Tải bản đầy đủ

Nghiên cứu ứng dụng công nghệ mạng nơ ron tế bào vào giải phương trình truyền nhiệt hai chiều

i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan những kết quả nghiên cứu được trình bày trong
luận văn là hoàn toàn trung thực, không vi phạm bất cứ điều gì trong luật
sở hữu trí tuệ và pháp luật Việt Nam. Nếu sai, tôi hoàn toàn chịu trách
nhiệm trước pháp luật.

Thái nguyên, ngày 14 tháng 4 năm 2016
Tác giả luận văn

Phạm Thanh Hải


ii

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới thầy giáo, TS. Vũ Đức Thái,
người đã tận tình hướng dẫn và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình
làm luận văn tốt nghiệp.
Tôi xin cảm ơn các thầy, cô giáo đã giảng dạy tôi trong suốt thời gian

học tập tại trường và các cán bộ Phòng Đào tạo đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi
hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn sự quan tâm giúp đỡ của gia đình, bạn bè
và tập thể lớp Cao học K13C đã cổ vũ động viên tôi hoàn thành tốt luận
văn của mình.
Tuy đã có những cố gắng nhất định nhưng do thời gian và trình độ có
hạn nên luận văn này còn nhiều thiếu sót và hạn chế nhất định. Kính mong
nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn.

Thái nguyên, ngày 14 tháng 4 năm 2016

Học viên Phạm Thanh Hải


iii

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ........................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN ................................................................................................ ii
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ............................................................ iii
DANH MỤC CÁC BẢNG ............................................................................ vi
DANH MỤC CÁC HÌNH ........................................................................... vii
MỤC LỤC .................................................................................................... iii
MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1 VẤN ĐỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT BẰNG
CÔNG NGHỆ MẠNG NƠ RON TẾ BÀO..................................................... 3
1.1. Giới thiệu về phương trình đạo hàm riêng ............................................... 3
1.1.1. Các khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm riêng .......................... 3
1.1.2. Phân loại các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai với hai
biến độc lập .................................................................................................... 4
1.1.3. Phương pháp sai phân Taylor ............................................................... 4
1.1.4. Bài toán sai phân .................................................................................. 6
1.2. Phương trình truyền nhiệt 2 chiều ............................................................ 8
1.3. Công nghệ mạng nơron tế bào ............................................................... 12
1.3.1. Các định nghĩa về mạng nơ ron tế bào ................................................ 12
1.3.2 Kiến trúc chuẩn về công nghệ mạng nơ ron tế bào............................... 13
1.3.3. Các dạng kiến trúc mạng CNN ........................................................... 14
1.3.4. Một số ứng dụng của công nghệ CNN ................................................ 20
CHƯƠNG 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT HAI CHIỀU ........ 24
2.1. Mối quan hệ giữa mạng CNN và phương trình đạo hàm riêng [12] ....... 24

2.2. Phương pháp giải phương trình đạo hàm riêng bằng công nghệ mạng nơ
ron tế bào ..................................................................................................... 28
2.2.1. Mẫu và thiết kế mẫu ........................................................................... 28


iv

2.2.2. Ứng dụng máy tính CNN-UM trong một số bài toán đơn giản............ 29
2.2.3. Sự ổn định của mạng CNN ................................................................. 37
2.3. Phương trình truyền nhiệt hai chiều và các ràng buộc............................ 48
2.3.1. Thành lập phương trình truyền nhiệt ................................................... 48
2.3.2. Điều kiện ban đầu và điều kiện biên ................................................... 51
2.4. Giải phương trình truyền nhiệt 2 chiều bằng CNN................................. 52
2.4.1. Phân tích sai phân Taylor phương trình truyền nhiệt hai chiều ........... 52
2.4.2. Thiết kế mẫu CNN cho phương trình truyền nhiệt hai chiều ............... 52
2.4.3. Kiến trúc điện tử cuả mạng nơ ron giải phương trình truyền nhiệt hai
chiều............................................................................................................. 53
2.5. Kết luận ................................................................................................. 55
CHƯƠNG 3. CÀI ĐẶT MÔ PHỎNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN
NHIỆT HAI CHIỀU..................................................................................... 56
3.1. Xây dựng bài toán ................................................................................. 56
3.2. Các kết quả tính toán ............................................................................. 57
KẾT LUẬN .................................................................................................. 67
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 69


v

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Viết tắt

Tiếng Anh

Tiếng Việt

CNN

Cellular Neural Network

Công nghệ mạng nơron tế bào

PDE

Partial Difference Equation

Phương trình đạo hàm riêng
Ma trận cổng logic lập trình

FPGA

Field Programmable Logic Array

VLSI

Very Large Scale Intergrated

VHDL

Very High Description Language Ngôn ngữ đặc tả phần cứng dù

được
Chip tích hợp mật độ cao


vi

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 3.1. Giá trị ban đầu của nhiệt độ trong tấm phẳng thực nghiệm ........... 58
Bảng 3.2: Giá trị của các điểm biên được xác định ....................................... 59
Bảng 3.3. Giá trị của các điểm biên được xác định ....................................... 60
Bảng 3.4. Kết quả tính toán sau 10 giây. ...................................................... 61
Hình 3.4 Giá trị nhiệt độ sau 10 giây ............................................................ 61
Bảng 3.5. Giá trị của các điểm biên được xác định ....................................... 62
Hình 3.5 : Giá trị nhiệt độ sau 5 giây ............................................................ 62
Bảng 3.6. Giá trị của các điểm biên được xác định ....................................... 63
Bảng 3.7. Giá trị của các điểm biên được xác định ....................................... 64
Bảng 3.8. Kết quả tính toán sau 10 giây ....................................................... 65


vii

DANH MỤC CÁC HÌNH
Hình 1.1: Kiến trúc CNN chuẩn .................................................................. 13
Hình 1.2: Kiến trúc làm việc của mạng CNN ............................................... 13
Hình 1.3 Một số kiến trúc CNN không chuẩn .............................................. 14
Hình 1.4 Kiến trúc CNN hai chiều 3 lớp...................................................... 15
Hình 1.5: CNN không gian bất biến với 3 láng giềng .................................. 17
Hình 1.6 Mô tả cấu trúc tương tác của CNN tổng quát ................................ 18
Hình 1.7: CNN hồi tiếp bằng 0: C(0,B,z) .................................................... 19
Hình 1.8: Mạch điện của CNN có hồi tiếp bằng 0 C(0,B,z) .......................... 19
Hình 1.9: CNN đầu vào bằng 0, C(A,0,z) .................................................... 19
Hình 1.10: Mạch điện CNN đầu vào bằng 0:C(A,0,z) ................................. 20
Hình 2.1: Mạch CNN hai lớp. Lớp u có ảnh hưởng đến lớp v ..................... 25
Hình 2.2: Lưới sai phân 2 chiều.................................................................... 25
Hình 2.3: Mô hình mạch cho bài toán giải hệ PDE ....................................... 28
Hình 2.4: Kiến trúc tế bào mở rộng thêm vào 3 khối (LLM, GW, GCL) ..... 30
Hình 2.5: Tế bào mở rộng có thêm hai khối cell khác nhau ......................... 30
Hình 2.6 Thủ tục SUBSET như một hàm ..................................................... 31
Hình 2.7: Lưu đồ xử lý của bài toán dò biên ................................................. 32
Hình 2.8: Quá trình nạp TEM1 (a,b)............................................................ 34
Hình 2.9: Nạp kết quả vào LLM3 ............................................................... 35
Hình 2.10: Ảnh kết quả xử lý bỏ đi các điểm ảnh cô lập.............................. 36
Hình 2.11: Giá trị ban đầu của phương trình................................................ 37
Hình 2.12: Ảnh kết quả nghiệm của phương trình ...................................... 37
Hình 2.13. Đặc trưng của mạch phi tuyến tính trong mạch ô tương đương .. 43
Hình 2 .14: Mạch tương đương vững chắc của một ô trong một nơron tế bào
..................................................................................................................... 44


viii

Hình 2.15: Các tuyến động và các điểm cân bằng của mạch tương đương với
các giá trị khác nhau của g(t). ....................................................................... 47
Hình 2.16: Sao chép khuôn mẫu của một khối tương tác toán tử. ................. 48
Hình 2.16: Sơ đồ khối CNN 2D cho giải phương trình truyền nhiệt ............. 54
Hình 2.17: Khối xử lý số học của mạng CNN giải phương trình truyền nhiệt . 54
Hình 3.1. Tấm phẳng làm thực nghiệm......................................................... 56
Hình 3.2: Giá trị nhiệt độ ban đầu ................................................................ 59
Hình 3.3: Giá trị nhiệt độ sau 5 giây ............................................................. 60
Hình 3.4 Giá trị nhiệt độ sau 10 giây ............................................................ 61
Hình 3.5 : Giá trị nhiệt độ sau 5 giây ............................................................ 62
Hình 3.6 : Giá trị nhiệt độ sau 10 giây .......................................................... 63
Hình 3.7: Giá trị của nhiệt độ sau 5 giây....................................................... 64
Hình 3.8 : Giá trị nhiệt độ sau 10 giấy .......................................................... 65


1

MỞ ĐẦU
Trong nhiều bài toán khoa học các đại lượng biến thiên phức tạp theo
nhiều tham số không gian, thời gian và các điều kiện ngoại cảnh. Để giải
quyết các bài toán trên thường đưa đến việc giải phương trình vi phân, thậm
chí là phương trình vi phân đạo hàm riêng.
Phương trình vi phân có nhiều loại, có nhiều cách giải khác nhau như:
phương pháp giải tích, phương pháp sai phân với các công thức sai phân đã
tiến hành cài đặt trên máy vi tính. Các máy tính thông thường hiện nay có thể
giải được nhưng với tốc độ hạn chế, một số trường hợp không đáp ứng được
với ứng dụng trong thời gian thực.
Việc áp dụng công nghệ mạng nơron tế bào CNN vào giải phương trình
đạo hàm riêng với tốc độ cao là cần thiết và có nhiều triển vọng trong tương
lai đáp ứng cho các bài toán trong thời gian thực.
Do đó, em đã chọn “Nghiên cứu ứng dụng công nghệ mạng nơ ron tế bào
vào giải phương trình truyền nhiệt hai chiều” nhằm mục tiêu tìm hiểu công
nghệ mạng nơ ron tế bào và tìm hiểu phương pháp, kỹ thuật thuật thực hiện
giải phương trình truyền nhiệt hai chiều bằng công nghệ này. Để thực hiện
mục tiêu này, đề tài này tập trung nghiên cứu các nội dung sau:
Chương 1: Vấn đề giải phương trình truyền nhiệt bằng công nghệ
mạng nơ ron tế bào: Nghiên cứu công nghệ mạng nơron tế bào, các phương
trình đạo hàm riêng, phương trình truyền nhiệt hai chiều và các ứng dụng thực
tiễn.
Chương 2: Giải phương trình truyền nhiệt hai chiều: Đề xuất phương
pháp giải và xây dựng mô hình bài toán phương trình truyền nhiệt hai
chiều được giải bằng công nghệ mạng nơ ron tế bào.
Chương 3: Mô phỏng thực nghiệm: Mô phỏng tính toán kết quả trên
Matlab, đánh giá so sánh kết quả.


2

Luận văn nghiên cứu với mục tiêu tìm hiểu một công nghệ mới ứng dụng
trong việc giải phương trình đạo hàm riêng trong lĩnh vực tính toán khoa học.
Đó là một nhu cầu rất quan trọng trong thời đại phát triển khoa học công nghệ
ngày nay, khi mà hầu hết các hiện tượng lý hoá sinh trong tự nhiên được biểu
diễn bởi các phương trình phi tuyến phức tạp mà phương trình đạo hàm riêng
chiếm số lượng lớn. Việc giải phương trình truyền nhiệt hai chiều là một ứng
dụng trong lĩnh vực vật lý hiện .
Trong nội dung của luận văn chắc sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, em
rất mong quý thầy cô và các bạn đọc quan tâm, đóng góp ý kiến, để luận văn
được hoàn thiện hơn.


3

CHƯƠNG 1
VẤN ĐỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT BẰNG CÔNG
NGHỆ MẠNG NƠ RON TẾ BÀO

1.1. Giới thiệu về phương trình đạo hàm riêng
1.1.1. Các khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm riêng
Định nghĩa: Phương trình đạo hàm riêng là phương trình có chứa đạo hàm
riêng của hai hay nhiều hơn hai biến phải tìm [7,8]. Ví dụ:
u u u


0
x y z

 2u  2u  2u


u
x 2 y 2 z 2

(1.1)

(1.2)

trong đó (1.1) và (1.2) là các phương trình đạo hàm riêng của hàm chưa biết là
u(x,y,z);
Cấp của phương trình: Là cấp của đạo hàm cấp cao nhất. Ví dụ cấp của
(1.1) là cấp 1; cấp của (1.2) là cấp 2.
Phương trình đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính nếu hàm phải tìm và
các đạo hàm của nó chỉ xuất hiện với luỹ thừa bậc nhất và không có tích của
chúng với nhau.
Dạng tổng quát của phương trình tuyến tích cấp hai đối với hàm hai
biến x,y là:
A( x, y)

 2u
 2u
 2u
u
u

2
B
(
x
,
y
)

C
(
x
,
y
)
 D( x, y)  E( x, y) F ( x, y)u  G( x, y)
2
2
x
xy
y
x
y

(1.3)

Nếu G(x,y)  0 thì phương trình gọi là thuần nhất, nếu không gọi là
không thuần nhất.
Nghiệm của phương trình đạo hàm riêng: Là mọi hàm mà khi thay nó
vào phương trình ta được một đồng nhất thức. Ví dụ: u(x,y) = x + y – 2z là
nghiệm của (1.1), hàm u = ex+3y32z là nghiệm của phương trình (1.2).


4

1.1.2. Phân loại các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai với hai

biến độc lập
Dạng tổng quát của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai, trong
đó hàm u ( x, y ) chưa biết phụ thuộc hai biến độc lập ( x, y ) là
A( x, y)

 2u
 2u
 2u
u
u

2
B
(
x
,
y
)

C
(
x
,
y
)
 D( x, y)  E ( x, y)  F ( x, y)u  G( x, y)
2
2
xy
x
y
x
y

(1.4)

Người ta chứng minh được rằng mọi phương trình có dạng (1.4) nhờ
những phép biến đổi thích hợp có thể đưa về một trong ba dạng sau:
a) Nếu AC  B 2  0 trong một miền nào đó thì bằng các phép biến đổi thích
hợp có thể đưa phương trình (1.4) trong miền ấy về dạng
 2u  2u
u
u

 D1
 E1
 F1u  G1 ( , )
2
2





(1.5)

Trong trường hợp này phương trình (1.5) gọi là phương trình loại eliptic.
b) Nếu AC  B 2  0 trong một miền nào đó thì phương trình (1.4) trong miền
ấy có thể đưa về dạng
 2u  2u
u
u
 2  D2
 E2
 F2 u  G2 ( , )
2





(1.6)

Trong trường hợp này phương trình (1.6) gọi là phương trình loại hypebolic.
c) Nếu AC  B 2  0 trong một miền nào đó thì phương trình (1.4) trong miền
ấy có thể đưa về dạng
 2u
u
u
 D3
 E3
 F3u  G3 ( , )
2




(1.7)

Trong trường hợp này phương trình (1.7) gọi là phương trình loại parabolic.
1.1.3. Phương pháp sai phân Taylor
Trong các phần trước ta đã xét các phương pháp tìm nghiệm tường
minh của bài toán dưới dạng các công thức sơ cấp, các tích phân hoặc các
chuỗi hàm đối với một số ít trường hợp [5,7]. Còn đại đa số trường hợp khác,


5

đặc biệt là đối với các bài toán có hệ số biến thiên, các bài toán phi tuyến, các
bài toán trên miền bất kỳ thì nghiệm tường minh của bài toán không có, hoặc
có nhưng rất phức tạp. Trong những trường hợp đó việc tính nghiệm phải dựa
vào các phương pháp giải gần đúng.
Để giải quyết vấn đề nêu trên thì trong phạm vi bài giảng đưa ra
phương pháp sai phân để giải quyết vấn đề đó.
Để tiện trình bày phương pháp ta xét một bài toán cụ thể sau.
Đặt bài toán:
Cho các số a, b với a < b.
QT  a  x  b ; 0  t  T  ;

QT  a  x  b ; 0  t  T  .

Tìm hàm số u(x, t) thoả mãn
Lu 

u  2 u

 f ( x, t )
t x 2

u ( x,0)  g ( x)
u (a, t )  g a (t )

u (b, t )  g b (t )

(x,t) QT

(1.8)

a xb

(1.9)

0t T

(1.10)

Lưới sai phân.
Chọn hai số nguyên N  1 , M  1 và đặt

h

ba
N

x i  a  ih



T
M

t j  j.

i  0,1, 2,...., N
j  0,1,2,...., M

Ta chia miền QT thành ô bởi những đường thẳng x  xi , t  t j , mỗi điểm

x

i

, t j  được gọi là một nút và ký hiệu là i , j  . Mục tiêu của phương pháp

là tìm nghiệm gần đúng của bài toán tại các nút i , j  .
Trong đó:

h gọi là bước đi không gian.


6



gọi là bước đi thời gian.

Tập tất cả các nút i , j  tạo thành một lưới sai phân trên QT .
Xấp xỉ các đạo hàm:
Áp dụng công thức Taylor ta có
u ( xi , t j 1 )  u ( xi , t j 1 )
2



u
( xi , t j )  o( )
t

u ( xi 1 , t j )  2u ( x i , t j )  u ( x i 1 , t j )
h2



(1.11)

 2u
( xi , t j )  o(h 2 )
2
x

(1.12)

Từ đó ta thấy có nhiều cách xấp xỉ đạo hàm dẫn đến có nhiều phương án khác
nhau để thay thế bài toán vi phân bởi bài toán sai phân.
1.1.4. Bài toán sai phân
j

Bài toán đặt ra là phải tìm nghiệm gần đúng vi  u( xi , t j ) .
* Xuất phát từ

u ( xi , t j 1 )  u ( xi , t j )





u
( xi , t j )  o( )
t

u ( x i 1 , t j )  2u ( x i , t j )  u ( x i 1 , t j )
h2



 2u
( x i , t j )  o( h 2 )
2
x

suy ra

u ( x i , t j 1 )  u ( x i , t j )




Để tính

u ( xi 1 , t j )  2u ( x i , t j )  u ( x i 1 , t j )
h2



u
 2u
( x i , t j )  2 ( xi , t j )  o(  h 2 ) .
t
x

vij ta đưa về bài toán sai phân sau:

v ij 1  v i j





v i j1  2v i j  v ij1

 f ( x i , t j ) i  1..N  1, j  0..M  1 (1.13)
h2

vi0  g ( xi )

i  1..N  1

(1.14)


7

v0j  g a (t j ) vNj  g b (t j )
đặt  


h

2

( 


h



2

j  1..M

(1.15)

1
) thì (1.13) được viết thành:
2

vij 1  (1  2 )vij   (vij1  vij1 )   f ( xi , t j )

(1.16)

Từ (1.16) ta thấy nếu biết ba điểm vij1 , vij , vij1 thì tính được vij 1 với các điều
kiện đầu cho giá trị ở lớp thời gian đầu tiên j  0 , các giá trị trên biên cho ở
(1.14).
* Nếu ta xuất phát từ

u ( xi , t j 1 )  u ( xi , t j )





u
( xi , t j 1 )  o( )
t

 2u
 2 ( xi , t j 1 )  o(h 2 )
x
u ( xi 1 , t j 1 )  2u ( xi , t j 1 )  u ( xi 1 , t j 1 )

u ( xi 1 , t j 1 )  2u ( xi , t j 1 )  u ( xi 1 , t j 1 )
h2

u ( xi , t j 1 )  u ( xi , t j )

thì ta có





h2

u
 2u

( x i , t j 1 )  2 ( x i , t j 1 )  o(  h 2 )
t
x
Từ đó ta có bài toán sai phân sau:

v ij 1  v ij



v ij11  2v ij 1  v ij11

 f ( x i , t j 1 )
h2

i  1..N  1, j  0..M  1

vi0  g ( xi ) i  1..N  1
v0j  g a (t j ) v Nj  g b (t j )
Đặt  

j  1..M


h2

ta đưa hệ về dạng sau:

 vij11  (1  2 )vij 1   vij11  vij   f ( xi , t j 1 ) i  1..N  1, j  0..M  1


8

v0j 1  0.v1j 1
0 . v Nj 11

 ga (t j 1 )

 v Nj  1  g b ( t j  1 )

Từ hệ trên ta thấy nếu biết

vi0  g ( xi )

vi j

j  0..M  1

j  0 .. M  1

thì ta tính được

vij11 , vij 1 , vij11

với

.

Việc giải hệ này được thực hiện bằng phương pháp truy đuổi ba đường chéo.
1.2. Phương trình truyền nhiệt 2 chiều
Phương trình nhiệt: Là một phương trình đạo hàm riêng miêu tả sự
biến thiên của nhiệt độ trên một miền cho trước qua thời gian [7,8].
Mô tả bài toán: Giả sử ta có một hàm số u miêu tả nhiệt độ tại bất kì vị
trí (x, y) nào đó. Hàm số này sẽ thay đổi theo thời gian khi nhiệt truyền đi ra
khắp không gian. Phương trình nhiệt được sử dụng để xác định sự thay đổi
của hàm số u theo thời gian.
Một trong những tính chất của phương trình nhiệt là định luật maximum
nói rằng giá trị lớn nhất của u hoặc là ở thời gian trước đó hoặc là ở cạnh biên
của miền đang xét. Điều này đại khái nói rằng nhiệt độ hoặc nhiệt độ đến từ
một nguồn nào đó hoặc là từ thời gian trước đó chứ không được tạo ra từ không
có gì cả. Đây là một tính chất của phương trình vi phân parabolic và không khó
chứng minh.
Một tính chất khác nữa là ngay cả nếu như u không liên tục tại thời
gian khởi đầu t = t0, thì nhiệt độ sẽ ngay lập tức trơn ngay tức khắc sau đó
cho các giá trị t > t0. Chẳng hạn, nếu một thanh kim loại có nhiệt độ 0 và một
thanh khác có nhiệt độ 100 và được gắn với nhau đầu này với đầu kia, thì


9

ngay lập tức nhiệt độ tại điểm nối là 50 và đồ thị của nhiệt độ chạy trơn từ 0
đến 100. Về mặt vật lý điều này là không thể được, vì như vậy là thông tin
được truyền đi với vận tốc vô hạn, sẽ phá vỡ luật nhân quả. Đây là một tính
chất của phương trình nhiệt hơn là bản thân của sự truyền nhiệt. Tuy nhiên,
cho nhiều mục đích thực tế, sự khác nhau là có thể bỏ qua.
Phương trình nhiệt được sử dụng trong xác suất và để diễn tả bước
ngẫu nhiên (random walks). Nó cũng được áp dụng trong toán tài chính vì lý
do này.
Bài toán vật lý và phương trình:

Biểu diễn đồ họa cho nghiệm của một phương trình nhiệt 1D. Trong trường
hợp đặc biệt khi nhiệt truyền đi trong một vật liệu đẳng hướng và đồng
nhất trong không gian 2-chiều, phương trình này là:

(1.17)

với:




u=u ( t, x, y) là một hàm số theo thời gian và không gian;

là mức độ thay đổi của nhiệt độ tại một điểm nào đó theo thời gian;


10

đạo hàm bậc 2 (lưu chuyển nhiệt) của nhiệt độ theo



hướng x, y, theo thứ tự.


k là một hệ số phụ thuộc vào vật liệu phụ thuộc vào độ dẫn nhiệt, mật
độ và dung tích nhiệt.

Phương trình nhiệt là hệ quả của định luật Fourier cho dẫn nhiệt.
Nếu môi trường truyền đi không phải là toàn bộ không gian, để giải
phương trình nhiệt chúng ta cần phải xác định các điều kiện biên cho hàm
số u. Để xác định tính duy nhất của các nghiệm trong toàn bộ không gian
chúng ta cần phải giả thiết một chặn trên với dạng hàm mũ, điều này là hợp
với các quan sát từ thí nghiệm.
Nghiệm của phương trình nhiệt được đặc trưng bởi sự tiêu tán dần của
nhiệt độ ban đầu do một dòng nhiệt truyền từ vùng ấm hơn sang vùng lạnh
hơn của một vật thể. Một cách tổng quát, nhiều trạng thái khác nhau và nhiều
điều kiện ban đầu khác nhau sẽ đi đến cùng một trạng thái cân bằng. Do đó,
để lần ngược từ nghiệm và kết luận điều gì đó về thời gian sớm hơn hay các
điều kiện ban đầu từ điều kiện nhiệt hiện thời là hết sức không chính xác
ngoài trừ trong một khoảng thời gian rất ngắn.
Phương trình nhiệt là một ví dụ phổ biến của phương trình vi phân
parabolic.
Sử dụng toán tử Laplace, phương trình nhiệt có thể tổng quát thành

với toán tử Laplace được lấy theo biến không gian.
Phương trình nhiệt miêu tả sự tiêu tán nhiệt, cũng như nhiều quá trình
tiêu tán khác, như là tiêu tán hạt hoặc là sự lan truyền của thế năng phản
ứng trong tế bào thần kinh. Mặc dù không có bản chất tiêu tán, một số bài
toán trong cơ học lượng tử cũng được miêu tả bằng một phương trình tương
tự như là phương trình nhiệt. Nó cũng có thể được sử dụng để mô phỏng các


11

hiện tượng xảy ra trong tài chính, như là Black-Scholes hay là các quá trình
Ornstein-Uhlenbeck. Phương trình này, và các phương trình phi tuyến tương
tự khác, được sử dụng trong phân tích ảnh.
Phương trình nhiệt, về mặt kỹ thuật, là vi phạm thuyết tương đối hẹp,
bởi vì nghiệm của nó đã lan truyền nhiễu loạn đi tức khắc.
Điều kiện biên và điều kiện ban đầu:
* Điều kiện ban đầu và điều kiện tham số đầu vào:
Trong vật lý ta biết rằng muốn xác định được nhiệt độ tại mọi điểm
trong vật ở mọi thời điểm, ngoài phương trình (1.17) ta còn cần phải biết phân
bố nhiệt độ trong vật ở thời điểm đầu và chế độ nhiệt độ ở biên s của vật.
Điều kiện biên có thể cho bằng nhiều cách
* Cho biết nhiệt độ tại mỗi điểm P của biên S u | S   1 ( P, t )
* Tại mọi điểm của biên s cho biết dòng nhiệt
u
biên : n

Trong đó

q  k

(1.18).

u
n vậy ta có điều kiện

(1.19)

  2 ( P, t )
S

 2 ( P, t ) 

 q ( P, t )
k
là một hàm cho trước.

* Trên biên s của vật có sự trao đổi nhiệt với môi trường xung quanh, mà
nhiệt độ của nó là uo ó điều kiện biên sau:
 u

 n  h(u  u 0 )  0

S

u
Nếu biên s ách nhiệt thì h=0 suy ra (1.20) trở thành n

(1.20)
0
S

Như vậy bài toán truyền nhiệt trong một vật rắn, đồng chất truyền nhiệt đẳng
hướng đặt ra như sau: Tìm nghiệm của phương trình (1.17) thoả mãn điều
kiện đầu

u t 0   ( x, y, z )

và một trong các điều kiện biên.


12

1.3. Công nghệ mạng nơron tế bào
1.3.1. Các định nghĩa về mạng nơ ron tế bào
Khi phát triển lý thuyết về mạng nơron tế bào, các nhà nghiên cứu đã
đưa ra một số định nghĩa có tính hình thức về kiến trúc mạng [10,11]:
Định nghĩa 1: Hệ mạng nơron tế bào – CNN:
a) Là ma trận 2-, 3- hoặc n- chiều của những phần tử động giống nhau (gọi là
tế bào - cell)
b) Mỗi tế bào có hai thuộc tính:
- Chỉ tương tác trong vùng có bán kính là r
- Mọi biến trạng thái là tín hiệu có giá trị liên tục
Định nghĩa 2: CNN là mạch phi tuyến động kích thước lớn được tạo bởi cặp
các phần tử liên kết với nhau, phân bố đều trong không gian mà mỗi phần tử
là một mạch tích hợp gọi là cell. Mạng này có thể có cấu trúc hình chữ nhật,
lục giác đều, cầu v.v... Hệ CNN cấu trúc MxN được định nghĩa một cách toán
học theo 4 đặc tả sau:
1) CNN là phần tử động học nghĩa là trạng thái điện áp của tế bào thay đổi
theo thời gian tùy theo tương tác giữa nó và các láng giềng.
2) Luật tiếp hợp trong CNN biểu diễn sự tương tác cục bộ trong từng cặp lân
cận trong các tế bào láng giềng, mỗi tế bào có: Điều kiện ban đầu; Điều kiện
biên.
Chú ý:
- Giá trị của biến không gian thì luôn luôn rời rạc và biến thời gian t có thể là
liên tục hay rời rạc.
- Tương tác giữa các cell thì luôn luôn xảy ra thông qua mẫu vô tính mà có
thể là hàm phi tuyến của trạng thái x, đầu ra y, và đầu vào u của mỗi cell
C(i,j) trong lân cận Nr có bán kính r;
Nr(i,j) = {C(k,l)|max{|k-i|,|l-j|}  r, 1 k  M, 1  l  M}


13

Mẫu vô tính có ý nghĩa là ta có thể sử dụng để mô tả hình dạng hình học
và đưa ra phương pháp thiết kế đơn giản.
1.3.2 Kiến trúc chuẩn về công nghệ mạng nơ ron tế bào
Một kiến trúc công nghệ mạng nơ ron tế bào chuẩn là một mảng hình
chữ nhật MxN các cell (C(i,j)) với toạ độ Đề các (i,j); i = 1,…,M; j = 1,…,N.
Cột
1

2

3

N

j

1
2
3
C(i,j)
Dòng i

M

Hình 1.1: Kiến trúc CNN chuẩn
Mạng nơ ron tế bào được L.O. Chua và L. Yang đưa ra năm 1988 có
kiến trúc chuẩn là một mảng hai chiều các tế bào (cell) mà mỗi tế bào là một
chip xử lý, các tế bào chỉ có liên kết cục bộ với các tế bào láng giềng. Các tế
bào có cấu tạo giống hệt nhau gồm các điện trở, tụ tuyến tính; các nguồn dòng
tuyến tính và phi tuyến. Cho đến này kiến trúc mạng CNN đã được phát triển
đa dạng phức tạp trong nhiều ứng dụng khác nhau nhưng vẫn hoạt động dựa
trên nguyên tắc mà Chua và Yang đưa ra.

Hình 1.2: Kiến trúc làm việc của mạng CNN


14

1.3.3. Các dạng kiến trúc mạng CNN


Phân loại theo hình trạng
Về mặt hình trạng mạch (topology) chúng ta có thể phân loại CNN

thành các mô hình khác nhau. Ngoài kiến trúc chuẩn như đã giới thiệu trên,
sau đây chúng ta xét một số mô hình tiêu biểu:
+ CNN không đồng nhất: (NUP – CNN) có hai loại tế bào được mô tả bởi ô
trắng và đen trong Hình 1.8.a. Cấu trúc NUP-CNN có chứa hơn một kiểu tế
bào trên lưới trong khi các tế bào tương tác với nhau là biến không gian.
+ CNN đa lân cận (MNS-CNN: Multiple Neighborhood Size – CNN): CNN
có hai kiểu lân cận như Hình 1.3. Mọi chip trong mạch có cấu tạo phần cứng
giống nhau nhưng chia làm hai lớp lưới (P, S). Lưới P có các lân cận

r=1;

lưới S là lớp trên hoặc dưới của lưới P có r=3. Kiến trúc MNS-CNN có chứa
những lớp có những lưới và lân cận khác nhau, chúng mô phỏng theo hệ
thống tế bào tự nhiên. Trường hợp đặc biệt của MNS-CNN với hai kiểu lân
cận chỉ chứa một chip trong lớp S, và mọi chíp khác đều kết nối tới con chíp
này. Như đã nói CNN có cấu tạo rất linh hoạt tùy theo yêu cầu giải quyết xử
lý của mỗi bài toán, do vậy người ta cũng đưa ra mô hình MSN-CNN. Loại
MSN-CNN không phổ biến chỉ sử dụng trong một số trường hợp đặc biệt cho
những bài toán thích hợp.

(a)

(b)

Hình 1.3 Một số kiến trúc CNN không chuẩn
(a) Không đồng nhất; (b) Đa lân cận


15

+ Kiến trúc CNN đa lớp: Như đã xét ở phần trước, một lớp CNN đơn, mỗi tế
bào chỉ có một biến trạng thái. Với bài toán có nhiều biến trạng thái (như giải
hệ phương trình vi phân có nhiều biến) người ta cần một hệ có nhiều lớp gọi
là cấu trúc đa lớp. Trong cấu trúc CNN đa lớp có nhiều biến trạng thái cho
mỗi đầu vào. Khái niệm đa lớp nhấn mạnh đến sự tương tác giữa các biến
trong một lớp, giữa các lớp. Có thể hình dung một hệ CNN đa lớp là kết hợp
của nhiều lớp đơn xếp chồng lên nhau, ngoài tương tác giữa các tế bào trong
một lớp còn có tương tác giữa các lớp.
Khi có nhiều biến trạng thái ta có thể chọn nhiều kiểu tương tác đồng
thời cho mỗi biến trạng thái khác nhau. Thuộc tính này làm cho CNN cực kỳ
linh hoạt và cho phép chúng ta giải quyết những bài toán xử lý phức tạp.
23

22

21

Hình 1.4 Kiến trúc CNN hai chiều
Một cách tổng quát trong CNN đa lớp, kích thước và hình trạng liên kết
có thể khác nhau giữa các lớp. Ký hiệu mỗi lớp kj trong đó k kích thước của
lớp (nếu k = 2 nghĩa là ở lớp j có là ma trận 2 chiều MxN), j là chỉ số của lớp.
Xét một hệ CNN hai chiều 3 lớp (Hình 1.4) có ký hiệu các lớp là 21, 22,
23 trong đó mỗi lớp là các ma trận 3x5. Tuy nhiên, để đơn giản hoá ta coi
kích thước của các lớp là giống nhau nên ta có thể bỏ chỉ số k, chỉ còn chỉ số


16

j (j) với mọi j{1,2,...n}. Ta thấy mỗi tế bào ta xét trong Hình 1.1 không chỉ
liên kết với các tế bào trong lớp mà còn liên kết với các tế bào trong lớp trên
và dưới. Một cách tổng quát chúng ta có thể coi kích thước của các lân cận
của mỗi tế bào ở mỗi lớp là tùy ý.


Phân loại theo thời gian xử lý:

-Discrete-Time Cellular Neural Network (DT-CNN): Xử lý các tín hiệu rời
rạc theo thời gian
-Continuous-Time Cellular Neural Network (CT-CNN): Xử lý các tín hiệu
liên tục theo thời gian


Phân loại theo tín hiệu đầu vào:

+ CNN tuyến tính (Linear CNN): Tín hiệu đưa vào xử lý là tín hiệu tuyến
tính. CNN loại này được sử dụng cho xử lý các tín hiệu tuyến tính rất phù hợp
cho một số thao tác cơ bản trong xử lý ảnh tuyến tính. Mẫu CNN tuyến tính
được ký hiệu:
A(i,j;l,k);

B(i,j;k,l)

+ CNN phi tuyến (Non-Linear Cellular Neural Network-NLCNN): Tín hiệu
đưa vào sử lý là tín hiệu phi tuyến trong một số ứng dụng như giải phương
trình vi phân, xử lý ảnh phi tuyến người ta sử dụng CNN phi tuyến. Bản chất
của CNN phi tuyến khác với CNN tuyến tính là nguồn dòng điều khiển Ixy và
Ixu được xác định bởi mẫu phi tuyến có ký hiệu:




A(i, j; l , k ) và B (i, j; k , l )

+ CNN trễ: Trong quá trình xử lý có những lúc cần tạo ra những tín hiệu trễ
và người ta sử dụng CNN trễ. Bản chất trễ ở đây được thực hiện với các mẫu
trễ và các tín hiệu vào/ra trễ, điện áp là hàm của biến thời gian trễ (T- t).
Tham số trễ thời gian t có thể được điều khiển thông qua các phần tử mạch
(điện trở R, tụ điện C) mẫu trễ được ký hiệu:


17

A (i, j; k , l ) và B (i, j; k , l )

+ CNN hỗn độn (chaos): Một số trường hợp mạch CNN làm việc ở trạng thái
phi tuyến và có dao động không tuần hoàn trở thành trạng thái hỗn độn
(chaos). Hiện tượng này trái ngược với trạng thái hoạt động bình thường của
CNN. Hiện nay, vấn đề này vẫn được tiếp tục nghiên cứu để ứng dụng cho
một số bài toán như mã hóa, bảo mật.


.Phân loại theo tương tác:

+ CNN không ghép cặp: Là hệ CNN mà các tế bào có tương tác với tế bào
láng giềng nhưng không truyền thông tin cho nhau mà chỉ xử lý độc lập nghĩa
là không có hiện tượng lan truyền tín hiệu trong toàn hệ.
+ CNN ghép cặp: Trái với CNN không ghép cặp hệ CNN này các tế bào trong
quá trình xử lý có truyền thông tin cho nhau để xử lý có tính toàn cục. Với
nhiều bài toán xử lý các thông tin trạng thái thay đổi liên tục có ảnh hưởng
đến nhau thông qua hàm trạng thái thì CNN ghép cặp được sử dụng nhất là
trong cấc bài toán giải phương trình đạo hàm riêng.


Một số dạng CNN đơn giản:
Trong tương tác xử lý của CNN một tế bào luôn có tác động và chịu tác

động của tế bào láng giềng. Tùy trường hợp những tác động này mạnh, yếu,
cố định hay thay đổi tùy theo các mẫu. Mẫu trong CNN quyết định bản chất
hoạt động của CNN. Mỗi mẫu là một cặp các giá trị (A,B,z) như đã giới thiệu
ở trên.

Đầu vào U

Trạng thái X

Đầu ra Y

Hình 1.5: CNN không gian bất biến với 3 láng giềng


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×