Tải bản đầy đủ

Giao trinh bai tap 3 bai tap qua trinh hap phu k2011 2014

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN
Bài giảng điện tử

TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

TP. HCM — 2013.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

1 / 81


Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

Bài toán thực tế


Bài toán máy bay rơi

Trong lĩnh vực hàng không, giả sử máy bay đang
bay thì hết xăng, độ cao của máy bay khi hết xăng
được mô tả bởi phương trình
H(t) = H0 + v0t − 16t 2, với H0(km) là độ cao của
máy bay lúc hết xăng, v0(km/h) là vận tốc của
máy bay lúc hết xăng. Thời gian từ lúc hết xăng
cho đến khi máy bay đạt độ cao lớn nhất là 0, 3h.
Hãy tìm vận tốc v0 của máy bay khi hết xăng?
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

2 / 81


Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

Bài toán thực tế

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

3 / 81


Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

Bài toán thực tế

Thời gian từ lúc hết xăng cho đến khi máy bay đạt
độ cao lớn nhất là 0, 3h, có nghĩa là khi t = 0, 3
thì v (0, 3) = 0.

Theo công thức, ta có
v (t) = (H(t)) = v0 − 32.t.
Như vậy
v (0, 3) = v0 − 32.(0, 3) = 0 ⇒ v0 = 9, 6(km/h)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

4 / 81


Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

Định nghĩa

Định nghĩa
Cho hàm số y = f (x) xác định trong lân cận của
điểm x0. Giới hạn (nếu có) của tỉ số
f (x) − f (x0)
,
x→x0
x − x0
lim

được gọi là đạo hàm của hàm số y = f (x) tại x0
và được ký hiệu là f (x0) hay y (x0).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

5 / 81


Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

Định nghĩa

Định nghĩa
Đạo hàm trái của y = f (x) tại x0 là giới hạn trái
(nếu có)
f (x) − f (x0)
x − x0
x→x0−

f−(x0) = lim

Đạo hàm phải của y = f (x) tại x0 là giới hạn phải
(nếu có)
f (x) − f (x0)
x − x0
x→x0+

f+(x0) = lim
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

6 / 81


Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

Định nghĩa

Định lý
Hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi
nó có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại x0 và
chúng phải bằng nhau.
f (x0) = f−(x0) = f+(x0)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

7 / 81


Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

Định nghĩa

Ví dụ
Hàm số y = f (x) = |x| =

x, x 0
−x, x < 0

|x| − |0|
x
= lim = 1
x→0+ x − 0
x→0+ x
|x| − |0|
−x
f−(0) = lim
= lim
= −1
x→0− x − 0
x→0− x
Như vậy f+(0) = 1 = −1 = f−(0). Do đó hàm số
không có đạo hàm tại x0 = 0.
f+(0) = lim

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

8 / 81


Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

Các quy tắc tính đạo hàm

Các quy tắc tính đạo hàm

Định lý
Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm hữu hạn u (x0)
tại điểm x0 thì hàm số y = cu = cu(x) với c ∈ R
cũng có đạo hàm hữu hạn y tại điểm x0, lúc này
ta có đẳng thức y = cu = cu (x0).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

9 / 81


Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

Các quy tắc tính đạo hàm

Định lý
Nếu hàm số u = u(x) và v = v (x) có đạo hàm
hữu hạn u = u (x) và v = v (x) tại điểm x0 ∈ X
thì tại điểm này hàm số y = u ± v = u(x) ± v (x)
cũng có đạo hàm hữu hạn y tại điểm x0, lúc này
luôn có đẳng thức y = u ± v = u (x0) ± v (x0).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

10 / 81


Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

Các quy tắc tính đạo hàm

Định lý
Nếu hàm số u = u(x) và v = v (x) có đạo hàm
hữu hạn u = u (x) và v = v (x) tại điểm x0 ∈ X
thì tại điểm này hàm số y = u.v = u(x).v (x)
cũng có đạo hàm hữu hạn y tại điểm x0, lúc này
luôn có đẳng thức
y = u .v + u.v = u (x0).v (x0) + u(x0).v (x0).
Chú ý. Công thức trên cũng có thể mở rộng cho
mọi số lượng hữu hạn thừa số. (u.v . . . . ω) =
u .v . . . . .ω + u.v . . . . .ω + . . . + u.v . . . . .ω .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

11 / 81


Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

Các quy tắc tính đạo hàm

Định lý
Nếu hàm số u = u(x) và v = v (x) có đạo hàm
hữu hạn u = u (x) và v = v (x) tại điểm x0 ∈ X
sao cho v (x0) = 0 thì tại điểm này hàm số
u u(x)
cũng có đạo hàm hữu hạn y tại
y= =
v
v (x)
điểm x0, lúc này luôn có đẳng thức
u .v − u.v
u (x0).v (x0) − u(x0).v (x0)
=
.
y =
v2
v 2(x0)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

12 / 81


Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

Đạo hàm của hàm hợp

Đạo hàm của hàm hợp

Định lý
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm hữu hạn f (x0)
tại điểm x0 còn hàm số z = g (y ) có đạo hàm hữu
hạn g (y0) tại điểm tương ứng y0 = f (x0) ∈ E (f ),
thì hàm hợp z = h(x) = g (f (x)) có đạo hàm hữu
hạn tại điểm x0, lúc đó luôn có đẳng thức
h (x0) = g (y0).f (x0) hay zx = zy .yx .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

13 / 81


Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

Đạo hàm của hàm hợp

Ví dụ
Tìm đạo hàm của hàm y = sin5(4x + 3)
y = 5 sin4(4x + 3). cos(4x + 3).(4x + 3) =
20 sin4(4x + 3) cos(4x + 3).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

14 / 81


Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

Đạo hàm của hàm ngược

Đạo hàm của hàm ngược

Định lý
Cho hàm số y = f (x) tăng (hoặc giảm), liên tục
trên khoảng X ⊂ R xác định từ khoảng X ⊂ R
lên toàn khoảng Y ⊂ R và có đạo hàm hữu hạn
f (x0) = 0 tại điểm x0. Khi đó hàm ngược
x = g (y ) = f −1(y ) có đạo hàm hữu hạn tại điểm
tương ứng y0 = f (x0) ∈ Y , và luôn có đẳng thức
1
1
hay xy = .
g (y0) =
f (x0)
yx
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

15 / 81


Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

Đạo hàm của hàm ngược

Ví dụ
Tìm đạo hàm của hàm ngược của hàm
y = x + x 3, x ∈ R.
Hàm số y liên tục khắp nơi và là hàm tăng, đạo
1
hàm y = 1 + 3x 2 > 0, ∀x ∈ R nên xy =
1 + 3x 2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

16 / 81


Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

Ý nghĩa hình học

Ý nghĩa hình học

Trong bài toán về tiếp tuyến ta đã chứng minh
được rằng đối với đường liên tục y = f (x) hệ số
góc k0 của tiếp tuyến tại điểm M0(x0, f (x0)) được
tính theo công thức
f (x0 + ∆x) − f (x0)
= f (x0)
∆x→0
∆x

k0 = tan α0 = lim

Như vậy, ý nghĩa hình học của đạo hàm của hàm
số f (x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến của
đường y = f (x) tại điểm M0(x0, f (x0)).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

17 / 81


Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

Đạo hàm của những hàm sơ cấp

Đạo hàm của những hàm sơ cấp

1. y = C = const ⇒ y = 0
2. y = x ⇒ y = 1
3. y = x µ(x = 0) ⇒ y = µx µ−1
Những trường hợp riêng.
1
1
a) y = ⇒ y = − 2 .
x
x

1
b) y = x ⇒ y = √ .
2 x

1
c) y = n x ⇒ y = √
.
n n−1
n x
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

18 / 81


Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

Đạo hàm của những hàm sơ cấp

Đạo hàm của những hàm sơ cấp

4. y = ax (a > 0, a = 1) ⇒ y = ax ln a.
Trường hợp riêng.
y = e x ⇒ y = e x . vì ln e = 1
5. y = loga |x|(a > 0, a = 1) ⇒ y =

1
.
x ln a

Trường hợp riêng.
1
y = ln |x| ⇒ y = vì ln e = 1
x
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

19 / 81


Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

Đạo hàm của những hàm sơ cấp

Đạo hàm của những hàm sơ cấp

6. y = sin x ⇒ y = cos x.
7. y = cos x ⇒ y = − sin x.
1
8. y = tan x ⇒ y =
cos2 x
1
9. y = cot x ⇒ y = − 2
sin x
1
10. y = arcsin x(x ∈ (−1, 1)) ⇒ y = √
1 − x2
1
11. y = arccos x(x ∈ (−1, 1)) ⇒ y = − √
1 − x2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

20 / 81


Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

Đạo hàm của những hàm sơ cấp

Đạo hàm của những hàm sơ cấp

12.y = arctan x, (x ∈ (−∞, +∞))
1
⇒y =
1 + x2
13.y = arccot x, (x ∈ (−∞, +∞))
1
⇒y =−
1 + x2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

21 / 81


Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

Đạo hàm của những hàm sơ cấp

Những hàm hyperbolic

Định nghĩa
e x − e −x
Hàm số sinh x =
được gọi là hàm sin
2
hyperbolic.
Định nghĩa
e x + e −x
Hàm số cosh x =
được gọi là hàm cos
2
hyperbolic.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

22 / 81


Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

Đạo hàm của những hàm sơ cấp

Định nghĩa
sinh x
Hàm số tanh x =
được gọi là hàm tan
cosh x
hyperbolic.
Định nghĩa
cosh x
Hàm số coth x =
được gọi là hàm cotan
sinh x
hyperbolic.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

23 / 81


Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

Đạo hàm của những hàm sơ cấp

Đạo hàm của những hàm sơ cấp

14. y = sinh x ⇒ y = cosh x
15. y = cosh x ⇒ y = sinh x
1
16. y = tanh x ⇒ y =
cosh2 x
1
17. y = coth x ⇒ y = −
sinh2 x

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

24 / 81


Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

Đạo hàm của hàm lũy thừa-mũ

Định nghĩa
Cho hàm số u = u(x) > 0 và v = v (x) xác định
trên cùng 1 tập hợp X ⊂ R khi đó hàm số
y = u v = (u(x))v (x) được gọi là hàm lũy thừa-mũ.
Định lý
Nếu hàm số u = u(x) > 0 và v = v (x) tại một số
điểm x ∈ X có đạo hàm hữu hạn u = u (x) và
v = v (x) thì hàm số y = u v = (u(x))v (x) tại
điểm x này cũng có đạo hàm hữu hạn và lúc này
luôn có bất đẳng thức y = u v .lnu.v + v .u v −1.u
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

25 / 81


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×