Tải bản đầy đủ

Giao trinh bai tap ch6 bo nguon dc ppt

CHƯƠNG 4: QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH
PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH (giới thiệu)

I. Giới thiệu bài toán QHTT (linear programming)
Xác định x1, x2,…xn sao cho:
Cực đại (hay cực tiểu) hàm mục tiêu Z:
Z = z(x1, x2, …xn)
Đồng thời thỏa mãn các ràng buộc Rj:
Rj = rj(x1, x2,…xn)
Trong đó z và rj là biểu thức tuyến tính đối với x1, x2… xn

Một số bài toán điển hình:
Bài toán phối hợp sản xuất sản phẩm (product-mix)
Một nhà máy sản xuất 2 loại lều: thường và chuyên dụng
mỗi tuần với số liệu sau:
Loại lều
Công đoạn

Thường Chuyên dụng


Giờ công sẵn có

Cắt (giờ/cái)

1

2

32

Ráp (giờ/cái)

3

4

84

Lợi nhuận/cái

$50

$80

Mỗi tuần nhà phân phối không thể bán hơn 12 lều loại
chuyên dụng. Số lượng lều mỗi loại cần sản xuất mỗi tuần
là bao nhiêu?

Chương 4 – Bài toán qui hoạch tuyến tính

1

GV. Nguyen Vu Quang


Dạng tổng quát:
Nguyên liệu
1

Sản phẩm

… j … n

1

i
… aij …

m
Giá bán hay
c1 … cj …
Lợi nhuận / đvị

Lượng nguyên
liệu có sẵn
b1

bi

bm

cn

Gọi xj là lượng sản phẩm j cần sản xuất, aij là lượng nguyên
liệu i cần để sản xuất 1 đơn vị sản phẩm jj.
n

Max Z =

∑c x
j =1

j

j
n

Ràng buộc (s.t)

∑a x
ij

j =1

j

≤ bi

∀i = 1, 2, …, m

xj ≥ 0

∀j = 1, 2, …, n

Bài toán trộn sản phẩm/ dinh dưỡng
Một người làm vườn muốn tạo một hỗn hợp phân bón từ
hai loại sản phẩm. Giá mua đơn vị, lượng dưỡng chất trong
mỗi đơn vị cho như sau:
Loại sản phẩm
SPhẩm 1

SPhẩm 2

Dưỡng chất
yêu cầu

Po-tat/ đơn vị

2

1

14

Ni-trat/ đơn vị

1

1

12

Phot-phat/đvị

1

3

18

Giá mua/đơn vị

$2

$4

Thành phần

Số đơn vị sp 1 và sp 2 cần mua là bao nhiêu?

Chương 4 – Bài toán qui hoạch tuyến tính

2

GV. Nguyen Vu Quang


Dạng tổng quát:
Dưỡng chất
1

Sản phẩm
… j … n

1

i
… aij …

m
Chi phí mua / đvị c1 … cj …

Yêu cầu tối
thiểu
b1

bi

bm

cn

Gọi xj là lượng sản phẩm j cần dùng, aij là lượng dưỡng
chất i có trong 1 đơn vị sản phẩm j.
n

Min Z =

∑c x
j =1

j

j
n

∑a

Ràng buộc (s.t)

j=1

ij

xj

≥ bi

xj ≥ 0

∀i = 1, 2, …, m
∀j = 1, 2, …, n

Bài toán vận tải
Có hai trạm phân phối chất đốt A và B cung cấp hàng cho 3
đại lý 1, 2 và 3. Tổng cung, tổng cầu và chi phí vận chuyển/
mỗi đơn vị chất đốt cho như sau:
Đại lý

Trạm
phân phối

Tổng cung

1

2

3

A

6

10

4

150

B

12

2

8

90

Tổng cầu

60

70

110

Vận chuyển như thế nào để có tổng chi phí bé nhất.

Chương 4 – Bài toán qui hoạch tuyến tính

3

GV. Nguyen Vu Quang


Dạng tổng quát:
Điểm cung cấp

Điểm tiêu thụ
1 … j … n

1

i
… cij …

m
Nhu cầu tối thiểu d1 … dj …

Khả năng cung
cấp tối đa
s1

si

sm

dn

Gọi xij là lượng hàng vận chuyển từ i đến j. cij là chi phí vận
chuyển một đơn vị hàng từ i đến j.
m

Min Z =

n

∑∑ c
i =1 j=1

ij

x ij
n

∑x

Ràng buộc (s.t)

j=1

ij

≤ si

∀i = 1, 2, …, m

ij

≥ di

∀j = 1, 2, …, n

m

∑x
i =1

xij ≥ 0

∀i = 1, 2, …, m
∀j = 1, 2, …, n

II. Lý thuyết nền tảng của bài toán QHTT:
2.1. Dạng bài toán
• Cực đại chuẩn (standard maximization problem)
n

Max Z =

∑c x
j =1

j

j
n

Ràng buộc (s.t)

∑a x
j =1

ij

j

xj ≥ 0

≤ bi

∀i = 1, 2, …, m
∀j = 1, 2, …, n

Trong đó bi ≥ 0

Chương 4 – Bài toán qui hoạch tuyến tính

4

GV. Nguyen Vu Quang


• Cực tiểu chuẩn (standard minimization problem)
n

Min Z =

∑c x
j =1

j

j
n

∑a

Ràng buộc (s.t)

j=1

ij

xj

≥ bi

xj ≥ 0

∀i = 1, 2, …, m
∀j = 1, 2, …, n

Trong đó bi ≥ 0
• Bài toán cực đại (hay cực tiểu) với ràng buộc có dấu ≥ và
cả dấu ≤
2.2. Nghiệm khả dĩ
Nghiệm khả dĩ (feasible solution): một bộ giá trị các biến
thỏa mãn các ràng buộc
Vùng khả dĩ (feasible region): Tập tất cả các nghiệm khả dĩ
Ví dụ:
Max Z = 50x1 + 80x2
Ràng buộc :
Tổng giờ cắt
Tổng giờ ráp
Nh.cầu lều C.dụng
Biến

x1 +
3x1 +
x1, x2

2x2
4x2
x2






32
84
12
0

(d1)
(d2)
(d3)

Nghiệm khả dĩ ?
Vùng khả dĩ ?

Chương 4 – Bài toán qui hoạch tuyến tính

5

GV. Nguyen Vu Quang


2.3. Phương pháp đồ thị (cho bài toán có 2 biến)
X2
21
16
12
(8,12)
(20,6)
5
X1
8

28

Z = 400

32

Z = 1480

B1. Biểu diễn các ràng buộc trên mặt phẳng tọa độ và xác
định vùng khả dĩ
B2. Vẽ một đường thẳng có phương trùng với hàm mục
tiêu Z. Di chuyển tịnh tiến đường thẳng này sao cho
giá trị Z được cải thiện. Xác định giao điểm của đường
thẳng với biên của vùng khả dĩ, đó là nghiệm tối ưu.
Ghi chú:
• Ràng buộc tích cực/ trói buộc (Binding constraint)
• Ràng buộc không trói buộc
• Nghiệm bài toán (nếu có) luôn là một điểm cực biên
(đỉnh) của vùng khả dĩ

Chương 4 – Bài toán qui hoạch tuyến tính

6

GV. Nguyen Vu Quang


III. Giới thiệu phương pháp đơn hình (simplex method)
Không thể dùng phương pháp đồ thị nếu số biến > 3.
⇒ Phương pháp đơn hình (thuật toán, giải bằng tay)
3.1. Phương pháp đơn hình:
Khái niệm biến bù, nghiệm khả dĩ cơ sở, biến cơ sở và biến
không cơ sở:
a. Để chuyển các ràng buộc (≤) thành các hệ phương trình
(để …) ta dùng các biến bù:
Ví dụ: Max Z = 50x1 + 80x2

x1 + 2x2

32
3x1 + 4x2

84
x2

12
x1, x2

0
========================================
S.t

Max Z = 50x1 + 80x2
S.t

x1 + 2x2
+ s1
+ s2
3x1 + 4x2
x2
+ s3
x1, x2, s1, s2, s3

=
=
=


32
84
12
0

Giải hệ phương trình: m = 3 phương trình, n = 5 biến
Có bao nhiêu lời giải?

Chương 4 – Bài toán qui hoạch tuyến tính

7

GV. Nguyen Vu Quang


b. Lời giải cơ sở: cho (n-m) biến có giá trị = 0 và giải các

biến còn lại ⇒ số điểm cực
Số lời giải cơ sở (basic solution) là : n! / [m!(n-m)!]
Ví dụ: cho 2 biến có giá trị = 0 giải hệ 3 pt 3 ẩn sẽ có 10 lời
giải cơ sở sau:
X1
0
0
0
0

x2
0

s1

s2

s3

32

84

12

16

0

20

-4

21

-10

0

-9

12

8

36

0

32

0
0
0

0

-12

12

4

0

12

20

6

0

6

8

12

0
0

12

12

12

-4

0

0
0

28

Điểm giao
O
B
C
A
H
G

Khả dĩ?


F
D
E







0

Lưu ý: lời giải tồn tại biến có giá trị âm sẽ là không khả dĩ

C

X2
21

B

16

A

12

E
(8,12) D
(20,6)

F

5

O

8

H
28

Z = 400

Chương 4 – Bài toán qui hoạch tuyến tính

G

8

X1

32

Z = 1480

GV. Nguyen Vu Quang


c. Các lời giải (nghiệm) cơ sở nằm trong miền khả dĩ gọi là
lời giải khả dĩ cơ sở (basic feasible solution)
d. Trong nghiệm khả dĩ cơ sở, biến gán giá trị = 0 gọi là
biến không cơ sở; các biến còn lại gọi là biến cơ sở.
Giải thuật đơn hình (simplex method)
Là phương pháp đại số lặp đi lặp lại để chuyển từ 1 lời giải
khả dĩ cơ sở của bài toán sang 1 lời giải khả dĩ cơ sở khác
và kiểm tra giá trị hàm mục tiêu cho đến khi đạt tối ưu.
Về mặt hình học, điều này tương ứng với chuyển từ cực
biên này sang cực biên khác của miền khả dĩ cho đến khi
có lời giải tối ưu.
3.2. Phương pháp đơn hình cho bài toán MAX với ràng
buộc đều là ≤ và RHS dương:
Ví dụ: Max Z = 50x1 + 80x2
S.t






x1 + 2x2
3x1 + 4x2
x2
x1, x2

Bước 1. Thêm biến bù (si):
x1 + 2x2
3x1 + 4x2
x2
- 50x1 - 80x2

+ s1

+ s2

+ s3

+Z

32
84
12
0
=
=
=
=

32
84
12
0

Bước 2. Lập bảng đơn hình ban đầu:
x1
1
3
0
-50

x2
2
4
1
-80

s1
1
0
0
0

s2
0
1
0
0

s3
0
0
1
0

Z
0
0
0
1

RHS
32
84
12
0

Nghiệm khả dĩ cơ sở là (0, 0, 32, 84, 12) *** Z = 0
Biến cơ sở là s1, s2, s3
Chương 4 – Bài toán qui hoạch tuyến tính

9

GV. Nguyen Vu Quang


Bước 3. Xác định giá trị xoay
+ Giao điểm của cột xoay và hàng xoay
+ Cột xoay là cột có trị âm nhỏ nhất trong hàng dưới cùng…
+ Hàng xoay là hàng có tỷ số dịch chuyển nhỏ nhất…
+ Tỷ số dịch chuyển = RHS / giá trị dương trong cột xoay
+ Nếu cột xoay không có giá trị dương ⇒ không có lời giải
x1
1
3
0
-50

x2
2
4
1
-80

s1
1
0
0
0

s2
0
1
0
0

s3
0
0
1
0

Z
0
0
0
1

RHS
32
84
12
0

Bước 4. Thực hiện xoay cho đến khi hàng dưới không
âm
+ Chuyển giá trị xoay thành = 1
+ Chuyển các giá trị khác trong cột xoay = 0
x1
1
3
0
-50

x2
2
4
1*
-80

s1
1
0
0
0

s2
0
1
0
0

s3
0
0
1
0

Z
0
0
0
1

RHS
32
84
12
0

x1
1*
3
0
-50

x2
0
0
1
0

s1
1
0
0
0

s2
0
1
0
0

s3
-2
-4
1
80

Z
0
0
0
1

RHS
8
36
12
960

R1 = R1 + (-2)R3
R2 = R2 + (-4)R3
R4 = R4 + 80R3

R2 = R2 + (-3)R1
R4 = R4 + 50R1

Nghiệm khả dĩ cơ sở mới (0, 12, 8, 36, 0) *** Z = 960
x1
1
0
0
0

x2
0
0
1
0

s1
1
-3
0
50

s2
0
1
0
0

s3
-2
2*
1
-20

Z
0
0
0
1

RHS
8
12
12
1360

R1 = R1+2R2*1/2
R2 = R2*1/2
R3 = R3 + (-1)R2*1/2
R4 = R4 + 20R2*1/2

Nghiệm khả dĩ cơ sở mới (8, 12, 0, 12, 0) *** Z = 1360
Chương 4 – Bài toán qui hoạch tuyến tính

10

GV. Nguyen Vu Quang


x1
1
0
0
0

x2
0
0
1
0

s1
-2
-3/2
3/2
20

s2
1
1/2
-1/2
10

s3
0
1
0
0

Z
0
0
0
1

RHS
20
6
6
1480

Hàng dưới không âm, đạt tối ưu, nghiệm (20, 6, 0, 0, 6), Z=1480

3.3. Phương pháp đơn hình cho bài toán MAX với ràng
buộc ≤ và cả ≥ và =:
Ví dụ: Giải bài toán QHTT
Max Z = x1 – x2 + 3x3
S.t: -x1 - x2
x1 + x3
x2 + x3
x1, x2, x3


=



-20
5
10
0

Bước 1. Chuẩn hóa bài toán
Làm cho tất cả giá trị RHS thành dương ; (nhân -1, đổi dấu)
Với ràng buộc ≤, thêm biến bù (ký hiệu si)
Với ràng buộc ≥, thêm biền trừ (-si) và biến nhân tạo…
Với ràng buộc =, thêm biến nhân tạo (ký hiệu ai)
Cộng –Mai vào hàm mục tiêu Z, trong đó M là hằng số
rất lớn…
Tất cả si, ai đều ≥ 0
Ví dụ:
Max Z = x1 – x2 + 3x3 – Ma1 – Ma2
x1 + x2
+ s1
x1
+ x3
+ a1
x2 + x3
- s2 + a2
-x1 + x2 - 3x3
+Ma1
+Ma2
x1, x2, x3, s1, s2, a1, a2 ≥ 0

Chương 4 – Bài toán qui hoạch tuyến tính

11

+Z

=
=
=
=

20
5
10
0

GV. Nguyen Vu Quang


Bước 2. Lập bảng đơn hình sơ bộ và ban đầu
Bảng sơ bộ
x1
1
1
0
-1

x2
1
0
1
1

x3
0
1
1
-3

s1
1
0
0
0

a1
0
1
0
M

s2
0
0
-1
0

a2
0
0
1
M

Z
0
0
0
1

RHS
20
5
10
0

Bảng ban đầu (sau khi loại M trong cột ai)

x1
1
1
0
-M-1

x2
1
0
1
-M+1

x3
0
1*
1
-3-2M

s1
1
0
0
0

a1
0
1
0
0

s2
0
0
-1
M

a2
0
0
1
0

Z
0
0
0
1

RHS
20
5
10
-15M

R3-R2
R4+(3+2M)R2

Nghiệm khả dĩ cơ sở ban đầu (0, 0, 0, 20, 5, 0, 10), Z = -15M

Bước 3. Thực hiện xoay đến khi hàng dưới không âm
x1
1
1
-1
M+2

X2
1
0
1*
-M+1

x3
0
1
0
0

s1
1
0
0
0

a1
0
1
-1
2M+3

s2
0
0
-1
M

a2
0
0
1
0

Z
0
0
0
1

RHS
20
5
5
-5M+15

R1-R3

R4+(M-1)R3

Nghiệm khả dĩ cơ sở (0, 0, 5, 20, 0, 0, 5), Z = -5M+15
x1
2
1
-1
3

X2
0
0
1
0

x3
0
1
0
0

s1
1
0
0
0

a1
1
1
-1
M+4

s2
1
0
-1
1

a2
-1
0
1
M-1

Z
0
0
0
1

RHS
15
5
5
10

Hàng dưới không âm, nghiệm khả dĩ (0, 5, 5, 15, 0, 0, 0)
Vì các biến nhân tạo a1, a2 đều = 0, bài toán có nghiệm là:
x1 = 0, x2 = 5, x3 = 5 và Max Z = 10
(Nếu có một biến nhân tạo ≠ 0 thì bài toán sẽ không có nghiệm)

Chương 4 – Bài toán qui hoạch tuyến tính

12

GV. Nguyen Vu Quang


3.4. Phương pháp đơn hình cho bài toán MIN:
Chuyển hàm mục tiêu Min Z = Σcjxj thành Max Z* = Σ(–cj)xj
và giải như bài toán MAX
Ví dụ:
Min Z = 2x1 + 4x2

2x1 + x2
x 1 + x2


x1 + 3x2
x 1, x 2


14
12
18
0



Max Z* = – 2x1 – 4x2

2x1 + x2
x 1 + x2


x1 + 3x2
x 1, x 2


14
12
18
0

Bước 1. Chuẩn hóa bài toán (biến bù, trừ, nhân tạo…)
Max Z* = – 2x1 – 4x2 – Ma1 – Ma2 – Ma3
2x1 + x2 – s1
+ a1
x 1 + x2
– s2
+ a2
x1 + 3x2
– s3
+ a3
2x1 + 4x2
+ Ma1 + Ma2 + Ma3

=
=
=
=

+Z

14
12
18
0

Bước 2. Lập bảng đơn hình sơ bộ và ban đầu
Bảng sơ bộ
x1
2
1
1
2

x2
1
1
3
4

s1
-1
0
0
0

s2
0
-1
0
0

s3
0
0
-1
0

a1
1
0
0
M

a2
0
1
0
M

a3
0
0
1
M

Z
0
0
0
1

RHS
14
12
18
0

Bảng ban đầu
x1
2
1
1
-4M+2

x2
1
1
3*
-5M+4

s1
-1
0
0
M

s2
0
-1
0
M

s3
0
0
-1
M

a1
1
0
0
0

a2
0
1
0
0

a3
0
0
1
0

Z
0
0
0
1

RHS
14
12
18
-44M

R1 = R1 - R3*1/3
R2 = R2 - R3*1/3
R3 = R3*1/3
R4 = R4 – (-5M+4)R3*1/3

Chương 4 – Bài toán qui hoạch tuyến tính

13

GV. Nguyen Vu Quang


Bước 3. Thực hiện xoay đến khi hàng dưới không âm
x1
5/3*
2/3
1/3
(-7M+2)/3
x1
1
0
0
0

x2
0
0
1
0

x2
0
0
1
0

s1
-1
0
0
M

s1
-3/5
2/5*
1/5
(-2M+2)/5

s2
0
-1
0
M

x1
1
0
0
0

x2
0
0
1
0

s2
0
-1
0
M

s3
a1
1/3
1
1/3
0
-1/3
0
(-2M+4)/3 0

s3
1/5
1/5
-2/3
(-M+6)/5
s1
0
1
0
0

a2
0
1
0
0

a1
3/5
-2/5
-1/5
(7M-2)/5

s2
-3/2
-5/2
1/2
1

s3
1/2
1/2
-1/2
1

a3
-1/3
-1/3
1/3
(5M-4)/3
a2
0
1
0
0

a1
0
-1
0
M

Z
0
0
0
1

a3
-1/5
-1/5
2/5
(6M-6)/5
a2
3/2
5/2
-1/2
M-1

a3
-1/2
-1/2
1/2
M-1

Z
0
0
0
1

RHS
8
6
6
-14M-24
RHS
24/5
14/5
22/5
(-14M-136)/5
Z
0
0
0
1

RHS
9
7
3
-30

Hàng dưới không âm, nghiệm khả dĩ (9, 3, 7, 0, 0, 0, 0, 0)
Vì các biến nhân tạo a1, a2, a3 đều = 0, bài toán có nghiệm là:
x1 = 9, x2 = 3 và Max Z* = - 30
Vậy bài toán gốc có Min Z = 30

Chương 4 – Bài toán qui hoạch tuyến tính

14

GV. Nguyen Vu Quang


IV. Giải bài toán QHTT bằng máy tính:
Phương pháp đơn hình:
• Khoa học toán
• Hiểu rõ bản chất cách giải
• Khó thực hiện
• Càng khó khi bài toán có từ 5 đến hàng trăm biến
Phần mềm máy tính:
• Dựa vào thuật toán
• Khả năng tính nhanh (hàng triệu phép thử / giây)
• ABQM, QSB, LINDO, EXCEL…
Hướng dẫn sử dụng phần mềm ABQM và Excel:
(Sinh viên xem tài liệu phát kèm theo bài giảng)

Chương 4 – Bài toán qui hoạch tuyến tính

15

GV. Nguyen Vu Quang



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×