Tải bản đầy đủ

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN ABEL TỔNG QUÁT TRÊN TRỤC THỰC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VŨ THỊ HỒNG ANH

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN ABEL TỔNG
QUÁT TRÊN TRỤC THỰC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI - NĂM 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VŨ THỊ HỒNG ANH

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN ABEL TỔNG
QUÁT TRÊN TRỤC THỰC


Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học
GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

HÀ NỘI - NĂM 2015


Mục lục
Mở đầu

2

1 Tính chất của tích phân kỳ dị và bài toán bờ Riemann
1.1 Khái niệm phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Phương trình tích phân kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Tính chất của tích phân kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Đổi biến và tính tích phân từng phần . . . . . . . . .
1.3.2 Tính liên tục H¨older của tích phân dạng Cauchy . . .
1.3.3 Công thức Sokhotski . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Giá trị biên của đạo hàm trong tích phân kỳ dị . . . .
1.3.5 Đạo hàm của giá trị biên trong tích phân kỳ dị . . . .
1.4 Bài toán bờ Riemann trong miền đơn liên . . . . . . . . . . .
1.5 Bài toán bước nhảy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Chỉ số của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Bài toán thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Hàm chính tắc của bài toán thuần nhất . . . . . . . .
1.5.4 Bài toán bờ Riemann không thuần nhất . . . . . . . .
1.5.5 Bài toán bờ Riemann trên nửa mặt phẳng . . . . . . .
1.6 Phương trình đặc trưng của phương trình tích phân kỳ dị với
nhân Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Chuyển phương trình đặc trưng về bài toán bờ Riemann
1.6.2 Công thức nghiệm của phương trình đặc trưng . . . .

3
3
3

5
5
7
10
17
18
19
20
21
22
25
26
29
31
34
35

2 Phương trình tích phân Abel trên đoạn hữu hạn
39
2.1 Phương trình tích phân Abel cổ điển . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Phương trình tích phân Abel cổ điển sinh bởi hàm số . . . . . 41
2.3 Phương trình tích phân Abel suy rộng trên đoạn hữu hạn . . 43

i


2.3.1
2.3.2
2.3.3

Tích phân với nhân lũy thừa . . . . . . . . . . . . . .
Phương trình tích phân Abel suy rộng . . . . . . . . .
Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43
44
48

3 Phương trình tích phân Abel trên toàn trục thực
50
3.1 Phương trình Abel suy rộng trên trục thực . . . . . . . . . . 50
3.2 Phương trình Abel suy rộng trên trục thực với phản xạ . . . . 52
3.3 Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Kết luận

58

TÀI LIỆU THAM KHẢO

59

ii


Mở đầu
Lý thuyết các toán tử tích phân kỳ dị và bài toán bờ Riemann của hàm
giải tích biến phức đã được xây dựng và phát triển mạnh mẽ trong vòng
nửa thế kỷ 20, từ năm 1920 đến 1970. Các kết quả này gắn liền với tên tuổi
nhiều nhà toán học nổi tiếng như Noether, Muskhelishvili, Gakhov, Vekua,
Carleman. . . . Từ nhiều năm nay, chuyên đề về toán tử tích phân kỳ dị và
gắn với nó là các bài toán bờ của lý thuyết hàm giải tích đã được đưa vào
chương trình chính thống cho các sinh viên năm cuối bậc đại học, các học
viên cao học và nghiên cứu sinh chuyên ngành Giải tích. Chính vì vậy, tác
giả đã chọn đề tài
"Phương trình tích phân Abel tổng quát trên trục thực."
Đề tài nhằm một phần nào đáp ứng nhu cầu mong muốn của bản thân về
một đề tài phù hợp mà sau này có thể phục vụ thiết thực cho việc giảng
dạy Toán cao cấp của mình trong một trường đại học. Luận văn được hoàn
thành dưới sự hướng dẫn trực tiếp của GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu. Tác
giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến người thầy của
mình, người đã nhiệt tình hướng dẫn, chỉ bảo và mong muốn được học hỏi
thầy nhiều hơn nữa.
Tác giả xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong Ban giám hiệu, Phòng
đào tạo Đại học và sau Đại học Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên, Đại
học Quốc Gia Hà Nội, quý thầy cô tham gia giảng dạy khóa học, gia đình,
bạn bè cùng toàn thể các học viên khóa 2013-1015 đã tạo mọi điều kiện, giúp
đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu để tác giả hoàn thành
khóa học và hoàn thành bản luận văn này.
Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận và danh mục
tài liệu tham khảo.
Chương 1. Tính chất của tích phân kỳ dị và bài toán bờ Riemann.
Chương 2. Phương trình tích phân Abel trên đoạn hữu hạn.
1


Chương 3. Phương trình tích phân Abel trên toàn trục thực.
Mặc dù đã cố gắng rất nhiều và nghiêm túc trong quá trình nghiên cứu,
nhưng do thời gian và trình độ còn hạn chế nên kết quả đạt được trong luận
văn còn rất khiêm tốn và không tránh khỏi thiếu xót. Vì vậy tác giả mong
nhận được những ý kiến đóng góp, chỉ bảo quý báu của quý thầy cô, các bạn
học viên để luận văn được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2015
Học viên thực hiện

Vũ Thị Hồng Anh

2


Chương 1
Tính chất của tích phân kỳ dị và bài
toán bờ Riemann
1.1

Khái niệm phương trình tích phân

Định nghĩa 1.1 ([1]-[2]). Phương trình tích phân là một phương trình mà
trong đó hàm số chưa biết có xuất hiện dưới dấu tích phân.
Ví dụ 1.1. Xét các phương trình tích phân
x

K(x, t)ϕ(t) dt = f (x)

(1.1)

a



x

ϕ(x) +

K(x, t)ϕ(t) dt = f (x).

(1.2)

a

Phương trình (1.1) được gọi là phương trình tích phân loại 1, còn phương
trình (1.2) được gọi là phương trình tích phân loại 2, trong đó K(x, t), f (x)
là các hàm đã biết, ϕ(x)là hàm chưa biết. Hàm K(x, t) được gọi là nhân của
phương trình tích phân.

1.2

Phương trình tích phân kỳ dị

Định nghĩa 1.2 ([1]-[2]). Phương trình tích phân kỳ dị là phương trình tích
phân có nhân K(x, t) là hàm không bị chặn trên miền lấy tích phân.
3


Dựa vào tính chất không bị chặn của nhân, chúng ta có thể phân loại phương
trình tích phân kỳ dị thành 2 loại. Phương trình tích phân kỳ dị mạnh và
phương trình tích phân kỳ dị yếu. Phương trình tích phân kỳ dị yếu là phương
trình tích phân với nhân K(x, t) thỏa mãn điều kiện tích phân
b

K(x, t) dt
a

tồn tại theo nghĩa Riemann, với mọi x ∈ (a, b).
Phương trình tích phân kỳ dị mạnh là phương trình tích phân kỳ dị mà nhân
K(x, t) có tính chất là tồn tại x ∈ (a, b) sao cho
b

K(x, t) dt
a

không tồn tại theo nghĩa Riemann.

L(x, t)
,
|x − t|α
với L(x, t) là hàm liên tục trong hình chữ nhật [a, b] × [a, b], L(x, t) = 0 và
α là hằng số (0 < α < 1). Khi đó tích phân
Ví dụ 1.2. Nhân K(x, t) =

b

K(x, t) dt với a < x < b
a

tồn tại theo nghĩa Riemann. Do vậy tương ứng chúng ta có được phương
trình tích phân kỳ dị yếu.
Nhân
K(x, t) = L(x, t). ln |x − t|,
với L(x,t) là hàm liên tục trong hình chữ nhật [a, b] × [a, b], L(x, x) = 0. Khi
đó phương trình tích phân
b

L(x, t). ln |x − t|.ϕ(t)dt = f (x)

ϕ(x) + λ
a

là phương trình tích phân kỳ dị yếu.
Nhân
L(x, t)
K(x, t) =
với a < x < b,
x−t
4


với L(x, t) là hàm khả vi và L(x, x) = 0. Khi đó nhân K(x, t) nhận điểm
t = x là điểm kỳ dị mạnh. Do vậy phương trình tích phân tương ứng là
phương trình tích phân kỳ dị mạnh.

1.3
1.3.1

Tính chất của tích phân kỳ dị
Đổi biến và tính tích phân từng phần

Tích phân kỳ dị có một số tính chất hoàn toàn giống như đối với tích
phân thông thường, đó là tích phân của một tổng luôn bằng một tổng các
tích phân và hằng số nhân trong biểu thức tích phân có thể đưa ra ngoài dấu
tích phân. Tiếp theo ta xét công thức đổi biến và cách tính tích phân từng
phần.
Khái niệm về giá trị chính của tích phân dạng Cauchy quan trọng ở chỗ là
lân cận cần phải loại bỏ được chọn một cách đối xứng theo điểm khảo sát.
ε1
Thực vậy, trong trường hợp ε1 = ε2 thì limε1 ,ε2 →0
= 1, và khi các điểm
ε2
t1 , t2 nằm trên cùng đường tròn tâm t thì (|t2 − t| = |t1 − t|) và vì vậy

lim

t1 →t
t2 →t

t2 − t
=1
t1 − t

(1.3)

Định lý 1.1 (Quy tắc đổi biến). Khi hàm số τ = α(ζ) có đạo hàm liên tục
α (ζ) không triệt tiêu và đồng thời là ánh xạ một - một từ chu tuyến Γ vào
chu tuyến Γ , thì
ϕ(τ )
ϕ[α(ζ)]α (ζ)
dτ =

(1.4)
τ −t
α(ζ) − α(ξ)
Γ

Γ

trong đó t = α(ξ)
Chứng minh. Ta loại bỏ phần cung l đủ nhỏ của chu tuyến Γ thuộc
đường tròn tâm tại điểm ξ. Giả sử ξ1 và ξ2 là các điểm đầu và cuối tương
ứng với các điểm của chu tuyến Γ là t1 và t2 .
Ta xác định giá trị chính của tích phân như sau:

ϕ[α(ζ)]α (ζ)
dζ = lim
ξ1 ,ξ2 →ξ
α(ζ) − α(ξ)

ϕ[α(ζ)]α (ζ)

α(ζ) − α(ξ)

Γ −l

Γ

Thực hiện phép đổi biến ζ = β(τ ), trong đó β(τ ) là hàm số ngược của
α(ζ) (theo điều kiện của định lí hàm ngược thì tồn tại duy nhất), ta thấy vế
5


phải của hệ thức đưa về được biểu thức

ϕ(τ )

τ −t

lim

t1 ,t2 →t
Lt

Các điểm t1 và t2 là không đối xứng qua t trên Γ, tuy nhiên ta sẽ chỉ ra rằng
chúng vẫn thỏa mãn điều kiện (1.3).
Khai triển hàm số α(ζ) vào chuỗi Taylor tại điểm ζ đến số hạng thứ
hai, ta nhận được

t2 = α(ξ2 ) = t + [α (ξ) + ε2 (ξ2 , ξ)](ξ2 − ξ),
t1 = α(ξ1 ) = t + [α (ξ) + ε1 (ξ1 , ξ)](ξ1 − ξ).
Do đó, giả thiết về tính liên tục của α (ζ), thì ε1 và ε2 tiến tới zero kéo theo
ξ1 , ξ2 → ξ.
Do đó
t2 − t
α (ξ) + ε2 ξ2 − ξ
=
t1 − t
α (ξ) + ε1 ξ1 − ξ
và ngược lại

lim

t1 →t
t2 →t

t2 − t
ξ2 − ξ
= lim
=1
ξ1 →t ξ1 − ξ
t1 − t
ξ2 →ξ

Điều kiện biến đổi trên là tương ứng một - một và đóng vai trò cốt yếu, vì
nó đảm bảo sự tồn tại của tích phân thường.
Định lý 1.2 (Công thức tích phân từng phần). Khi ϕ(τ ) là hàm khả vi liên
tục và điểm t không trùng với đầu mút của chu tuyến Γ (a hoặc b) thì công
thức tích phân từng phần là đúng:

ϕ(τ )
dτ = ±iπϕ(t) + ϕ(b) ln(b − t) − ϕ(a) ln(a − t) −
τ −t

ϕ (τ ) ln(τ − t)dτ
Γ

Γ

(1.5)
Số hạng thứ nhất lấy dấu dương khi chọn lát cắt nối điểm t với điểm vô
cùng sao cho nhánh đơn trị của ln(τ − t) nhận giá trị dương ở phía bên phải
của Γ và nhận giá trị âm trong trường hợp ngược lại.
Chứng minh. Trước hết ta xét tích phân ở vế phải

ϕ (τ ) ln(τ − t)dτ.
Γ

6


Để tính giá trị chính ta biến đổi nó như sau
t1

ϕ (τ ) ln(τ − t)dτ = lim

b

ϕ (τ ) ln(τ − t)dτ +

ρ→0

a

Γ

ϕ (τ ) ln(τ − t)dτ .
t2

Tích phân từng phần đối với tích phân thường trong móc vuông, ta thu được
t1

b

ϕ (τ ) ln(τ − t)dτ +
a

ϕ (τ ) ln(τ − t)dτ
t2

= ϕ(b) ln(b − t) − ϕ(a) ln(a − t) + ϕ(t1 ) ln(t1 − t) − ϕ(t2 ) ln(t2 − t)
t1


a

b

ϕ(τ )
dτ −
τ −t

t2

ϕ(τ )
dτ.
τ −t

Chuyển qua giới hạn khi ρ → 0, ta thấy hai số hạng đầu là giới hạn dạng
ϕ(τ )
thông thường, còn hai số hạng cuối cho ta tích phân bằng −
dτ lấy
Γ τ −t
theo nghĩa giá trị chính. Để tính giới hạn của số hạng còn lại ta sử dụng biến
đổi

ϕ(t1 ) ln(t1 − t) − ϕ(t2 ) ln(t2 − t) = ϕ(t)[ln(t1 − t) − ln(t2 − t)]
+[ϕ(t1 ) − ϕ(t)] ln(t1 − t) − [ϕ(t2 ) − ϕ(t)] ln(t2 − t).
Hàm số ϕ(t) là hàm khả vi liên tục, thỏa mãn điều kiện Lipschitz. Vậy nên,
từ kết quả của giới hạn limx→0 x ln x = 0, ta thấy giới hạn của hai số hạng
cuối đều bằng 0.
Vậy giới hạn của ln(t1 − t) − ln(t2 − t) đã được khảo sát xong. Giới hạn
này bằng +iπ khi lát cắt được thực hiện ở bên phải của chu tuyến Γ, và
bằng −iπ trong trường hợp ngược lại. Vậy định lí được chứng minh.
Nhận xét rằng , khi Γ là chu tuyến đóng, trơn (a = b), thì công thức
(1.5) có dạng rất đơn giản

ϕ(τ )
dτ = ±iπϕ(t) −
τ −t
Γ

1.3.2

ϕ (τ ) ln(τ − t)dτ

(1.6)

Γ

Tính liên tục H¨
older của tích phân dạng Cauchy

Ta đã chứng minh được rằng giá trị Φ+ (t) và Φ− (t) của tích phân dạng
Cauchy là các hàm liên tục trên chu tuyến Γ. Trong phần này, ta chỉ ra các
7


hàm số trên có tính chất tốt hơn tính liên tục thông thường, đó là nó thỏa
mãn điều kiện H¨older với một chỉ số xác định nào đó. Tính chất này được
mô tả bởi định lí sau.
Định lý 1.3. Khi Γ là chu tuyến đóng, đơn, trơn và ϕ(t) thỏa mãn trên Γ
điều kiện H¨older với chỉ số λ, thì giá trị của tích phân dạng Cauchy Φ+ (t)
và Φ− (t) cũng thỏa mãn điều kiện H¨older với cùng chỉ số, khi 0 < λ < 1, và
đủ gần tới λ, khi λ = 1.
Chứng minh. Từ hệ thức (1.6), ta chỉ cần chứng minh định lý trên đối với
hàm số sau
1
ϕ(τ ) − ϕ(t)
ψ(t) =
dτ.
2πi Γ
τ −t
Xét biểu thức

|ψ(t2 ) − ψ(t1 )| =

1
2πi

Γ

ϕ(τ ) − ϕ(t2 ) ϕ(τ ) − ϕ(t1 )


τ − t2
τ − t1

(1.7)

đối với hai điểm tùy ý t1 và t2 đủ gần nhau.
Từ điểm t1 ta vẽ đường tròn bán kính δ sao cho nó cắt Γ tại hai điểm
a và b. Phần của chu tuyến Γ nằm trong đường tròn này được kí hiệu bởi
Γδ . Giả sử t2 là điểm cố định tùy ý trên cung Γ khác điểm a hoặc b. Ta đặt
δ = k |t2 − t1 | , thì dễ thấy k > 1.
Gọi s = s(t, τ ) là độ dài nhỏ nhất của hai cung của chu tuyến Γ, với
các đầu mút t và τ. Vì chu tuyến Γ trơn, nên ứng với mỗi cặp điểm t1 và t2 ,
ta đều có thể viết
s(t1 , t2 ) ≤ m |t2 − t1 | ,
(1.8)
trong đó m là hằng số dương.
Ta cắt cung Γδ của chu tuyến Γ, lấy trên cả hai phía của điểm t1 bằng
2 lần độ dài của cung s(t1 , t2 ). Các đầu mút của cung này được kí hiệu bởi
a và b. Khi đó, tích phân (1.7) viết được như sau

ψ(t2 ) − ψ(t1 ) =
+
=

1
2πi

1
2πi

1
2πi

Γδ

ϕ(τ ) − ϕ(t2 )
1
dτ −
τ − t2
2πi
l

ϕ(τ ) − ϕ(t1 )

τ − t1
l

ϕ(τ ) − ϕ(t2 ) ϕ(τ ) − ϕ(t1 )


τ − t2
τ − t1

ϕ(τ ) − ϕ(t2 )
1
dτ −
τ − t2
2πi
l
8

ϕ(τ ) − ϕ(t1 )

τ − t1
l


+

1
2πi

Γδ

1
ϕ(t1 ) − ϕ(t2 )
[ϕ(τ ) − ϕ(t2 )](t2 − t1 )
dτ +

τ − t1
2πi Γδ
(τ − t1 )(τ − t2 )
= I1 + I2 + I3 + I4

Ta ước lượng tiếp đối với tích phân I2 . Ta có

|I2 | ≤

1


l

ϕ(τ ) − ϕ(t1 )
|dτ | ≤ C1
τ − t1

C|t2 −t1 |

≤ C2
0

|dτ |
|τ − t1 |1−λ

l

ds
λ
λ

C
s
(t
,
t
)

A
|t

t
|
,
3
1
2
1
2
1
s1−λ

trong đó, mọi hệ số là hằng số dương.
Tương tự, ta cũng có

|I1 | ≤ A2 |t2 − t1 |λ .
Đối với tích phân I3 , thì ta có ước lượng sau

|ϕ(t1 ) − ϕ(t2 )|
|I3 | ≤


Γδ


A |t2 − t1 |λ

τ − t1


Γδ


.
τ − t1

Tích phân cuối tính được trực tiếp như sau

Γδ

a − t1

= ln
.
τ − t1
b − t1

Kết quả là, tích phân này giới nội với mọi t1 trên Γ. Do đó, ta ước lượng

|I3 | ≤ A3 |t2 − t1 |λ .
Ta chuyển sang ước lượng tích phân I4 là dạng tích phân phức tạp nhất.
Sử dụng điều kiện H¨older, ta thu được

|I4 | ≤ A

|t2 − t1 |


ds
Γ1

|τ − t1 | |τ − t2 |1−λ
λ−2

≤ A1 |t2 − t1 |

|τ − t1 |
Γ1

τ − t1
τ − t2

1−λ

Do

|τ − t1 | − |t1 − t2 | ≤ |τ − t2 |


|τ − t2 | ≥ δ = k |t2 − t1 | ,
9

|dτ | .


nên

|τ − t1 | ≤

k−1
|τ − t2 | .
k

Suy ra

|I4 | ≤ A3

k−1
k

1−λ

δ

rλ−2 dr,

|t1 − t2 |
R

trong đó

R = max .
τ ∈Γδ

Khi A < 1, tính tích phân cuối, ta thu được

|I4 | ≤ A4 |t2 − t1 |λ .
Khi A = 1, bằng phương pháp tương tự, ta nhận được ước lượng

|I4 | ≤ A4 |t2 − t1 | ln |t2 − t1 | .
Để ý rằng tốc độ hội tụ khi x → 0 của hàm ln x chậm hơn mọi hàm lũy thừa
|x|−ε (ε > 0), ta nhận được

|I4 | ≤ A4 |t2 − t1 |1−ε .
Tập hợp tất cả các ước lượng đối với I1 , I2 , I3 , I4 và chú ý rằng khi λ = 1,
chỉ số λ trong ước lượng của I1 , I2 , I3 cần lặp lại bởi 1 − ε, ta có điều cần
chứng minh.
Ta phát biểu lại tính chất trên của tích phân theo nghĩa giá trị chính
Cauchy
Khi ϕ(t) thỏa mãn điều kiện H¨older với chỉ số λ trên chu tuyến đóng,
trơn Γ, thì
1
ϕ(τ )dτ
Φ(t) =
2πi Γ τ − t
cũng thỏa mãn điều kiện này, chỉ số là λ khi 0 < λ < 1, và chỉ số là 1 − ε
khi λ = 1, trong đó ε là số nhỏ tùy ý.

1.3.3

Công thức Sokhotski

Ta sẽ chứng minh tính chất sau đây, tích phân dạng Cauchy với hàm
mật độ thỏa mãn điều kiện H¨older cũng có cùng tính chất như thế vị lớp kép
với hàm mật độ liên tục, tức là, nó có giá trị biên liên tục trên chu tuyến từ
cả hai phía, nhưng các giá trị biên đó là phân biệt, vậy nên chu tuyến sinh
ra một bước nhảy.
10


Bổ đề 1.1 (Bổ đề cơ bản). Khi hàm mật độ ϕ(τ ) thỏa mãn điều kiện H¨older
và điểm t không trùng với các điểm đầu mút của chu tuyến, thì hàm số

Φ(z) =

ϕ(τ ) − ϕ(t)

τ −t
Γ

tại điểm z = t của chu tuyến là liên tục, tức là, hàm này có giá trị giới hạn
xác định trên điểm t đi từ z từ mọi phía của chu tuyến, dọc theo mọi đường
dẫn
ϕ(τ ) − ϕ(t)
dτ = Φ(t).
lim Φ(z) =
z→t
τ −t
Γ
Chứng minh. Ta xét hiệu

Φ(z) − Φ(t) =

(z − t)
Γ

ϕ(τ ) − ϕ(t)
dτ.
(τ − z)(τ − t)

Chia tích phân thành hai số hạng. I1 lấy trên γδ của chu tuyến Γ, nằm trong
đường tròn với bán kính đủ nhỏ δ với tâm tại điểm t, và I2 lấy trên phần
còn lại Γδ := Γγδ .
Ta xét số hạng I1 . Giả sử z di chuyển tới t dọc theo đường dẫn không
tiếp xúc với chu tuyến. Khi đó, với δ đủ nhỏ, góc nhọn ω tại điểm t có cận
dưới ω0 > 0. Sử dụng định lý hàm số sin trong tam giác ztτ, ta nhận được

|z − t|
sin β
1
=

=K
|τ − z| sin ω
sin ω0

(1.9)

trong đó K là số dương. Ta có

ϕ(τ ) − ϕ(t)
< A |τ − t|λ−1 = Arλ−1 ,
τ −t

(1.10)

trong đó r = |τ − t| .
Ta sử dụng tính chất sau của chu tuyến Γ
ds
Đối với chu tuyến trơn, thì tỷ số
, trong đó s là độ dài cung của chu
dr
ds
≤ m, trong
tuyến và r là độ dài của cung tương ứng, là giới nội, tức là,
dr
đó m là hằng số dương. Vậy nên

|dτ | = |ds| ≤ m |dr| .

(1.11)

Sử dụng đánh giá (1.9) đến (1.11), ta nhận được

|I1 | ≤
γδ

|z − t| ϕ(τ ) − ϕ(t)
|dτ | < KAm
|τ − z|
τ −t
11

rλ−1 |dr|
γδ


δ

rλ−1 dr =

= 2KAm
0

2KAmδ λ
.
λ

ε
Chọn số tùy ý ε > 0 và δ sao cho |I1 | < . Khi đã chọn được δ, ta tiếp tục
2
ước lượng tích phân I2 trên đoạn Γδ của chu tuyến Γ, τ = t, tích phân I2 tại
ε
điểm t liên tục trong z. Với |z − t| đủ nhỏ, bất đẳng thức |I2 | < là đúng.
2
Vậy nên |Φ(z) − Φ(t)| ≤ |I1 | + |I2 | < ε Vậy chỉ còn xét điều kiện khi z
tiến tới t dọc theo đường dẫn không tiếp xúc với chu tuyến.
Nhận xét rằng, ước lượng hiệu |Φ(z) − Φ(t)| là đúng và độc lập với t.
Kết quả là, Φ(z) hội tụ đều tới giới hạn của nó. Suy ra, giá trị giới hạn của
Φ(t) trên chu tuyến Γ (hàm số Φ(t)) là hàm số liên tục. Thực vậy, khi t và
t1 là hai điểm của chu tuyến Γ, thì
|Φ(t) − Φ(t1 )| ≤ |Φ(t) − Φ(z)| + |Φ(z) − Φ(t1 )| .
Vì Φ(z) hội tụ đều tới giới hạn, cả hai số hạng trong vế phải của bất đẳng
thức đều có thể làm nhỏ tùy ý, các điểm t, t1 và z đủ gần nhau.
Giả sử z tiến tới t dọc theo đường cong γ tiếp xúc với Γ. Ta lấy trên
đường cong γ điểm z đủ gần với t và đường cong γ1 qua nó sao cho nó cắt
chu tuyến Γ tại điểm t1 đủ gần với t, và nó không tiếp xúc với Γ. Đường γ1
có thể chọn sao cho độ dài của các cung zt và zt1 là đồng thời nhỏ tùy ý.
Sử dụng điều vừa chứng minh về sự tồn tại của giới hạn dọc theo đường
dẫn không tiếp xúc và tính liên tục của giá trị, ta thấy

|Φ(z) − Φ(t1 )|


|Φ(t) − Φ(t1 )|
là nhỏ tùy ý. Vậy nên

|Φ(z) − Φ(t)| ≤ |Φ(z) − Φ(t1 )| + |Φ(t) − Φ(t1 )|
cũng là nhỏ tùy ý. Điều này cho ta sự tồn tại của giới hạn dọc theo mọi
đường dẫn.
Ta khảo sát bài toán cơ bản về sự tồn tại giá trị của tích phân dạng
Cauchy trên chu tuyến của tích phân và đánh giá mối liên hệ giữa giá trị của
hàm số với tích phân kỳ dị.
12


Xét hàm số

Φ(z) =

1
2πi

ϕ(τ )
dτ,
τ −z

(1.12)

Γ

trong đó ϕ(t) thỏa mãn điều kiện H¨older.
Giả sử chu tuyến Γ là đóng. Trong trường hợp của chu tuyến mở ta bổ
sung đường cong tùy ý để nó đóng và đặt trên đường cong phụ đó ϕ(τ ) = 0.
Để khảo sát giá trị của Φ(z) tại điểm t của chu tuyến, ta xét hàm số

Ψ(z) =

ϕ(τ ) − ϕ(t)
dτ.
τ −z

1
2πi

(1.13)

Γ

Kí hiệu giá trị của hàm giải tích Φ(z), Ψ(z) khi điểm z tiến tới điểm t
của chu tuyến từ phía trong Φ+ (z), Ψ+ (z), tương ứng, và từ phía ngoài bởi
Φ− (z), Ψ− (z), tương ứng (đối với chu tuyến mở sự tương ứng này được chọn
từ trái qua phải). Để mô tả hướng đi của giới hạn, ta viết z → t+ hoặc
z → t− . Giá trị của hàm số tương ứng tại điểm t của chu tuyến được kí hiệu
bởi Φ(t), Ψ(t); trong đó Φ(t) là tích phân kỳ dị theo nghĩa giá trị chính

Φ(z) =

1
2πi

ϕ(τ )
dτ.
τ −z
Γ

Xét hệ thức

Γ



2πi khi z ∈ D+


= 0
khi z ∈ D−
τ −z 

πi khi z ∈ Γ

(1.14)

ta nhận được

Ψ+ (t) = lim+
z→t

1
2πi

ϕ(τ )
ϕ(τ )
dτ −
τ −z
2πi
Γ

Ψ− (t) = lim−
z→t

Γ

ϕ(τ )
ϕ(τ )
dτ −
τ −z
2πi

1
2πi
Γ

Ψ(t) =

1
2πi


= Φ+ (t) − ϕ(t),
τ −z

= Φ− (t),
τ −z
Γ

ϕ(τ )
ϕ(τ )
dτ −
τ −z
2πi
Γ

1

= Φ(t) − ϕ(t).
τ −z
2
Γ

Vì rằng, theo bổ đề cơ bản, hàm số Ψ(t) là liên tục, nên vế phải của hệ thức
là đồng nhất, tức là
13


1
Φ+ (t) − ϕ(t) = Φ− (t) = Φ(t) − ϕ(t)
2
Vậy nên, ta nhận được

1
1
ϕ(τ )

+


 Φ (t) = ϕ(t) +
2
2πi Γ τ − z
1
1
ϕ(τ )



 Φ− (t) = − ϕ(t) +
2
2πi Γ τ − z

(1.15)

(1.16)

trong đó tích phân kỳ dị được hiểu theo nghĩa giá trị chính.
Công thức (1.16) thường được gọi là công thức Sokhotski.
Định lý 1.4. Giả sử Γ là chu tuyến trơn (đóng hoặc mở) và ϕ(t) là hàm số
theo tọa vị trên chu tuyến và thỏa mãn điều kiện H¨older. Khi đó, tích phân
Cauchy
1
ϕ(τ )
Φ(z) =

2πi τ − z
Γ

có giá trị Φ+ (t), Φ− (t) tại mọi điểm của chu tuyến Γ không trùng với các
đầu mút, trên chu tuyến chọn hướng từ bên trái hoặc từ bên phải dọc theo
hướng đi của đường dẫn, và giá trị biên này được biểu diễn theo hàm mật độ
của tích phân ϕ(t) và tích phân kỳ dị Φ(t) dưới dạng công thức Sokhotski
(1.16) Trừ và cộng các vế tương ứng của công thức (1.16) ta nhận được hai
công thức tương đương sau đây

Φ+ (t) − Φ− (t) = ϕ(t)
1
ϕ(τ )
Φ+ (t) + Φ− (t) =

πi τ − t

(1.17)
(1.18)

Γ

Nhận xét rằng trong phần trước ta xét sự tồn tại của tích phân kỳ dị và
giá trị biên của tích phân dạng Cauchy với giả thiết đường lấy tích là đường
cong trơn. Dễ thấy rằng giả thiết này không phải là điều kiện cốt yếu để tích
phân tồn tại. Ta thấy tính trơn của chu tuyến được sử dụng để ước lượng giá
t2 − t
trị của ln
,. Trong cả hai trường hợp trên thì tính trơn trong lân cận
t1 − t
của điểm khảo sát luôn được đặt ra. Đặc biệt, tính chất của chu tuyến được
khai thác là tỷ số của cung nhỏ của chu tuyến với cung tương ứng là giới nội.
Tuy nhiên, tính chất này chỉ đúng với các chu tuyến có hệ số của tiếp tuyến
biến thiên liên tục. Điều này vẫn đúng đối với chu tuyến trơn từng khúc có
14


góc nhọn. Vậy nên, mọi kết quả khảo sát ở phần trên cũng đúng trong trường
hợp này, tức là, khi điểm cần khảo sát là điểm góc của chu tuyến.
Tuy giả thiết về tính trơn là cốt yếu, song dễ thấy rằng nó cũng đúng
đối với điểm góc của chu tuyến. Giả sử α là góc giữa hai tiếp tuyến với chu
tuyến Γ tại điểm t. Ta có

lim ln

t1 ,t2 →t

t2 − t
= −iα.
t1 − t

Vậy nên


= iα
τ −t

(1.19)

Γ

Hệ thức (1.13) có dạng

Φ+ (t) − ϕ(t) = Φ− (t) = Φ(t) −

α
ϕ(t)


(1.20)

ϕ(τ )

τ −t

(1.21)

và kết quả là

Φ+ (t) = 1 −

α
1
ϕ(t) +

2πi
Γ

Φ− (t) = −

α
1
ϕ(t) +

2πi

ϕ(τ )

τ −t

(1.22)

Γ

Kết quả này có thể phát biểu như sau
Định lý 1.5. Khi tích phân dạng Cauchy lấy theo chu tuyến có hữu hạn
điểm góc, thì giá trị giới hạn của tích phân tồn tại. Đối với điểm thường công
thức Sokhotski (1.16) vẫn đúng, còn đối với điểm góc, ta có công thức (1.21)
và (1.22).
Ta đi tìm điều kiện để hàm trên biên là giá trị biên của hàm giải tích
Giả thiết rằng trên chu tuyến đóng, trơn Γ cho hàm biến phức liên tục ϕ(t)
và giả sử t = t(s) = t1 (s) + it2 (s) là phương trình của chu tuyến trong dạng
phức, t(s) là hàm số theo cung s đo từ một điểm tùy ý của chu tuyến. Thế
vào biểu thức của hàm ϕ(t) trong tọa độ phức rồi tách phần thực và phần
ảo, ta có
ϕ(t) = ϕ[t(s)] = ϕ1 (s) + iϕ2 (s).
Câu hỏi tự nhiên nảy sinh là tồn tại hay không tồn tại một hàm giải tích
trong miền D+ (hoặc D− ) sao cho một hàm biến phức ϕ(t) cho trước là giá
15


trị giới hạn của nó trên chu tuyến?
Dễ thấy rằng, nói chung câu trả lời là phủ định. Thực vậy, khi đã có phần
thực ϕ1 (s), ta có thể dựng hàm số u(x, y) điều hòa trong miền D+ (hoặc
D− ) và giá trị của nó trên chu tuyến là đồng nhất với hàm ϕ1 (s) (bài toán
Dirichlet). Khi hàm số u(x, y) được xác định, ta có thể xác định hàm điều
hòa liên hợp v(x, y) sai khác một hằng số tùy ý. Ta nhận được hàm số giải
tích f (z) = u(x, y) + iv(x, y) với ϕ1 (s) là giá trị biên của phần thực của nó.
Tính giá trị giới hạn của phần ảo v(x, y) ta thấy, nói chung, nó không trùng
với hàm số đã cho ϕ2 (s), kết quả là hàm biến phức ϕ(t) có thể không là giá
trị giới hạn của hàm số giải tích trong D+ (hoặc D− ). Lý do xảy ra điều này
là do khi đã cho trước một phần của hàm biến phức (có thể là phần thực
hoặc phần ảo) thì phần kia được xác định sai khác một hằng số. Vậy nên,
khi hàm biến phức đã cho là giá trị giới hạn của hàm số giải tích, nó phải
thỏa mãn thêm một số hệ thức bổ sung. Giả sử rằng ϕ(t) thỏa mãn điều kiện
H¨older. Xét tích phân dạng Cauchy với hàm mật độ ϕ(t) :

Φ(z) =

1
2πi

ϕ(τ )
dτ.
τ −z
Γ

Khi z ∈ D+ và ϕ(t) là giá trị biên của hàm số giải tích trong D+ , thì

Φ(z) = ϕ(z)
Khi z ∈ D− và ϕ(t) là giá trị biên của hàm số giải tích trong D− , thì theo
công thức tích phân Cauchy đối với miền vô hạn, ta có

Φ− (z) = ϕ(z) + ϕ(∞).
Lấy giá trị trên chu tuyến Γ và sử dụng của công thức Sokhotski (1.16), ta
nhận được
1
1
ϕ(τ )
ϕ(t) = ϕ(t) +
dτ.
2
2πi τ − z
Γ

Khi ϕ(z) là giải tích trong D+ , thì

1
1
− ϕ(t) +
2
2πi

ϕ(τ )
dτ = 0.
τ −z
Γ

Khi hàm là giải tích trong D− , thì
16

(1.23)


1
1
ϕ(t) +
2
2πi

ϕ(τ )
dτ − γ = 0(γ = ϕ(∞))
τ −z

(1.24)

Γ

Ta xem (1.23), (1.24) là điều kiện cần đối với hàm số ϕ(t) là giá trị biên của
hàm số giải tích trong các miền D+ và D− , tương ứng. Dễ chứng minh rằng
các điều kiện này cũng là đủ.
Thật vậy, giả thiết rằng ϕ(t) thỏa mãn điều kiện (1.23). Tức là, tích
phân Cauchy
1
ϕ(τ )
Φ(z) =
dτ,
2πi τ − z
Γ

theo công thức Sokhotski (1.16), thì Φ− (t) = 0, và từ hệ thức (1.17) thì

ϕ(t) = Φ− (t) − Φ+ (t) = Φ+ (t).
Ta phát biểu kết quả vừa nhận được dưới dạng
Định lý 1.6. Giả thiết rằng trên chu tuyến đóng, trơn Γ cho hàm ϕ(t) thỏa
mãn điều kiện H¨older. Để hàm này là giá trị biên của hàm giải tích trong
miền trong D+ , điều kiện cần và đủ là điều kiện (1.23) được thỏa mãn. Để
ϕ(t) là giá trị biên của hàm giải tích trong miền ngoài D− và tại vô cùng
nhận giá trị Λ, điều kiện cần và đủ là điều kiện (1.24) được thỏa mãn.

1.3.4

Giá trị biên của đạo hàm trong tích phân kỳ dị

Giả sử ϕ(t) là hàm số của vị trí trên chu tuyến đóng Γ, có đạo hàm cấp
m thỏa mãn điều kiện H¨older.
Ta sẽ chứng minh rằng đạo hàm cấp m của hàm số Φ(z) xác định bởi
tích phân dạng Cauchy

Φ(z) =

1
2πi

ϕ(τ )

τ −z
Γ

có giá trị biên trên chu tuyến và giá trị biên thỏa mãn hệ thức tương tự như
công thức Sokhotski (1.16)
(m)+

Φ

ϕ(m) (τ )

τ −z

1
1
(t) = ϕ(m) (t) +
2
2πi
Γ

17

(1.25)


ϕ(m) (τ )
dτ.
τ −z

1
1
Φ(m)− (t) = − ϕ(m) (t) +
2
2πi

(1.26)

Γ

Từ hệ thức (1.12), ta suy ra đạo hàm cấp m của tích phân dạng Cauchy
có dạng
m!
ϕ(τ )
Φ(m) (z) =
dτ.
2πi (τ − z)m+1
Γ

Ta tích phân từng phần vế phải m lần. Vì rằng chu tuyến là đóng, nên phần
đã lấy tích phân luôn triệt tiêu. Do đó, ta có
(m)

Φ

ϕ(m) (τ )
dτ.
τ −z

1
(z) =
2πi
Γ

Từ tích phân dạng Cauchy nhận được và công thức Sokhotski (1.16), ta thu
được hệ thức (1.25), (1.26).

1.3.5

Đạo hàm của giá trị biên trong tích phân kỳ dị

Ta sẽ chỉ ra rằng trong công thức (1.25) và (1.26) phép tính đạo hàm
và chuyển qua giới hạn trên chu tuyến là chuyển đổi thứ tự được, tức là giá
trị giới hạn trên chu tuyến của đạo hàm của tích phân Cauchy trùng với đạo
hàm của giá trị giới hạn của nó.
Ta minh họa thông qua đạo hàm bậc nhất. Ta chứng minh rằng

[Φ (t)]± = [Φ± (t)] .
Đặt

Ψ(z) =

ϕ (τ )
dτ.
τ −t

1
2πi
Γ

Ta chứng minh

[Φ (t)]± = Ψ± (t)


[Φ± (t)] = Ψ± (t).
Xét [Φ (t)]+ . Vì rằng [Φ+ (z)] là liên tục tới biên và thỏa mãn điều kiện
H¨older trên chu tuyến, [Φ+ (t)] cũng tồn tại và thỏa mãn điều kiện H¨older.
Ta có
Φ+ (t + ∆t) − Φ+ (t)
+
[Φ (t)] = lim
.
∆t→0
∆t
18


Theo định lý Cauchy, thì
t+∆t
+

+

[Φ+ (t)] dt =

Φ (t + ∆t) − Φ (t) =
t

[Φ+ (z)] dz
L

trong đó L là chu tuyến bao D+ .

[Φ+ (z)] dz =
L

Ψ+ (z)dz = Ψ+ (t)∆t +
L

[Ψ+ (z) − Ψ+ (t)]dz.
L

Ta chọn chu tuyến L sao cho độ dài của nó bằng 2 |∆t| với điều kiện
sau được thỏa mãn đối với ε > 0

ε
Ψ+ (z) − Ψ+ (t) < .
2
Điều này là hiển nhiên do tính liên tục của Ψ+ (z) tới biên. Do đó, ta có

Φ+ (t + ∆t) − Φ+ (t)
− Ψ+ (t) < ε
∆t
và vì thế

[Φ+ (t)] = Ψ+ (t).
Cũng vậy đối với Φ− (t). Lặp lại quá trình trên, ta nhận được

[Φ]± (t)](m) = [Φm (t)]± .

(1.27)

ứng với hàm mật độ ϕ(m) (t) ∈ H.

1.4

Bài toán bờ Riemann trong miền đơn liên

Giả thiết rằng Γ là chu tuyến đóng, đơn và trơn chia mặt phẳng phức
thành miền trong D+ và miền ngoài D− (giả thiết ∞ ∈ D− ), và cho hai hàm
số trên chu tuyến, G(t) và g(t) thỏa mãn điều kiện H¨older, trong đó G(t)
không triệt tiêu trên biên. Ta cần xác định hai hàm số Φ+ (z), giải tích trong
miền D+ , và Φ− (z), giải tích trong miền D− , kể cả z = ∞, và thỏa mãn trên
chu tuyến Γ hệ thức thuần nhất (bài toán thuần nhất)

Φ+ (t) = G(t)Φ− (t)

19

(1.28)


hoặc hệ thức không thuần nhất (bài toán không thuần nhất)

Φ+ (t) = G(t)Φ− (t) + g(t).

(1.29)

Hàm số G(t) được gọi là hệ số của bài toán bờ Riemann, và hàm số g(t) là
phần tử tự do của bài toán.

1.5

Bài toán bước nhảy

Giả thiết rằng trên chu tuyến đóng Γ cho hàm số ϕ(t) thỏa mãn điều
kiện H¨older. Ta cần xác định hai hàm số giải tích Φ(z) = Φ+ (z) với z ∈ D+ ,
Φ(z) = Φ− (z) với z ∈ D− triệt tiêu tại vô cùng và thỏa mãn điều kiện

Φ+ (t) − Φ− (t) = ϕ(t).

(1.30)

ϕ(t) được gọi là bước nhảy của Φ(z) trên Γ
Từ công thức Sokhotski, hiển nhiên rằng hàm số
Φ(z) =

1
2πi

ϕ(τ )
dτ.
τ −t

(1.31)

Γ

là nghiệm của bài toán và hơn nữa là nghiệm duy nhất của bài toán.
Thật vậy, giả thiết rằng Φ1 (z) và Φ2 (z) là hai nghiệm của bài toán (1.31).
+



K + (t) = Φ+
1 (t) − Φ2 (t); K (t) = Φ1 (t) − Φ2 (t)

Vì Φ1 (z) và Φ2 (z) là hai nghiệm của bài toán (1.30) nên ta có
K + (t) − K − (t) = 0 và K(∞) = 0. Vậy theo định lý Liouville, suy ra
K(z) = 0
Ta có thể tóm tắt nghiệm của bài toán (1.30) như sau

Định lý 1.7. Hàm số tùy ý ϕ(t) cho trên chu tuyến đóng và thỏa mãn
điều kiện H¨older, có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng hiệu của hàm số
Φ+ (t), Φ− (t) là giá trị biên của hàm giải tích Φ+ (z), Φ− (z), dưới giả thiết
Φ− (∞) = 0 .
Nếu không đòi hỏi điều kiện Φ− (∞) = 0, thì nghiệm của bài toán được cho
20


bởi công thức

Φ(z) =

1
2πi

ϕ(τ )
dτ + const .
τ −t

(1.32)

Γ

Nhận xét 1.1. Đối với chu tuyến là khoảng hữu hạn Γ ≡ (α, β), bài toán
bước nhảy

Φ+ (t) − Φ− (t) = ϕ(t)

(1.33)

có nghiệm duy nhất là
β

1
Φ(z) =
2πi

ϕ(τ )

τ −t

(1.34)

α

1.5.1

Chỉ số của hàm số

Giả sử Γ là một chu tuyến đóng và trơn và G(t) là một hàm số liên tục
và không triệt tiêu trên Γ
Định nghĩa 1.3 ([1]-[2]). Chỉ số của hàm số G(t) dọc theo chu tuyến Γ được
hiểu là tỷ số độ tăng trưởng (số gia) của argumen của nó khi chuyển động
hết một lượt dọc theo chu tuyến (theo chiều dương) và 2π .
Ký hiệu [ω]Γ là độ tăng trưởng của ω dọc theo Γ thì chỉ số của G(t) được
viết dưới dạng
1
[arg G(t)]Γ .
κ = Ind G(t) =

Chỉ số dễ dàng tính được thông qua sự biến thiên logarit của hàm số, tức là

ln G(t) = ln |G(t)| + i arg G(t).
Sau khi chuyển động dọc theo Γ, |G(t)| trở lại giá trị ban đầu. Vậy nên

1
[arg G(t)]Γ = [ln G(t)]Γ ,
i
do vậy mà
κ=

1
[ln G(t)]Γ .
2πi

Chỉ số có thể tính theo tích phân
κ = Ind G(t) =

1


d arg G(t) =
Γ

1
2πi

d ln G(t).
Γ

21


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×