Tải bản đầy đủ

Chuyên đề 02 hàm số và các bài toán liên quan kit1

Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Khảo sát hàm bậc ba

KHẢO SÁT HÀM BẬC BA
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Khảo sát hàm bậc ba thuộc khóa học
Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. ðể có thể
nắm vững kiến thức phần Khảo sát hàm bậc ba, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

I) Khảo sát hàm số bậc 3: y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0)
a) Quy trình khảo sát:
1. Tập xác ñịnh: R
2. Sự biến thiên:
+) y’ = ?
xét dấu của y’ → khoảng ñồng biến, nghịch biến
+) Cực trị
+) lim y = ?
x →±∞


+) Bảng biến thiên
3. ðồ thị:
- Tìm giao với Oy
- Tìm giao với Ox
- Tìm ñiểm phụ (nếu cần)
- Vẽ ñồ thị
b) Bài tập mẫu: Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số:
1. (ðHKA – 2010): y = x3 − 2 x 2 + 1
2. (ðHKB – 2007): y = − x 3 + 3 x 2 − 4
3. (TK 2010): y = − x 3 − x
4. (TK 2009): y = x3 − 3 x 2 + 4 x − 2

c) Tổng kết ñồ thị: y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0)
- ðồ thị gồm có các dạng sau:

CD
CD

CT

CT
a>0

a<0

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Khảo sát hàm bậc ba

a>0
a<0

- ðồ thị có cực ñại, cực tiểu ⇔ y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt

- ðồ thị không có cực trị ⇔ y ' = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 2 -


Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Khảo sát hàm bậc ba

KHẢO SÁT HÀM BẬC BA
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Khảo sát hàm bậc ba thuộc khóa học Luyện
thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra,
củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Khảo sát hàm bậc ba. ðể sử dụng hiệu
quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.

Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số: y = x 3 − 3x 2 + 3x
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số: y = − x 3 + 6 x 2 − 9 x + 4 .
Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số: y = 2x 3 + 3x 2 − 1
1
Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số: y = − x 3 + 2x 2 − 3x
3
Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số: y = −x 3 + 3x 2 − 1
Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số: y = −x 3 + 3x + 1

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

:

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Khảo sát hàm bậc ba

KHẢO SÁT HÀM BẬC BA
ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Khảo sát hàm bậc ba thuộc khóa học Luyện
thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra,
củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Khảo sát hàm bậc ba. ðể sử dụng hiệu
quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.

Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số: y = x 3 − 3x 2 + 3x
Tập xác ñịnh: D = ℝ
ðạo hàm: y ′ = 3x 2 − 6x + 3
Cho y ′ = 0 ⇔ 3x 2 − 6x + 3 = 0 ⇔ x = 1
Giới hạn: lim y = −∞

lim y = +∞

;

x →−∞

x →+∞

Bảng biến thiên
x

–∞

y′

y

+∞

1
0

+

1

–∞

+
+∞

y

Hàm số ñồng biến trên cả tập xác ñịnh; hàm số không ñạt cực trị.
y ′′ = 6x − 6 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = 1 . ðiểm uốn là I(1;1)
Giao ñiểm với trục hoành:
Cho y = 0 ⇔ x 3 − 3x 2 + 3x = 0 ⇔ x = 0

2

Giao ñiểm với trục tung:
Cho x = 0 ⇒ y = 0

1

Bảng giá trị: x
0
1
y
0
1
ðồ thị hàm số (như hình vẽ bên ñây):

2
2

O

I
1

2

x

Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số: y = − x 3 + 6 x 2 − 9 x + 4 .
Giải:
Tập xác ñịnh: D = R
ðạo hàm: y′ = −3 x 2 + 12 x − 9
x = 1
Cho y′ = 0 ⇔ −3 x 2 + 12 x − 9 = 0 ⇔ 
x = 3
Giới hạn: lim y = +∞
;
lim y = −∞
x →−∞

x →+∞

Bảng biến thiên:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

x

–∞

1

y′



Khảo sát hàm bậc ba

+∞

3

0

+

0



4

+∞

y

0

–∞

Hàm số ñồng biến trên khoảng (1;3), nghịch biến trên các khoảng (–∞;1), (3;+∞)
y

Hàm số ñạt cực ñại y Cð = 4 tại x Cð = 3 ; ñạt cực tiểu yCT = 0 tại xCT = 1
y′′ = −6 x + 12 = 0 ⇔ x = 2 ⇒ y = 2 . ðiểm uốn là I(2;2)
x = 1
Giao ñiểm với trục hoành: y = 0 ⇔ − x 3 + 6 x 2 − 9 x + 4 = 0 ⇔ 
x = 4
Giao ñiểm với trục tung: x = 0 ⇒ y = 4

4
2

Bảng giá trị:

x
0
1
2
3
4
y
4
0
2
4
0
ðồ thị hàm số: nhận ñiểm I làm trục ñối xứng như hình vẽ bên ñây

O

1

2

3 4

x

Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số: y = 2x 3 + 3x 2 − 1
Tập xác ñịnh: D = ℝ
ðạo hàm: y ′ = 6x 2 + 6x
Cho y ′ = 0 ⇔ 6x 2 + 6x = 0 ⇔ x = 0 hoac x = −1
Giới hạn: lim y = −∞

lim y = +∞

;

x →−∞

x →+∞

Bảng biến thiên

x

–∞

y′

0

–1

+

0
0



0

+∞
+

+∞

y
–∞

–1

Hàm số ñồng biến trên các khoảng (−∞; −1),(0; +∞) , nghịc biến trên khoảng (−1; 0)
Hàm số ñạt cực ñại yCð = 0 tại x CD = −1 , ñạt cực tiểu yCT = –1 tại x CT = 0 .

1
1
y ′′ = 12x + 6 = 0 ⇔ x = − ⇒ y = − . ðiểm uốn:
2
2
Giao ñiểm với trục hoành:

 1 1
I − ; − 
 2 2

cho y = 0 ⇔ 2x 3 + 3x 2 − 1 = 0 ⇔ x = −1 hoac x =

y
1
2

Giao ñiểm với trục tung: cho x = 0 ⇒ y = −1
Bảng giá trị: x

− 23

−1

− 12

0

1
2

y

−1

0

− 12

−1

0

-1 O

1

x

2

-1

ðồ thị hàm số: như hình vẽ bên ñây

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Khảo sát hàm bậc ba

1
Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số: y = − x 3 + 2x 2 − 3x
3
Tập xác ñịnh: D = ℝ
ðạo hàm: y ′ = −x 2 + 4x − 3
Cho y ′ = 0 ⇔ −x 2 + 4x − 3 = 0 ⇔ x = 1 ; x = 3
Giới hạn: lim y = +∞

lim y = −∞

;

x →−∞

x →+∞

Bảng biến thiên
–∞

x

1

y′

0



+∞

3

+

0



0

+∞

y



4
3

–∞

Hàm số ñồng biến trên khoảng (1;3), nghịch biến trên các khoảng (–∞;1), (3;+∞)
Hàm số ñạt cực ñại yCð = 0 tại x CD = 3 ; ñạt cực tiểu yCT = −

4
tại x CT = 1
3

2
y ′′ = −2x + 4 = 0 ⇔ x = 2 ⇒ y = − . ðiểm uốn là I (2; − 23 )
3
x = 0
1
Giao ñiểm với trục hoành: cho y = 0 ⇔ − x 3 + 2x 2 − 3x = 0 ⇔ 
3
x = 3
Giao ñiểm với trục tung: cho x = 0 ⇒ y = 0
Bảng giá trị: x

0

1

2

3

4

y

0

− 43

− 23

0

− 43

ðồ thị hàm số: như hình vẽ

Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số: y = −x 3 + 3x 2 − 1
Tập xác ñịnh: D = ℝ
ðạo hàm: y ′ = −3x 2 + 6x
Cho y ′ = 0 ⇔ −3x 2 + 6x = 0 ⇔ x = 0 hoac x = 2
Giới hạn: lim y = +∞

lim y = −∞

;

x →−∞

x →+∞

Bảng biến thiên

x

–∞

y′

0


0

+∞

2

+

+∞

0



3

y
–1

–∞

Hàm số ñồng biến trên khoảng (0;2); nghịch biến trên các khoảng (–∞;0), (2;+∞)
Hàm số ñạt cực ñại yCð = 3 tại x CD = 2
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Khảo sát hàm bậc ba

ñạt cực tiểu yCT = −1 tại x CT = 0
Giao ñiểm với trục tung: cho x = 0 ⇒ y = −1
ðiểm uốn: y ′′ = −6x + 6 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = 1 .
ðiểm uốn là I(1;1)
Bảng giá trị: x
–1
0
y
3
–1
ðồ thị hàm số như hình vẽ:

1
1

2
3

3
–1

Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số: y = −x 3 + 3x + 1
Tập xác ñịnh: D = ℝ
ðạo hàm: y ′ = −3x 2 + 3
Cho y ′ = 0 ⇔ −3x 2 + 3 = 0 ⇔ x 2 = 1 ⇔ x = ±1
Giới hạn: lim y = +∞

lim y = −∞

;

x →−∞

x →+∞

Bảng biến thiên

x

–∞

y′

–1

0



+∞

1

+

+∞

0



3

y

–∞

–1

Hàm số ñồng biến trên khoảng (–1;1) ; nghịch biến trên các khoảng (–∞;–1), (1;+∞)
Hàm số ñạt cực ñại yCð = 3 tại tại x CD = 1
ñạt cực tiểu yCT = −1 tại x CT = −1
y ′′ = −6x = 0 ⇔ x = 0 ⇒ y = 1 .
ðiểm uốn là I(0;1)
Giao ñiểm với trục tung: cho x = 0 ⇒ y = 1
Bảng giá trị: x
–2
–1
y
3
–1
ðồ thị hàm số như hình vẽ:

0
1

1
3

2
–1

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

:

Hocmai.vn

- Trang | 4 -


Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Khảo sát hàm trùng phương

KHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNG
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Khảo sát hàm trùng phương thuộc khóa
học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. ðể có thể
nắm vững kiến thức phần Khảo sát hàm trùng phương, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài
giảng này.

II) Khảo sát hàm trùng phương: y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0)
a) Quy trình khảo sát:
a) Quy trình khảo sát:
1. Tập xác ñịnh: R
2. Sự biến thiên:
+) y’ = ?
xét dấu của y’ → khoảng ñồng biến, nghịch biến
+) Cực trị
+) lim y = ?
x →±∞

+) Bảng biến thiên
3. ðồ thị:
- Tìm giao với Oy
- Tìm giao với Ox
- Tìm ñiểm phụ (nếu cần)
- Vẽ ñồ thị

b) Bài tập mẫu:
Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số
1) ðHKB – 2011: y = x 4 − 4 x 2 + 1
2) ðHKD – 2010: y = − x 4 − x 2 + 6
1
3) TK – 2011: y = − x 4 + x 2 − 2
4
4) TK – 2010: y =

x4
3
+ x2 −
2
2

c) TỔNG KẾT ðỒ THỊ: y = ax 4 + bx 2 + c ( a ≠ 0)

CD

CD

- ðồ thị gồm các dạng sau:
a>0
a<0
CT

CD

CT

CT

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Khảo sát hàm trùng phương

a>0



a<0

CT

- ðồ thị có Cð, CT (có 3 cực trị) ⇔ y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt.

- ðồ thị có 1 cực trị ⇔ y ' = 0 có 1 nghiệm.
- ðồ thị ñối xứng nhau qua Oy.

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 2 -


Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Khảo sát hàm trùng phương

KHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNG
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Khảo sát hàm trùng phương thuộc khóa học
Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm
tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Khảo sát hàm trùng phương. ðể sử
dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.

Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số: y = −x 4 + 4x 2 − 3
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số: y = x 2 (4 − x 2 )
Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số: y = x 4 + 2x 2 − 3
Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số: y =

x4
− x2 − 4
2

Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số: y = (x 2 − 2)2 − 1

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

:

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Khảo sát hàm trùng phương

KHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNG
ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Khảo sát hàm trùng phương thuộc khóa học
Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm
tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Khảo sát hàm trùng phương. ðể sử
dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.

Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số: y = −x 4 + 4x 2 − 3
Tập xác ñịnh: D = ℝ
ðạo hàm: y ′ = −4x 3 + 8x

 4x = 0
Cho y ′ = 0 ⇔ −4x 3 + 8x = 0 ⇔ 4x (−x 2 + 2) = 0 ⇔  2

−x + 2 = 0
Giới hạn: lim y = −∞

x = 0

x 2 = 2 ⇔



x = 0

x =± 2


lim y = −∞

;

x →−∞

x →+∞

Bảng biến thiên

y′

y

0

− 2

–∞

x

+

0
1



–∞

+∞

2

0

+

0
1

–3


–∞

Hàm số ñồng biến trên các khoảng (−∞; − 2),(0; 2) ,
nghịch biến trên các khoảng (− 2; 0),( 2; +∞)
Hàm số ñạt cực ñại yCð = 1 tại x CD = ± 2 , ñạt cực tiểu yCT = –3 tại x CT = 0 .
x 2 = 1

Giao ñiểm với trục hoành: cho y = 0 ⇔ −x + 4x − 3 = 0 ⇔  2

x = 3
4

2

 x = ±1


x = ± 3

Giao ñiểm với trục tung: cho x = 0 ⇒ y = −3
Bảng giá trị: x
y
ðồ thị hàm số:

− 3
0

− 2
1

0
–3

2
1

3
0

Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số: y = x 2 (4 − x 2 )

y = x 2 (4 − x 2 ) = −x 4 + 4x 2
Tập xác ñịnh: D = ℝ
ðạo hàm: y ′ = −4x 3 + 8x

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Khảo sát hàm trùng phương

 4x = 0
3
2



Cho y = 0 ⇔ −4x + 8x = 0 ⇔ 4x (−x + 2) = 0 ⇔  2
−x + 2 = 0
Giới hạn: lim y = −∞


x = 0 ⇔
 2
x = 2


x = 0

x = ± 2

lim y = −∞

;

x →−∞

x →+∞

Bảng biến thiên
–∞

x
y′

y

0

− 2
+

0
4

0



+∞

2
+

0
4



0

–∞

–∞

Hàm số ñồng biến trên các khoảng (−∞; − 2),(0; 2) ,
nghịch biên trên các khoảng (− 2; 0),( 2; +∞)
Hàm số ñạt cực ñại yCð = 4 tại x CD = ± 2 ,
ñạt cực tiểu yCT = 0 tại x CT = 0 .
Giao ñiểm với trục hoành:
x 2 = 0
x = 0
cho y = 0 ⇔ −x + 4x = 0 ⇔  2
⇔ 
x =4
x = ±2

Giao ñiểm với trục tung: cho x = 0 ⇒ y = 0
4

2

Bảng giá trị: x
−2 − 2
0
y
0
0
0
ðồ thị hàm số như hình vẽ bên ñây:

2
4

2
0

Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số: y = x 4 + 2x 2 − 3
Tập xác ñịnh: D = ℝ
ðạo hàm: y ′ = 4x 3 + 4x
Cho y ′ = 0 ⇔ 4x 3 + 4x = 0 ⇔ x = 0
Giới hạn: lim y = −∞

lim y = +∞

;

x →−∞

x →+∞

Bảng biến thiên
x

0

–∞

y′



0

+∞

+∞
+
+∞

y
–3
Hàm số ñồng biến trên các khoảng (0; +∞) , nghịch biến trên khoảng (−∞; 0)
Hàm số ñạt cực tiểu yCT = –3 tại x CT = 0 .
Giao ñiểm với trục hoành:

x 2 = 1
Cho y = 0 ⇔ x + 3x − 3 = 0 ⇔  2
⇔ x 2 = 1 ⇔ x = ±1
x
=

3

4

2

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Khảo sát hàm trùng phương

y

Giao ñiểm với trục tung: cho x = 0 ⇒ y = −3
Bảng giá trị: x
–1
0
y
0
–3
ðồ thị hàm số: như hình vẽ bên ñây

1
0

-1

x4
Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số: y =
− x2 − 4
2
Tập xác ñịnh: D = ℝ
ðạo hàm: y ′ = 2x 3 − 2x

O 1

x

-3

x = 0
Cho y ′ = 0 ⇔ 2x 3 − 2x = 0 ⇔ 
x = ±1
Giới hạn: lim y = +∞
;
lim y = +∞
x →−∞

x →+∞

Bảng biến thiên
x
y′

0

−1

–∞

0



+∞
y



+

0
–4

+∞

1
0



+

+∞

9
2



9
2

Hàm số ñồng biến trên các khoảng (−1; 0),(1; +∞) , nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1),(0;1)
Hàm số ñạt cực ñại yCð = -4 tại x CD = 0 .
Hàm số ñạt cực tiểu yCT = −

y

9
tại x CT = ±1 .
2

-2

-1 O

1

2
x

Giao ñiểm với trục hoành:
Cho y = 0 ⇔

1 4
x − x2 − 4 = 0 ⇔
2

 2
x = 4 ⇔ x 2 = 4 ⇔ x = ±2
 2
x = −2

Giao ñiểm với trục tung: cho x = 0 ⇒ y = −4
Bảng giá trị: x
–2
–1
0
y
0
–4,5
–4
ðồ thị hàm số: như hình vẽ bên ñây

1
–4,5

2
0

-4
-4.5

Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số: y = (x 2 − 2)2 − 1

y = (x 2 − 2)2 − 1 = x 4 − 4x 2 + 4 − 1 = x 4 − 4x 2 + 3
Tập xác ñịnh: D = ℝ
ðạo hàm: y ′ = 4x 3 − 8x

x = 0
3
2

Cho y = 0 ⇔ 4x − 8x = 0 ⇔ 4x (x − 2) ⇔ 
x =± 2

Giới hạn: lim y = +∞
;
lim y = +∞
x →−∞

x →+∞

Bảng biến thiên

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

x

–∞

y′

0

− 2


0

Khảo sát hàm trùng phương

+

+∞

0
3

+∞

2
0



+
+∞

y
–1

–1

Hàm số ñồng biến trên các khoảng (− 2; 0),( 2; +∞) ,
nghịch biến trên các khoảng (−∞; − 2),(0; 2)
Hàm số ñạt cực ñại yCð = 3 tại x CD = 0 .
Hàm số ñạt cực tiểu yCT = −1 tại x CT = ± 2 .
Giao ñiểm với trục hoành:

x 2 = 1
Cho y = 0 ⇔ x 4 − 4x 2 + 3 = 0 ⇔  2

x = 3
Giao ñiểm với trục tung: cho x = 0 ⇒ y = 3

x = ±1


x =± 3


Bảng giá trị: x
–2
–1
0
y
3
–1
3
ðồ thị hàm số: như hình vẽ bên ñây

2
3

1
–1

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

:

Hocmai.vn

- Trang | 4 -


Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Khảo sát hàm phân thức

KHẢO SÁT HÀM PHÂN THỨC
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Khảo sát hàm phân thức thuộc khóa học
Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. ðể có thể
nắm vững kiến thức phần Khảo sát hàm phân thức, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng
này.

III) Khảo sát hàm: y =

ax + b
(a, c ≠ 0)
cx + d

a) Quy trình khảo sát
1. Tập xác ñịnh
2. Sự biến thiên:
+) Chiều biến thiên: y’ = ? → khoảng ñơn ñiệu
+) Giới hạn – Tiệm cận:
lim = ?, TCN: y = ?
x→±∞

lim y = ?, TCð: x = ?
x →−

d
c

+) Bảng biến thiên
3. ðồ thị:
- Tìm giao với Oy
- Tìm giao với Ox
- Vẽ ñồ thị
b) Bài tập mẫu:
Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số:

c) TỔNG KẾT ðỒ THỊ: y =

1) ðHKD – 2011: y =

2x +1
x +1

2) ðHKA – 2011: y =

−x +1
2x −1

ax + b
(a, c ≠ 0)
cx + d

- ðồ thị gồm các dạng sau:

- ðồ thị ñối xứng nhau qua giao ñiểm 2 ñường tiệm cận.

Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn
- Trang | 1 -


Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Khảo sát hàm phân thức

KHẢO SÁT HÀM PHÂN THỨC
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Khảo sát hàm phân thức thuộc khóa học
Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm
tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Khảo sát hàm phân thức. ðể sử dụng
hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.

2x − 1
x −1
x
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số: y =
x +1

Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số: y =

Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số: y =

2x + 1
x −1

Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số: y =

3 − 2x
x −1

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

:

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Khảo sát hàm phân thức

KHẢO SÁT HÀM PHÂN THỨC
ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Khảo sát hàm phân thức thuộc khóa học
Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm
tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Khảo sát hàm phân thức. ðể sử dụng
hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.

Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số: y =

2x − 1
x −1

Tập xác ñịnh: D = ℝ \ {1}
ðạo hàm: y ′ =

−1

< 0, ∀x ∈ D

(x − 1)2

Hàm số ñã cho nghịch biến trên các khoảng xác ñịnh và không ñạt cực trị.
Giới hạn và tiệm cận: lim y = 2

;

x →−∞

lim y = 2 ⇒ y = 2 là tiệm cận ngang.

x →+∞

lim y = −∞ ; lim y = +∞ ⇒ x = 1 là tiệm cận ñứng.

x →1−

x →1+

Bảng biến thiên
x

–∞

y′

+∞

1



2

y

y

+∞
–∞

2

Giao ñiểm với trục hoành: y = 0 ⇔ 2x − 1 = 0 ⇔ x =
Giao ñiểm với trục tung: cho x = 0 ⇒ y = 1
Bảng giá trị: x
–1
0
1
y 3/2
1
||
ðồ thị hàm số như hình vẽ bên ñây:

2
3

3
5/2

Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số: y =

1
2

3
2,5
2
1
-1 O

1 2

3

x

x
x +1

Tập xác ñịnh: D = ℝ \ {−1}
1
ðạo hàm: y ′ =
> 0, ∀x ∈ D
(x + 1)2
Hàm số ñồng biến trên các khoảng xác ñịnh và không ñạt cực trị.
Giới hạn và tiệm cận:
lim y = 1
; lim y = 1
⇒ y = 1 là tiệm cận ngang.
x →−∞

lim y = +∞ ;

x →(−1)−

x →+∞

lim y = −∞ ⇒ x = −1 là tiệm cận ñứng.

x →(−1)+

Bảng biến thiên

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

x

+

+
1

+∞

y

y

+∞

−1

–∞

y′

Khảo sát hàm phân thức

1
−∞
Giao ñiểm với trục hoành: cho y = 0 ⇔ x = 0

2
1

Giao ñiểm với trục tung: cho x = 0 ⇒ y = 0
Bảng giá trị: x −3
−2
−1
y 1,5
2
||
ðồ thị hàm số như hình vẽ bên ñây:

0
0

0.5
-2 -1

1
0,5

Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số: y =

x

O 1

2x + 1
x −1

Tập xác ñịnh: D = ℝ \ {1}
−3
ðạo hàm: y ′ =
< 0, ∀x ∈ D
(x − 1)2
Hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng xác ñịnh và không ñạt cực trị.
Giới hạn và tiệm cận:
lim y = 2
; lim y = 2 ⇒ y = 2 là tiệm cận ngang.
y
x →−∞
x →+∞
lim y = −∞ ; lim y = +∞ ⇒ x = 1 là tiệm cận ñứng.

x →1−

x →1+

Bảng biến thiên
x

–∞

y′

y

+∞

1
+

+

2

1
O 1 2

+∞

2
1
Giao ñiểm với trục hoành: cho y = 0 ⇔ x = −
2
Giao ñiểm với trục tung: cho x = 0 ⇒ y = −1
−∞

Bảng giá trị: x
–2
0
1
y
1
–1
||
ðồ thị hàm số như hình vẽ bên ñây:

2
4

5
4
3
2
4

x

-2
-1

4
5

Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số: y =

3 − 2x
x −1

3 − 2x
−2x + 3
=
x −1
x −1
Tập xác ñịnh: D = ℝ \ {1}

Hàm số: y =

ðạo hàm: y ′ =

−1
(x − 1)2

< 0, ∀x ∈ D

Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác ñịnh và không ñạt cực trị.
Giới hạn và tiệm cận: lim y = −2 ; lim y = −2 ⇒ y = −2 là tiệm cận ngang.
x →−∞

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

x →+∞

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Khảo sát hàm phân thức

lim y = −∞ ; lim y = +∞ ⇒ x = 1 là tiệm cận ñứng.

x →1−

x →1+

Bảng biến thiên
x

–∞

y′





–2
y

y

+∞

1

+∞

O

–∞

–2

1

x

2

-1
-2

Giao ñiểm với trục hoành: y = 0 ⇔ −2x + 3 = 0 ⇔ x =

3
2

-3
-4

Giao ñiểm với trục tung: cho x = 0 ⇒ y = −3
Bảng giá trị: x
0
1/2
1
y
–3
–4
||
ðồ thị hàm số như hình vẽ bên ñây:

3/2
0

2
–1

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

:

Hocmai.vn

- Trang | 3 -


Khóa học LTðH KIT-1: Mơn Tốn (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Vẽ đồ thị chứa dấu giá trị tuyệt đối

VẼ ðỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ðỐI
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Vẽ đồ thị chứa dấu giá trị tuyệt đối thuộc
khóa học Luyện thi đại học KIT-1: Mơn Tốn (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. ðể
có thể nắm vững kiến thức phần Vẽ đồ thị chứa dấu giá trị tuyệt đối, Bạn cần kết hợp xem tài liệu
cùng với bài giảng này.

I. Cách vẽ đồ thị: y = | ϕ ( x) |
Ta có:
ϕ (x) nếu ϕ (x) ≥ 0 (C1 )
y=ϕ (x)= 
 −ϕ (x)nếu ϕ (x)< 0 (C2 )
Do đó:
+ Vẽ y = ϕ (x) (C)

+ Giữ ngun phần đồ thị (C) ở phía trên Ox ta được (C1)
+ Lấy đối xứng phần còn lại của (C) (ở phía dưới Ox) qua Ox ta được đồ thị y = ϕ (x) là (C1 ) ∪ (C2 )
Bài tập mẫu:
2x + 1
x +1
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
Bài 1: y =

2. Từ (C) suy ra đồ thị y =
Bài 2: y =

2x + 1
x +1

4 3
1
x − 5x2 + 4x +
3
3

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên
2. Từ đó suy ra đồ thị y =
Bài 3: y=

4 3
1
x − 5x2 + 4x +
3
3

x4
3
− 3x2 +
(C)
2
2

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2. Từ (C) suy ra đồ thị y=

x4
3
− 3x2 +
2
2

II. Các vẽ đồ thị hàm số: y = ϕ (|x|)
Ta có:
ϕ ( x ) , x ≥ 0 (C1 )
y = ϕ (| x |) = 
ϕ (− x ) , x < 0 (C2 )

Do đó:
+ Vẽ y = ϕ (x) (C)
+ Giữ ngun phần đồ thị (C) ứng với x ≥ 0 (bên phải Oy) ta được (C1)
+ Lấy đối xứng phần (C1) qua Oy ta được đồ thị (C2)
Hocmai.vn – Ngơi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Vẽ ñồ thị chứa dấu giá trị tuyệt ñối

ðồ thị y = ϕ (| x |) là (C1 ) ∪ (C2 )
Bài tập mẫu:
Baøi 1: y=

4− x
(C)
2x + 3

1. Khảo sát và vẽ ñồ thị (C)
2. Từ (C) suy ra ñồ thị y=

4− | x |
2 | x | +3

Baøi 2: Cho y = x3 +3x 2 +3x+1 (C)

1. Khảo sát và vẽ ñồ thị (C)
3

2. Từ (C) suy ra ñồ thị y = x +3x 2 +3 x +1

Giáo viên : Lê Bá Trần Phương
Nguồn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

:

Hocmai.vn

- Trang | 2 -


Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Vẽ ñồ thị chứa dấu giá trị tuyệt ñối

VẼ ðỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ðỐI
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Vẽ ñồ thị chứa dấu giá trị tuyệt ñối thuộc
khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các
Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Vẽ ñồ thị chứa dấu giá trị
tuyệt ñối. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.

Bài tập có hướng dẫn giải:
Bài 1. Vẽ ñồ thị hàm số (C): y=x + 3 x 2 − 4 . Từ ñó suy ra ñồ thị hàm số: (C’): y=( x + 2) 2 x − 1
3

Bài 2. Vẽ ñồ thị hàm số (C): y=x 3 − 3 x 2 + 2 . Từ ñó suy ra ñồ thị hàm số (C’): y=(x 2 − 2 x − 2) x − 1
Bài 3. Vẽ ñồ thị hàm số (C): y=x 4 − 4 x 2 + 3 . Từ ñó suy ra ñồ thị (C’): y= x 4 − 4 x 2 + 3
Bài 4. Vẽ ñồ thị hàm số (C): y=2x 4 − 4x 2 . Từ ñó suy ra ñồ thị (C’): y= 2x 4 − 4x 2
Bài 5. Vẽ ñồ thị hàm số (C): y=2x 3 − 9 x 2 + 12 x − 4 .
Bài 6. Vẽ ñồ thị hàm số (C): y=x 3 − 3 x + 2 .
Từ ñó suy ra ñồ thị hàm số:
3

a. (C’): y= x − 3 x + 2
b. (C’’): y= x 3 − 3 x + 2
c. (C’’’): y =x 3 − 3 x + 2

Bài tập tự giải:
3

Bài 1. Vẽ ñồ thị hàm số (C): y = x + 9 x − 10 . Từ ñó suy ra ñồ thị hàm số:
3

a. (C’): y = x + 9 x − 10
b. (C’’): y = x 3 + 9 x − 10

Bài 2. Vẽ ñồ thị hàm số (C): y = x 4 − 5 x 2 + 4 . Từ ñó suy ra ñồ thị hàm số: (C’): y = x 4 − 5 x 2 + 4

2x +1
. Từ ñó suy ra ñồ thị hàm số:
x −1
2 x +1
(C’’): y =
x −1

Bài 3. Vẽ ñồ thị hàm số (C): y =
a. (C’): y =

2x +1
x −1

b.

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

:

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Vẽ ñồ thị chứa dấu giá trị tuyệt ñối

VẼ ðỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ðỐI
ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Vẽ ñồ thị chứa dấu giá trị tuyệt ñối thuộc
khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các
Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Vẽ ñồ thị chứa dấu giá trị
tuyệt ñối. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.

Bài 1. Vẽ ñồ thị hàm số (C): y = x 3 + 3 x 2 − 4 . Từ ñó suy ra ñồ thị hàm số: (C’): y=( x + 2)2 x − 1
Lời giải:
Tập xác ñịnh D=R.
y ' = 3 x 2 + 6 x = 0 ⇔ x = 0, x = −2.
Ta có bảng biến thiên:

ðồ thị hàm số y=x 3 + 3 x 2 − 4

3
2
 x + 3 x − 4 khi x ≥ 1
Xét y=( x + 2) x − 1 =  3
2
−( x + 3x − 4) khi x < 1
2

Suy ra ñồ thị hàm số (C’) gồm phần ñồ thị hàm số (C)
ứng với x > 1 và ñối xứng phần ñồ thị (C) ứng với x < 1 qua trục hoành.
Ta có ñồ thị như sau:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Vẽ ñồ thị chứa dấu giá trị tuyệt ñối

Bài 2. Vẽ ñồ thị hàm số (C): y = x 3 − 3 x 2 + 2 . Từ ñó suy ra ñồ thị hàm số (C’): y=(x 2 − 2 x − 2) x − 1
Lời giải:
Tập xác ñịnh D=R.
y ' = 3 x 2 − 6 x = 0 ⇔ x = 0, x = 2. \
Bảng biến thiên:

ðồ thị hàm số (C):

 x3 − 3 x 2 + 2 khi x ≥ 1
Xét: y=( x − 2 x − 2) x − 1 =  3
2
−( x − 3 x + 2) khi x < 1
2

Suy ra ñồ thị hàm số (C’):

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Vẽ ñồ thị chứa dấu giá trị tuyệt ñối

Bài 3. Vẽ ñồ thị hàm số (C): y=x 4 − 4 x 2 + 3 . Từ ñó suy ra ñồ thị (C’): y= x 4 − 4 x 2 + 3
Lời giải:
Tập xác ñịnh D=R.
y ' = 4 x 3 − 8 x = 0 ⇔ x = 0, x = ± 2.
Bảng biến thiên:

ðồ thị hàm số (C):


x ≥ 3
 4

2
 x − 4 x + 3 khi  −1 ≤ x ≤ 1


Xét: y= x 4 − 4 x 2 + 3 = 
x ≤ − 3

-(x 4 − 4 x 2 + 3) khi 1 < x < 3



 − 3 < x < −1

Do ñó ñồ thị của (C’) như sau:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×