Tải bản đầy đủ

Giao trinh bai tap ppt hướng dẫn giải chi tiết đề cuối kì 2

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
MÔN PHUONG PHÁP TÍNH

GVHD: Lê Thái Thanh
Năm học: 2013-2014
Lớp: DT09
Họ tên sinh viên: Nguyễn Hoàng Thân
MSSV:41303798
Tham số M=4.31

TP Hồ Chí Minh, tháng 7/2014
Câu 1: Khảo sát và tìm tất cả các nghiệm của phương trình sau (kể cả nghiệm
phức):
3
x - 3.5Mx2 + x + 2M=0


Giải
Đặt f(x) = x3 - 3.5Mx2 + x + 2M
f ‘(x)= 3x2 – 30.17x + 1
Phương trình f ‘(x) = 0 có 2 nghiệm thực phân biệt



𝑥1 = 10.0234
𝑥2 = 0.0333

f(x1)f(x2) = -4230.973 < 0
Hàm số f(x) có cực đại và cực tiểu nằm khác phía so với trục Ox nên phương trình
f(x) = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt
𝑥 = 14.9798
[ 𝑥 = 0.813
𝑥 = −0.7078
Câu 2 : Cho hệ phương trình Ax=b với A= (𝑎𝑖𝑗 )𝑛𝑖,𝑗=1 , b = (b1,...,bn)T và n = 10 cho
bởi
3.5𝑀 𝑛ế𝑢 𝑖 = 𝑗
1 𝑛ế𝑢 |𝑖 − 𝑗| = 1
aij=
0.5 𝑛ế𝑢 |𝑖 − 𝑗| = 2
{0 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑐á𝑐 𝑡𝑟ườ𝑛𝑔 ℎợ𝑝 𝑐ò𝑛 𝑙ạ𝑖

0 𝑛ế𝑢 𝑖 𝑐ℎẵ𝑛
và bi={ 𝑀
𝑛ế𝑢 𝑖 𝑙ẻ
𝑖

(a)Sử dụng phương pháp choleski, tìm ma trận B trong phân rã A=BBT. Sau đó
giải hệ.
(b)Sử dụng phương pháp Gauss-seidel với x(0) = (0,…,0)T tìm nghiệm gần đúng
x(5).So sánh kết quả với câu (a).
Giải
(a)Ma trận B cần tìm:


B=

Nghiệm phương trình:
x=

(b)Nghiệm gần đúng x(5)
x(5) =


Nghiệm gần đúng x(5) rất gần với nghiệm đúng x. Sai số nhỏ hơn
10-5 nên khi làm tròn đến 4 chữ số ta thấy kết quả hoàn toàn giống nhau.
Câu 3: Cho bảng nội suy với số liệu sau: n=10


x 1.0

1.1

1.2

1.3 1.4

y 2.11 2.46 2.77 M

1.5

1.6

3.45 3.84 2M

1.7

1.8

1.9

5.21 4.83 1.5M

2.0
3.12

(a) Xây dựng đa thức P(x) = a0 + a1x + … +a10x10 nội suy bảng số trên. Tính các hệ
số ai , i = 0, 1, … , 10 và vẽ đồ thị P(x).
(b)Xây dựng hàm spline bậc ba tự nhiên g(x) đối với bảng số đã cho. Xác định các
hệ số. Vẽ đồ thị của g(x).
(c)Vẽ đồ thị của P(x) và g(x) trên cùng một hệ trục toạ độ. So sánh.
Giải
(a) Các hệ số ai , i= 0, 1, … , 10.
a0 = 75759047.8
a1 = -537591864.3902
a2 = 1706486974.4904
a3 = -3191029635.7599
a4 = 3892728832.2335
a5 = -3237090991.8692
a6 = 1858399453.7037
a7 = -727323592.0966
a8 = 185723106.8122
a9 = -27942391.4242
a10 = 1881062.6102


Đồ thị P(x):

(b)Các hệ số cần tìm
a

b

c

d

2.11

4.9233

0

-142.3337

2.46

0.6533

-42.7001

671.6683

2.77

12.2634

158.8004

-1274.3395

4.31

5.7932

-223.5015

795.6898

3.45

-15.0364

15.2055

1741.5803


3.84

40.2522

537.6796

-4622.0109

8.62

9.1277

-848.9237

4166.4633

5.21

-35.6631

401,0153

-823.8423

4.83

19.8247

153.8626

-1886.0941

6.465

-5.9856

-411.9656

1373.2188

3.12

Đồ thị g(x):

0


(c) Đồ thị P(x),g(x): ( g(x) là đường màu đỏ,P(x) là đường màu xanh ).

Câu 4: Cho hàm số f(x) xác định trong lân cận của điểm x0 và bước h > 0.
(a). Với các điểm nút x0 - 2h, x0 - h, x0, x0 + h, x0 + 2h hãy xây dựng đa thức nội
suy Lagrange xấp xỉ hàm f(x). Từ đó đưa ra công thức xấp xỉ đạo hàm cấp 1 và cấp
2 của hàm f(x) tại điểm x0.
(b) Áp dụng đối với hàm f(x) = ( x2 + Mx +1 )ex tại x0 = 1 và bước h = 0.1. So sánh
với giá trị chính xác.


Giải
L0 =
L1 =
L2 =
L3 =
L4 =

1

(x-x0+h)(x-x0)(x-x0-h)(x-x0-2h)

24ℎ4
−1

(x-x0+2h)(x-x0)(x-x0-h)(x-x0-2h)

6ℎ4
1

(x-x0+2h)(x-x0 + h)(x-x0-h)(x-x0-2h)

4ℎ4
−1

(x-x0+2h)(x-x0 + h)(x-x0)(x-x0-2h)

6ℎ4
1

24ℎ4

(x-x0+2h)(x-x0 + h)(x-x0)(x-x0-h)

f(x)≃y0.L0(x)+y1.L1(x)+y2.L2(x)+y3.L3(x)+y4.L4(x)
L0’(x0) =
L1’(x0) =
L2’(x0)=
L3’(x0)=
L4’(x0)=

1
24ℎ4

h(-h)(-2h) =

1
12ℎ

−1

−2

6ℎ

3ℎ

2h(-h)(-2h) =
4

1
24ℎ4
−1

6ℎ4

[h(-h)(-2h)+2h(-h)(-2h)+2h.h(-2h)+2h.h(-h)] =0

2h.h(-2h) =

1
24ℎ4

2h.h(-h) =

2
3h
−1
12h

 f’(x0)≃y0.L’0(x0)+y1.L’1(x0)+y2.L’2(x0)+y3.L’3(x0)+y4.L’4(x0)
f’(x0) ≃

𝟏

𝟏𝟐𝐡

L0”( x0)=
L1”( x0)=
L2”( x0)=
L3”( x0)=

(y0-8y1+8y3-y4)
1

24ℎ4
−1
6ℎ4
1
4ℎ4
−1
6ℎ4

(-2h2)=

(-8h2)=

12ℎ2
4

3ℎ 2

(-10h2)=
(-8h2)=

−1

−5
2ℎ2
4

3ℎ 2


L4”( x0)=

1
24ℎ4

(-2h2)=

−1
12ℎ2

f”( x0)≃y1.L”0(x0)+y1.L”1(x0)+y2.L”2(x0)+y3.L”3(x0)+y4.L”4(x0)
f”( x0) ≃

𝟏

𝟏𝟐𝒉𝟐

(-y0+16y1-30y2+16y3-y4)

(b) f(x) = 4.9466x4 - 5.5674x3 + 15.4696x2 + 0.281x +2.0226
f’(x0) ≃ 34.3042
f’’(x0) = 56.8934
Câu 5: Xét tích phân
1

I=∫0

1+𝑀𝑥
𝑥 4 +2𝑀𝑥+5

Sử dụng công thức Simpson mở rộng, hãy xấp xỉ tích phân với sai số nhỏ hơn 10-6.
Giải
I ≃ I* =0.3197
Câu 6: Cho hệ phương trình vi phân cấp 1:
𝑥 ′ (𝑡) = 2𝑀𝑥(𝑡) − 𝑦(𝑡) − 𝑧(𝑡) + 1
{ 𝑦 ′ (𝑡) = −𝑥 + 3𝑀𝑦(𝑡) − 𝑧(𝑡) + 𝑡
𝑧 ′ (𝑡) = −𝑥(𝑡) − 𝑦(𝑡) + 4𝑀𝑧(𝑡) + 𝑡 2
thoả điều kiện ban đầu x(0)=0.2, y(0) = 0.5, z(0)=0.8. Sử dụng công thức Runge –
Kutta cấp 4, hãy xấp xỉ các hàm x(t), y(t), z(t) trong [0, 1] với bước h = 0.1. Vẽ đồ
thị của chúng.
x

y

z

0.2

0.5

0.8

0.2264

1.434173

4.090595


-1.090745

3.497345

21.695437

-10.814384

4.175380

117.572594

-66.968989

-29.915747

644.885889

-371.851101

-354.297605

3561.383819

-2007.318486

-2643.980163

19745.696777

-10814.188872

-17145.886063

109737.157142

-58613.898738

-104298.648139

610753.192713

-320035.195522

-613175.821671

3402301.173238

-1758519.020314

-3534528.190170

18964026.804106

Đồ thị:


Câu 7: Xét bài toán biên
𝑥 2 𝑦 ′′ (𝑥) + 𝑀𝑥𝑦 ′ (𝑥) − 12𝑦(𝑥) = (1 + 𝑥 2 )𝑒 −𝑥
1 ≤ x ≤2
{
𝑦(1) = 0, 𝑦(2) = 0.5𝑀
Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn, hãy xấp xỉ hàm y(x) trong [1, 2] với bước
h = 0.1. Vẽ đồ thị.
Giải
y(x)=


Đồ thị:



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×