Tải bản đầy đủ

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN ABEL TỔNG QUÁT TRÊN TRỤC THỰC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VŨ THỊ HỒNG ANH

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN ABEL TỔNG
QUÁT TRÊN TRỤC THỰC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI - NĂM 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VŨ THỊ HỒNG ANH

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN ABEL TỔNG
QUÁT TRÊN TRỤC THỰC


Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học
GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

HÀ NỘI - NĂM 2015


Mục lục
Mở đầu

1

1 Tính chất của tích phân kỳ dị và bài toán bờ Riemann
1.1 Khái niệm phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Phương trình tích phân kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Tính chất của tích phân kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Đổi biến và tính tích phân từng phần . . . . . . . . .
1.3.2 Tính liên tục H¨older của tích phân dạng Cauchy . . .
1.3.3 Công thức Sokhotski . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Giá trị biên của đạo hàm trong tích phân kỳ dị . . . .
1.3.5 Đạo hàm của giá trị biên trong tích phân kỳ dị . . . .
1.4 Bài toán bờ Riemann trong miền đơn liên . . . . . . . . . . .
1.5 Bài toán bước nhảy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Chỉ số của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Bài toán thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Hàm chính tắc của bài toán thuần nhất . . . . . . . .
1.5.4 Bài toán bờ Riemann không thuần nhất . . . . . . . .
1.5.5 Bài toán bờ Riemann trên nửa mặt phẳng . . . . . . .
1.6 Phương trình đặc trưng của phương trình tích phân kỳ dị với
nhân Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Chuyển phương trình đặc trưng về bài toán bờ Riemann
1.6.2 Công thức nghiệm của phương trình đặc trưng . . . .

2
2
2

4
4
4
4
5
5
6
6
7
7
9
9
10
10
11
11

2 Phương trình tích phân Abel trên đoạn hữu hạn
13
2.1 Phương trình tích phân Abel cổ điển . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Phương trình tích phân Abel cổ điển sinh bởi hàm số . . . . . 13
2.3 Phương trình tích phân Abel suy rộng trên đoạn hữu hạn . . 14

i


2.3.1
2.3.2
2.3.3

Tích phân với nhân lũy thừa . . . . . . . . . . . . . .
Phương trình tích phân Abel suy rộng . . . . . . . . .
Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14
15
15

3 Phương trình tích phân Abel trên toàn trục thực
17
3.1 Phương trình Abel suy rộng trên trục thực . . . . . . . . . . 17
3.2 Phương trình Abel suy rộng trên trục thực với phản xạ . . . . 18
3.3 Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Kết luận

21

TÀI LIỆU THAM KHẢO

22

ii


Mở đầu
Lý thuyết các toán tử tích phân kỳ dị và bài toán bờ Riemann của hàm
giải tích biến phức đã được xây dựng và phát triển mạnh mẽ trong vòng
nửa thế kỷ 20, từ năm 1920 đến 1970. Các kết quả này gắn liền với tên tuổi
nhiều nhà toán học nổi tiếng như Noether, Muskhelishvili, Gakhov, Vekua,
Carleman. . . . Từ nhiều năm nay, chuyên đề về toán tử tích phân kỳ dị và
gắn với nó là các bài toán bờ của lý thuyết hàm giải tích đã được đưa vào
chương trình chính thống cho các sinh viên năm cuối bậc đại học, các học
viên cao học và nghiên cứu sinh chuyên ngành Giải tích. Chính vì vậy, tác
giả đã chọn đề tài
"Phương trình tích phân Abel tổng quát trên trục thực."
Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận và danh mục tài liệu
tham khảo.
Chương 1. Tính chất của tích phân kỳ dị và bài toán bờ Riemann.
Chương 2. Phương trình tích phân Abel trên đoạn hữu hạn.
Chương 3. Phương trình tích phân Abel trên toàn trục thực.
Hà Nội, tháng 11 năm 2015
Học viên thực hiện

Vũ Thị Hồng Anh

1


Chương 1
Tính chất của tích phân kỳ dị và bài
toán bờ Riemann
1.1

Khái niệm phương trình tích phân

Định nghĩa 1.1 ([1]-[2]). Phương trình tích phân là một phương trình mà
trong đó hàm số chưa biết có xuất hiện dưới dấu tích phân.
Ví dụ 1.1. Xét các phương trình tích phân
x

K(x, t)ϕ(t) dt = f (x)

(1.1)

a



x

ϕ(x) +

K(x, t)ϕ(t) dt = f (x).

(1.2)

a

Phương trình (1.1) được gọi là phương trình tích phân loại 1, còn phương
trình (1.2) được gọi là phương trình tích phân loại 2, trong đó K(x, t), f (x)
là các hàm đã biết, ϕ(x)là hàm chưa biết. Hàm K(x, t) được gọi là nhân của
phương trình tích phân.

1.2

Phương trình tích phân kỳ dị

Định nghĩa 1.2 ([1]-[2]). Phương trình tích phân kỳ dị là phương trình tích
phân có nhân K(x, t) là hàm không bị chặn trên miền lấy tích phân.
2


Dựa vào tính chất không bị chặn của nhân, chúng ta có thể phân loại phương
trình tích phân kỳ dị thành 2 loại. Phương trình tích phân kỳ dị mạnh và
phương trình tích phân kỳ dị yếu. Phương trình tích phân kỳ dị yếu là phương
trình tích phân với nhân K(x, t) thỏa mãn điều kiện tích phân
b

K(x, t) dt
a

tồn tại theo nghĩa Riemann, với mọi x ∈ (a, b).
Phương trình tích phân kỳ dị mạnh là phương trình tích phân kỳ dị mà nhân
K(x, t) có tính chất là tồn tại x ∈ (a, b) sao cho
b

K(x, t) dt
a

không tồn tại theo nghĩa Riemann.

L(x, t)
,
|x − t|α
với L(x, t) là hàm liên tục trong hình chữ nhật [a, b] × [a, b], L(x, t) = 0 và
α là hằng số (0 < α < 1). Khi đó tích phân
Ví dụ 1.2. Nhân K(x, t) =

b

K(x, t) dt với a < x < b
a

tồn tại theo nghĩa Riemann. Do vậy tương ứng chúng ta có được phương
trình tích phân kỳ dị yếu.
Nhân
L(x, t)
K(x, t) =
với a < x < b,
x−t
với L(x, t) là hàm khả vi và L(x, x) = 0. Khi đó nhân K(x, t) nhận điểm
t = x là điểm kỳ dị mạnh. Do vậy phương trình tích phân tương ứng là
phương trình tích phân kỳ dị mạnh.

3


1.3
1.3.1

Tính chất của tích phân kỳ dị
Đổi biến và tính tích phân từng phần

Khi hàm số τ = α(ζ) có đạo hàm liên tục α (ζ) không triệt tiêu và đồng
thời là ánh xạ một - một từ chu tuyến Γ vào chu tuyến Γ , thì

ϕ(τ )
dτ =
τ −t
Γ

ϕ[α(ζ)]α (ζ)

α(ζ) − α(ξ)

(1.3)

Γ

trong đó t = α(ξ)
Định lý 1.1 (Công thức tích phân từng phần). Khi ϕ(τ ) là hàm khả vi liên
tục và điểm t không trùng với đầu mút của chu tuyến Γ (a hoặc b) thì công
thức tích phân từng phần là đúng:

ϕ(τ )
dτ = ±iπϕ(t) + ϕ(b) ln(b − t) − ϕ(a) ln(a − t) −
τ −t
Γ

ϕ (τ ) ln(τ − t)dτ
Γ

(1.4)

1.3.2

Tính liên tục H¨
older của tích phân dạng Cauchy

Định lý 1.2. Khi Γ là chu tuyến đóng, đơn, trơn và ϕ(t) thỏa mãn trên Γ
điều kiện H¨older với chỉ số λ, thì giá trị của tích phân dạng Cauchy Φ+ (t)
và Φ− (t) cũng thỏa mãn điều kiện H¨older với cùng chỉ số, khi 0 < λ < 1, và
đủ gần tới λ, khi λ = 1.

1.3.3

Công thức Sokhotski

Bổ đề 1.1 (Bổ đề cơ bản). Khi hàm mật độ ϕ(τ ) thỏa mãn điều kiện H¨older
và điểm t không trùng với các điểm đầu mút của chu tuyến, thì hàm số

Φ(z) =

ϕ(τ ) − ϕ(t)

τ −t
Γ

tại điểm z = t của chu tuyến là liên tục, tức là, hàm này có giá trị giới hạn
xác định trên điểm t đi từ z từ mọi phía của chu tuyến, dọc theo mọi đường
dẫn
ϕ(τ ) − ϕ(t)
lim Φ(z) =
dτ = Φ(t).
z→t
τ −t
Γ
4


Định lý 1.3. Giả sử Γ là chu tuyến trơn (đóng hoặc mở) và ϕ(t) là hàm số
theo tọa vị trên chu tuyến và thỏa mãn điều kiện H¨older. Khi đó, tích phân
Cauchy
1
ϕ(τ )
Φ(z) =

2πi τ − z
Γ

có giá trị Φ+ (t), Φ− (t) tại mọi điểm của chu tuyến Γ không trùng với các
đầu mút, trên chu tuyến chọn hướng từ bên trái hoặc từ bên phải dọc theo
hướng đi của đường dẫn, và giá trị biên này được biểu diễn theo hàm mật độ
của tích phân ϕ(t) và tích phân kỳ dị Φ(t) dưới dạng công thức Sokhotski.
Định lý 1.4. Khi tích phân dạng Cauchy lấy theo chu tuyến có hữu hạn
điểm góc, thì giá trị giới hạn của tích phân tồn tại. Đối với điểm thường công
thức Sokhotski vẫn đúng.

1.3.4

Giá trị biên của đạo hàm trong tích phân kỳ dị

Giả sử ϕ(t) là hàm số của vị trí trên chu tuyến đóng Γ, có đạo hàm cấp
m thỏa mãn điều kiện H¨older.
Đạo hàm cấp m của tích phân dạng Cauchy có dạng

Φ(m) (z) =

m!
2πi

ϕ(τ )
dτ.
(τ − z)m+1
Γ

Ta tích phân từng phần vế phải m lần. Vì rằng chu tuyến là đóng, nên phần
đã lấy tích phân luôn triệt tiêu. Do đó, ta có
(m)

Φ

ϕ(m) (τ )
dτ.
τ −z

1
(z) =
2πi
Γ

1.3.5

Đạo hàm của giá trị biên trong tích phân kỳ dị

Giá trị giới hạn trên chu tuyến của đạo hàm của tích phân Cauchy trùng
với đạo hàm của giá trị giới hạn của nó.

[Φ]± (t)](m) = [Φ(m) (t)]± .
ứng với hàm mật độ ϕ(m) (t) ∈ H.

5

(1.5)


1.4

Bài toán bờ Riemann trong miền đơn liên

Giả thiết rằng Γ là chu tuyến đóng, đơn và trơn chia mặt phẳng phức
thành miền trong D+ và miền ngoài D− (giả thiết ∞ ∈ D− ), và cho hai hàm
số trên chu tuyến, G(t) và g(t) thỏa mãn điều kiện H¨older, trong đó G(t)
không triệt tiêu trên biên. Ta cần xác định hai hàm số Φ+ (z), giải tích trong
miền D+ , và Φ− (z), giải tích trong miền D− , kể cả z = ∞, và thỏa mãn trên
chu tuyến Γ hệ thức thuần nhất (bài toán thuần nhất)

Φ+ (t) = G(t)Φ− (t)

(1.6)

hoặc hệ thức không thuần nhất (bài toán không thuần nhất)

Φ+ (t) = G(t)Φ− (t) + g(t).

(1.7)

Hàm số G(t) được gọi là hệ số của bài toán bờ Riemann, và hàm số g(t) là
phần tử tự do của bài toán.

1.5

Bài toán bước nhảy

Định lý 1.5. Hàm số tùy ý ϕ(t) cho trên chu tuyến đóng và thỏa mãn
điều kiện H¨older, có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng hiệu của hàm số
Φ+ (t), Φ− (t) là giá trị biên của hàm giải tích Φ+ (z), Φ− (z), dưới giả thiết
Φ− (∞) = 0 .
Nếu không đòi hỏi điều kiện Φ− (∞) = 0, thì nghiệm của bài toán được cho
bởi công thức
1
ϕ(τ )
Φ(z) =
dτ + const .
(1.8)
2πi τ − t
Γ

Nhận xét 1.1. Đối với chu tuyến là khoảng hữu hạn Γ ≡ (α, β), bài toán
bước nhảy

Φ+ (t) − Φ− (t) = ϕ(t)

(1.9)

có nghiệm duy nhất là
β

1
Φ(z) =
2πi

ϕ(τ )

τ −t
α

6

(1.10)


1.5.1

Chỉ số của hàm số

Giả sử Γ là một chu tuyến đóng và trơn và G(t) là một hàm số liên tục
và không triệt tiêu trên Γ
Định nghĩa 1.3 ([1]-[2]). Chỉ số của hàm số G(t) dọc theo chu tuyến Γ được
hiểu là tỷ số độ tăng trưởng (số gia) của argumen của nó khi chuyển động
hết một lượt dọc theo chu tuyến (theo chiều dương) và 2π .
Chỉ số có thể tính theo tích phân
1
1
κ = Ind G(t) =
d arg G(t) =
d ln G(t).

2πi
Γ

1.5.2

Γ

Bài toán thuần nhất

Giả sử bài toán biên Riemann thuần nhất (1.6) giải được và có nghiệm là
Φ (z) và Φ− (z). Ta ký hiệu N + , N − lần lượt là số các không điểm của hàm
số Φ+ (z),Φ− (z) xác định trên D+ , D− tương ứng. Ta có Φ+ (t) = G(t)Φ− (t),
Φ+ (t)
suy ra G(t) = −
Φ (t)
Do đó chỉ số κ của G(t) là
+

κ = Ind G(t) = Ind Φ+ (t) − Ind Φ− (t) = N + − (−N − ) = N + + N − (1.11)
Chỉ số κ của hệ số bài toán bờ Riemann được gọi là chỉ số của bài toán.
Nhận xét 1.2. Từ (1.6) ta có
i. Điều kiện cần để bài toán bờ Riemann thuần nhất giải được là chỉ số κ
của bài toán là một số không âm (theo giả thiết, hàm số Φ+ (z),Φ− (z) không
có cực điểm).
ii. Nếu κ >0 hàm số Φ+ (z),Φ− (z) là nghiệm của bài toán có κ không điểm.
iii. Nếu κ =0 hàm số Φ± (z) không có không điểm.
Định lý 1.6. Hàm số tùy ý G(t) cho trên chu tuyến Γ, thỏa mãn điều kiện
H¨older và có chỉ số bằng 0, luôn viết được dưới dạng thương của hàm số
Φ+ (t) và Φ− (t) lần lượt là các giá trị biên của hàm số giải tích trong miền
D+ , D− và luôn khác 0 trong miền đó.
Trường hợp κ > 0. Giả thiết rằng gốc tọa độ nằm trong miền D+ . Hàm số
tκ có chỉ số κ. Ta viết điều kiện biên dưới dạng

Φ+ (t) = tκ [t−κ G(t)]Φ− (t)
7

(1.12)


Hiển nhiên là hàm số G1 (t) = t−κ G(t) có chỉ số bằng 0 (vì Ind G1 (t) =
Ind t−κ + Ind G(t) = −κ + κ = 0). Do đó, bài toán tìm Φ+ (z) giải tích
trên D+ và Φ− (z) giải tích trên D− , sao cho trên chu tuyến Γ thỏa mãn
Φ+ (t) = G1 tΦ− (t), ta có nghiệm là

Φ+ (z) = AeΓ+(z) , Φ− (z) = AeΓ−(z)
trong đó

ln[τ −κ G(τ )]
dτ.
τ −z

1
Γ(z) =
2πi

(1.13)

Γ

và A là hằng số tùy ý.
+
Φ+ (t) eΓ (t)
Ta có G1 (t) = −
. Do đó (1.11) được viết lại
=
Φ (t) eΓ− (t)
Γ+ (t)
Φ+ (t)
κe
t Γ− (t) Φ− (t) Γ+ (t)
e
e

+

Φ (t) =

= tκ

Φ− (t)
eΓ− (t)


Φ+ (z)
+
κ Φ (z)
Vì hàm Γ+ (z) giải tích trên D và z Γ− (z) giải tích trên D− , ngoại trừ tại
e
e
∞, nơi nó có thể có cực điểm bậc không lớn hơn κ, là thác triển giải tích
của nhau qua Γ. Ngược lại, ta thấy chúng là nhánh của hàm số giải tích duy
nhất trong cả mặt phẳng phức, trừ ra một cực điểm bậc không quá κ tại vô
cùng. Theo định lý Liouville suy rộng ta được

Φ+ (z)
κ Φ (z)
=
z
= Pκ (z),
eΓ+ (z)
eΓ− (z)

trong đó Pκ (z) là đa thức bậc không lớn hơn κ với hệ số phức nào đó. Vậy
nên, ta nhận được nghiệm tổng quát của bài toán là
+(z)

Φ+ (z) = eΓ

−(z)

Pκ (z), Φ− (z) = eΓ

z −κ Pκ (z).

(1.14)

Ta phát biểu kết quả thu được dưới dạng định lý sau.
Định lý 1.7. Nếu chỉ số κ của bài toán bờ Riemann là số dương, thì bài
toán có κ + 1 nghiệm độc lập tuyến tính
+(z)

k Γ
Φ+
k (z) = z e

k−κ Γ
, Φ−
e
k (z) = z

−(z)

(k = 0, 1, . . . , κ )

Nghiệm tổng quát chứa κ + 1 hằng số tùy ý . Rõ ràng, trường hợp κ = 0 là
một trường hợp riêng của định lý này.

8


Nhận xét 1.3. Nghiệm của bài toán hoàn toàn được xác định nếu biết thêm
κ + 1 điều kiện độc lập tuyến tính của những hàm Φ+ (z), Φ− (z). Từ (1.14)
suy ra Φ− (∞) bằng hệ số của z κ trong đa thức Pκ (z). Do đó, nếu thêm vào
điều kiện Φ− (∞) = 0 thì nghiệm tổng quát được biểu diễn dưới dạng

Φ+ (z) = eΓ

+(z)

−(z)

Pκ−1 (z), Φ− (z) = eΓ

z −κ Pκ−1 (z)

(1.15)

trong đó Pκ−1 (z) là đa thức bậc κ − 1 với hệ số tùy ý. Vậy nên trong thường
hợp này, bài toán có κ nghiệm độc lập tuyến tính.
Nhận xét 1.4. Nếu chu tuyến Γ là khoảng hữu hạn thì ta cũng có kết quả
tương tự.

1.5.3

Hàm chính tắc của bài toán thuần nhất

Định nghĩa 1.4 ([1]-[2]). Bậc của hàm số giải tích Φ(z) tại điểm z0 là lũy
thừa thấp nhất trong khai triển của Φ(z) thành chuỗi lũy thừa của (z − z0 ).
Định nghĩa 1.5 ([1]-[2]). Tổng bậc của một hàm là tổng đại số của tất cả
các bậc trong miền.
Định nghĩa 1.6 ([1]-[2]). Hàm chính tắc của bài toán Riemann thuần nhất
là hàm số giải tích từng khúc thỏa mãn điều kiện biên có bậc 0 mọi nơi trong
hữu hạn phần của mặt phẳng và tại điểm z = ∞ bậc của nó bằng κ

1.5.4

Bài toán bờ Riemann không thuần nhất

Định lý 1.8. Trong trường hợp κ 0 thì bài toán bờ Riemann không thuần
nhất giải được ứng với mọi thành phần tự do và nghiệm tổng quát của nó
được cho bởi công thức

Φ(z) =

X(z)
2πi

g(τ ) dτ
+ X(z)Pκ (z).
X + (τ ) τ − z

(1.16)

Γ

trong đó hàm chính tắc X(z) được cho bởi và Pκ (z) là đa thức của bậc κ
với hệ số phức tùy ý.

9


1.5.5

Bài toán bờ Riemann trên nửa mặt phẳng

Giả thiết rằng chu tuyến Γ là trục thực. Tương tự như đối với biên hữu
hạn, ta có thể phát biểu bài toán bờ Riemann, tìm cặp hàm số giải tích trong
nửa mặt phẳng trên và dưới, Φ+ (z) và Φ− (z) (hàm giải tích từng khúc Φ(z)
), mà giá trị biên của chúng thỏa mãn trên chu tuyến Γ điều kiện biên

Φ+ (t) = G(t)Φ− (t) + g(t).

(1.17)

Định lý 1.9. Khi κ 0, bài toán bờ Riemann thuần nhất và không thuần
nhất cho cặp nửa mặt phẳng giải được vô điều kiện. Nghiệm của nó phụ
thuộc tuyến tính vào κ + 1 hằng số tùy ý.
Khi κ < 0 thì bài toán thuần nhất không có nghiệm. Bài toán không thuần
nhất luôn có nghiệm duy nhất trong trường hợp κ = −1 và khi κ < −1 đòi
hỏi thêm −κ − 1 điều kiện cần được thỏa mãn.

1.6

Phương trình đặc trưng của phương trình tích
phân kỳ dị với nhân Cauchy
Ta sẽ xét phương trình với nhân Cauchy dạng

((Kϕ)(t))(t) ≡ a(t)ϕ(t) +

1
πi

M (t, τ )
ϕ(τ )dτ = f (t),
τ −t

(1.18)

Γ

Ta có thể viết phương trình (1.18) dưới dạng

(Kϕ)(t) ≡ a(t)ϕ(t) +

b(t)
πi

ϕ(τ )
dτ +
τ −t
Γ

k(t, τ )ϕ(τ )dτ = f (t).

(1.19)

Γ

Phương trình

K o ϕ ≡ a(t)ϕ(t) +

b(t)
πi

ϕ(τ )
dτ = f (t)
τ −t

(1.20)

Γ

được gọi là phương trình đặc trưng tương ứng với phương trình đầy đủ (1.19),
và toán tử K o là toán tử đặc trưng.

10


1.6.1

Chuyển phương trình đặc trưng về bài toán bờ Riemann

Ta xét hàm số giải tích từng khúc biểu diễn được bởi tích phân dạng
Cauchy, hàm mật độ của nó chính là lời giải của phương trình đặc trưng
b(t)
ϕ(τ )
K o ϕ ≡ a(t)ϕ(t) +
dτ = f (t).
(1.21)
πi
τ −t
Γ

Theo công thức Sokhotski, thì


 ϕ(t) = Φ+ (t) − Φ− (t),
1
ϕ(t)
+


 πi τ − t dt = Φ (t) + Φ (t)
Γ

(1.22)

Theo công thức Sokhotski, ta nhận được phương trình tích phân kỳ dị đặc
trưng
1
1 − G(t)
ϕ(τ )
[1 + G(t)]ϕ(t) +
dτ = g(t).
(1.23)
2
2πi
τ −t
Γ

Theo công thức (1.22) nghiệm này của phương trình cuối chính là lời giải
của bài toán bờ Riemann.

1.6.2

Công thức nghiệm của phương trình đặc trưng

Nghiệm tổng quát của phương trình (1.21) có dạng
κ

ϕ(t) = (Rf )(t) +

c(Kϕ)(t)k (t).

(1.24)

k=1

Định lý 1.10. Giả sử κ là chỉ số của phương trình. Khi đó
1. Khi κ > 0, phương trình thuần nhất K o ϕ = 0 có κ độc lập tuyến tính
nghiệm
ϕk (t) = b(t)Z(t)tk−1 (k = 1, 2, . . . , κ ).
2. Khi κ 0, phương trình thuần nhất không giải được.
3. Khi κ 0, phương trình không thuần nhất là giải được với vế phải f (t)
tùy ý, và nghiệm tổng quát của nó phụ thuộc tuyến tính vào κ hằng số tùy
ý.
4. Khi κ < 0, phương trình không thuần nhất là giải được khi và chỉ khi vế
phải f (t) thỏa mãn −κ điều kiện

ϕk (t)f (t)dt = 0,
Γ

11

(1.25)


trong đó ϕk (t) = [1/Z(t)]tk−1 .

12


Chương 2
Phương trình tích phân Abel trên
đoạn hữu hạn
2.1

Phương trình tích phân Abel cổ điển
Xét phương trình Abel dạng
x

ϕ(t)
dt = g(x), (0 < µ < 1).
(x − t)µ

Aϕ ≡

(2.1)

α

Nghiệm cần tìm trong lớp hàm dạng

ϕ∗ (x)
ϕ(x) =
(e > 0),
(x − α)1−µ−e

(2.2)

trong đó ϕ∗ (x) là hàm thỏa mãn điều kiện H¨older trên [α, β].

2.2

Phương trình tích phân Abel cổ điển sinh bởi
hàm số
Trong phần này, ta khảo sát lớp các phương trình dạng Abel
x

ϕ(t)
dt = f (x), (0 < µ < 1).
[g(x) − g(t)]µ

Aϕ ≡
α

13

(2.3)


Bài toán 2.1. Giải phương trình tích phân
x

y(t)dt
= f (x),
g(x) − g(t)

a

trong đó g(t) là hàm đơn điệu tăng có g (x) > 0.
Giải. Ta tìm nghiệm trong lớp hàm H¨older.
1
Đặt x = g(x), t = g(t), µ = .
2
Khi đó phương trình có dạng
x

y(t)dt
= f (x).
(x − t)µ
a

Ta có nghiệm của bài toán là
x

sin µπ d
ϕ(x) =
π dx

f (t)dt
.
(x − t)µ
a

Thay x bởi g(x), t bởi g(t), µ =

1
vào công thức nghiệm ta có
2

1
sin π d
2
y(x) =
π dx

x

f (t)d(g(t))
,
g(x) − g(t)

a
x

1 d
y(x) =
π dx

f (t)gt (t)dt
.
g(x) − g(t)

a

2.3

Phương trình tích phân Abel suy rộng trên đoạn
hữu hạn

2.3.1

Tích phân với nhân lũy thừa

Ta xét hàm giải tích biểu diễn bởi tích phân

1 1
µ−
Φ(z) = [(z − a)(β − z)] 2 2

β

ϕ(t)dt
.
(t − z)µ
α

14

(2.4)


Ta nhận được cặp công thức
x

ϕ(t)dt
eµπi Φ+ (x) + Φ− (x)
=
R(x).
(x − t)µ
e2µπi − 1

(2.5)

α
β

ϕ(t)dt
Φ+ (x) + eµπi Φ− (x)
=−
R(x).
(x − t)µ
e2µπi − 1

x

2.3.2

Phương trình tích phân Abel suy rộng

Xét phương trình tích phân
β

x

ϕ(t)dt
+ b(x)
(x − t)µ

a(x)
α

ϕ(t)dt
= f (x) (0 < µ < 1).
(t − x)µ

(2.6)

x

Để tìm nghiệm, ta sử dụng phương pháp thác triển giải tích trong mặt phẳng
phức.
β

Φ(z) =

1
R(z)

ϕ(t)dt
.
(t − z)µ
α

Bổ đề 2.1. Nếu các giá trị giới hạn của hàm Φ(z) là giải tích trong mặt
phẳng với lát cắt dọc theo [α, β] và thỏa mãn điều kiện tương ứng với ϕ(x)
bởi hệ thức (2.5) thì biểu diễn (2.4) thỏa mãn đối với Φ(z).

2.3.3

Ví dụ

Giải phương trình
x

(x − t)µ ϕ(t)dt = f (x), 0 < µ < 1.
α
x

Sử dụng công thức (x − t)µ−1 (t − τ )−µ dt =
τ

π
.
sin µπ

Đặt t = τ + s(x − τ ).
Ta có
x

x

g(t)dt
=
(x − t)1−λ
α

x

ϕ(τ )dτ
α

x

π
(t − τ )−λ (x − t)λ−1 dt =
sin λπ
τ

ϕ(τ )dτ,
α

15


x

d
dx

g(t)dt
π
=
ϕ(x).
(x − t)1−λ
sin λπ
α

Suy ra ϕ(x) =

sin λπ d x g(t)dt
sin µπ d x g(t)dt
=
.
π dx α (x − t)1−λ
π dx α (x − t)1+µ

16


Chương 3
Phương trình tích phân Abel trên
toàn trục thực
3.1

Phương trình Abel suy rộng trên trục thực
Phương trình Abel suy rộng dạng
t

+∞

ϕ(τ )dτ
+ b(t)
(t − τ )µ

a(t)
−∞

ϕ(τ )dτ
= f (t), 0 < µ < 1.
(τ − t)µ

(3.1)

t

t

+∞

a(τ )ϕ(τ )dτ
+
(t − τ )µ
−∞

b(τ )ϕ(τ )dτ
= g(t), 0 < µ < 1.
(τ − t)µ

(3.2)

t

Phương trình (3.1) và (3.2) được gọi tương ứng là phương trình Abel với hệ
số trong và phương trình Abel với hệ số ngoài.
Đặt
+∞

ϕ(τ )dτ
,
(τ − t)

1
(Sϕ)(t) =
π
−∞
t

ϕ(τ )dτ
.
(t − τ )µ

(Kϕ)(t) =
−∞

Ta viết lại (3.1) như sau

u(t)ψ(t) + v(t)(Sψ)(t) = f (t),

17

(3.3)


trong đó

u(t) = a(t) − b(t) cos(µπ))ψ(t),
v(t) = b(t) sin(µπ).
Theo công thức Sokhotski, thì phương trình (3.3) trở thành

f (t) = Φ+ (t)(u(t) + iv(t)) + Φ− (t)(−u(t) + iv(t)).
Ta đưa về bài toán bờ Riemann

Φ+ (t) = G(t)Φ− (t) + g(t).

(3.4)

Ta thu được nghiệm

Φ(z) = X(z)[Ψ(z) + Pκ (z)],

3.2

Phương trình Abel suy rộng trên trục thực với
phản xạ
Phương trình Abel suy rộng dạng


(Aα ϕ)(t) :=

a0 (t) + a1 (t)sign(τ − t)
ϕ(τ )dτ = f (t), 0 < α < 1.
|τ − t|1−α

−∞


(Aα ϕ)(t) :=

a0 (τ ) + a1 (τ )sign(τ − t)
ϕ(τ )dτ = g(t), 0 < α < 1.
|τ − t|1−α

−∞

được nghiên cứu bởi Samko và nhiều người khác. Trong mục này, ta xét
phương trình Abel suy rộng với phản xạ, dạng sau
+∞

t

r(t)ϕ(τ ) + v(t)ϕ(−τ )
dτ = f (t). (3.5)
(τ − t)1−α

u(t)ϕ(τ ) + r(t)ϕ(−τ )
dτ +
(t − τ )1−α
−∞

t

t

+∞

u(τ )ϕ(τ ) + r(τ )ϕ(−τ )
dτ +
(t − τ )1−α
−∞

r(τ )ϕ(τ ) + v(τ )ϕ(−τ )
dτ = g(t). (3.6)
(τ − t)1−α
t

18


Phương trình (3.5) và (3.6) được gọi tương ứng là phương trình Abel với hệ
số trong và với phản xạ và phương trình Abel với hệ số ngoài và với phản
xạ. Phương trình (3.5) có dạng
+∞

ψ(τ ) + ψ(−τ )
dτ = f (t),
τ −t

c(t)
a(t)ψ(t) + b(t)ψ(−t) +
πi

(3.7)

−∞

trong đó

a(t) = u(t) + r(t) cos(1 − α)π,
b(t) = v(t) + r(t) cos(1 − α)π,
c(t) = 2i[sin(1 − α)π]r(t).

(3.8)

Phương trình (3.6) có nghiệm dạng
t

α sin(1 − α(π))
ϕ(t) =
π

ϕ(t) − ϕ(τ )
dτ,
(t − τ )1−α

−∞

trong đó

ϕ(t) = (Q1ϕ1 )(t) + (Q2ϕ2 )(t).
Hệ quả 3.1. Phương trình (3.1) cho mọi nghiệm dưới dạng hiển.
Tương tự nếu ta áp dụng công thức
t

+∞


(t − τ )µ

1
π
−∞

−∞

t

1
π

+∞

ϕ(τ )dτ
1
+
(t − τ )µ sin(µπ)

−∞

+∞


(t − τ )µ
−∞

t

ϕ(σ)dσ
= cot(µπ)
(σ − τ )

t

t

ϕ(−σ)dσ
= cot(µπ)
(σ − τ )
−∞

ϕ(τ )dτ
,
(τ − t)µ
+∞

ϕ(−τ )dτ
1
+
µ
(τ − t)
sin(µπ)

−∞

ϕ(−τ )dτ
.
(τ − t)µ
t

Hệ quả 3.2. Phương trình (3.6)cho mọi nghiệm dưới dạng hiển.

3.3

Ví dụ áp dụng
Giải phương trình tích phân
β

x

ϕ(t)dt
+
(x − t)µ
α

ϕ(t)dt
= x2 (0 < µ < 1).
µ
(t − x)
x

19

(3.9)


Ta có từ phương trình (2.6) a(x) = b(x) = 1 và f (x) = x2 thỏa mãn điều
kiện.
Bài toán Riemann tương ứng là bài toán bước nhảy

(eµπi + 1)x2
Φ (x) − Φ (x) =
.
R(x)


+

Theo công thức Sokkhotski ta có nghiệm duy nhất được xác định bởi tích
phân Cauchy

eµπi + 1
Φ(z) =
2πi

β

t2 dt
.
R(t) t − z

α

Theo công thức (3.4), ta có nghiệm của bài toán
x

1
kπ d
ϕ(x) =
cot

2 dx

x

t2
1
2 kπ
dt

cos
(x − t)1−k
π2
2

α

R(t)F (t)
dt,
(x − t)1−k
α

20


Kết luận
Luận văn đã trình bày các vấn đề chính sau đây
- Trình bày cách giải tường minh của bài toán tích phân Abel và mở
rộng của nó.
- Trình bày cách giải tường minh của phương trình tích phân Abel suy
rộng trên trục thực.
- Xét một số ví dụ minh hoạ.

21


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×