Tải bản đầy đủ

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ ÁP DỤNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐÀO NGUYỄN VÂN ANH

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI TOÁN TỬ
KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ ÁP DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI - NĂM 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐÀO NGUYỄN VÂN ANH

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI TOÁN TỬ
KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ ÁP DỤNG


Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học
GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

HÀ NỘI - NĂM 2015


Mục lục
Mở đầu

2

1 Tính chất của toán tử khả nghịch phải
1.1 Một số lớp toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Toán tử đại số . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Toán tử Volterra . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Toán tử khả nghịch phải . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Toán tử khả nghịch phải . . . . . . . . . . .
1.2.2 Toán tử ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Các phép toán của toán tử nghịch đảo phải Volterra
1.4 Đặc trưng của đa thức của toán tử khả nghịch phải .
2 Phương trình với toán tử khả nghịch phải và
2.1 Phương trình với toán tử khả nghịch phải . .
2.2 Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . .

áp
. .
. .
. .

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

3
3
3
7
8
8
8
9
17
21
25

dụng
30
. . . . . . . 30
. . . . . . . 37
. . . . . . . 50

Kết luận

56

Tài liệu tham khảo

57

i


Mở đầu
Phương trình vi phân đóng một vai trò quan trọng trong kĩ thuật, vật
lý, kinh tế và một số ngành khác. Có nhiều phương pháp để giải một phương
trình vi phân với các điều kiện ban đầu và một trong số các phương pháp đó
là sử dụng lý thuyết toán tử khả nghịch phải.
Mục tiêu của Luận văn là trình bày lý thuyết và cách giải bài toán giá
trị ban đầu của lý thuyết toán tử khả nghịch phải áp dụng công thức TaylorGontcharov và trường hợp riêng của nó là công thức Taylor. Dưới sự hướng
dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu, tác giả đã hoàn thành luận văn với
đề tài
"Phương trình vi phân với toán tử khả nghịch phải và áp dụng".
Luận văn được chia làm hai chương:

• Chương 1: Tính chất của toán tử khả nghịch phải.
• Chương 2: Phương trình với toán tử khả nghịch phải và áp dụng.
Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về các lớp toán tử tuyến tính
và tính chất của toán tử khả nghịch phải, công thức Taylor. Chương 2 nội
dung chính của Luận văn, trình bày về phương trình với toán tử khả nghịch
phải và áp dụng công thức Taylor vào việc giải các bài toán cụ thể.
Mặc dù có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạn chế nên
luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tác giả rất mong nhận được
sự góp ý của các thầy cô và các bạn để Luận văn được hoàn thiện hơn.
Qua luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS. TSKH
Nguyễn Văn Mậu, người Thầy đã truyền cho tác giả có niềm say mê nghiên
cứu toán học. Thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá
trình học tập và hoàn thiện luận văn này.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau
1


đại học, Khoa Toán-Cơ-Tin, các thầy cô đã tạo điều kiện thuận lợi để hoàn
thành bản luận văn này.
Sau cùng tác giả xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến gia đình đã luôn tạo điều
kiện tốt nhất trong suốt quá trình học cũng như thực hiện luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày tháng năm 2015
Tác giả

Đào Nguyễn Vân Anh

2


Chương 1
Tính chất của toán tử khả nghịch
phải
1.1
1.1.1

Một số lớp toán tử tuyến tính
Toán tử tuyến tính

Định nghĩa 1.1 ([1]-[2]). Giả sử X và Y là hai không gian tuyến tính trên
cùng một trường vô hướng F . Một ánh xạ A từ tập tuyến tính dom A của
X vào Y được gọi là toán tử tuyến tính nếu

A(x + y) = Ax + Ay với mọi x, y ∈ dom A,
A(tx) = tAx với mọi x ∈ dom A, t ∈ F.
Tập dom A được gọi là miền xác định của toán tử A.
Giả sử G ∈ dom A. Đặt AG = {Ax : x ∈ G}. Theo định nghĩa,
AG ⊂ Y . Tập AG được gọi là ảnh của tập G. Tập Adom A được gọi là miền
giá trị của toán tử A (tập giá trị của A) và là không gian con của Y .
Tập tất cả các toán tử tuyến tính với miền xác định chứa trong không
gian X và miền giá trị chứa trong không gian Y ký hiệu bởi L(X → Y ).
Định nghĩa 1.2 ([1]-[2]). Toán tử đồng nhất trong không gian X là toán tử
IX xác định bởi IX x = x với mọi x ∈ X .
Sau này nếu không gây nhầm lẫn, ta sẽ ký hiệu I thay cho IX .
Định nghĩa 1.3 ([1]-[2]). Nếu toán tử A ∈ L(X → Y ) là tương ứng 1-1 thì
3


toán tử nghịch đảo A−1 được định nghĩa theo cách: Với mỗi y ∈ Adom A

A−1 y = x, trong đó x ∈ dom A và y = Ax.
Để ý rằng, theo giả thiết, mỗi y ứng với một x ∈ dom A duy nhất
và dom A−1 = A dom A ⊂ Y, A−1 dom A−1 = dom A ⊂ X . Với mỗi x ∈
dom A, nếu y = Ax thì (A−1 A)x = A−1 (Ax) = A−1 y = x, và (AA−1 )y =
A(A−1 y) = Ax = y . Do đó A−1 A = Idom A , AA−1 = IAdom A . Cho nên
A−1 xác định duy nhất nghịch đảo của A. Dễ dàng kiểm tra rằng A−1 cũng
là một toán tử tuyến tính.
Nếu toán tử A ∈ L(X → Y ) có toán tử nghịch đảo thì ta nói A khả
nghịch.
Định nghĩa 1.4 ([1]-[2]). Toán tử A ∈ L(X → Y ) được gọi là đẳng cấu nếu
dom A = X, A dom A = Y và nếu A là tương ứng 1-1.
Theo định nghĩa, nếu A đẳng cấu thì nó khả nghịch, toán tử nghịch đảo
−1
A cũng là tương ứng 1-1 và dom A−1 = Y, A−1 dom A−1 = X . Do đó A−1
cũng là đẳng cấu.
Định nghĩa 1.5 ([1]-[2]). Hai không gian X và Y được gọi là đẳng cấu nếu
tồn tại một đẳng cấu A ánh xạ X lên Y .
Định nghĩa 1.6 ([1]-[2]). Tổng của hai toán tử A, B ∈ L(X → Y ) và tích
của toán tử với vô hướng được xác định như sau dom (A + B) = dom A ∩
dom B và

(A + B)x = Ax + Bx vớix ∈ dom A ∩ dom B,
(tA)x = t(Ax) với x ∈ dom A, t ∈ F.

(1.1)

Nếu dom A = dom B = dom C thì (A + B) + C = A + (B + C) và
A + B = B + A.
Để ý rằng toán tử C mà A + C = B với A, B ∈ L(X → Y ) không nhất
thiết phải tồn tại. Điều này suy ra từ việc miền xác định của A và B có thể
khác nhau.
Nếu toán tử C tồn tại thì C = B − A và C được gọi là hiệu của các
toán tử B và A; phép toán "-" được gọi là phép trừ. Theo định nghĩa, nếu
B − A xác định tốt thì B − A = B + (−A) trên dom A ∩ dom B .
Đặt L0 (X → Y ) = {A ∈ L(X → Y ) : dom A = X}. Do tổng của hai
toán tử tùy ý thuộc L0 (X → Y ) xác định tốt, thỏa mãn tính kết hợp và giao
4


hoán, ứng với mỗi cặp toán tử A, B ∈ L0 (A → B) tồn tại toán tử C = B −A
nên L0 (X → Y ) là một nhóm Abel. Phần tử trung hòa của nhóm này là
toán tử Θ sao cho Θx = 0 với mọi x ∈ X . Sau này ta ký hiệu toán tử không
này bởi 0. Từ công thức (1.1) ta suy ra nhóm Abel L0 (X → Y ) là không
gian tuyến tính trên trường F .
Định nghĩa 1.7 ([1]-[2]). Giả sử X, Y, Z là các không gian tuyến tính trên
trường vô hướng, A ∈ L(X → Y ), B ∈ L(Y → Z) và B dom B ⊂ dom A ⊂
Y . Tích của AB của các toán tử A và B xác định bởi

(AB)x = A(Bx) với mọi x ∈ dom B.

(1.2)

Theo định nghĩa, AB ∈ L(X → Z), dom AB = dom B , AB dom AB =
AB . Tích (nếu nó xác định tốt) có tính phân phối đối với phép cộng các toán
tử và tính kết hợp.
Định nghĩa 1.8 ([1]-[2]). Hai toán tử A và B được gọi là giao hoán nếu cả
hai tích AB, BA đều tồn tại và AB = BA trên dom A = dom B .
Đặt L(X) = L(X → X) và L0 (X) = L0 (X → X) = {A ∈ L(X) :
dom A = X}. Công thức (1.2) chỉ ra rằng L0 (X) không những là không
gian tuyến tính mà còn là vành tuyến tính theo phép nhân các toán tử
A, B ∈ L0 (X) xác định bởi tích AB của chúng. Thật vây, nếu A, B ∈ L0 (X)
thì dom B ⊂ dom A = X . Do đó, AB xác định tốt với mọi A, B ∈ L0 (X).
Vành tuyến tính L0 (X) có đơn vị là toán tử đồng nhất IX = I . Tuy nhiên,
L0 (X) là vành không giao hoán và không có ước của 0.
Định nghĩa 1.9 ([1]-[2]). Toán tử P ∈ L0 (X) được gọi là toán tử chiếu nếu
P 2 = P , trong đó P 2 = P.P .
Nếu P ∈ L0 (X) là toán tử chiếu thì I − P cũng là toán tử chiếu. Mỗi
toán tử chiếu xác định sự phân chia không gian X thành tổng trực tiếp
X = Y ⊕ Z , trong đó Y = {x ∈ X : P x = x}, Z = {x ∈ X : P x = 0}.
Thật vậy, nếu x ∈ Y ∩ Z thì x = 0 vì x = P x = 0. Nếu x ∈ X thì
z = x − P x ∈ Z bởi vì P (x − P x) = P x − P 2 x = P x − P x = 0 và x = y + z
trong đó y = P x ∈ Y, z = x − P x = (I − P )x ∈ Z .
Định nghĩa 1.10 ([1]-[2]). Giả sử A ∈ L(X → Y ). Tập hợp
Ker A = {x ∈ dom A : Ax = 0}

5


được gọi là nhân của toán tử A.
Tập hợp Ker A là không gian con tuyến tính của A. Số chiều của nhân
của toán tử A ∈ L(X → Y ) được gọi là số khuyết (nullity) của A và ký hiệu
bởi αA , tức là αA = dim Ker A.
Định nghĩa 1.11 ([1]-[2]). Không gian khuyết của toán tử A ∈ L(X → Y )
là không gian thương Y /Adom A. Số khuyết (deficiency) βA của toán tử
A ∈ L(X → Y ) xác định bởi công thức

βA = dim Y /Adom A.
Theo định nghĩa số khuyết βA chính là đối chiều của miền giá trị của A.
Định nghĩa 1.12 ([1]-[2]). Một toán tử tuyến tính A mà miền xác định của
nó dom A = X và lấy giá trị trên trường vô hướng F (trường các số thực R
hay các trường số phức C) được gọi là phiếm hàm tuyến tính xác định trong
không gian X . Ta ký hiệu X là tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính xác
định trong không gian X .
Nếu X là không gian n chiều sinh bởi các phần tử (x1 , . . . , xn ) thì mỗi
n

n

phiếm hàm tuyến tính f có dạng f (x) =

tj xj ∈

tj aj trong đó x =
j=1

j=1

X, t1 , . . . , tn ∈ F và aj = f (xj ) (j = 1, . . . , n), tức là f xác định một cách
duy nhất bởi các giá trị của nó trên các phần tử của cơ sở của X .
Giả sử X là không gian tuyến tính n chiều với cơ sở {x1 , . . . , xn } và
Y là không gian tuyến tính m chiều với cơ sở {y1 , . . . , ym } trên cùng một
n

trường vô hướng F . Cho A ∈ L0 (X → Y ) và x =

tj xj ∈ X , trong đó
j=1
n

n

t1 , . . . , tn ∈ F tùy ý. Khi đó Ax = A

tj x j =
j=1

tj Axj . Mặt khác, do
j=1
m

Ax ∈ Y nên ta có thể tìm được c1 , . . . , cm ∈ F sao cho Ax =
m

Thật vậy, do Axj ∈ Y nên ta có Axj =

c k yk .
k=1

ajk yk , trong đó ajk ∈ F (j =
k=1

1, 2, . . . , n; k = 1, 2, . . . , m). Vì thế,
n

Ax =

n

tj Axj =
j=1

m

tj
j=1

m

n

ajk yk =
k=1

tj ajk yk .
k=1

j=1

n

Vậy ta có ck =

tj ajk (k = 1, 2, . . . , m). Các hệ số ajk xác định phép
j=1

biến đổi cơ sở {x1 , . . . , xn } thành cơ sở {y1 , . . . , ym } bởi toán tử A. Do đó,
6


tồn tại sự tương ứng 1-1 giữa các toán tử A ∈ L0 (X → Y ) và các ma trận


a11 a21 . . . an1


 a12 a22 . . . an2 


 . . . . . . . . . . . .  = (ajk )j=1,...,n;k=1,...,m .


a1m a2m . . . anm
Ta sẽ ký hiệu toán tử A và ma trận của nó cùng một ký tự A.
Định nghĩa 1.13 ([1]-[2]). Toán tử A ∈ L0 (X → Y ) được gọi là hữu hạn
chiều nếu miền giá trị của nó hữu hạn chiều. Nếu dim Adom A = n thì ta
nói A là toán tử n chiều.
Định nghĩa 1.14 ([1]-[2]). Toán tử A ∈ L0 (X → Y ) được gọi là khả nghịch
phải (trái) nếu tồn tại toán tử B ∈ L0 (Y → X) sao cho AB = IY (tương
ứng BA = IX ).
Ta cũng chứng minh được rằng
(i) A khả nghịch phải khi và chỉ khi nó là toàn ánh, tức là βA = 0,
(ii) A khả nghịch trái nếu Ker A = {0}, tức là βA = 0,
(iii) Nếu A vừa khả nghịch trái vừa khả nghịch phải thì A khả nghịch.

1.1.2

Toán tử đại số

Giả sử X là không gian tuyến tính trên trường đóng đại số F và A ∈
L0 (X). Vô hướng λ ∈ F được gọi là giá trị chính quy của A nếu toán tử
A − λI khả nghịch.
Định nghĩa 1.15 ([1]-[2]). Giả sử F = C. Ta nói toán tử A ∈ L0 (X) là
toán tử đại số nếu tồn tại đa thức P (t) = p0 + p1 t + · · · + pN tN ∈ C sao cho
P (A) = 0 trên X .
Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử P (t) định chuẩn tức là
pN = 1. Toán tử đại số A ∈ L0 (X) là toán tử bậc N nếu không tồn tại đa
thức định chuẩn Q(t) bậc m < N sao cho Q(A) = 0 trên X . Đa thức P (t)
như thế được gọi là đa thức đặc trưng của A và nghiệm của nó được gọi là
nghiệm đặc trưng của A.

7


1.1.3

Toán tử Volterra

Định nghĩa 1.16 ([1]-[2]). Toán tử A ∈ L0 (X) được gọi là toán tử Volterra
nếu toán tử I − λA khả nghịch với mọi vô hướng λ. Tập hợp các toán tử
Volterra thuộc L0 (X) ký hiệu là V (X).
Nếu A ∈ V (X) thì phương trình thuần nhất (I − λA)x = 0 chỉ có
nghiệm không với mọi vô hướng λ.

1.2

Toán tử khả nghịch phải

1.2.1

Toán tử khả nghịch phải

Cho X là một không gian tuyến tính trên trường vô hướng F .
Định nghĩa 1.17 ([1]-[2]). Toán tử D ∈ L(X) được gọi là khả nghịch phải
nếu tồn tại một toán tử R ∈ L0 (X) sao cho RX ⊂ dom D và DR = I . Toán
tử R được gọi là nghịch đảo phải của D.
Tập hợp tất cả các toán tử khả nghịch phải được kí hiệu là R(X), còn
tập hợp tất cả các nghịch đảo phải của toán tử D ∈ R(X) là RD . Ta cũng
viết RD = {Rγ }γ∈Γ
Định nghĩa 1.18 ([1]-[2]). Giả sử x là một phần tử tùy ý cho trước của
không gian X . Cho D ∈ R(X), tập hợp RD x = Rγ xγ ∈ Γ được gọi là tích
phân bất định của x. Mỗi phần tử Rγ với γ ∈ Γ được gọi là một nguyên hàm
của x.
Theo định nghĩa, nếu y là một nguyên hàm của x thì Dy = x. Thật
vậy, nếu y là một nguyên hàm của x thì tồn tại một chỉ số γ ∈ Γ sao cho
y = Rγ x. Từ đó suy ra Dy = DRγ x = x do DRγ = I .
Định nghĩa 1.19 ([1]-[2]). Giả sử D ∈ R(X). Khi đó, nhân của toán tử D
được gọi là không gian các hằng số trên D và được kí hiệu là Ker D. Mỗi
phần tử z ∈ Ker D được gọi là một hằng số.
Để ý rằng, theo định nghĩa, một phần tử z ∈ X là một hằng số của D nếu
và chỉ nếu Dz = 0.
Các tính chất của toán tử khả nghịch phải
1. Nếu D ∈ R(X), R ∈ RD thì Dk Rk = I với k = 1, 2, . . . .

8


2. Giả sử rằng D ∈ R(X), R1 , R2 ∈ RD và y1 = R1 x, y2 = R2 x trong đó
x ∈ X là phần tử tùy ý. Khi đó y1 − y2 ∈ Ker D.
Bằng lời: Hiệu của hai nguyên hàm của một phần tử x ∈ X cho trước là một
hằng. từ đó suy ra một tích phân bất định được xác định tốt nếu ta biết ít
nhất một nghịch đảo phải.
3. Nếu D ∈ R(X), R ∈ RD thì tích phân bất định của một phần tử x ∈ X
có dạng: RD x = {Rx + z : z ∈ Ker D} = Rx + Ker D.
Bằng lời: Tích phân bất định của một phần tử x ∈ X là tổng của một nguyên
hàm và một hằng số tùy ý.
4. Nếu D ∈ R(X) thì với mỗi R ∈ RD ta có:
dom D = RX ⊕ Ker D.

(1.3)

5. Giả sử D ∈ R(X) và R1 ∈ RD . Khi đó mỗi nghịch đảo phải của D có dạng:

R = A + R1 (I − DA) = R1 + (I − R1 D)A,

(1.4)

trong đó A ∈ L0 (X), AX ⊂ dom D, tức là R ∈ RD = R1 + (I − R1 D)A :
A ∈ L0 (X), AX ⊂ dom D.
Nhận thấy rằng nếu D ∈ R(X) và R ∈ RD x ∈ X thì từ Rx = 0 suy
ra x = 0. Thật vậy, x = DRx = 0.
Bổ đề 1.1. Cho t0 ∈ [a, b] và một số thực tùy ý c. Nếu hàm số x(t) xác định
trên khoảng [a,b] có nguyên hàm ξ(t) thì tồn tại một nguyên hàm η(t) của
x(t) sao cho η(t0 ) = c.
Bổ đề 1.2. Nếu dãy {xn } ⊂ C[a, b] hội tụ đều đến hàm số x và mỗi hàm số
xn (t) có nguyên hàm là ξn (t) thì hàm số x có nguyên hàm.
Bổ đề 1.3. Mỗi hàm số liên tục trên khoảng đóng có một nguyên hàm trong
khoảng này.

1.2.2

Toán tử ban đầu

Định nghĩa 1.20 ([1]-[2]). Toán tử F ∈ L(X) được gọi là toán tử ban đầu
của toán tử D ∈ R(X) ứng với nghịch đảo phải R của D nếu
(i.) F là một phép chiếu lên không gian các hằng số, nghĩa là

F 2 = F, F X = Ker D
9


(ii.) F R = 0.
Từ định nghĩa ta suy rằng

F z = z, với mỗi z ∈ Ker D.

(1.5)

Hơn nữa, ta có DF = 0 trên X , Ker F = RX và Ker D ∩ Ker F = {0}.
Thật vậy, theo định nghĩa F x ∈ Ker D với mỗi x ∈ X , do đó DF x = 0. Do
x tùy ý nên DF = 0. Từ tính chất F R = 0 suy ra rằng Ker F = RX . Giả
sử bây giờ z ∈ Ker D và F Z = 0. Khi đó, theo (1.5), ta có z = F z = 0.
Điều này chứng tỏ Ker D ∩ Ker F = {0}.
Định lý 1.1. Cho D ∈ R(X). Điều kiện cần và đủ để toán tử F ∈ L(X) là
toán tử ban đầu của D ứng với R ∈ RD là

F = I − RD trên dom D.
d
và (Rx)(t) =
dt
a ≤ t0 ≤ b cố định tùy ý. Nếu x ∈ dom D = C 1 [a, b] thì

(1.6)
t

Ví dụ 1.1. Giả sử X = C[a, b], D =

x(s)ds, trong đó
t0

(F x)(t) = (I − RD)x(t)
= x(t) − (RDx)(t)
t

= x(t) −

x (s)ds
t0

= x(t) − x(t) + x(t0 ) = x(t0 ).
Mệnh đề 1.1. Nếu toán tử A ∈ L(X) khả nghịch thì toán tử ban đầu khác
0 của A không tồn tại.
Chứng minh. Thật vậy, cho B ∈ L(X) là một nghịch đảo của A, tức là
BA = I, AB = I . Nếu ta đặt F = I −BA thì ta có F = I −BA = I −I = 0.
Từ mệnh đề này suy ra các toán tử ban đầu không tầm thường chỉ tồn
tại với toán tử khả nghịch phải mà không khả nghịch. Từ đó, ta có định lý
sau
Định lý 1.2. Họ RD = {Rγ }γ∈Γ tất cả các nghịch đảo phải của toán tử
D ∈ R(X) cảm sinh duy nhất họ FD = {Fγ }γ∈Γ các toán tử ban đầu của D
được xác định bởi đẳng thức

Fγ = I − Rγ D trên dom D với mỗi γ ∈ Γ.
10


Các tính chất của toán tử ban đầu.
1. Với mọi α, β ∈ Γ, ta có
Fα Fβ = Fβ ,

Fβ Rα = Rα − Rβ .

(1.7)
(1.8)

2. Với α, β, γ ∈ Γ toán tử Fβ Rγ − Fα Rγ không phụ thuộc vào cách chọn toán
tử Rγ ∈ RD .
Tính chất này chỉ ra rằng toán tử Fβ Rγ − Fα Rγ chỉ phụ thuộc vào các chỉ
số α, β . Điều này cho phép ta đặt

Iαβ = Fβ Rγ − Fα Rγ , ∀ α, β, γ ∈ Γ.

(1.9)

Ta nói Iαβ là toán tử tích phân xác định. Với mỗi x ∈ X phần tử Iαβ x
được gọi là tích phân xác định của x. Các chỉ số α và β được gọi là cận dưới
và cận trên của tích phân.
Do Fβ Rγ − Fα Rγ = Rγ − Rβ − (Rγ − Rα ) = Rα − Rβ = Fβ Rα nên

Iαβ = Fβ Rα , với α, β ∈ Γ.
3. Với bất kỳ x ∈ X, α, β ∈ Γ ta có Iαβ x = z ∈ Ker D.
Bằng lời: Tích phân xác định của một phần tử tùy ý là một hằng.
4. Với bất kỳ α, β ∈ Γ ta có
Iαβ = −Iβα .

(1.10)

(1.11)

Bằng lời: Sự thay đổi vị trí cận trên và cận dưới của tích phân sẽ làm thay
đổi dấu của toán tử tích phân xác định và dẫn đến sự thay đổi dấu của tích
phân xác định của một phần tử tùy ý.
5. Với bất kỳ α, β, δ ∈ Γ ta có

Iαδ + Iδβ = Iαβ .

(1.12)

Iαβ D = Fβ − Fα ,

(1.13)

tức là, Iαβ Dx = Fβ x − Fα x với x ∈ dom D.

(1.14)

6. Với bất kỳ α, β ∈ Γ ta có

Phần tử F x bất kỳ, trong đó x ∈ X và F là một toán tử ban đầu, được
gọi là giá trị ban đầu của phần tử x. Vì x ∈ dom D là một nguyên hàm của
11


y = Dx nên ta có thể phát biểu lại tính chất 6 như sau: Nếu x ∈ X, α, β ∈ Γ
tùy ý và y ∈ X là một nguyên hàm bất kỳ của x thì
Iαβ x = Fβ y − Fα y.

(1.15)

Bằng lời: Tích phân xác định bằng hiệu các giá trị ban đầu của một nguyên
hàm tùy ý ứng với cận trên và cận dưới của tích phân.
7. Giả sử D ∈ R(X), dim Ker D = 0, F và F1 = F là các toán tử ban đầu
của D, và F tương ứng với nghịch đảo phải R ∈ RD . Khi đó với mỗi z ∈
Ker D tồn tại một x ∈ X sao cho F1 x = z .
Bằng lời: Với mỗi hằng số tồn tại một phần tử sao cho tích phân xác định
của phần tử này bằng hằng số đã cho.
Các Định lý 1.1 và 1.2 đặc trưng các toán tử ban đầu bởi các nghịch
đảo phải. Định lý sau chỉ ra rằng các nghịch đảo phải cũng có thể đặc trưng
bởi các toán tử ban đầu.
Định lý 1.3. Giả sử D ∈ R(X), F ∈ L0 (X) là phép chiếu lên không gian
các hằng số. Khi đó F là toán tử ban đầu của D ứng với nghịch đảo phải
R = R1 − F R1 với mọi R1 ∈ RD và R được xác định một cách duy nhất,
không phụ thuộc vào việc chọn R1 ∈ RD .
8. Nếu D ∈ R(X) và R, R1 ∈ RD giao hoán thì R1 = R.
9. Nếu D ∈ R(X) và F, F1 là các toán tử ban đầu của D giao hoán thì
F1 = F .
10. Giả sử D ∈ R(X) và F1 , F2 là các toán tử ban đầu của D lần lượt tương
ứng với nghịch đảo phải R1 , R2 . Nếu R1 = R2 thì F1 = F2 . Đảo lại, nếu
F1 = F2 thì R1 = R2 .
Định lý 1.4. Nếu D ∈ R(X) và F là toán tử ban đầu của D ứng với nghịch
đảo phải R của D thì tập hợp RD tất cả các nghịch đảo phải của D có dạng

RD = {R + F A : A ∈ L0 (X)}.

(1.16)

và tập hợp FD tất cả các toán tử ban đầu của D có dạng

FD = {F (I − AD) : A ∈ L0 (X)}.

(1.17)

Định lý 1.5. Giả sử F0 , F1 , . . . , Fm là các toán tử ban đầu của D ∈ R(X)
M

ứng với các nghịch đảo phải R0 , R1 , . . . , Rm tương ứng. Đặt F =

ak F k
k=0

trong đó a0 , a1 , . . . , am là các vô hướng không đồng thời bằng 0. Khi đó F là
12


m

toán tử ban đầu của D nếu và chỉ nếu

ak = 1.
k=0

Nếu điều kiện này được thỏa mãn thì toán tử ban đầu F ứng với nghịch
m

đảo phải R =

ak Rk .
k=0

t
d
Ví dụ 1.2. Giả sử X = C[a, b], D =
và (Rx)(t) = x(s)ds, trong đó
dt
t0
a t0 b cố định tùy ý. Theo Định lý 1.1, nếu x ∈ dom D = C 1 [a, b] thì
t

(F x)(t) = (I − RD)x(t) = x(t) − (RDx)(t) = x(t) −

x (s)ds
t0

= x(t) − x(t) + x(t0 ) = x(t0 ).
t

Xét tập hợp {Rc }c∈[a,b] trong đó (Rc x)t =

x(s)ds với x ∈ C[a, b]. Theo
c

định lý 1.2 họ cảm sinh của các toán tử ban đầu có dạng {Fc }c∈[a,b] , trong
đó (Fc x)t = x(c).
Nếu y là nguyên hàm tùy ý của x ∈ C[a, b] và c1 , c2 cố định tùy ý trong
[a, b] thì theo (1.13) ta tìm được
c2

x(s)ds = y(c2 ) − y(c1 ), trong đó y = x.

(1.18)

c1

Do vậy, công thức tính tích phân từng phần có dạng
c2

c2

x(s)y (s)ds = x(s)y(s)
c1

c2
c1



x (s)y(s)ds,

(1.19)

c1

trong đó x, y ∈ C[a, b] và ta đặt [u(s)]cc21 = u(c2 ) − u(c1 ), với u ∈ C[a, b], a
c1 , c2 b.
t
d
và (Rx)(t) = (s)ds. Ta chứng
Ví dụ 1.3. Giả sử X = C[a, b], D =
dt
a
minh được rằng R là toán tử Volterra, tức là toán tử I − λR khả nghịch với
mọi vô hướng và
t

[(I − λR)−1 x](t) = x(t) + λ

eλ(t−s) x(s)ds với x ∈ C[a, b].

(1.20)

t0

Thật vậy, giả sử B là một toán tử được định nghĩa bằng hàm mũ
t

eλ(t−s) x(s)ds với x ∈ C[a, b]

(Bx)(t) =
t0

13

(1.21)


trong đó t0 ∈ [a, b] cố định tùy ý. Ta cần chứng minh

(I + λB)(I − λR) = (I − λR)(I − λD) = I với mọi λ ∈ R.

(1.22)

Không mất tổng quát ta giả sử λ = 0. Do đó, sử dụng tích phân từng
phần với x ∈ C[a, b]

[(I + λB)(I − λR)x](t) = [(I + λB − λR − λ2 BR)x](t)
= [x + λ(B − R)x − λ2 BRx](t)
t

t

eλ(t−s) x(s)ds −

= x(t) + λ
t0

t0

t

− λ2

x(s)ds

s

eλ(t−s)

x(u)du ds

t0

t0
t

eλ(t−s) − 1 x(s)ds

= x(t) + λ
t0
t

s

e−λs

− λ2 eλt
t0

x(u)du ds
t0

t

[eλ(t−s) − 1]x(s)ds

= x(t) + λ
t0

t

− λ2 eλt

1
− e−λs
λ

t
t

x(u)du

1
− e−λs x(s)ds
λ



t0
t0

t0

t

[eλ(t−s) − 1]x(s)ds

= x(t) + λ
t0
t

t

eλ(t−s) x(s)ds

x(u)du − λ


t0

t0
t

[eλ(t−s) − 1 + 1 − eλ(t−s) ]x(s)ds = x(t).

= x(t) + λ
t0

Do đó, (I + λB)(I − λR) = I . Chứng minh tương tự ta được, (I −
λR)(I + λB) = I . Vì vậy, từ (1.22) suy ra toán tử R khả nghịch với mọi vô
14


hướng λ và (I − λR)−1 = I + λB , hay
t

[(I − λR)−1 x](t) = x(t) + λ

eλ(t−s) x(s)ds với x ∈ C[a, b].
t0
b

Ví dụ 1.4. Giả sử X = C[a, b] và q ∈ C[a, b]. Đặt q0 =

q(s)ds = 0. Ta
a

định nghĩa toán tử F như sau
b

1
(F x)(t) =
q0

q(s)x(s)ds với x ∈ C[a, b].

(1.23)

a

Ta sẽ chứng minh rằng F là toán tử ban đầu của D = d/dt ứng với
nghịch đảo phải xác định bởi
t

s

1
x(s)ds −
q0

(Rx)(t) =
a

x(u)du ds với x ∈ C[a, b].

b q(s)
a

(1.24)

a

Thật vậy, vì các giá trị của F x là các hằng số nên F X ⊂ Ker D. Giả
sử c ∈ R. Khi đó hàm số z(t) ≡ c là hàm hằng, do đó z ∈ Ker D và
b

1
(F z)(t) =
q0

a

b

1
q(s)z(s)ds =
q0

a

b

c
cq(s)ds =
q0

q(s)ds =
a

c
q0 = z(t).
q0

Vì thế, F z = z với z ∈ Ker D, tức là F là toàn ánh lên Ker D. Cho
x ∈ X cố định tùy ý. Đặt z = F x. Khi đó z ∈ Ker D và F 2 x = F (F x) =
F z = z = F X . Do x ∈ X tùy ý nên ta suy ra F là phép chiếu lên không
gian các hằng số Ker D. Tất cả các giả thiết của Định lý 1.3 đều được thỏa
mãn. Vậy F là toán tử ban đầu ứng với nghịch đảo phải R = R0 − F R0 với
t

(R0 x)(t) =

x(s)ds. Từ đó, R có dạng (1.24).
a

Khi q(t) ≡ 1 thì với x ∈ X,

1 b
(F x)(t) =
x(s)ds và
b−a a

t

b

x(s)ds −

(Rx)(t) =
a

a

15

b−s
x(s)ds với x ∈ X.
b−a


Thật vậy, theo công thức tích phân từng phần ta tìm được
b

t

(Rx)(t) = [(R0 − F R0 )x](t) =
t

=

s

s

x(u)du

t

1
b
x(s)ds −
b−a
b

x(s)ds −

=
a

sx(s)ds
a

b

x(s)ds −
a

t



a
a
b

a

a

b
b

a

=

x(u)du ds
a

a

1
x(s)ds −
b−a

s

1
x(s)ds −
b−a

sx(s)ds
a

b−s
x(s)ds.
b−a

a

Ví dụ 1.5. Cho X = C[a, b] và d ∈ R cố định tùy ý. Toán tử F được định
nghĩa như sau: (F x)(t) = dx(a) + (1 − d)x(b), với x ∈ X . Trong ví dụ 1.2
ta đã chỉ ra rằng các toán tử (Fa x)(t) = x(a) và (Fb x)(t) = x(b) là các toán
tử ban đầu của toán tử D = d/dt. Do vậy, theo Định lý 1.5, ta suy ra F là
một toán tử ban đầu của D = d/dt vì F = dFa + (1 − d)Fb và tổng các hệ
số d, 1 - d bằng 1. Các toán tử ban đầu Fa và Fb tương ứng với các nghịch
đảo phải Ra và Rb được xác định theo thứ tự như sau
t

(Ra x)(t) =

t

x(s)ds, với x ∈ X.

x(s)ds, (Rb x)(t) =
a

b

Vì thế, theo Định lý 1.5 toán tử F ứng với nghịch đảo phải của R =
t

t

dRa + (1 − d)Rb , tức là (Rx)(t) = d x(s)ds + (1 − d) x(s)ds, với x ∈ X .
a

b

Ví dụ 1.6. Cho X = C[0, 1] và d ∈ R cố định tùy ý. Toán tử F được định
1

nghĩa như sau: (F x)(t) = dx(0) + (1 − d)

x(s)ds. Theo Định lý 1.5 và ví
0

dụ 1.4 (với a = 0, b = 1) ta có F là toán tử ban đầu của toán tử D = d/dt
ứng với nghịch đảo phải R xác định bởi
t

t

x(s)ds − (1 − d)

(Rx)(t) = d
0

x(s)ds −
0

16

1

(1 − s)x(s)ds
0


t

1

x(s)ds + (d − 1)

=
0

1.2.3

(1 − s)x(s)ds.
0

Công thức Taylor

Định lý 1.6 (Công thức Taylor-Gontcharov). Giả sử rằng D ∈ R(X) và
FD = {Fγ }γ∈Γ là họ các toán tử ban đầu cảm sinh bởi RD = {Rγ }γ∈Γ . Cho
{γn } ⊂ Γ là dãy tùy ý các chỉ số. Khi đó, với mỗi số nguyên dương N ta có
đẳng thức sau
N −1

Rγ0 . . . Rγk−1 Fγk Dk + Rγ0 . . . RγN −1 DN trên dom DN . (1.25)

I = Fγ0 +
k=1

Chứng minh. (Bằng phương pháp quy nạp). Với N = 1 thì công thức
(1.25) ta có I = Fγ0 + Rγ0 D trên miền xác định của D.
Giả sử đẳng thức (1.25) đúng với mỗi N 1 cố định. Khi đó theo giả thiết
quy nạp ta có

Rγ0 . . . RγN DN +1 = Rγ0 . . . RγN −1 (RγN D)DN = Rγ0 . . . RγN −1 (I − FγN )DN
= Rγ0 . . . RγN −1 DN − Rγ0 . . . RγN −1 FγN DN = · · · =
N −1

Rγ0 . . . Rγk−1 Fγk Dk − Rγ0 . . . RγN −1 Fγn DN

= I − Fγ0 −
k=1
N

Rγ0 . . . Rγk−1 Fγk Dk

= I − Fγ0 −
k=1

trên miền xác định của DN +1 .
Nếu cho RγN = R và FγN = F với n = 0, 1, 2 . . . ta có ngay hệ quả sau
Hệ quả 1.1. (Công thức Taylor). Nếu D ∈ R(X) và F là một toán tử ban
đầu của D ứng với nghịch đảo phải R ∈ RD thì
N −1

Rk F Dk + RN DN trên dom DN (N = 1, 2, . . . ).

I=
k=0

17

(1.26)


Hệ quả 1.2. Giả sử tất cả các giả thiết của Định lý 1.6 được thỏa mãn. Khi
đó, với mỗi số nguyên dương N ta có
N −1

Ker D

N

Rγ0 . . . Rγk−1 zk : z0 , . . . , zN −1 ∈ Ker D}.

= {z = z0 +
k=1

N −1

Rγ0 . . . Rγk−1 zk , trong đó z0 , . . . , zN −1 ∈

Chứng minh. Giả sử rằng z = z0 +
Ker D. Từ đó do DN z = DN z0 +

k=1
N −1

N −1

k=1

k=1

DN Rγ0 . . . Rγk−1 zk =

DN −k zk = 0,

N

nên z ∈ Ker D .
Đảo lại, giả sử rằng z ∈ Ker DN . Vì DN z = 0 nên theo công thức
N −1

Taylor-Gontcharov thì z = Fγ0 +

Rγ0 . . . Rγk−1 Fγk Dk z . Đặt zk = Fγk Dk z

k=1

với k = 0, 1, 2, . . . , N − 1. Với cách đặt như thế thì z0 , . . . , zN −1 ∈ Ker D.
Vậy z có dạng cần tìm.
Ví dụ 1.7. Trong ví dụ 1.2 ta đã biết trong không gian C[a, b], D = d/dt là
t

toán tử khả nghịch phải có nghịch đảo phải là (Rx)(t) =

x(s)ds, trong đó
t0

a t0 b cố định tùy ý. Áp dụng công thức Taylor cho toán tử D = d/dt,
bằng phương pháp quy nạp ta sẽ chứng minh rằng
t
k

(R x)(t) =

(t − s)k−1
x(s)ds, với x ∈ C[a, b],
(k − 1)!

(k = 1, 2, 3, . . . ). (1.27)

t0

Với k = 1 công thức này suy ra từ định nghĩa toán tử R.
Giả sử công thức này đúng với k 1 cố định tùy ý. Theo giả thiết quy
nạp và công thức tính tích phân từng phần, ta có
t

t

(t − s)k
x(s)ds =
k!

t0

s

(t − s)k
d(
k!

t0

x(u)du).

t0
s

(t − s)k
=
k!

t

x(u)du

=
t0

+

x(u)du k

t0
t0

t

s

t
t0

(t − s)k−1
(
(k − 1)!

(t − s)k−1
ds
k!

t0

s

x(u)du)ds = [Rk (Rx)](t) = (Rk+1 x)(t).

t0

18


Do đó đẳng thức (1.27) được chứng minh.
Đặc biệt, nếu ta cho x(t) = c với a t b, trong đó c ∈ R thì ta có

(Rk c)(t) = c

(t − t0 )k
, với c ∈ R (k = 1, 2, . . . ).
(k)!

(1.28)

(t − s)k t
(t − t0 )k
(t − s)k−1
ds = −c
.
=c
t
(k

1)!
k!
(k)!
0
t0
Từ đây và công thức Taylor (1.26) suy ra rằng mỗi hàm số x ∈ C N [a, b] (N =
1, 2, . . . ) có thể biểu diễn dưới dạng
t

Thật vậy, (Rk c)(t) = c

N −1

(Rk F Dk x)(t) + (RN DN x)(t)

x(t) =
k=0

t

N −1

= (F x)(t) +
k=1 t
0
t
N −1

= x(t0 ) +
k=1 t
0
N −1

= x(t0 ) +
k=1
N −1

=
k=0

t

(t − s)k−1
(F x(k) )(s)ds +
(k − 1)!

(t − s)N −1 (N )
x (s)ds
(N − 1)!

t0
t

(t − s)k−1 (k)
x (t0 )ds +
(k − 1)!

(t − s)N −1 (N )
x (s)ds
(N − 1)!

t0
t

(t − t0 )k (k)
x (t0 ) +
k!

(t − s)N −1 (N )
x (s)ds
(N − 1)!

t0
t

(t − t0 )k (k)
x (t0 ) +
k!

(t − s)N −1 (N )
x (s)ds.
(N − 1)!

t0

Vậy ta có công thức Taylor đối với hàm số x ∈ C N [a, b] ở dạng
N −1

(t − t0 )k (k)
x (t0 ) + RN (t),
k!

(1.29)

(t − s)N −1 (N )
x (s)ds (N = 1, 2, . . . ).
(N − 1)!

(1.30)

x(t) =
k=0
t

RN (t) =
t0

Hàm số RN (t) được gọi là phần dư tích phân thứ N trong công thức
Taylor (1.29). Để có được các phần dư dưới các dạng khác, ta có thể áp dụng
tính chất cổ điển sau của các hàm số liên tục: Mỗi hàm số x ∈ C[a, b] có
19


m = inf x(t) và M = sup x(t) trong khoảng (a, b). Hơn nữa, với bất kỳ
a t b

a t b

c ∈ [m, M ] tồn tại t ∈ [a, b] sao cho x(t) = c.
Cho hàm số x ∈ C N [a, b] (N = 1, 2, . . . ). Đặt m = inf x(N ) (t) và
a t b

(N )

M = sup x

N −1

(t). Để ý rằng hàm số (t − s)

/(N − 1)! không âm với

a t b

t0

s

t. Do vậy, ta có
t

(t − t0 )N
=m
m
N!

t

(t − s)N −1
ds
(N − 1)!

RN (t)

t0

M

(t − s)N −1
(t − t0 )N
=M
.
(N − 1)!
N!

t0

Do đó tồn tại một số θ ∈ (0, 1) sao cho s = t0 + θ(t − t0 ) và

RN (t) = x

(N )

(t − t0 )N
, 0 < θ < 1.
(t0 + θ(t − t0 ))
N!

(1.31)

(1.31) là phần dư dạng Lagrange.
(t − s)N −1 (N )
(t − s)N −1 (N )
Nếu ta đặt m(t) = inf
x (s), M (t) = sup
x (s)
a s b (N − 1)!
a s b (N − 1)!
thì ta có m(t)(t − t0 ) RN (t) M (t)(t − t0 ), với mọi t ∈ [a, b].
Khi đó tồn tại một số θ ∈ (0, 1) sao cho
(N )

RN (t) = x

{t − [t0 + θ (t − t0 )]}N −1
(t − t0 )
(t0 + θ (t − t0 ))
(N − 1)!

(N )

=x

(1 − θ )N −1 (t − t0 )N
.
(t0 + θ (t − t0 ))
(N − 1)!

(1.32)

(1.32) là phần dư dạng Cauchy.
Nếu t0 = 0 ∈ [a, b] thì (1.27) có tên gọi là công thức Maclaurin
N −1 k

x(t) =
k=0

t (k)
x (0) + RN (t),
k!

(1.33)

(t − s)N −1 (N )
tN
(N )
trong đó RN (t) =
x (s)ds hoặc RN (t) = x (θt) , 0 <
N!
0 (N − 1)!
N −1 N
(1 − θ )
t
θ < 1 hoặc RN (t) = x(N ) (θ t)
, 0 < θ < 1.
(N − 1)!
Bây giờ giả sử
1

x ∈ C ∞ [a, b] và lim RN (t) = 0, với t ∈ [a, b].
N →∞

20

(1.34)


Khi đó công thức (1.29) suy ra


(t − t0 )k
x (t0 )
.
x(t) =
k!
k=0
(k)

(1.35)

Chuỗi hội tụ (1.35) được gọi là chuỗi Taylor. Nếu điều kiện (1.34) thỏa
mãn thì ta nói hàm số x(t) khai triển thành chuỗi Taylor trong khoảng [a,b].
Đặc biệt, nếu t0 = 0 và điều kiện (1.34) thỏa mãn thì ta nói hàm số x(t) khai
triển thành chuỗi Maclaurin ở dạng


tk
x (0) .
x(t) =
k!
k=0
(k)

(1.36)

Để ý rằng chuỗi Taylor và chuỗi Maclaurin là các chuỗi lũy thừa, tức là có


ak (t − t0 )k , trong đó ak ∈ R. Thật vậy, ta có thể đặt ak = x(k) (t0 )/k!

dạng
k=0

với k = 0, 1, 2, . . . .
Khai triển Maclaurin cho một số hàm sơ cấp đơn giản.

t2 t3
tn
e = 1 + + + ··· + + ...
2! 3!
n!
3
5
t
t2m−1
t
m−1
+ ...
sin t = t − + − · · · + (−1)
3! 5!
(2m − 1)!
t2 t4
t2m
cos t = 1 − + − · · · + (−1)m
+ ...
2! 4!
(2m)!
n
t2 t3
n−1 t
+ . . . ∀t ∈ (−1, 1]
ln(1 + t) = t − + − · · · + (−1)
2
3
n
m(m − 1) . . . (m − n + 1) n
(1 + t)m = 1 + mt + · · · +
t + . . . ∀t ∈ (−1, 1).
n!
t

1.3

Các phép toán của toán tử nghịch đảo phải Volterra

Định lý 1.7. Cho D ∈ R(X), R1 , R2 ∈ RD . Khi đó R1 R2 là một toán tử
Volterra nếu và chỉ nếu R2 R1 là toán tử Volterra.
Chứng minh. Giả sử R1 R2 ∈ V (X), tức là ∀t ∈ F toán tử (I − tR1 R2 )
khả nghịch.
Đặt eR1 R2 := (I − tR1 R2 )−1 , E := I + tR2 eR1 R2 R1 , t ∈ C. Khi đó, E
được xác định tốt trên X . Ta cần chứng minh R2 R1 là toán tử Volterra, tức
là I − tR2 R1 khả nghịch với mọi t ∈ F . Thật vậy, ta có

(I − tR2 R1 )E = (I − tR2 R1 )(I + tR2 eR1 R2 R1 )
21


= I − tR2 R1 + tR2 (I − tR1 R2 )eR1 R2 R1
= I − tR2 R1 + tR2 R1 = I
E(I − tR2 R1 ) = (I + tR2 eR1 R2 R1 )(I − tR2 R1 )
= I − tR2 R1 + tR2 eR1 R2 R1 (I − tR2 R1 )
= I − tR2 R1 + tR2 eR1 R2 (I − tR1 R2 )R1
= I − tR2 R1 + tR2 R1 = I.
Vậy (I − tR2 R1 ) khả nghịch, ∀t ∈ C.
Tương tự ta chứng minh được rằng R1 R2 là toán tử Volterra nếu R2 R1
là toán tử Volterra.
Định lý 1.8. Cho D ∈ R(X) và R1 , R2 là các nghịch đảo phải Volterra của
D. Khi đó, điều kiện cần và đủ để R1 R2 là toán tử Volterra là

F2 (I − tR12 )−1 z = 0, ∀t ∈ C, 0 = z ∈ Ker D

(1.37)

trong đó Fj ∈ FD tương ứng với Rj (j = 1, 2, . . . ) là các toán tử ban đầu
tương ứng của Dj .
Chứng minh. Để ý rằng, R1 R2 ∈ RD2 và R12 ∈ RD2 ∩ V (X). Do đó, D2
có vector riêng thì vector riêng đó có dạng

q = (I − tR12 )−1 , 0 = z ∈ Ker D2 , v ∈ C.
Cho v ∈ C, ta cần kiểm tra điều kiện sau

(I − vR1 R2 )q = 0, 0 = z ∈ Ker D2 , v ∈ C
tương đương với điều kiện (1.37).
Nếu v = t, thì

u = (I − vR1 R2 )q = (I − vR1 R2 )(I − tR12 )−1 z
= [I − tR12 + R1 (tR1 − vR2 )](I − tR12 )−1 z
= z + R1 (tR1 − vR2 )(I − tR12 )−1 z.
Do đó, D2 u = (t − v)(I − tR12 )−1 z = 0 vì z = 0, t = v , nên u = 0.
Nếu v = t, thì u = (I − tR1 R2 )q . Xét 2 trường hợp
22

(1.38)


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×