Tải bản đầy đủ

Phương pháp hàm lyapunov được sử dụng trong việc nghiên cứu tính ổn định của các hệ phương trình sai phân

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẩn của TS. Phạm Phu. Nhân dịp này
em xin cảm ơn thầy đã dành nhiều công sức, thời gian để hướng dẫn, kiểm tra và
giúp đỡ em trong việc nắm bắt các kiến thức chuyên ngành và định hình hoàn thiện
bản luận văn. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến lãnh đạo và các thầy cô
trong Khoa Toán – Cơ – Tin học, phòng Sau Đại Học trường Đai học Khoa học Tự
nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, về kiến thức và những điều tốt đẹp mang lại cho em
trong thời gian học tập tại trường. Em xin cảm ơn các thầy cô, các bạn trong Xemina
của tổ giải tích Đại học Khoa học Tự nhiên. Cảm ơn các bạn trong tập thể lớp Cao
hoc giải tích 2008 – 2010 về những lời động viên, những cử chỉ khích lệ, những sự
giúp đỡ nhiệt tình.
Do thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn bản luận văn không thể tránh
khỏi những thiếu sót, em rất mong nhận được sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô và
bạn bè đồng nghiệp, em xin chân thành cảm ơn.

Hà Nội, tháng 3 năm 2011
Học viên

Võ Thị Hải Yến


1


Mục lục
LỜI NÓI ĐẦU ……………………………………………………………4

Bảng ký hiệu …………………………………………………………… 5

Chương 1 . Nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình
sai phân bằng phương pháp hàm Lyapunov
1.1. Sơ lược về phép tính sai phân hữu hạn …………………………………… 6
1.2. Phương trình sai phân cấp cao ....................................................................

7

1.3. Công thức nghiệm của hệ phương trình sai phân tuyến tính ……………

9

1.3.1. Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất…………………….....

9

1.3.2. Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất và
công thức biến thiên hằng số Lagrăng ……………………………….

11

1.4. Một số ví dụ giải hệ hai phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất….. 12
1.5. Các khái niệm về ổn định và phương pháp hàm Lyapunov cho hệ
phương trình sai phân autonomous ………………………………

16

1.5.1. Các khái niệm về ổn định …………………………………………

16

1.5.2. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình
sai phân autonomous ……………………………………………


17

1.6. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình sai phân
không autonomous …………………………………………………….

2

20


Chương 2 : Hệ phương trình sai phân tuyến tính
và ứng dụng……….............................................
2.1. Các khái niệm cơ bản của hệ phương trình sai phân tuyến tính …….

24
24

2.1.1. Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất …………………...

24

2.1.2. Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất …………...

25

2.2. Sự ổn định của hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất
với ma trận hệ số hằng ………………………………………………….

27

2.3. Sự ổn định của hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần
nhất với ma trận hệ số hằng ……………………………………………..

31

2.4. Sự ổn định của hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần
nhất với ma trận hệ số biến thiên ………………………………………

38

2.5. Sự tương đương tiệm cận của hệ phương trình sai phân …………….

42

2.6. Một số ví dụ về ứng dụng của hệ phương trình sai phân ………………

46

2.6.1. Mô hình biến động giá cả thị trường ……………………………….

46

2.6.2. Hiện tượng “mạng nhện ” trong kinh tế nông nghiệp ……………

48

2.6.3. Mô hình ngoại thương đa quốc gia ……………………………….

53

Kết luận ………………………………………………………………………

57

Tài liệu tham khảo …………………………………………………………..

58

3


LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết định tính của hệ động lực rời rạc đã được nghiên cứu từ những năm
đầu thế kỷ XVIII, song ngày nay nó vẫn được đông đảo các nhà khoa học quan tâm
và nghiên cứu. Những kết quả cơ bản của nó được ứng dụng rộng rãi trong nhiều mô
hình ứng dụng. Đặc biệt trong thời gian gần đây nhờ có sự phát triển của công nghệ
tin học, lý thuyết hệ động lực rời rạc nói chung và lý thuyết định tính của các hệ
phương trình sai phân nói riêng đã có sự phát triển vượt bậc đặc biệt là khả năng ứng
dụng thực tiễn của nó.
Về tổng thể hầu hết các phương pháp thông dụng được sử dụng trong lý
thuyết phương trình vi phân đều có thể xây dựng lại cho việc nghiên cứu tính chất
nghiệm của các hệ phương trình sai phân. Tuy nhiên về lý thuyết tính toán và các
biểu thức toán học trong một số công thức cơ bản lại khá phức tạp.
Mục tiêu cơ bản của bản luận văn là trình bày lại một cách hệ thống phương
pháp hàm Lyapunov được sử dụng trong việc nghiên cứu tính ổn định của các hệ
phương trình sai phân. Sau đó trình bày các ví dụ minh hoạ để chỉ ra khả năng ứng
dụng của lý thuyết phương trình sai phân trong các mô hình ứng dụng.
Trong chương 1 sau khi đã trình bày các khái niệm cơ bản về phép tính sai
phân hữu hạn, chúng tôi đã trình bày một cách vắn tắt lý thuyết phương trình sai
phân cấp cao và hệ phương trình sai phân. Phần tiếp theo của chương một là các định
lý cơ bản của Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình
sai phân.
Trong chương 2 chúng tôi đã trình bày các định lý về tính ổn định của các hệ
phương trình sai phân thuần nhất. Sau đó là một số điều kiện đủ về tính ổn định của
các hệ phương trình sai phân tuyến tính có nhiễu. Phần cuối của luận văn là một số
mô hình kinh tế như mô hình biến động giá cả thị trường, hiện tượng “mạng nhện”
trong kinh tế nông nghiệp và mô hình ngoại thương đa quốc gia. Nhờ có các kết quả
nhận được trong viêc nghiên cứu lý thuyết định tính của phương trình sai phân chúng
ta có thể đi đến các kết luận hữu ích trong việc nghiên cứu các mô hình trên.

4


Bảng ký hiệu

¥

Tập hợp các số nguyên không âm.

¥ (a )

Tập hợp các số nguyên lớn hơn hoặc bằng a (a ∈ ¥ )

¢

Tập hợp các số nguyên mở rộng.

¡

Tập hợp các số thực.

¡

+

¡

m

Tập hợp các số thực dương.
Không gian m chiều.

M n (¡ )

Tập hợp các ma trận vuông cấp n trên ¡ .

Cki

Tổ hợp chập i của k.

∆un

Sai phân của un .

u(n) ( hoặc un )

Hàm biến số nguyên.

5


CHƯƠNG 1

NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH
SAI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV

1.1 Sơ lược về phép tính sai phân hữu hạn
Định nghĩa 1.1. Ta gọi sai phân hữu hạn cấp một của hàm số u(n) = un với n ∈ ¢ là
hiệu
∆un = un+1 − un .
Định nghĩa 1.2. Ta gọi sai phân hữu hạn cấp 2 của hàm u(n) = un là sai phân của
sai phân cấp 1 của un , và nói chung sai phân cấp k của hàm u n là sai phân của sai
phân cấp k – 1 của hàm số đó.
Sai phân cấp 2 của hàm un là
∆ 2un = ∆(∆un ) = ∆un +1 − ∆un = un + 2 − un +1 − (un +1 − un ) = un + 2 − 2un +1 + un ;
Sai phân cấp 3 của hàm un là
∆ 3un = ∆(∆ 2un ) = ∆ 2un +1 − ∆ 2un = un +3 − 3un+ 2 + 3un+1 − un …
Sai phân cấp k của hàm un là
k

∆ k un = ∆(∆ k −1un ) = ∆ k −1un +1 − ∆ k −1un = ∑ (−1)i Cki un + k −i ,
i =0

i
trong đó Ck =

k!
.
i !(k − i )!

Các tính chất của sai phân:
Tính chất 1: Sai phân các cấp đều được biểu diễn qua các giá trị của hàm số

6


k

∆ k un = ∑ (−1)i Cki un + k −i ,
i =0

i
trong đó Ck =

k!
.
i !(k − i )!

Tính chất 2: Sai phân mọi cấp đều là toán tử tuyến tính
∆ k (α un + β vn ) = α∆ k un + β∆ k vn ,
với α , β là các số thực tuỳ ý.
Tính chất 3: Sai phân cấp k của đa thức bậc m bằng:
* Hằng số, nếu k = m,
* 0, nếu k > m,
* Đa thức bậc (m – k), nếu k < m.
Tính chất 4:
∆un vn = un ∆vn + vn ∆un ,
N

∑∆ u
k

n= a

n

= ∆ k −1u N +1 − ∆ k −1ua ,

đặc biệt khi k = 1, ta có
N

∑ ∆u
n= a

n

= u N +1 − ua .

1.2 .Phương trình sai phân cấp cao
Định nghĩa 1.3. Phương trình sai phân cấp k là một hệ thức giữa sai phân các cấp
F (un , ∆un ,..., ∆ k un ) = 0 ,
trong đó un coi là sai phân cấp 0 của hàm u n, cấp của phương trình sai phân chính là
cấp lớn nhất của các sai phân (ở đây là bằng k).

7


Định nghĩa 1.4. Phương trình sai phân tuyến tính cấp k của hàm un là một biểu thức
tuyến tính giữa các giá trị của hàm un tại các điểm khác nhau
a0un + k + a1un + k −1 + ... + ak un = f n ,
trong đó a0 , a1 ,..., ak với a0 ≠ 0 , ak ≠ 0 là các hằng số hoặc các hàm số của n, được
gọi là các hệ số của phương trình sai phân; f n là một hàm số của n, được gọi là vế
phải; un là giá trị cần tìm được gọi là ẩn.
* Nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính:
Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp k
a0un+ k + a1un +k −1 + ... + ak un = f n .

(1.1)

Phương trình sai phân thuần nhất tương ứng
a0un + k + a1u n+ k −1 + ... + ak un = 0.

(1.2)

Phương trình đặc trưng
a0λ k + a1λ k −1 + ... + ak = 0.

(1.3)

Nghiệm tổng quát un của phương trình sai phân tuyến tính (1.1) là un = u * + u ,
với u * là một nghiệm riêng của phương trình (1.1) và u là nghiệm tổng quát của
phương trình thuần nhất tương ứng (1.2).
Nghiệm tổng quát của (1.2) có dạng
u = c1un1 + c2un2 + ... + ck unk ,
trong đó un1 , un2 ,..., unk là k nghiệm độc lập tuyến tính của (1.2) và c1 , c2 ,..., ck là các
hằng số tuỳ ý.
Nếu (1.3) có k nghiệm phân biệt λ1 , λ2 ,..., λk thì hệ {λ1n , λ2n ,..., λkn } là hệ k nghiệm độc
lập tuyến tính của (1.2) và nghiệm tổng quát của (1.2) là
u = c1λ1n + c2 λ2n + ... + ck λkn .

8


n
Nếu (1.3) có nghiệm thực λ j bội s thì ngoài nghiệm λ j ta bổ xung thêm các vectơ

nλ jn , n 2λ jn ,..., n s −1λ jn cũng là các nghiệm độc lập tuyến tính của (1.2) và nghiệm tổng
quát của (1.2) là
k

s −1

i ≠ j =1

i =0

∑ ci λin + ∑ cij ni λ jn .

u=

Nếu (1.3) có nghiệm phức λ j = r (cos ϕ + i sin ϕ ) bội s thì ta lấy thêm các nghiệm
r n ni cos nϕ , r n ni sin nϕ , i = 0,..., s − 1 và nghiệm tổng quát của (1.2) là
u=

k

s −1

i ≠ j =1

i =0

∑ ci λin + ∑ r n (ai ni cos nϕ + bi ni sin nϕ ),

trong đó ai , bi là các hằng số tuỳ ý.

1.3. Công thức nghiệm của hệ phương trình sai phân tuyến tính
1.3.1. Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất
Xét hệ phương trình sai phân (xem [11])
u1 (n + 1) = a11 (n)u1 (n) + a12 (n)u2 (n) + ... + a1m (n)um (n),
u (n + 1) = a (n)u (n) + a (n)u (n) + ... + a ( n)u ( n),
 2
21
1
22
2
2m
m

..........................
um (n + 1) = am1 (n)u1 (n) + am 2 (n)u2 (n) + ... + amm (n)um (n).
Đặt
 a11 ( n) a12 (n) K
 u1 (n) 


÷
u2 ( n) ÷
a (n) a22 (n) K

u (n) =
; A(n) =  21
 K
 M ÷
K
K


÷
 um ( n) 
 am1 (n) am 2 (n) K

a1m (n) 
÷
a2 m ( n ) ÷
.
÷
K
÷
amm (n) ÷


Khi đó hệ trên có thể viết dưới dạng:
u (n + 1) = A(n).u (n) , n ≥ n0 ,

9

(1.4)


ở đây u (n) = (u1 (n), u2 (n),..., um ( n))T ∈ ¡ m , A(n) = (aij (n)) m×m là ma trận không suy
biến.
Bài toán Cauchy:
u (n + 1) = A(n).u (n) , n ≥ n0 ,

u (n0 ) = u0 .
Bằng phương pháp truy hồi ta thấy bài toán Cauchy luôn có nghiệm và
nghiệm của bài toán Cauchy được cho bởi
u (n) = A(n − 1). A(n − 2)... A(n0 + 1). A( n0 ).u0 với mọi n > n0 .

* Họ toán tử tiến hoá sinh bởi ma trận không suy biến
Định nghĩa 1.5. Với mỗi s ≥ n0 ký hiệu
U (n, s ) = A(n − 1). A(n − 2)... A( s + 1). A( s ) , n ≥ s ≥ n0 .
Khi đó {U ( n, s )}n≥ s ≥ n0 được gọi là họ các ma trận tiến hoá sinh bởi ma trận hàm
không suy biến A( n) , U (n, n0 ) được gọi là ma trận nghiệm cơ bản chuẩn tắc ( ma
trận Cauchy ) hoặc còn được gọi là hàm Green.
Nhận xét: Từ định nghĩa của ma trận Cauchy và họ toán tử tiến hoá ta thấy với mỗi
s ≥ n0 thì :
* U ( n0 , n0 ) = I .
* U (n, s) = U (n, k ).U (k , s ) với mọi n ≥ k ≥ s .
* U (n, s ) = U (n, n0 ).U −1 ( s, n0 ) với mọi n ≥ s.
Nghiệm u (n) := u (n, n0 , u0 ) của bài toán Cauchy có thể viết dưới dạng:
u (n) = U (n, n0 ).u0 , n ≥ n0 ,
u (n) = U (n, s ).u ( s ) , n ≥ s ≥ n .
0

n −n
Khi A(n) = A là ma trận hằng ta thấy U (n, n0 ) = A 0 với mọi n ≥ n0 .

10


1.3.2. Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất
Xét hệ phương trình sai phân: (xem [11])
u (n + 1) = A(n).u (n) + b(n)

u (n0 ) = u0

n ≥ n0 , b(n) ∈ ¡

m

.

(1.5)

Định lý 1.1. Nghiệm u (n) := u (n, n0 , u0 ) của hệ (1.5) xác định bởi công thức

u (n) = U (n, n0 ).u0 +

n

∑ U (n, k ).b(k − 1) .

k = n0 +1

Chứng minh. Ta tìm nghiệm u (n) của (1.5) dưới dạng u ( n) = U (n, n0 ).C (n)

(1.6)
(1.7)

sao cho u (n0 ) = u0 bằng phương pháp biến thiên hằng số Lagrăng .
Vì u (n0 ) = U (n0 , n0 )C (n0 ) = C (n0 ) ⇒ C (n0 ) = u0 .
Từ u (n) = U (n, n0 )C (n) ⇒ u ( n + 1) = U (n + 1, n0 )C (n + 1)

(1.8)

Mà u (n + 1) = A(n)u (n) + b(n) = A(n)U (n, n0 )C (n) + b(n)
= U (n + 1, n0 )C (n) + b(n).

(1.9)

Kết hợp (1.8) và (1.9) ta được
U (n + 1, n0 )C (n + 1) = U (n + 1, n0 )C (n) + b(n)
suy ra U (n + 1, n0 )∆C ( n) = b(n) hay ∆C (n) = U −1 (n + 1, n0 ).b(n) .
n −1

Do đó :

∑ ∆C ( k ) =

k = n0

Ta tìm được C (n) − C ( n0 ) =

n −1

∑U

k = n0
n

∑U

k = n0 +1

−1

( k + 1, n0 ).b( k ) .

−1

(k , n0 ).b(k − 1) .

Vì U (n, n0 ).U −1 (k , n0 ) = U (n, k ) nên thay (1.10) vào (1.7) ta nhận được (1.6).

11

(1.10)


Hệ quả : Nếu A(n) = A là ma trận hằng thì
u ( n) = A

n − n0

.u0 +

n



i = n0 +1

An −i .b(i − 1) với mọi n > n0 .

(1.11)

1.4. Một số ví dụ giải hệ hai phương trình sai phân tuyến tính
thuần nhất
1.4.1. Giải hệ hai phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất
Xét hệ

 x(n + 1) = px (n) + qy (n) (a )

 y (n + 1) = rx (n) + sy (n) (b )

x0 = a , y0 = b,

trong đó p, q, r, s ∈ ¡ .
Ta giải hệ này bằng cách đưa về phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp 2.
Thật vậy : (a ) ⇒ x (n + 2) = px(n + 1) + qy (n + 1) và qy (n) = x(n + 1) − px(n) .
(b) ⇒ qy (n + 1) = rqx(n) + sqy (n)
⇒ x(n + 2) = px(n + 1) + rqx(n) + sqy (n) = px(n + 1) + rqx(n) + s ( x(n + 1) − px(n))
= ( p + s ) x(n + 1) − ( ps − rq ) x(n) .
Chú ý định thức của hệ (a)-(b) là D =

p q
= ps − rq , ta có thể viết hệ (a)-(b) dưới
r s

dạng
x(n + 2) = ( p + s ) x (n + 1) − Dx (n)
x0 = a, x1 = pa + qb.

(c)

Tức là đưa hệ (a)-(b) về phương trình cấp 2.
Thí dụ 1.4.1. Giải hệ

 x(n + 1) = 4 x(n) − 2 y (n)

 y (n + 1) = x (n) + y (n)

x0 = 1 , y0 = 1.

Giải. Hệ đã cho tương đương với
x(n + 2) = 5 x (n + 1) − 6 x(n) , x0 = 1 , x1 = 2,

12


Phương trình cấp 2 trên có phương trình đặc trưng

λ 2 − 5λ + 6 = 0 ⇒ λ1 = 2 , λ2 = 3 .
Từ đó x(n) = A2n + B3n.
Do x0 = 1 = A + B , x1 = 2 = 2 A + 3B ⇒ A = 1, B = 0 ⇒ x (n) = 2 n.
Từ phương trình đầu ta có
2 y ( n) = 4 x( n) − x(n + 1) = 4.2 n − 2 n +1 = 2 n (4 − 2) = 2.2 n ⇒ y( n) = 2 n.

Vậy x(n) = 2n ; y ( n) = 2n.
Thí dụ 1.4.2. Giải hệ

 x(n + 1) = 2 x(n) − y (n)

 y (n + 1) = x(n) + 4 y (n)

x0 = 2, y0 = 1 .

Giải. Hệ đã cho tương đương với
x(n + 2) = 6 x (n + 1) − 9 x (n) , x0 = 2 , x1 = 3 .
Phương trình cấp 2 trên có phương trình đặc trưng

λ 2 − 6λ + 9 = 0 ⇒ λ = 3 .
Từ đó :

x(n) = ( A + Bn)3n .

Mặt khác
x0 = A = 2, x1 = (2 + B)3 = 3 ⇒ B = −1 ⇒ x(n) = (2 − n)3n ; y ( n) = 2 x(n) − x(n + 1) = (1 + n)3n.

Vậy x(n) = (2 − n)3n ; y (n) = (1 + n)3n.
Thí dụ 1.4.3. Giải hệ

13


1
3

 x(n + 1) = 2 x (n) − 4 y (n)

 y (n + 1) = x(n) + 1 y (n)

2

x0 = 2 , y0 = 0 .

Giải : Hệ đã cho tương đương với
x(n + 2) = x(n + 1) − x(n) , x0 = 2 , x1 = 1.
Phương trình cấp 2 trên có phương trình đặc trưng

λ2 − λ +1 = 0 ⇒ λ =

1± i 3
π
π
⇒ λ = cos ± isin .
2
3
3

Từ đó
x(n ) = Acos

x(n) = 2cos

Vậy



3
+ B sin
; x0 = 2 = A ; x1 = 1 = 1 + B
⇒ B = 0.
3
3
2

nπ 3
1

4

; y (n) = x(n) − x (n + 1) = 3 sin
⇒ y ( n) =
sin
.
3 4
2
3
3
3

x(n) = 2cos


4

; y ( n) =
sin .
3
3
3

1.4.2. Giải phương trình phân thức
x( n + 1) =

px(n) + q
, x0 = a ,
rx( n) + s

trong đó p, q, r, s là các hằng số, a cho trước.
Giả sử y (n) và z ( n) là nghiệm của hệ phương trình sai phân

 y (n + 1) = py ( n) + qz (n)
y0 = a , z0 = 1 .

 z (n + 1) = ry (n) + sz ( n)
Khi đó x( n) =

y ( n)
là nghiệm của phương trình đã cho.
z ( n)

14


Thậy vậy, x0 =

y0 a
= = a (đúng)
z0 1

y ( n)
+q
y ( n + 1) py ( n) + qz ( n)
px( n) + q
z ( n)
x(n + 1) =
=
=
=
(đúng).
y ( n)
z ( n + 1) ry ( n) + sz ( n)
rx
(
n
)
+
s
r
+s
z ( n)
p

Thí dụ 1.4.4. Giải phương trình
x( n + 1) =

x(n) − 2
, x0 = 0.
x( n) + 4

Giải . Xét hệ

 y (n + 1) = y (n) − 2 z ( n)

 z (n + 1) = y (n) + 4 z ( n)

y0 = 0 , z 0 = 1 .

⇒ y (n + 2) = 5 y (n + 1) − 6 y (n) , y0 = 0 , y1 = −2 .
Phương trình cấp hai trên có phương trình đặc trưng

λ 2 − 5λ + 6 = 0 ⇒ λ1 = 2 , λ2 = 3.
⇒ y (n) = A.2n + B.3n ; y0 = 0 = A + B ; y1 = −2 = 2 A + 3B ⇒ A = 2, B = −2.

⇒ y ( n) = 2.2n − 2.3n.

⇒ 2 z (n) = y (n) − y (n + 1) = 4.3n − 2 n+1 ⇒ x( n) =

Vậy

2.2n − 2.3n
x ( n) = n
.
−2 + 2.3n

Thí dụ 1.4.5. Giải phương trình sai phân
x(n + 1) =

x (n) − 1
, x0 = 1.
x( n) + 3

Giải. Xét hệ

15

y (n) 2.2n − 2.3n
=
.
z (n) −2 n + 2.3n


 y (n + 1) = y (n) − z (n)

 z (n + 1) = y ( n) + 3 z ( n)

y0 = 1 , z0 = 1.

⇒ y ( n + 2) = 4 y (n + 1) − 4 y ( n), y0 = 1, y1 = 0.
Phương trình cấp 2 trên có phương trình đặc trưng

λ 2 − 4λ + 4 = 0 ⇒ λ1 = 2 .
⇒ y (n) = ( A + Bn).2n ; y0 = 1 = A ; y1 = 0 = (1 + B )2 ⇒ B = −1

⇒ y (n) = 2n − n.2n .
⇒ z ( n ) = 2 n + n 2 n ⇒ x ( n) =

Vậy x(n) =

y (n) 1 − n
=
.
z ( n) 1 + n

1− n
.
1+ n

1.5. Các khái niệm về ổn định và phương pháp hàm Lyapunov
cho hệ phương trình sai phân autonomous
1.5.1. Các khái niệm về ổn định
Xét hệ phương trình sai phân phi tuyến (xem [11])
u1 (n + 1) = f1 (n, u1 (n), u2 (n),..., u m (n)),
u (n + 1) = f (n, u (n), u (n),..., u ( n)),
 2
2
1
2
m

...............................
um (n + 1) = f m (n, u1 (n), u2 (n),..., um (n)).
Đặt
 f1 (n, u1 (n), u2 (n),..., um ( n)) 
 u1 (n) 

÷

÷
u2 ( n) ÷
f 2 (n, u1 (n), u2 (n),..., um (n)) ÷


u ( n) =
; f (n, u (n)) =
.

÷
 M ÷
M

÷

÷
÷
 um ( n) 
 f m (n, u1 (n), u2 (n),..., u m (n)) 
Khi đó bài toán Cauchy của hệ được viết dưới dạng :

16


u (n + 1) = f (n, u (n)), u (n0 ) = u0 , n ≥ n0 ,

(1.12)

trong đó u và f là các vectơ (1 × m) thành phần ui và f i , 1 ≤ i ≤ m . Giả sử
f (n,0) = 0 với mọi n ∈ ¥ để hệ có nghiệm tầm thường u (n) = u (n, n0 ,0) = 0.
Định nghĩa 1.6. Nghiệm tầm thường u (n) = 0 của hệ (1.12) được gọi là ổn định theo
Lyapunov, nếu với ∀ε > 0, ∃δ = δ (ε , n0 ) sao cho từ bất đẳng thức || u0 ||< δ suy ra
|| u (n) ||< ε với mọi n ≥ n0 .
Định nghĩa 1.7. Nghiệm tầm thường u (n) = 0 của hệ (1.12) được gọi là ổn định tiệm
cận theo Lyapunov, nếu nó ổn định theo Lyapunov và ∃ h > 0 sao cho mọi nghiệm
|| u ( n) ||= 0 .
u(n) của hệ thoả mãn điều kiện || u0 ||< h thì lim
n →∞
Định nghĩa 1.8. Nghiệm tầm thường u (n) = 0 của hệ (1.12) được gọi là ổn định đều
(ổn định tiệm cận đều) theo Lyapunov nếu trong định nghĩa tương ứng, số δ được
chọn không phụ thuộc vào a.
Định nghĩa 1.9. Nghiệm tầm thường u (n) = 0 của hệ (1.12) được gọi là ổn định mũ
nếu đối với mỗi nghiệm u (n) ≡ u (n, n0 , u0 ) của hệ thoả mãn bất đẳng thức:
|| u (n) ||≤ N || u0 || e −α ( n −a ) , n ≥ a ,
trong đó N và α là hai hằng số dương.

1.5.2. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ sai phân autonomous
Xét bài toán Cauchy: (xem [11])
u (n + 1) = f (u (n)) , u (0) = u0 , n ∈ ¥ ,

(1.13)

giả sử f (0) = 0 và f (u ) ≠ 0 với u ≠ 0 trong lân cận của gốc sao cho (1.13) có
nghiệm tầm thường u (n) = u (n,0,0) = 0 . Cho Ω* là một tập mở trong ¡ m và chứa
gốc. Giả sử V(u) là một hàm liên tục vô hướng xác định trên Ω* , V ∈ C[Ω* , R] và
V (0) = 0 .
Định nghĩa 1.10. V(u) được gọi là xác định dương trên Ω* nếu và chỉ nếu V (u ) > 0
với u ≠ 0 , u ∈ Ω* .

17


Định nghĩa 1.11. V(u) được gọi là nửa xác định dương trên Ω* nếu V (u ) ≥ 0 , với
mọi u ∈ Ω* , (dấu bằng chỉ xảy ra tại những điểm xác định)
Định nghĩa 1.12. V(u) được gọi là xác định âm ( nửa xác định âm) trên Ω* nếu và
chỉ nếu −V (u ) là xác định dương ( nửa xác định dương) trên Ω* .
Định nghĩa 1.13. Hàm φ (r ) được gọi là thuộc vào lớp K nếu
C[[0, ρ ), R+ ] , φ (0) = 0 và φ (r ) tăng chặt theo r.

φ∈

Vì V (u ) liên tục, với r đủ nhỏ, 0 < c ≤ r ≤ d ta có
V (u ) ≤ max V (v), V (u ) ≥ min V (v) ,
r ≤ ||v|| ≤ d

||v|| ≤ r

(1.14)

trong đó || u ||= r . Trong (1.14) bên phải là hàm đơn điệu của r và ta có thể ước lượng
hàm này thuộc vào lớp K. Do đó tồn tại hai hàm φ , ξ ∈ K sao cho :

φ (|| u ||) ≤ V (u ) ≤ ξ (|| u ||) .

(1.15)

Từ đó có thể định nghĩa cho hàm xác định dương V(u) như sau :
Định nghĩa 1.14. V(u) được gọi là xác định dương trên Ω* nếu và chỉ nếu V (0) = 0
và tồn tại một hàm φ (r ) ∈ K sao cho φ (r ) ≤ V (u ) , || u ||= r , u ∈ Ω* .
m
Đặt S ρ là tập S ρ = {u ∈ R : || u ||≤ ρ } và u (n) = u (n,0, u0 ) là một nghiệm bất

kỳ của (1.13) sao cho || u (n) ||< ρ , ∀ n ∈ ¥ . Dọc theo nghiệm u (n) = u (n,0, u0 ) của
(1.13) xét sai phân của hàm V(u) được xác định bởi ∆V (u (n)) = V (u (n + 1))
−V (u (n)) = V ( f (u (n))) − V (u (n)) . Hàm V(u) được gọi là hàm Lyapunov.
+
Định lý 1.2. Giả sử tồn tại hàm vô hướng xác định dương V (u ) ∈ C[ S ρ , R ] sao cho

∆V (u (n,0, u0 )) ≤ 0 với nghiệm bất kỳ u (n) = u (n,0, u0 ) của (1.13) thoả mãn
|| u (n) ||< ρ . Khi đó nghiệm tầm thường u (n,0,0) = 0 của (1.13) là ổn định.
Chứng minh. Do V(u) là xác định dương, tồn tại một hàm φ ∈ K sao cho
φ (|| u ||) ≤ V (u ) với mọi u ∈ S ρ . Với 0 < ε < ρ cho trước, vì V(u) liên tục và V (0) = 0
, ta có thể chọn được một số δ = δ (ε ) > 0 sao cho || u0 ||< δ thì V (u0 ) < φ (ε ) . Nếu
nghiệm tầm thường của (1.13) là không ổn định, khi đó tồn tại nghiệm

18


u (n) = u (n,0, u0 ) của (1.13) sao cho || u0 ||< δ thoả mãn ε ≤|| u (n1 ) ||< ρ với n1 ∈ N (1)
. Tuy nhiên do ∆V (u (n)) ≤ 0 khi || u (n) ||< ρ , ta có V (u (n1 )) ≤ V (u0 ) và do đó

φ (ε ) ≤ φ (|| u ( n1 ) ||) ≤ V (u ( n1 )) ≤ V (u0 ) < φ (ε ) ,
dẫn tới mâu thuẫn. Vậy nếu || u0 ||< δ thì || u (n) ||< ε , ∀n ∈ N . Nên nghiệm tầm
thường của (1.13) là ổn định .
+
Định lý 1.3. Giả sử tồn tại hàm vô hướng xác định dương V (u ) ∈ C[ S ρ , R ] sao cho

∆V (u (n,0, u0 )) ≤ −α ( u (n,0, u0 ) )

trong đó α ∈ K

và nghiệm bất kỳ u (n)

= u (n,0, u0 ) của (1.13) thoả mãn || u (n) ||< ρ . Khi đó nghiệm tầm thường
u (n,0,0) = 0 của (1.13) là ổn định tiệm cận.
Chứng minh. Do các giả thiết của định lý (1.2) được thoả mãn nên nghiệm tầm
thường của (1.13) là ổn định. Do đó với 0 < ε < ρ cho trước, giả sử tồn tại δ > 0 ,
λ > 0 và một nghiệm u (n) = u (n,0, u0 ) của (1.13) thoả mãn :

λ ≤|| u (n) ||< ε , n ∈ ¥ , || u0 ||< δ .

(1.16)

Do nghiệm này thoả mãn || u (n) ||≥ λ > 0 , ∀n ∈ N nên tồn tại hằng số d > 0 sao cho
α (|| u (n) ||) ≥ d , ∀ n ∈ ¥ . Vậy ta có ∆V (u (n)) ≤ − d < 0 , n ∈ ¥ . Điều này kéo theo
n −1

V (u (n)) = V (u0 ) + ∑ ∆V (u (l )) ≤ V (u0 ) − nd .
l =0

và với n đủ lớn vế phải trở thành âm, mâu thuẫn với V(u) xác định dương. Do đó
không tồn tại λ thoả mãn điều giả sử trên. Hơn nữa V(u(n)) xác định dương và là
hàm giảm theo n nên lim V (u (n)) = 0 . Suy ra lim || u ( n) ||= 0 . Vậy nghiệm tầm
n →∞

n →∞

thường u (n,0,0) = 0 của (1.13) là ổn định tiệm cận.
Định lý 1.4. Giả sử tồn tại hàm vô hướng V (u ) ∈ C[ S ρ , R ] , V (0) = 0 sao cho
∆V (u (n,0, u0 )) ≥ α ( u (n,0, u0 ) ) với α ∈ K và nghiệm bất kỳ u (n) = u (n,0, u0 ) của
(1.13) thoả mãn || u (n) ||< ρ và nếu trong mọi lân cận H của gốc ( H ⊂ S ρ ) tồn tại
một điểm u0 sao cho V (u0 ) > 0 . Khì đó nghiệm tầm thường u (n,0,0) = 0 của (1.13)
là không ổn định.

19


m
Chứng minh. Lấy r > 0 đủ nhỏ sao cho tập S r = {u ∈ R : || u ||≤ r} ⊂ S ρ . Đặt

M = max V (u ) , M xác định vì V liên tục. Gọi r1 là số thoả mãn 0 < r1 < r theo giả
||u ||≤ r
thiết tồn tại một điểm u0 ∈ R m sao cho 0 <|| u0 ||< r1 và V (u0 ) > 0 . Dọc theo nghiệm
u (n) = u (n,0, u0 ) , n ∈ N , ∆V (u (n)) > 0



do

đó

V (u (n))



hàm

tăng,

V (u (0)) = V (u0 ) > 0 .Do đó nghiệm u(n) này không đi về gốc. Nên inf
n∈N
∆V (u (n)) = d > 0 , suy ra V (u (n)) ≥ V (u0 ) + nd , n ∈ N . Nhưng vế phải của bất đẳng
thức này có thể lớn hơn M khi n đủ lớn, khi đó u (n) sẽ vượt ra ngoài tập S r nên
nghiệm tầm thường u (n,0,0) = 0 của (1.13) là không ổn định.
Ví dụ : Xét hệ phương trình sai phân
u1 (n + 1) = u2 (n) − cu1 (n)(u12 (n) + u22 (n))

2
2
u2 (n + 1) = u1 (n) + cu2 (n)(u1 (n) + u2 (n)) .

(1.17)

trong đó c là hằng số, chọn hàm xác định dương V (u1 , u2 ) = u12 + u22 trên Ω* = R 2 .
Khi đó ∆V (u1 (n), u2 ( n)) = c 2 (u12 (n) + u 22 ( n))3 .
Do đó nếu c = 0 thì ∆V (u1 (n), u2 (n)) = 0 nên nghiệm tầm thường của hệ (1.17) là ổn
định. Tuy nhiên nếu c ≠ 0 thì nghiệm tầm thường của hệ (1.17) là không ổn định.

1.6. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ sai phân không
autonomous
Xét bài toán Cauchy: (xem [11])
u (n + 1) = f (n, u (n)); u (a ) = u0 , n ∈ N (a ),

(1.18)

trong đó u và f là các véctơ (1 × m) thành phần ui và f i , 1 ≤ i ≤ m . Giả sử
f (n,0) = 0 với mọi n ∈ N (a ) để hệ (1.18) có nghiệm tầm thường. Ta thấy hàm
Lyapunov cho hệ này phụ thuộc vào n và u.
Định nghĩa 1.15. Hàm vô hướng V(n,u) xác định trên N (a ) × S ρ được gọi là xác
định dương nếu và chỉ nếu V (n,0) = 0 với mọi n ∈ N ( a ) , và tồn tại một hàm
φ (r ) ∈ K sao cho φ (r ) ≤ V (n, u ), || u ||= r , ( n, u ) ∈ N ( a) × S ρ , và là xác định âm nếu
V (n, u ) ≤ −φ (r ).

20


Định nghĩa 1.16. Hàm vô hướng V (n, u ) xác định trên N (a ) × S ρ được gọi là giảm
dần (decrescent) nếu và chỉ nếu V (n,0) = 0 với mọi n ∈ N (a ) , và tồn tại một hàm
ξ (r ) ∈ K sao cho V (n, u ) ≤ ξ (r ), || u ||= r , ( n, u ) ∈ N ( a) × S ρ .
Đặt u (n) = u (n, a, u0 ) là nghiệm bất kỳ của (1.18) sao cho u (n) ≤ ρ với mọi
n ∈ N (a ) . Dọc theo nghiệm này ta xét số gia của hàm V (n, u ) :
∆V (n, u (n)) = V (n + 1, u (n + 1)) − V (n, u (n)) = V (n + 1, f (n, u (n))) − V (n, u (n)) .
Tương tự như các kết quả trong trường hợp autonomous, hai định lý sau xét tính ổn
định và ổn định tiệm cận của nghiệm tầm thường của hệ (1.18).
Định lý 1.5. Giả sử tồn tại hàm vô hướng xác định dương V (n, u ) ∈ C[ N (a ) ×
S ρ , R + ] sao cho ∆V (n, u (n, a, u0 )) ≤ 0 với nghiệm bất kỳ u (n) = u (n, a, u0 ) của (1.18)
thoả mãn || u (n) ||< ρ . Khi đó nghiệm tầm thường u (n, a,0) = 0 của hệ (1.18) là ổn
định.
Chứng minh. Do V (n, u ) là xác định dương nên tồn tại một hàm φ ∈ K sao cho
φ (|| u ||) ≤ V (n, u ) với mọi u ∈ S ρ . Với 0 < ε < ρ cho trước, vì V (n, u ) liên tục và
V (n,0) = 0 , nên ta có thể chọn được một số δ = δ (ε ) > 0 sao cho khi || u0 ||< δ thì
V (a, u0 ) < φ (ε ) . Nếu nghiệm tầm thường của (1.18) là không ổn định, thì tồn tại
nghiệm u (n) = u (n, a, u0 ) của (1.18) sao cho || u0 ||< δ thoả mãn ε ≤|| u (n1 ) || < ρ ,
∃n1 ∈ ¥ (1) . Tuy nhiên do ∆V (n, u (n)) ≤ 0 khi || u (n) ||< ρ , ta có V (n1 ) =
V (n1 , u (n1 )) ≤ V (a, u0 ) và do đó

φ (ε ) ≤ φ (|| u ( n1 ) ||) ≤ V ( n1 ) ≤ V ( a, u0 ) < φ (ε ) ,
dẫn tới mâu thuẫn. Vậy nếu || u0 ||< δ thì || u (n) ||< ε , ∀n ∈ N ( a) . Nên nghiệm tầm
thường của (1.18) là ổn định.
Định lý 1.6. Giả sử tồn tại hàm vô hướng xác định dương V (n, u ) ∈ C[ N (a ) ×
S ρ , R + ] sao cho ∆V (n, u (n, a, u0 )) ≤ −α ( u (n, a, u0 ) ) trong đó α ∈ K và nghiệm bất
kỳ u (n) = u (n, a, u0 ) của (1.18) thoả mãn || u (n) ||< ρ . Khi đó nghiệm tầm thường
u (n, a,0) = 0 của (1.18) là ổn định tiệm cận.

21


Chứng minh. Do các giả thiết của định lý (1.5) được thoả mãn nên nghiệm tầm
thường của (1.18) là ổn định. Do đó với 0 < ε < ρ cho trước, giả sử tồn tại δ > 0,
λ > 0 và một nghiệm u (n) = u (n, a, u0 ) của (1.18) thoả mãn:

λ ≤|| u (n) ||< ε , n ∈ N (a), || u0 ||< δ .
Do nghiệm này thoả mãn || u (n) ||≥ λ > 0, ∀n ∈ N (a) nên tồn tại hằng số d > 0 sao
cho α (|| u (n) ||) ≥ d , ∀n ∈ N (a ) . Nên ta có ∆V (n, u (n)) ≤ −d < 0, n ∈ N (a ) . Điều
này kéo theo
n −1

V (n, u (n)) = V (a, u0 ) + ∑ ∆V (l , u (l )) ≤ V (a, u0 ) − nd ,
l =0

với n đủ lớn vế phải trở thành âm, mâu thuẫn với V(n,u) xác định dương. Do đó
không tồn tại λ thoả mãn điều giả sử trên. Hơn nữa V (n, u (n)) xác định dương và là
hàm giảm theo n nên lim V (n, u (n)) = 0 . Suy ra lim || u ( n) ||= 0 . Vậy nghiệm tầm
n →∞

n →∞

thường u (n, a,0) = 0 của (1.18) là ổn định tiệm cận.
Định lý 1.7. Giả sử các điệu kiện của định lý (1.5) được thoả mãn đối với hàm
V(n,u) , đồng thời V(n,u) là giảm dần. Khi đó nghiệm tầm thường u (n, a,0) = 0 của
hệ (1.18) là ổn định đều.
Chứng minh. Do V(n,u) là hàm xác định dương và giảm dần, tồn tại hàm φ , ξ ∈ K
sao cho φ (|| u ||) ≤ V (n, u ) ≤ ξ (|| u ||) với mọi (n, u ) ∈ N (a ) × S ρ . Với mỗi ε ,
0 < ε < ρ , ta chọn được δ = δ (ε ) > 0 sao cho ξ (δ ) < φ (ε ) . Ta chứng minh rằng
nghiệm tầm thường u (n, a,0) = 0 của hệ (1.18) là ổn định đều. Thật vậy nếu n1 ≥ a
và || u (n1 ) || < δ thì || u (n) ||< ε với mọi n ≥ n1 . Vì nếu giả sử điều này không đúng thì
tồn tại n2 > n1 sao cho n1 ≥ a và || u (n1 ) || < δ mà ε ≤|| u (n2 ) ||< ρ . Tuy nhiên do
∆V (n, u (n)) ≤ 0 nên V (n, u (n)) ≤ V (n1 , u (n1 )) với mọi n ∈ N (n1 ) , do đó ta có

φ (ε ) ≤ φ (|| u ( n2 ) ||) ≤ V ( n2 , u ( n2 )) ≤ V ( n1, u ( n1 )) ≤ ξ (|| u ( n1 ) ||) ≤ ξ (δ ) ≤ φ (ε ) .
Mâu thuẫn này dẫn tới điều phải chứng minh.
Định lý sau đây đưa ra điều kiện đủ để nghiệm tầm thường của hệ sai phân
(1.18) là không ổn định.
Định lý 1.8. Giả sử tồn tại hàm vô hướng V (n, u ) ∈ C[ N (a ) × S ρ , R] sao cho:

22


i, || V (n, u ) ||≤ ξ (|| u ||) với mọi (n, u ) ∈ N (a ) × S ρ , trong đó ξ ∈ K ;
ii, Với mọi δ > 0 , tồn tại u0 với || u0 ||< δ sao cho V (a, u0 ) < 0 ;
iii, ∆V (n, u (n, a, u0 )) ≤ −φ (|| u ( n, a, u0 ) ||) trong đó φ ∈ K
u (n) = u (n, a, u0 ) của (1.18) thoả mãn || u (n) ||< ρ ,

và nghiệm bất kỳ

Khi đó nghiệm tầm thường u (n, a,0) = 0 của hệ (1.18) là không ổn định.
Chứng minh. Giả sử ngược lại nghiệm tầm thường của hệ (1.18) là ổn định. Khi đó
với mọi ε > 0 thoả mãn ε < ρ , tồn tại một số δ = δ (ε , a) > 0 sao cho || u0 ||< δ , ta có
|| u (n) ||< ε . Từ giả thiết (i) ta có
|| V (n, u (n)) ||≤ ξ (|| u ||) < ξ (ε ) , ∀n ∈ N (a ) (∗)
Từ giả thiết (i) ta có V (n, u (n)) là hàm giảm
Do đó với mọi n ∈ N (a ) ta có V (n, u (n)) ≤ V (a, u0 ) < 0 . Điều này kéo theo
| V (n, u (n)) | ≥ | V (a, u0 ) | .
Từ giả thiết (i) ta có || u (n) || ≥ ξ −1 (| V ( a, u0 ) |) .
Lại theo giả thiết (iii) ta có ∆V (n, u (n)) ≤ −φ (|| u (n) ||)
Lấy tổng từ a đến (k – 1) theo bất đẳng thức này ta được
k −1

V (n, u (n)) ≤ V (n, u0 ) − ∑ φ (|| u (l ) ||)
l =a

Tuy nhiên từ || u (n) || ≥ ξ −1 (| V ( a, u0 ) |) suy ra φ (|| u (n) ||) ≥ φ (ξ −1 (| V ( a, u0 ) |)) .
Do đó ta có
V (n, u (n)) ≤ V (n, u0 ) − (k − a )φ (ξ −1 (| V (a, u0 ) |)) .
V (n, u (n)) = −∞ , mâu thuẫn với (∗) . Vậy nghiệm tầm thường
Điều này dẫn tới lim
n →∞
của hệ (1.18) là không ổn định.

23


CHƯƠNG 2
HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH
VÀ ỨNG DỤNG

2.1. Các khái niệm cơ bản của hệ phương trình sai phân tuyến
tính
2.1.1. Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất
Xét hệ phương trình sai phân: (xem [11])
u1 ( n + 1) = a11 ( n)u1 ( n) + a12 ( n)u2 ( n) + ... + a1m (n)um ( n),
u ( n + 1) = a (n)u (n) + a (n)u ( n) + ... + a ( n)u (n),
 2
21
1
22
2
2m
m

..........................
um (n + 1) = am1 (n)u1 ( n) + am 2 (n)u2 (n) + ... + amm (n)u m (n).
Đặt
 a11 (n) a12 (n) K
 u1 (n) 


÷
u
(
n
)
2
÷ ; A(n) =  a21 (n) a22 (n) K
u (n) = 
 K
 M ÷
K
K


÷
 um ( n ) 
 am1 (n) am 2 (n) K

24

a1m (n) 
÷
a2 m ( n ) ÷
÷.
K
÷
amm (n) ÷



Khi đó hệ trên có thể viết dưới dạng:
u (n + 1) = A(n).u (n) , n ≥ n0 ,

(2.1)

T
m
ở đây u (n) = (u1 ( n), u2 (n),..., u m (n)) ∈ R và ta luôn giả thiết A( n) = ( aij (n))m×m là

ma trận không suy biến.
u (n + 1) = A( n).u (n), n ≥ n0
Xét bài toán Cauchy : 
u (n0 ) = u0 .

Bằng phương pháp truy hồi chúng ta thấy rằng bài toán Cauchy luôn có
nghiệm và nghiệm của bài toán Cauchy được cho bởi
u (n) = A(n − 1). A(n − 2)... A(n0 + 1). A( n0 ).u0 với mọi n > n0 .

* Họ toán tử tiến hoá sinh bởi ma trận không suy biến
Định nghĩa 1.5. Với mỗi s ≥ n0 ký hiệu
U (n, s ) = A(n − 1). A(n − 2)... A( s + 1). A( s ) , n ≥ s.
Khi đó {U (n, s )}n≥ s ≥n0 được gọi là họ các ma trận tiến hoá sinh bởi ma trận hàm
không suy biến A( n) , U (n, n0 ) được gọi là ma trận nghiệm cơ bản chuẩn tắc ( ma
trận Cauchy ) hoặc còn được gọi là hàm Green
Nhận xét: Từ định nghĩa của ma trận Cauchy và họ các trận tiến hoá ta thấy với mỗi
s ≥ n0 thì:
* U ( n0 , n0 ) = I
* U (n, s) = U (n, k ).U (k , s ) với mọi n ≥ k ≥ s .
* U (n, s ) = U (n, n0 ).U −1 ( s, n0 ) với mọi n ≥ s. .
Nghiệm u (n) := u (n, n0 , u0 ) của bài toán Cauchy có thể viết dưới dạng:
u (n) = U (n, n0 ).u0 , n ≥ n0
u (n) = U (n, s ).u ( s ) , n ≥ s ≥ n .
0


25


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×