Tải bản đầy đủ

Định giá với nụ cười trong mô hình thị trường LIBOR kí kết trước

Mục lục

Lời mở đầu

1

Lời cảm ơn

3

Ch-ơng 1
1.1

1.2

1.3

2.2

4


Kiến thức cơ bản về thị tr-ờng tài chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Các thị tr-ờng tài chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Cổ phiếu chứng khoán và các phái sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Thị tr-ờng và toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.1

Giá đ-ợc xem nh- các quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.2

Thông tin thị tr-ờng và biểu diễn toán học . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.3

Cơ hội có chênh lệch thị giá và nguyên lý AAO . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.4

Nguyên lý đáp ứng và khái niệm thị tr-ờng đầy đủ . . . . . . . . . . . . 11


Mô hình Black - Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1

Giới thiệu mô hình và kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.2

Cơ sở dẫn đến mô hình Black - Scholes

1.3.3

Xác định các tham số của chuyển động Brown hình học . . . . . . . . . 14

1.3.4

Công thức Black - Scholes về giá của hợp đồng quyền chọn mua . . . . . 16

Ch-ơng 2
2.1

Một số kiến thức chuẩn bị

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Hiệu ứng nụ c-ời

20

Mô hình Dupire (1994) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1

Mô hình

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.2

Công thức Dupire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.3

Hiệu ứng nụ c-ời của độ biến động đối với các quyền chọn mua Châu Âu 22

2.1.4

Các vấn đề gặp phải khi thực hành và h-ớng giải quyết. . . . . . . . . . 25

Một số h-ớng tiếp cận chính đã đ-ợc nghiên cứu

Ch-ơng 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Định giá với nụ c-ời trong mô hình thị tr-ờng LIBOR ký kết tr-ớc

28

3.1

Bài toán nụ c-ời trong mô hình thị tr-ờng LIBOR ký kết tr-ớc . . . . . . . . . . 28

3.2

Hai mô hình thay thế cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3

3.2.1

Tr-ờng hợp thay thế loga chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.2

Mô hình co dãn hằng số của ph-ơng sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Lớp mô hình tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36


3.3.1

Tr-ờng hợp cụ thể: Hỗn hợp các chuyển động Brown hình học . . . . . . 39

3.3.2

Mở rộng mô hình hỗn hợp chuyển động Brown hình học cho phép độ
lệch độ biến động tiềm ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3.3
3.4

Mô hình tổng quát kiểu Dupire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Ví dụ áp dụng vào dữ liệu thị tr-ờng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Kết luận

51

Phụ lục

52

1.1

Mô hình thị tr-ờng LIBOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.1.1

Mô hình

1.1.2

Hai độ đo th-ờng dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Tài liệu tham khảo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

59


Lời mở đầu
Toán học tài chính ra đời từ rất sớm nh- là một đòi hỏi tự nhiên của xã hội. Những
mô hình toán học dùng để nghiên cứu các thị tr-ờng tài chính ra đời nhằm mục đích
giảm thiểu rủi ro tài chính, và đ-ợc các nhà đầu t-, các chuyên gia tài chính dùng để
phòng hộ và bảo hiểm. Việc ra đời các thị tr-ờng Quyền chọn đòi hỏi phải xây dựng
các mô hình để định giá các hợp đồng quyền chọn đó. Hai trong những ng-ời đầu tiên
thành công trong việc xây dựng mô hình để định giá quyền chọn với thời gian liên tục
là hai nhà Toán học ng-ời Mỹ là Fisher Black và Myron Scholes từ năm 1973. Trong
mô hình đó, tài sản cơ sở đ-ợc giả thiết có giá tuân theo chuyển động Brown hình học
dSt
= àdt + dWt trong đó S là giá trị tài sản, à là dịch chuyển hằng số,
St
là độ biến động hằng số và W là chuyển động Brown tiêu chuẩn. Với mô hình Black -

và cho bởi:

Sholes ng-ời ta có thể định giá chứng khoán và định giá các hợp đồng quyền chọn có kể
đến các yếu tố ngẫu nhiên tác động lên thị tr-ờng. Với nhiều lý do khác nhau, giá của
các hợp đồng quyền chọn tính bởi công thức Black - Scholes không phù hợp với thực tế.
Bằng thực nghiệm ng-ời ta thấy độ biến động không phải là một hằng số mà là một
hàm của cả thời gian và giá thực thi hợp đồng quyền chọn, hơn nữa đó là một hàm lồi,
đồ thị có chiều lồi quay xuống d-ới có hình dáng của một nụ c-ời, vì thế sự kiện này
gọi là "Hiệu ứng nụ c-ời". Rất nhiều nhà nghiên cứu đã cố gắng đặt bài toán phù hợp
tốt, chính xác đến mức có thể, với dữ liệu về quyền chọn. Một số h-ớng tiếp cận chính
nh-: Đầu tiên là h-ớng tiếp cận dựa trên giả thiết về mô hình hiển thay thế đối với quá
trình giá tài sản, và ngay lập tức dẫn đến hiệu ứng nụ c-ời hay độ lệch độ biến động.
Một ví dụ là quá trình co dãn hằng số của ph-ơng sai (CEV) của Cox (1975) và Cox &
Ross (1976). H-ớng tiếp cận thứ hai dựa trên giả thiết về tính không đếm đ-ợc của các
giá trao đổi hiện hành. Cách này đ-ợc nghiên cứu bởi Breeden và Litzenberger (1978),
sau đó là Dupire(1994,1997), Derman và Kani(1994,1998). Họ đã đ-a ra đ-ợc biểu thức
hiển cho độ biến động Black - Scholes nh- là một hàm của giá thực thi và kỳ hạn. H-ớng
tiềp cận này có hạn chế cơ bản là ng-ời làm phải nội suy trơn các giá quyền chọn giữa
các giá thực thi liên tiếp để có thể lấy vi phân cấp hai theo giá thực thi. H-ớng tếp cận
thứ ba, đ-ợc nghiên cứu bởi Rubinstein(1994), Jackwerth và Rubinstein(1996), Britten
- Jones và Neubeger(2000) gồm việc tìm các xác suất không rủi ro trong một mô hình
tam thức/nhị thức của giá tài sản, và dẫn đến sự phù hợp tốt nhất của giá quyền chọn
theo tiêu chuẩn trơn (mịn) nào đó. Ngoài ra còn có h-ớng tiếp cận thị tr-ờng không
đầy đủ. Nó bao gồm các mô hình độ biến động ngẫu nhiên, nh- mô hình của Hull và
White (1987), Heston (1993) và Tompkins(2000a,2000b), và mô hình khuếch tán nhảy,
nh- mô hình của Merton(1976) hay Prigent, Renault và Scaillet (2001). H-ớng tiếp cận

1


cuối cùng dựa trên cái gọi là mô hình thị tr-ờng đối với độ biến động tiềm ẩn. Các ví
dụ đầu tiên là trong Schonbucher (1999), và Ledoit và Santa Clara (1998).
Với đề tài "Hiệu ừng Nụ c-ời trong toán tài chính" trong luận văn này, sau khi tìm
hiểu các mô hình của Black - Scholes, Dupire, Cox & Ross, Heston, Rubinstein, ... tôi
thấy việc đ-a ra một mô hình tổng quát hơn là cần thiết, tuy nhiên bài toán định giá
cho các hợp đồng quyền chọn là một bài toán mở có nhiều h-ớng giải quyết và việc giải
quyết vấn đề này một cách triệt để có thể còn ch-a thực hiện đ-ợc trong thời gian ngắn.
Nói chung, bài toán tìm phân phối không rủi ro để định giá nhất quán cho tất cả các
quyền chọn gi-ờng nh- có nhiều điểm không xác định. Một lời giải có thể đ-ợc đ-a ra
nếu có giả thiết về sự phụ thuộc phân phối không rủi ro có tham số cụ thể với một số
tham số, chẳng hạn phụ thuộc thời gian, và khi đó ta sử dụng các tham số này cho phù
hợp với độ biến động. Bằng cách áp dụng cách t-ợng tự nh- của Dupire(1994,1997), ta
đặt bài toán này và tìm lớp mô hình đầu tiên dẫn tới phân phối không rủi ro có tham số
đủ linh hoạt cho mục đích thực hành. Khi đó sẽ tạo ra các quá trình liên kết giữa h-ớng
tiếp cận phân phối không rủi ro có tham số và h-ớng tiếp cận mô hình thay thế, và dẫn
đến mô hình hiển với các mật độ không rủi ro có tham số linh hoạt. Với các điều kiện
th-ờng gặp trong thực tế thì mô hình LIBOR ký kết tr-ớc (FLM) là sự lựa chọn thuận
tiện nhất trong rất nhiều tình huống. Trong luận văn này tôi cố gắng định nghĩa các vấn
đề liên quan đến mô hình FLM để thay thế cho mô hình loga chuẩn cổ điển, và cũng
truy lại các cấu trúc độ biến động nh- đã quan sát trên thị tr-ờng.
Luận văn gồm ba ch-ơng với những nội dung chính sau đây:
Ch-ơng 1. Trình bày sơ l-ợc về các thị tr-ờng tài chính và một số khái niệm tài
chính có liên quan. Mô hình Black - Scholes và công thức Black - Scholes định giá quyền
chọn với thời gian liên tục.
Ch-ơng 2. Nhắc đến khái niệm "Hiệu ứng Nụ c-ời". Mô hình Dupire cùng với
cách xây dựng công thức Dupire làm cơ sở tham khảo khi xây dựng mô hình thay thế
trong ch-ơng 3.
Ch-ơng 3. Xây dựng một lớp khuếch tán để lập mô hình lãi suất LIBOR ký kết
tr-ớc d-ới các độ đo chính tắc của chúng, dựa trên giả thiết về một sự phụ thuộc hàm
trơn tại thời điểm đáo hạn giữa lãi suất ký kết tr-ớc và một chuyển động Brown kết hợp.
Đồng thời xây dựng trong lớp này một mô hình có thể phù hợp một cách gần nh- chính
xác với các độ biến động thị tr-ờng cho ở đầu vào.
Phần phụ lục. Trình bày tóm tắt một số yếu tố về mô hình thị tr-ờng LIBOR.

2


Lời cảm ơn
Bản luận văn này đ-ợc hoàn thành d-ới sự h-ớng dẫn và chỉ bảo tận tình của PGS.
TS Trần Hùng Thao (Viện Toán học - Viện khoa học và công nghệ Việt Nam). Thầy đã
dành nhiều thời gian h-ớng dẫn tận tình cũng nh- giải đáp các thắc mắc của tôi trong
suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ng-ời thầy của
mình. Tôi cũng xin cảm ơn nhóm seminar về "Toán tài chính" tại Viện Toán học đã giúp
tôi bổ sung, củng cố các kiến thức về thị tr-ờng tài chính cũng nh- tìm hiểu về các mô
hình toán học trong tài chính.
Qua đây, tôi xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Tr-ờng Đại học Khoa
học Tự nhiên Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng nh- các thầy cô đã tham gia giảng dạy
khoá cao học 2007 - 2009, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt
quá trình tôi học tại tr-ờng.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi ng-ời đã quan tâm, tạo điều kiện, động
viên cổ vũ tôi để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình.

Hà Nội, ngày 15 tháng 12 năm 2011

Học viên: Lê Việt Ph-ơng(1)

(1)

E-mail: Vietphuong2088@gmail.com

3


Ch-ơng 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong ch-ơng này chúng ta sẽ nhắc qua về các thị tr-ờng tài chính và một số khái
niệm tài chính có liên quan. Mô hình Black - Scholes và công thức Black - Scholes định
giá quyền chọn với thời gian liên tục.

1.1 Kiến thức cơ bản về thị tr-ờng tài chính
1.1.1 Các thị tr-ờng tài chính
Từ lâu ta đã nghe nói tới các trung tâm giao dịch chứng khoán nh- NewYork, London,
Tokyo và gần đây là các trung tâm giao dịch chứng khoán ở các thành phố lớn của Việt
Nam nh- Hà Nội, Thành phố Hồ Chí Minh. Các bài báo về hoạt động buôn bán tại các
thị tr-ờng này th-ờng xuyên xuất hiện trên trang nhất của các tờ nhật báo và trên bản
tin thời sự và các bản tin tài chính của các quốc gia có nền kinh tế thị tr-ờng. Còn rất
nhiều thị tr-ờng tài chính khác nữa, mỗi thị tr-ờng đều có những đặc tr-ng xác định bởi
một loại hàng hoá tài chính đ-ợc mang ra trao đổi. Các thị tr-ờng tài chính quan trọng
nhất là các thị tr-ờng cổ phiếu, các thị tr-ờng trái phiếu, các thị tr-ờng tiền tệ, các thị
tr-ờng hợp đồng giao sau và hợp đồng quyền chọn.
Hàng hoá trao đổi tại các thị tr-ờng này đ-ợc phân thành hai loại chính là tài sản cơ
sở và tài sản phái sinh.
- Tài sản cơ sở gồm: Cổ phiếu, trái phiếu hay một đơn vị tiền tệ. Tài sản cơ sở
còn đ-ợc gọi là tài sản nguyên khởi hay tài sản nền tảng.
- Tài sản phái sinh bao gồm các tài sản phụ thuộc, tức là các hàng hoá mà giá trị
của nó rút ra đ-ợc từ giá trị của các tài sản cơ sở. Tài sản phái sinh hay phái sinh tài
chính còn đ-ợc gọi là tài sản phụ thuộc. Các quyền chọn, các hợp đồng kỳ hạn ... là
các phái sinh tài chính điển hình.

1.1.2 Cổ phiếu chứng khoán và các phái sinh
Một công ty có thể huy động vốn bằng cách bán các cổ phần của họ cho các nhà đầu
t-. Ng-ời sở hữu các cổ phần này có thể nhận đ-ợc cổ tức hoặc không tuỳ thuộc vào
4


công ty đó làm ăn có lãi không và có quyết định chia lãi cho các cổ động hay không.
Ngoài ra họ có toàn quyền bán hoặc chuyển nh-ợng cho ng-ời khác.
Giá của cổ phiếu phản ánh cách nhìn và dự đoán của nhà đầu t- về các chi trả cổ
tức, về khoản tiền kiếm đ-ợc trong t-ơng lai và nguồn vốn mà công ty đó sẽ kiểm soát.
Nh- vậy trong phần lớn thời gian thì giá của một cổ phiếu đ-ợc phán định bởi ng-ời nào
muốn trả giá cho nó vào một ngày định tr-ớc.
Cho tr-ớc một chứng khoán, tức là một loại cổ phiếu hoặc trái phiếu. Khi đó, một
phái sinh chứng khoán là một hợp đồng đặc biệt mà giá trị của nó tại một ngày nào đó
trong t-ơng lai phụ thuộc hoàn toàn vào giá trị t-ơng lai của chứng khoán đó. Cá nhân
nào hoặc hãng nào xây dựng nên hợp đồng đó và mang bán nó đi gọi là ng-ời viết. Cá
nhân nào hoặc hãng nào mua hợp đồng đó thì đ-ợc gọi là ng-ời giữ. Chứng khoán mà
hợp đồng đó căn cứ vào để lập nên đ-ợc gọi là một tài sản nền tảng.
1.1.2.1

Các hợp đồng kỳ hạn

a) Hợp đồng ký kết tr-ớc

Là loại hợp đồng ký kết giữa hai bên đối tác A và B (Th-ờng là các công ty tài chính
hoặc các nhà môi giới đầu t-, hoặc các nhà đầu t- tài chính...) Với các quy -ớc sau:
(a) Đến thời điểm đáo hạn T của hợp đồng, bên A phải giao cho bên B một khối
l-ợng sản phẩm tài chính (Cổ phiếu, trái phiếu, tiền tệ...) hoặc một khối l-ợng hàng hoá
nào đó có giá thị tr-ờng là X tại thời điểm T .
(b) Đến thời điểm đáo hạn T đó, bên B phải trả cho bên A một khoản tiền F (0, T )
định tr-ớc từ lúc ký kết.
(c) Không có bất kì một chi phí giao dịch nào tr-ớc thời điểm T .
(d) Đến thời điểm T hai bên bắt buộc phải thực thi các quy -ớc đó, theo một số
điều khoản cụ thể.
b) Hợp đồng giao sau

Hợp đồng giao sau giữa hai đối tác A và B cũng giống với hợp đồng ký kết tr-ớc ở
các quy -ớc (a), (c), (d) và khác với hợp đồng ký kết tr-ớc ở quy -ớc (b), nó đ-ợc thay
bằng quy -ớc (b).
(b) Đến thời điểm đáo hạn T , bên B phải trả cho bên A một khoản tiền là F (t, T ),
khoản tiền này hoàn toàn xác định bởi giá cả thị tr-ờng tại thời điểm t nào đó (t < T ).
Ngoài ra các sản phẩm ghi nợ trong hợp đồng phải là tài sản đ-ợc niêm yết trong thị
tr-ờng chính thức.
Một điểm phân biệt giữa hai loại hợp đồng ký kết tr-ớc và giao sau là: ở hợp đồng
ký kết tr-ớc, hai bên đối tác thoả thuận rằng sẽ ràng buộc trực tiếp với nhau thông qua
5


các điều khoản của hợp đồng. Còn đối với hợp đồng giao sau thì hai bên mua và bán chỉ
quan hệ gián tiếp với nhau trên thị tr-ờng chính thức thông qua một tổ chức trung gian
gọi là "Quỹ đền bù". trong hợp đồng giao sau ng-ời giữ hợp đồng có thể là ng-ời bán
hay ng-ời mua. Việc chuyển tiền qua lại giữa ng-ời giữ hợp đông và quỹ đền bù đ-ợc
tiến hành hàng ngày và đ-ợc gọi là "Lệnh gọi đền bù". Việc giao dịch trong hợp động
này đ-ợc thực hiện theo hình thức hét to và ra hiệu.
1.1.2.2

Các hợp đồng quyền chọn

a) Hợp đồng quyền chọn mua

Là loại hợp đồng cho phép ng-ời giữ hợp đồng có một cơ hội mua một cổ phần chứng
khoán trong t-ơng lai với một giá đảm bảo tr-ớc. Các điều kiện của hợp đồng này là:
(a) Đến ngày đáo hạn, ng-ời giữ hợp đồng có thể trả cho ng-ời viết hợp đồng một
số tiền bằng giá thực thi của hợp đồng.
(b) Nếu ng-ời viết hợp đồng nhận đ-ợc số tiền giá thực thi do ng-ời giữ trả thì
ng-ời viết phải giao một cổ phần chứng khoán cho ng-ời giữ vào ngày đáo hạn.
Nh- vậy ng-ời giữ hợp đồng này có một quyền chọn đầu t-. Nếu đến ngày đáo hạn
giá cổ phiếu thấp hơn giá thực thi thì ng-ời đó có quyền không thực thi. Còn nếu giá cổ
phiếu cao hơn giá thực thi thì ng-ời giữ sẽ trả chi phí thực thi và có đ-ợc một cổ phần
có giá trị.
Nếu hợp đồng chỉ cho phép ng-ời giữ sử dụng nó vào ngày đáo hạn thì ta nói quyền
chọn mua này thuộc kiểu Châu Âu.
Còn một loại khác ít hạn chế hơn là hợp đồng quyền chọn mua kiểu Mỹ. Ng-ời giữ
hợp đồng này đ-ợc phép thực thi hợp đồng này tại bất kỳ thời điểm nào tr-ớc ngày đáo
hạn.
b) Hợp đồng quyền chọn bán

Là loại hợp đồng cho phép ng-ời giữ hợp đồng có một cơ hội đ-ợc phép bán một
cổ phần chứng khoán trong t-ơng lai với một giá đảm bảo tr-ớc, ngay cả khi ng-ời ta
không sở hữu bất kỳ một cổ phiếu nào cả. Các điều kiện của hợp đồng này là:
(a) Đến ngày đáo hạn, ng-ời giữ hợp đồng có thể đ-a cho ng-ời viết một cổ phần
chứng khoán hoặc t-ơng đ-ơng một số tiền theo giá thị tr-ờng lúc ấy của một cổ phần
chứng khoán.
(b) Nếu ng-ời viết hợp đồng nhận đ-ợc cổ phần chứng khoán hoặc số tiền t-ơng
đ-ơng do ng-ời giữ hợp đồng giao cho thì anh ta phải trả chi phí thực thi cho ng-ời giữ
hợp đồng vào ngày đáo hạn của hợp đồng.
Cũng nh- với các hợp đồng quyền chọn mua, ở hợp đồng quyền chọn bán ng-ời giữ
6


hợp đồng có quyền chọn đầu t-. Và nếu hợp đồng chỉ cho phép ng-ời giữ sử dụng nó
vào ngày đáo hạn thì gọi là quyền chọn bán kiểu Châu Âu. Còn nếu có thể thực thi hợp
đồng này vào bất kỳ thời điểm nào tr-ớc ngày đáo hạn thì ta có quyền chọn bán kiểu
Mỹ. Một quyền chọn bán kiểu Mỹ có thể kiếm đ-ợc nhiều tiền hơn một quyền chọn bán
kiều Châu Âu.

1.2 Thị tr-ờng và toán học
1.2.1 Giá đ-ợc xem nh- các quá trình ngẫu nhiên
Xét một tài sản tài chính S mà giá của nó tại một thời điểm t đ-ợc ký hiệu là S(t).
Giả sử t0 là thời điểm hiện tại thì ta chỉ biết đ-ợc giá thực thi S(t0 ) nhờ quan sát trên thị
tr-ờng và nói chung ta không biết tr-ớc đ-ợc giá S(t) với t > t0 . Giá S(t) biến đổi một
cách phụ thuộc vào nhiều yếu tố ngẫu nhiên nh- các biến động giá các sản phẩm khác,
các xu h-ớng tăng tr-ởng hoặc suy thoái của các nền kinh tế trên thế giới, các diễn biến
về nhu cầu tiêu dùng trong và ngoài n-ớc, tiềm lực sản xuất, các diễn biến chính trị, các
chính sách của nhà n-ớc, các diễn biến tâm lý nhà đầu t-... . Ta gom các yếu tố ngẫu
nhiên đó của tất cả các sản phẩm tài chính S trên thị tr-ờng vào một tập hợp cơ bản kí
hiệu là mà mỗi phần tử của nó biểu thị một yếu tố ngẫu nhiên nào đó. Mỗi sự kiện
xảy ra trong thị tr-ờng là một tập hợp nào đó gồm một số các yếu tố ngẫu nhiên. Để
đo l-ờng một cách định l-ợng khả năng xảy ra các sự kiện đó ng-ời ta dùng một loại
th-ớc đo là một độ đo xác suất P . Độ đo đó chỉ đo đ-ợc các sự kiện thuộc về một lớp
F nào đó các sự kiện (F sẽ đ-ợc xác định nh- một đại số), mỗi sự kiện A thuộc về
lớp này đ-ợc gọi là một biến cố ngẫu nhiên và giá trị đo l-ờng khả năng xảy ra sự kiện
A đó chính là xác xuất P(A) .
Vậy ta có một không gian xác suất (, F , P ) mà mỗi tài sản tài chính S(t) là một quá
trình ngẫu nhiên xác định trên đó: Với mỗi t, S(t) còn phụ thuộc vào các yếu tố ngẫu
nhiên : S = S(t,)

1.2.2 Thông tin thị tr-ờng và biểu diễn toán học
1.2.2.1

- tr-ờng và luồng thông tin thị tr-ờng

Ta nhắc lại định nghĩa - tr-ờng
Định nghĩa 1.2.1. Một đại số G (hay còn gọi là tr-ờng G ) xác định trên tập là

một họ các tập con của thoả mãn các tính chất:
(a) G đóng đối với phép hợp đếm đ-ợc.
7


(b) G đóng đối với phép lấy phần bù.
(c) G
Nhận xét 1.2.2.

+ Từ (a) và (b) ta suy ra G cũng đóng đối với phép giao đếm đ-ợc.
+ Từ (b) và (c) suy ra G
Nh- phần trên ta đã nói, giá của các sản phẩm tài chính đ-ợc xem nh- những quá
trình ngẫu nhiên xét trên một không gian xác suất (, F , P ) , mỗi sự kiện A xảy ra trong
thị tr-ờng đ-ợc xem là một tập hợp thuộc về họ F với khả năng xảy ra chính là xác suất
P(A) . Nh-ng giá sản phẩm thì thay đổi ngẫu nhiên theo thời gian t và các thông tin về
thị tr-ờng (chính sách, nhu cầu tiêu dùng...) cũng tích luỹ càng ngày càng nhiều thêm.
Ta giả sử mọi thông tin về thị tr-ờng ấy tại thời điểm t đ-ợc ghi nhận trong một tr-ờng
thông tin Ft là một họ con của F . Nh- vậy Ft ghi nhận mọi biến cố xảy ra trong thị
tr-ờng tại mọi thời điểm s t.
Về mặt toán học, họ thông tin cơ bản F và các họ con Ft đ-ợc xác định nh- những
- đại số trên tập các yếu tố ngẫu nhiên cơ bản.
Định nghĩa 1.2.3. Luồng thông tin thị tr-ờng Ft , t 0 là một họ các - đại số con của
- đại số F (Ft F ) và thoả mãn các điều kiện sau đây:
(i) Là một họ tăng, tức là Fs Ft với s t
(ii) Liên tục phải, tức là

>0

Ft+ = Ft

(iii) Mọi tập P - bỏ qua đ-ợc A thuộc F đều đ-ợc chứa trong F0 (do đó A Ft, t)

Điều kiện (i) phản ánh đúng thông tin thị tr-ờng: Mỗi ngày trôi qua ta có thêm thông
tin diễn biến của thị tr-ờng.
Các điều kiện (ii) và (iii) có tính chất kỹ thuật để phục vụ tính toán.
Trong toán học, luồng thông tin F(t) định nghĩa nh- trên đ-ợc gọi là một bộ lọc.
Tuỳ bối cảnh của bài toán, có thể chọn ra nhiều bộ lọc khác nhau.
1.2.2.2

Không gian xác suất đ-ợc lọc

Định nghĩa 1.2.4. Cho một không gian xác suất (, F , P ) gồm tất cả các yếu tố ngẫu

nhiên trong một thị tr-ờng tài chính, và cho Ft , t 0 là một luồng thông tin trên thị
tr-ờng đó. Khi đó bộ (, F , Ft, P ) đ-ợc gọi là một không gian xác suất đ-ợc lọc của thị
tr-ờng đó.
Nếu tài sản tài chính S có giá là một quá trình ngẫu nhiên St = S(t,) xác định trên
không gian xác suất đ-ợc lọc đó thì St là một biến ngẫu nhiên đo đ-ợc đối với Ft . Tính
chất đó đ-ợc gọi là tính thích nghi của quá trình giá tài sản St đối với luồng thông tin
8


thị tr-ờng Ft. Điều đó có nghĩa là mọi sự kiện liên quan đến giá cả của tài sản S tại thời
điểm t đều đ-ợc chứa đựng trong tr-ờng thông tin Ft .
1.2.2.3

Lịch sử diễn biến của giá tài sản

Định nghĩa 1.2.5. Cho S là một tài sản tài chính nào đó xét trong một không gian xác

suất (, F , P ) của thị tr-ờng. Ta chọn bộ lọc (Ft ) ở đây chính là tr-ờng sinh ra bởi
mọi giá trị quá khứ Ss , s t của tài sản S và kí hiệu là (FtS ).
t

FtS = (Ss , s t)

Họ (FtS ) thoả mãn các tính chất của một luồng thông tin thị tr-ờng và đ-ợc gọi là
lịch sử diễn biến giá tài sản S từ quá khứ cho đến thời điểm t.
Trong toán học, (FtS , t 0) đ-ợc gọi là bộ lọc tự nhiên của quá trình ngẫu nhiên
(St, t 0).
1.2.2.4

Luồng thông tin tổng hợp của thị tr-ờng

Định nghĩa 1.2.6. Giả sử một thị tr-ờng M gồm có các tài sản cơ bản là S 1, S 2 , ..., S K .
k

Mỗi tài sản S k (k = 1, 2, .., K) ứng với một lịch sử diễn biến là FtS . Khi đó luồng thông
tin tổng hợp của thị tr-ờng M, ký hiệu là FtM đ-ợc định nghĩa bởi
K

t 0

FtM

FtS

=

k

k=1

Trong đó, với mỗi t, FtM là lịch sử diễn biến của thị tr-ờng M cho tới thời điểm t.
1.2.2.5

Giả thuyết thị tr-ờng hiệu quả

Định nghĩa 1.2.7. Giả thuyết thị tr-ờng hiệu quả là một giả thuyết gồm hai điều kiện sau:

(i) Mọi thông tin về tài chính đều đ-ợc phản ánh đầy đủ trong giá của các sản
phẩm tài chính.
(ii) Mọi nhà đầu t- đều có cơ hội nh- nhau để tiếp cận thông tin về thị tr-ờng.
Nói cách khác, không có ai có cơ hội v-ợt trội nắm bắt đ-ợc thông tin về thị tr-ờng (giá
cả, chính sách...) hơn những ng-ời khác.
Hai điều kiện đó đ-ợc gọi là hai nguyên lý của giả thuyết về thị tr-ờng hiệu quả. Giả
thuyết này đ-ợc nhà kinh tế học Mỹ là Eugene Fama đ-a ra năm 1965.

9


Ba dạng thị tr-ờng hiệu quả:

- Dạng yếu: Khi thông tin về thị tr-ờng chỉ là các thông tin quá khứ.
- Dạng trung bình: Khi thông tin về thị tr-ờng là mọi thông tin công khai.
- Dạng mạnh: Gồm mọi thông tin có thể, ngoài ra, các diễn biến t-ơng lai về giá
sản phẩm tài chính chỉ phụ thuộc vào thông tin quá khứ thông qua giá hiện tại của chúng.
Nói cách khác, khi giá các tài sản tài chính có tính chất Markov.
1.2.2.6

Một số khái niệm cơ bản trong toán tài chính

a) Ph-ơng án đầu t-

Một ph-ơng án đầu t- là tổ hợp của một số hữu hạn các chứng khoán với các trọng
số nào đấy.
Giả sử có n chứng khoán với giá trị tại thời điểm t là S1 (t), ..., Sn(t). Một ph-ơng án
đầu t- là một cách chọn ra 1 (t) chứng khoán S1 , ... , n (t) chứng khoán Sn tại mỗi
thời điểm t để đầu t-. Vậy giá trị V (t) của ph-ơng án ấy tại thời điểm t là:
n


V (t) = 1 (t)S1(t) + ... + n (t)Sn (t) =

i (t)Si (t)
i=1

Rõ ràng V (t) là một quá trình ngẫu nhiên.
Các i (t) là các hàm số tất định của t. Nếu i (t) > 0 thì gọi là ph-ơng án bán đối
với chứng khoán Si , còn nếu i (t) < 0 thì gọi là ph-ơng án mua đối với chứng khoán Si .
Ph-ơng án đầu t- còn đ-ợc gọi là danh mục đầu t- hoặc chiến l-ợc đầu t- và đ-ợc
ký hiệu là (, S).
b) Cân đối lại và tự tài trợ

- Tại một thời điểm t, ph-ơng án đầu t- có thể đ-ợc cân đối lại, tức là điều chỉnh
lại việc mua và bán các chứng khoán Si (1 i n). Điều đó cũng có nghĩa là thay đổi
các trọng số của chúng từ 1 (t), ..., n(t) sang 1 (t), ..., n(t).
- Nếu sau khi cân đối lại mà giá trị của ph-ơng án đầu t- không thay đổi thì ta
gọi sự cân đối lại đó là sự cân đối tự tài trợ.

1.2.3 Cơ hội có chênh lệch thị giá và nguyên lý AAO
Xét một mô hình thị tr-ờng M gồm các chứng khoán S và một họ các ph-ơng án
đầu t- tự tài trợ .
Định nghĩa 1.2.8. Một ph-ơng án đầu t- tự tài trợ đ-ợc gọi là một cơ hội có độ

chênh thị giá nếu quá trình giá Vt () của ph-ơng án đầu t- thoả mãn các điều kiện:
10


(i)

P{(V0 ()=0)} = 1

(ii)

P{(VT ()0)} = 1

(iii)

P{(VT ()>0)} > 0

(T là thời điểm đáo hạn của hợp đồng)

Định nghĩa 1.2.9. Ta nói rằng thị tr-ờng M = (S, ) là một thị tr-ờng không có cơ hội

chênh thị giá nếu không tồn tại một ph-ơng án đầu t- tự tài trợ nào trong mà là có
độ chênh thị giá.
Giả thiết "Không có độ chênh thị giá" gọi là nguyên lý AAO

1.2.4 Nguyên lý đáp ứng và khái niệm thị tr-ờng đầy đủ
Định nghĩa 1.2.10. Chiến l-ợc đáp ứng

Chiến l-ợc đáp ứng đối với một phái sinh có giá trị đáo hạn Xt tại thời điểm đáo
hạn T là một ph-ơng án đầu t- tự tài trợ sao cho Vt () = Xt . Tức là sao cho giá trị
lúc đáo hạn của ph-ơng án đầu t- ấy bằng đúng với giá trị đáo hạn Xt đã định tr-ớc
và đã ghi trong hợp đồng.
Quá trình giá Vt () của ph-ơng án ấy đ-ợc gọi là quá trình đáp ứng. Ký hiệu X là
lớp tất cả các ph-ơng án đầu t- đáp ứng cho phái sinh X .
Định nghĩa 1.2.11. Phái sinh đạt đ-ợc trong thị tr-ờng M

Một tài sản phái sinh X đ-ợc gọi là đạt đ-ợc trong thị tr-ờng M nếu có ít nhất một
ph-ơng án đáp ứng cho nó.
Định nghĩa 1.2.12. Thị tr-ờng đầy đủ

Một thị tr-ờng M đ-ợc gọi là đầy đủ nếu mọi tài sản phái sinh X đều đạt đ-ợc trong
M.

1.3 Mô hình Black - Scholes
1.3.1 Giới thiệu mô hình và kết quả
Năm 1973, trong một tạp chí về kinh tế chính trị, hai nhà Kinh tế kiêm Toán học Mỹ
là Fisher Black và Myron Scholes đã công bố một bài báo quan trọng về định giá quyền
chọn. Từ đó ra đời mô hình Black - Scholes để định giá tài sản không rủi ro trong một
thị tr-ờng với thời gian liên tục. Ngay lập tức, mô hình đó cùng với công thức Black Scholes nổi tiếng rút ra từ mô hình đó đã có một tác động có tính chất cách mạng đến các
11


thị tr-ờng chứng khoán tại Mỹ lúc đó. Ng-ời ta thấy rõ sự đơn giản mà rất hiệu quả của
mô hình này để định giá chứng khoán và định giá hợp đồng quyền chọn có kể đến các
yếu tố ngẫu nhiên tác động lên thị tr-ờng. Năm 1996, Scholes đã đ-ợc nhận giải th-ởng
Nobel về kinh tế (Lúc đó Black đã mất) nhờ các công trình về tài chính với sự cộng tác
của R.C.Merton, một chuyên gia lão luyện về tài chính tại viện công nghệ Massachusetts.
Gọi S = St là giá cổ phiếu tại thời điểm t, vì giá cổ phiếu chịu nhiều tác động ngẫu
nhiên của thị tr-ờng, nên ta coi St là một quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục
St = S(t,).
Mô hình Black - Scholes đ-ợc mô tả bởi ph-ơng trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính
nh- sau:
dS = àSdt + SdB

trong đó à và là những hằng số, còn B là một chuyển động Brown.
Giá cổ phiếu tại thời điểm t bất kỳ đ-ợc xác định bởi công thức:
St = S0 exp Bt + à

2
2

t

Xét một quyền chọn mua kiểu Châu Âu với giá thực thi là X , thời điểm đáo hạn T ,
lãi suất không rủi ro là r và St là giá chứng khoán tại thời điểm t [0, T ]. Khi đó giá V
của quyền chọn mua tại thời điểm hiện tại t đ-ợc xác định bởi công thức Black - Scholes
sau:
V = St N(d1 ) Xer(T t) N(d2 )

trong đó N là kí hiệu cho hàm phân phối N (0, 1)
x

N(x)

1
=
2

u2

e 2 du


và d1 , d2 là hai giá trị cho bởi
St
2
1

ln + r +
d1 =
X
2
T t

d2 = d1 T t

(T t)

Nếu chọn thời điểm hiện tại làm thời điểm gốc t = 0 thì công thức Black - Scholes
trở thành:
V = S0N(d1 ) XerT N(d2 )

12


trong đó:
x

N(x)

1
=
2

u2

e 2 du


1
S0
2
d1 = ln
+ r+
X
2
T

d2 = d1 T

T

1.3.2 Cơ sở dẫn đến mô hình Black - Scholes
Giả sử ta có một thị tr-ờng M hoạt động liên tục, có lãi suất không đổi, không chia
lợi tức cho cổ đông tr-ớc khi đáo hạn, không có chi phí giao dịch, không trao đổi chứng
khoán. Kí hiệu St là giá cổ phiếu tại thời điểm t, dSt là l-ợng giá cổ phiếu thay đổi trong
khoảng thời gian nhỏ [t, t + dt]. Một điều tự nhiên là ta có thể giả thiết là độ thay đổi
t-ơng đối về giá là

dSt
tỷ lệ thuận với độ dài thời gian dt với một hệ số tỷ lệ à nào đó:
St
dSt
St

àdt

Ngoài ra còn phải kể đến tác động của các yếu tố ngẫu nhiên trong thị tr-ờng lên tỷ
lệ đó nữa. Các yếu tố ngẫu nhiên ấy tạo nên một loại "nhiễu" ngẫu nhiên. Nhiễu ngẫu
nhiên phổ biến nhất chính là nhiễu có phân bố xác suất chuẩn, đ-ợc gọi là nhiễu trắng
Gauss hay tiếng ồn trắng Gauss, thể hiện qua vi phân ngẫu nhiên dBt của một chuyển
động Brown Bt với một hệ số tỷ lệ nào đó. Do đó ta đặt:
dSt
= àdt + dBt
St
à, là các hằng số.
à còn gọi là độ dịch chuyển giá.
gọi là độ biến động giá, càng lớn thì tác động ngẫu nhiên càng lớn.
1.3.2.1

Quá trình chuyển động Brown hình học

Xét ph-ơng trình:
dSt = àSt dt + StdBt

Ta xét các hàm:
U(t,s) = ln S xác định trên [0, T ] ì R


Y(t) = U(t,s(t)) = ln S(t)

13

(3.1)


áp dụng công thức Ito ta có:
1
dY = Ut dt + Us ds + Uss (S(t))2 dt
2
1
1
2
= 0 + (àSt dt + StdBt ) 2 2S(t)
dt
S
2S(t)
=

à

2
2

dt + dBt
t

Y(t) Y(0) =

t

2
à
2

ds +

0

=


ln S(t) ln S(0) =

dBs
0

2
à
2
2
à
2

t + Bt
t + Bt

Suy ra:
St = S0 exp Bt + à

2
2

t

(3.2)

Quá trình S(t) này đ-ợc gọi là một chuyển động Brown hình học.

1.3.3 Xác định các tham số của chuyển động Brown hình học
Bằng quan sát, ta có thể -ớc l-ợng đ-ợc các tham số à và của chuyển động Brown
hình học, điều đó có nghĩa là ta -ớc l-ợng đ-ợc giá St của cổ phiếu.
Giả sử ta ghi nhận đ-ợc một số số liệu về giá một cổ phiếu trong một khoảng thời
gian [0, T ], cụ thể: Chia khoảng [0, T ] thành n khoảng nhỏ đều nhau có độ dài là t,
t = ti ti1, (i = 1, n) sau đó ta thu thập các giá chứng khoán tại thời điểm cuối ti
của các khoảng nhỏ [ti1, ti ]. Ta đ-ợc n quan sát S1 , ..., Sn. Ta thực hiện theo các b-ớc sau:
B-ớc 1: Tạo ra một dãy số liệu: ui = ln(Si ) ln(Si1 ), (i = 1, n)

áp đụng (3.2) ta đ-ợc:
Ui = Bti Bti1 + à

2
2

t

(3.3)

Với Bti Bti1 là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân bố chuẩn N(0,t).
B-ớc 2: Tính kỳ vọng và ph-ơng sai của biến ngẫu nhiên U nhận các giá trị rời rạc
U1 , ..., Un theo hai cách:

14


Cách 1: Dựa vào dãy số liệu thực tế:
U = EU =

1
n

n

Ui
i=1

1
S = VarU =
n1

n

2

(Ui EU )

2

i=1

Cách 2: Dựa vào biểu thức (3.3).
EU =

à

2
2

t

VarU = 2 t
B-ớc 3: Giải các ph-ơng trình sau đây đối với à và .
U=

à

2
2

t

S 2 = 2t

Ta đ-ợc:
S2
2
t

U+
à=

S
=
t



Ví dụ 1.3.1. Giá cổ phiếu của hãng máy tính IBM Mỹ lúc đóng cửa trong khoảng thời

gian từ ngày 28/10/1997 đến ngày 9/12/1997 đ-ợc thống kê lại gồm 33 số liệu nh- sau
(tính theo đơn vị đô la Mỹ)
99, 375

98, 25

97, 688

99, 0

95, 812
96, 625

98, 5

101, 625

99, 125

101, 5

103, 062

104, 75

105, 562

103, 125

115, 562

110, 75

110, 375

109, 25

101, 938
99, 125

107, 375
112, 25

101, 5
109, 75

113, 062

áp dụng các công thức trên ta tính đ-ợc:
U = 0, 00264441
S = 0, 020256795

Với t =

1
ta đ-ợc:
365

S2
2 = 1, 04
à=
t
S
=
= 0, 367
t
U+

15

102, 75

101, 062
103, 5

109, 75
110, 375

99, 5

102, 125
109, 5


Do đó giá cổ phiếu vào bất kỳ một ngày t nào sẽ đ-ợc -ớc l-ợng bởi:
St = S0 exp 0, 367Bt + 1, 04


0, 3672
2

t

St = S0 exp(0, 367Bt + 0, 9725t)

1.3.4 Công thức Black - Scholes về giá của hợp đồng quyền chọn mua
Trong mục (2.1.1.1) đã giới thiệu công thức Black - Scholes để định giá V của một
hợp đồng quyền chọn.
V = S0N(d1 ) XerT N(d2 )

(3.4)

trong đó:
x

1
N(x) =
2

u2

e 2 du



2
1
S0
+ r+
d1 = ln
X
2
T

d2 = d1 T

T

Tã sẽ chứng minh công thức đó.
Gọi V là giá của quyền chọn vào thời điểm hiện tại t = 0. Khi đó V đ-ợc tính theo
công thức:
V = erT E (ST X)+

(3.5)

Trong đó:
ST là giá chứng khoán tại thời điểm đáo hạn T
X là giá thực thi hợp đồng tại thời điểm đáo hạn T
(ST X)+ =

ST X

nếu

ST X 0

0

nếu

ST X < 0

Giả sử giá chứng khoán St tuân theo mô hình Black - Scholes thì St là giá trị của một
chuyển động Brown hình học. Theo (3.2) ta có
ST = S0 exp BT + r

2
2

T

(3.6)

Vì BT là một biến ngẫu nhiên với kỳ vọng 0 và ph-ơng sai T nên ta có thể đặt

BT = T .Z , trong đó Z N (0, 1). Khi đó ST viết thành:

2
ST = S0 exp T Z + r
2
16

T

(3.7)


Thay (3.7) vµo (3.5) ta ®-îc
−rT

V =e

+


σ2
S0 exp σ T Z + r −
2

E

T

−X

Suy ra:
e−rT
V =√


+∞

+


σ2
S0 exp σx T + r −
2

T

x2

e− 2 dx

−X

(3.8)

−∞

Ta t×m x = a ®Ó cã ®¼ng thøc

σ2
S0 exp σa T + r −
2

T −X =0

Suy ra:
σ2
− r−
2

σ T

X
S0

ln
a=

T
(3.9)

Tõ (3.8) vµ (3.9) ta suy ra:
e−rT
V =√




+∞

a

 σx
 S0 e






σ2
2
T +(r−
)T
−x
2 − X
 e 2 dx

+∞

 1
= e−rT  √



σx

S0 e

σ2
T +(r−
)T
1
x2
2 e− 2 dx − √


a

+∞

a

Ta tÝnh hai tÝch ph©n trªn.
+∞

1
I2 = √


−a

Xe

2
− x2

1
dx = √


a

u2

Xe− 2 du
−∞

−a

1
=X√


u2

e− 2 du = XΦ(−a)
−∞

x
1
u2
e− 2 du lµ hµm ph©n phèi chuÈn.
2π −∞

Trong ®ã Φ(x) = √

σ2

σx T +(r−
)T

+∞

1
I1 = √


2

S0 e

x2

e− 2 dx

a
(r−

= S0 e

σ2
)T 1
2 √


+∞
x2

e−( 2
a

2

(r−

= S0 e

σ
2

)T

.J
17


−σx T )

dx



x2

Xe− 2 dx


1 +∞ −( x2 −σx√T )
J=√
e 2
dx
2π a



x2
σ 2T
σ 2T
(x − σ T )2 σ 2T
x2
Ta cã:
− σx T =
− σx T +

=

2
2
2
2
2
2
2
√ 2
σ
T
1 +∞ − (x−σ2 T ) +
2 dx
Do ®ã:
J=√
e
2π a

§æi biÕn sè b»ng c¸ch ®Æt y = x − σ T ta ®-îc:

Trong ®ã:

+∞

J =e

σ2T
2

1



y2

e− 2 dy

a−σ T

−(a−σ T )

=e

σ2T
2

1



y2

e− 2 dy
−∞

=e

σ2T
2

x


Φ−(a − σ T )

1
Φ(x) = √


víi

y2

e− 2 dy
−∞

VËy:


I1 = S0erT Φ−(a − σ T ) Suy ra:
V = e−rT (I1 + I2 )

= e−rT S0 erT Φ−(a − σ T ) − XΦ(−a)

= S0Φ −(a − σ T ) − Xe−rT Φ(−a)

Theo (3.9) th×
σ2
+ r−
T
2

−a =
σ T
σ2
S0
+
r
+
ln

X
2

−(a − σ T ) =
σ T

§Æt d1 = −a vµ d2 = −(a − σ T ) th×
ln

1
d1 = √ ln
σ T

S0
X

S0
X

+ r+

σ2
2

T



T


d2 = d1 − σ T

V = S0 Φd1 − Xe−rT Φd2
x
1
u2
Ký hiÖu: N(x) = Φ(x) = √
e− 2 du th×
2π −∞

Ta cã:

V = S0N(d1 ) − Xe−rT N(d2 )
víi

σ2
1
S0
+ r+
d1 = √ ln
X
2
σ T

d2 = d1 − σ T
18

T


Đó là công thức Black - Scholes để định giá V của một quyền chọn mua kiểu Châu
Âu trên cơ sở giá cổ phiếu St tuân theo mô hình Black - Scholes .
Chú ý: Nếu ta lấy thời điểm ban đầu là t thì giá chứng khoán ban đầu sẽ là St còn

khoảng thời gian từ lúc đầu đến lúc đáo hạn sẽ là T t do đó công thức Black - Scholes
khi đó sẽ viết là:
V = St N(d1 ) Xer(T t) N(d2 )
với

2
1
St
d1 =
ln + r +
X
2
T t

d2 = d1 T t

19

(T t)


Ch-ơng 2

Hiệu ứng nụ c-ời

Giả sử rằng giá cổ phiếu St tuân theo mô hình Black-Scholes sau đây:
dSt = àSt dt + St dBt ,

S0 = 1

Gọi Vt là giá của quyền chọn mua kiểu Châu Âu với khoản thu nhập là:
fT = max(ST X, 0)

trong đó X là giá thực thi vào ngày đáo hạn T.
Khi đó VT đ-ợc xác định thông qua độ biến động không đổi , thời gian đáo hạn T
và giá thực thi X nhờ công thức Black - Scholes. Tuy nhiên, giả thiết không đổi là
không phù hợp với thực tế. Quả vậy, ta có thể quan sát giá thị tr-ờng hiện tại của quyền
chọn đó với T và X cho tr-ớc, giả sử ta ghi nhận đ-ợc giá đó là V(T,X) còn V(,T,X) là giá
của quyền chọn tính bởi công thức Black - Scholes.
Giá trị = (T,X) tìm đ-ợc từ ph-ơng trình
V(,T,X) = V(T,X)

đ-ợc gọi là độ biến động tiềm ẩn. Đặc tr-ng này nói lên những khuyết điểm của mô
hình Black - Scholes ban đầu, mà nói theo lời của Fisher Black, đó là những "lỗ hổng"
của mô hình, bởi vì trên thực tế độ biến động không phải là hằng số.
Bằng thực nghiệm, ng-ời ta đã chỉ ra rằng:
(1) Giá trị của
(T,X) biến đổi theo T khi X cố định.
(2) Giá trị của
(T,X) cũng biến đổi theo X khi T cố định, và
(T,X) là một hàm lồi
của X.


(T,X) là một hàm lồi, đồ thị quay chiều lồi xuống d-ới, có hình dáng của một nụ
c-ời; Sự kiện này do đó đ-ợc gọi là hiệu ứng nụ c-ời.

2.1 Mô hình Dupire (1994)
2.1.1 Mô hình
Ta xét một thị tr-ờng M đầy đủ, không có độ chênh thị giá, với các tài sản cơ bản
là cổ phiếu S và tài sản vốn R, trong đó vốn R này có thể cho vay hoặc đi vay với một
20


lãi xuất không đổi r. Tồn tại một độ biến động (S,t) là một hàm trơn của S và t và một
chuyển động Brown sao cho S thoả mãn ph-ơng trình:
dS
= àt dt + (S,t)dB
S

(1.1)

Khi đó ta có các khẳng định sau:
(a) Hàm V(S,t) của một tài sản phái sinh viết trên chứng khoán S thoả mãn ph-ơng
trình đạo hàm riêng
2
(S,t)
V
V
2V
+
S 2 2 + rS
rV = 0
t
2
S
S

(1.2)

(b) Với xác suất trung tính Q, tồn tại một chuyển động Brown B sao cho S thoả

mãn ph-ơng trình
dS
= rdt + (S,t)dBt
S
(có cùng một độ biến động nh- tr-ớc là (S,t))

(1.3)

(c) Với xác suất trung tính Q, mọi tài sản phái sinh V bất kì viết trên chứng khoán
S là lời giải của ph-ơng trình vi phân ngẫu nhiên
dV
= rdt + V (S,t)dBt
V

(1.4)

2.1.2 Công thức Dupire
Ta cần tìm hàm số (S,t) - tức là độ biến động sao cho với mọi thời điểm đáo hạn T
và với mọi giá trị thực thi X ta đều có
V0(T,X) = erT EQ [max{(ST X), 0}]

(1.5)

Ta đ-a ra hàm (T,x) xác định nh- sau:
(T,x) =

Q(xST dx

(1.6)

Đó chính là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên ST xét d-ới xác suất trung tính
Q. Do đó
+

EQ [max{(ST X), 0}] =

(x X)(T,x)dx

(1.7)

x

Từ (1.5) và (1.7) ta đ-ợc:
+
rT

e V0(T,X) =

(x X)(T,x)dx
x

21

(1.8)


Đạo hàm hai lần theo X cả hai vế của (1.8) ta đ-ợc
V(T,x) = erT

2 V0
(T, x)
X 2

(1.9)

Hàm mật độ (T,x) của một quá trình phải thoả mãn một ph-ơng trình Fokker - Planck
1 2 2


=
[rx(T,x)]
[(T,x)x2 (T,x)]
2
T
2 x
x

(1.10)

(Với chú ý rằng ph-ơng trình này chỉ phụ thuộc vào các hệ số khuếch tán xác định nên
quá trình)
Thay (T,x) trong (1.10) bởi biểu thức (1.8) của nó theo giá thị tr-ờng, ta đ-ợc ph-ơng
trình:
2
x2

=

2
2
V0(T,x)
V0(T,x) (x,T )x 2V0(T,x)
+
.
rx
2
T
2
x
x

=0

2
2
V0(T,x) (x,T )x 2V0(T,x)
V0(T,x)
+
.
=0
rx
2
T
2
x
x

Suy ra:
rx
2
(T,x)
=

V0(T,x) V0(T,x)

x
T
2 2V
x
0(T,x)
.
2
x2

(1.11)

Đó là công thức Dupire.

2.1.3 Hiệu ứng nụ c-ời của độ biến động đối với các quyền chọn mua Châu
Âu
Trong mục này, ta giả thiết rằng độ biến động tiềm ẩn (T,X) là một hàm khả vi liên
tục đến một cấp cần thiết đối với (T, X).
2.1.3.1

Tr-ờng hợp quyền chọn mua nhị phân hay số hoá

Giả sử có một quyền chọn mua Châu Âu xây dựng trên một cổ phiếu S có giá thực
thi là X và có thời điểm đáo hạn T . Ta đã biết thu hoạch của quyền chọn đó vào lúc đáo
hạn là:

C(T,X) = max{ST X, 0} =

ST X


Trong đó ST là giá cổ phiếu lúc đáo hạn T .

22

0

nếu

ST X

nếu

ST < X

(1.12)


a) Quyền chọn mua nhị phân
Định nghĩa 2.1.1. Quyền chọn mua nhị phân (hay số hoá) là quyền chọn xây dựng trên

một chứng khoán S , có giá thực thi là X , đáo hạn tại T và có thu hoạch cuối cùng là:
VT =


1
0

nếu

ST X

nếu

ST < X

(1.13)

Nếu xem là hằng số (tức là ch-a xét đến hiệu ứng nụ c-ời) thì so sánh (1.12) và
(1.13) ta nhận thấy
VT =

C
X

(1.14)

Ta xấp xỉ VT . Xét hiệu
T = C(T,XX) C(T,X+X)

Ta có:



T = [C(T,XX) C(T,X)] + [C(T,X) C(T,X+X)]
C
C
X
X + (X)
T =
X
X
C
T

=
(X)
X
2X

Kết hợp với (1.14) ta đ-ợc

T
X0 2X

VT = lim

Khi có tác dụng của nụ c-ời, tức là có độ biến động tiềm ẩn = (T,X) biến đổi phụ
thuộc vào (T, X) thì hàm C(T,X) sẽ trở thành C((T,X) ,T,X) và hiệu T sẽ trở thành:
T =



C
C

.
X
X

2X + (X)

trong đó các đạo hàm riêng lấy giá trị tại ((T,X), T, X).
Suy ra:
VT = lim

X0

Kí hiệu:

C
C
T
=
(T, X)
.
(T, X)
2X
X
X

(1.15)

C
(T, X) bởi (T,X)


Từ (1.15) và (1.14) ta có hệ thức giữa các thu hoạch khi có xét đến hiệu ứng nụ c-ời
và khi không xét đến hiệu ứng nụ c-ời của quyền chọn mua nhị phân:
VT = VT (T,X)

23


(T, X)
X

(1.16)


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×