Tải bản đầy đủ

Luận văn bài toán cauchy neumann đối với phương trình hyperbolic cấp hai trong trụ với đáy không trơn

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI
HÀ NỘI
• HỌC
• s ư PHẠM

• 2

VŨ THỊ HOÀI PHƯƠNG

BÀI TOÁN c A U C H Y -N EU M A N N ĐỐ I VỚ I
PH Ư Ơ N G TR ÌN H H Y PER BO LIC CẤP H AI TRO NG
TRỤ V Ớ I Đ Á Y K H Ô N G TRƠN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN
• VĂN THẠC
• SĨ TOÁN HỌC



Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Mạnh Hùng

HÀ NỘI, 2015


Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Mạnh
Hùng, người đã luôn quan tâm động viên và tận tình hướng dẫn tác giả trong
quá trình thực hiện luận văn.
Tác giả cũng xin được gửi lòi cảm ơn chân thành tói Ban Giám Hiệu Trường
Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại Học, các thày cô giáo trong nhà
trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải Tích đã tạo
điều kiện thuận lọi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo
mọi điều kiện để tác giả hoàn thành bản luận văn này.
Hà Nội, thảng 12 năm 2015

Vũ Thị Hoài Phương


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn trực tiếp của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà
khoa học vói sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, thảng 12 năm 2015

Vũ Thị Hoài Phương


Mục lục
Mở đầu .............................................................................................................. 1
Nội d u n g ............................................................................................................4
Chương 1. Kiến thức chuẩn b ị .................................................................... 4
1.1. Các kí hiệu ..................................................................................... 4
1.2. Đạo hàm suy rộ n g .......................................................................... 6
1.3. Không gian Sobolev....................................................................... 8

1.4. Một số bất đẳng thức cơ b ả n ...........................................................10
1.4.1. Bất đẳng thức Cauchy với £ .................................................. 10
1.4.2. Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz........................................... 10
1.4.3. Bất đẳng thức Gronwall - Belman mở rộng ..........................11
Chương 2. Bài toán Cauchy-Neumann đối với phương trình hyperbolỉc
cấp hai trong trụ vổri đáy không tr o n ......................................................... 14
2.1. Đặt bài toán...................................................................................... 14
2.2. Tính duy nhất của nghiệm suy rộng .............................................. 16
2.2.1. Bất đẳng thức năng lượng...................................................... 16
2.2.2. Định lý duy nhất nghiệm ........................................................18
2.3. Sự tồn tại của nghiệm suy rộng ..................................................... 25
2.4. Ví d ụ ................................................................................................35
Kết lu ậ n ...........................................................................................................38
Tài liệu tham khảo ........................................................................................ 39


Mở đầu
1. L ý do chọn đề tài
Phương trình đạo hàm riêng là một bộ phận quan trọng của toán học, nó
được nghiên cứu làn đàu tiên vào giữa thế kỷ 18 trong các công trình của các
nhà toán học như Euler, Dalembert, Lagrange và Laplace như là một công cụ
quan trọng để mô tả các mô hình của vật lý và cơ học. Các bài toán biên đối vói
phương trình và hệ phương trình đạo hàm riêng tuyến tính trong các miền trơn
đã được nghiên cứu gần như hoàn thiện vào giữa thế kỷ XX. Tuy nhiên các kết
quả này chỉ dừng lại là các bài toán được xét trong các miền với biên trơn.
Một vấn đề đặt ra cần nghiên cứu các bài toán trong các miền không trơn, tức
là biên của miền chứa điểm kì dị. Các phương pháp nghiên cứu truyền thống
nhờ phép biến đổi Fourier hoặc Laplace để đưa bài toán không dừng về bài toán
dừng chỉ thu được kết quả đối với phương trình và hệ phương trình có các hệ số
không phụ thuộc vào biến thời gian.
Khi đó một vấn đề cơ bản cần giải quyết: nghiên cứu được bài toán với hệ số
của phương trình phụ thuộc vào cả biến thời gian không những cho miền với
biến không ừơn mà cho cả miền với biến trơn. Các vấn đề này đến nay vẫn
đang tiếp tục được nghiên cứu.
Với mong muốn được hiểu sâu hơn về các bài toán trong miền không trơn,
nhờ sự giúp đõ của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng tôi chọn nghiên cứu đề tài:
“BÀI TOÁN CAUCHY- NEUMANN

ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH

HYPERBOLIC CẤP HAI TRONG TRỤ VỚI ĐÁY KHÔNG TRƠN” để
thực hiện luận văn tốt nghiệp của mình.

1


2. M ục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là tìm hiểu về tính giải được của bài toán
Cauchy-Neumann đối với phương trình hyperbolic cấp hai trong trụ với đáy
không trơn, đó là các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán trên trong
trụ với đáy không trơn.
3.

Nhiệm yụ nghiên cứu
Nghiên cứu các kiến thức cơ sở của không gian hàm, không gian

Sobolev, các bất đẳng thức cơ bản, các kiến thức liên quan. Từ đó áp dụng vào
nghiên cứu tính giải được của bài toán.
4.

Đ ối tượng và phạm vỉ nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận văn là nghiệm suy rộng của bài toán

Cauchy-Neumann đối với phương trình hyperbolic cấp hai trong trụ vói đáy
không trơn.
5.

Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp được sử dụng ữong luận văn là phương pháp xấp xỉ

Galerkin, phương pháp đánh giá bất đẳng thức, phương pháp không gian hàm
Sobolev.
6.

Đ óng góp m ới của đề tài
Các kết quả của luận văn góp phàn hoàn thiện lí thuyết một cách hệ

thống các trường hợp đặc biệt của những bài toán tổng quát đã được giải ữong
miền không trơn.

2


7.

Nội dung
Luận văn bao gồm 2 chương:
Chương 1: Giới thiệu một số kiến thức bổ trợ.
Chương 2: Trình bày cách đặt bài toán Cauchy-Neumann đối với

phương trình hyperbolic cấp hai trong trụ với đáy không trơn, trình bày nghiệm
suy rộng, sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng của bài toán.

3


Chương 1
Kiến thức chuẩn bỉ
1.1.

Các kí hỉêu
Mn là một không gian Euclide n- chiều, x={x± , x 2, ..., xn) E Mn.
Xét fì là một miền bị chặn trong Mn , n > 2 với s = díì là biên của
nó và íì = íì u díì
Giả sử 0 < T <

00. Kí hiệu

ílT = í l X (0,T) = {(x, t): X e n, t e (0, r)}.
là trụ trong ]Rn+1.
Mặt xung quang của nó là:
ST = dũ,

X ( 0,T )

= {(x,ty.x

G díì, t G ( 0,r)}.

Vái lí là hàm véc tơ phức vói các thành phần u 1,u2 ’----un- Ta kí hiệu:
q \p

\

u = (ul f u 2,... Un) và Dp = ---- -------- — là đạo hàm suy rộng câp p theo
biến X = {x1 ..., xn ), u tk = dku /d tk là đạo hàm suy rộng cấp k theo biến t.
Ở đây p = (p1,--,pn) là kí hiệu đa chỉ số với Pi là các số nguyên không âm,
\p\ =Pi + ....+pn.
C0°° (fì) là không gian các hàm khả vi vô hạn với giá compact trong n.
Giá của một hàm là bao đóng của tập họp tất cả các điểm mà hàm đó
khác không và kí hiệu là supp. Kí hiệu c k { fì } là tập họp tất cả các hàm có đạo
hàm liên tục đến cấp k ưong miền fì, 0 < k <

4

00,


c° (fl) = c (íl)

và t k (íl) = Ể(íl) n ck (fl),

ở đó Ể k là tập hợp tất cả các hàm liên tục trong íì và có giá compact thuộc n.
Định nghĩa không gian Lp (íì): Cho fì là một miền trong không gian Mn và
cho 0 < p <+ 00. Khi đó Lp (fí) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x)
khả tổng cấp p theo Lebesgue trong với chuẩn:

IN ILp(íl) = Ị Ị \u\p dx
\n
J
L2 (fì) là không gian các hàm khả tổng bình phương trên n với chuẩn:

IN Il2(í!) = Ị \ u ự ) \ 2 dx
a
L2 (íl) là không gian các hàm khả tổng bình phương trên ÍÌT với chuẩn :

IMlLrm=Ị Ịu(x,t)Ị2dxdt
ĨI

Một hàm số / đo được trên Mn được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một
số k sao cho 1 /0 0 1< k hầu khắp nơi trên Mn. Cận dưới lớn nhất các hằng số k
được gọi là essentỉal supremun của l/l trên Mn.
Kí hiệu:
ess s u p |/(x )|
Định nghĩa không gian L°° (fì): là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x) đo
được theo Lebesgue và bị chặn hầu khắp nơi trên n vói chuẩn :
IN I l^ íì) = esssup|w (x)|
xe a

5


Cho X là không gian Banach với chuẩn II. \\ỵ .K í hiệu ư° (0, T, JQlà không
gian bao gồm tất cả các hàm и (.,t) nhận giá tri ữong không gian X , xác định
trên(0, Г) sao cho:
IMIL°°(0/r,jf) = ess sup|u(X)|
xe n
Điều kiện Lipschitz :
Hàm и : и -» IR (ơ là tập mở ừong R n) là liên tục Lipschitz nếu V x,y E
и, С là. hằng số :
\ u ( x ) - u ( ỳ ) \ < c \x —y\
Ta viết:
1 _
Lip[u\ :=

\u(x)-u(ỳ)\
---- j-------j----


sup
X,y€U , x * y

\x y\

Ta sử dụng các kí hiệu sau :

I

v(x, t)
а

I v(x, t)w(x, t)dx
а
{v,w)aT = Ị v ( x , t ) w ( x , t ) d x d t
h
1.2.

Đạo hàm suy rộng
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử fì là một miền trong không gian IRn. Một

hàm V (x) 6 Lx (П) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp p của hàm u{ x) G
ьг (П) nếu:

6


n

n

với mọi (Ọ€ t 00 (/2)
CÃìí J/:
Từ công thức Green suy ra một hàm u(x) có đạo hàm thông thường liên
tục cấp p thì nó có đạo hàm suy rộng cấp p. Từ định nghĩa đạo hàm suy rộng ta
thấy hàm u(x) có không quá một đạo hàm suy rộng.
Một hàm có đạo hàm suy rộng có thể không có đạo hàm theo nghĩa thông
thường. Ví dụ xét u ( x ) = I X I , X E (—1,1). Dễ kiểm ừa được hàm u(x) có
đạo hàm suy rộng trong khoảng (—1,1). Tuy nhiên, hàm này không có đạo hàm
thông thường tại điểm có X = 0.
Thật vậy,
Giả sử v(pc) là đạo hàm suy rộng của u(x) = I X I , X e (—1,1). Khi đó
ta có:
X I (p'(pc)dx = —

T=


у(х)ф(х)йх, v
—x.
x.(p'{x)dx

-1

Vậy v(x) = signx là đạo hàm suy rộng của u(x) = I X I , X € (—1,1).

7


Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp p trong miền íì thì nó cũng có đạo
hàm suy rộng cấp p ừong miền íì' с íì. Thật vậy, giả sử It(x) có đạo hàm suy
rộng ừong miền П là hàm v(x) và (p{x) là một hàm bất kỳ thuộc с 00ựì'), íì' là
miền con của íl. Khi coi <р(х) = 0 với X e fì\fì' ta nhận được (Ọe t 00( ứ )
Ta có hệ thức:

Ị « c * ) ^ c * ) d r = Ị « ( * ) D » ,c * ) d r
íl!
n

= ( - 1)M Ị . [ « Ж г № = ( - 1)'-' /
n

ũ/

Từ đó ta nhận được u(x) có đạo hàm suy rộng trong miền íl' cũng chính
là hàm v(x). Đạo hàm suy rộng trong miền íì' được gọi là thu hẹp của đạo hàm
suy rộng trong íì vào ũ ' .
ßa+ßv = Da { p ßv),aD av1 + bDav 2 =

+ bv2), ở đó a, b là

các hằng số tùy ý.
Từ định nghĩa của đạo hàm suy rộng thấy ngay được đạo hàm suy rộng
không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm. Nói chung, đạo hàm suy rộng bảo
toàn được nhiều tính chất của đạo hàm theo nghĩa thông thường. Tuy nhiên,
không phải là tất cả, chẳng hạn từ sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp p không suy
ra được sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp nhỏ hơn p.
1.3.

Không gian Sobolev

•Không gian

w l (fì)

Định nghĩa 1.3.1. Giả sử П là một miền trong không gian Mn . Ta định
nghĩa w l (fì) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x) 6 L2(fì), x E Í Ì với
chuẩn:
8


INIwl{a) = (
/ \DĨ>u\2dx
Vlplsi
t
Không gian W1 (fì)
Định nghĩa 1.3.2. Giả sử fí là một miền trong không gian Mn . Ta định
nghĩa w 1 (fì) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x) e L2(fi), x G íl với
chuẩn:


Ị Ị

IM L
hũì = ( )
I \Dpu\2dx
\w1(n')
IDpu
Vlplsi n


Không gian W1(fì)
Định nghĩa 1.3.3, Giả sử n là một miền trong không gian Mn . Ta định
nghĩa w 1(fì) là bao đóng của Ể 00 trong chuẩn của W 1 (fì)

• Không gian

wl'k(e~yt, ÍÌT)

Định nghĩa 1.3.4. Giả sử fí là một miền ừong không gian Mn. Ta định nghĩa
w l,k(e~Yt, n T) là không gian bao gồm tất cả các hầmu(x, t) e L2(/2T) sao
cho:
Dpu (., t), u tj (., t) G L2(fì),(0 < \p\ < 1,1 < j < fc)với mỗi t e (0 ,r)
và:

l w ll w l’k ( e ~ Y t , n T )

= Ị Ị ^

\Dvu\2 + ^

|wt 7'|2 | e 2Ỵtdxdt <
l£;sfc


nT \lp |s ỉ

00

»Không gian IV1'1(e n , Ĩ2T)
Định nghĩa 1.3.5. Giả sử íl là một miền trong không gian Mn. Ta định

9


nghĩa w 1,1 (e ỵt, Í1T) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x, t)e L2(n),
sao cho Dpu ( ., t), u tj(., t) 6 L2(fì), với mỗi t 6 (0, T) và

( Iy

y

\\u\\2
w i,iie-ytnT) =
= /[ (

\\D’
° Pu\2
+ ỵ \ uM * )e 2ytd x d t <
u\>+

ắ T \0 < |p |< l

0<;'<1

Đặt L2(e~Yt, ÍÌT) = W 0fi( e - yt, ũ T)
1.4. Một sô bất đẳng thức cơ bản
1.4.1. Bất đẳng thức Cauchy với £
Cho a, b là các số thực dương và £ > 0. Khi đó
, b2
ab < sa + —
4s

Chứng minh
Ta có
b
ab = (, 2 ea)2 a.----ì
(2è)2

Áp dụng bất đẳng thức ab < — + — ta có:

= sa2 +
Bất đẳng thức được chứng minh.
1.4.2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Cho u , v e Mn. Khi đó, ta có:

10

b2


00


\uv\ < \u\\v\
Chứng minh
Cho £ > 0 và ta có:
0 < \u ± ev\2 = \u\2 ± 2euv + e2\v\2
Do đó
1
£
± u v < — \u\2 + - \ v \ 2
fai Cf

£*

Cực tiểu hóa vế ưái, đặt £ = —với V ^ 0, ta được:
± u v < |u ||v |
Hay ta viết:
\uv\ < \u\\v\
Bất đẳng thức được chứng minh
Trong không gian Hilbert (H), chuẩn của phần tử u được lấy là:
INI = V (u>v)
Đối với u, V e (//) ta có bất đẳng thức Cauchy-Schwwarz:
\uv\ < INIIbll
1.4.3. Bất đẳng thức Gronwall - Belman mở rộng
Giả sử u và (Ọlà các hàm khả tích, không âm trên đoạn [to, T), L = cont > 0
thỏa mãn:
u(t) < (p(t) + L

f u(t)dt, v t G
■'to

Khi đó:

11


u ( t ) < •'to
Hơn nữa, nếu li(t) < ■'to
Chứng minh
Đặt
t

y (t) = J w(0 dt
ta có:
y '( t) = w(t) < (Ịơ(t) + Ly(t), v t G [t0, r )
hay:

y'(t) -

Ly(t) < (p(t), v t

e [t0,r )

Đặt z (t) = y ( t) e -Lt ta nhận được:

z'(t) = (y'(t) —Ly(t))e_LÍ <

(p(t)e~Lt

Ta có z (t0) = y ( t0) = 0 và do đó:
t
z ( t ) < Ị e ~ Ls(p{s)ds,

v t e [t0,r )

to

Suy ra:
t

y(t) <

Jet(t_5)to

Do đó:
12

VtG[t 0,r )


t

u(t) <
+ LI

v t e [to, r)

f0
Nếu ạ?(t) có đạo hàm (p'{t) khả tích trên [tQ>T) thì bằng tích phân từng
phần, ta có:
t

t

L Ị eL(t_5)to

to
t

= —(p(t) + to

Từ đây ta suy ra:
t
u(t) < t0
Bất đẳng thức được chứng minh
Ta nhận thấy rằng nếu

(Ọ= c =

const trên [t0, r ) thì từ bất đẳng thức

trên ta suy ra bất đẳng thức Gronwall-Belman thông thường, tức là:
u ự ) < CeL(t“to),Vt G [t0,r)
Đặc biệt nếu t
u ( t ) < L J u(s)ds => li(t) = 0, v t € [to>70
to

13


Chương 2
Bài toán Cauchỵ - Neumann đối
với phương trình heyperpoỉic cấp
hai trong trụ với đáy không trơn
Trong chương này luận văn trình bày về sự tồn tại và duy nhất nghiệm
suy rộng của bài toán Cauchy - Neumann đối với phương trình heyperpolic cấp
hai trong trụ với đáy không trơn, ta nhận được kết quả về tính giải được của bài
toán trong trụ với đáy không trơn.
2.1. Đặt bài toán
Giả sử fí là một miền bị chặn trong Mn, n > 2, với biên fì không ừơn
Giả sử 0 < T <

00. Kí

hiệu

n T = n X (0 ,T) = { (x ,t):x G fì,t e (0 ,T)}
là trụ ưong Mn+1. Mặt xung quanh của nó là
s r = ớn X (0, T) = {(x, t): X 6 ớn, t 6 (0, r)}
Xét toán tử vi phân cấp 2

ở đây aỊj=aịj (x,t) là hàm phức khả vi YÔ hạn trên n r
CLịj

= a Ểj (i,j = 1, . . , n ) v à o = a(x, t) là hàm thực khả vi vô hạn ữên

ÍÌT. Hơn nữa giả sử rằng a Ểy(i,j = 1 ,.., n) là liên tục đều với X 6 ũ theo biến
t

e ( 0,70
Ký hiệu:

14


N(x, t,d) = 2 , a ij (x >0 cos(%£, v)
ỚXy
ij= 1
ở đây V là vector pháp tuyến ngoài của mặt ST
Xét trong miền trụ fìT phương trình:
L(x, t, d)u — u tt = f(pc, t) ữên fìr

(2.1)

Với điều kiện ban đầu :
(2 .2)

w|t=o=^t lt=o=Otrênn
Và điều kiện biên:
N O ,t,d )u |Sr = 0

(2.3)

Bài toán trên được gọi là bài toán Cauchy Neumann đối với phương trình
hyperbolic cấp hai trong trụ với đáy không trơn.
Bài toán ta đang xét là Hypebolic mạnh, tức là với { 6 Mn \ {0}
và (X, t) e íloo , tồn tại ữong jUi= const >0, ta luôn có đẳng thức sau :
n

(2.4)
ij = 1

Định nghĩa nghiệm suy rộng :
Cho / G L2(íì). Khi đó hàm u(x, t) được gọi là nghiệm suy rộng của bài
toán (2.1) - (2.3) trong không gian w u (e-yt, ŨT ) nếu u(x, t ) G
W 1,1 (e~Yt, fìT ) , u(x, 0) = 0 với mỗi T > 0 thỏa mãn đẳng thức sau:
n

{aijU-xj’ilxi)nT + Vt)íiT = if,ĩl) a T

^

(2.5)

i,j = 1

Với mọi hàm thử ĨỊ = ĩ](x, t) G W 1,1(e yt, fìT) sao cho ĩị{x, t) = 0
với t e

[ t , cxj),

0<

T

< T

15


2.2. Tính duy nhất của nghỉệm suy rộng
2.2.1. Bất đẳng thức năng lượng
Đặt :
71
В (и, ù) (t)

ijUxi (■>ì)> uxi (. , t))n

íj
Trong bổ đề sau ta sẽ xét bất đẳng thức năng lượng. Bất đẳng thức này là
một trong các cơ sở quan trọng trong các chứng minh ở các phần sau.
Bổ đề 2.2.1. Giả sử điều kiện (2.4) thỏa mãn. Khi đó tồn tại 2 hằng số
Ho >0, Ảo >0 sao cho với mọi hàm cố định и = u(x,t) 6 w 1,1(e~yt, n T )ta có
bất đẳng thức sau :

-B(u,ù)ự)>ịiữ\\u\\2wím -^о1М1\2(п)
Chứng minh
Từ điều kiện (2.4) và từ bất đẳng thức Cauchy ta có :
n

n

i2(n) ^i=j=l

i=1
B(u,ù)(t')

(aijUXj >^Xị)o.
1 <1,)<п,ы )
n

< - B ( u , u X t ) + C 0 )IN I2W°(ÍÌ) + £ ^ ||w ^ ễ||2l
i= 1

Vói 0 < £ < ịẲ, c (s ) > 0. Từ bất đẳng thức này ta nhận được :
71

Ql - £ ) ^ \ \ и х.\\2L

< - B ( u , u ) ( t ) + C O )|M |2wo(n)

i= 1

Từ đó ta được :

16

(2.6)


71
l ^ (n> - - ; r h ß C“ ' “ X t) H ^ I N I V c n ,
i= 1

Suy ra
IM IV ơ o

< - Q ß C ^ -u )^ ) + c2||w||2^0(n)

(2.7)

Với Q = — > о, c2 = — > О
Ịi-E

Ịi-E

Bởi vì П là miền có tính chất đoạn nên từ bất đẳng thức nội suy ra ta có
INI V СП) =S£i l N I V m

+ c (£i)llu ll2i 2(a)

Với mọi 0<£iThay vào (2.7) ta nhận được :
IM lV (n )

< - с гв (u , ũ ) ( t ) + ( O g j u l l 2^ ! ^

+ С2С(ег)\\и\\2l2{fỉ)

Suy ra

(1 - CzSjWuW2wrm ^ C1B(u,ù)(t) + QCCeJIMI2^
Vậy nên
—B (ụ,ù)(t) > — \\u\\2wHn) - ^

N

l 2i2(n)

Từ đó suy ra
- B { u ,ù ) { i) > До INI V o »

1-С2Е1 -, _ ^2^(.£i)
Với ịiữ_
=—
я0" = Ci
Cl

ЖТЛ.

Bổ đề được chứng minh

17

- A°llu l l \ 2(0)


2.2.2. Định lý duy nhất nghiệm
Mục này dành cho trình bày việc phát biểu và chứng minh tính duy nhất
nghiệm suy rộng của bài toán Cauchy - Nemann đối với phương trình
Hypepolic cấp hai trong trụ với đáy không trơn. Tính duy nhất của nghiệm suy
rộng được khẳng định qua hai định lý sau :
Định lý 2.2.2. Giả sử rằng hệ số của toán tử L(x,t,d) thỏa mãn điều kiện
(2.4) và :
sup
(3e,t)eílr

dữịj
dt

\a\ < ụ.) 1 < i,j < n,Ịi = const > 0

Khi đó bài toán (2.1) —(2.3) có không quá một nghiệm suy rộng trong
l/K1’1(e_yt, n T) VỚỈỴ > 0
Chứng minh
Giả sử bài toán (2.1)

-

(2.3) có hai nghiệm suy rộng U - L và u

2

trong

l/K1’1(e_yt, n T) với Y > 0.
u(x, t ) = u x (x, t) - u 2(x, t)
Khi đó u G IV1'1(e~yt, ÍÌT) và u(x, 0) = 0
Giả sử T là một số dương T < T
Xét hàm

f rt u(x, s)ds, 0 < t < b

í

Jb
lo

,b < t < T

TacóĩỊ^x, t) G M^1’1(e_ytJíl7.), thật vậy
Vì u(x, t) G IV1'1(e~yt, fìT) nên tồn tạ i, { x ty } ° ° c C" (fìT)
IIUj - u\\w i.í(Qt) ->0, khi j-»0. Đ ặt:

T

Uj(x, s)ds, 0 < t < b

Jb

,b < t< T

lo

18


Với rjj e C” (n T)
I Uj(x,s)ds — I u (x,s)d s
Jb
Jb
И^1Д(ПТ)
ds -» 0 khi / -» 0

< I IIU/ —líll ,,
J b

11

7

"

w

1 ’1 ^

)

j

Do đó rj(x,t) € 1/К1Д(е_у*,Пт)
Hơn nữa ĩìt =u với 0V
(n>
ị ị u(x,s)ds^j d(p

= - ị ệ u d t = -(u ,ç O i2(o,b)
Vậy hàm rj chính là hàm ứiử
Thế u = ĩ]t vào (2.5), ta được
71

-

2


, V X i ) a T + < а щ , г } ) а т + ( ĩ ì t t i V t ) ÎIT = 0

i,j =1
Cộng vào đẳng thức ưên với liên hợp phức của nó. Ta có :
71

- 2 Re

(o-ijVxjt >Vxị) íìịị

+ 2/?e(a77t,rj) Пь + 2 R e ( r] tt, ĩ ] t ) íìb

—0

i,j=1
Sử dụng giả thiết atj = ãjl và tích phân từng phần ta sẽ nhận được

19

(2.8)


n

- 2 Re ^ {aijĩìXjt ,Т]Щ) íiị,
i,i=1

= ~~ ( R e X

\

/

dxdt

ij =l i ,

- Де X I aijilxjilxi dxdt I
ij=i nb
)

Thật vậy

(
(

Tl

n

^

Яе I f (aijVxj7h^)t dxdt - Re I f
i,i =1 iijj
i.j =1 iijj

n

aijtilxjVxi dxdt
,

n

Яе

dxdt + Re

ij =l n0

^

/ ^ jr fx / îx ît d x d t

ij =l nb

>

n

= —2Re ^
I ац -цх^
U=1 nb

dxdt

n

= -2 Я е ^ {aijVxitTn^) nb
i,]=1
Vậy nên :

n

= - 2 R e ^ i d i j î i ^ r i x . ) ilb
i,j =l

(

n

n\

-/?eX Ị a^j^idxdt)

ij =1 nb

W=1 nb/

20


Ш
n

= -Re

b

^
n

(.aijVxjn^)dx\dt + Re

ÍJ =1 0 ắb

<(ai;) t77Xj>"Hxị}

îljy

ij=l
n

= -S forçX O ) + Яе ^ ({ĩhỉìtĩlxỊ.Tlxỳ аъ
i,j=1
Thay vào (2.8) ta có :
n

- 5 (77, 77X 0) + Яе 2 {{a^tVxyVxi) nb + 2Re(ar]t ,rj) nb
i,j=1
+ 2/?e I ||77t ||2 dxdt = 0
nb
Hay :
n

-

5 (77, 77X 0)

+ Яе 2

{(aij)tĩ1xj,ĩ1x i ) íib + 2 R e ( a r ] t , 7 ]) a b

i,j = 1

+ 2 í ll^tll2 đxđt = 0
nb
Từ đẳng ứiức trên và Bổ đề 2.2.1, ta có:
n

И о Ы ^ О Ж ^ п - Ầ0 \\rj(x,

0)||2 i2(n) + Яе ^

{ ( а ^ \ г ] х .,г]х . ) п ь

i,j=1
+ 2Re{aĩ)t ,Г)) ab + 2 f ||77t ||2 đ*đt < 0
ĩìb

suy ra :

21


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×