Tải bản đầy đủ

Nghiên cứu bài toán hàng đợi có ưu tiên

i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu do chính tôi thực hiện
trên cơ sở tìm kiếm, thu thập, nghiên cứu, tổng hợp trình bày bằng văn bản. Các số
liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và không sao chép nguyên bản từ bất kì
một nguồn tài liệu nào khác.
Nếu có gì sai sót, tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

HỌC VIÊN

CHU MẠNH TOÀN


ii

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN ......................................................................................................... i
MỤC LỤC ...................................................................................................................ii
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, BIỂU BẢNG .............................................................. iv

LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1
Chương 1. LÝ THUYẾT HÀNG ĐỢI ......................................................................... 3
1.1. Các khái niệm cơ bản......................................................................................... 3
1.1.1. Khái niệm xếp hàng ..................................................................................... 3
1.1.2. Các yếu tố cơ bản của hệ thống hàng đợi [6] ............................................... 4
1.1.3. Phân tích hàng đợi ....................................................................................... 7
1.1.4. Phân loại Kendall ...................................................................................... 12
1.1.5. Các số đo hiệu năng................................................................................... 13
1.1.6. Kết quả nhỏ (Little's result) [8] .................................................................. 16
1.1.7. Quá trình sinh tử (Birth-Death) .................................................................. 17
1.2. Một số hàng đợi cơ bản ................................................................................... 18
1.2.1. Hàng đợi Markov M/M/1 .......................................................................... 18
1.2.2. Hàng đợi Markov M/M/n .......................................................................... 19
1.2.3. Hàng đợi có Markov M/M/n/n ................................................................... 21
Chương 2. HÀNG ĐỢI CÓ ƯU TIÊN VÀ CÔNG CỤ XÂY DỰNG MÔ PHỎNG ... 25
2.1. Hàng đợi có ưu tiên Priority Queueing [1] ....................................................... 25
2.2. Các thuật toán lập lịch cho hàng đợi ................................................................ 28
2.2.1. First Come First Served (FCFS) ................................................................ 28
2.2.2 Round robin(RR) ........................................................................................ 28
2.2.3 Shortest Remain Time(SRT) ...................................................................... 29
2.3. Công cụ GPSS mô phỏng cho hàng đợi có ưu tiên ........................................... 29
2.3.1. Các hướng tiếp cận mô phỏng ................................................................... 29
2.3.2. Những điểm nổi bật của ngôn ngữ GPSS World [4] .................................. 30
2.3.3. Một số khái niệm trong GPSS World [9][10] ............................................. 32


iii

2.3.4. Các thực thể trong GPSS ........................................................................... 33
2.3.5. Cú pháp lệnh GPSS ................................................................................... 36
2.3.6. Các khối cơ bản trong GPSS ..................................................................... 37
2.4. Cách hiện thực hóa hàng đợi có ưu tiên đối với GPSS World [2] ..................... 44
Chương 3 KẾT QUẢ ỨNG DỤNG CÔNG CỤ MÔ PHỎNG VÀ NHẬN XÉT ........ 46
3.1. GPSS World Student Version .......................................................................... 46
3.2. Bài toán 1: Xếp hàng không ưu tiên ................................................................ 48
3.2.1. Trình bày mô tả bài toán ............................................................................ 48
3.2.2. Phân tích bài toán ...................................................................................... 48
3.2.3. Gải bài toán với lý thuyết hàng đợi ............................................................ 49
3.2.4. Mô phỏng bài toán bằng GPSS World ....................................................... 50
3.3. Bài toán 2: Xếp hàng có ưu tiên ...................................................................... 54

3.3.1. Trình bày mô tả bài toán ............................................................................ 54
3.3.2. Phân tích bài toán ...................................................................................... 54
3.3.3. Gải bài toán với lý thuyết hàng đợi ............................................................ 55
3.3.4. Mô phỏng bài toán bằng GPSS World ....................................................... 56
KẾT LUẬN ............................................................................................................... 61
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................... 62


iv

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, BIỂU BẢNG
Hình 1.1 Hệ thống hàng đợi ......................................................................................... 4
Hình1.2 Các dạng hệ thống hàng đợi ........................................................................... 5
Hình 1.3 Phân tích mô hình hàng đợi ........................................................................... 9
Hình 1.4 Minh họa thời gian 1 khách hàng lưu lại trong hệ thống .............................. 11
Hình 1.5 Biểu đồ thời gian hàng đợi .......................................................................... 17
Hình 1.6 Lược đồ chuyển tiếp trạng thái sinh tử ........................................................ 17
Hình 1.7 Mô hình hàng đợi M/M/1 ............................................................................ 18
Hình 1.8 Chuỗi Markov của hàng đợi M/M/1 ............................................................ 18
Hình 1.9 Mô hình hàng đợi M/M/n ............................................................................ 19
Hình 1.10 Chuỗi Markov của hàng đợi M/M/n .......................................................... 19
Hình 1.11 Mô hình hàng đợi M/M/n/n ....................................................................... 21
Hình 1.12 Chuỗi Markov của hàng đợi M/M/n/n ....................................................... 22
Hình 2.1 Cách lấy gói tin của hàng đợi Priority Queueing ......................................... 25
Hình 2.2 Tiến trình gởi gói tin của Priority Queueing ................................................ 26
Hình 2.3 Tóm tắc tính năng Priority Queueing........................................................... 27
Hình 2.4 Mối quan hệ giữa các đối tượng .................................................................. 30
Hình 2.5 Minh họa một segment. ............................................................................... 39
Hình 3.1 Mô hình một chương trình mô phỏng hệ thống hàng đợi đơn giản............... 47
Hình 3.2 Ví dụ một cửa sổ Block Window................................................................. 47
Hình 3.3 Ví dụ về một cửa sổ REPORT ..................................................................... 48
Hình 3.4 Mô hình phân tích bài toán 1 ....................................................................... 48
Hình 3.5 Sơ đồ thuật toán bài toán 1 .......................................................................... 49
Hình 3.6 Mô hình phân tích bài toán 2 ....................................................................... 54
Hình 3.7 Sơ đồ thuật toán bài toán 2 .......................................................................... 55


1

LỜI MỞ ĐẦU
Lý thuyết xếp hàng đã được nghiên cứu và ứng dụng rộng rãi trên thế giới trong
nhiều lĩnh vực nghành nghề khác nhau như bưu chính viễn thông, hàng không, đường
sắt, kiểm soát lưu lượng giao thông, đánh giá hiệu năng hệ thống máy tính, y tế và
chăm sóc sức khỏe, không lưu, bán vé… Trong nhiều hệ thống phục vụ, các khách
hàng (costumer) phải dùng chung tài nguyên, phải chờ để được phục vụ và đôi khi bị
từ chối phục vụ. Lý thuyết quá trình xếp hàng (queueing process) xác định và tìm các
phương án tối ưu để hệ thống phục vụ tốt nhất. Trong nửa đầu của thế kỷ XX lý thuyết
xếp hàng đã được ứng dụng để nghiên cứu thời gian đợi trong các hệ thống điện thoại.
Ngày nay lý thuyết xếp hàng còn có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như
trong mạng máy tính, trong việc quản lý xí nghiệp, quản lý giao thông và trong các hệ
phục vụ khác. Ngoài ra lý thuyết xếp hàng cũng còn là cơ sở toán học để nghiên cứu
và ứng dụng trong nhiều bài toán kinh tế như đầu tư, kiểm kê, rủi ro của bảo hiểm, thị
trường chứng khoán ...
Đối với lý thuyết xếp hàng ta quan tâm đến các số đo hiệu năng, đó là các giá
trị trung bình khi quá trình đạt trạng thái dừng bao gồm: độ dài hàng đợi trung bình
của hàng, độ dài hàng đợi trung bình của hệ thống, thời gian đợi trung bình của hàng
(trễ của hàng) và thời gian đợi trung bình của hệ thống (trễ của hệ thống). Để tính các
đại lượng này ta có thể sử dụng phương pháp giải phương trình tích phân dạng
Wiener-Hopf hoặc phương pháp khảo sát chuỗi Markov nhúng[3]. Từ đó suy ra các
công thức tính các phân bố ổn định cho các loại hàng M/M/k, M/M/k/N; Công thức
tổng quát tính các giá trị trung bình này cho các hàng G/G/1 và công thức cụ thể cho
các hàng đặc biệt M/M/1, M/D/1 và M/Ek/1… Bên cạnh đó với những hệ thống hàng
đợi có ưu tiên (Priority Queueing), các cơ sở lý thuyết tính toán thường gặp nhiều khó
khăn, đặc biệt với những mức ưu tiên khác nhau của từng đối tượng tham gia trong hệ
thống, vì vậy việc áp dụng các công cụ mô phỏng để tiến hành mô phỏng và đánh giá
hoạt động của hệ thống, đưa ra các đặc điểm, thông số của hệ thống là một cách tiếp
cận đã được nhiều nghiên cứu đặt ra.


2

Luận văn này xác định mục tiêu tìm hiểu, nghiên cứu về các hàng đợi có ưu tiên
(Priority Queueing), các lĩnh vực ứng dụng và nghiên cứu cách tiếp cận mô phỏng
bằng các công cụ mô phỏng chuyên dụng, từ đó áp dụng để mô phỏng bài toán cụ thể.
Để giải bài toán trên, chúng ta có thể: tìm kiếm và giải quyết bằng các mô hình toán
học, hoặc tìm ra các giải thuật và sử dụng các ngôn ngữ lập trình (C++, Pascal,
Java,…) xây dựng chương trình để đưa ra các kết quả cần tìm. Nhưng việc sử dụng các
công thức toán học mà lý thuyết hàng đợi cung cấp để tính toán, cũng như mô phỏng
hệ thống bằng cách sử dụng các ngôn ngữ lập trình truyền thống là khá phức tạp, khó
khăn, vì khi lập trình chúng ta phải quản lý các sự kiện theo một mô hình nhiều sự
kiện xảy ra đồng thời và cần xây dựng các hàm ngẫu nhiên sinh các sự kiện. Do vậy,
đã xuất hiện ngôn ngữ mô phỏng chuyên dụng đó là ngôn ngữ lập trình GPSS
(General Purpose Simulation System), một ngôn ngữ mô phỏng các hệ thống phức
tạp rời rạc. GPSS dự đoán các hành vi trong tương lai của các hệ thống hàng đợi. Các
đối tượng của ngôn ngữ này được sử dụng tương tự như các thành phần chuẩn của một
hệ thống hàng đợi, như là các yêu cầu, các thiết bị phục vụ, hàng đợi…
Luận văn bao gồm 3 chương với nội dung tóm tắt như sau:
Chương 1 – Lý thuyết hàng đợi
Đưa ra cơ sở lý thuyết hệ thống phục vụ đám đông, tức hệ thống hàng đợi, bao
gồm: các yếu tố của hệ thống phục vụ (dòng vào, dòng ra, hàng chờ, kênh phục vụ),
trạng thái của hệ thống, các quy luật liên quan đến trạng thái hệ thống…
Chương 2 – Hàng đợi có ưu tiên và công cụ xây dựng mô phỏng
Đưa ra lý thuyết hàng đợi có ưu tiên áp dụng cho bài toán. Tìm hiểu về ngôn ngữ
General Purpose Simulation System – GPSS. Nêu lên các hướng tiếp cận mô phỏng:
lập trình và các công cụ mô phỏng có sẵn trong GPSS.
Chương 3 – Kết quả ứng dụng công cụ mô phỏng và nhận xét
Ứng dụng công cụ mô phỏng GPSS vào bài toán thực tế: mô phỏng hệ thống
hàng đợi có ưu tiên phục vụ xếp hàng, giảm tải xếp hàng trong bệnh viện. Từ bài toán
cụ thể đó, phân tích, tính toán, tiến hành mô phỏng và đánh giá kết quả thu được.


3

Chương 1
LÝ THUYẾT HÀNG ĐỢI
1.1. Các khái niệm cơ bản
1.1.1. Khái niệm xếp hàng
Mô hình tổng quát của lý thuyết xếp hàng là khách hàng đến ở một thời điểm
ngẫu nhiên nào đó và yêu cầu được phục vụ theo một loại nào đó. Giả thiết thời gian
phục vụ có thể là ngẫu nhiên.

Nguồn vào

Các khách hàng yêu cầu và
tìm kiếm dịch vụ

Quá trình đến
Quá trình đến trung gian tn

Độ dài
hàng
đợi
của hệ
thống

Độ
dài
hàng
đợi

Hàng đợi
-Dung lượng:
Hữu hạn hoặc vô hạn
- Quy tắc phục vụ:
FIFO hoặc LIFO
Phương tiện
phục vụ

Các khách hàng đã được phục vụ

Đầu ra


4

Đặt tn là khoảng thời gian giữa 2 lần đến của khách hàng thứ n và thứ n+1. Ta
giả định rằng tất cả các tn (n ≥ 1) là độc lập và có cùng phân bố. Vì vậy việc đến của
các khách hàng tạo thành 1 hàng kế tiếp nhau với tốc độ đến là  

1
. Ta gọi quá
E (t1 )

trình {tn, n=1,2,…} là quá trình đến. Khách hàng đến hệ thống yêu cầu các server của
hệ thống phục vụ. Ta giả sử rằng khách hàng thứ n cần một thời gian phục vụ là sn (n
≥ 1), tất cả các sn độc lập và có cùng phân bố. Quá trình

tn ; n  1, 2,...

được gọi là

quá trình phục vụ. Ta cũng giả thiết rằng các thời gian đến trung gian độc lập với thời
gian phục vụ.
Quá trình xếp hàng được phân loại dựa vào các tiêu chí sau:





1) Phân bố của quá trình đến (input process) là lq  t 

t 0

2) Phân bố của thời gian phục vụ (service distribution) sn ; n  1, 2,...
3) Nguyên tắc phục vụ: Các khách hàng đến được sắp xếp vào hàng đợi đến
lượt được phục vụ. Để đơn giản ta giả thiết chỉ có một hàng. Tuy nhiên trong nhiều
trường hợp có thể mở rộng cho nhiều hàng cùng hoạt động song song. Nếu độ dài
hàng có đặt ngưỡng thì các đơn vị đến hàng khi hàng đầy vượt ngưỡng sẽ bị loại. Các
khách hàng được chọn để phục vụ theo nguyên tắc "đến trước phục vụ trước" (FIFO),
nghĩa là phục vụ cho khách nào đứng đầu hàng.
4) Cơ cấu phục vụ: Một phương tiện phục vụ bao gồm một hay nhiều Server.
Các Server có thể kết nối thành chuỗi vì thế mỗi yêu cầu phục vụ được phục vụ theo
nhiều cách hoặc lần lượt hoặc song song.
1.1.2. Các yếu tố cơ bản của hệ thống hàng đợi [6]
Hệ thống hàng đợi tổng quát được minh hoạ như hình sau:
Input
Dòng tín hiệu đến

Hàng
chờ

Output
KÊNH PHỤC VỤ

Hình 1.1 Hệ thống hàng đợi

Dòng tín hiệu ra


5

Các yếu tố cơ bản của hệ thống hàng đợi bao gồm:
 Bố trí vật lí của hệ thống
Hệ thống hàng đợi có một số dạng bố trí vật lí (phisical layout) như minh họa
dưới đây:
Single Channel – Single Server (Một kênh phục vụ, một loại dịch vụ)

Single Channel – Multi Server (Một kênh phục vụ, nhiều loại dịch vụ)

Dịch vụ 1
Dịch vụ 2
Dịch vụ 3
Multi Channel – Single Server (Nhiều kênh phục vụ, một loại dịch vụ)

Multi Channel – Multi Server (Nhiều kênh phục vụ, nhiều loại dịch vụ)

Dịch vụ 1

Dịch vụ 2

Hình1.2 Các dạng hệ thống hàng đợi
Các kênh phục vụ được hiểu là những thiết bị kĩ thuật hoặc con người
hoặc những tổ hợp các thiết bị kĩ thuật và con người được tổ chức quản lí một cách
thích hợp nhằm phục vụ các yêu cầu / các tín hiệu đến hệ thống. Chẳng hạn, ở các
trạm điện thoại tự động, kênh phục vụ là các đường dây liên lạc cùng các thiết bị kĩ
thuật khác phục vụ cho việc đàm thoại.
 Nguyên tắc phục vụ
Nguyên tắc phục vụ (hay nội quy) của hệ thống là cách thức nhận các yêu cầu
vào các kênh phục vụ. Nguyên tắc phục vụ cho biết trường hợp nào thì yêu cầu được
nhận vào phục vụ và cách thức phân bố các yêu cầu vào các kênh như thế


6

nào. Đồng thời nguyên tắc phục vụ cũng cho biết trong trường hợp nào yêu cầu bị từ
chối hoặc phải chờ và giới hạn của thời gian chờ.
Một số nguyên tắc phục vụ thường được áp dụng trong các hệ thống hàng đợi là FIFO
(First in first out), LIFO (Last in first out), FCFS (First come first serve), có ưu tiên,
không ưu tiên,...
 Các phân phối xác suất của các dòng tín hiệu, dòng phục vụ
Số tín hiệu đến trong một khoảng thời gian cũng như thời gian phục vụ
từng tín hiệu nói chung là những biến ngẫu nhiên, và do đó, chúng tuân theo các quy
luật phân phối xác suất. Các quy luật phân phối xác suất này được thiết lập căn cứ các
số liệu thực nghiệm thu thập từ các quan sát, thí nghiệm, hay từ cơ sở dữ liệu sẵn có.
Đối với dòng tín hiệu đầu vào, thông thường chúng ta giả sử rằng số tín hiệu
đến trong vòng một khoảng thời gian nào đó được ấn định trước (1 phút, 3 phút, 5
phút, 30 phút,...) tuân theo luật phân phối Poisson P(). Ở đây, tham số  đặc trưng
cho số tín hiệu đến (trung bình) trong khoảng thời gian trên. Ví dụ, số khách
vào siêu thị (trung bình) là 100 người trong 1 giờ. Có nghĩa là, số khách vào siêu thị
là biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với  = 100. Hoặc, với số cuộc gọi (trung
bình) đến tổng đài trong vòng 1 phút là 3 (tín hiệu) thì có X ~ P(3).
Một cách chính xác hơn, trong những trường hợp trên, ta có dòng tín hiệu đến là dòng
Poisson dừng (còn gọi là dòng tối giản) với các tính chất trên sau:
Tính không hậu quả: Một dòng tín hiệu có tính không hậu quả nếu xác suất xuất
hiện một số tín hiệu nào đó trong một khoảng thời gian nhất định không phụ thuộc vào
việc đã có bao nhiêu tín hiệu đã xuất hiện và xuất hiện như thế nào trước khoảng thời
gian đó.
Tính đơn nhất: Dòng tín hiệu có tính đơn nhất nếu xét trong khoảng thời gian
khá bé thì sự kiện “có nhiều hơn một tín hiệu xuất hiện” hầu như không xảy ra. Về mặt
thời gian ta có thể xem dòng tín hiệu có tính đơn nhất nếu thời điểm xuất hiện các tín
hiệu không trùng nhau.


7

Tính dừng: Dòng tín hiệu có tính dừng nếu xác suất xuất hiện một số tín hiệu
nào đó trong khoảng thời gian  chỉ phụ thuộc vào độ dài của  chứ không phụ thuộc
vào điểm khởi đầu của .
1.1.3. Phân tích hàng đợi
Có các phương pháp phân tích hàng đợi như sau
 Phân tích giải tích
 Quá trình mô phỏng
 Cả hai phương pháp trên
Phương pháp giải tích để giải mô hình hàng đợi gồm các bước sau:
Bước 1: Phân tích hệ thống, chủ yếu là phân tích bản chất của dòng yêu cầu /
tín hiệu đến và các trạng thái của hệ thống.
Bước 2: Thiết lập hệ phương trình trạng thái cho các xác suất trạng thái (xác
suất để hệ thống ở một trạng thái nào đó tại thời điểm t).
Bước 3: Giải hệ phương trình để tìm các xác suất trạng thái. Từ đó thiết lập các
mối quan hệ giữa các chỉ tiêu cần phân tích.
Bước 4: Tính toán, phân tích các chỉ tiêu, trên cơ sở đó đưa ra các nhận xét và
các quyết định.
Phương pháp giải tích thường sử dụng các giả thiết rất chặt chẽ của Toán học về
các đặc trưng của hệ thống, vì vậy nó có một số hạn chế nhất định khi giải các bài toán
thực tế.
Trong khi đó, phương pháp mô phỏng/mô phỏng ngẫu nhiên để giải mô hình
hàng đợi được áp dụng cho các bài toán dịch vụ đám đông không giải được bằng
công cụ giải tích, nhất là những bài toán liên quan đến hệ thống lớn, bất ổn định,
hàm chứa nhiều yếu tố ngẫu nhiên, không tuân theo các giả thiết quá chặt chẽ
của Toán học. Trong nhiều trường hợp phương pháp mô phỏng cho ta tiết kiệm
được thời gian và chi phí nghiên cứu. Tuy phương pháp mô phỏng chỉ tạo ra các
phương án đủ tốt để đánh giá hoạt động của hệ thống chứ không đưa ra được kĩ
thuật tìm lời giải tốt nhất.
Các bước cần tiến hành khi áp dụng phương pháp mô phỏng bao gồm:


8

Bước 1: Xác định bài toán hay hệ thống hàng đợi cần mô phỏng và mô
hình mô phỏng.
Bước 2: Đo và thu thập số liệu cần thiết cần thiết để khảo sát thống kê các
số đặc trưng / các yếu tố cơ bản của mô hình.
Bước 3: Chạy mô phỏng kiểm chứng (test simulation) mô hình và so sánh
kết quả kiểm chứng với các kết quả đã biết được trong thực tế. Phân tích kết quả
chạy mô phỏng kiểm chứng, nếu cần thì phải sửa lại phương án đã được đánh giá qua
chạy mô phỏng.
Bước 4: Chạy mô phỏng để kiểm chứng phương án cuối cùng và kiểm tra tính
đúng đắn của mọi kết luận về hệ thống thực tế được rút ra sau khi chạy mô phỏng.
Triển khai hoạt động của hệ thống hàng đợi dựa trên phương án tìm được.
Từ những phân tích trên đây có thể thấy Lí thuyết xếp hàng còn gọi là Lí
thuyết hệ phục vụ công cộng hay Lí thuyết hệ dịch vụ đám đông là lĩnh vực rất quan
trọng của Toán ứng dụng / Vận trù học. Nhiều bài toán thực tế trong các lĩnh vực
hệ thống dịch vụ, kĩ thuật, … đã được giải quyết thành công nhờ áp dụng phương
pháp mô phỏng mô hình hàng đợi.
Kết quả phân tích (về phía khách hàng)
• Thời gian xếp hàng (trễ hàng đợi)
• Tổng trễ (bao gồm trễ hàng đợi và trễ phục vụ)
• Số lượng khách hàng trong hàng đợi
• Số lượng khách hàng trong hệ thống (gồm khách hàng chờ và khách hàng đang được
phục vụ)
• Xác suất nghẽn mạng (khi kích thước bộ đệm hữu hạn)
• Xác suất chờ để phục vụ
Kết quả phân tích (về phía người phục vụ)
• Khả năng sử dụng server
• Khả năng sử dụng bộ đệm
• Lợi ích thu được (thông số dịch vụ và các xem xét về kinh tế)
• Lợi ích bị mất (thông số dịch vụ và các xem xét về kinh tế)


9

Ta phân tích hàng đợi sau:

Hình 1.3 Phân tích mô hình hàng đợi

 tốc độ đến trung bình , thời gian đến trung bình
1/μ tốc độ phục vụ trung bình, thời gian phục vụ trung bình 1/μ
Với kích thước của bộ đệm là vô hạn, quy tắc phục vụ là FIFO

- Sự kiện A: có 1 sự đến trong  t
- Sự kiện B: không có sự đến nào trong  t
- Sự kiện C: có nhiều hơn 1 sự đến trong  t
Giả sử rằng  t→ 0 . Như vậy ta sẽ có:

Pr  A  t
Pr B  1  t
Gi¶ thiÕt P C  0
r
Số lượng sự kiện đến tuân theo phân bố Poisson
Định nghĩa luật phân bố Poisson


10

Đồng thời, khoảng thời gian đến (được tính giữa hai sự đến liên tiếp) tuân theo luật
phân bố mũ

.
- Sự kiện A: có 1 sự kiện đi trong  t
- Sự kiện B: không có sự kiện đi nào trong  t
- Sự kiện C: có nhiều hơn 1 sự kiện đi trong  t
Giả sử rằng  t →0 Như vậy ta sẽ có:

• D là sự kiện của 1 hoặc nhiều sự đến AND với sự kiện của 1 hoặc nhiều sự đi trong
khoảng t. Giả sử Pr{D}=0
• Định nghĩa PN (t ) là xác xuất mà hệ thống có N khách hàng tại thời điểm t
Từ đó ta có

• Ở điều kiện ổn định, khi t→∞, ta có:


11

Tức là xác xuất hệ thống rơi vào một trạng thái nào đó không phụ thuộc thời gian
nữa...
• Xét trong một khoảng thời gian đủ lớn, số lượng khách hàng lưu trong hệ thống được
tính theo công thức:

• Số lượng khách hàng lưu trong hàng đợi được tính bằng:

•Thời gian một khách hàng lưu lại trong hệ thống bao gồm:
-Thời gian chờ xếp hàng
-Thời gian phục vụ
Hàng đợi

Sự kiện
đến

Sự kiện đi

Hình 1.4 Minh họa thời gian 1 khách hàng lưu lại trong hệ thống
Giả thiết:
- Hệ thống ở trạng thái ổn định tức   
- Quy tắc phục vụ là FIFO
Tổng thời gian lưu trong hệ thống:


12

Tổng thời gian chờ trong hàng đợi:

Sự kiện một khách hàng đến phải đợi chính là khi trong hệ thống có ít nhất 1 khách
hàng:

Đây cũng chính là xác suất hệ thống ở trạng thái bận Pbusy
1.1.4. Phân loại Kendall
Kendall (1951) đã đưa ra ký hiệu A/B/C/K/N/D để mô tả các tham số cơ bản
của hệ thống sắp hàng, thông thường được viết gọn lại dưới dạng A/B/C/K.
Ví dụ: M/M/k, G/M/k/N.
Trong đó.
A

Biểu diễn dạng của phân bố thời gian đến trung gian

B

Dạng phân bố thời gian phục vụ

C

Số Server

K

Số lượng vị trí trong hàng đợi

N

Số lượng khách hàng

D

Nguyên tắc phục vụ: FIFO, LCFS, SIRO, PNPN..


13

A và B có thể mang bất kỳ kiểu phân bố sau đây:
Ký hiệu

Dạng phân bố

M

Phân bố theo cấp số nhân (Markovian)

Ek

Phân bố Erlang-k

G

Phân bố được xét dưới dạng tổng quát

D

Hằng số ( Deterministic).

Cụ thể như sau:
* Nếu luật phân bố được xét dưới dạng tổng quát thì A hoặc B lấy ký hiệu G
(General). Đôi khi người ta còn ký hiệu GI (general independence).
* Nếu quá trình đến là quá trình Poisson, nghĩa là thời gian đến trung gian có
phân bố mũ thì A được ký hiệu M (Markovian). Tương tự nếu thời gian phục vụ có
phân bố mũ thì B cũng được ký hiệu M .
* Nếu thời gian đến trung gian hoặc thời gian phục vụ có phân bố Erlang-k thì A,
B được ký hiệu Ek .
* Nếu thời gian đến trung gian hoặc thời gian phục vụ là hằng số thì A hoặc B
được ký hiệu D (Deterministic).
Khi một vài thiết bị phục vụ có dung lượng hữu hạn thì hệ thống chỉ có thể chứa đến
khách hàng. Nếu ở trong hàng đã có khách hàng chưa được phục vụ thì khách hàng mới
đến sẽ bị từ chối hoặc bị mất. Trong trường hợp này hệ thống được ký hiệu A/B/k /N.
1.1.5. Các số đo hiệu năng
Đó là các giá trị trung bình khi quá trình đạt trạng thái dừng bao gồm: độ dài
hàng đợi trung bình của hàng, độ dài hàng đợi trung bình của hệ thống, thời gian đợi
trung bình của hàng (trễ của hàng) và thời gian đợi trung bình của hệ thống (trễ của hệ
thống)
1) Tỉ lệ tới trung bình (λ)
Tỉ lệ tới trung bình chỉ ra "số kì vọng các khách hàng tới theo đơn vị thời gian ", được
biểu diễn bởi "λ"(lambda).
Thời gian tới trung bình có thể thu được bằng việc dùng biểu thức sau.


14

Thời gian tới trung bình = 1 / Tỉ lệ tới trung bình = 1 / λ
Chẳng hạn, nếu có 4 lần tới được trông đợi trong một phút,
Tỉ lệ tới trung bình (λ) = 4 lần khách hàng tới trong một phút
Thời gian tới trung bình = 1/4 phút cho mỗi lần khách hàng tới = 15 giây cho
mỗi lần khách hàng tới
Tức là, về trung bình khách hàng tới cứ sau mỗi 15 giây
2) Tỉ lệ phục vụ trung bình (μ)
Tỉ lệ phục vụ trung bình nghĩa là "số lượng trông đợi các khách hàng được hoàn thành
phục vụ theo đơn vị thời gian ", được biểu diễn bởi "μ".
Thời gian phục vụ trung bình có thể thu được bằng việc dùng biểu thức sau.
Thời gian phục vụ trung bình = 1 / Tỉ lệ phục vụ trung bình = 1 /μ
Chẳng hạn, nếu dịch vụ cho 5 khách hàng có thể được hoàn tất trong mỗi phút,
Tỉ lệ phục vụ trung bình (λ) = 5 khách hàng một phút
Thời gian phục vụ trung bình = 1/5 phút cho mỗi khách hàng = 12 giây cho mỗi khách
hàng
Tức là,về trung bình phải mất 12 giây để phục vụ một khách hàng.
Nếu μ>λ hay 1/μ < 1/λ là đúng trong hệ thống xếp hàng, thì hệ thống này được gọi là
trong "điều kiện trạng thái vững vàng ".
3) Cường độ lưu thông (ρ)
Cường độ lưu thông biểu diễn cho "phân số trông đợi về thời gian các nguồn phục vụ
riêng lẻ bận rộn",được kí hiệu bởi "ρ"(rho). Điều này có thể thu được bằng việc dùng
biểu thức sau.
Cường độ lưu thông (ρ) = Tỉ lệ tới trung bình / Tỉ lệ phục vụ trung bình
= λ/μ = 1/μ/ 1/λ
= Thời gian phục vụ trung bình / Thời gian khoảng tới
trung bình < 1
Chẳng hạn, nếu có bốn khoảng tới khách hàng trông đợi trong mỗi phút, và việc
phục vụ cho 5 khách hàng có thể được hoàn thành trong một phút,
Cường độ lưu thông (ρ) = 4/5 =0.8→80% hay 12(sec) / 15(sec) = 0.8→80%


15

Điều này nghĩa là từng nguồn phục vụ đều bận đến 80% thời gian.
4) Độ dài hàng đợi trung bình của hệ thống (Số khách hàng trung bình trong hệ
thống) (L)
Số khách hàng trung bình trong hệ thống là "số trông đợi về các khách hàng trong hệ
thống xếp hàng, kể cả đang đợi phục vụ và hiện đang được phục vụ ", được kí hiệu là
L. Chúng ta có thể tính số này từ cường độ lưu thông ρ bằng việc dùng phương trình
sau. Số khách hàng trung bình trong hệ thống (L) = cường độ lưu thông / (1- cường độ
lưu thông)=ρ/ (1-ρ)
Chẳng hạn, nếu 4 khách hàng xuất hiện trong một phút và 5 khách hàng có thể
nhận được phục vụ trong một phút,Số trung bình các khách hàng trong hệ thống (L) =
0.8 / (1-0.8) = 4
Điều này chỉ ra rằng về trung bình 4 khách hàng đang trong hệ thống xếp hàng,
chờ nhận được phục vụ.
5) Thời gian đợi (chờ) trung bình trong hệ thống (W)
Thời gian cần dùng trung bình cho khách hàng trong hệ thống là "thời gian chờ đợi
được trông đợi trong hệthống (kể cả thời gian phục vụ)", được kí hiệu bởi W. Số này
có thể được tính từ số trung bình các khách hàngtrong hệ thống (L) và tỉ lệ tới trung
bình (λ) (hay thời gian khoảng tới trung bình (1/λ)), bằng việc dùngđẳng thức sau:
Thời gian cần dùng trung bình cho khách hàng trong hệ thống (W)
= số khách hàng trung bình trong hệ thống×(1/tỉ lệ tới trung bình) = L×1/λ
= số khách hàng trung bình trong hệ thống × thời gian khoảng tới trung bình
Thời gian cần dùng trung bình cho khách hàng trong hệ thống (W)
= thời gian trung bình cho khách hàng trong hàng đợi + thời gian phục vụ trung
bình = Wq+ 1/μ
6) Độ dài hàng đợi trung bình của hệ thống (Số khách hàng trung bình trong
hàng đợi) (Lq)
Số khách hàng trung bình trong hàng đợi là "chiều dài hàng đợi dự kiến (loại ra các
khách hàng đang được phục vụ)", được kí hiệu bởi Lq.


16

Điều này được tính bằng phương trình sau, dùng số khách hàng trung bình trong hệ
thống (L) và cường độ lưuthông (ρ).
Số trung bình các khách hàng trong hàng đợi (Lq)
= số trung bình các khách hàng trong hệ thống (L) × cường độ lưu thông (ρ)
= (cường độ lưu thông) 2 / (1 - cường độ lưu thông) =ρ 2 / (1-ρ)
7) Thời gian đợi trung bình của hàng (Thời gian trung bình của khách hàng
trong hàng đợi) (Wq)
Thời gian trung bình của khách hàng trong hàng đợi là "thời gian đợi dự kiến
trong hàng đợi (trừ thời gian phục vụ)", được kí hiệu bởi Wq.
Điều này có thể được tính từ số trung bình các khách hàng trong hàng đợi (Lq)
và tỉ lệ tới trung bình (λ) (haythời gian khoảng tới trung bình (1/λ)), bằng việc dùng
phương trình sau.
Thời gian trung bình của khách hàng trong hàng đợi (Wq)
= số trung bình các khách hàng trong hàng đợi × (1/tỉ lệ tới trung bình) = Lq ×1/λ
= số trung bình các khách hàng trong hàng đợi × thời gian khoảng tới trung bình
1.1.6. Kết quả nhỏ (Little's result) [8]
Công thức liên hệ giữa độ dài hàng đợi và thời gian đợi ở trạng thái cân bằng
L = λW
Lq=λWq
trong đó λ là tốc độ đến được định nghĩa như sau:

*Kết quả là kết quả nhỏ của định lý Little :
Tính trung bình, số lượng khách hàng nằm trong hệ thống được tính bằng tích
của tốc độ đến và thời gian phục vụ:
Công thức Little:
• Ký hiệu:
N(t): số lượng khách hàng nằm trong hệ thống tại thời điểm t

t : số lượng khách hàng đến hệ thống khoảng thời gian (0,t)
Bt : số lượng khách hàng rời khỏi hệ thống trong (0,t)


17

Ti : thời gian chiếm dùng của khách hàng i

Hình 1.5 Biểu đồ thời gian hàng đợi
Đẳng thức sau đây đúng vì 2 vế đều biểu diễn diện tích phần màu đậm:
t

t

 N (t ) Ti
0

i 1

t

Tương đương với:

Ti
t
1
t 
i 1
N (t ) 
 dpcm
t 0
t t

1.1.7. Quá trình sinh tử (Birth-Death)
Trạng thái của hệ thống được biểu diễn bằng số các công việc trong một hệ
thống, khi có một công việc mới đến thì trạng thái của hệ thống sẽ thay đổi sang n+1,
khi có một công việc ra đi thì trạng thái hệ thống sẽ thay đổi sang n-1, ta có lược đồ
chuyển tiếp trạng thái là quá trình sinh tử

Hình 1.6 Lược đồ chuyển tiếp trạng thái sinh tử
Trong đó i ,  là tốc độ sự kiện đến và đi xét tại trạng thái i
;với

là xác suất ổn định trạng thái n


18

Với một hệ thống dừng và ổn định thì tổng các dòng đi vào một trạng thái bằng
tổng các dòng đi ra.
1.2. Một số hàng đợi cơ bản
1.2.1. Hàng đợi Markov M/M/1
Là hàng đợi có quá trình đến Poisson với tốc độ  , thời gian phục vụ có phân phối
mũ tốc độ phục vụ  với 1 server phục vụ và trạng thái hệ thống (kích thước bộ đệm)
không giới hạn.

Hình 1.7 Mô hình hàng đợi M/M/1
Lược đồ trạng thái

Hình 1.8 Chuỗi Markov của hàng đợi M/M/1
Các công thức sau đây đã được chứng minh bằng phương pháp giải tích.
 Số lượng trung bình khách hàng trong hệ thống:

E[N ] 


1 

với  




 Số lượng trung bình khách hàng đợi, có nghĩa là chiều dài hàng đợi trung bình:

2
E[ N Q ] 
 
1 
1 


 Thời gian đợi trung bình trong hệ thống là:
E[W ] 

1
 (1   )


19

 Thời gian đợi trung bình trong hàng đợi là:
E[WQ ]  E[W ] 

1






 (1   )

 Số lượng server được sử dụng (Server utilization):
U s  1  P0 





1.2.2. Hàng đợi Markov M/M/n
Là hàng đợi có quá trình đến Poisson với tốc độ  , thời gian phục vụ có phân phối
mũ tốc độ phục vụ  với n server và trạng thái hệ thống (kích thước bộ đệm) không
giới hạn.

Hình 1.9 Mô hình hàng đợi M/M/n
Lược đồ chuyển trạng thái và hệ phương trình trạng thái cân bằng:

Hình 1.10 Chuỗi Markov của hàng đợi M/M/n
Trong mô hình trên, hệ thống ở trạng thái i khi có i khách hàng được phục vụ đồng
thời. Tốc độ đến và tốc độ phục vụ của chùm trong trạng thái i được xác định là

 và

i Khi một khách hàng đến tại trạng thái i sẽ được chuyển sang trạng thái i+1; ngược
lại, khi một khách hàng hoàn thành phục vụ của nó và rời khỏi hệ thống, trạng thái i sẽ
được chuyển về trạng thái i-1.


20

Đặt P = (P0,P1,...,Pn) là xác suất trạng thái cân bằng của hệ thống, với Pi là xác suất
trạng thái ổn định (steady-state) của trạng thái i (0  i  n) . Theo lược đồ trạng thái như
hình 2-6, ta có hệ phương trình trạng thái cân bằng sau:



 P1   P0

2
P   P
 2 2 2 0


3
P

 3 3!  3 P0

...
n
P   P
 n n!  n 0

P1  P0
2P  P     P
2
0
1



3

P


P



2

P
 3
1
2


nPn1  Pn1  (  n ) Pn



Với ràng buộc:

P 1
i

i 0

i

 1
Nếu i < n, Pi  P0   .
   i!
i

 
1
Nếu i  n, Pi  P0  
in
   n! n
 n1  i   i 
Suy ra P0  1     i n 
 i0 i! i n n!n 

1

Xác suất của một yêu cầu phải đợi được tính theo công thức Erlang’s C hoặc được
goi là Erlang’s delay:


P( waiting )  C (n,  )   P0
i n

i
n! n in

pnn
n!(n   )
 n1 i

pnn


n!(n   )
i 0 i!

Các công thức sau đây đã được chứng minh bằng phương pháp giải tích.
 Số lượng trung bình khách hàng trong hệ thống:
E[ N ]   


n

C (n,  )


21

 Số lượng trung bình khách hàng đợi, có nghĩa là chiều dài hàng đợi trung bình:
E[ N Q ] 


n

C (n,  )

1.2.3. Hàng đợi có Markov M/M/n/n
Là hàng đợi có quá trình đến Poisson với tốc độ  , thời gian phục vụ có phân phối
mũ tốc độ phục vụ  với n server và trạng thái hệ thống (kích thước bộ đệm) bị giới
hạn bởi số lượng n.

Hình 1.11 Mô hình hàng đợi M/M/n/n
a. Lưu lượng xảy đến (Offered Traffic), lưu lượng được mang (Carried Traffic) và lưu
lượng tràn (Overflow Traffic).
Lưu lượng xảy đến (offered traffic):  =


.


Lưu lượng được mang (carried traffic): bằng  .(1  PB) , trong đó PB là xác suất
tắc nghẽn của hệ thống.
Lưu lượng tràn (overflow traffic): còn được gọi là lưu lượng mất (lost traffic), có
thể được tính như sau:
Lưu lượng tràn = Lưu lượng xảy đến – lưu lượng được mang
Do đó, đối với mô hình M/M/n/n, lưu lượng tràn bằng:

tr    .(1  PB)    PB
Lược đồ chuyển trạng thái và hệ phương trình trạng thái cân bằng:


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×