Tải bản đầy đủ

Bai tap nang cao hinh hoc 9

Đề ôn tập Hình học 8 (Dành cho học sinh khá giỏi)
phần tứ giác
1.
Cho hỡnh vuụng ABCD. Trờn tia i BA
E
ly 1 im E, trờn tia i ca CB ly 1 im
I
F sao cho EA = FC.
C
a. Chng minh rng tam giỏc FED
B
F
vuụng cõn.
b. Gi O l giao im ca 2 ng chộo
O
AC v BD, gi I l Trung im FE. Chng minh
rng O,C,I thng hng
HD: a/ C/m : ADE = CDF
A
D
ã

DE = DF ; ãADE = CDF
b/ C/m : OB = OD; CB = CD; IB = ID
2.
Cho tam giỏc ABC vuụng ti A.
Q
(AC>AB), ng cao AH. Trong na
B
mt phng b cha AH v hỡnh vuụng
H
G2
AHKE.
K
0
à > 45 .
a. Chng minh rng B
I
b. Gi P l giao im ca AC v KE.
Chng minh rng tam giỏc ABP
C
A
vuụng cõn.
H2
P
c. Gi Q l nh th t ca hỡnh bỡnh
E
hnh APQB, gi I l giao im ca
BP v AQ. Chng minh rng H,I,E
HD:
thng hng.
b.C/m : AHB = AEP
d. Chng minh rng HE//QK
c.C/m : ABQP l hỡnh vuụng
H; I ; E cỏch ờu hai u mỳt AK
d. C/m AQK vuụng ( Tinh cht t/tuyờn = ẵ cnh)
3.
Cho hỡnh vuụng ABCD. Trờn cnh BC
A
B
E
ly 1 im M tựy ý. ng thng vuụng

gúc vi AM ti M ct AB ti E v CD ti
F. Chng minh rng MA = EF
HD:
M
Ke EG // BC.C/m : AMB= EGF (g.c.g).
C

D
F
A

4.

Cho hỡnh vuụng ABCD; im E thuc
cnh BC, im F thuc cnh CD. Biờt
ã
= 450 .Chng minh rng chu vi
FAE
tam giỏc CFE bng na chu vi hỡnh
vuụng ABCD
HD GIAI: Ly ID = BE. C/m EF = IF
ABE=ADI => AE=AI; gúc BAE = gúc DAI
=> IAF = 90 45 = 45 => AEF=AIF
(c.g.c)

G
B

E

I

1

D

F

C


§Ò «n tËp H×nh häc 8 (Dµnh cho häc sinh kh¸ giái)
5.

Cho hình vuông ABCD; điểm E thuộc
cạnh BC, điểm F thuộc cạnh CD sao cho
chu vi tam giác CFE bằng nửa chu vi
hình vuông ABCD. Chứng minh rằng
·
= 450.
FAE

A

B

E

HD :
C/m : ∆AID = ∆AEB; ∆AIF = ∆AEF (c.c.c)

I
6.

D

Cho hình thang vuông ABCD có đáy
CD = 9 cm, AB = 4 cm, cạnh xiên BC =
13 cm. Trên cạnh BC lấy điểm M sao
cho BM = BA. Đường thẳng vuông góc
với BC tại M cắt AD tại N.
a. Chứng minh rằng : điểm N nằm trên
tia phân giác góc ABM.
b. Chứng minh rằng : BC2 = BN2 + ND2
+ DC2
c. Tính diện tích hình thang ABCD

F

C
H

D

C

N
M

HD :
·
b.C/m N nằm trên tia p/g DCM
⇒ ∆BNC
vuông
c.Tính BH = 12cm
7.
Cho các điểm E và F nằm trên các cạnh
AB và BC của bình hành ABCD sao cho
FA = EC. Gọi I là giao điểm của FA và
EC. Chứng minh rằng ID là phân giác
của góc AIC
HD: S∆AFD = S∆CED = SABCD ⇒ DH = DK

A

B

H

A

E

B

I
F
C

D

m ∠ DAB = 33

K
8.

Cho hình thoi ABCD có góc B tù . Kẻ
BM và BN lần lượt vuông góc với các
cạnh AD và CD tại M và N. Biết rằng

B

C

MN 1
= . Tính các góc hình thoi
DB 2

N
A

M

D

·
·
HD: ∆IMN đều ⇒ MBN
= 300 ⇒ DBC
= 750 ⇒ =
1500

2


§Ò «n tËp H×nh häc 8 (Dµnh cho häc sinh kh¸ giái)
9.

Cho hình thang ABCD có độ dài 2 đáy
là AB = 5 cm và CD = 15 cm, độ dài 2
đường chéo là AC = 16 cm, BD = 12
cm. Từ A vẽ đường thẳng song song với
BD cắt CD tại E.
a. Chứng minh rằng ACE là tam giác
vuông tại A.
b. Tính diện tích hình thang ABCD.

HD:
a.Tính AE ; CE ,sử dụng định lí PItago đảo
b. 2 tam giác AED; ACB có cùng diện tích
⇒ SABCD = S∆CAE
10.
Ở bên ngoài hình bình hành ABCD vẽ 2
hình vuông ABEF và ADGH .Chứng
minh :
a. AC = FH; AC ⊥ FH.
b. CEG là tam giác vuông cân.
HD: a.∆ACB = ∆FHA (c-g-c)
b.∆GDC = ∆CBE (c-g-c) .Dựa vào t/c 2
góc có cạnh tương ứng vuông góc (đảo)

E

D

A

B

C

F

E

Q
A

H

B
G

D

C

11.

Cho tam giác ABC có BC = a và đường
cao AH = h.Từ một điểm M trên AH vẽ
đườnh thẳng song song với BC cắt AB
và AC lần lượt tại P và Q. Vẽ PS và QR
vuông góc với BC (S, R thuộc BC).
a.Tính diện tích tứ giác PQRS theo a, h,
x (AM = x).
b.Xác định vị trí M trên AH để diện tích
này lớn nhất?
HD: a.SABC = S∆APQ + SBPQC (Đặt PQ = y)
⇒ y = ⇒ SPQRS = x.(h - x)
b.x + (h - x) = h (không đổi) ⇒ x.(h - x) lớn
nhất khi x = h - x ⇒ x =
12.
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo
cắt nhau tại O.Kí hiệu S là diện tích.
Cho SAOB = a2 ; SCOD = b2 với a , b là 2
số cho trước.
Hãy tìm GTNN của SABCD?
HD: = = ⇒ SAOD .SBOC =a2b2
Áp dụng ( x + y)2 ≥ 4xy
⇒(SAOD + SBOC )2≥ 4SAOD .SBOC
⇒SAOD + SBOC ≥ 2..
⇒ SABCD ≥ 4..
Dấu bằng xảy ra khi SAOD = SBOC ⇒ AB//CD

A

x
M

P

B

S

Q

H

R

C

A
K

B

O

H
D
C

3


§Ò «n tËp H×nh häc 8 (Dµnh cho häc sinh kh¸ giái)
13.

Cho tam giác ABC cân tại A với A là
góc nhọn; CD là đường phân giác góc
ACB, Qua D kẻ đường thẳng vuông góc
với CD; đường nay cắt đường thẳng CB
tại E , Chứng minh rằng BD = EC
·
·
·
HD: DBG
= DGB
= 2GCD

A

D

E B

G

14.

Cho hình vuông ABCD cạnh a. điểm M
di động trên cạnh AB; N di động trên
cạnh AD sao cho chu vi tam giác AMN
không đổi và bằng 2a.Xác định vị trí của
MN để diện tích tam giác CMN đạt giá
trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó
HD: SCMN = (a2 - SAMN) ≤ a2.

C

M

B

A

H
N
C

D

15.

Cho tam giác ABC vuông cân tại A.Lấy
điểm M tùy ý trên cạnh AC. Kẻ tia Ax
vuông góc với BM. Gọi H là giao điểm
của Ax với BC và K là điểm đối xứngvới
C qua H. Kẻ tia Ky vuông góc với BM.
Gọi I là giao điểm của Ky với AB. Tính
·AIM .
HD: I là trực tâm ∆MBD ⇒ MI ⊥BD
CB ⊥ BD⇒ ·AIM = 450.

D

A

M
C

I
H

K

16.

Cho hình vuông ABCD. Trên các tia đối
của CB và DC, lấy các điểm M,N sao
cho DN = BM. Các đường thẳng song
song kẻ từ M với AN và từ N với AM
cắt nhau tại F.
a. Chứng minh rằng : Tứ giác ANFM là
hình vuông.
b. Gọi O là giao điểm của MN và AF.
Chứng minh rằng ba điểm B, O, D
thẳng hàng và tứ giác BOFC là hình
thang.
c. Chứng minh rằng điểm F nằm trên
tia phân giác của góc MCN và tam
giác ACF vuông tại C.
HD: b. OA = OC; DA = DC; BA = BC.
c. Kẻ FK ⊥ BC; FH ⊥ CD ; CKFH là hình
vuông

N

H

B

A

B

D

C

O
M

K
F

4


Đề ôn tập Hình học 8 (Dành cho học sinh khá giỏi)
17.

Cho hỡnh vuụng ABCD . Trờn cnh CD,
ly M bt kỡ. Cỏc tia phõn giỏc ca cỏc
gúc BAM v DAM ln lt ct cnh BC
ti E v ct cnh CD ti F .
Chng minh rng MA FE
HD: DK = BE; ADK = ABE suy ra
AKF=AEF. ADF = AIF ( I l giao im
AM v EF)
18.
Cho tam giỏc ABC cú gúc A = 30 0.
Dng bờn ngoi tam giỏc ờu BCD.
Chng minh rng AD2 = AB2 + AC2
HD:Dng ờu ADE + = 2700
Cỏi khú hiu ca cỏc em l ch vỡ sao gúc C4
vuụng thụi ỳng khụng?
(Thy khụng dựng ký hiu toỏn cho nhanh nhộ)
Ta thy tam giỏc BCD v tam giỏc ADE cựng l
tam giỏc ờu nờn gúc D1+D2 = 60 , D2+D3
cng bng 60 . Chinh vỡ vy l D1 = D3. T
ú suy ra tam giỏc ABD = tam giỏc ECD (c g
c), do ú gúc C3 = B1 + B2
Vỡ vy tng cỏc gúc C1 + C2 + C3 = C1 + C2 +
B1 + B2 = 360 - (A1+A2+D1+D2)
(Xột tng cỏc gúc ca t giỏc ABDC ú nhộ)
= 360 - (30 +60 )=270 .
ờn õy hiu cha?

B

A

E

K

D

19.

Cho tam giỏc ABC cõn ti A cú H l
trung im cnh BC.
Gi I l hỡnh
chiờu vuụng gúc ca H trờn cnh AC v
EB = 1,44 cm
O l trung im
ca HI. Chng minh
rng AO BI
HD: Gi M l trung im CI; Vỡ H l trung
im ca BC nờn MH // BI O l trc tõm
AMH

C

M

F

A

I
M

K
O
H

C
20.

Cho tam giỏc ABC cõn ti A, ly cỏc
im E v K ln lt trờn cỏc tia AB v
AC sao cho : AE + AK = AB + AC.
Chng minh rng EK > BC.
HD: BC = MN ; OE > OM

B

A

E

B

M

C
O

N

K

5


§Ò «n tËp H×nh häc 8 (Dµnh cho häc sinh kh¸ giái)
21.

Cho hình thang cân ABCD
(AB//CD) có AC = 6cm;
= 450. .O là giao điểm của 2 đường
chéo.Tính diện tích hình thang ABCD
HD: = 450
Bài này không nhất thiết phải theo hướng dẫn
cho phức tạp.
Ta chỉ hạ DH vuông góc với AB, BK vuông góc
với DC sẽ có DKBH là hình chữ nhật. Lại có =
450 nên đường chéo DB là phân giác, do đó nó
là hình vuông.
Do hình thang ABCD cân nên DB = AC = 6cm.
Hình vuông DKBH biết đường chéo sẽ tính
được cạnh. Đúng không?
Bây giờ ta lại có tam giác ADH = tam giác CBK
(ch – cgv). Do đó thay việc tính diện tích hình
thang ABCD bằng việc tính diện tích hình
vuông DKBH. Đến đây quá dễ rồi!
22.
Cho tứ giác lồi ABCD. Qua trung điểm
của đường chéo BD dựng đường thẳng
song song với đường chéo. AC , đường
thẳng này cắt đoạn thẳng AD tại E.
Chứng
minh rằng CE chia tứ giác
thành 2 phần có diện tích bằng nhau
HD: SCAE = SCAO
(Vì hai tam giác có chung đáy AC, đường cao
hạ từ E và đường cao hạ từ O cùng bằng đường
cao của hình thang ACOE nên chúng bằng
nhau.)
⇒ SABCE = SABC + SCAE = SABC + SCAO = SABCO
= SABO + SBCO (Tách tứ giác ABCO thành 2 tg)
= (SABD+SBCD) = SABCD (Diện tích tgABO=1/2 dt
tg ABD là vì BO=1/2BD, tương tự như vậy với
SBCO và SBCD)
*E ∉ Đoạn AD .Không đúng
23.
Các đường chéo của tứ giác lồi ABCD
vuông góc với nhau. Qua Trung điểm
các cạnh AB và AD kẻ những đường
vuông góc theo thứ tự với các cạnh CD
và CB. Chứng minh rằng 2 đường thẳng
vuông góc này và đường thẳng AC đồng
quy.
HD: E là trung điểm AC ⇒ H là trực tâm ∆
MPE
Bài này dễ mà.
E là trung điểm AC nên ME là đường trung bình
tam giác ABC, PE là đường trung bình tam giác
ACD => ME//BC ; PE//DC.
Mà PQ vuông góc với BC ; MN vuông góc với
DC nên suy ra PQ vuông góc với ME ; MN
vuông góc với PE.
H là trực tâm được chưa ? (trực tâm nằm ngoài

D

C

K

O

A

B

H

B

C

I
O

A
E

D

B

M
Q
E

A

C

H
N
P

D

6


§Ò «n tËp H×nh häc 8 (Dµnh cho häc sinh kh¸ giái)
tam giác đó).
BC ABD
= 3,01 cm
Lại có PM là đường trung bình tam mgiác
nên MN//BD, do đó AC vuông góc với
MN
và cm
m CA
= 5,00
là đường cao thứ ba phải đi qua H.
24.

Cho tam giác ABC có BC = 15 cm,AC =
20 cm, AB = 25 .
a. Tính độ dài đường cao CH của tam
giác ABC .
b. Gọi CD là dường phân giác của tam
giác ACH Chứng minh rằng tam giác
BCD cân.
c. Chứng minh rằng BC2 + CD2 + BD2
= 3CH2 + 2BH2 +DH2
HD: ∆ ABC vuông tại C;
( + ) = ( + ) = 1V
25.
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và M
là điểm nằm trên cạnh BC. Gọi E và F
lần lượt
là hình chiếu của B và C
xuống đường thẳng AM. Xác định vị trí
của điểm M trên BC để tống BE + CF
lớn nhất.
HD: BE + CF ≤ BC ⇒ Max(BE + CF) = BC khi
E ≡ F≡ M ⇔ AM ⊥ BC
m BC = 9,43 cm

B
H
D

A

C

A

E

B
M

CE = 1,87 cm

F
26.

Cho tam giác ABC . Trên AB lấy
điểm D sao cho BD = 3 DA.EB Trên CB
= -4,05
EC Gọi F là
lấy điểm E sao cho BE = 4EC.
giao điểm của AE và CD .Chứng minh
rằng FD = FC.
HD: SACE = SADE ( = SABE)

C
E
K
F
H

A
27.

Trong tất cả các hình chữ nhật có chiều
dài đường chéo không đổi d,hãy tìm hình
có diện tích lớn nhất?
HD: Vận dụng pi ta go và BĐT Cosi
x 2 + y 2 = d 2 không đổi (vì d không đổi).

cạnh là

B

D

x

d
y

Mà x + y ≥ 2 xy , dấu “=” xảy ra khi và chỉ
khi x = y, hay hình chữ nhật đó là hình vuông có
2

C

2

d 2
.
2

7


§Ò «n tËp H×nh häc 8 (Dµnh cho häc sinh kh¸ giái)
28.

Trên cạnh AB của hình vuông ABCD,
ngưòi ta lấy điểm E tùy ý . Tia phân giác của
góc CDE cắt BC tại K.
Chứng minh rằng AE + KC = DE

A

I

E

B

K

D

Cho hình chữ nhật ABCD,kẻ BH ⊥ AC
tại H.Gọi M và K lần lượt là trung điểm
AH và CD. Chứng minh BM ⊥ MK
HD: N là trung điểm BH ⇒ N là trực tâm ∆
BCM
29.

B

C

C

N
K
H
M
A

8

D


§Ò «n tËp H×nh häc 8 (Dµnh cho häc sinh kh¸ giái)
TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG- ĐỊNH LÍ TA-LÉT
30.

Cho hình bình hành ABCD (AC>BD). Vẽ
CE ⊥ AB và FC ⊥ AD.
Chứng minh rằng : AB.AE + AD.AF = AC2

E

B

C

HD: AB.AE = AC.AH
BC.AF = AC.CH
H

31.

Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là
a. Gọi M,N m
lần
lượt =là108,23
Trung° điểm của AB
∠ABC
và BC . Các đường thẳng DN và CM cắt
m ∠ACDminh
= 108,23
nhau tại I . Chứng
rằng° :
a. tam giác CIN vuông
b. Tính diện tích tam giác CIN theo a.
c. Tam giác AID cân.
HD: b.Tỉ số diện tích 2 ∆ đồng dạng bằng tỉ số
bình phương 2 cạnh tương ứng.
c.Q là trung điểm CD ⇒ PQ ⊥ DN

F

D

A

C

N

B

I

Q

M

P

A

D

32.

Cho hình thang ABCD (BC//AD) với
=
. Tính độ dài đường chéo AC, biết
rằng 2 đáy BC và AD theo thứ tự có độ
dài 12m, 27m.
HD: ∆ ABC ∽ ∆ DCA

B

C

A
33.

D

Cho tam giác ABC , M là Trung điểm
của cạnh BC. Từ 1 điểm E trên cạnh BC
ta kẻ Ex//AM. Ex cắt tia CA ở F và tia
BA ở G.Chứng minh rằng :
FE + EG = 2 AM

F
A

G

HD: = ; =
M

C
34.

Cho Cho hình bình hành ABCD ,trên
Đường chéo AC lấy I. Tia DI cắt đường
thẳng AB tại M,cắt đường thẳng BC tại N.
a. Chứng minh rằng :

B
B

A

AM DM CB
=
=
AB DN CN

b.Chứng minh rằng : ID2= IM.IN
HD: a. = ⇒ = ; = ;
b. = ; =

E

N

I

D

9

C

M


§Ò «n tËp H×nh häc 8 (Dµnh cho häc sinh kh¸ giái)
35.

Cho tam giác ABC , đường phân giác
trong của C cắt cạnh AB tại D. Chứng
minh rằng
CD2 < CA.CB

C

M

HD: Kẻ góc CDM sao cho CDM = CAD.
CD2 = CA.CM.

A

36.

Cho tam giác ABC , BD và CE là 2 đường
cao của tam giác ABC . DF và EG là 2
đường cao của tam giác ADE. Chứng
minh rằng
a. Hai tam giác ADE và ABC đồng
dạng.
b. FG//BC
HD: a. =
b. ∆AFG ∽ ∆ABC

A

F

G

E
D
B
C

37.

Cho hình bình hành ABCD với đường
chéo AC > BD. Gọi E và F lần lượt là
chân đường vuông góc kẻ từ C đến các
đường thẳng AB và AD; gọi G là chân
dường vuông góc kẻ từ B đến AC.
a. Chứng minh rằng 2 tam giác CBG và
ACF đồng dạng
b. Chứng minh rằng : AB.AE + AD .AF
= AC2
HD: Xem bài 30
38.
Cho tam giác ABC (AB < AC). Hai
Đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
a. So sánh và
b. So sánh 2 đoạn thẳng BD và CE.
c. Chứng minh rằng 2 tam giác ADE và
tam giác ABC đồng dạng
HD: c. Xem bài 34

E

B

C

G
A

F

D

A

D
E
B

H
C

F

39.

Cho hình thang ABCD có đáy lớn là
CD. Qua A kẻ đường thẳng song song với
BC cắt đường chéo BD tại M và cắt CD
tại I. Qua B kẻ đường thẳng song song với
AD cắt cạnh CD ở K. Qua K kẻ đường
thẳng song song với BD cắt BC ở P.
Chứng minh rằng MP//DC.
HD: DI = CK; = ; =

B

D

B

A

P
M

D

10

K

I

C


§Ò «n tËp H×nh häc 8 (Dµnh cho häc sinh kh¸ giái)
40.

Trong tam giác ABC Kẻ AM
trung= 3,01
tuyến AM.

A

AK 1
= ,
K là 1 điểm trên AM sao cho:
AM 3
AK

BK cắt AC tại N.
a. Tính diện tích tam giác AKN, biết
diện tích tam giác ABC là S.
b. Một đường thẳng qua K cắt các cạnh
AB và AC lần lượt tại I và J. Chứng
AB AC
+
=6.
minh rằng
AI AJ
HD: a/ P là trung điểm NC;
= ; =
b/ Kẻ BD //CE//IJ ; AE + ED = 2AM
= ; = .

K

D

A

O

Cho đoạn thẳng AB , gọi O là trung điểm
của AB. Vẽ về 1 phía AB
các tia Ax và
By vuông góc với AB. Lấy C trên Ax, D
trên By sao cho góc COD = 900 .
a. Chứng minh rằng tam giác ACO đồng
dạng với tam giác BDO.
b. Chứng minh rằng CD = AC + BD.
c. Kẻ OM vuông góc CD tại M, gọi N là
giao điểm của AD với BC. Chứng
minh rằng MN//AC.
HD: b. Kẻ CO cắt DB tại E. ∆ DCE cân tại D.
c) =

AN AC
=
(1)
ND BD

Lại có ∆DCE cân tại D nên DO cũng là đường
phân giác, do đó OM = OB (mọi điểm nằm trên
đường phân giác thì cách đều 2 cạnh) suy ra
OM=OB=OA (vì O là trung điểm của AB). Từ đó
ta có :



(1)

ta

Q

R

42.

vào

C

M

B

B

Thay

Q

J

E

Lấy 1 điểm O trong tam giác ABC. Các
tia AO,BO,CO cắt BC,AC,AB lần lượt tại
P,Q,R.
Chứng minh rằng
OA OB OC
+
+
=2
:
AP BQ CR
HD: Đặt SOBC = S1; SOAC = S2;
SOAB = S3; SABC = S
= ; =; =

∆AOC = ∆MOC ⇒ AC = MC;
∆BOD = ∆MOD ⇒ BD = MD

H

P

41.

∆ANC có AC//BD ⇒

N

I

được:

AN AC MC
AN MC
=
=

=
ND BD MD
ND MD

11

P K

H

C


§Ò «n tËp H×nh häc 8 (Dµnh cho häc sinh kh¸ giái)
43.

Cho tam giác ABC với AB = 5 cm,AC = 6
cm BC = 7 . Gọi G là trọng tâm tam giác
ABC , O là giao điểm của 2 tia phân giác
trong của tam giác ABC . Chứng minh
rằng GO//AC
HD: = =
ND
NC
MC
MB

44.

A
D

O

C

B

= -2,01
A

B

M

Cho tam giác ABC ,trung tuyến CM, Qua
điểm Q trên AB vẽ đường thẳng d song
song với CM, Đường thẳng d cắt BC tại R
và cắt AC tại P. Chứng minh nếu QA.QB
= QP.QR thì tam giác ABC vuông tại C
HD: QA.QB = QP.QR

=

MA MB QB QA
BA
=
=
=
1 ⇒ MC = MA = MB
==1,68
BM
MC MC QR QB

F

I

C

D

45.

E

N

B
Q
R

M

A

P

C

= 1,68

BNAB, BC, CA của ∆ ABC
Trên các cạnh
cố định lấy M,CA
N, P sao cho:
= 1,68
= = = k (k>0).
CP
a.Tính S∆ MNP theo S∆ ABC và theo k
b.Tính k sao cho S∆ MNP đạt giá trị nhỏ nhất?
HD: = (c/m)
S∆ MNP = , (k + 1)2 ≥ 4k (Co-si)
46.

G

= 2,99

Cho hình vuông ABCD trên cạnh BC lấy
điểm M sao cho BM = , trên tia đối của
tia
CD lấy N sao cho CN = . I là
giao điểm của tia AM và BN. Chứng minh
rằng 5 điểm A,B,I,C,D cùng cách đều 1
điểm
HD: NE = AB; BF = BM = AB ⇒ ∆ AIC vuông
tại I

BC

M

H

A

K
M

B

12

P

N

C


§Ò «n tËp H×nh häc 8 (Dµnh cho häc sinh kh¸ giái)
m ∠CAB = 20,26 °
47.

AX5 = 2,13 có
cm góc ở
Cho tam giác ABC (AB=AC)
0
đỉnh bằng 20 ; cạnh đáy Ylà5X5a;= 0,75
cạnh
cm bên là
b. Chứng minh rằng a3 + b3 = 3ab2
HD: Trên AC lấy D sao cho BD = BC, kẻ AH
vuông góc với BD tại H.
AH2 = ; ∆ ABC ∽ ∆ BCD ; AD = b Mà AD2 = AH2 + DH2 = b2 - ab + a2

A

H
D
B

C

48.

Cho 4 điểm A,E,F,B theothứ tự ấy trên 1
đường thẳng . Trên cùng 1 nửa mặt phẳng
bờ AB vẽ các hình vuông ABCD ; FGHE.
a. Gọi O là giao điểm của AG và BH.
Chứng minh rằng các tam giác OHE
AB = 3,44
cm.
và OBC đồng
dạng
b. Chứng minh rằng các đường
thẳng CE và FD cùng đi qua O.
HD: a. = ; b. =

C

D

O
A

49.

G

H

E

F

B

C6 B = 6,88 cm

Cho tam giác ABC có AB = 4,BC =
m ∠CAB = 30,08°
6,CA = 8. Các đường phân
giác trong AD
và BE cắt nhau tại I.
a. Tính độ dài các đoạn thẳng
BD
và CD.
b. Gọi G là trọng tâm của tam giác
ABC . Chứng minh rằng IG//BC suy
ra độ dài IG .
HD:b. = ⇒ IG =

C

M
E

G
D
I
B

A

Cho ∆ABC có Â = 300. Dựng bên ngoài
∆ BCD đều. Chứng minh AD2 = AB2 +
AC2.(Bài 18-giải theo cách khác)
HD:Dựng ∆ đều ACE; AD = BE
50.

A

E
B

C

D

13


§Ò «n tËp H×nh häc 8 (Dµnh cho häc sinh kh¸ giái)
51.

Cho hình vuông ABCD , trên BC lấy M
1
sao cho : BM = BC . Trên tia đối của tia
3
1
CD lấy điểm N sao cho CN = BC .
2
Cạnh AM cắt BN tại I và CI cắt AB tại K .
Gọi H là hình chiếu của M trên AC.
Chứng minh rằng K,M,H thẳng hàng.
HD: Xem bài 42. ⇒ M là trực tâm ∆ ACK
52.
Cho hình thang ABCD có 2 đáy là AB
= 2a; CD = a. Hãy xác định vị trí điểm M
trên đường thẳng CD sao cho Đường
thẳng AM chia hình thang thành 2 phần
có diện tích bằng nhau.
HD: HK = h; HN = x,
SADC < SADCN ⇒ M nằm ngoài DC.
= ⇒ Vị trí của M trên tia DC.

B

A

K

M

I

H
D

N

C

E

C

D

M

K

N

A

B

H

53.

Cho tam giác ABC (BCdường vuông góc với phân giác BE tại F
và cắt AB tại K; vẽ trung tuyến BD cắt
CK tại G . Chứng minh rằng DF đi qua
trung điểm của GE
HD: GE // BC ; DI // AB ; = =

B

K

I
G
O

A

E

D

54.

Cho hình thoi ABCD có góc = 60 0 .
Gọi M là 1 điểm thuộc cạnh AD. Đường
thẳng CM cắt đường thẳng AB tại N.
a. Chứng minh AB2 = DM.BN.
b. BM cắt DN tại P . Tính
HD: AB = BC = CD = ∆ = BD = a.
a. = ;
b. ∆ NBD ∽ ∆ DBM

F

C

B

C

M

A

D
P

N

Cho ∆ABC,điểm M nằm trên cạnh
BC,Chứng minh : MA.BC < MC.AB +
MB.AC.
HD: Kẻ MD // AC;
MB.AC = MD.BC; MC.AB = AD.BC;
(MD + AD) > MA
55.

A

D

B

14

M

C


§Ò «n tËp H×nh häc 8 (Dµnh cho häc sinh kh¸ giái)
56.

Cho tam giác ABC cân tại A ( < 90 0 ).Từ
B kẻ BM vuông góc với AC. Chứng minh

E

2

rằng :

AM
 AB 
= 2
 −1 .
AC
 BC 

A

HD: ∆ CBE vuông. MC = ;
AM = ;

M

C

B

57.

Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi
M,N lầnlượt là Trung điểm của BO,AO.
lấy điểm F trên cạnh AB sao cho tia FM
cắt cạnh BC tại E và tia FN cắt cạnh AD
tại K. Chứng minh rằng :
BA BC
+
=4
a.
BF BE
b. BE + AK ≥ BC
KA = 1,88 cm
HD: Kẻ AI // EF // CJ
a. + = = 4 ;
b. + = 4 ;
⇒ AB( + ) + BC( + ) = 8.
Áp dụng
BĐT: + ≥ .
58.
Cho tam giác ABC (AB=BC). Trên cạnh
AC chọn điểm K nằm giữa A và C. Trên
tia đối của tia CA lấy E sao cho : CE =
AK. Chứng minh :
BK + BE > BA + BC
HD: Chọn F đối xứng với B qua C.
BK + BE = EF + BE > BF.

E

B
M
F

J
O
I

N

A

K

D

B

A

E

C

K

F

59.

Cho tam giác ABC đều. Gọi M là 1 điểm
bất kỳ nằm trong tam giác . Chứng minh
rằng tống các khoảng cách từ M đến 3
cạnh của tam giác có giá trị không đổi khi
M thay đổi vị trí trong tam giác
HD: AB = BC = CA = a ; AH = h
SABC = SBMC + SBMA + SCMA

A

R
Q
M

B

P

H

C

60.

Cho tam giác ABC , qua 1 điểm O tùy ý
trong tam giác , ta kẻ các đường
AO,BO,CO cắt BC,Câu nào,AB lần lượt
tại M,N, và P. Chứng minh rằng :
OM ON OP
+
+
= 1.
AM BN CP
HD: = . = . = .

A

P

B

15

N
O

M O'

A'

C

C


§Ò «n tËp H×nh häc 8 (Dµnh cho häc sinh kh¸ giái)
61. Cho ∆ ABC có 2 đường cao BD và CE.
Chứng minh = .

A
E
D

B

C

62. Cho ∆ ABC có 2 đường phân giác
AD.Chứng minh :
AD2= AB.AC DB.DC
HD:Dựng E: = .
∆AEB ∽ ∆ACD ∽∆BED

A

B

D

C

E

63. Cho tam giác ABC( < 900 ). Bên ngoài
tam giác dựng các hình vuông ABDE,
ACFG. Dựng hình bình hành AEIG.
Chứng minh rằng .
a. ∆ ABC = ∆ GIA CI = BF.
b. Ba đường thẳng AI,BF,CD đồng quy
HD: a. ∆ABC = ∆ GIA (c-g-c) ;
∆BCF = ∆ IAC (c-g-c) ;
b. K là giao điểm BF và CI ⇒ BF ⊥ CI,
tương tự CD ⊥ BI, ⇒ IH ; CD và BF là 3 đường
cao ∆ BIC.
64. Cho tam giác ABC , gọi D là Trung điểm
AB. Trên cạnhAC lấy điểm E sao cho AE
= 2EC. Gọi O là giao điểm của CD và BE.
Chứng minh rằng
a. Diện tích tam giác BOC = Diện tích
tam giác AOC.
b. BO = 3EO
HD: a. SAOD = SBOD ; SACD = SBCD
⇒ SAOC = SBOC.
b/ SOEC = SOAC ⇒ SOEC = SOBC ⇒ BO = 3EO.
65. Cho tam giác ABC . Một đường thẳng
song song với BC cắt AC tại E và cắt
đường thẳng song song với AB kẻ từ C ở
F. Gọi S là giao điểm của AC và BF.
Chứng minh rằng SC2= SE.SA
HD: Sử dụng định lí Ta-let cho các đường thẳng
song song.

I

E
G

A

D

F

K
C

H

B

A

H

D

E

O

B

C

A

E
F
S
B
C

16

K


§Ò «n tËp H×nh häc 8 (Dµnh cho häc sinh kh¸ giái)
66. Cho hình bình hành ABCD . Trên cạnh
AB và CD lần lượt lấy các điểm M và K
sao cho AM = CK. Trên AD lấy điểm P
tùy ý. Đoạn thẳng MK lần lượt cắt PB và
PC tại E và F . Chứng minh rằng S FEP =
SBME + SCKF
HD: SPBC = SBMKC = SABCD.

A

M

B

E
P
F
D

C

K

Q

H

67. Cho đoạn thẳng AC = m. Lấy điểm B bất
kì thuộc đoạn AC. Tia Bx ⊥ AC. Trên tia
Bx lần lượt lấy các điểm D và E sao cho
D
BD = BA và BE = BC.
a. Chứng minh rằng CD = AE và CD ⊥
F
AE.
b. Gọi M, N lần lượt là Trung điểm của
E
N
I
AE, CD. Gọi I là Trung điểm của MN.
M
Chứng minh rằng khoảng cách từ
điểm I đến AC không đổi khi B di
N'
chuyển trên đoạn AC.
M'
I'
c. Tìm vị trí của điểm B trên đoạn AC
C
A
B
sao cho tổng diện tích 2 tam giác ABE
và BCD có giá trị lớn nhất . Tìm giá HD: a. ∆ ABE = ∆ DBC
b.II’ = .
trị lớn nhất này theo m
c. SABE + SBCD = AB.BC ⇒ Vị trí của B trên AC.
68. Cho hình vuông ABCD.Trên cạnh AB lấy
M.Vẽ BH vuông góc với CM.Nối DH.
Vẽ HN ⊥DH. Chứng minh :
a. ∆ DHC ∽ ∆ NHB
b. AM.NB = NC.MB
HD: = =
b. MB = NB ⇒ AM = CN

A

M

B

H

N

C

D

69. Cho hình bình hành ABCD . Gọi M,N là
Trung điểm của BC,AD, Gọi K là điểm nằm
giữa C và D. Gọi P,Q theo thứ tự là các điểm
đổi xứng của K qua tâm M và N.
a. Chứng minh rằng Q,P,A,B thẳng hàng.
b. Gọi G là giao điểm của PN và QM.
Chứng minh rằng GK luôn đi qua điểm I
cố định khi K thay đổi trên đoạn CD.
HD: a. BP//DC ; QA//DC
b. G là trọng tâm ∆ KPQ ⇒ Hlà trung điểm
PQ ⇒ I là trung điểm MN ⇒ I cố định

17

A

Q

B

H
G

N

D

M

I

K

C

P


§Ò «n tËp H×nh häc 8 (Dµnh cho häc sinh kh¸ giái)
70. Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía
ngoài của tam giác ta vẽ các hình vuông
ABDE và ACGH.
a. Chứng minh rằng BCHE là hình thang
cân.
b. Kẻ đường cao AK của tam giác ABC.
Chứng minh rằng các đường thẳng AK,
DE, GH đồng quy.
HD: b. P là giao điểm DE vàGH ; O là giao điểm
HE và AK; EQ ⊥ AK; HI ⊥ AK.
⇒ EQ = AK = HI ⇒ O là trung điểm EH
71. .Cho tứ giác ABCD. Đường thẳng qua A
song song với BC, cắt BD tại P và đường
thẳng qua B song song với AD cắt AC tại
Q.Chứng minh PQ//CD
HD: AC cắt BD tại O. = ; =
Nhân theo vế 2 tỉ lệ thức trên ta được đpcm.

B

D

K
A
E

C

I
O

Q

G

H

P
B

C
Q

A

P

D

72. Cho tam giác ABC . Trên cạnh BC,CN
lần lượt lấy các điểm M,N,P. lần lượt đặt
diện
tích
các
tam
giác
ANP,MBP,MNC,ABC, là S1,S2,S3,S.
a. Chứng minh:

B
P

S1 AN . AP
=
S
AC. AB

1 3
S
b. Chứng minh: S1.S2.S3 ≤
64
HD: a. = ; = .

M

A
H K

AC = 5,05 cm

N

C

m AC

m ∠AOB = 29,96 °

= 0,83
b.Đặt = a; = b;
= c.
m BD
BD = 6,07 cm ⇒ = a(1-a)b(1-b)c(1-c).Và:
73. Cho tứ giác ABCD có AC = 10 cm, BD =
B
H
12 Chứng minh. Hai đường chéo AC và
0
BD cắt nhau tại O, biết
= 30 .Tính
diện tích tứ giác ABCD.
O
HD: AH = OA ; CK = OC.
A
AC = 5,05 cm

.

C

K
D

74. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường
phân giác BD cắt đường cao AH tại I.
a. Chứng minh tam giác ADI cân.
b. Chứng minh AD.BD = BI.DC.
c. Từ D kẻ DK ⊥ BC tại K. tứ giác ADKI
là hình gì?

B

H

A

.

18

K

I

D

C



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×