Tải bản đầy đủ

Giao trinh bai tap tap1

TS. Trần Văn Hoài

Quan hệ
(Relation)

Quan hệ (relation)

2008-2009


TS. Trần Văn Hoài

Giới hạn của hàm
Không thể biểu diễn những kiểu liên hệ dạng một
phần tử trong miền xác định ứng với nhiều phần tử
trong miền giá trị
➠ Quan hệ doanh nghiệp và số điện
thoại
➠ Quan hệ doanh nghiệp và doanh
nghiệp
➠ Quan hệ giữa ngôn ngữ lập trình

và ứng dụng
Cưới nhau Phụ nữ
Đàn ông
Quan hệ (relation)

➠ Quan hệ giữa số tự nhiên và ước
số của chúng
➠ ...
2008-2009


TS. Trần Văn Hoài

Định nghĩa quan hệ
Cho A, B là 2 tập hợp. Quan hệ hai ngôi (binary
relation) từ A đến B là
R ⊆A×B

Một số ký hiệu
☞ a R b để chỉ (a, b) ∈ R
☞ a R b để chỉ (a, b) ∈ R.
Tổng quát ta có quan hệ n ngôi (n-ary relation)

Quan hệ (relation)

2008-2009


TS. Trần Văn Hoài

Quan hệ học thi môn toán rời rạc
Ví dụ: Tập sinh viên S = {a, b, c} và tập nội dung trong môn
toán rời rạc D = {l, c, s, g}. Quan hệ R được biểu diễn như sau
mô tả việc học của sinh viên trước khi thi

l
a
c

R l c s g

a x

b

s

c

x x x

b
g

c

x x

x

x

D

S
Quan hệ (relation)

2008-2009


TS. Trần Văn Hoài

Quan hệ trên một tập (1)
Ví dụ: Cho tập A = {1, 5, 3, 6}. Các cặp nào thuộc quan hệ
R = {(a, b)|a chia hết b}.
R l 5 3 6
1 x x x x
5

x

3

x x

6

x

Có bao nhiêu quan hệ trên tập hữu hạn A, với |A| =
n?
Quan hệ (relation)

2008-2009


TS. Trần Văn Hoài

Quan hệ trên một tập (2)
Ví dụ: Cho các quan hệ:
R1 = {(a, b)|a ≤ b}
R2 = {(a, b)|a > b}
R3 = {(a, b)|a = b ∨ a = −b}
Những cặp sau thuộc quan hệ nào: (1, 1), (4, 1), (2, 3), (10, −1),
(1, −1) ?

Quan hệ (relation)

2008-2009


TS. Trần Văn Hoài

Các tính chất của quan hệ
Phản xạ

x R x, ∀x ∈ D

(Reflexive)
Đối xứng

x R y → y R x, ∀x, y ∈ D

(Symmetric)
Phản đối xứng

(x R y ∧ y R x) → x = y, ∀x, y ∈ D

(Antisymmetric)
Bắc cầu

(x R y ∧ y R z) → x R z, ∀x, y, z ∈ D

(Transitive)
Quan hệ (relation)

2008-2009


TS. Trần Văn Hoài

Ví dụ tính chất của quan hệ (1)
Ví dụ: Quan hệ "chia hết" trên

+

có những tính chất:

➠ Phản xạ
➠ Không đối xứng
➠ Phản đối xứng
➠ Bắc cầu

Quan hệ (relation)

2008-2009


TS. Trần Văn Hoài

Ví dụ tính chất của quan hệ (2)
Ví dụ: Nêu tính chất của những quan hệ dưới đây:
➳ R1 = {(a, b)|a ≤ b}
➳ R2 = {(a, b)|a > b}
➳ R3 = {(a, b)|a = b ∨ a = −b}
➳ "get married" trên tập con người

Quan hệ (relation)

2008-2009


TS. Trần Văn Hoài

Tổ hợp các quan hệ
Quan hệ được xây dựng trên khái niệm tập hợp
⇒ có thể thực hiện các phép toán tập hợp trên quan
hệ
Ví dụ: Cho R3 = {(a, b)|a > b} và R4 = {(a, b)|a = b} trên tập
số nguyên. Khi đó
R3 ∪ R4 = {(a, b)|a ≥ b}
R3 ∩ R4 = ∅

Ví dụ:
Cho A tập sinh viên, B tập môn học,
R1 = {(a, b)|a học b}, R2 = {(a, b)|a cần b để tốt nghiệp }.
Tìm các quan hệ R1 ∪ R2 , R1 ∩ R2 , R1 − R2 , R2 − R1 .
Quan hệ (relation)

2008-2009


TS. Trần Văn Hoài

Hợp thành các quan hệ
Cho quan hệ R từ A đến B, quan hệ S từ B đến C.
Định nghĩa hợp thành
S ◦ R = {(a, c)|a ∈ A ∧ c ∈ C ∧ ∃b ∈ B(a R b ∧ b S c)}

Ví dụ: Cho A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4} và C = {0, 1, 2}.
Các quan hệ R = {(1, 1), (1, 4), (2, 3), (3, 1), (3, 4)} và S =
{(1, 0), (2, 0), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}.
Có thể tính được:
S ◦ R = {(1, 0), (1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 0), (3, 1)}

Quan hệ (relation)

2008-2009


TS. Trần Văn Hoài

Lũy thừa quan hệ
Cho R là quan hệ trên A. Lũy thừa Rn được định
nghĩa quy nạp như sau:
R1 = R
Rn+1 = Rn ◦ R

Ví dụ: Cho R = {(1, 1), (2, 1), (3, 2), (4, 3)}. Tìm R2 , R3 .

Quan hệ (relation)

2008-2009


TS. Trần Văn Hoài

Biểu diễn quan hệ bằng ma trận
Cho quan hệ R từ A = {a1, . . . , am } đến B =
{b1 , . . . , bn }. Dùng ma trận MR = [mij ] sau để biểu
diễn R


 1 nếu (a , b ) ∈ R
i j
mij =
 0 nếu (a , b ) ∈ R
i j

☞ Reflexive ⇒ mii = 1 ∀i
☞ Symmetric ⇒ M = M
☞ ...
Quan hệ (relation)

2008-2009


TS. Trần Văn Hoài

Biểu diễn quan hệ bằng đồ thị
Cho quan hệ R từ A = {a1 , . . . , am } đến A. Đồ thị
có hướng G = (V, E) biểu diễn quan hệ R:
V =A
(ai, aj ) ∈ E nếu (ai , aj ) ∈ R
1

2

Ví dụ: Cho quan hệ trên A = {1, 2, 3, 4}
R = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}

4

Quan hệ (relation)

2008-2009

3


TS. Trần Văn Hoài

Ý nghĩa của bao đóng các quan hệ
Cần Thơ
Hồ Chí Minh

Đà Nẵng

Vinh
Hà Nội

Quan hệ (relation)

2008-2009


TS. Trần Văn Hoài

Bao đóng các quan hệ
Cho quan hệ R trên tập hợp A. R có thể có hoặc không tính
chất P (phản xạ, đối xứng, bắc cầu). Bao đóng S của R ứng
với tính chất P được định nghĩa là
S⊇R
S có tính chất P
S là tập con của mọi quan hệ có tính chất P và chứa R

Quan hệ (relation)

2008-2009


TS. Trần Văn Hoài

Tạo bao đóng phản xạ
Cho quan hệ R trên A. Tạo bao đóng phản xạ của
R như sau:
R ∪ {(a, a)|a ∈ A ∧ (a, a) ∈ R}

Quan hệ (relation)

2008-2009


TS. Trần Văn Hoài

Tạo bao đóng phản xạ (tt)

d
a

e

b
c

Quan hệ (relation)

2008-2009


TS. Trần Văn Hoài

Tạo bao đóng đối xứng
Cho quan hệ R trên A. Tạo bao đóng đối xứng của
R như sau:
R ∪ {(b, a)|(a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈ R}

Quan hệ (relation)

2008-2009


TS. Trần Văn Hoài

Tạo bao đóng đối xứng (tt)

d
a

e

b
c

Quan hệ (relation)

2008-2009


TS. Trần Văn Hoài

Tạo bao đóng bắc cầu
Tìm bao đóng bắc cầu tương đương xác định các
cặp đỉnh trong đồ thị biểu diễn được nối bằng 1
đường đi (path)
Quan hệ liên thông R∗ gồm các cặp (a, b) sao cho
có một đường đi giữa a và b.
n
R
R ∗ = ∪∞
n=1

Quan hệ (relation)

2008-2009


TS. Trần Văn Hoài

Tạo bao đóng bắc cầu (tt)

d
a

e

b
c

Quan hệ (relation)

2008-2009


TS. Trần Văn Hoài

Tạo bao đóng bắc cầu (tt)
Thuật toán Warshall [1960] dựa trên định lý
Nếu MR là biểu diễn ma trận của quan hệ R trên
tập n phần tử thì bao đóng bắc cầu của R là
[2]

[n]

MR ∗ = MR ∨ MR . . . ∨ MR

Trong đó R∗ là quan hệ liên thông và cũng là bao
đóng bắc cầu của R.

Ví dụ: Xét tập các bang S của Mỹ, và quan hệ R trên S gồm
các cặp (a, b) sao cho bang a và bang b có cùng biên giới.
Quan hệ Rn nghĩa là gì ?
Quan hệ R∗ nghĩa là gì ?
Quan hệ (relation)

2008-2009


TS. Trần Văn Hoài

Sự phân lớp (1)
Ví dụ: Xét tập các sinh viên đăng ký môn học A. Giờ đăng
ký:
• A-G: 8h-11h
• H-N: 11h-14h
• O-Z: 14h-17h
Xây dựng quan hệ
R = {(a, b)|a, b ∈ A ∧ a, b trong cùng khối chữ cái }
Rõ ràng
➠ Phản xạ

➠ Chia A thành 3 khối

➠ Đối xứng

➠ Chỉ cần quan tâm sinh viên
thuộc khối nào

➠ Bắc cầu
Quan hệ (relation)

2008-2009


TS. Trần Văn Hoài

Sự phân lớp (2)
Ví dụ: Xét tập số nguyên và quan hệ “đồng dư theo môđun
4”
R = {(a, b)|a, b ∈
Quan hệ R chia

Quan hệ (relation)

∧ (a − b ≡ 0 (mod 4))}

thành 4 lớp.

2008-2009


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×