Tải bản đầy đủ

PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
—————————

NGÔ THỊ THO

PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
—————————

NGÔ THỊ THO

PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN

BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH

Chuyên ngành: Toán ứng dụng.
Mã số: 60460112.

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU

Hà Nội - 2015


Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Chương 1. Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1. Hội tụ mạnh và yếu trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2. Toán tử chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3. Tính liên tục của hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.4. Đạo hàm và dưới vi phân của hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2. Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Các ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3. Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


18
18
20
26

Chương 2. Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn
điệu mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1. Phương pháp chiếu dưới đạo hàm tăng cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.2. Phương pháp chiếu cơ bản cải biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

1


LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn GS.TSKH Lê Dũng Mưu. Thầy là người
đã hướng dẫn khóa luận tốt nghiệp và nay là hướng dẫn luận văn thạc sĩ cho em. Hai
chặng đường đã qua, thầy luôn tận tình hướng dẫn và chỉ bảo nghiêm khắc, thầy cũng
cung cấp nhiều tài liệu quan trọng cũng như giành nhiều thời gian giải đáp những
thắc mắc trong suốt quá trình làm việc cùng thầy.
Em xin gửi tới các thầy, cô trong Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa
Học Tự Nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã giảng dạy lớp Cao
học Toán khóa 2013 - 2015, lời cảm ơn chân thành đối với công lao dạy dỗ của các
thầy, các cô trong hai năm qua. Đặc biệt, em muốn gửi lời cảm ơn tới các thầy dạy
chuyên ngành nhóm Toán Ứng Dụng. Mặc dù nhóm chỉ có tám thành viên nhưng các
thầy luôn lên lớp với cả nhiệt huyết và những chuyên đề hay, sâu sắc.
Cuối cùng em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, các bạn, các anh, các chị của lớp
cao học Toán khóa 2013 - 2015 và giành riêng lời cảm ơn cho gia đình Toán Ứng
Dụng. Là em út của nhóm, nên luôn được mọi người quan tâm nhiều hơn. Thời gian
học cùng các anh chị đã cho em những kỷ niệm đẹp, được học những điều hay cũng
như những kiến thức thú vị.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi những thiếu sót.
Em mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy, cô và bạn đọc để luận văn được
hoàn thiện hơn.
Hà Nội, ngày 3 tháng 10 năm 2015
Học viên

Ngô Thị Tho

2


LỜI MỞ ĐẦU

Năm 1966, Hatman và Stampacchia đã công bố những nghiên cứu đầu tiên của
mình về bài toán bất đẳng thức biên phân, liên quan tới việc giải các bài toán biến
phân, bài toán điều kiển tối ưu và các bài toán biên có dạng của phương trình đạo
hàm riêng. Năm 1980, Kinderlehrer và Stampacchia cho xuất bản cuốn sách "An
Introduction to Variational Inequalities and Their Applications", giới thiệu bài toán
biến phân trong không gian vô hạn chiều và ứng dụng của nó. Năm 1984, cuốn
sách "Variational and Quasivariational Inequalities: Applications to Free Boundary
Problems" của C. Baiocci và A. Capelo đã áp dụng bất đẳng thức biến phân và tựa
biến phân để giải các bài toán không có biên.
Hiện nay bài toán bất đẳng thức biến phân đã phát triển thành nhiều dạng khác
nhau,như là: bất đẳng thức biến phân vectơ, tựa bất đẳng thức biến phân, giả bất đẳng
thức biến phân, bất đẳng thức biến phân ẩn, bất đẳng thức biến phân suy rộng.... Bài
toán này đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Vì mô hình của nó
chứa nhiều bài toán quan trọng của một số lĩnh vực trong toán học cũng như thực tế
như tối ưu hóa, bài toán bù, lý thuyết trò chơi, cân bằng Nash, cân bằng mạng giao
thông, cân bằng di trú....
Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của bất đẳng thức biến phân là
việc xây dựng các phương pháp giải. Dựa trên tính chất của kiểu đơn điệu G. Cohen
đã nghiên cứu phương pháp nguyên lý bài toán phụ. Ngoài ra còn có phương pháp
hiệu chỉnh Tikhonov, phương pháp chiếu, phương pháp điểm trong. Những phương
pháp này khá hiệu quả, dễ thực hiện trên máy tính nhưng sự hội tụ của chúng chỉ
được đảm bảo trên cơ sở các giả thiết khác về tính chất đơn điệu.
Có nhiều phương pháp chiếu khác nhau, như là: phương pháp chiếu cơ bản,
phương pháp chiếu dưới đạo hàm, và phương pháp chiếu siêu phẳng. Mỗi phương
pháp giải quyết một lớp các bài toán bất đẳng thức biến phân nhất định. Do đó sự hội
tụ của thuật toán được đảm bảo.
Luận văn trình bày phương pháp chiếu dưới đạo hàm tăng cường và chiếu cơ bản
cải biên để giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh. Các phương
pháp này tạo ra một dãy hội tụ của các điểm lặp dễ dàng tính được. Chúng đều hội tụ
3


tới nghiệm duy nhất của bài toán.
Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Bài toán bất đẳng thức biến phân, được
chia làm hai phần:
• Phần 1: Nhắc lại một số kiến thức trong Giải tích hàm và Giải tích lồi, như là:
hội tụ mạnh và yếu trong không gian Hilbert, toán tử chiếu, tính liên tục của
hàm lồi, đạo hàm và dưới vi phân của hàm lồi.
• Phần 2: Phát biểu bài toán, trình bày một số khái niệm và mô hình minh họa
cho bài toán. Sau đó, chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài
toán.
Chương 2: Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu
mạnh.
Nội dung chính của chương là trình bày hai thuật toán chiếu dưới đạo hàm tăng cường
và thuật toán chiếu cơ bản cải biên để giải bài toán V I(K, F). Phát biểu và chứng minh
các định lý về sự hội tụ của dãy lặp tạo bởi các thuật toán đó. Đưa ra một số ví dụ
chứng minh rằng các điều kiện của định lý tồn tại nghiệm là cần thiết. Nếu bỏ đi một
trong các điều kiện đó, dãy lặp sẽ không hội tụ tới nghiệm duy nhất của bài toán.

4


Chương 1

Bài toán bất đẳng thức biến
phân
Trong chương này, chúng ta sẽ nhắc lại một số kết quả của Giải tích hàm có liên
quan tới sự hội tụ mạnh và hội tụ yếu của một dãy số. Nhắc lại một số khái niệm và
định lý cơ bản của Giải tích lồi, như là: định nghĩa và tính chất của toán tử chiếu, tính
liên tục, đạo hàm và dưới vi phân của một hàm lồi, Định lý tách, Định lý MoreauRockafellar. Phần sau ta sẽ giới thiệu bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) và nhấn
mạnh bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh. Chỉ ra các ví dụ về bài
toán bất đẳng thức biến phân thường gặp trong thực tế cũng như trong các mô hình
toán học. Cuối chương phát biểu và chứng minh định lý về sự tồn tại và tính duy nhất
nghiệm của bài toán. Nội dung chủ yếu được trích dẫn từ tài liệu [1], [2], [3], [6],
[10].
Trong luận văn này, chúng ta sẽ làm việc trên không gian Hilbert thực trang bị
một tô pô yếu, với tích vô hướng ., . và chuẩn tương ứng của nó là ||.||.

5


1.1.

Kiến thức chuẩn bị

1.1.1.

Hội tụ mạnh và yếu trong không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.1. Giả sử H là không gian tuyến tính thực, với mọi x ∈ H xác định
một số gọi là chuẩn của x ( kí hiệu ||x||) thỏa mãn ba tiên đề sau:
1. Xác định dương: ∀x ∈ H

||x|| ≥ 0;

||x|| = 0 ⇔ x = 0.

2. Thuần nhất dương: ∀x ∈ H; ∀λ ∈ R
3. Bất đẳng thức tam giác: ∀x, y ∈ H

||λ x|| = |λ | ||x||.
||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.

Định nghĩa 1.1.2. Giả sử H là không gian tuyến tính thực, cặp (H, , ) với
, : H ×H → R
(x, y) → x, y
thỏa mãn các điều kiện:
1. Xác định dương: x, x ≥ 0 ∀x ∈ H;

x, x = 0 ⇔ x = 0.

2. Đối xứng: x, y = y, x ∀x, y ∈ H.
3. Song tuyến tính: αx + β y, z = α x, z + β y, z ∀α, β ∈ R,
∀x, y, z ∈ H.
được gọi là không gian tiền Hilbert.
Không gian tiền Hilbert, đầy đủ được gọi là không gian Hilbert, kí hiệu là H.
Ví dụ 1.1.1.
1. H = Rn ; x = (x1 , x2 , · · · , xn ); y = (y1 , y2 , · · · , yn ) ∈ H tích vô hướng và chuẩn
trên Rn được xác định bởi
n

x, y = ∑ xi yi ,
i=1

n

||x|| =

∑ xi2 .

i=1

6


2. H = C[a,b] là không gian các hàm liên tục. Khi đó với mọi x, y ∈ H tích vô
hướng chuẩn được xác định bởi
b

x, y =

x(t)y(t)dt,
a
b

|x(t)|2 dt.

||x|| =
a

Giả sử H là không gian Hilbert thực, H ∗ là không gian đối ngẫu của H và f ∈ H ∗ .
Kí hiệu ϕ f : H → R là các phiếm hàm tuyến tính ϕ f (x) = f (x). Khi f chạy khắp H ∗
ta có một họ ánh xạ (ϕ f ) f ∈H ∗ .
Định nghĩa 1.1.3. Tô pô yếu trên H được định nghĩa bởi tô pô sinh bởi họ ánh xạ
(ϕ f ) f ∈H ∗ . Kí hiệu σ (H, H ∗ ).
Như vậy tô pô yếu σ (H, H ∗ ) là tô pô yếu nhất trên H đảm bảo cho tất cả các
phiếm hàm f ∈ H ∗ đều liên tục.
Định nghĩa 1.1.4. 1) Ta nói dãy {xk } hội tụ mạnh đến x ( kí hiệu xk → x) nếu
lim ||xk − x|| = 0.

k→∞

2) Dãy {xk } hội tụ yếu đến x ( kí hiệu xk
tức là
∀ f ∈ H∗

x) nếu {xk } hội tụ về x theo tô pô yếu σ
f (xk ) → f (x).

Mệnh đề 1.1.1. Giả sử {xk } ⊂ H và { fk } ⊂ H ∗ . Khi đó
a) xk

x ⇔ xk , y → x, y , ∀y ∈ H.

b) Nếu xk → x thì xk

x.

c) Nếu xk

x thì {xk } bị chặn và ||x|| ≤ limk→∞ ||xk ||.

d) Nếu xk

x và lim ||xk || ≤ ||x|| thì xk → x.

e) Nếu xk

x và fk → f thì fk (xk ) → f (x).

k→∞

Khi H là không gian hữu hạn chiều thì tô pô yếu và tô pô thông thường trên H
trùng nhau. Đặc biệt, một dãy hội tụ mạnh khi và chỉ khi nó hội tụ yếu.
7


1.1.2.

Toán tử chiếu

Định nghĩa 1.1.5. Cho H là một không gian Hilbert thực, tập C ⊆ H được gọi là
• tập lồi nếu: ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1] ⇒ λ x + (1 − λ )y ∈ C,
• nón nếu: ∀λ > 0, ∀x ∈ C ⇒ λ x ∈ C,
• nón lồi nếu nó vừa là một nón vừa là một tập lồi.

Hình 1.1: tập lồi, nón, nón lồi

Mệnh đề 1.1.2. Giả sử A, B là các tập lồi trong không gian Hilbert thực H, thì các
tập sau là tập lồi:
A ∩ B :={x | x ∈ A, x ∈ B},
αA + β B :={x | x = αa + β b, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈ R},
A × B :={x | x = (a, b), a ∈ A, b ∈ B}.
Định nghĩa 1.1.6. Siêu phẳng trong không gian Hilbert thực H là một tập hợp các
điểm có dạng
{x ∈ H | a(x) = α},
trong đó a ∈ H ∗ là một phiếm hàm tuyến tính và α ∈ R.
Một siêu phẳng sẽ chia không gian ra hai nửa không gian. Nửa không gian được
định nghĩa như sau:
8


Định nghĩa 1.1.7. Cho a ∈ H là một phiếm hàm tuyến tính và α ∈ R. Tập
{x | a(x) ≥ α},
được gọi là nửa không gian đóng và tập
{x | a(x) > α},
gọi là nửa không gian mở.
Định nghĩa 1.1.8. Cho hai tập C và D khác rỗng, ta nói siêu phẳng a(x) = α tách
C và D nếu
a(x) ≤ α ≤ a(y), ∀x ∈ C, y ∈ D.
Ta nói siêu phẳng a(x) = α tách chặt C và D nếu
a(x) < α < a(y), ∀x ∈ C, y ∈ D.
Ta nói siêu phẳng a(x) = α tách mạnh C và D nếu
sup a(x) < α < inf a(y).
y∈D

x∈C

Định lý 1.1.1. (Định lý tách 1) Cho C và D là hai tập lồi khác rỗng trong không
gian Hilbert thực H sao cho C ∩ D = 0.
/ Khi đó có một siêu phẳng tách C và D.
Định lý 1.1.2. (Định lý tách 2) Cho C và D là hai tập lồi đóng khác rỗng trong
không gian Hilbert thực H sao cho C ∩ D = 0.
/ Giả sử có một tập compăc. Khi đó hai
tập C và D có thể tách mạnh bởi một siêu phẳng.
Định nghĩa 1.1.9. Giả sử C là một tập lồi, khác rỗng trong không gian Hilbert thực
H và x0 ∈ C.
1. Nón pháp tuyến (ngoài) của C tại x0 kí hiệu là NC (x0 ) được định nghĩa bởi:
NC (x0 ) := {ω ∈ H| ω T (x − x0 ) ≤ 0

∀x ∈ C}.

Tập −NC (x0 ) được gọi là nón pháp tuyến (trong) của C tại x0 .
2. Nón pháp tuyến ε của C tại x0 được định nghĩa bởi:
NCε (x0 ) := {ω ∈ H| ω T (x − x0 ) ≤ ε
9

∀x ∈ C}.


Hiển nhiên 0 ∈ NC (x0 ) và từ định nghĩa trên ta thấy NC (x0 ) là một nón lồi đóng.
Định nghĩa 1.1.10. Giả sử C = 0/ (không nhất thiết lồi) là một tập con của không
gian Hilbert H và y là một véc-tơ bất kỳ, khoảng cách từ y đến C được định nghĩa bởi
dC (y) := inf ||x − y||.
x∈C

Nếu tồn tại π ∈ C sao cho dC (y) := ||π − y||, thì ta nói π là hình chiếu (khoảng cách)
của y trên C, kí hiệu π = pC (y).

Hình 1.2: Hình chiếu khoảng cách
Theo định nghĩa, ta thấy rằng hình chiếu pC (y) của y trên C sẽ là nghiệm của bài
toán tối ưu
1
min
||x − y||2 | x ∈ C .
x
2
Nói cách khác, việc tìm hình chiếu khoảng cách của y trên C có thể đưa về việc tìm
cực tiểu của hàm toàn phương ||x − y||2 trên C. Chú ý rằng, nếu C = 0,
/ thì dC (y) hữu
hạn, vì 0 ≤ dC (y) ≤ ||x − y||, ∀x ∈ C.
Mệnh đề 1.1.3. Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng. Khi đó:
1. Với mọi y ∈ H, π ∈ C hai tính chất sau là tương đương:
a) π = pC (y),
b) y − π ∈ NC (π).
2. Với mọi y ∈ H, hình chiếu pC (y) của y trên C luôn tồn tại và duy nhất.
10


3. Nếu y ∈
/ C, thì pC (y) − y, x − pC (y) = 0 là siêu phẳng tựa của C tại pC (y)
và tách hẳn y khỏi C, tức là
pC (y) − y, x − pC (y) ≥ 0

∀x ∈ C,


pC (y) − y, y − pC (y) < 0.
4. Ánh xạ y → pC (y) có các tính chất sau:
a) ||pC (x) − pC (y)|| ≤ ||x − y|| ∀x, ∀y. (tính không giãn),
b) pC (x) − pC (y), x − y ≥ ||pC (x) − pC (y)||2 , (tính đồng bức).
Chứng minh.
1. giả sử π = pC (y). Lấy x ∈ C và λ ∈ (0, 1). Đặt
xλ := λ x + (1 − λ )π.
Do x, π ∈ C và C lồi, nên xλ ∈ C. Hơn nữa do π là hình chiếu của y nên
||π − y|| ≤ ||y − xλ ||. Hay
||π − y||2 ≤ ||(π − y) + λ (x − π)||2 .
Khai triển vế phải, ước lược và chia hai vế cho λ > 0, ta có
λ ||x − π||2 + 2 π − y, x − π ≥ 0.
Điều này đúng với mọi x ∈ C và λ ∈ (0, 1). Do đó khi cho λ → 0, ta được
π − y, x − π ≥ 0, ∀x ∈ C.
Vậy y − π ∈ NC (π).
Giả sử ngược lại y − π ∈ NC (π). Với mọi x ∈ C, có
0 ≥ (y − π)T (x − π) = (y − π)T (x − y + y − π)
= ||y − π||2 + (y − π)T (x − y).
Dùng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz ta có:
||y − π||2 ≤ (y − π)T (y − x) ≤ ||y − π||.||y − x||.
Suy ra ||y − π|| ≤ ||y − x|| ∀x ∈ C, và do đó π = pC (y.)
11


2. Sự tồn tại. Do dC (y) := infx∈C ||x−y||, nên theo định nghĩa của cận dưới đúng,
tồn tại một dãy xk ∈ C sao cho
lim ||xk − y|| = dC (y) < +∞.
k

Vậy dãy {xk } bị chặn, do đó nó có một dãy con {xk j } hội tụ yếu đến một điểm
π nào đó. Do C lồi, đóng, nên π ∈ C. Vậy
||π − y|| = lim ||xk j − y|| = lim ||xk − y|| = dC (y).
j

k

Chứng tỏ π là hình chiếu của y trên C.
Tính duy nhất. Giả sử π và π 1 là hình chiếu của y trên C, thì
y − π ∈ NC (π), y − π 1 ∈ NC (π 1 ).
Tức là
π − y, π 1 − π ≥ 0,
π 1 − y, π − π 1 ≥ 0.
Cộng hai vế của đẳng thức này ta suy ra ||π − π 1 ||2 ≤ 0, và do đó π = π 1 .
3. Do y − π ∈ NC (π), nên
π − y, x − π ≥ 0

∀x ∈ C.

Vậy π − y, x = π − y, π là một siêu phẳng tựa của C tại π. Siêu phẳng này
tách y khỏi C vì y = π, nên
π − y, y − π = −||π − y||2 < 0.
4. Theo phần (2) ánh xạ x → pC (y) xác định khắp nơi. Do z − pC (z) ∈ NC (pC (z))
với mọi z, nên áp dụng với z = x và z = y, ta có:
x − pC (x), pC (y) − pC (x) ≤ 0
y − pC (y), pC (x) − pC (y) ≤ 0.
Cộng hai bất đẳng thức lại ta được
pC (y) − pC (x), pC (y) − pC (x) + x − y ≤ 0.
12


Theo bất đẳng thức Cauchy- Schwarz ta suy ra
||pC (x) − pC (y)|| ≤ ||x − y||.
Để chứng minh tính đồng bức, áp dụng tính chất (b) của (1), lần lượt với pC (x)
và pC (y), ta có:
pC (x) − x, pC (x) − pC (y) ≤ 0,
y − pC (y), pC (x) − pC (y) ≤ 0.
Cộng hai bất đẳng thức ta được
pC (x) − pC (y) + y − x, pC (x) − pC (y)
= pC (x) − pC (y), y − x + ||pC (x) − pC (y)||2 ≤ 0.
Chuyển vế ta có
pC (x) − pC (y), x − y ≥ ||pC (x) − pC (y)||2 .
Suy ra điều phải chứng minh.
Hệ quả 1.1.1. Cho C ⊂ H là một tập lồi, đóng. Với x ∈ H và y ∈ C bất kỳ,
||y − PC (x)||2 ≤ ||x − y||2 − ||x − PC (x)||2 .
Chứng minh. Cho x ∈ H và y ∈ C, ta có
||x − y||2 =||(x − PC (x)) − (y − PC (x))||2
=||x − PC (x)||2 + ||y − PC (x)||2 − 2 x − PC (x), y − PC (x) .
Do x − PC (x), y − PC (x) ≤ 0, suy ra
||x − y||2 ≥ ||x − PC (x)||2 + ||y − PC (x)||2 .
Hệ quả được chứng minh.
Toán tử chiếu là một công cụ hữu hiệu nhằm giải bài toán cân bằng và các trường
hợp đặc biệt của nó như: Bài toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, điểm bất động,
bài toán điểm yên ngựa.... Trong luận văn này, ta sẽ vận dụng giải quyết bài toán bất
đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh.

13


1.1.3.

Tính liên tục của hàm lồi

Cho C ⊆ H là tập lồi và f : C → R ∪ {+∞}, ta sẽ kí hiệu:
dom f := {x ∈ C : f (x) < +∞}.
Tập dom f được gọi là miền hữu dụng của tập f. Tập
epi f := {(x, µ) ∈ C × R : f (x) ≤ µ},
được gọi là trên đồ thị của hàm f.
Hàm f gọi là chính thường nếu dom f = 0/ và f (x) > −∞ với mọi x ∈ dom f .
Định nghĩa 1.1.11. Hàm f được gọi là lồi nếu epi f là một tập lồi. Hàm f là hàm lõm
nếu − f là hàm lồi. Nếu f vừa lồi vừa lõm thì ta nói f là hàm afin.

Hình 1.3: Hàm lồi
Tính chất 1.1.1. Cho C ⊂ H là một tập lồi, khác rỗng. Hàm f : H → R ∪ {+∞} được
gọi là
i) lồi trên C nếu:
f (λ x + (1 − λ )y) ≤ λ f (x) + (1 − λ ) f (y), ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1],
ii) lồi thực sự (chặt) trên C nếu:
f (λ x + (1 − λ )y) < λ f (x) + (1 − λ ) f (y), ∀x, y ∈ C, x = y, λ ∈ (0, 1),
14


iii) lồi mạnh trên C nếu:
1
f (λ x + (1 − λ )y) ≤ λ f (x) + (1 − λ ) f (y) − β λ (1 − λ )||x − y||2
2
với hệ số β > 0, nếu ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1].
Mệnh đề 1.1.4. Cho C là một tập lồi trong không gian Hilbert thực H. Khi đó:
1. Nếu f và g là các hàm lồi trên C thì f + g cũng là hàm lồi trên C. Nếu f hoặc
g là hàm lồi thực sự thì f + g cũng là hàm lồi thực sự.
2. Nếu f là hàm lồi (lồi thực sự) trên C, λ là một số thực dương thì λ f là một
hàm lồi (lồi thực sự) trên C.
3. Nếu f là hàm lồi (lồi thực sự) trên C, B là tập con lồi của C thì hạn chế f |B
của hàm f trên C cũng là một hàm lồi (lồi thực sự) trên C.
Định nghĩa 1.1.12. Một điểm x ∈ C được gọi là điểm trong tương đối của C nếu nó
là điểm trong của C theo tô-pô cảm sinh bởi aff(C) (tập afin nhỏ nhất chứa C). Tập
hợp các điểm trong tương đối của C ký hiệu là riC.
Định nghĩa 1.1.13. Cho f : H → R, hàm f được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 ∈ H
nếu
∀{xk } ⊂ H : xk → x0 ⇒ limk→∞ f (xk ) ≥ f (x0 ).
Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên D ⊆ H nếu nó liên tục dưới tại mọi x ∈ D.
Hàm f là nửa liên tục trên nếu − f là nửa liên tục dưới. Nếu hàm f vừa liên tục trên
vừa liên tục dưới thì nó liên tục.
Định nghĩa 1.1.14. Một hàm số thực f được gọi là tựa lồi trên tập lồi C nếu mọi số
thực β tập mức dưới
{x ∈ C | f (x) ≤ β }
lồi. Tương tự, hàm f là tựa lõm trên C nếu − f là hàm tựa lồi trên C.
Nếu f tựa lồi trên C thì ∀x, y ∈ C và λ ∈ [0, 1] ta có
f (λ x + (1 − λ )y) ≤ max( f (x), f (y)).
Tương tự, nếu f tựa lõm trên C thì ∀x, y ∈ C và λ ∈ [0, 1] ta có
f (λ x + (1 − λ )y) ≥ min( f (x), f (y)).
15


Định lý 1.1.3. Giả sử f là hàm lồi chính thường trên H và x0 ∈ H. Khi đó, các khẳng
định sau là tương đương:
a) f liên tục tại điểm x0 .
b) f bị chặn trên trong một lân cận của x0 .
c) int(epi f ) = 0.
/
d) int(dom f ) = 0.
/ và f liên tục trong int(dom f ).
trong đó intC là kí hiệu phần trong của tập C.

1.1.4.

Đạo hàm và dưới vi phân của hàm lồi

Tính khả vi của hàm lồi đóng vai trò quan trọng trong các phương pháp tối ưu
hóa. Lớp các hàm lồi có những tính chất rất đẹp mà các lớp hàm khác không có. Giả
sử f : H → R là hàm lồi. Ta có các khái niệm sau
Định nghĩa 1.1.15. Vectơ ω ∈ H ∗ được gọi là dưới đạo hàm của f tại x0 ∈ H nếu:
ω, x − x0 ≤ f (x) − f (x0 ), ∀x ∈ H.
Tập hợp tất cả các dưới đạo hàm của hàm f tại x0 được gọi là dưới vi phân của hàm
f tại x0 , kí hiệu là
∂ f (x0 ) := {ω ∈ H ∗ : ω, x − x0 ≤ f (x) − f (x0 ), ∀x ∈ H}.
Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x0 nếu ∂ f (x0 ) = 0.
/
Định nghĩa 1.1.16. Cho ε > 0, một vectơ ω ∈ H ∗ được gọi là ε-dưới đạo hàm của
f tại x0 ∈ H nếu:
ω, x − x0 ≤ f (x) − f (x0 ) + ε, ∀x ∈ H.
Tập hợp tất cả các ε-dưới đạo hàm của hàm f tại x0 được gọi là ε-dưới vi phân của
hàm f tại x0 , kí hiệu là
∂ε f (x0 ) := {ω ∈ H ∗ : ω, x − x0 ≤ f (x) − f (x0 ) + ε, ∀x ∈ H}.
Hàm f được gọi là ε-khả dưới vi phân tại x0 nếu ∂ε f (x0 ) = 0.
/

16


Mệnh đề 1.1.5.

1. ∀α ≥ 0 ta có ∂ (α f )(x) = α∂ f (x).

2. Giả sử f là một hàm lồi, h(x) = f (Ax + b). Khi đó
∂ h(x) = AT ∂ f (Ax + b).
Mệnh đề 1.1.6. (Định lý Moreau-Rockafellar). Cho fi , i = 1, 2, · · · , n là các hàm lồi
chính thường trên H. Khi đó
n

n

∑ ∂ fi (x) ⊆ ∂ ( ∑ fi (x)), ∀x ∈ H.

i=1

i=1

n

n

Nếu ∩ri(dom fi ) = 0/ thì

∑ ∂ fi (x) = ∂ ( ∑ fi (x)), ∀x ∈ H.

i=1

i=1

Định nghĩa 1.1.17. Giả sử x ∈ H, d ∈ H\{0}, hàm f được gọi là:
a) Khả vi Frechet tại x0 nếu tồn tại ω ∈ H ∗ sao cho
f (x) − f (x0 ) − ω, x − x0
lim
= 0, ∀x ∈ H.
||x − x0 ||
x→x0
Một điểm ω như thế nếu tồn tại, sẽ duy nhất và được gọi là đạo hàm của f tại
x0 , kí hiệu là f (x0 ) hoặc ∇ f (x0 ).
b) Có đạo hàm theo hướng d tại x0 nếu tồn tại giới hạn
f (x0 + td) − f (x0 )
.
lim
t
t→0+
ta gọi giới hạn đó là đạo hàm theo hướng d của f tại x0 , kí hiệu là f (x0 , d).
Định lý 1.1.4. Giả sử f là hàm lồi chính thường trên H và x ∈ dom f . Khi đó
a) f có đạo hàm theo mọi hướng tại x và
f (x, d) = inf

λ >0

f (x + λ d) − f (x)
.
λ

b) x∗ ∈ ∂ f (x) ⇔ f (x, d) ≥ x∗ , d , ∀d ∈ H.
c) ∂ f (x) = 0/ ⇔ f nửa liên tục dưới tại 0.
d) Nếu f khả vi tại x ∈ H thì ∂ f (x) = f (x).
Nói chung một hàm lồi không nhất thiết khả vi tại mọi điểm. Dưới vi phân là một
khái niệm mở rộng của đạo hàm trong trường hợp hàm không khả vi. Trong trường
hợp ∂ f (x∗ ) chỉ gồm duy nhất một điểm thì f khả vi tại x∗ .
17


1.2.

Bài toán bất đẳng thức biến phân

1.2.1.

Các khái niệm

Định nghĩa 1.2.1. Cho K ⊂ H là một tập đóng, khác rỗng, F : K → H là một ánh xạ
đơn trị. Bài toán bất đẳng thức biên phân (đơn trị) là bài toán
Tìm x∗ ∈ K sao cho F(x∗ ), y − x∗ ≥ 0, ∀y ∈ K.

(VIP)

Tập nghiệm của bài toán kí hiệu là S(K, F).
Định nghĩa 1.2.2. Giả sử K ⊂ H là một tập lồi đóng, khác rỗng và toán tử F : K → H
được gọi là
a) đơn điệu mạnh trên K nếu tồn tại γ > 0 sao cho
F(x) − F(y), x − y ≥ γ||x − y||2

∀x, y ∈ K,

b) đơn điệu trên K nếu
F(x) − F(y), x − y ≥ 0

∀x, y ∈ K,

c) giả đơn điệu mạnh trên K nếu tồn tại γ > 0 sao cho
F(x), y − x ≥ 0 ⇒ F(y), y − x ≥ γ||y − x||2

∀x, y ∈ K,

d) giả đơn điệu trên K nếu
F(x), y − x ≥ 0 ⇒ F(y), y − x ≥ 0

∀x, y ∈ K.

Theo định nghĩa trên các kéo theo (a) ⇒ (b), (a) ⇒ (c), (c) ⇒ (d), (b) ⇒ (d), là
hiển nhiên.
Chú ý rằng một toán tử giả đơn điệu mạnh có thể không đơn điệu.
Ví dụ 1.2.1.
Cho 0 < r < R, đặt K = B(r) := {x ∈ H : ||x|| ≤ r} và F được cho bởi
F(x), y − x := K(x), y − x + (R − ||x||) G(x), y − x .
Trong đó K và G thỏa mãn các điều sau:
18


i)

K(x), y − x ≤ 0, ∀x, y ∈ K và G là β −đơn điệu mạnh trên K,

ii)

 K(0), y0 + K(y0 ), −y0 = 0
0
∃y ∈K:
R G(0), y0 + (R − ||y0 ||) G(y0 ), −y0 > 0
Giả sử F(x), y − x ≥ 0, do K(x), y − x ≤ 0 nên ta có: G(x), y − x ≥ 0. Suy ra
G(y), x−y ≤ −β ||y−x||2 (do G là đơn điệu mạnh). Theo định nghĩa của F(x), y−
x ta có: ∀x, y ∈ K,
F(y), x − y = K(y), x − y + (R − ||y||) G(y), x − y ≤ −(R − r)β ||y − x||2 .
Suy ra F giả đơn điệu mạnh trên K. Hơn nữa theo (ii) ta có:
F(0), y0 + F(y0 ), −y0 = K(0), y0 + R G(0), y0 +
+ K(y0 ), −y0 + (R − ||y0 ||) G(y0 ), −y0 > 0.
Do đó F không đơn điệu.
Định nghĩa 1.2.3. Giả sử toán tử F là toán tử giả đơn điệu mạnh thì bài toán bất
đẳng thức biến phân (VIP) trở thành bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu
mạnh. Kí hiệu là VI(K, F).
Mệnh đề 1.2.1. Cho K ⊂ H là một tập lồi đóng và toán tử F : K → H liên tục.
a) Nếu F giả đơn điệu mạnh thì VI(K, F) nếu có thì có duy nhất một nghiệm.
b) Nếu F giả đơn điệu thì S(K, F) là một tập lồi.
Chứng minh. Giả sử F là toán tử giả đơn điệu mạnh và u∗ , v∗ ∈ S(K, F), thì
F(v∗ ), u∗ − v∗ ≥ 0 và F(v∗ ), v∗ − u∗ ≥ γ||v∗ − u∗ ||2 . Cộng từng vế của hai bất
đẳng thức ta được γ||v∗ − u∗ ||2 ≤ 0. Suy ra u∗ = v∗ .
Cho F liên tục và giả đơn điệu. Để chứng minh S(K, F) là một tập lồi ta chỉ cần
chứng minh rằng
{u∗ ∈ K : F(u), u − u∗ ≥ 0}.

S(K, F) =
u∈K

Thật vậy, nếu u∗ ∈ S(K, F) thì F(u∗ ), u − u∗ ≥ 0 với mọi u ∈ K. Do hàm F giả đơn
điệu nên F(u), u − u∗ ≥ 0 với mọi u ∈ K. Do vậy u∗ thuộc vế phải của đẳng thức
19


trên. Ngược lại, giả sử u∗ ∈
u

= τu∗ + (1 − τ)v

{u∗ ∈ K : F(u), u − u∗ ≥ 0}. Cho u ∈ K tùy ý, vectơ
u∈K

∈ K với mọi τ ∈ (0, 1), u∗ , v ∈ K. Do đó, ta có:
F(τu∗ + (1 − τ)v), u − u∗ ≥ 0, ∀τ ∈ (0, 1).

Cho τ → 1 thì F(u∗ ), u − u∗ ≥ 0. Do đó, u∗ ∈ S(K, F). Vì với mỗi u ∈ K, tập
{u∗ ∈ K : F(u), u − u∗ ≥ 0} là lồi và giao của các tập lồi là một tập lồi nên S(K, F)
là một tập lồi. Mệnh đề được chứng minh.
Định nghĩa 1.2.4. Ánh xạ F được gọi là liên tục Lipschitz trên K nếu tồn tại hằng số
L > 0 sao cho:
||F(u) − F(v)|| ≤ L||u − v||, ∀u, v ∈ K.
PK (.) là một ánh xạ liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz L=1.

1.2.2.

Các ví dụ minh họa

Nhiều bài toán trong tối ưu hóa, phương trình vật lý toán và nhiều vấn đề trong
kinh tế, kỹ thuật, cân bằng giao thông đô thị... đều có thể mô tả dưới dạng bài toán
bất đẳng thức biến phân.
Ví dụ 1.2.2. (Bài toán cân bằng giao thông đô thị)
Xét một mạng giao thông được cho bởi một luồng mạng hữu hạn. Gọi
+ I là tập hợp các phương tiện giao thông,
+ P là tập hợp các điểm nút giao thông,
+ E là tập hợp các cạnh (tuyến đường). Giả sử A ⊆ P và B ⊆ P, sao cho A ∩ B = 0.
/
Mỗi phần tử thuộc A gọi là một điểm nguồn. Mỗi phần tử thuộc B gọi là một điểm
đích. Mỗi điểm nguồn và điểm đích được nối với nhau bởi một tập hợp liên tiếp các
cạnh (tuyến đường). Kí hiệu:
+ fei là mật độ giao thông của phương tiện i trên đoạn đường e ∈ E. Đặt f là vectơ có
các thành phần là fei với i ∈ I, và e ∈ E.
+ cie là chi phí sử dụng phương tiện giao thông i trên đoạn đường E. Đặt c là vectơ có
các thành phần là cie với i ∈ I, và e ∈ E.
+ dωi là nhu cầu sử dụng loại phương tiện i trên tuyến đường ω = (A, B).Đặt d là
vectơ có các thành phần là dωi với i ∈ I, và ω ∈ A × B.
Giả sử chi phí giao thông phụ thuộc vào lưu lượng, tức là c = c( f ) là một hàm
của f .
20


+ λωi là mức độ chi phí trên tuyến đường ω của phương tiện giao thông i.
i : là mật độ giao thông của phương tiện i ∈ I trên tuyến đường ω = (A, B)
+ xω
Giả sử trong mạng trên, phương trình cân bằng sau được thỏa mãn:
dωi =



xip , ∀i ∈ I, ω ∈ A × B.

(1.1)

p∈Pω

Trong đó, Pω kí hiệu là tập các tuyến đường của ω = (A, B) (nối điểm nguồn A
và điểm đích B). Theo phương trình (1.1), thì nhu cầu sử dụng loại phương tiện i trên
tuyến đường ω đúng bằng mật độ giao thông của phương tiện đó trên tuyến đường
nối điểm nguồn và điểm đích của tuyến đường đó. Khi đó ta có:
fei =



xip δep , ∀i ∈ I, ω ∈ A × B.

(1.2)

p∈Pω

Trong đó:

1
δep =
0

khi e ∈ P
khi e ∈
/ P.

Với mỗi tuyến đường p nối một điểm nguồn và một điểm đích, đặt
cip =

∑ cie δep .

e∈E

Như vậy, cip là chi phí sử dụng phương tiện i trên tuyến đường p. Mỗi cặp (d ∗ , f ∗ )
thỏa mãn (1.1) và (1.2) được gọi là điểm cân bằng mạng giao thông nếu:

= λ ω i (d ∗ ) khi xi > 0
p
i
cp =
> λ ω i (d ∗ ) khi xi = 0.
p

Với mỗi i ∈ I và mỗi tuyến đường P. Theo định nghĩa này, tại điểm cân bằng đối
với một loại phương tiện giao thông và mọi tuyến đường, chi phí sẽ thấp nhất khi có
lưu lượng giao thông trên tuyến đó. Ngược lại, chi phí sẽ không phải là thấp nhất.
Đặt K = {( f , d) | ∃ x ≥ 0 sao cho (1.1) và (1.2) đúng }.
Khi đó, ta có định lý sau:
Định lý 1.2.1. Mỗi cặp vectơ ( f ∗ , d ∗ ) ∈ K là một điểm cân bằng của mạng giao
thông khi và chỉ khi nó là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân sau
Tìm ( f ∗ , d ∗ ) ∈ K :

c( f ∗ ), λ (d ∗ ) , ( f , d) − ( f ∗ , d ∗ ) ≥ 0, ∀( f , d) ∈ K.
21


Ví dụ 1.2.3. (Bài toán cân bằng di trú)
Bài toán cân bằng di trú bao gồm một tập hữu hạn các điểm X. Với mỗi i, j ∈ X,
gọi
+ bi là mật độ cố định tại vị trí i,
+ hi j là trọng số của dòng di trú từ vị trí đầu i đến đích j,
+ xi là mật độ hiện tại tại vị trí i,
+ ui là tiện ích di trú,
+ ci j là chi phí di trú.
Đặt x = {xi | i ∈ X} và h = {hi j | i, j ∈ X, i = j}, ta định nghĩa
X = (x,h) h > 0,

∑ hi j ≤ bi ,
i= j

xi = bi + ∑ h ji − ∑ hi j , ∀i ∈ X . (1.3)
i= j

i= j

Từ ràng buộc
h > 0,

∑ hi j ≤ bi ,
i= j

những luồng h là bị chặn . Do đó, mật độ
xi = bi + ∑ h ji − ∑ hi j , i ∈ X,
i= j

i= j

là bị chặn nên X bị chặn.
Quy luật trong (1.3) phản ánh sự bảo toàn của dòng và ngăn cản dòng di trú. Rõ
ràng, các dòng di trú là không âm.
Điều kiện không âm cho mô hình di trú vô hướng là phức tạp hơn mô hình cân
bằng mạng. Giả sử rằng tính tiện ích phụ thuộc mật độ, nghĩa là ui = ui (x), và chi
phí di trú phụ thuộc và dòng di trú, nghĩa là ci j = ci j (h). Chúng ta nói rằng cặp
(x∗ , h∗ ) ∈ X là cân bằng nếu

= 0 nếu h∗ > 0,
ij



(1.4)
ui (x ) − u j (x ) + ci j (h ) + µi
≥ 0 nếu h∗ = 0, ∀i, j ∈ N;
ij

Trong đó
µj



≥ 0

nếu ∑ h∗is = bi ,


= 0

nếu ∑ h∗is < bi , với mỗi i ∈ N.

s=i

s=i

22

(1.5)


Tập các điều kiện cân bằng (1.4), (1.5) có thể được viết lại tương đương với bất
đẳng thức biến phân. Tìm một cặp (x∗ , h∗ ) sao cho

∑ (xi∗ − xi )ui (x∗ ) + ∑

i∈N

(hi j − h∗i j )ci j (h∗ ) ≥ 0, ∀(x, h) ∈ H.

i, j∈N,i= j

Ngoài những vấn đề thực tế, như hai bài toán trên được đưa về bài toán bất đẳng
thức biến phân thì ta còn có nhiều bài toán điển hình khác cũng được đưa về bài toán
này.
Ví dụ 1.2.4. Bài toán điểm bất động Brouwer
Cho K là một tập lồi, đóng, khác rỗng, compăc yếu trong H và ánh xạ T : K → K
là ánh xạ liên tục. Bài toán điểm bất động được phát biểu như sau
Tìm x∗ ∈ K : x∗ = T (x∗ ).
Bài toán điểm bất động được đưa về bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) thông
qua mệnh đề sau
Mệnh đề 1.2.2. Giả sử ánh xạ F được xác định bởi
F(x) = x − T (x), ∀x ∈ K.
Khi đó, nghiệm của bài toán điểm bất động trùng với nghiệm của bài toán bất đẳng
thức biến phân (VIP). Tức là bài toán bất đẳng thức biến phân tương đương với bài
toán điểm bất động.
Chứng minh. Giả sử x∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) và
F(x) = x − T (x), với mọi x ∈ K, tức là
F(x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ K.
Do F(x∗ ) = x∗ − T (x∗ ), ∀x ∈ K. Suy ra
x∗ − T (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ K.
Do T (x∗ ) ∈ K nên thay x ở trên bởi T (x∗ ) thì
x∗ − T (x∗ ), T (x∗ ) − x∗ ≥ 0.

23


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×