Tải bản đầy đủ

Hình học của các đường cong tham số hóa hữu tỉ

Lời nói đầu
Bài toán tham số hóa siêu mặt đại số, đặc biệt đối với đường cong đại số và mặt đại số là một
chủ đề thú vị của Hình học đại số. Hơn nữa, vấn đề này có nhiều ứng dụng thiết thực trong lĩnh vực
thiết kế đồ họa máy tính. Vì vậy, nó đã và đang trở thành đối tượng nghiên cứu của nhiều nhà toán
học và tin học.
Năm 2008, J. R. Sendra và các cộng sự đã cho ra đời một cuốn sách có tựa đề "Rational Algebraic
Curvers". Đây là một trong số rất ít sách đề cập về bài toán tham số hóa. Nội dung chính của cuốn
sách này là nhằm tìm ra một phép tham số hóa hữu tỉ của một đường cong đại số cho trước và nếu
phép tham số hóa tồn tại thì sẽ đi tìm phép tham số hóa tốt nhất đồng thời phân loại các phép tham
số hóa.
Như vậy, một câu hỏi tự nhiên là, nếu đường cong cho bởi một phép tham số thì ngoài những lợi
ích mà phép tham số hóa mang lại như đã nói thì việc nghiên cứu các tính chất hình học của nó có
hạn chế nào so với một đường cong cho dưới dạng một đa thức? Cụ thể là việc tìm bậc của đường
cong, tìm số bội của một điểm bất kì và từ đó xác định các điểm kì dị, đếm số điểm kì dị, ... có gì
khó khăn? Một trong các câu trả lời đã được S. Pérez-Díaz, một trong ba tác giả của cuốn sách nói
trên, đưa ra trong một bài báo ([4]) của mình vào năm 2007.
Bản luận văn của chúng tôi không có kết quả mới. Công việc của người viết là trình bày lại những
nội dung chính nêu ở trên đồng thời tính toán thêm nhiều ví dụ tương đối phức tạp. Qua đây tác
giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến người thầy, người hướng dẫn khoa học của mình,
TS. Phó Đức Tài. Thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ tác giả từ những ngày đầu làm
quen với Hình học đại số, đến quá trình viết và bảo vệ luận văn này.

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin, trường Đại học Khoa
học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, đặc biệt là các thầy cô trong Bộ môn Đại số - Hình học Tô pô đã tạo điều kiện cho tác giả được học tập và nghiên cứu trong một môi trường khoa học. Xin
cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học
tập và nghiên cứu.

Hà Nội, mùa hè năm 2012.
Học viên
Hà Đăng Toàn

i


Mục lục
Lời nói đầu

i

0 Kiến thức chuẩn bị

1

0.1

Đường cong đại số và trường hàm hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

0.2

Ánh xạ hữu tỉ và song hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

0.3

Số giao và hệ tuyến tính của các đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

0.4


Giải kì dị đường cong đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

0.5

Không gian ước và giống. Định lí Riemann

7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 Các thuật toán tham số hóa hữu tỉ

8

1.1

Đường cong hữu tỉ và các phép tham số hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2

Tham số hóa bằng các đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3

Tham số hóa bằng các đường cong liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Hình học của các đường cong tham số hóa hữu tỉ.

13

2.1

Chỉ số vết và tính thực sự của một phép tham số hóa hữu tỉ. . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2

Phép tham số hóa chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3

Hình học của các đường cong hữu tỉ cho dưới dạng tham số hóa . . . . . . . . . . . . . 15

Kết luận

17

Tài liệu tham khảo

18

ii


Chương 0

Kiến thức chuẩn bị
Ở đây cũng như trong toàn bộ luận văn, ta xét k là một trường đóng đại số, có đặc số 0. Còn
khái niệm đường cong được hiểu là đường cong không có thành phần bội, cụ thể hơn là, đa thức
định nghĩa của nó không chứa thừa số bội.

0.1

Đường cong đại số và trường hàm hữu tỉ

0.1.1

Không gian afin và không gian xạ ảnh

0.1.2

Tập đại số. Đa tạp afin, đa tạp xạ ảnh

Giả sử F ∈ k[X1 , ..., Xn ], một điểm P = (a1 , ..., an ) trong An được gọi là một không điểm của F
nếu F (P ) = F (a1 , ..., an ) = 0. Nếu F không là hằng số thì tập tất cả các không điểm của F được
gọi là một siêu mặt định nghĩa bởi F và kí hiệu là V (F ).
Tổng quát hơn, nếu S là một tập các đa thức trong k[X1 , ..., Xn ], ta kí hiệu
V (S) = {P ∈ An |F (P ) = 0, ∀F ∈ S},
tức là V (S) = ∩F ∈S V (F ).
Một tập X ⊂ An được gọi là một tập đại số afin nếu X = V (S) với S nào đó.
Đặc biệt, trong A2 ta có định nghĩa:
Định nghĩa 0.1. Một đường cong đại số afin phẳng trên k là một tập đại số
C = V (F ) = {(a, b) ∈ A2 (k)|F (a, b) = 0},
trong đó F (X, Y ) ∈ k[X, Y ] là một đa thức khác hằng.
Khi đó F được gọi là đa thức định nghĩa của C (và tất nhiên, một đa thức G = c.F , với c = 0
nào đó thuộc k, cũng định nghĩa cùng một đường cong).

1


Định nghĩa 0.2. Một đường cong đại số xạ ảnh phẳng trên k được định nghĩa bởi tập hợp
C = V (F ) = {[a : b : c] ∈ P2 (k)|F (a, b, c) = 0},
với một đa thức thuần nhất khác hằng không chứa thừa số bội F (X, Y, Z) ∈ k[X, Y, Z]. Ta gọi F là
một đa thức định nghĩa của C.
Khái niệm bậc, thành phần và tính bất khả quy (như trong định nghĩa 0.1 cho đường cong afin)
có thể sử dụng cho đường cong xạ ảnh một cách tương tự.
Nếu đường cong afin định nghĩa bởi đa thức F (X, Y ) thì ta có thể nhận được đường cong xạ ảnh
C∗

tương ứng bằng cách thuần nhất hóa F (X, Y ) thành F ∗ (X, Y, Z). Nghĩa là, nếu:
F (X, Y ) = Fr (X, Y ) + Fr+1 (X, Y ) + . . . + Fm (X, Y ),

thì:
F ∗ (X, Y, Z) = Fr (X, Y )Z m−r + Fr+1 (X, Y )Z m−r−1 + . . . + Fm (X, Y ),

C ∗ = {[a : b : c] ∈ P2 (k)|F ∗ (a, b, c) = 0}.
Định nghĩa 0.3. Đường cong xạ ảnh tương ứng với một đường cong afin C trên k được gọi là bao
đóng xạ ảnh của C trong P2 (k).

0.1.3

Nón tiếp xúc tại điểm kì dị của đường cong phẳng

Trước hết, ta cần có khái niệm về điểm kì dị của đường cong afin phẳng.
Định nghĩa 0.4. Cho C là một đường cong afin trên k định nghĩa bởi F (X, Y ) ∈ k[X, Y ] và
P = (a, b) ∈ C. Ta nói rằng P có bội là r trên C nếu và chỉ nếu các đạo hàm riêng (theo X, Y ) của
F cho tới bậc r − 1 triệt tiêu tại P nhưng ít nhất một đạo hàm riêng bậc r không triệt tiêu tại P .
Ta ký hiệu bội của P trên C là multP (C).
Khi đó, nếu multP (C) = 0 thì P ∈
/ C, nếu multP (C) = 1 ta nói P là một điểm đơn trên C, còn nếu
multP (C) = r > 1 thì ta gọi P là một điểm kỳ dị (hay kỳ dị) bội r trên C hay điểm bội r. Ta nói
rằng một đường cong là không kì dị (hay trơn) nếu nó không có điểm kì dị.
Định nghĩa 0.5. Một kì dị P bội r trên một đường cong afin C được gọi là thông thường nếu r tiếp
tuyến với C tại P là phân biệt, và không thông thường nếu ngược lại.
Mệnh đề 0.6. ([5], chương 2, Định lý 2.10) Một đường cong afin phẳng chỉ có hữu hạn điểm kì dị.

Mệnh đề 0.7. ([5], chương 2, Định lý 2.13) Giả sử P là một điểm đơn của đường cong xạ ảnh C
xác định bởi đa thức F (X, Y, Z). Khi đó:
X

∂F
∂F
∂F
(P ) + Y
(P ) + Z
(P )
∂Y
∂Y
∂Z

là đa thức định nghĩa của tiếp tuyến với C tại P .
2


Mệnh đề 0.8. ([5], chương 2, Định lý 2.14) Điểm P ∈ P2 (k) là một kỳ dị của đường cong xạ ảnh C
∂F
∂F
∂F
(định nghĩa bởi đa thức thuần nhất F (X, Y, Z)) nếu và chỉ nếu
(P ) =
(P ) =
(P ) = 0.
∂X
∂Y
∂Z
Mệnh đề 0.9. ([5], chương 2, Định lý 2.15) Giả sử C đường cong xạ ảnh định nghĩa bởi đa thức
thuần nhất F (X, Y, Z) bậc m. Khi đó P ∈ P2 (k) là một điểm có bội ít nhất bằng r trên (r ≤ m) khi
và khi nếu mọi đạo hàm riêng thứ r − 1 của F triệt tiêu tại P .

0.1.4

Vành tọa độ và trường hàm hữu tỉ của một đường cong

Mệnh đề 0.10. ([1], chương 2, Mệnh đề 2.)
1. Tập hợp các điểm cực của một hàm hữu tỉ là một tập con đại số của V.
2. Γ(V ) =

OP (V ).
P ∈V

Mệnh đề 0.11. ([1], chương 2, Mệnh đề 2) OP (V ) là một miền nguyên Noether địa phương.
Mệnh đề 0.12. ([1], chương 3, Định lí 1.) P là một điểm đơn trên C khi và chỉ khi OP (C) là một
vành giá trị rời rạc. Trong trường hợp đó, nếu L = aX + bY + C là đường thẳng qua P nhưng không
tiếp xúc C tại P thì ảnh l của L là trong OP (C) một tham số đơn trị của OP (C).

0.1.5

Ánh xạ đa thức và phép biến đổi tọa độ

Định nghĩa 0.13. Giả sử V ⊂ An , W ⊂ Am là các đa tạp. Một ánh xạ ϕ : V → W được gọi một là
ánh xạ đa thức nếu tồn tại các đa thức T1 , T2 , ..., Tm ∈ k[X1 , X2 , ..., Xn ] sao cho
ϕ(a1 , a2 , ..., an ) = (T1 (a1 , a2 , ..., an ), T2 (a1 , a2 , ..., an ), ..., Tm (a1 , a2 , ..., am )),
với mọi (a1 , a2 , ..., an ) ∈ V.
Mệnh đề 0.14. ([1], chương 2, Mệnh đề 1.) Giả sử V ⊂ An , W ⊂ Am là các đa tạp. Khi đó, có một
tương ứng tự nhiên 1 − 1 giữa các ánh xạ đa thức ϕ : V → W và các đồng cấu ϕ˜ : Γ(W ) → Γ(V ).
Mọi ánh xạ ϕ như thế đều là hạn chế của một ánh xạ đa thức từ An tới Am .

0.2

Ánh xạ hữu tỉ và song hữu tỉ

0.2.1

Tôpô Zariski và khái niệm đa tạp tổng quát và số chiều của đa tạp

0.2.2

Ánh xạ hữu tỉ, ánh xạ song hữu tỉ và sự tương đương song hữu tỉ giữa các
đường cong.

Giả sử ϕ : X → Y là một ánh xạ giữa hai tập hợp X, Y ⊂ An . Phép hợp thành với ϕ tạo nên
một đồng cấu vành ϕ˜ : F(Y, k) → F(X, k) tức là ϕ(f
˜ ) = f ◦ ϕ.
3


Định nghĩa 0.15. Cho X và Y là các đa tạp. Một cấu xạ từ X tới Y là một ánh xạ ϕ : X → Y sao
cho
1. ϕ liên tục;
2. Với mọi tập mở U của Y, nếu f ∈ Γ(U, OY ) thì ϕ(f
˜ ) = f ◦ ϕ ∈ Γ(ϕ−1 (U ), OX ).
Một đẳng cấu của X với Y là một cấu xạ 1 − 1 từ X lên Y sao cho ϕ−1 là cấu xạ.
Mệnh đề 0.16. ([1], chương 6, Mệnh đề 2) Giả sử X, Y là các đa tạp afin.Khi đó, có một tương ứng
tự nhiên 1 − 1 giữa các cấu xạ ϕ : X → Y và các đồng cấu ϕ˜ : Γ(Y ) → Γ(X). Nếu X ⊂ An , Y ⊂ Am
thì một cấu xạ chính là một ánh xạ đa thức từ X tới Y.
Mệnh đề 0.17. ([1], chương 6, Hệ quả của Mệnh đề 7) Giả sử f, g : X → Y là các cấu xạ. Khi đó,
tập {x ∈ X|f (x) = g(x)} là một tập đóng trong X. Hơn nữa, nếu f và g đồng nhất trên một tập trù
mật của X thì f = g.
Định nghĩa 0.18.

1. Một lớp tương đương f các cấu xạ từ X tới Y được gọi là một ánh xạ hữu

tỉ từ X tới Y. Ánh xạ hữu tỉ f được gọi là trội nếu f (U ) trù mật trong X, với mọi U là đa tạp
con mở của X.
2. Một ánh xạ hữu tỉ F : X → Y được gọi là ánh xạ song hữu tỉ nếu tồn tại các tập mở
U ⊂ X, V ⊂ Y và đẳng cấu f : U → Y là một đại diện của lớp tương đương F. Khi đó, ta cũng
nói các đa tạp X và Y là tương đương song hữu tỉ.
Mệnh đề 0.19. ([1], chương 6, Mệnh đề 12) Hai đa tạp là tương đương song hữu tỉ khi và chỉ khi
các trường hàm của chúng là đẳng cấu.
Hệ quả 0.20. Mọi đường cong đều tương đương song hữu tỉ với một đường cong phẳng.
Ta nói rằng một đa tạp là hữu tỉ nếu nó tương đương song hữu tỉ với An hoặc Pn với n nào đó.
Đặc biệt, ta có khái niệm quan trọng sau.
Định nghĩa 0.21. Một đường cong đại số được gọi là đường cong hữu tỉ nếu nó tương đương song
hữu tỉ với A1 hoặc P1 .

0.2.3

Bậc của ánh xạ hữu tỉ trội

Định nghĩa 0.22. Cho ánh xạ hữu tỉ trội ϕ : W1 → W2 với dim W1 = dim W2 . Ta định nghĩa bậc
của ϕ là bậc của mở rộng hữu hạn đại số k(W1 ) trên ϕ(k(W
˜
2 )), tức là:
deg(ϕ) = [k(W1 ) : ϕ(k(W
˜
2 ))].

4


0.3

Số giao và hệ tuyến tính của các đường cong

0.3.1

Số giao của các đường cong. Định lí Bézout

Định lý 0.23. (Định lý Bezout) Cho F và G là các đường cong xạ ảnh bậc m, n tương ứng. Giả
sử F và G không có nhân tử chung. Khi đó

IP (F, G) = mn.
P ∈P2

0.3.2

Chu trình giao. Định lí Max Noether

0.3.3

Hệ tuyến tính các đường cong.

Bổ đề 0.24. ([1], chương 5, Bổ đề trong mục 5.2)
(1) Giả sử P ∈ P2 . Khi đó, tập hợp các đường cong phẳng xạ ảnh bậc d đi qua P là một siêu mặt
của P

d(d+3)
2

.

(2) Nếu T : P2 → P2 là một phép biến đổi tọa độ thì ánh xạ F → F T từ tập các đường cong bậc d
vào chính nó là một phép biến đổi tọa độ của P

d(d+3)
2

.

Giả sử P1 , P2 , ..., Pn là các điểm trong P2 , r1 , r2 , ..., rn là các số nguyên không âm. Đặt V (d, r1 P1 , r2 P2 , ..., rn Pn )
là tập hợp các đường cong bậc d mà mPi (F ) ≥ ri , (1 ≤ i ≤ n).
Mệnh đề 0.25. ([1], chương 5, Định lí 1)
1. V (d, r1 P1 , r2 P2 , ..., rn Pn ) là đa tạp con tuyến tính của P
d(d+3)
2



2. Nếu d ≥

0.4

d(d+3)
2

với số chiều không nhỏ hơn

ri (ri +1)
.
2

ri thì dim V (d, r1 P1 , r2 P2 , ..., rn Pn ) =

d(d+3)
2



ri (ri +1)
.
2

Giải kì dị đường cong đại số

0.4.1

Phép nổ một điểm trong không gian afin

0.4.2

Phép nổ các điểm trong không gian xạ ảnh

0.4.3

Phép biến đổi bậc hai

Trong P2 ta gọi các điểm P = [0 : 0 : 1], P ′ = [0 : 1 : 0], P ′′ = [1 : 0 : 0] là các điểm cơ sở;
L = V (Z), L′ = V (Y ), L′′ = V (X) là các đường thẳng cá biệt. Chú ý rằng P là giao điểm của L′ và
L′′ , còn L đi qua P ′ và P ′′ . Kí hiệu U = P2 \V (XY Z).
Định nghĩa 0.26. Phép biến đổi Q : P2 \{P, P ′ , P ′′ } → P2 định nghĩa bởi Q([x : y : z]) = [yz : xz :
xy], được gọi là phép biến đổi bậc hai chuẩn hay phép biến đổi Cremona chuẩn. Với mỗi phép biến
đổi tọa độ T ta gọi Q ◦ T là một phép biến đổi bậc hai.
5


Cho C là một đường cong xạ ảnh bậc n định nghĩa bởi đa thức F và các điểm cơ sở P, P ′ , P ′′ có
bội tương ứng là r1 , r2 , r3 trên C. Giả sử F˜ là dạng biến đổi bậc hai của F và C˜ là đường cong định
nghĩa bởi F˜ . Các kết quả sau đây đã được chứng minh trong [1].
(1) Z r1 là lũy thừa cao nhất của Z mà là ước của F Q .
˜ = F, F˜ bất khả quy và C˜ = V (F˜ ).
(2) deg(F˜ ) = 2n − r1 − r2 − r3 , F˜
(3) C˜ có bội n − r2 − r3 , n − r1 − r3 , n − r1 − r2 , tương ứng tại P, P ′ , P ′′ .
(4) Nếu C có vị trí tốt thì C˜ cũng có vị trí tốt.
˜ ≤ I(Pi , C˜∩L)
(5) Nếu C có vị trí tốt và P1 , P2 , ..., Ps không phải các điểm cơ sở trong C˜∩L thì mPi (C)
s

I(Pi , C˜ ∩ Z) = r1 .
i=1

(6) Nếu C có vị trí hoàn hảo thì C˜ có các tính chất sau:
(a) Có một sự tương ứng bảo toàn bội, bảo toàn tính chất giữa các điểm bội của C˜ trong U
với các điểm bội của C trong U.
(b) P, P ′ , P ′′ là các điểm bội thông thường có số bội lần lượt là n, n − r1 , n − r1 .
(c) Trên C˜ ∩ L′ hoặc C˜ ∩ L′′ không có điểm nào không phải điểm cơ sở. Giả sử trên C˜ ∩ L có các
s
˜ ≤ I(Pi , C˜ ∩ L) và
điểm P1 , ..., Ps là các điểm không phải cơ sở thì mP (C)
I(Pi , C˜ ∩ L) =
i

i=1

r1 .

(7) Với một đường cong xạ ảnh C như giả thiết có các điểm kì dị có bội bằng rP = mP (C), kí hiệu
g∗ (C) =

(n − 1)(n − 2)

2

rP (rP − 1)
.
2

và ta có thể chứng minh được rằng đây là một số không âm.
s
ri (ri −1)
˜ = g ∗ (C) −
˜ và P1 , ..., Ps là các
Nếu C có vị trí hoàn hảo thì g∗ (C)
, với ri = mPi (C)
2
1=1

điểm khác cơ sở của C˜ ∩ L.

Bổ đề 0.27. ([1], chương 7, Bổ đề 1) Cho C là một đường cong xạ ảnh phẳng bất khả quy, P là một
điểm trên C. Khi đó, có một phép biến đổi tọa độ T sao cho F T có vị trí hoàn hảo và T ([0 : 0 : 1]) = P.

Mệnh đề 0.28. ([1], chương 7, Định lí 2) Bằng một dãy hữu hạn các phép biến đổi bậc hai, một
đường cong xạ ảnh bất khả quy biến đổi thành một đường cong chỉ có các kì dị thường.
Định nghĩa 0.29. Cho C là một đường cong phẳng xạ ảnh bất khả quy, P ∈ Sing(C). Nếu P là kì
dị thông thường thì cây lân cận tại P bao gồm nút đơn P . Còn nếu P là kì dị không thông thường
thì cây lân cận tại P có P là gốc và cây lân cận của các điểm kì dị lân cận của P tại lân cận thứ
nhất như các cây con.
Đồ thị lân cận của P , ký hiệu là Ngr(C), là tập các cây lân cận của tất cả các điểm kì dị của C.
6


Định nghĩa 0.30. Một đường cong xạ ảnh C ′ được gọi là một liên hợp của đường cong bất khả quy
C khi và chỉ khi multP (QP (C ′ )) ≥ multP (QP (C)) − 1 với ∀P ∈ Ngr(C).
Ta nói rằng C ′ là một đường cong liên hợp bậc m của C nếu C ′ là liên hợp của C và deg(C ′ ) = m.

0.4.4

Mô hình không kì dị của đường cong đại số

Mệnh đề 0.31. ([1], chương 7, Định lí 3) Cho C là một đường cong xạ ảnh. Khi đó có một đường
cong xạ ảnh không kì dị X và cấu xạ song hữu tỉ f từ X lên C. Nếu f ′ : X ′ → C cũng là một mô hình
như vậy thì tồn tại duy nhất đẳng cấu g : X → X ′ sao cho f ′ ◦ g = f.

0.5

Không gian ước và giống. Định lí Riemann

0.5.1

Giới thiệu về ước và không gian L(D)

Một ước trên X là một tổng hình thức D =

P ∈X

nP P , nP ∈ Z và chỉ có hữu hạn nP khác

không. Như thế, các ước trên X làm thành một nhóm abel tự do trên tập X .
Với z ∈ k(C) định nghĩa ước của z, div(z) =
hữu hạn cực và không điểm. Ta kí hiệu (z)0 =
(z)∞ =
div(zz ′ )

P ∈X

ordP (z)P. Đây là định nghĩa tốt do z chỉ có

ordP (x)>0 ordP (z)P

là ước của các không điểm và

ordP (x)<0 ordP (z)P là ước của các điểm cực. Khi đó, div(z) = (z)0 − (z)∞
= div(z) + div(z ′ ) và div(z −1 ) = − div(z). Hơn nữa, deg(div(z)) = 0.

Ta xét một ước D =

P ∈X

và dễ thấy rằng

nP P và tập hợp

L(D) = {f ∈ k(C)| ordP (f ) ≥ −nP , ∀P ∈ X}.
Mệnh đề 0.32. ([1], Chương 8, Mệnh đề 3)
1. Nếu D ≤ D ′ thì L(D) ⊂ L(D ′ ) và dimk (L(D ′ )/L(D)) ≤ deg(D ′ − D).
2. L(0) = k, L(D) = 0 nếu deg(D) < 0.
3. l(D) < +∞ và nếu deg(D) ≥ 0 thì l(D) ≤ deg(D) + 1.
4. Nếu D ≡ D ′ thì l(D) = l(D ′ ).

0.5.2

Định lí Riemann và giống của đường cong

Định lý 0.33. (Định lí Riemann) Tồn tại một số nguyên g sao cho l(D) ≥ deg(D) + 1 − g với
mọi ước D. Số nguyên nhỏ nhất như vậy được gọi là giống của đường cong C hoặc X .
Mệnh đề 0.34. ([1], chương 8, Mệnh đề 5) Giả sử C là một đường cong phẳng chỉ có các kì dị
thường. Khi đó, nếu n = deg(C) và rP = mP (C) thì giống của đường cong cho bởi công thức
g=

(n − 1)(n − 2)

2

7

P ∈C

rP (rP − 1)
.
2


Chương 1

Các thuật toán tham số hóa hữu tỉ
Trong phần còn lại của luận văn ta luôn giả sử một phép tham số hóa afin hữu tỉ luôn được cho
dưới dạng P(t) = (f (t), g(t)) =

fn (t) gn (t)
fd (t) , gd (t)

. Trong đó, f, g ∈ k(t), fn , fd , gn , gd ∈ k[t]. Ngoài ra, với

P(t) như vậy ta còn xét các đa thức f (s, t) = fn (t)fd (s) − fn (s)fd (t), g(s, t) = gn (t)gd (s) − gn (s)gd (t),
các đa thức này được sử dụng nhiều trong chương 2.

1.1

Đường cong hữu tỉ và các phép tham số hóa

Định nghĩa 1.1. Cho đường cong afin C trong A2 (k) định nghĩa bởi đa thức F (X, Y ). Cặp hàm
hữu tỉ (f (t), g(t)) ∈ k(t)2 được gọi là một phép tham số hóa afin hữu tỉ của C nếu
1. Với hầu hết t0 ∈ k, điểm (f (t0 ), g(t0 )) thuộc C.
2. Với hầu hết các điểm (x0 , y0 ) ∈ C, có một t0 ∈ k sao cho (x0 , y0 ) = (f (t0 ), g(t0 )).
Ta nói (f (t), g(t)) là tối giản nếu các hàm f (t) và g(t) đều có dạng tối giản, nghĩa là, tử số và mẫu
số của chúng chỉ có các ước chung tầm thường.
Định nghĩa 1.2. Cho đường cong xạ ảnh C trong P2 (k) định nghĩa bởi đa thức thuần nhất
F (X, Y, Z). Bộ các đa thức f (t), g(t), h(t) ∈ k[t], gcd(f, g, h) = 1 được gọi là phép tham số hóa
xạ ảnh hữu tỉ của C nếu
1. Với hầu hết t0 ∈ k, điểm (f (t0 ), g(t0 ), h(t0 )) thuộc C.
2. Với hầu hết các điểm [x0 : y0 : z0 ] ∈ C, có một t0 ∈ k sao cho [x0 : y0 : z0 ] = [f (t0 ) : g(t0 ) : h(t0 )].
Mệnh đề 1.3. ([5], chương 4, Định lý 4.4) Mọi đường cong tham số hóa hữu tỉ được, nghĩa là có
phép tham số hóa hữu tỉ, đều bất khả quy.
Định lý 1.4. (Định lí L¨
uroth) Giả sử L là một trường (không nhất thiết đóng đại số), t là một
phần tử siêu việt trên L. Nếu K là một trường con thực sự của L(t) chứa L thì K là L−đẳng cấu với
L(t).
8


Mệnh đề 1.5. ([5], chương 4, Định lí 4.9) Một đường cong afin C là tham số hóa hữu tỉ được khi
và chỉ khi k(C) là đẳng cấu với k(t) (với t là một phần tử siêu việt).
Bổ đề 1.6. ([5], chương 4, Bổ đề 4.5) Cho C là một đường cong afin bất khả quy và C ∗ là đường
cong xạ ảnh tương ứng. Khi đó C là hữu tỉ khi và chỉ khi C ∗ là hữu tỉ. Hơn nữa, một phép tham số
hóa của C có thể tính từ một phép tham số hóa của C ∗ và ngược lại.
Bổ đề 1.7. ([5], chương 4, Bổ đề 4.6.) Cho C là đường cong afin trên k, F (X, Y ) là đa thức định
nghĩa của nó, và P(t) = (f (t), g(t)) là một phép tham số hóa hữu tỉ của C. Khi đó, tồn tại r ∈ N sao
cho
Rest (Xfd (t) − fn (t), Y gd (t) − gn (t))) = (F (X, Y ))r .

Mệnh đề 1.8. ([5], chương 4, Định lý 4.7) Một đường cong bất khả quy C, định nghĩa bởi F (X, Y ),
là hữu tỉ nếu và chỉ nếu tồn tại các hàm hữu tỉ (f (t), g(t)) ∈ k(t)2 với ít nhất một thành phần khác
hằng số, sao cho F (f (t), g(t)) = 0. Khi đó, (f (t), g(t)) là phép tham số hóa hữu tỉ của C.
Mệnh đề 1.9. ([5], chương 4, Định lý 4.11) Nếu một đường cong đại số là hữu tỉ thì giống của nó
bằng 0.
Định nghĩa 1.10. Một phép tham số hóa afin P(t) của một đường cong hữu tỉ C là thực sự nếu
ánh xạ P : A1 (k) → C, t → P(t) là song hữu tỉ. Nói cách khác, hầu hết các điểm trên C sinh bởi đúng
một giá trị của tham số t.
Ta gọi nghịch đảo của phép tham số hóa thực sự P(t) là ánh xạ hữu tỉ ngược của P, và kí hiệu
là P −1 .
Từ định nghĩa 1.10 và định nghĩa 0.21 ta có bổ đề sau:
Bổ đề 1.11. ([5], chương 4, Bổ đề 4.13) Mọi đường cong hữu tỉ đều có phép tham số hóa thực sự.

1.2
1.2.1

Tham số hóa bằng các đường thẳng
Phép tham số hóa các đường cong có một điểm bội lớn

Mệnh đề 1.12. ([5], chương 4, Định lý 4.46) Cho C là đường cong xạ ảnh bất khả quy bậc d định
nghĩa bởi đa thức F (X, Y, Z) = Fd (X, Y ) + Fd−1 (X, Y )Z (Fi tương ứng là thành phần thuần nhất bậc
i), nghĩa là điểm P [0 : 0 : 1] là điểm bội d − 1. Khi đó C là hữu tỉ và một phép tham số hóa hữu tỉ
của nó là
Q(t) = (−Fd−1 (1, t), −t.Fd−1 (1, t), Fd (1, t)).
Như vậy, nếu F (X, Y, Z) là đa thức định nghĩa của một đường cong xạ ảnh bất khả quy C bậc d
với một điểm bội d − 1, thuật toán tìm một phép tham số hóa của C như sau:
9


Bước 1. Nếu d = 1 vấn đề là tầm thường, ta sẽ tham số hóa C bằng 1 điểm không thuộc đường thẳng.
Nếu d > 1, tìm điểm P bội d − 1 của C. Không mất tính tổng quát giả sử P = [a : b : 1].
Bước 2. Đặt G(X, Y ) := F (X + a, Y + b, 1). Giả sử Gd và Gd−1 tương ứng là các thành phần thuần
nhất bậc d và bậc d − 1 của G(X, Y ).
Bước 3. Phép tham số hóa cần tìm P(t) = (−Gd−1 (1, t)+aGd (1, t), −tGd−1 (1, t)+bGd (1, t), Gd (1, t)).

1.2.2

Lớp các đường cong có thể tham số hóa bằng các đường thẳng

Mệnh đề 1.13. ([5], chương 4, Định lý 4.49) Cho C là đường cong xạ ảnh phẳng bất khả quy bậc
d > 1. Các phát biểu sau là tương đương:
1. C là tham số hóa được bằng một chùm các đường thẳng H(t).
2. C có một điểm bội d − 1 và điểm này là cơ sở của H(t).

1.3

Tham số hóa bằng các đường cong liên hợp

Định nghĩa 1.14. Một hệ tuyến tính các đường cong H tham số hóa C nếu và chỉ nếu:
1. dim H = 1,
2. Giao của một phần tử bất kỳ trong H và C bao gồm một điểm khác hằng mà tọa độ của nó
phụ thuộc hữu tỉ vào tham số tự do trong H.
3. C không phải là thành phần của bất kỳ đường cong nào trong H.
Khi đó, ta cũng nói rằng C tham số hóa được bởi H.
Bổ đề 1.15. ([5], chương 4, Bổ đề 4.52) Cho H(t) là một hệ tuyến tính các đường cong tham số
hóa C, khi đó tồn tại duy nhất giao điểm khác hằng của một phần tử bất kỳ của H(t) và C phụ thuộc
t và nó là phép tham số hóa thực sự của C.
Mệnh đề 1.16. ([5], chương 4, Định lý 4.53) Cho F (X, Y, Z) là đa thức định nghĩa của C, và
H(t, X, Y, Z) là đa thức định nghĩa của một hệ tuyến tính H(t) tham số hóa C. Khi đó, phép tham
số hóa P(t) sinh bởi H(t) là nghiệm trong P2 (k(t)) của hệ phương trình đại số


 ppt (ResY (F, H)) = 0

 pp (ResX (F, H)) = 0.
t

Định lý sau đây đưa ra điều kiện đủ để một hệ tuyến tính các đường cong là hệ tham số hóa.
Mệnh đề 1.17. ([5], chương 4, Định lý 4.54) Cho H là một hệ tuyến tính các đường cong bậc m và
B là tập các điểm cơ sở của H. Nếu
10


1. dim H = 1,
2.

P ∈B

multP (C, C ′ ) = dm − 1 với mọi C ′ ∈ H,

3. C không là thành phần của bất kỳ đường cong nào trong H,
thì H tham số hóa C.
Trong thực tế, nếu C chỉ có các kì dị thông thường thì tập hợp các đường cong liên hợp bậc m
của C là hệ tuyến tính sinh bởi ước:
(multP (C) − 1)P .
P ∈Sing(C)

Như vậy, tập hợp tất cả các đường cong liên hợp của C bậc m, m ∈ N được gọi là hệ liên hợp của C
với bậc m. Ta kí hiệu hệ này là Am (C).
Mệnh đề 1.18. ([5], chương 4, Định lý 4.57) C là đường cong xạ ảnh bậc d có giống bằng 0 và cho
m ≥ d − 2. Khi đó Am (C) = ∅.
Số chiều của hệ tuyến tính của các đường cong liên hợp của một đường cong bất khả quy C là
xác định. Vì vậy ta kết quả này ta có định lý sau:
Mệnh đề 1.19. ([5], chương 4, Định lý 4.58) Cho C là một đường cong xạ ảnh hữu tỉ bậc d, và
m ≥ d − 2 thì
dim(Am (C)) ≥

m(m + 3) (d − 1)(d − 2)

.
2
2

.
Bổ đề 1.20. ([5], chương 4, Bổ đề 4.59) Cho C là một đường cong xạ ảnh bất khả quy bậc d, cho
m ∈ {d, d − 1, d − 2}, F ⊂ C\ Sing(C) là một tập hữu hạn và Hm = Am (C) ∩ H(m,

P ). Khi đó ta

có các khẳng định:
1. Nếu m = d, ∀C ′ ∈ Hd và với (λ, µ ∈ k) ∈ k2 ta có: λC + µC ′ ∈ Hd và λC + µC ′ không chứa thành
phần bội.
2. Nếu m ∈ d − 1, d − 2, C ′ ∈ Hm , mọi đường cong xạ ảnh M bậc d − m và (λ, µ) ∈ k2 ta có
P ) và µMC ′ + λC không chứa thành phần bội.

µMC ′ + λC ∈ Hd ∩ H(d,
P ∈M∩C

Bổ đề 1.21. ([5], chương 4, Bổ đề 4.60) Cho C1 và C2 là hai đường cong xạ ảnh bậc d1 và d2 , không
có thành phần chung và cũng không có thành phần bội. Khi đó:
d1 d2 ≥

multP (QP (C1 )) multP (QP (C2 )) ,
P ∈NgrP ′ (C1 )
P ′ ∈C1 ∩C2

trong đó, NgrP ′ (C1 ) = P ′ nếu P ′ ∈ [C1 ∩ C2 ]\ Sing(C1 ).
11


Mệnh đề 1.22. ([5], chương 4, Định lý 4.61) Cho C là một đường cong xạ ảnh bậc d có giống bằng
0. Với m ∈ {d − 1, d − 2} và Sm ⊂ C\ Sing(C) sao cho card(Sm ) = md − (d − 1)(d − 2) − 1. Khi đó:
Am (C) ∩ H m,

P

.

P ∈Sm

tham số hóa C.
Mệnh đề 1.23. ([5], chương 4, Định lý 4.62) Cho C là đường cong xạ ảnh bậc d có giống bằng 0,
giả sử Q ∈
/ C, và Sd ⊂ C\ Sing(C) sao cho card(Sd ) = 3d − 1. Khi đó
Ad (C) ∩ H(d, Q +

P ),
P ∈Sd

tham số hóa C.
Mệnh đề 1.24. ([5], chương 4, Định lý 4.63) Một đường cong đại số C là hữu tỉ khi và chỉ khi giống
của C bằng 0.
Ta thu được thuật toán tham số hóa các đường cong hữu tỉ như sau:
Cho đa thức định nghĩa F (X, Y, Z) của một đường cong xạ ảnh bất khả quy C bậc d và có giống
bằng 0. Tìm một phép tham số hóa hữu tỉ của C.
Bước 1. Nếu d ≤ 3 hoặc Sing(C) chứa đúng một điểm bội d − 1 thì ta áp dụng thuật toán tham số
hóa bằng các đường thẳng.
Bước 2. Chọn m ∈ {d − 2, d − 1, d} và tìm đa thức định nghĩa của Am (C).
Bước 3. Chọn một tập hợp S ⊂ C\ Sing(C) sao cho card(S) = dm − (d − 1)(d − 2) − 1.
P ), ngược lại, (nghĩa là m = d) thì

Bước 4. Nếu m < d thì tìm đa thức H của Am (C) ∩ H(m,
P ∈S

chọn Q ∈
/ C và tính đa thức định nghĩa của Am (C) ∩ H(m, Q +

P ).
P ∈S

Bước 5. Đặt một tham số trong H bằng 1 và giả sử t là tham số còn lại trong H. Trở về nghiệm
trong P2 (k(t)) của {ppt (ResY (F, H)) = 0, ppt (ResX (F, H)) = 0}.

12


Chương 2

Hình học của các đường cong tham số
hóa hữu tỉ.
2.1
2.1.1

Chỉ số vết và tính thực sự của một phép tham số hóa hữu tỉ.
Chỉ số vết của một phép tham số hóa hữu tỉ.

Với các đường cong, khái niệm bậc của ánh xạ hữu tỉ đã nói đến trong chương 0 sẽ được gọi là
chỉ số vết của ánh xạ hữu tỉ.
Định nghĩa 2.1. Cho C là một đường cong afin hữu tỉ và giả sử P(t) là một phép tham số hóa của
C. Khi đó bậc của ánh xạ hữu tỉ P được gọi là chỉ số vết của phép tham số hóa đã cho và kí hiệu là
index(P(t)).
Mệnh đề 2.2. ([5], chương 4, Định lí 4.28) index(P(t)) = degt (gcd(f (s, t), g(s, t))).
Chứng minh. Xem [5], chương 4, định lí 4.28.

2.1.2

Tính thực sự của một phép tham số hóa hữu tỉ

Định nghĩa 2.3. Giả sử f (t) =
kí hiệu là deg f, như sau:

fn (t)
∈ k(t) có dạng tối giản. Khi đó, ta định nghĩa bậc của f (t),
fd (t)
deg f = max{deg fn , deg fd }.

Còn nếu P(t) = (f (t), g(t)) thì ta gọi max{deg f, deg g} là bậc của P(t), kí hiệu là deg(P(t)).
Bổ đề 2.4. ([5], chương 4, Bổ đề 4.17) Giả sử P(t) là một phép tham số hóa thực sự của đường
cong hữu tỉ C, và P ′ (t) là một phép tham số hóa hữu tỉ khác của C.
1. Tồn tại một hàm hữu tỉ khác hằng r(t) ∈ k(t) sao cho P ′ (t) = P(R(t)).
13


2. P ′ (t) là thực sự nếu và chỉ nếu tồn tại một hàm hữu tỉ tuyến tính l(t) ∈ k(t) sao cho P ′ (t) =
P(l(t)).
Bổ đề 2.5. ([5], chương 4, bổ đề 4.19) Giả sử f (X), g(X) ∈ k[X]∗ nguyên tố cùng nhau sao cho
ít nhất một đa thức khác hằng. Khi đó, tồn tại một số hữu hạn các giá trị a ∈ k sao cho đa thức
f (X) − ag(X) có nghiệm bội.
Mệnh đề 2.6. ([5], chương 4, Định lí 4.21.) Giả sử C là một đường cong afin xác định trên k với
đa thức định nghĩa là F (X, Y ) ∈ k[X, Y ] và giả sử P(t) = (f (t), g(t)) là một phép tham số hóa của
C. Khi đó, P(t) là thực sự nếu và chỉ nếu
deg(P(t)) = max{degX (F ), degY (F )}.
Hơn nữa, nếu P(t) là thực sự và f (t) khác không thì deg f = degY (F ); tương tự, nếu g(t) khác không
thì deg g = degX (F ).
Hệ quả 2.7. Giả sử C là một đường cong afin xác định trên k với đa thức định nghĩa là F (X, Y ) ∈
k[X, Y ] và giả sử P(t) = (f (t), g(t)) là một phép tham số hóa của C. Khi đó, f (t) khác không thì
deg(g(t))
deg(f (t))
; tương tự, nếu g(t) khác không thì degX (F ) =
.
degY (F ) =
index(P)
index(P)
Mệnh đề 2.8. ([5], chương 4, Định lí 4.30) Phép tham số hóa P(t) là thực sự khi và chỉ khi
index(P(t)) = 1.
Trước khi kết thúc mục này ta xét một ví dụ.

2.2

Phép tham số hóa chuẩn

Bổ đề 2.9. ([5], chương 6, Bổ đề 6.19) Giả sử ℓ1 (X) = lc(f (X, t), t), ℓ2 (Y ) = lc(g(Y, t), t). Khi đó:
P(k) = {(a, b) ∈ C| gcd(f (a, t), g(b, t)) = 1}.
Hơn nữa,
C\P(k) ⊂ {(a, b) ∈ C|ℓ1 (a) = ℓ(b) = 0}.
Hệ quả 2.10. Nếu trong P(t) nếu bậc của một trong các mẫu số mà nhỏ hơn bậc của tử số tương
ứng thì P(t) là chuẩn.
Mệnh đề 2.11. ([5], chương 6 , Định lí 6.22) Trong phép tham số hóa P(t) giả sử deg(fn ) =
p, deg(Fd ) = q, deg(gn ) = r, deg(gd ) = s và a = coeff(fn , q), b = coeff(fd , q), c = coeff(gn , s), d =
coeff(gd , s). Khi đó:
1. Nếu p > q hoặc r > s thì P(t) là phép tham số hóa chuẩn.

14


2. Nếu p ≤ q và r ≤ s thì P(t) là chuẩn khi và chỉ khi
deg(gcd(afn (t) − bfn (t), cgd (t) − dgn (t))) ≥ 1.
Hơn nữa, nếu P(t) là không chuẩn thì mọi điểm của C đều sinh bởi P(t) trừ điểm ( ab , dc ) (đây là một
điểm của C.)
Điểm ( ab , dc ) được xác định như trong mệnh đề trên (nếu có) của một phép tham số hóa hữu tỉ
được gọi là điểm tới hạn của phép tham số hóa đó.

2.3

Hình học của các đường cong hữu tỉ cho dưới dạng tham số
hóa

2.3.1

Khảo sát các kì dị của một đường cong

g bằng nhau.
Mệnh đề 2.12. Nếu gcd(lc(f (s0 , t), t), lc(g(s0 , t), t)) = 0, Rest (f (s0 , t), g(s0 , t)) = 0, fd (s0 )gd (s0 ) = 0
thì P(s0 ) là điểm đơn trên C.
Mệnh đề 2.13. ([4], Định lí 11) Nếu P = [a1 : a2 : a3 ] ∈ P2 là điểm kì dị của đường cong C với đa
thức định nghĩa là F (X1 , X2 , X3 ) thì một trong các phát biểu sau đây là đúng:
a

1. Với i ∈ {1, 2, 3} sao cho ai = 0 thì ( aji , aaki ), trong đó j, k ∈ {1, 2, 3} và j = i = k, là điểm tới
hạn của phép tham số hóa P∗,Xi tối giản.
2. P = P ∗ (s0 ) với gcd(lc(f (s0 , t), t), lc(g(s0 , t), t))(s0 ) = 0;
3. P = P ∗ (s0 ) với Rest (

g(s0 , t)
f (s0 , t)
,
) = 0;
gcd(f (s0 , t), g(s0 , t)) gcd(f (s0 , t), g(s0 , t))

4. P = P ∗ (s0 ) với fd (s0 )gd (s0 ) = 0.

2.3.2

Bậc của một đường cong hữu tỉ cho bởi dạng tham số hóa hữu tỉ.

Mệnh đề 2.14. ([4], Định lí 6) Giả sử (a, b) ∈
/ C. Khi đó,
deg
deg(C) =

(gn (t) − bgd (t))fd (t)
(fn (t) − afd (t))gd (t)
.
deg ϕP

15


2.3.3

Số bội của một điểm trên đường cong hữu tỉ.

Mệnh đề 2.15. ([4], Định lí 8) Giả sử (a, b) ∈ k2 . Khi đó
deg
mult[a:b:1] (C ∗ ) = mult(a,b) (C) = deg(C) −

(gn (t) − bgd (t))fd (t)
(fn (t) − afd (t))gd (t)
.
deg ϕP

Mệnh đề 2.16. ([4], Định lí 9) Ta có các công thức sau:
fd (t)gd (t)
deg
(g
(t)f
n
d (t) − kgd (t))fn (t)
mult[1:k:0] (C ∗ ) = deg(C) −
.
deg ϕP
fd (t)
deg
fn (t)
mult[0:1:0] (C ∗ ) = deg(C) −
.
deg ϕP

16


Kết luận
Như vậy, trong chương một chúng tôi đã trình bày trọn vẹn hai khía cạnh về bài toán tham số
hóa đường cong hữu tỉ. Bao gồm, thuật toán xác định giống của đường cong (đồng nghĩa với việc
xác định tính hữu tỉ của đường cong) và thuật toán tham số hóa hữu tỉ bằng các đường cong liên hợp.
Phương pháp xác định giống của đường cong mà chúng tôi trình bày trong luận văn cũng là
phương pháp kiểm tra điều kiện cần và đủ để có phép tham số hóa hữu tỉ. Hơn nữa, nó còn cho phép
xác định đồ thị lân cận trong trường hợp đường cong có các kì dị không thông thường, tức là trường
hợp tổng quát nhất của bài toán tham số hóa. Đồ thị lân cận của một điểm kì dị thu được bằng các
giải kì dị dựa trên dãy các phép biến đổi bậc hai (phép nổ tại các kì dị, là hợp thành của một phép
biến đổi tuyến tính và một ánh xạ Cremona).
Dựa trên các đồ thị lân cận tại các điểm kì dị thu được trong bước trên và các hệ thống tuyến
tính, chúng tôi trình bày thuật toán tham số hóa bằng đường cong liên hợp.
Vấn đề ngược lại đã được đề cập trong chương hai, khi cho một đường cong dưới dạng tham số,
bằng cách khử tham số (dùng kết thức) ta có thể tìm được đa thức định nghĩa của đường cong để từ
đó nghiên cứu các tính chất hình học của đường cong. Tuy nhiên, nhờ việc khảo sát bậc của ánh xạ
đa thức hay chỉ số vết của phép tham số hóa hữu tỉ chúng ta có thể nhanh chóng tìm được các tính
chất hình học như bậc địa phương, bậc toàn cục, xác định được tập các điểm kì dị của đường cong...

17


Tài liệu tham khảo
[1] W. Fulton (1989), Algebraic Curvers, Addison-Wesley.
[2] J. Gutierrez, R. Rubio, Jie-Tai Yu (2002), "D-Resultant for rational functions", American Mathematical Society, Volume 130, Number 8, Pages 2237-2246.
[3] M. Namba (1984), Geometry Projective of Algebraic Curvers, Dekker.
[4] S. Pérez-Díaz (2007), "Computation of the singularities of parametric plane curves", Journal of
Symbolic Computation 42, Pages 835-857.
[5] J. R. Sendra, F. Winkler & S. Pérez Díaz (2008), Rational Algebraic Curvers, Springer.
[6] A. van der Essen, Jie-Tai Yu (1997), "The D-Resultant, singularities and the degree of unfaithfulness", American Mathematical Society, Volume 125, Number 3, Pages 689-695.
[7] R.J. Walker (1950), Algebraic Curvers, Princeton Univ. Press.

18



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×