Tải bản đầy đủ

Giao trinh bai tap chương 6 cơ lượng tử

Nội dung

Cơ sở
Cơ Học Lượng Tử
Lê Quang Nguyên
www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen
nguyenquangle59@yahoo.com

1.
2.
3.
4.
5.

Lưỡng tính sóng-hạt của vật chất
Phương trình Schrödinger
Hạt trong giếng thế vô hạn một chiều
Hệ thức bất định Heisenberg
Kính hiển vi quét dùng hiệu ứng đường ngầm
(STM)


1a. Giả thuyết De Broglie

1. Lưỡng tính sóng hạt của vật chất
a.
b.
c.
d.
e.
f.

• Ánh sáng có lưỡng tính sóng-hạt.
• Các hạt vật chất phải chăng cũng có lưỡng tính
sóng-hạt?
• De Broglie, 1923 − các hạt vật chất cũng là
sóng, bước sóng vật chất (hay sóng De Broglie)
của một hạt có động lượng p là:

Giả thuyết De Broglie
Ví dụ
Kiểm chứng
Ứng dụng
Bản chất của sóng vật
chất
Bài tập

λ=
Louis De Broglie
1892-1987

h
p


1b. Ví dụ 2

1b. Ví dụ 1

• Bước sóng De Broglie của một hạt bụi khối
lượng 10−9 kg rơi với vận tốc 0,020 m/s.


• Voi Dumbo khối lượng
1000 kg, bay với vận tốc
10 m/s sẽ có bước sóng
De Broglie là bao nhiêu?

h 6,626 × 10−34 J ⋅ s
λ = = −9
= 3,313 × 10−23 m
p 10 kg × 0,020m s

h 6,626 × 10−34 J ⋅ s
λ= =
= 6,626 × 10−38 m
3
p 10 kg × 10m s

• Bước sóng này cũng quá nhỏ để có thể quan sát
được.
• Các hạt vĩ mô không thể hiện rõ tính sóng.

• Bước sóng này quá nhỏ
để có thể quan sát được.

1b. Ví dụ 3

1c. Kiểm chứng thực nghiệm 1

• Một electron trong mạch điện hay trong
nguyên tử có động năng trung bình vào khoảng
1 eV, có bước sóng De Broglie bằng:

• Davisson và Germer, 1927: electron có thể
nhiễu xạ trên tinh thể Nickel giống như tia X
vậy.
• Nhiễu xạ của electron trên tinh thể cũng tuân
theo định luật Bragg.
• Bước sóng electron đo được phù hợp với giả
thuyết De Broglie.

h
6,626 × 10−34 J ⋅ s
λ=
=
2mK
2 × 9,11 ⋅ 10−31 kg × 1,6 ⋅ 10−19 J

(

) (

= 10−9 m = 10Å
• Bước sóng này vào cỡ kích thước của nguyên
tử nên có thể quan sát được.
• Các hạt vi mô thể hiện rõ tính sóng.

)


1c. Kiểm chứng thực nghiệm 2

1c. Kiểm chứng thực nghiệm 3

• G. P. Thomson, 1927: electron có thể nhiễu xạ
trên màng mỏng kim loại, tạo ra vân tròn
tương tự như tia X nhiễu xạ trên bột đa tinh
thể.

• Zeilinger et al., 1988: Nhiễu xạ neutron trên hai
khe.

Electron

Tia X

1c. Kiểm chứng thực nghiệm 4

1d. Ứng dụng của sóng De Broglie
• Kính hiển vi điện tử dùng sóng electron thay
cho sóng ánh sáng, có độ phóng đại lên đến 2
triệu lần.
• Nhiễu xạ electron, nhiễu xạ neutron được dùng
để tìm hiểu cấu trúc vật chất, tương tự như
nhiễu xạ tia X.

• Sóng dừng của electron trên bề mặt đồng, ảnh
chụp bằng Scanning Tunneling Microscope (IBM
Almaden Research Center).


1e. Bản chất của sóng De Broglie − 1
• Giao thoa của sóng electron trên hệ hai khe:

100 electrons

3000 electrons

70 000 electrons

Càng nhiều hạt, quy luật
sóng càng rõ.
Nơi hạt đến nhiều
cũng là nơi có cường
độ sóng lớn.

1e. Bản chất của sóng De Broglie − 3
• Ψ(x,y,z) là một số phức, nên ta còn có:

Ψ ( x , y, z ) = Ψ ⋅ Ψ*
2

• Xác suất tìm thấy hạt trong toàn bộ không gian
V, trong đó hạt tồn tại, phải bằng đơn vị, do đó:

∫ Ψ ( x , y , z ) dV = 1
2

V

• Đó là điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng vật
chất.

1e. Bản chất của sóng De Broglie − 2
• Max Born, 1928: sóng vật chất là sóng xác suất.
• Bình phương biên độ hàm sóng ở một vị trí thì
tỷ lệ với xác suất tìm thấy hạt tại đó.
• Gọi Ψ(x,y,z) là hàm sóng vật chất tại vị trí (x,y,z)
của một hạt, dV là một thể tích nhỏ bao quanh
vị trí này, xác suất tìm thấy hạt trong thể tích
dV là:

dP = Ψ ( x , y , z ) dV
2

• |Ψ(x,y,z)|2 là mật độ xác suất của hạt tại (x,y,z).

1f. Bài tập 1
• Hình bên cho thấy sóng
dừng trong một lò vi ba,
màu xám là nơi sóng điện
từ bằng không, còn màu
trắng và đen là nơi sóng
cực đại.
• Hãy so sánh mật độ photon
ở các vị trí A, B và C trên củ
cà-rốt.


1f. Bài tập 2

1f. Bài tập 1

Hàm sóng của một hạt bị “giam” trong khoảng
từ 0 đến L là Asin(πx/L), A là một hằng số. Xác
suất tìm thấy hạt ở vị trí nào sau đây là lớn
nhất?

• Mật độ hạt (hay xác suất) tỷ
lệ với bình phương biên độ
sóng vật chất (sóng điện từ
đối với photon).
• Biên độ sóng cực đại ở A và
C,
• do đó mật độ photon cũng
cực đại ở A và C.

• Mật độ xác suất:
• w = A2sin2(πx/L)
• Cực trị của w được
cho bởi:
• sin(πx/L)cos(πx/L) =
0
• πx/L = 0, π/2, π
• x = 0, L/2, L
• w cực đại ứng với x =
L/2.
• Câu trả lời đúng là
(b).

(a) L/4
(b) L/2
(c) 3L/4
(d) L

1f. Bài tập 3

1f. Trả lời bài tập 2
Hàm
sóng

Mật độ
xác suất
L/2

Bước sóng De Broglie của một electron được
tăng tốc không vận tốc đầu bởi hiệu điện thế U
bằng:
(a)

h
2meeU

(b)

h
meeU

(c)

2h
2meeU

(d)

h
2 meeU


1f. Trả lời bài tập 3
• Động năng của electron sau khi tăng tốc:

K=

2

p
= eU
2me

• Suy ra động lượng: p = 2meeU
• Vậy bước sóng De Broglie là:

λ=

2. Phương trình Schrödinger
a. Phương trình
Schrödinger tổng quát
b. Phương trình
Schrödinger dừng
c. Hàm sóng của hạt tự do

h
2meeU

• Câu trả lời đúng là (a).
Erwin Schrödinger
1887-1961

2a. Phương trình Schrödinger tổng quát

2b. Phương trình Schrödinger dừng

• Hàm sóng Ψ(x,y,z,t) của một hạt khối lượng m,
chuyển động trong trường có thế năng
U(x,y,z,t) thỏa phương trình Schrödinger tổng
quát:

• Khi thế năng U không phụ thuộc vào thời gian
thì nghiệm của phương trình Schrödinger có
thể viết dưới dạng:


∂Ψ  ℏ2
iℏ
=−
∆ +U Ψ
∂t  2m


i = −1

• trong đó ħ = h/2π, và Δ là Laplacian:

∂2
∂2
∂2
∆= 2 + 2 + 2
∂x ∂y ∂z

Ψ ( x , y , z ,t ) = e

E
−i t


Φ( x , y,z )

• với E là năng lượng của hạt, Φ(x,y,z) là hàm
sóng dừng, thỏa phương trình Schrödinger
dừng:

 ℏ2

 − 2m ∆ + U  Φ = E Φ



∆Φ +

2m
(E −U )Φ = 0
ℏ2


2c. Hàm sóng của hạt tự do − 1
• Phương trình Schrödinger dừng của một hạt tự
do chuyển động theo dọc trục x:

E
−i t


Ψ = Ae

• với E bây giờ là động năng của hạt. Phương
trình này có nghiệm tổng quát là:

k=

2mE p
=
ℏ2


3. Hạt trong giếng thế vô hạn một chiều

a.
b.
c.
d.

• Hàm sóng ứng với số hạng thứ nhất:

Ψ =e

∂ 2Φ 2m
+
EΦ = 0
∂x 2 ℏ2

Φ = Aeikx + Be −ikx

2c. Hàm sóng của hạt tự do − 2

Giếng thế vô hạn một chiều
Năng lượng bị lượng tử hóa
Hàm sóng
Bài tập

⋅ Ae

p
i x


− i (ωt −kx )

= Ae

ω=



i
( Et − px )


E


k=

p


• là một sóng phẳng truyền theo trục x > 0, có tần
số góc ω, vectơ sóng k, và bước sóng phù hợp
với giả thuyết De Broglie:

λ=

2π h
=
k p

3a. Giếng thế vô hạn một chiều
• Hạt chuyển động trong
giếng thế vô hạn một
chiều có thế năng xác
định bởi :

 0 0< x U =
∞ x ≤ 0, x ≥ a
• trong đó a là độ rộng
của giếng thế.

U→∞

0

a

x


3b. Năng lượng bị lượng tử hóa − 1
• Sóng vật chất chuyển động lui tới giữa hai vách
giếng thế, tạo nên sóng dừng.
• Khi đó bề rộng của giếng thế phải là một bội số
của một nửa bước sóng:
n=3

a=n

λ

2

n = 1,2…

• Suy ra động lượng hạt:

p=

h

λ

=

h
h
=n
2a n
2a

3b. Năng lượng bị lượng tử hóa − 2
• Do đó năng lượng của hạt là:

p2
h2
2
En =
=n
2m
8ma2
• Năng lượng hạt đã bị lượng tử hóa.
• Số n được gọi là số lượng tử năng lượng.
• Mức năng lượng thấp nhất, ứng với n = 1, là
khác không, trái với quan niệm cổ điển.

n=2

n=1
a

3b. Năng lượng bị lượng tử hóa − 3

• Phương trình Schrodinger dừng của hạt trong
giếng thế:

U→∞
a = 3(λ/2)
n=4
a = 2(λ/2)

n=3

0

a

∂ 2Φ 2m
+
EΦ = 0
∂x 2 ℏ2
• Phương trình này có nghiệm tổng quát:

n=2

n=1

3c. Hàm sóng − 1

a = λ/2
x

Φ ( x ) = A sin ( kx ) + B cos ( kx )
k = 2mE ℏ = p ℏ


3c. Hàm sóng − 2
• Hàm sóng ở ngoài giếng là bằng không, vì hạt bị
giam trong giếng thế vô hạn.
• Ngoài ra, để hàm sóng biến thiên liên tục thì ở
hai vách giếng nó cũng phải bằng không:

Φ ( 0) = 0,

• Hàm sóng dừng phụ thuộc vào n:

 π 
Φ n ( x ) = A sin  n x 
 a 
• Vì k bị lượng tử hóa nên năng lượng cũng vậy:

Φ (a) = 0

Φ ( 0 ) = A sin ( 0 ) + B cos ( 0 ) = 0 ⇒ B = 0
Φ ( a ) = A sin ( ka ) = 0 ⇒ sin ( ka ) = 0

k = nπ a

3c. Hàm sóng − 3

( ℏk )
=

2

En

h2
ℏ2π 2
2
=n
=n
2m
2ma2
8ma2
2

• Từ điều kiện chuẩn hóa ta tìm được hằng số A:

n = 1,2 …

Φn ( x ) =

3c. Hàm sóng − 4

2
 π 
sin  n x 
a
 a 

3c. Hàm sóng − 5

• Hàm sóng (phụ thuộc thời gian) sẽ là:

Ψ n ( x ,t ) =

2
 E   π 
exp  −i n t  sin  n x 
a
 ℏ   a 

• Mật độ xác suất của hạt (độc lập với thời gian):
2
2
 π 
Ψ n ( x ,t ) = Ψ n ⋅ Ψ n* = sin2  n x 
a
 a 

n=3

n=2

n=1

Hàm sóng dừng

Mật độ xác suất


3d. Bài tập 1
Một vi hạt khối lượng m, chuyển động trên trục x
trong trường thế có dạng hố thế cao vô hạn, bề
rộng a. Khi hạt có năng lượng:

E = 2π 2ℏ2 ma2
thì khả năng tìm thấy hạt là lớn nhất ở tọa độ x
bằng:
(a) a/4 và 3a/4
(b) a/2
(c) a/4
(d) 3a/4

3d. Trả lời bài tập 1






Năng lượng của vi hạt trong hố thế vô hạn:
En = n2π2ħ2/2ma2
Trong trường hợp đang xét:
E = 2π2ħ2/ma2
n = 2, câu trả lời đúng là (a).
n=3
Hàm sóng dừng

Mật độ xác suất

n=2

n=1

3d. Bài tập 2
Xét một vi hạt trong giếng thế cao vô hạn, bề
rộng a. Ở vị trí nào sau đây thì xác suất tìm thấy
hạt ở trạng thái n = 1 và n = 2 là như nhau (trừ
tại hai vách giếng thế):
(a) a/3
(b) 2a/3
(c) (a) và (b) đúng.
(d) (a) và (b) sai.

3d. Trả lời bài tập 2
• Ở vị trí cần tìm mật độ
xác suất của hai trạng
thái là như nhau:
• w1 = w2
• sin2(πx/a) =
sin2(2πx/a)
• cos(πx/a) = ±1/2
• πx/a = π/3, 2π/3
• x = a/3, 2a/3
• Câu trả lời đúng là (c).

w1

w2

a/3

2a/3


3d. Bài tập 3

3d. Trả lời bài tập 3

Một electron trong một giếng thế vô hạn có bề
rộng 2 nm chuyển từ mức có n = 5 xuống mức
có n = 3. Bước sóng của photon phát ra là:
(a) 97,8 nm
(b) 824 nm
(c) 2 nm
(d) 8971 nm

λ=

(

h2
h = E n2 − E n1 = n − n
λ
8ma2
c

(

2
2

2
1

)

• Suy ra bước sóng của photon:

hc
1
8cma2
1
λ= 2
⋅ 2 2=
⋅ 2 2
2
h 8ma n2 − n1
h
n2 − n1

3d. Trả lời bài tập 3 (tt)

)(

−31

8 × 3 ⋅ 10 m / s 9,1 ⋅ 10
8

• Khi electron chuyển từ mức n2 về mức n1 thì nó
phát ra một photon có năng lượng:

)(

4. Hệ thức bất định Heisenberg
−9

kg 2 ⋅ 10 m

6,626 ⋅ 10−34 J ⋅ s

• λ = 824 nm, câu trả lời đúng là (b).

)

2



1
52 − 32

a. Hệ thức bất định của
vị trí và động lượng
b. Ví dụ
c. Hệ thức bất định của
thời gian và năng
lượng
d. Hiệu ứng đường
ngầm
Werner Heisenberg
1901-1976


4a. Bất định của vị trí và động lượng

4b. Ví dụ 1

• Giữa độ bất định (độ chính xác) của tọa độ và
động lượng có hệ thức:

• Một electron có vận tốc bằng 2,05 × 106 m/s,
được đo với độ chính xác là 1,5 %. Tìm Δx.
• Động lượng của electron:

∆x ⋅ ∆px >ɶ h
∆y ⋅ ∆p y >ɶ h

p = mv = (9,11 ⋅ 10−31 kg) ⋅(2,05 ⋅ 106 m s )
= 1,87 ⋅ 10−24 kg.m s

∆z ⋅ ∆pz >ɶ h

• Độ bất định động lượng:

• Không thể xác định được chính xác đồng thời
tọa độ và động lượng của các vi hạt.
• Không thể xác định quỹ đạo vi hạt.

∆p = 1,5%p = 2,80 ⋅ 10−26 kg.m s
h
∆x >ɶ
= 2,4 × 10−8 m = 24nm
∆p x
• Δx ~ 200 lần kích thước nguyên tử !

4b. Ví dụ 2

4b. Ví dụ 3

• Electron trong nguyên tử có Δx ~ kích thước
của nguyên tử, tức là 0,1 nm. Tìm Δp.

• Một quả banh golf có khối lượng 45 g đang bay
với vận tốc 35 m/s. Vận tốc được đo với độ
chính xác là 1,5 %. Tìm Δx.
• Làm tương tự như trong Ví dụ 1, ta suy ra độ
bất định về vị trí của quả banh:

h 6,626 ⋅ 10−34 J ⋅ s
∆px >ɶ
=
= 6,626 ⋅ 10−24 kg.m s
−9
0,1 ⋅ 10 m
∆x
• Electron trong nguyên tử có động năng vào
khoảng 1 eV, do đó có động lượng :

(

)(

px = 2mK = 2 ⋅ 9,11 ⋅ 10−31 kg ⋅ 1,6 ⋅ 10−19 J
= 5,4 × 10−25 kg. m s
• Δp ~ 10 p !

)

∆x >ɶ 3 × 10−32 m
• Độ bất định này rất nhỏ: với các vật vĩ mô vẫn
xác định được chính xác đồng thời vị trí và
động lượng.


4b. Ví dụ 4

4c. Bất định của thời gian và năng lượng

• Bó sóng là tổ hợp tuyến tính của nhiều sóng
hình sin có động lượng rất gần nhau.
• Phân bố của động lượng càng rộng (Δp lớn),
• thì bó sóng càng hẹp (Δx nhỏ).

• Gọi Δt là thời gian hạt tồn tại ở một trạng thái;
• ΔE là độ bất định của năng lượng hạt ở trạng
thái đó.
• Giữa chúng có hệ thức:

∆t ⋅ ∆E >ɶ h
• Độ bất định năng lượng của một trạng thái
càng lớn thì thời gian tồn tại của trạng thái đó
càng ngắn.
• Do đó một bó sóng không thể tồn tại lâu.

4d. Hiệu ứng đường ngầm – 1

4d. Hiệu ứng đường ngầm – 2

• Xét một hạt bị giam trong giếng thế có độ sâu U.
• Giả sử trạng thái hạt là không bền, chỉ tồn tại
trong thời gian rất ngắn Δt ≈ h/U .
• Trong khoảng thời gian đó độ bất định năng
lượng của hạt là :

∆E >ɶ

h
h
=
=U
∆t h U

• Hạt có độ bất định năng lượng lớn hơn độ sâu
giếng thế, do đó có thể thoát ra khỏi giếng thế!

ΔE
U
E


4d. Hiệu ứng đường ngầm – 3
• Hiệu ứng cũng xảy ra đối
với một rào thế (hay
tường thế). Hạt có thể
chui qua rào dù có năng
lượng nhỏ hơn chiều cao
của rào thế.
• Xác suất vượt rào (hệ số
truyền qua) là:

5. Scanning Tunneling Microscope
U0

E

0

a

 2a

D ≈ exp −
2m (U0 − E ) 
 ℏ


• Minh họa.

x

Khi quét trên bề
mặt mẫu đầu
kim được kéo
lên hay hạ xuống
thấp để giữ cho
dòng e- chui
ngầm không đổi.
Độ cao của đầu
kim được hiển
thị trên màn
hình, đó chính là
hình ảnh bề mặt
mẫu.

Minh họa



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×