-

-

0

+

0

Từ bảng biến thiên và kết hợp với nhận xét trên
1
⇒ Hàm số đạt cực tiểu tại x0 ∈ (1;2] ⇔ − ≤ y < 0
3

HT 12. Cho hàm số y =

1 4
3
x − yx 2 +
(1). Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà
2
2

không có cực đại.
Giải
• Tập xác định: D = ℝ

x = 0
y ′= 2x 3 − 2yx = 2x 3x 2 − y) . y ′= 0 ⇔  2
x =y

Đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại ⇔ PT y ′= 0 có 1 nghiệm ⇔ y ≤ 0

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 11


GV.Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

HT 13. Cho hàm số y = −x 4 + 2yx 2 − 4

3C y ). Tìm các giá trị của m để tất cả các điểm cực trị

của 3C y ) đều nằm trên các trục tọa độ.
Giải

x = 0
Ta có: y ' = −4x 3 + 4yx ; y ' = 0 ⇔  2
x = y
Nếu m ≤ 0 ⇒ đồ thị hàm số có 1 điểm cực trị duy nhất và điểm đó nằm trên trục tung.
Nếu m > 0 thì đồ thị hàm số khi đó có 3 điểm cực trị. Một điểm cực trị nằm trên trục tung và
hai điểm cực trị còn lại có tọa độ: 3± y ; y 2 − 4) ⇒ Các điểm này chỉ có thể nằm trên trục
hoành.

y > 0
⇒ Điều kiện các điểm nằm trên trục hoành là 
⇔m=2
 2
y − 4 = 0

y = 2
Kết luận: 
y ≤ 0

HT 14. Cho hàm số y = −x 3 + 32y + 1)x 2 − 3y 2 − 3y + 2)x − 4 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.
Giải
•Tập xác định: D = ℝ

y ′= −3x 2 + 232y + 1)x − 3y 2 − 3y + 2) .
(Cm) có các điểm CĐ và CT nằm về hai phía của trục tung ⇔ PT y ′ = 0 có 2 nghiệm trái dấu
⇔ 33y 2 − 3y + 2) < 0 ⇔ 1 < y < 2 .

HT 15. Cho hàm số y =

1 3
x − yx 2 + 32y − 1)x − 3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để
3

(Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung.
Giải
• TXĐ: D = ℝ ; y ′= x 2 2 2yx + 2y 2 1 .

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 12


GV.Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

Đồ thị (Cm) có 2 điểm CĐ, CT nằm cùng phía đối với trục tung ⇔ y ′= 0 có 2 nghiệm phân biệt
y ≠ 1
 ′
2

∆ = y − 2y + 1 > 0
cùng dấu ⇔ 
⇔ 
y > 1
2y − 1 > 0


2

HT 16. Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + yx + y 2 2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để
(Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.
Giải
• PT hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành:

x 3 + 3x 2 + yx + y 2 2 = 0 31)
x = −1
⇔ 
2
g3x ) = x + 2x + y − 2 = 0 32)
(Cm) có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục 0x ⇔ PT (1) có 3 nghiệm phân biệt

∆ ′= 3 − y > 0
⇔y<3
⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt khác –1 ⇔ 
g3−1) = y − 3 ≠ 0


HT 17. Cho hàm số y =

1 3
4
x − 3y + 1)x 2 + 3y + 1)3 3C ). Tìm y để các điểm cực trị của hàm số
3
3

(C) nằm về hai phía (phía trong và phía ngoài) của đường tròn có phương trình:

x 2 + y 2 − 4x + 3 = 0.
Giải
Ta có: y ' = x 2 − 23y + 1)x
x = 0
y ' = 0 ⇔ 
x = 23y + 1)
4
y30) = 3y + 1)3 ; y32y + 2) = 0
3

Đề hàm số có cực trị thì y ≠ −1.

 4

Gọi hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A 0; 3y + 1)3 ; B32y + 2; 0)
 3

Gọi I là tâm đường tròn, khi đó I 32; 0) và R = 1.
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 13


GV.Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

(

)(

)

A và B nằm về hai phía của đường tròn khi và chỉ khi: IA2 − R2 IB 2 − R2 < 0

IA = 4 +

(IA

2

16
3y + 1)6 ; IB = 4y 2
9



16
− R2 IB 2 − R2 < 0 ⇔ 3 + 3y + 1)6  34y 2 − 1) < 0 3*)

9


)(

)



16
Ta có: 3 + 3y + 1)6  > 0 ∀x

9

Suy ra: 3*) ⇔ 4y 2 − 1 < 0 ⇔ y <

Kết hợp điều kiện ta có: y <

1
2

1
2

HT 18. Cho hàm số y = x 3 − 3yx 2 + 4y 3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có
các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
Giải
• Tập xác định: D = ℝ
x = 0
Ta có: y ′ = 3x 2 − 6yx ; y ′ = 0 ⇔ 
. Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m ≠ 0.
x = 2y

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) ⇒ AB = 32y; −4y 3 )
Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3)
AB ⊥ d
2y − 4y 3 = 0
2
A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d: y = x ⇔ 
⇔  3
⇔y=±
I ∈ d
2y = y
2



HT 19. Cho hàm số y = −x 3 + 3yx 2 − 3y − 1 . Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực
đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d : x + 8y − 74 = 0 .
Giải
• Tập xác định: D = ℝ

y ′= −3x 2 + 6yx ; y ′= 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2y .
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 14


GV.Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

Hàm số có CĐ, CT ⇔ PT y ′= 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ y ≠ 0 .
Khi đó 2 điểm cực trị là: A30; −3y − 1), B32y; 4y 3 − 3y − 1) ⇒ AB32y; 4y 3 )
Trung điểm I của AB có toạ độ: I 3y;2y 3 − 3y − 1)
Đường thẳng d: x + 8y − 74 = 0 có một VTCP u = 38; −1) .
y + 832y 3 − 3y − 1) − 74 = 0
I ∈ d


⇔ 
⇔y =2
A và B đối xứng với nhau qua d ⇔ 
AB.u = 0
AB ⊥ d



HT 20. Cho hàm số y = −x 3 + 3yx 2 + 331 − y 2 )x + y 3 − y 2 (1). Viết phương trình đường thẳng
qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
Giải
• Tập xác định: D = ℝ

y ′= −3x 2 + 6yx + 331 − y 2 ) .
PT y ′= 0 có ∆ = 1 > 0, ∀y ⇒ Đồ thị hàm số (1) luôn có 2 điểm cực trị 3x 1; y1 ), 3x 2 ; y2 ) .
Chia y cho y′ ta được:

1
y
y =  x −  y ′+ 2x − y 2 + y
3
3

Khi đó:

y1 = 2x 1 − y 2 + y ; y2 = 2x 2 − y 2 + y

PT đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là y = 2x − y 2 + y .

HT 21. Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + yx + 2 3C y ). Tìm y để 3C y ) có cực đại và cực tiểu, đồng thời
các điểm cực trị của hàm số cách đều đường thẳng d : x − y − 1 = 0.
Giải
Ta có : y ' = 3x 2 − 6x + y; y ' = 0 ⇔ 3x 2 − 6x + y = 0 31).
Hàm số 3C y ) có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ y < 3.
Giả sử A3x 1; y1 ), B (x 2 ; y2 ) là hai điểm cực trị của hàm số 3C y ),3x1, x 2 là 2 nghiệm của (1).

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 15


GV.Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

x 1 
y

y
Ta có : y = y '  −  + 2  − 1 x + 2 +
và y '3x1 ) = y '3x 2 ) = 0
3
 3 3 
3

y

y
Nên phương trình đường thẳng đi qua A, B là : d ' : y = 2  − 1 x + 2 + .
3
3

Do đó, các điểm A, B cách đều đường thẳng (d) trong hai trường hợp sau :

y

9
Trường hợp 1 : (d’) cùng phương với (d) ⇔ 2  − 1 = 1 ⇔ y = (Không thỏa mãn)
2
3

Trường hợp 2 : Trung điểm I của A, B nằm trên (d). Do (I) là trung điểm của AB nên tọa độ (I)

x = x 1 + x 2 = 1

2
là : 
Vì I nằm trên (d) nên ta có 1 − y − 1 = 0 ⇔ y = 0 (thỏa mãn)

y1 + y2
=y
y =
2


KL : y = 0

HT 22. Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 − yx + 2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có
các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y = x − 1 .
Giải
• Tập xác định: D = ℝ
Ta có: y ' = 3x 2 − 6x − y .
Hàm số có CĐ, CT ⇔ y ' = 3x 2 − 6x − y = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x 2

⇔ ∆ ' = 9 + 3y > 0 ⇔ y > −3 (*)
Gọi hai điểm cực trị là A (x 1; y1 ); B (x 2 ; y2 )

1
 2y


1
y
+ 2 x + 2 − 
Thực hiện phép chia y cho y′ ta được: y =  x −  y '− 
 3
 3

3 
3 

 2y


 2y


y
y
+ 2 x1 + 2 − ; y2 = y (x 2 ) = −
+ 2 x 2 + 2 − 
⇒ y1 = y (x1 ) = −
3 
3 
 3


 3



BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 16


GV.Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

 2y


y
+ 2 x + 2 − 
⇒ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là ∆: y = − 
3 
 3


Các điểm cực trị cách đều đường thẳng y = x − 1 ⇔ xảy ra 1 trong 2 trường hợp:
TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng y = x − 1

 2y

3
⇔ −
+ 2 = 1 ⇔ y = − (thỏa mãn)
2
 3

TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng y = x − 1
⇔ yI = x I − 1 ⇔

y1 + y2

=

x1 + x 2

2
2
 2y

2y
⇔ 
+ 3 .2 = 6 −
⇔y=0

3
 3

 2y


y
− 1 ⇔ − 
+ 2 (x 1 + x 2 ) + 2 2 −  = (x 1 + x 2 ) − 2

 3

3 


3 
Vậy các giá trị cần tìm của m là: y = 
0; − 

2 

HT 23. Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + yx

(1). Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các

điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d : x 2 2y 2 5 = 0 .
Giải
• Tập xác định: D = ℝ
Ta có y = x 3 − 3x 2 + yx ⇒ y ' = 3x 2 − 6x + y
Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y ′= 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ = 9 − 3y > 0 ⇔ y < 3

1
2

1
1
Ta có: y =  x −  y ′+  y − 2 x + y
 3
 3
3 
3

Tại các điểm cực trị thì y ′= 0 , do đó tọa độ các điểm cực trị thỏa mãn phương trình:

2

1
y =  y − 2 x + y

3
3

2

1
Như vậy đường thẳng ∆ đi qua các điểm cực trị có phương trình y =  y − 2 x + y
3
3


BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 17


GV.Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

nên ∆ có hệ số góc k1 =

2
y −2.
3

d: x 2 2y 2 5 = 0 ⇔ y =

1
5
1
x − ⇒ d có hệ số góc k2 =
2
2
2

Để hai điểm cực trị đối xứng qua d thì ta phải có d ⊥ ∆
⇒ k1k2 = −1 ⇔


1  2
 y − 2 = −1 ⇔ y = 0

2 3

Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là I(1; –2).
Ta thấy I ∈ d, do đó hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua d.
Vậy: m = 0

HT 24. Cho hàm số y = x 3 − 33y + 1)x 2 + 9x + y − 2 (1) có đồ thị là (Cm). Với giá trị nào của m thì
đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d : y =
Giải
• Tập xác định: D = ℝ

y ' = 3x 2 − 63y + 1)x + 9
Hàm số có CĐ, CT ⇔ ∆ ' = 93y + 1)2 − 3.9 > 0 ⇔ y ∈ 3−∞; −1 − 3) ∪ 3−1 + 3; +∞)

1
y + 1 ′
 y − 23y 2 + 2y − 2)x + 4y + 1
Ta có y =  x −
3 
3
Giả sử các điểm cực đại và cực tiểu là A3x 1; y1 ), B3x 2 ; y2 ) , I là trung điểm của AB.
⇒ y1 = −23y 2 + 2y − 2)x 1 + 4y + 1 ; y2 = −23y 2 + 2y − 2)x 2 + 4y + 1

x + x = 23y + 1)
2
và:  1
x 1.x 2 = 3


Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là y = −23y 2 + 2y − 2)x + 4y + 1

A, B đối xứng qua (d): y =

AB ⊥ d
1
x ⇔ 
⇔ y = 1.
I ∈ d
2


BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 18

1
x.
2


GV.Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

HT 25. Cho hàm số y =

1 3
1
x − 3y − 1)x 2 + 33y − 2)x + , với y là tham số thực. Xác định y để
3
3

hàm số đã cho đạt cực trị tại x 1, x 2 sao cho x1 + 2x 2 = 1 .
Giải
• Tập xác định: D = ℝ
Ta có: y ′= x 2 − 23y − 1)x + 33y − 2)
Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ y ′= 0 có hai nghiệm phân biệt x 1, x 2
⇔ ∆′ > 0 ⇔ y 2 − 5y + 7 > 0 (luôn đúng với ∀m)
x + x = 23y − 1)
x = 3 − 2y
2
Khi đó ta có:  1
⇔  2
x 1x 2 = 33y − 2)
x 2 (1 − 2x 2 ) = 33y − 2)


⇔ 8y 2 + 16y − 9 = 0 ⇔ y =

−4 ± 34
.
4

HT 26. Cho hàm số y = x 3 − 33y + 1)x 2 + 9x − y , với y là tham số thực. Xác định y để hàm số
đã cho đạt cực trị tại x 1, x 2 sao cho x1 − x 2 ≤ 2 .
Giải
• Tập xác định: D = ℝ
Ta có y ' = 3x 2 − 63y + 1)x + 9.
+ Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x 1, x 2 ⇔ PT y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1, x 2
⇔ PT x 2 − 23y + 1)x + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt là x 1, x 2 .
y > −1 + 3

⇔ ∆ ' = 3y + 1) − 3 > 0 ⇔ 
y < −1 − 3

2

31)

+ Theo định lý Viet ta có x 1 + x 2 = 23y + 1); x 1x 2 = 3. Khi đó:
2

2

x 1 − x 2 ≤ 2 ⇔ (x 1 + x 2 ) − 4x 1x 2 ≤ 4 ⇔ 4 (y + 1) − 12 ≤ 4

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 19


GV.Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

⇔ 3y + 1)2 ≤ 4 ⇔ −3 ≤ y ≤ 1

(2)

+ Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m cần tìm là −3 ≤ y < −1 − 3 và −1 + 3 < y ≤ 1.

HT 27. Cho hàm số y = x 3 + 31 − 2y )x 2 + 32 − y )x + y + 2 , với y là tham số thực. Xác định y
để hàm số đã cho đạt cực trị tại x 1, x 2 sao cho x1 − x 2 >

1
.
3

Giải
• Tập xác định: D = ℝ
Ta có: y ' = 3x 2 + 231 − 2y )x + 32 − y )
Hàm số có CĐ, CT ⇔ y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1, x 2 (giả sử x 1 < x 2 )

y > 5
2
2
⇔ ∆ ' = 31 − 2y ) − 332 − y ) = 4y − y − 5 > 0 ⇔ 
4

y
<

1


(*)


x + x = − 231 − 2y )
1
2
3
Hàm số đạt cực trị tại các điểm x 1, x 2 . Khi đó ta có: 

2 −y
x x =
3
 1 2
x1 − x 2 >

2
2
1
1
⇔ (x1 − x 2 ) = (x 1 + x 2 ) − 4x 1x 2 >
3
9

⇔ 431 − 2y )2 − 432 − y ) > 1 ⇔ 16y 2 − 12y − 5 > 0 ⇔ y >

Kết hợp (*), ta suy ra y >

HT 28. Cho hàm số y =

3 + 29
3 − 29
∨y <
8
8

3 + 29
∨ y < −1
8

2 3
4
x + 3y + 1)x 2 + 3y + 1)3y + 3)x + 31), y là tham số. Tìm y để hàm
3
3

1
số (1) đạt cực đại, cực tiểu tại x 1x 2 sao cho x1 + x 2 − x 1x 2 đạt giá trị lớn nhất.
2
Giải
Ta có : y ' = 2x 2 + 23y + 1)x + 3y + 1)3y + 3) ;
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔ 3y + 1)2 − 23y + 1)3y + 3) > 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 20


GV.Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

⇔ −3y + 1)3y + 5) > 0 ⇔ −5 < y < −1

Khi đó : x 1 + x 2 = −y − 1; x 1x 2 =

3y + 1)3y + 3)
2

1
1
1
Nên x1 + x 2 − x 1x 2 = −y − 1 − 3y + 1)3y + 3) = −3y 2 + 8y + 7)
2
4
4
1
1
9 9
= − 3y 2 + 8y + 7) = − 3y + 4)2 + ≤ , ∀y
4
4
4 4

1
9
Suy ra : x1 + x 2 − x 1x 2 đạt giá trị lớn nhất bằng khi y = −43t / y )
2
4

HT 29. Cho hàm số y = 4x 3 + yx 2 2 3x . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x 1, x 2 thỏa

x1 = −4x 2 .
Giải
• Tập xác định: D = ℝ

y ′= 12x 2 + 2yx 2 3 . Ta có: ∆′ = y 2 + 36 > 0, ∀y ⇒ hàm số luôn có 2 cực trị x 1, x 2 .

x = −4x
2
 1

y
Khi đó: x1 + x 2 = −

6

1
x1x 2 = −
4


⇒y =±

9
2

Câu hỏi tương tự:
a) y = x 3 + 3x 2 + yx + 1 ;

x1 + 2x 2 = 3

HT 30. Tìm các giá trị của m để hàm số y =

ĐS: y = −105 .

1 3 1
x − yx 2 + 3y 2 − 3)x có cực đại x1 , cực tiểu x 2 đồng
3
2

thời x1 ; x 2 là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng

5
2

Giải
Cách 1: Miền xác định: D = ℝ có y ' = x 2 − yx + y 2 − 3; y ' = 0 ⇔ x 2 − yx + y 2 = 0
Hàm số đạt cực đại tại x1 cực tiểu tại x 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi pt y’= 0 có hai
nghiệm dương phân biệt, triệt tiêu và đồi dấu qua hai nghiệm đó:
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 21


GV.Lưu Huy Thưởng

0968.393.899


2


4 − y > 0
∆ > 0
−2 < y < 2
S > 0 ⇔ y > 0
⇔ y > 0
⇔ 3 < y < 2 3*)





P > 0
y 2 − 3 > 0
y < − 3 ∨ y > 3




x + x = y
 1
2
Theo Vi-ét ta có: 
2
x1x 2 = y − 3
Mà x 12 + x 22 =

5
14
⇔ 23x1 + x 2 )2 − 4x 1x 2 = 5 = 5 ⇔ 2y 2 − 43y 2 − 3) = 5 ⇔ y = ±
2
2

Đối chiếu điều kiện (*) ta được: y =

HT 31. Cho hàm số y =

14
2

2 3
x + 3y + 1)x 2 + 3y 2 + 4y + 3)x + 1. Tìm y để hàm số có cực trị. Tìm
3

giá trị lớn nhất của biểu thức A = x 1x 2 − 23x 1 + x 2 ) với x1, x 2 là các điểm cực trị cửa hàm số.
Giải
Ta có: y ' = 2x 2 + 23y + 1)x + y 2 + 4y + 3
Hàm số có cực trị ⇔ y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt.
⇔ y 2 + 6y + 5 < 0 ⇔ −5 < y < −1
x + x = −1 − y
 1
2
1
Khi đó ta có: 
⇒ A = y 2 + 8y + 7
1
2
x x = 3y + 4y + 3)
2
 1 2 2
1
9
Xét t = 3y 2 + 8y + 7) trên 3−5; −1) ⇒ − ≤ t < 0
2
2

Từ đó ta có A ≤

9
khi y = −4
2

HT 32. Cho hàm số y = x 3 − 33y + 1)x 2 + 9x − y 31) với y là tham số thực. Xác định y để hàm
số (1) đạt cực đại , cực tiểu sao cho yCD + yCT = 2
Giải
Ta có: y ' = 3x 2 − 63y + 1)x + 9

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 22


GV.Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x 1, x 2 ⇔ y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x 2

⇔ x 2 − 23y + 1)x + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x 2

y > −1 + 3
⇔ ∆ ' = 3y + 1) − 3 > 0 ⇔ 
3*)
y < −1 − 3

2

x + x = 23y + 1)
2
Theo Viet ta có:  1
x1x 2 = 3

yCD + yCT = 2 ⇔ x 13 − 33y + 1)x 12 + 9x 1 − y + x 23 − 33y + 1)x 22 + 9x 2 − y = 2

⇔ x13 + x 23 − 33y + 1)3x12 + x 22 ) + 93x1 + x 2 ) − 2y − 2 = 0
⇔ 3y + 1)3y 2 + 2y − 3) = 0

y = −13l )

⇔ y = 13t / y )

y = −33t / y )


HT 33. Cho hàm số y =

1 3
x − yx 2 + 3y 2 − 1)x + 1 (Cy ). Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và:
3

yC D + yCT > 2
Giải
Ta coù:y ' = x 2 − 2yx + 3y 2 − 1)
∆ 'y ' = y 2 − y 2 + 1 = 1 > 0
x = y + 1
⇒ y ' = 0 ⇔ 
x = y − 1

⇒ yCD + yCT = y3y +1) + y3y −1)
3y + 1)3
3y − 1)3
− y3y + 1)2 + 3y 2 − 1)3y + 1) + 1] + [
− y3y − 1)2 + 3y 2 − 1)3y − 1) + 1]
3
3
−1 < y < 0
= 2y 3 − 2y + 2 > 2 ⇔ y3y 2 − 1) > 0 ⇔ 
y > 1
−1 < y < 0
KL: 
y > 1
=[

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 23


GV.Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

3
HT 34. Cho hàm số y = x 3 − 3y − 2)x 2 − 33y − 1)x + 1 31), y là tham số. Tìm y > 0 để đồ thị
2

hàm số (1) có giá trị cực đại, cực tiểu lần lượt là yCD , yCT thỏa mãn: 2yCD + yCT = 4 .
Giải
Ta có: y ' = 3x 2 − 33y − 2)x − 33y − 1), ∀x ∈ ℝ
x = x = − 1
1
y ' = 0 ⇔ x 2 − 3y − 2)x − y + 1 = 0 ⇔ 
x
=
x
= y −1
2


Chú ý rằng với y > 0 thì x 1 < x 2 . Khi đó hàm số đạt cực đại tại x 1 = −1 và đạt cực tiểu tại

x 2 = y − 1. Do đó: yCD = y3−1) =
Từ giả thiết ta có: 2.

3y
1
, yCT = y3y − 1) = − 3y + 2)3y − 1)2 + 1
2
2

3y 1
− 3y + 2)3y − 1)2 + 1 = 4 ⇔ 6y − 6 − 3y + 2)3y − 1)2 = 0
2
2

y = 1

⇔ 3y − 1)3y 2 + y − 8) = 0 ⇔ 
y = −1 ± 33

2

Đối chiếu điều kiện y > 0 ta có giá trị của y là y = 1, y =

−1 + 33
2

HT 35. Cho hàm số y = x 3 2 3x 2 + 2 (1). Tìm điểm M thuộc đường thẳng d : y = 3x − 2 sao tổng
khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất.
Giải
• Các điểm cực trị là: A(0; 2), B(2; –2).
Xét biểu thức g 3x , y ) = 3x − y − 2 ta có:
g 3x A, yA ) = 3x A − yA − 2 = −4 < 0; g3x B , yB ) = 3x B − yB − 2 = 6 > 0

⇒ 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng d: y = 3x − 2 .
Do đó MA + MB nhỏ nhất ⇔ 3 điểm A, M, B thẳng hàng ⇔ M là giao điểm của d và AB.
Phương trình đường thẳng AB: y = −2x + 2

y = 3x − 2
x =

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: 
⇔ 
y = −2x + 2


y =


4


5 ⇒ M  4 ; 2 

 5 5 
2
5

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 24


GV.Lưu Huy Thưởng

0968.393.899

HT 36. Cho hàm số y = x 3 − 3yx 2 + 33y 2 − 1)x − y 3 + y

(1). Tìm m để hàm số (1) có cực trị

đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng

2 lần khoảng

cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O.
Giải
• Tập xác định: D = ℝ
Ta có

y ′= 3x 2 − 6yx + 33y 2 − 1)

Hàm số (1) có cực trị thì PT y ′= 0 có 2 nghiệm phân biệt
⇔ x 2 − 2yx + y 2 − 1 = 0 có 2 nhiệm phân biệt ⇔ ∆ = 1 > 0, ∀y

Khi đó: điểm cực đại A3y − 1;2 − 2y ) và điểm cực tiểu B 3y + 1; −2 − 2y )
y = −3 + 2 2

Ta có OA = 2OB ⇔ y + 6y + 1 = 0 ⇔ 
.
y = −3 − 2 2

2

HT 37. Cho hàm số y = x 3 − 33y + 1)x 2 + 3y3y + 2)x − 2 + y 3C ) .Tìm y để đồ thị hàm số (C)
có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số (C) tới trục Ox bằng khoảng
cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số (C) tới trục Oy.
Giải
x = y
Ta có: y ' = 3x 2 + 63y + 1)x + 3y3y + 2); y ' = 0 ⇔ 
x = y + 2

Hàm số có cực trị với mọi y . Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (C) là:

A3y; y 3 + 3y 2 + y − 2), B3y + 2; y 3 + 3y 2 + y − 6)
Ta có hàm số là hàm bậc ba với hệ số a = 1 > 0 ⇒ điểm cực đại nhỏ hơn điểm cực tiểu.
Vậy A là điểm cực đại, B là điểm cực tiểu.
Ta có: d3A;Ox ) = y 3 + 3y + y − 2 , d3B,Oy ) = y + 2
y

y
3
Theo giả thiết ta có: y + 3y + y − 2 = y + 2 ⇔ 
y
y


= −2
= −1
=1
=0

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN

Page 25


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×