Tải bản đầy đủ

THẾ VỊ LỚP ĐƠN VÀ BÀI TOÁN NEUMANN ĐỐI VỚI HÀM ĐIỀU HÒA

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

HOÀNG VĂN LUẬN

THẾ VỊ LỚP ĐƠN
VÀ BÀI TOÁN NEUMANN ĐỐI VỚI
HÀM ĐIỀU HÒA

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN

HÀ NỘI - NĂM 2015


Mục lục


Mở đầu

2

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Góc khối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Mặt Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Phương trình tích phân Fredholm loại II . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4

Phương trình Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5

Tính duy nhất nghiệm của bài toán Neumann . . . . . . . . . . . . 11

2 Thế vị lớp đơn và bài toán Neumann đối với hàm điều hòa

14


2.1

Thế vị lớp kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2

Thế vị lớp đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3

Đưa bài toán Neumann của phương trình Laplace về phương trình
tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4

Sự tồn tại nghiệm của các bài toán Neumann . . . . . . . . . . . . 20

Kết luận

24

Tài liệu tham khảo

25

1


Mở đầu
Nghiệm của phương trình Laplace rất quan trọng trong toán học mà đặc biệt
là trong các bài toán vật lý, sinh học. Việc tìm nghiệm của bài toán Laplace là
cần thiết, có nhiều phương pháp để chỉ ra sự tồn tại nghiệm của nó. Một trong
những phương pháp đó là phương pháp thế vị. Đó là phương pháp tìm nghiệm
của phương trình dưới dạng một thế vị của hàm điều hòa cơ bản. Cấu trúc luận
văn gồm 2 chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bầy một số khái niệm và
các tính chất bao gồm: định nghĩa về góc khối; định nghĩa về mặt Lyapunov và
các tính chất của mặt Lyapunov cùng với các đánh giá có liên quan; định nghĩa
về phương trình tích phân Fredholm loại II, các định lý Fredholm và cuối cùng
là trình bày về các bài toán Neumann trong và ngoài, tính duy nhất nghiệm của
bài toán đó.
Chương 2: Thế vị lớp đơn và bài toán Neumann cho hàm điều hòa. Nội
dung của chương này là chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán Neumann cho
hàm điều hòa, gồm 3 bước: Đầu tiên ta đưa ra khái niệm thế vị lớp đơn và tính
chất của nó. Bước thứ 2 ta chuyển bài toán Neumann của phương trình Laplace
về phương trình tích phân Fredholm loại II. Bước thứ 3 ta đi khảo sát sự tồn tại
nghiệm của bài toán đó.
Các kết quả chính trong luận văn được trình bày dựa trên tài liệu tham khảo
[1],[2], [3].
Hà Nội, tháng 4 năm 2015.
Học viên
Hoàng Văn Luận
2


Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS. Hà
Tiến Ngoạn. Thầy đã dành nhiều thời gian quý báu của mình để kiên trì hướng
dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt cả quá trình làm luận
văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới người thầy của
mình.
Tôi cũng muốn gửi tới toàn thể các thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học trường Đại
học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, các thầy cô đã đảm nhận
giảng dạy khóa Cao học 2012 - 2014, đặc biệt là các thầy cô tham gia tham gia
giảng dạy nhóm Giải tích 2012-214 lời cảm ơn chân thành đối với công lao dạy
dỗ trong suốt thời gian của khóa học.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, các anh chị em trong nhóm Cao
học Toán 2012-2014, đặc biệt là các anh chị em nhóm Giải tích đã quan tâm, giúp
đỡ, tạo điều kiện cũng như động viên tinh thần để tôi có thể hoàn thành khóa
học này.

3


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Góc khối

Cho S là mặt trơn, nói chung là không kín, định hướng, xét một phía xác định

của S và vectơ pháp tuyến →
n hướng về phía ấy, mà ta quy ước là pháp tuyến
dương.
Giả sử P là một điểm bất kỳ nằm trong không gian sao cho với điểm bất kỳ
−→

π
Q ∈ S thì →
r = P Q hợp với −
n→
Q một góc nhỏ hơn hoặc bằng 2 tức là:


cos(→
r ,−
n→
Q) ≥ 0

(1.1)

−→
Từ P, xét tất cả các bán kính vectơ P Q, Q ∈ S . Các bán kính vectơ đó lấp
đầy khối nón, đỉnh là P và các đường sinh của mặt bên tựa trên biên của mặt S.
Từ P, xét mặt cầu đơn vị tâm P, kí hiệu σ1 . Mặt cầu ấy cắt khối nón trên theo
mảnh cầu σ1 , có diện tích là |σ1 |. Khi đó phần không gian chiếm bởi khối nón nói
trên được gọi là góc khối mà từ P nhìn mặt S. Diện tích |σ1 | được gọi là số đo
của góc khối, và được kí hiệu là
ωP (S) = |σ1 |

(1.2)

Chú ý 1.1. Nếu xét mặt cầu tâm P bán kính R : R và cắt khối nón theo mảnh
σR có diện tích |σR | thì do tính đồng dạng của σR và σ1 ta có : |σ11 | = |σRR2 |
Do đó ta có thể viết:

ωP (S) =
4

|σR |
R2

(1.3)


−→




Nếu pháp tuyến dương −
n→
hợp
với
bán
kính
vectơ
r
một
góc

cos(
r,
nQ ) ≤ 0
Q
thì ta quy ước số đo của góc khối mà từ P nhìn S có giá trị âm và
ωP (S) = −

|σR |
R2

(1.4)

−→

Giả sử S là mặt trơn từng mảnh và trên mỗi mảnh đại lượng cos(→
r, nQ ) đổi
−→

dấu, khi đó ta chia S thành nhiều mảnh nhỏ S sao cho cos(→
r, n ) không đổi dấu.
j

Q

Khi đó ta đặt

ωP (S) ≡

ωP (Sj )

(1.5)

j

Định lí 1.1 (Định lý 5.3.1, [1]). Giả sử P ∈
/ S . Góc khối mà từ điểm P nhìn mặt
S có giá trị bằng
∂ 1
ωP (S) = −
( )dSQ
∂nQ r
S

trong đó r=PQ là khoảng cách giữa hai điểm P và Q, −
n→
Q là pháp tuyến dương tại
Q ∈ S , ∂n∂Q là đạo hàm theo hướng −
n→
Q.

1.2

Mặt Lyapunov

Dưới đây là định nghĩa mặt Lyapunov trong không gian ba chiều.
1.2.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.1. Mặt S được gọi là mặt Lyapunov nếu nó thỏa mãn các điều
kiện sau:
1) Tại mỗi điểm của mặt S đều tồn tại một pháp tuyến xác định



2) Gọi Q và Q’ là 2 điểm bất kỳ nằm trên mặt S và →
n , n là hai vectơ pháp



tuyến tương ứng tại Q và Q’, ϕ là góc hợp bởi 2 vectơ pháp tuyến đó (ϕ = (→
n , n )),
r là khoảng cách giữa hai điểm Q,Q’

r = QQ
5


Khi đó tồn tại 2 hằng số dương A và α sao cho:

ϕ ≤ Arα .

(1.6)

Nhận xét 1.1. Nếu mặt S có phương trình

z = f (x, y)
trong đó f (x, y) là hàm có đạo hàm cấp hai liên tục thì S là mặt Lyapunov.
Do đó mặt cong có độ cong liên tục là mặt Lyapunov. Hơn nữa định nghĩa và
các định lý trong phần này cũng đúng trong không gian n chiều tổng quát.
Định lí 1.2 (Định lý 5.4.2, [1]). Giả sử S là mặt Lyapunov kín. Khi ấy tồn tại
một hằng số dương d > 0 sao cho nếu lấy một điểm Q bất kỳ trên S làm tâm bán

kính d thì mọi đường thẳng song song với pháp tuyến →
n tại Q cắt mặt S phía
trong hình cầu không quá một điểm.
Mặt cầu với tâm tại điểm Q ∈ S nói trên được gọi là mặt cầu Lyapunov, kí
hiệu (Q).
1.2.2 Một vài đánh giá
Giả sử Q0 là một điểm cố định bất kỳ nằm trong mặt S và S (Q0 ) là một phần
mặt nằm trong mặt cầu Lyapunov tâm Q0 . Xét hệ tọa độ địa phương (ξ, η, ζ) với

gốc là Q0 , trục Q0 ζ trùng với pháp tuyến →
n0 tại Q0 còn 2 trục Q0 ξ và Q0 η nằm
trong mặt phẳng tiếp xúc với S tại Q0 . Theo Định lý 1.1 thì phần mặt S (Q0 ) có
thể biểu diễn trong hệ tọa độ Q0 ξηζ bởi phương trình

ζ = f (ξ, η)

(1.7)


Gọi Q(ζ, ξ, η) là điểm chạy trên mặt S (Q0 ) ; →
n là pháp tuyến tại Q và r =

Q0 Q. Ta đi đánh giá cosin chỉ phương của →
n , đại lượng f (ξ, η) trong (1.15) và


cos(→
r ,→
n ) theo r khi Q chạy trên mặt S (Q0 ) ta có:


1

cos(→
n, ζ ) ≥
(1.8)
2



| cos(→
n , ξ )| ≤ Arα
(1.9)


| cos(→
n,→
η )| ≤ Arα
(1.10)
|ζ| ≤ Crα+1


| cos(→
r ,→
n )| ≤ C1 rα
6

(1.11)
(1.12)


Định lí 1.3 (Định lý 5.4.3, [1]). Nếu S là mặt Lyapunov giới nội thì tồn tại một
hằng số C sao cho:

1

(
) dSQ ≤ C
∂nQ rP Q

(1.13)

S

đối với mọi P nằm trong không gian.
Ý nghĩa hình học của (1.13) đối với góc khối mà P nhìn mặt S trong (1.5) như
sau: Giả sử S = Sj , khi đó tổng trị tuyệt đối số đo các góc khối là bị chặn đều
j

|ωP (Sj )| ≤ C.
j

Chứng minh. Để chứng minh định lý trên ta chia làm 2 trường hợp: điểm P nằm
trong mặt S và điểm P nằm ngoài mặt S

1.3

Phương trình tích phân Fredholm loại II

1.3.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.2. Cho Ω là miền giới nội trong không gian En ; f (P ) là hàm liên
tục cho trước; K(P, Q) là hàm thực liên tục khi P ∈ Ω; Q ∈ Ω hoặc liên tục khi
P = Q và khi P → Q có bất thường loại yếu:

K(P, Q) = O(

1
),


r = P Q,

α≤n

Khi đó phương trình:

µ(P ) +

K(P, Q)µ(Q)dVQ = f (P )

(1.14)



được gọi là phương trình tích phân Fredholm loại II. Với µ(P ) là hàm liên tục cần
tìm và gọi là nghiệm của phương trình tích phân (1.15)
Nếu f (P ) = 0 thì ta có phương trình thuần nhất tương ứng

µ(P ) +

K(P, Q)µ(Q)dVQ = 0


7


Phương trình thuần nhất liên hợp của (1.14) có dạng

ν(P ) +

K(Q, P )ν(Q)dVQ = 0


trong đó nhân K(Q,P) có được từ K(P,Q) bằng cách trao đổi vị trí P và Q.
Đối với phương trình tích phân Fredholm loại II ta có các định lý sau, và được
gọi là định lý Fredholm.
1.3.2 Một số định lý ( Về phương trình tích phân Fredholm loại II)
Định lí 1.4 (Định lý 5.11.1, [1]). Phương trình thuần nhất

µ(P ) +

K(P, Q)µ(Q)dVQ = 0

(1.15)



và phương trình thuần nhất liên hợp

ν(P ) +

K(Q, P )ν(Q)dVQ = 0

(1.16)



có một số hữu hạn các nghiệm độc lập tuyến tính và số các nghiệm độc lập tuyến
tính của hai phương trình đó bằng nhau.
Gọi hệ đầy đủ các nghiệm độc lập tuyến tính của (1.15) là

{µ1 (P ); ...; µp (P )}
và của (1.16) là:

{ν1 (P ); ...; νp (P )}
Khi đó nghiệm tổng quát của (1.15) có dạng
p


µ(P ) = µ (P ) +

Ck µk (P )

(1.17)

k=1

trong đó µ∗ (P ) là một nghiệm riêng của (1.14) còn Ck là các hằng số tùy ý.

8


Định lí 1.5 (Định lý 5.11.2, [1]). Điều kiện cần và đủ để phương trình (1.15) giải
được là vế phải f (P ) thỏa mãn hệ thức

f (P )νk (P )dVP = 0 k = 1, 2, ..., p

(1.18)



Điều kiện này được gọi là điều kiện trực giao, trong đó {νk (P )} là hệ đầy đủ các
nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình thuần nhất liên hợp (1.16).
Từ đó suy ra
Định lí 1.6 (Định lý 5.11.3, [1]). Điều kiện cần và đủ để phương trình (1.14)
giải được với bất kỳ vế phải f (P ) liên tục nào là phương trình thuần nhất (1.15)
chỉ có nghiệm tầm thường µ(P ) = 0. Khi đó phương trình (1.14) có nghiệm duy
nhất.

1.4

Phương trình Laplace

Giả sử Ω là một miền trong Rn .
Định nghĩa 1.3. Kí hiệu

n

∆u :=

uxi xi
i=1

và gọi biểu thức này là Laplacian của hàm u.
Khi đó phương trình

∆u(x) = 0,

x∈Ω

(1.19)

được gọi là phương trình Laplace. Nghiệm bất kỳ của phương trình (1.19) được gọi
là hàm điều hòa trong miền Ω
Để tìm nghiệm của phương trình (1.19) Trước tiên ta tìm một nghiệm hiển.
Do tính tuyến tính của phương trình (1.19) nên ta sẽ xây dựng nghiệm phức tạp
thông qua nghiệm hiển đã biết. Chú ý rằng phương trình Laplace là bất biến đối
với phép quay, nên ta tìm nghiệm hiển dưới dạng hàm số của r = |x|
Ta tìm nghiệm của (1.60) dưới dạng

u(x) = υ(r),
9

x ∈ Rn


r = |x| = (x21 + ... + x2n )
và chọn υ sao cho ∆u = 0
Chú ý :
1
∂r
1
xi
= (x21 + ... + x2n )− 2 2xi =
∂xi
2
r

(x = 0)

Vì thế

xi
uxi = υ (r) ;
r

uxi xi

x2i
x2i
= υ (r) 2 + υ (r)(1 − 3 );
r
r

Do đó

∆u = υ (r) +

i = 1, 2...n

n−1
υ(r).
r

Như vậy ∆u = 0 khi và chỉ khi

υ (r) +

n−1
υ (r) = 0
r

(1.20)

Nếu υ = 0 thì ta thấy rằng:

υ
1−n
=
υ
r
với α là một hằng số nào đó. Suy ra nếu r ≥ 0 ta nhận được.
[log (υ )] =

Vì thế υ (r) =

α
rn−1

υ(r) = b.log r + c (n = 2)
hoặc

υ(r) =

b
rn−2

+ c (n ≥ 3)

ở đây b và c là các hằng số.
Định nghĩa 1.4. Hàm số

Φ(x) =

1
;
2π log |x|

n=2

(1.21)



Φ(x) =

1
1
;
n(n − 2)α(n) |x|n−2

n≥3

(1.22)

với x ∈ Rn ; x = 0 được gọi là nghiệm cơ bản của phương trình Laplace, trong đó
α(n) là thể tích của hình cầu đơn vị.
10


1.5

Tính duy nhất nghiệm của bài toán Neumann

1.5.1 Bài toán Neumann trong
Giả sử Ω là một miền giới nội trong R3 .
Bài toán Neumann trong của phương trình Laplace được đặt ra như sau:
Tìm hàm điều hòa u(P), liên tục trong miền đóng Ω ∪ S sao cho đạo hàm theo
pháp tuyến ngoài đơn vị trên biên S của nó trùng với một hàm f(Q) cho trước
trên biên S. Nói khác đi:

∆u(P ) = 0, P ∈ Ω
∂u(P )
lim
= f (Q), Q ∈ S,
P →Q ∂nQ

(1.23)

P ∈ Ω.

(1.24)

Nếu Ω là miền bên ngoài Ω cùng biên S thì ta có bài toán Neumann ngoài.
Đối với bài toán Neumann ngoài (1.23), (1.24), hàm u(P) được ràng buộc thêm
bởi điều kiện ở vô tận

∆u(P ) = 0, P ∈ Ω
∂u(P )
= f (Q), Q ∈ S, P ∈ Ω
∂nQ S
C
,
r = OP → ∞.
|u(P )|
r

(1.25)
(1.26)
(1.27)

Bài toán Neumann thường được gọi là bài toán biên thứ hai của phương trình
Laplace.
1.5.2 Công thức Green
Giả sử Ω là miền giới nội trong R3 , giới hạn bởi mặt biên S trơn từng mảnh,
u(x), υ(x) là các hàm riêng cấp một liên tục trong Ω ∪ S và có đạo hàm riêng
cấp hai liên tục trong Ω, khi đó ta có công thức Green thứ nhất:
3

υ(x)(∆u(x))dx = −




j=1

∂υ(x) ∂u(x)
dx +
∂xj ∂xj

υ(x)

∂u(x)
dSx .
∂nx

(1.28)

∂Ω

→ là véctơ pháp tuyến ngoài đơn vị, x ∈ ∂Ω.
trong đó −
n
x
Trong công thức (1.69), tráo đổi vai trò của u, υ , sau đó lấy (1.69) trừ đi công
11


thức vừa nhận được ta được công thức Green thứ hai

[υ(x)(∆u(x)) − u(x)∆(υ(x))] dx =


υ(x)

∂υ(x)
∂u(x)
dSx .
− u(x)
∂nx
∂nx

∂Ω

(1.29)
1.5.3 Bài toán Neumann trong (1.23), (1.24)
Ta chứng minh nếu hàm f(Q) trong (1.24) cho tùy ý thì không phải bao giờ
(1.23), (1.24) có nghiệm, và để có nghiệm, hàm f(Q) phải thỏa mãn một điều kiện
xác định.

Thật vậy, tại mỗi điểm Q ∈ S dựng một pháp tuyến trong →
n và trên pháp
tuyến ấy, lấy một điểm Q’ sao cho

QQ = h
trong đó h là một số dương cố định. Khi điểm Q chạy trên mặt S thì điểm Q’
tạo nên một mặt mà ký hiệu Sh và thường được gọi là mặt song song của mặt S.
Theo kết quả của hình học vi phân thì khi h khá nhỏ, do mặt S là mặt trơn, mặt


Sh cũng là mặt trơn, →
n là pháp tuyến của mặt S thì →
n cũng là pháp tuyến của
mặt Sh
Gọi ωh là miền tọa bởi lớp giữa hai mặt S và Sh và Ωh là miền còn lại, tức là

Ωh = Ω \ Ωh
Vì u(P) là hàm điều hòa trong Ω, nên nó liên tục cùng với đạo hàm riêng tới cấp
hai trong miền đóng Ωh ∪ Sh . Do đó, áp dụng công thức Green thứ hai cho hàm
điều hòa u(P) và 1 ta có:
∂u(Q)
dSh = 0
(1.30)
∂nQ
Sh

Vì hàm u(P) có đạo hàm đều theo pháp tuyến nên

∂u(Q)
∂nQ |Sh

hội tụ đều về

∂u
∂n |S

do

đó chuyển (1.23) qua giới hạn khi h → 0 và được:

∂u
dS = 0
∂n
S

12

(1.31)


Chú ý từ (1.30), có thể viết (1.31)

f (Q)dSQ = 0

(1.32)

S

Vậy, để bài toán (1.23),(1.24) có nghiệm thì f(Q) trong (1.24) phải thỏa mãn điều
kiện (1.32).
Nhận xét 1.2. Đây là điều kiện cần để bài toán Neumann trong (1.23),(1.24) có
nghiệm. Trong Chương 2 ta sẽ chứng minh (1.32) còn là điều kiện đủ.
Nhận xét 1.3. Nếu u(P) là nghiệm của bài toán Neumann trong (1.23), (1.24)
thì U(P)+C cũng là nghiệm với C là hằng số tùy ý.
Bây giờ ta kiểm tra tập các hàm u(P)+C với C là hằng số tùy ý vét cạn tập
nghiệm của bài toán Neumann trong, ta có:
Định lí 1.7 (Định lý 4.9.1, [1]). Hai nghiệm bất kỳ của bài toán Neumann trong
của phương trình Laplace chỉ có thể sai khác nhau một hằng số cộng.
1.5.4. Bài toán Neumann ngoài

∆u(P ) = 0, P ∈ Ω
∂u(P )
= f (Q), Q ∈ S, P ∈ Ω
∂nQ S
C
|u(P )|
,
r = OP → ∞.
r

(1.33)
(1.34)
(1.35)

Định lí 1.8 (Định lý 4.9.2, [1]). (Định lý duy nhất). Bài toán Neumann ngoài
(1.33),(1.34),(1.35) nếu có nghiệm thì nghiệm là duy nhất.

13


Chương 2
Thế vị lớp đơn và bài toán Neumann
đối với hàm điều hòa
Trong chương này, luận văn trình bày sự tồn tại nghiệm của các bài toán
Neumann trong và ngoài trong R3 bằng công vụ thế vị lớp đơn. Để nghiên cứu
các tính chất của thế vị lớp đơn trước hết ta xét khái niệm thế vị lớp kép.

2.1

Thế vị lớp kép

Giả sử S là mặt Lyapunov kín trong R3 bao quanh miền bị chặn Ω.
2.2.1 Định nghĩa
Định nghĩa 2.1. Tích phân phụ thuộc tham biến P ∈ R3

1

(
)ν(Q)dSQ
∂nQ rP Q

W (P ) =

(2.1)

S

được gọi là thế vị lớp kép tại P, gây nên bởi hàm mật độ ν(Q) xác định trên S.
Sau đây ta đưa ra một số tính chất của thế vị lớp kép.
2.2.2 Một số tính chất của thế vị lớp kép.
Định lí 2.1 (Định lý 5.6.1, [1]). Nếu hàm mật độ của thế vị lớp kép (2.1) là hàm
giới nội và khả tích trên S, thì W(P) là hàm điều hòa khi P ∈
/ S.
14


Định lí 2.2 (Định lý 5.6.2, [1]). Giả sử S là mặt Lyapunov kín và hàm mật độ
ν(Q) của thế vị lớp kép (2.1) là hàm giới nội và khả tích trên S. Khi đó thế vị lớp
kép có giá trị hoàn toàn xác định ngay cả khi P ∈ S và giá trị đó là hàm liên tục
đối với P trên S.
2.2.3. Tích phân Gauss
Định nghĩa 2.2. Giả sử S là mặt kín, −
n→
Q là pháp tuyến ngoài tại Q. Tích phân
Gauss là tích phân có dạng:


1
(
)dSQ
∂nQ rP Q

W0 (P ) =

(2.2)

S

Nó là một trường hợp đặc biệt của thế vị lớp kép trong trường hợp với hàm mật
độ
ν(Q) ≡ 1
Ta đã biết giá trị của tích phân Gauss tại P ∈
/ S là: W0 (P ) = −ωP (S) là giá trị
của góc khối mà từ P ta nhìn mặt S, với quy ước pháp tuyến trong là pháp tuyến
dương.
Định lí 2.3 (Định lý 5.7.1, [1]). Đối với mặt
Gauss có giá trị như sau:

4π

1
W0 (P ) =
(
)dSQ = 2π

∂nQ rP Q
0
S

Lyapunov kín trong R3 tích phân
nếu P nằm bên trong S
nếu P nằm trên S
nếu P nằm bên ngoài S

Định lí 2.4 (Định lý 5.8.1, [1]). Giả sử S là mặt Lyapunov kín trong R3 và ν(Q)
là hàm liên tục trên S. Khi đó thế vị lớp kép

1

(
)ν(Q)dSQ
∂nQ rP Q

W (P ) =
S

thỏa mãn các hệ thức sau:

Wi (P0 ) = W (P0 ) + 2πν(P0 )

(2.3)

We (P0 ) = W (P0 ) − 2πν(P0 ).

(2.4)

15


trong đó P0 ∈ S, W (P0 ) là giá trị trực tiếp của W(P) tại P = P0 , Wi (P0 ) là giá
trị giới hạn của W(P) khi P → P0 từ bên trong S ra, We (P0 ) là giá trị giới hạn
của W(P) khi P → P0 từ bên ngoài S vào.

2.2

Thế vị lớp đơn

Giả sử S là mặt Lyapunov kí trong R3 bao quanh miền bị chặn Ω.
2.2.1 Định nghĩa
Định nghĩa 2.3. Tích phân phụ thuộc tham biến P ∈ R3
1
V (P ) =
µ(Q)dSQ
rP Q

(2.5)

S

được gọi là thế vị lớp đơn tại P, gây nên bởi S với hàm mật độ µ(Q).
2.2.2 Một số tính chất của thế vị lớp đơn.
Định lí 2.5 (Định lý 5.9.1, [1]). Nếu hàm mật độ trong thế vị lớp đơn (2.5) là
hàm giới nội và khả tích trên S thì V(P) là hàm điều hòa khi P ∈
/ S.
Định lí 2.6 (Định lý 5.9.2, [1]). Giả sử S là mặt Lyapunov kín trong R3 và hàm
mật độ µ(Q) của thế vị lớp đơn (2.5) là hàm giới nội và khả tích trên S. Khi đó
thế vị lớp đơn (2.5) là một hàm liên tục trong toàn không gian.
2.2.3. Đạo hàm theo pháp tuyến của thế vị lớp đơn


Bổ đề 2.1. Giả sử S là mặt Lyapunov kín, P0 là một điểm cố định trên S, →
n0 là
vectơ pháp tuyến trong của mặt S tại P0 . Xét thế vị lớp đơn và ta nghiên cứu đạo

hàm tại P của V(P) theo hướng pháp tuyến →
n0 :
∂V (P )
∂n0
Nếu P ∈
/ S ta có thể tính

∂V (P )
∂n0

bằng cách lấy đạo hàm dưới dấu tích phân

∂( rP1Q )

∂V (P )
=
∂n0

∂n0
S

16

µ(Q)dSQ

(2.6)


Định lí 2.7 (Định lý 5.10.1, [1]). Giả sử S là mặt Lyapunov kín và µ(Q) là một
hàm giới nội và khả tích trên S. Khi đó

∂( rP1Q )

∂V (P )
=
∂n0

∂n0

µ(Q)dSQ =

S

S

−→ −
cos(P Q, →
n0 )
µ(Q)dSQ
rP2 Q

được hoàn toàn xác định ngay cả khi P = P0 ∈ S
Giá trị tích phân này được gọi là giá trị trực tiếp của
thường được ký hiệu là

∂V (P0 )
∂n0 ,

∂V (P )
∂n0

tại P = P0 ∈ S và

cụ thể là:

∂V (P0 )
=
∂n0
S

−−→ −
cos(P0 Q, →
n0 )
µ(Q)dSQ .
rP2 0 Q

Chú ý 2.1. Giá trị ∂V∂n(P00 ) là tích phân của (2.6) khi thay P bởi P0 . Nó không

phải là đạo hàm theo pháp tuyến →
n0 của V(P) tại P = P0 , tức là

∂V (P )
V (P ) − V (P0 )
= lim
P →P0
∂n0
P0 P
)
(P )
Xét S là mặt Liapunốp kín. Ta ký hiệu ∂V∂n(P
và ∂V
∂n0e lần lượt là giá trị giới
0i

hạn của ∂V∂n(P0 ) khi P luôn ở trên →
n0 dần tới P0 ∈ S từ trong mặt S ra và từ ngoài
mặt S vào.

Định lí 2.8 (Định lý 5.10.2, [1]). Nếu S là mặt Lyapunov kín, µ(Q) là hàm liên
tục trên mặt S, ta có

∂V (P0 ) ∂V (P0 )
=
− 2πµ(P0 ),
∂n0i
∂n0
∂V (P0 ) ∂V (P0 )
=
+ 2πµ(P0 ).
∂n0e
∂n0

(2.7)

Chú ý: Thế vị lớp đơn trong mặt phẳng (n=2) và trong không gian (n ≥ 3)
chiều lần lượt có dạng:
1
V (P ) = ln µ(Q)dSQ ,
r
Γ

17


1

V (P ) =

rn−2

µ(Q)dSQ .

S

Khi đó với giả thiết mật độ liên tục các công thức giới hạn (2.7) có dạng
Với n = 2

∂V (P0 ) ∂V (P0 )
=
− πµ(P0 )
∂n0i
∂n0
∂V (P0 ) ∂V (P0 )
=
+ πµ(P0 )
∂n0e
∂n0

(2.8)

∂V (P0 ) ∂V (P0 ) (n − 2)|S1 |
=

µ(P0 )
∂n0i
∂n0
2
∂V (P0 ) ∂V (P0 ) (n − 2)|s1 |
=
+
µ(P0 )
∂n0e
∂n0
2

(2.9)

Với n ≥ 3

2.3

Đưa bài toán Neumann của phương trình Laplace về
phương trình tích phân

Xét một mặt Lyapunov kín S bao quanh miền trong Ω của R3 . Gọi Ω = R3 Ω
là miền ngoài, f (P0 ) là hàm liên tục trên biên S. Ta đi xét hai bài toán sau:
1. Bài toán Neumann trong (Ni )
Tìm hàm u(P ) liên tục trong Ω ∪ S sao cho:

∆u = 0 trong Ω
∂u
|S = f (P0 ); P0 ∈ S
∂n

(2.10)
(2.11)

2. Bài toán Neumann ngoài (Ne )
Tìm hàm u(P ) liên tục trong Ω ∪ S sao cho:

∆u = 0 trong Ω
∂u
|S = f (P0 ); P0 ∈ S
∂n
A
|u|
khi OP → ∞
R
18

(2.12)
(2.13)
(2.14)


∂u
|S được hiểu là đạo hàm đều theo pháp tuyến, hàm f (P )
trong đó các đạo hàm ∂n
là hàm liên tục trên mặt S còn R là khoảng cách từ P tới gốc tọa độ. Ta kí hiệu
các bài toán Neumann trong và ngoài lần lượt là: Ni ; Ne .

Đối với các bài toán đó ta đi tìm nghiệm dưới dạng thế vị lớp đơn. Ta đã biết
nó là hàm điều hòa trong Ω và Ω , do đó nó thỏa mãn phương trình (2.10) và
(2.12). sau đó ta buộc thế vị đó phải thỏa mãn điều kiện biên. Sau đó ta đưa bài
toán tìm nghiệm u(P) về bài toán tìm hàm mật độ trong thế vị đó, như vậy đã
đưa đến những phương trình tích phân để xác định các hàm mật độ, cụ thể như
sau:
2.3.1 Bài toán Neuimann trong (Ni )
Ta tìm nghiệm dưới dạng thế vị lớp đơn:
1
u(P ) =
µ(Q)dSQ
rP Q

(2.15)

S

Điều kiện (2.11) có thể viết

∂u(P ) ∂u(P0 )
=
= f (P0 ) (P tiến từ trong ra)
P →P0 ∂n0
∂n0i
lim

Dùng công thức thứ nhất của (2.7) (cho (2.15)) ta được phương trình:

2πµ(P0 ) −
S


1
(
)µ(Q)dSQ = −f (P0 )
∂n0 rP0 Q

hay

µ(P0 ) −

K(Q, P0 )µ(Q)dSQ = F (P0 )

(2.16)

S

trong đó

1 ∂
1
(
)
2π ∂n0 rP0 Q
1
F (P0 ) = − f (P0 ).


Với →
n0 là pháp tuyến của mặt S tại điểm P0 ∈ S nên ta có
1 ∂
1
1 ∂
1
K(Q, P0 ) =
(
)=
(
)
2π ∂nP0 rP0 Q
2π ∂nP0 rQP0
K(Q, P0 ) =

19

(2.17)


Phương trình liên hợp của (2.16) là phương trình

ν(P0 ) −

K(P0 , Q)ν(P )dSQ = Φ(P0 )
S

2.3.2 Bài toán Neumann ngoài (Ne )
Ta cũng tìm nghiệm dưới dạng thế vị đơn (2.15) và dùng công thức thứ hai
của (2.7) thì (2.13) viết được:

µ(P0 ) +

K(Q, P0 )µ(P )dSQ = Φ(P0 )

(2.18)

S

với K(Q, P0 ) như ở (2.16) còn

1
f (P0 )

Phương trình liên hợp của (2.18) là phương trình sau
Φ(P0 ) =

ν(P0 ) +

K(P0 , Q)ν(P )dSQ = F (P0 ).

(2.19)

S

2.4

Sự tồn tại nghiệm của các bài toán Neumann

2.4.1 Một số tính chất bổ sung của thế vị lớp đơn
Tích phân trong các phương trình (2.16), (2.18) là tich phân lấy trên mặt S,
tức là trên một đa tạp hai chiều. Nhân K(P,Q) là nhân bất thường loại yếu. Muốn
thấy rõ điều ấy, chỉ cần viết nhân dưới dạng
−−→ →
1 ∂
1
1 cos(P0 Q, −
nQ )
K(P0 , Q) =
(
)=−
2
2π ∂nQ rP0 Q

r P0 Q
Và từ bất đẳng thức (1.12). Vì vậy các phương trình tích phân nói trên là các
phương trình tích phân Fredholm loại II và ta có các định lý Fredhoom. Trước
khi khảo sát các phương trình ta xét các bổ đề:
20


Bổ đề 2.2 (Bổ đề 5.13.1, [1]). Giả sử S là mặt Lyapunov kín, µ(Q) là một hàm
liên tục trên S. Nếu thế vị lớp đơn

µ(Q)
dSQ
rP Q

V (P ) =

(2.20)

S

có đạo hàm theo pháp tuyến ngoài:

∂V (P0 )
≡0
∂n0e
đối với mọi P0 ∈ S , thì

µ(Q) ≡ 0

Bổ đề 2.3 (Định lý 5.13.2, [1]). Giả sử S là mặt Lyapunov kín, µ(Q) là hàm liên
tục. Nếu đối với thế vị lớp đơn (2.39) ta có

Vi (P0 ) ≡ 0
đối với mọi P0 ∈ S , thì

µ(Q) ≡ 0
2.4.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán Neumann ngoài
Cặp phương trình ứng với bài toán Neumann ngoài và bài toán Dirichlet trong
được gọi là cặp phương trình liên hợp thứ nhất đó là:

µ(P0 ) +

K(Q, P0 )µ(Q)dSQ = Φ(P0 )

(2.21)

K(P0 , Q)ν(Q)dSQ = F (P0 )

(2.22)

S

ν(P0 ) +
S

Định lí 2.9 (Định lý 5.13.3, [1]). Các phương trình (2.21) và (2.22) có nghiệm
duy nhất

21


Chứng minh. Do Định lý 1.4 và Định lý 1.6 chỉ cần chứng minh là một trong hai
phương trình thuần nhất có nghiệm tầm thường. Ta chứng minh phương trình
thuần nhất của (2.21) chỉ có nghiệm tầm thường. Thật vậy



2π µ(P0 ) +

K(Q, P0 )µ(Q)dSQ  =
(2.23)

S

= 2πµ(P0 ) +
S

1

(
)µ(Q)dSQ = 0
∂n0 rP0 Q

Theo (2.7), thì (1.15) có thể viết

∂V (P0 )
=0
∂n0e
trong đó V(P) là thế vị lớp đơn. Theo Bổ đề 2.3 ta có

µ(Q) = 0.
Từ Định lý 1.4 ta suy ra định lý sau đây về tính giải được của bài toán Neumann
ngoài.
Định lí 2.10 (Định lý 5.13.4, [1]). Bài toán Dirichlet trong và Neumann ngoài
(Ne ) với bất kỳ vế phải liên tục f (P ) thỏa mãn điều kiện biên đều có nghiệm duy
nhất
2.4.3 Tính giải được của bài toán Neumann trong
Phương trình tích phân thuần nhất ứng với bài toán Neumann trong là:

µ(P0 ) −

K(Q, P0 )µ(Q)dSQ = 0

(2.24)

K(P0 , Q)ν(Q)dSQ = 0

(2.25)

S

và phương trình liên hợp với nó là

ν(P0 ) −
S

22


Định lí 2.11 (Định lý 5.13.5, [1]). Các phương trình thuần nhất (2.24) và (2.25)
chỉ có một nghiệm độc lập tuyến tính.
Định lí 2.12 (Định lý 5.13.6, [1]). Điều kiện cần và đủ để bài toán Neumann
trong (Ni ) có nghiệm là vế phải f(S) của (2.11) phải thỏa mãn hệ thức:

f (Q)dSQ = 0.
S

23

(2.26)


Kết luận
Luận văn đã trình bày các vấn đề sau đây:
- Các khái niệm góc khối, độ lớn của góc khối, mặt Lyapunov kín S trong không
gian ba chiều.
- Phương trình tích phân Fredholm loại II và tính giải được của chúng.
- Trình bày khái niệm thế vị lớp đơn được sinh bởi hàm mật độ trên mặt cong
kín Lyapunov và các tính chất của thế vị này.
- Đưa bài các toán Neumann trong và ngoài của hàm điều hòa đối với miền Ω ⊂ R3
về phương trình tích phân Fredholm trên biên S của Ω.
- Trên cơ sở khảo sát các phương trình tích phân Fredholm thuần nhất đã chứng
minh tính giải được và tính duy nhất nghiệm của bài toán Neumann trong và
ngoài đối với hàm điều hòa.

24


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×