Tải bản đầy đủ

Lý thuyết tối ưu và một số mô hình trong kinh tế

i

LỜI CẢM ƠN
Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo
TS. Vũ Vinh Quang, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và cung cấp những tài
liệu rất hữu ích để tôi có thể hoàn thành luận văn.
Xin cảm ơn lãnh đạo Trường Đại học Công nghệ Thông tin và Truyền thông Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong suốt quá trình
học tập và thực hiện luận văn.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, cô giáo Viện Công nghệ Thông tin và
trường Đại học Công nghệ Thông tin và Truyền thông - Đại học Thái Nguyên đã
truyền đạt kiến thức, và phương pháp nghiên cứu khoa học trong suốt những năm
học vừa qua.
Xin chân thành cảm ơn các anh chị em học viên cao học K9A và các
bạn đồng nghiệp đã động viên, khích lệ tôi trong quá trình học tập, nghiên
cứu.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình, người thân, những người
luôn động viên, khuyến khích và giúp đỡ về mọi mặt để tôi có thể hoàn thành công
việc nghiên cứu.
Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012
Tác giả luận văn


Hoàng Thị Cành


ii

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan:
Những nội dung trong luận văn này là do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn
trực tiếp của thầy giáo hướng dẫn TS. Vũ Vinh Quang.
Mọi tham khảo dùng trong luận văn đều được trích dẫn rõ ràng tác giả, tên
công trình, thời gian, địa điểm công bố.
Tôi xin chịu trách nhiệm với lời cam đoan của mình
Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012
Tác giả luận văn

Hoàng Thị Cành


iii

DANH MỤC CÁC BẢNG TRONG LUẬN VĂN
Tên các bảng trong luận văn

Bảng

Trang

2.1

Bảng đơn hình

24

2.2

Bảng ma trận vận chuyển

28

2.3


Bảng năng suất

36


iv

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ TRONG LUẬN VĂN
Hình

Tên các hình trong luận văn

Trang

2.1

Sơ đồ khối thuật toán đơn hình

27

2.2

Sơ đồ khối thuật toán phân phối

32


v

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ..................................................................................................................... 1
Chương 1 LÝ THUYẾT TỐI ƯU HÓA ..................................................................... 3
1.1 Mô hình bài toán tối ưu hóa ............................................................................... 3
1.1.1 Mô hình tổng quát ....................................................................................... 3
1.1.2 Phân loại bài toán tối ưu ............................................................................. 4
1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính ........................................................................... 5
1.3 Lý thuyết về cực trị hàm nhiều biến .................................................................. 6
1.3.1 Cực trị không có điều kiện ràng buộc ......................................................... 6
1.3.2 Cực trị có điều kiện ................................................................................... 11
Chương 2 MỘT SỐ THUẬT TOÁN GIẢI CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU................... 18
2.1 Thuật toán đơn hình ........................................................................................ 18
2.1.1 Mô tả thuật toán gốc ................................................................................. 18
2.1.2 Thuật toán đơn hình mở rộng .................................................................... 25
2.2 Thuật toán phân phối ....................................................................................... 28
2.2.1 Mô hình bài toán ....................................................................................... 28
2.2.2 Thuật toán phân phối ................................................................................ 31
2.2.3 Sơ đồ mô tả thuật toán phân phối ............................................................. 32
2.3 Bài toán sản xuất đồng bộ ................................................................................ 34
2.3.1 Mô hình bài toán sản xuất đồng bộ tổng quát........................................... 35
2.3.2 Phương pháp điều chỉnh nhân tử .............................................................. 37
2.3.3 Một số trường hợp mở rộng ...................................................................... 41
2.4 Bài toán lập lịch ............................................................................................... 45
2.4.1 Mô tả bài toán ........................................................................................... 45
2.4.2 Thuật toán Jonhson ................................................................................... 45
Chương 3 CÁC MÔ HÌNH BÀI TOÁN TỐI ƯU TRONG KINH TẾ..................... 52


vi

3.1 Mô hình tối đa hóa lợi nhuận ........................................................................... 53
3.1.1 Phương án sử dụng tối ưu các yếu tố sản xuất ......................................... 53
3.1.2 Tối đa hóa lợi nhuận của doanh nghiệp độc quyền .................................. 55
3.2 Mô hình tối thiểu chi phí sản xuất ................................................................... 57
3.2.1 Bài toán ..................................................................................................... 57
3.2.2 Mô hình toán học ....................................................................................... 57
3.3 Các mô hình bài toán tối ưu trên cơ sở các hàm cầu ....................................... 58
3.3.1 Bài toán tối đa hóa lợi ích tiêu dùng và hàm cầu Marshall...................... 58
3.3.2 Bài toán tổi thiểu hóa chi phí tiêu dùng và hàm cầu Hick ........................ 64
PHẦN KẾT LUẬN ................................................................................................... 69
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................... 70


1

MỞ ĐẦU
Lý thuyết tối ưu hóa là một ngành toán học đang phát triển mạnh, và ngày
càng có nhiều ứng dụng quan trọng trong mọi lĩnh vực khoa học, kỹ thuật, công
nghệ và quản lý hiện đại. Cuộc cách mạng công nghệ thông tin tạo điều kiện thuận
lợi để ứng dụng tối ưu hóa một cách rộng rãi và thiết thực.
Trong toán học, thuật ngữ tối ưu hóa chỉ tới việc nghiên cứu các bài toán có
dạng:
Cho trước: một hàm f ( x) : A  R
Tìm: một phần tử x0 thuộc A sao cho f ( x0 )  f ( x); x  A ("cực tiểu hóa")
hoặc sao cho f ( x0 )  f ( x); x  A ("cực đại hóa"). Nhiều bài toán thực tế có thể
được mô hình theo cách tổng quát trên. Lời giải khả thi nào cực tiểu hóa (hoặc cực
đại hóa) hàm mục tiêu được gọi là lời giải tối ưu.
Trong hoạt động thực tiễn, chúng ta luôn mong muốn đạt được kết quả tốt
nhất theo các tiêu chuẩn nào đó. Tất cả những mong muốn đó chính là lời giải của
những bài toán tối ưu hóa. Mỗi vấn đề khác nhau trong thực tế dẫn đến các bài toán
tối ưu khác nhau. Dựa trên nền tảng của toán học hình thành nên một lớp các
phương pháp toán học giúp ta tìm ra lời giải tốt nhất cho các bài toán thực tế, gọi là
phương pháp tối ưu hóa.
Với nguyện vọng muốn tìm hiểu về lý thuyết tối ưu hóa cũng như những lĩnh
vực ứng dụng thực tế của chúng, em đã chọn đề tài “Lý thuyết tối ƣu và một số mô
hình trong kinh tế” làm luận văn tốt nghiệp của mình. Mục đích của đề tài là tìm
hiểu cơ sở toán học của lý thuyết tối ưu và một số mô hình trong kinh tế thường gặp,
cách giải quyết những bài toán kinh tế này và bước đầu ứng dụng qua những ví dụ
cụ thể.


2

Luận văn gồm 3 chương không kể phần mở đầu và phần kết luận với các nội
dung chính sau:
Chương 1: Luận văn trình bày cơ sở của lý thuyết tối ưu hóa bao gồm giới
thiệu tổng quan mô hình bài toán tối ưu tổng quát và phân loại các bài toán tối ưu cơ
bản, giới thiệu chi tiết mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính và cơ sở toán học của
lý thuyết cực trị hàm nhiều biến số.
Chương 2: Luận văn nghiên cứu một số thuật toán giải các bài toán tối ưu đối
với mô hình tổng quát của bài toán Quy hoạch tuyến tính, như thuật toán đơn hình,
thuật toán phân phối, bài toán sản xuất đồng bộ. Ngoài ra luận văn cũng đề cập đến
thuật toán Jonhson giải bài toán lập lịch, một mô hình cơ bản trong lý thuyết thuật
toán.
Chương 3: Luận văn đưa ra một số mô hình bài toán tối ưu trong kinh tế như
mô hình tối đa hóa lợi nhuận, tối thiểu chi phí sản xuất, mô hình các bài toán tối ưu
dựa trên các hàm cầu….
Trong luận văn cũng đưa ra các thực nghiệm tính toán kiểm tra độ chính xác
của các thuật toán dựa trên các phần mềm chạy trên máy tính PC.


3

Chƣơng 1
LÝ THUYẾT TỐI ƢU HÓA
Trong chương này, luận văn sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản về mô hình
tổng quát của bài toán tối ưu hóa, việc phân loại các bài toán tối ưu và cơ sở toán
học của bài toán tối ưu.
1.1 Mô hình bài toán tối ƣu hóa
1.1.1 Mô hình tổng quát
Tối ưu hóa là một trong những lĩnh vực quan trọng của toán học có ảnh
hưởng đến hầu hết các lĩnh vực khoa học, công nghệ, kinh tế và xã hội. Việc tìm giải
pháp tối ưu cho một bài toán thực tế nào đó chiếm một vai trò hết sức quan trọng
như việc tiến hành lập kế hoạch sản xuất hay thiết kế hệ thống điều khiển các quá
trình…. Nếu sử dụng các kiến thức trên nền tảng của toán học để giải quyết các bài
toán cực trị, người ta sẽ đạt được hiệu quả kinh tế cao. Điều này phù hợp với mục
đích của các vấn đề đặt ra trong thực tế hiện nay.
Bài toán tối ưu tổng quát được phát biểu như sau:
Cực đại hóa (cực tiểu hóa) hàm:

f ( X )  max(min)
Với các điều kiện:
gi ( X )  bi , i  J1

(1.1)

g j ( X )  bj , j  J 2

(1.2)

gk ( X )  bk , k  J 3

(1.3)

x1 , x2 ,..., xn  0.

(1.4)


4

Trong đó f ( X ) được gọi là hàm mục tiêu. Các điều kiện (1.1) được gọi là
ràng buộc đẳng thức. Các điều kiện (1.2), (1.3) được gọi là ràng buộc bất đẳng thức.
Các điều kiện (1.4) được gọi là ràng buộc về dấu. X  ( x1 , x2 ,..., xn ) là véc tơ thuộc
không gian R n . Tập các véc tơ X thỏa mãn hệ ràng buộc lập nên một miền D được
gọi là miền phương án (hay miền chấp nhận được), mỗi điểm X  D gọi là một
phương án. Một phương án X *  D làm cho hàm mục tiêu f ( X ) đạt max (min) được
gọi là phương án tối ưu.
1.1.2 Phân loại bài toán tối ưu
Dựa trên mô hình tổng quát, người ta thường phân loại lớp các bài toán tối ưu
như sau:
 Qui hoạch tuyến tính (QHTT): Là những bài toán mà hàm mục tiêu f ( X )
và tất cả các hàm ràng buộc gi ( X ), g j ( X ), gk ( X ) là tuyến tính.
 Qui hoạch phi tuyến: Là những bài toán mà một trong hàm mục tiêu f ( X )
hoặc các hàm ràng buộc gi  X  , g j  X  , gk  X  là phi tuyến.
 Qui hoạch lồi: Là các bài toán qui hoạch mà các hàm mục tiêu f ( X ) là lồi
trên tập các ràng buộc D lồi.
 Qui hoạch lõm: Là các bài toán qui hoạch mà các hàm mục tiêu f ( X ) là lõm
trên tập các ràng buộc D lõm.
 Qui hoạch rời rạc: Bài toán tối ưu được gọi là qui hoạch rời rạc nếu miền
ràng buộc D là tập hợp rời rạc. Trong trường hợp riêng khi các biến chỉ nhận
giá trị nguyên thì ta có qui hoạch nguyên.
 Qui hoạch đa mục tiêu: Nếu trên cùng một miền ràng buộc ta xét đồng thời
các hàm mục tiêu khác nhau.


5

Trong các lĩnh vực kinh tế kỹ thuật thì qui hoạch phi tuyến, qui hoạch tuyến
tính là những bài toán thường gặp.
1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính
Từ một số các mô hình trong thực tế, ta có mô hình tổng quát cho bài toán
quy hoạch tuyến tính như sau:
Xác định các biến x j ( j  1, 2,..., n) sao cho:
n

F ( x)   c j x j  Max( Min)
j 1

n

a x
j 1

ij

j

 bi  i  I1  M 

(1.13)

j

 bi  i  I 2  M \ I1 

(1.14)

n

a x
j 1

ij

x j  0( j  J  N )

Với

(1.15)

M  1, 2,..., m , N  1, 2,..., n

Vectơ X   x1 , x2 ,..., xn  thỏa mãn các điều kiện (1.13) - (1.15) được gọi là một
phương án của bài toán. Tập các nghiệm thỏa mãn hệ ràng buộc được gọi là miền
phương án ký hiệu là D . Phương án thỏa mãn điều kiện để hàm mục tiêu đạt Max
(min) được gọi là phương án tối ưu.
Dạng chính tắc:
n

F ( x)   c j x j  Min
j 1

n

a x
j 1

ij

j

 bi  i  M 


6

x j  0( j  N )

Dạng chuẩn tắc:
n

F ( x)   c j x j  Min
j 1

n

a x
j 1

ij

j

 bi  i  M 

x j  0( j  N )

Sử dụng các ký hiệu vectơ và ma trận, mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính
tổng quát được biểu diễn như sau:
F  X   C T X  Max(min)
AX  b
X 0

Trong đó: X  ( x1 , x2 ,..., xn ), C  (c1, c2 ,..., cn )
 a11
a
A   21
 ...

 am1

a12
a22
am 2

... a1n 
 x1 
b1 


b 

... a2 n 
x2 

,X 
,b   2 
... 
... 

 
 

... amn 
 xn 
bm 

1.3 Lý thuyết về cực trị hàm nhiều biến
1.3.1 Cực trị không có điều kiện ràng buộc
Giả sử hàm số f ( X ) xác định và liên tục trong miền D  Rn .
Định nghĩa : Ta nói rằng hàm số w  f  x1 , x2 ,..., xn  đạt giá trị cực đại (giá trị
cực tiểu) địa phương tại điểm X (x1 ,x 2 ,...,x n )  D nếu tồn tại số r  0 đủ nhỏ sao cho
bất đẳng thức:


7

f(x1 ,x 2 ,...,x n )
(1.16)

được thỏa mãn tại mọi điểm X(x1 ,x 2 ,...,x n ) của miền D có khoảng cách đến điểm
X(x1 ,x 2 ,...,x n ) nhỏ hơn r : 0  d ( X , X )  r . Điểm X(x1 ,x 2 ,...,x n ) mà tại đó hàm số

f  x1 , x2 ,..., xn  đạt giá trị cực đại (cực tiểu) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu)

địa phương của hàm số đang xét.
Giả sử hàm số w  f  x1 , x2 ,..., xn  xác định, liên tục và có các đạo hàm riêng
theo tất cả các biến độc lập trong miền D . Khi đó ta có:
Định lý 1.1: Điều kiện cần để hàm số w  f  x1 , x2 ,..., xn  đạt cực trị tại điểm
X(x1 ,x 2 ,...,x n )  D là tại điểm đó tất cả các đạo hàm riêng cấp một bằng 0 tức là

 w 'xi  f x'i (x1 ,x 2 ,...,x n )=0



i  1, 2,..., n

(1.17)

Các điểm X thỏa mãn điều kiện (1.17) được gọi là các điểm dừng của hàm
số.
Định lý trên cho thấy hàm số f  x1 , x2 ,..., xn  chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm
dừng. Tuy nhiên đây mới chỉ là điều kiện cần. Điều kiện đủ nêu dưới đây sẽ cho
phép kiểm tra xem tại điểm dừng hàm số có thực sự đạt cực trị hay không. Và điều
kiện đủ chỉ áp dụng sau khi điều kiện cần đã được thỏa mãn.
Điều kiện đủ
+ Trường hợp hàm số hai biến số
Giả sử M 0 ( x0 , y0 ) là một điểm dừng của hàm số w  f ( x, y) và tại điểm đó tất
cả các đạo hàm riêng cấp 2 của nó đều tồn tại và liên tục. Xét định thức:
D

a11 a12
a21 a22

 a11a22  a12 a21  a11a22  a122


8

Trong đó:
a11  f xx'' ( x0 , y0 );
a12  f xy'' ( x0 , y0 );
a21  f yx'' ( x0 , y0 );
a22  f yy'' ( x0 , y0 );

Định lý 1.2:
1. Nếu D  0 thì điểm dừng M 0 ( x0 , y0 ) là điểm cực trị của hàm số và
+ M 0 ( x0 , y0 ) là điểm cực đại nếu a11  0 .
+ M 0 ( x0 , y0 ) là điểm cực tiểu nếu a11  0 .
2. Nếu D  0 thì điểm M 0 ( x0 , y0 ) không phải là điểm cực trị của hàm số.
3. Nếu D  0 ta không kết luận gì về cực trị tại điểm dừng M 0 ( x0 , y0 ) : hàm số có
thể đạt cực trị hoặc không đạt cực trị tại điểm đó. Muốn có được kết luận ta
phải sử dụng các phương pháp khác.
+ Trường hợp hàm số n biến số
Giả sử X(x1 ,x 2 ,...,x n ) là một điểm dừng của hàm số w  f  x1 , x2 ,..., xn  và tại
điểm đó hàm số có tất cả các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục. Như ta đã biết, vi phân
toàn phần cấp hai của hàm số n biến số w  f  x1 , x2 ,..., xn  tại điểm X(x1 ,x 2 ,...,x n ) là
một dạng toàn phương của n biến số dx1 , dx2 ,..., dxn :
n

n

d 2 f   aijdxi dx j
i 1 j 1

Trong đó aij là các đạo hàm riêng cấp hai:
aij 

2 f ( X )
 fij  x1 ,x 2 ,...,x n 
xi x j


9

Định lý 1.3:
1. Nếu d 2 f là một dạng toàn phương xác định dương thì điểm dừng
X(x1 ,x 2 ,...,x n ) là điểm cực tiểu của hàm số f ( X ) .

2. Nếu d 2 f

là một dạng toàn phương xác định âm thì điểm dừng

X(x1 ,x 2 ,...,x n ) là điểm cực đại của hàm số f ( X ) .

3. Nếu d 2 f là một dạng toàn phương không xác định thì điểm dừng
X(x1 ,x 2 ,...,x n ) không phải là điểm cực trị của hàm số f ( X ) .

Ma trận của dạng toàn phương d 2 f là ma trận vuông với các phần tử là các
đạo hàm riêng cấp hai tại điểm dừng X(x1 ,x 2 ,...,x n )
 a11

a
H   21
 ....

 an1

Trong đó: aij 

a12
a22
an 2

... a1n 

... a2 n 


... ann 

2 f ( X )
xi x j

Một trong các phương pháp xem xét tính xác định của một dạng toàn phương
là dựa vào định thức con chính của ma trận của dạng toàn phương đó.
Định thức con chính cấp k của một ma trận vuông là định thức con tạo thành
từ k dòng đầu và k cột đầu của nó. Ma trận H có n định thức con chính:

Hk 

a11

a12

... a1k

a21
....
ak1

a22

... a2 k

ak 2 ... akk

(k  1, 2,..., n) .


10

Áp dụng định lý về dấu hiệu dạng toàn phương xác định ta có quy tắc sau
đây:
Định lý 1.4:
1. Nếu tất cả các định thức con chính của ma trận H đều dương
( H k  0, k  1, 2,..., n ) thì điểm dừng X(x1 ,x 2 ,...,x n ) là điểm cực tiểu của
hàm số f ( X ) .
2. Nếu (1)k H k  0, k  1, 2,..., n tức là ma trận H có tất cả các định thức
con chính cấp lẻ âm và tất cả các định thức con chính cấp chẵn dương,
thì điểm dừng X(x1 ,x 2 ,...,x n ) là điểm cực đại của hàm số f ( X ) .
Để tìm cực trị của hàm số trên toàn bộ miền D nào đó, ta phải so sánh các
cực trị địa phương và các giá trị của hàm số tại các điểm biên của D . Đối với hàm
số nhiều biến số thì điều này đòi hỏi phải tiếp tục tìm cực trị trên tập hợp biên của
miền D . Tuy nhiên, trong trường hợp đặc biệt ta có thể sử dụng mệnh đề sau đây:
Định lý 1.5: Giả sử hàm số f ( X )  f ( x1 , x2 ,..., xn ) xác định và liên tục và có
các đạo hàm riêng liên tục đến cấp hai trong miền:
D  {X(x1 ,x 2 ,...,x n ):a i
Nếu trong miền D hàm số f ( X ) chỉ có một điểm cực trị duy nhất
X(x1 ,x 2 ,...,x n ) , đồng thời điều kiện đủ để hàm số đạt giá trị cực đại (giá trị cực tiểu)

được thỏa mãn tại mọi điểm thuộc miền D thì giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) tại
điểm X đồng thời là giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số f ( X ) trên toàn
bộ miền D .


11

1.3.2 Cực trị có điều kiện
+ Cực trị có điều kiện với hai biến chọn và một phƣơng trình ràng buộc
Xét bài toán:
Tìm các điểm cực trị của hàm số
w  f ( x, y)

(1.18)

g ( x, y)  b

(1.19)

với điều kiện:

Sự có mặt của phương trình ràng buộc (1.19) làm miền biến thiên của cặp
biến chọn ( x, y) bị thu hẹp. Khái niệm cực trị có điều kiện được hiểu theo nghĩa địa
phương giống như định nghĩa cực trị tự do ở phần trên đã trình bày, chỉ khác ở chỗ
tất cả các bộ giá trị của các biến chọn phải thỏa mãn điều kiện ràng buộc (1.19).
Hệ thức (1.19) áp đặt sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các biến chọn dưới dạng
hàm ẩn. Nếu từ (1.19) ta biểu diễn được y dưới dạng hàm hiện y   ( x) thì bài toán
cực trị có điều kiện nêu trên được quy về bài toán cực trị không có điều kiện của
hàm số một biến số x :
w  f  x,  ( x)  h( x)

a) Phương pháp nhân tử Lagrange
Trong cách tiếp cận nêu trên ta xem một trong hai biến chọn là biến độc lập
và biến kia phụ thuộc vào nó. Hơn nữa, khi biểu thức g ( x, y) phức tạp thì việc áp
dụng phương pháp thế để loại bớt biến chọn sẽ gặp khó khăn. Nhà toán học
Lagrange đề ra một phương pháp cho phép đưa bài toán cực trị có điều kiện về bài
toán cực trị tự do mà vẫn giữ vai trò bình đẳng của các biến chọn.
Xuất phát từ hàm mục tiêu (1.18) và điều kiện (1.19) ta lập hàm số sau (gọi là
hàm Lagrange):


12

L( x, y,  )  f ( x, y)   b  g ( x, y) 

(1.20)

Trong đó  được gọi là nhân tử Lagrange.
Định lý 1.6: Giả sử các hàm số f ( x, y) và g ( x, y) có các đạo hàm riêng liên
tục trong một lân cận của điểm M 0 ( x0 , y0 ) và g 'y ( x0 , y0 )  0 . Khi đó nếu bài toán
(1.18), (1.19) đạt cực trị tại điểm M 0 ( x0 , y0 ) thì tồn tại số 0 sao cho bộ ba
( x0 , y0 , 0 ) là nghiệm của hệ phương trình:
 L'  b  g ( x, y )  0
 '
'
'
 Lx  f x   g x  0
 '
'
'
 Ly  f y   g y  0

(1.21)

b) Điều kiện đủ
Gọi ( x0 , y0 , 0 ) là một điểm dừng của hàm số lagrange, tức là một nghiệm của
hệ phương trình (1.21). Giả sử rằng các hàm số f ( x, y) và g ( x, y) có các đạo hàm
riêng cấp hai liên tục tại điểm ( x0 , y0 ) .
Xét ma trận:
0

H   g1
g
 2

g1
L11
L21

g2 

L12 
L22 

Trong đó các đạo hàm riêng:
g1 
L11 

g
g
; g2 
x
y

2 L
2 L
2 L
2 L
,
L



L
,
L

12
21
22
x 2
xy yx
y 2

được tính khi x  x0 , y  y0 ,   0


13

Định lý 1.7: Nếu định thức H  0( 0) thì hàm số w  f ( x, y) , với điều kiện
g ( x, y)  b , đạt giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) tại điểm M 0 ( x0 , y0 ) .

+ Cực trị có điều kiện với n biến chọn và một phƣơng trình ràng buộc
Xét bài toán:
Tìm các điểm cực trị của hàm số
w  f ( x1 , x2 ,..., xn )

(1.22)

g ( x1 , x2 ,..., xn )  b

(1.23)

với điều kiện:

Xây dựng hàm số Lagrange:
L( x1 , x2 ,..., xn ,  )  f ( x1 , x2 ,..., xn )   b  g ( x1, x2 ,..., xn ) 

Điều kiện cần: Với giả thiết rằng các hàm số f và g có các đạo hàm riêng
liên tục trong một lân cận của điểm X(x1 ,x 2 ,...,x n ) và tại điểm X ít nhất một trong
các đạo hàm riêng của g khác 0, ta có định lý sau đây.
Định lý 1.8: Nếu hàm số (1.22) với các điều kiện (1.23) đạt cực trị tại điểm
(x1 ,x 2 ,...,x n ) thì tồn tại một giá trị    của nhân tử Lagrange sao cho

(x1 ,x 2 ,...,x n , ) là nghiệm của hệ phương trình:

 L
   b  g (x1 ,x 2 ,...,x n )=0

g
 L f


0

xi
 xi xi
i  1, 2,..., n



(1.24)


14

Điều kiện đủ: Gọi (x1 ,x 2 ,...,x n , ) là một điểm dừng của hàm số Lagrange. Giả
sử, ngoài các điều kiện đã nói ở trên , các hàm f và g có các đạo hàm riêng cấp hai
liên tục tại điểm (x1 ,x 2 ,...,x n ) .
Lập ma trận:
0

 g1
H   g2

 ...
g
 n

g1
L11

g2
L12

L21
...
Ln1

L22
...
Ln 2

... g n 

... L1n 
... L2 n 

... ... 
... Lnn 

g
2 L
(k  1, 2,..., n), Lij 
(i, j  1, 2,..., n)
Trong đó các đạo hàm riêng: gk 
xk
xi y j

được tính tại điểm (x1 ,x 2 ,...,x n , ) .
Xây dựng ma trận
0

 g1
H   g2

 ...
g
 k

g1
L11

g2
L12

L21
...
Lk1

L22
...
Lk 2

... g k 

... L1k 
... L2 k 

... ... 
... Lkk 

 k  2,3,..., n  .

Định lý 1.9:
1. Nếu (1)k H k  0, k  2,3,..., n tức là:
H 2  0, H3  0,...,(1)n H n  0 thì hàm số (1.22), với điều kiện (1.23) đạt

giá trị cực đại tại điểm X(x1 ,x 2 ,...,x n ) .
2. Nếu H k  0, k  2,3,..., n thì hàm số (1.22), với điều kiện (1.23) đạt giá
trị cực tiểu tại điểm X(x1 ,x 2 ,...,x n ) .


15

+ Cực trị có điều kiện với n biến chọn và m phƣơng trình ràng buộc
Xét bài toán tổng quát:
Tìm các điểm cực trị của hàm số
w  f  x1 , x2 ,..., xn 

(1.25)

 g1 ( x1 , x2 ,..., xn )  b1
 g ( x , x ,..., x )  b
 2 1 2
n
2

........................

 g m ( x1 , x2 ,..., xn )  bm

(1.26)

với điều kiện:

Ta luôn giả thiết rằng số phương trình ràng buộc nhỏ hơn số biến chọn m  n .
Phương pháp nhân tử Lagrange để giải bài toán này được thực hiện với các
giả thiết sau đây:
 Hàm mục tiêu f và các hàm số gk ,(k  1, 2,..., m) ở vế trái của các
phương trình ràng buộc (1.26) có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục.
 Ma trận Jacobi
 g1
 x
 1
 g 2
 x
 1
 ...

 g m
 x
 1

g1
x2
g 2
x2
...
g m
x2

g1 
xn 

g 2 
...
xn 
... ... 

g m 
...
xn 
...

có hạng bằng m tại tất cả các điểm được xét.
Xây dựng hàm số Lagrange
L  f  1 (b1  g1 )  2 (b2  g2 )  ...  m (b1  gm )


16

Trong đó các biến phụ 1 , 1 ,..., m được gọi là nhân tử Lagrange.
Điều kiện cần
Định lý 1.10: Nếu hàm số (1.25) đạt cực trị tại điểm X(x1 ,x 2 ,...,x n ) thì tồn tại
các số 1 , 1 ,..., m sao cho bộ m  n số (x1 ,x 2 ,...,x n ; 1 , 1 ,..., m ) là nghiệm của hệ
phương trình:
 L
   bk  g k ( x1 , x2 ,..., xn )  0
 k
g
g
 L f
g

 1 1  2 2   m m  0

xi
xi
xi
 xi xi
k  1, 2,..., m

i  1, 2,..., n

(1.27)

Điểm X(x1 ,x 2 ,...,x n ) thỏa mãn điều kiện cần chưa chắc đã phải là điểm cực
trị. Ta còn phải tiếp tục xét điều kiện đủ.
Điều kiện đủ
Xây dựng ma trận:
 0

 0
 ...

0
H 
 g11

 g12
 ...

g
 1n

0
0
...

...
...
...

0
0
...

g11
g 21
...

g12
g 22
...

0 ... 0
g 21 ... g m1
g 22 ... g m 2

g m1
L11
L21

gm2
L12
L22

... ... ...
g 2 n ... g mn

...
Ln1

...
Ln 2

... g1n 

... g 2 n 
... ... 

... g mn 
... L1n 

... L2 n 
... ... 

... Lnn 

Trong đó:
g ki 

g k
2 L
2 L

, Lij 
xi
k xi
xi x j


17

(i, j  1, 2,..., n; k  1, 2,..., m)

Ký hiệu H p ( p  m  1,..., n) là định thức con chính cấp m  p có phần tử ở
dưới cùng bên phải là Lpp ( H n chính là định thức của ma trận H ).
Định lý 1.11:
 Nếu tại điểm (x1 ,x2 ,...,xn ; 1 ,1 ,...,m ) tất cả các định thức con chính H p cùng
dấu với (1) p , tức là (1) p H p  0 ( p  m  1,..., n ) thì hàm số (1.25) với điều
kiện (1.26) đạt giá trị cực đại tại điểm (x1 ,x 2 ,...,x n ) .
 Nếu tại điểm (x1 ,x2 ,...,xn ; 1 ,1 ,...,m ) tất cả các định thức con chính H p
( p  m  1,..., n ) luôn luôn giữ dấu không đổi như (1) p , thì hàm số (1.25)
với điều kiện (1.26) đạt giá trị cực tiểu tại điểm (x1 ,x 2 ,...,x n ) .
Kết luận:
Nội dung chương 1 đã đưa ra mô hình tổng quát của bài toán tối ưu hóa và cơ
sở toán học của các phương pháp xác định cực trị của hàm trong các trường hợp
không có điều kiện hoặc có điều kiện ràng buộc. Đây sẽ là các kiến thức cần thiết sử
dụng để nghiên cứu các mô hình tối ưu trong các bài toán kinh tế được đưa ra trong
các chương tiếp sau của luận văn.


18

Chƣơng 2
MỘT SỐ THUẬT TOÁN GIẢI CÁC BÀI TOÁN TỐI ƢU
Trong chương này, luận văn sẽ trình bày một số thuật toán để giải các bài
toán tối ưu như thuật toán đơn hình, thuật toán phân phối, thuật toán Jonhson…. là
các thuật toán đặc trưng trong ngành Công nghệ thông tin.
2.1 Thuật toán đơn hình
2.1.1 Mô tả thuật toán gốc
Cơ sở của phương pháp này được Dantzig công bố năm 1947 có tên gọi là
phương pháp đơn hình. Xuất xứ tên gọi như vậy vì những bài toán đầu tiên được
giải bằng phương pháp đó có các ràng buộc dạng:
n

x
j 1

j

 1, x j  0, ( j  1, 2,..., n)

Mà tập các điểm x  R n thoả mãn các ràng buộc trên là một đơn hình trong
không gian n chiều.
2.1.1.1 Tư tưởng chung
Phương pháp đơn hình dựa trên hai nhận xét sau:
 Nếu bài toán QHTT có phương án tối ưu thì có ít nhất một đỉnh của D là
phương án tối ưu.
 Đa diện lồi D có một số hữu hạn đỉnh.
Như vậy phải tồn tại một thuật toán hữu hạn. Thuật toán gồm 2 bước như sau:


19

Bước 1: Tìm 1 phương án cực biên.
Bước 2: Kiểm tra điều kiện tối ưu đối với phương án đó.
+ Nếu điều kiện tối ưu được thoả mãn thì phương án đó là tối ưu. Nếu không
ta chuyển sang phương án cực biên mới sao cho làm tốt hơn giá trị hàm mục tiêu.
+ Kiểm tra điều kiện tối ưu đối với phương án mới.
Người ta thực hiện một dãy các thủ tục như vậy cho đến khi nhận được
phương án tối ưu, hoặc đến tình huống bài toán không có phương án tối ưu.
2.1.1.2 Cơ sở lý thuyết
Xét bài toán QHTT dưới dạng chính tắc:
F  X   C T X  Min
AX  b
X 0

Trong đó A   aij nm , X  ( x1 , x2 ,..., xn ); C  (c1 , c2 ,..., cn ). , giả sử rằng hạng của ma
trận A là m .
Giả sử X là một phương án cực biên nào đó.
Ta ký hiệu: J *   j | x j  0

(2.1)

Vì các véc tơ Aj , j  J * là độc lập tuyến tính nên | J *| m .
Định nghĩa 2.1: Phương án cực biên X được gọi là không suy biến nếu
| J *| m , suy biến nếu | J *| m .

Ta chọn một hệ thống m véc tơ độc lập tuyến tính

A , j  J
j

sao cho

J  J * . Hệ thống đó là cơ sở của X , các véc tơ Aj , j  J và biến x j , j  J được gọi

là các véc tơ và các biến cơ sở tương ứng. Các véc tơ và các biến Aj , x j ,( j  J ) gọi là


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×